Ինչպես գտնել եռանկյան պարագիծը, եթե բոլոր կողմերը հայտնի չեն: Եռանկյան պարագիծը և մակերեսը Ինչպես հաշվարկել եռանկյան պարագիծը

Եռանկյունի սահմանում

Եռանկյուներկրաչափական պատկեր է, որը բաղկացած է երեք կետերից, որոնք իրար հաջորդում են։

Եռանկյունն ունի երեք կողմ և երեք անկյուն:

Եռանկյունների շատ տեսակներ կան, և դրանք բոլորն ունեն տարբեր հատկություններ: Մենք թվարկում ենք եռանկյունների հիմնական տեսակները.

1. Բազմակողմանի(բոլոր կողմերը տարբեր երկարություններ ունեն);
2. Isosceles(երկու կողմերը հավասար են, հիմքի երկու անկյունները հավասար են);
3. Հավասարակողմ(բոլոր կողմերը և բոլոր անկյունները հավասար են):

Այնուամենայնիվ, բոլոր տեսակի եռանկյունների համար կա մեկ ունիվերսալ բանաձև եռանկյան պարագիծը գտնելու համար. սա եռանկյան բոլոր կողմերի երկարությունների գումարն է:

Առցանց հաշվիչ

Եռանկյունի պարագծի բանաձևը

P = a + b + c P = a + b + c P=ա+բ+գ

Ա, բ, գ ա, բ, գ ա, բ, գ- եռանկյան կողմերի երկարությունները.

Եկեք նայենք խնդիրներին եռանկյան պարագիծը գտնելու համար:

Առաջադրանք

Եռանկյունն ունի կողմեր՝ a = 28 սմ, b = 46 սմ, c = 51 սմ:

Լուծում
Եկեք օգտագործենք եռանկյան պարագիծը գտնելու և փոխարինող բանաձևը ա ա ա, բ բ բԵվ գ գ գդրանց թվային արժեքները.
P = a + b + c P = a + b + c P=ա+բ+գ
P = 28 + 46 + 51 = 125 սմ P = 28 + 46 + 51 = 125\տեքստ (սմ)P=2 8 + 4 6 + 5 1 = 1 2 5 սմ

Պատասխան.
P = 125 սմ. P = 125 \տեքստ (սմ.)P=1 2 5 սմ.

Առաջադրանք

Եռանկյունը հավասարակողմ է, որի կողմը 23 սմ է:

Լուծում

P = a + b + c P = a + b + c P=ա+բ+գ

Բայց ըստ պայմանի ունենք հավասարակողմ եռանկյուն, այսինքն՝ նրա բոլոր կողմերը հավասար են։ Այս դեպքում բանաձևը կունենա հետևյալ ձևը.

P = a + a + a = 3 a P = a + a + a = 3aP=ա+ա+ա =3 ա

Մենք թվային արժեքը փոխարինում ենք բանաձևով և գտնում ենք եռանկյան պարագիծը.

P = 3 ⋅ 23 = 69 սմ P = 3\cdot23 = 69\տեքստ (սմ)P=3 ⋅ 2 3 = 6 9 սմ

Պատասխանել
P = 69 սմ. P = 69 \տեքստ (սմ.)P=6 9 սմ.

Առաջադրանք

Հավասարաչափ եռանկյան մեջ b կողմը 14 սմ է, իսկ a հիմքը՝ 9 սմ։

Լուծում
Եռանկյունի պարագիծը գտնելու համար օգտագործենք բանաձևը.

P = a + b + c P = a + b + c P=ա+բ+գ

Բայց ըստ պայմանի ունենք հավասարաչափ եռանկյուն, այսինքն՝ նրա կողմերը հավասար են։ Այս դեպքում բանաձևը կունենա հետևյալ ձևը.

P = a + b + b = 2 b + a P = a + b + b = 2b + aP=ա+բ+բ =2 բ +ա

Մենք թվային արժեքները փոխարինում ենք բանաձևի մեջ և գտնում ենք եռանկյունու պարագիծը.

P = 2 ⋅ 14 + 9 = 28 + 9 = 37 սմ P = 2 \cdot 14 + 9 = 28 + 9 = 37 \տեքստ (սմ)P=2 ⋅ 1 4 + 9 = 2 8 + 9 = 3 7 սմ

Պատասխանել
P = 37 սմ P = 37 \ տեքստ (սմ.)P=3 7 սմ.

Ինչպե՞ս գտնել եռանկյան պարագիծը: Այս հարցը մեզանից յուրաքանչյուրը տվել է դպրոցում սովորելիս. Փորձենք հիշել այն ամենը, ինչ գիտենք այս զարմանալի գործչի մասին, ինչպես նաև պատասխանել տրված հարցին։

Հարցի պատասխանը, թե ինչպես գտնել եռանկյան պարագիծը, սովորաբար բավականին պարզ է. պարզապես անհրաժեշտ է կատարել նրա բոլոր կողմերի երկարությունները ավելացնելու ընթացակարգը: Այնուամենայնիվ, կան ևս մի քանի պարզ մեթոդներ ցանկալի արժեքը գտնելու համար:

Խորհուրդ

Եթե ​​եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը (r) և նրա մակերեսը (S) հայտնի են, ապա պատասխանել այն հարցին, թե ինչպես գտնել եռանկյան պարագիծը, բավականին պարզ է։ Դա անելու համար հարկավոր է օգտագործել սովորական բանաձևը.

Եթե ​​հայտնի են երկու անկյուններ, ասենք α և β, որոնք հարում են կողքին, և բուն կողմի երկարությունը, ապա պարագիծը կարելի է գտնել շատ, շատ տարածված բանաձևով, որն ունի հետևյալ տեսքը.

sinβ∙а/(sin(180° - β - α)) + sinα∙а/(sin(180° - β - α)) + а

Եթե ​​գիտեք հարակից կողմերի երկարությունները և նրանց միջև β անկյունը, ապա պարագիծը գտնելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել Պարագիծը հաշվարկվում է բանաձևով.

P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙а∙cosβ),

որտեղ b2-ը և a2-ը հարակից կողմերի երկարությունների քառակուսիներն են: Արմատական ​​արտահայտությունը երրորդ կողմի երկարությունն է, որն անհայտ է՝ արտահայտված կոսինուսի թեորեմի միջոցով։

Եթե ​​չգիտեք, թե ինչպես գտնել պարագիծը, ապա իրականում այստեղ ոչ մի բարդ բան չկա: Հաշվեք այն բանաձևով.

որտեղ b-ը եռանկյան հիմքն է, a-ն նրա կողմերն են:

Կանոնավոր եռանկյան պարագիծը գտնելու համար օգտագործեք ամենապարզ բանաձևը.

որտեղ a-ն կողմի երկարությունն է:

Ինչպե՞ս գտնել եռանկյան պարագիծը, եթե հայտնի են միայն այն շրջանագծերի շառավիղները, որոնք շրջագծված են կամ մակագրված են նրա մեջ: Եթե ​​եռանկյունը հավասարակողմ է, ապա պետք է կիրառվի բանաձևը.

P = 3R√3 = 6r√3,

որտեղ R-ը և r-ը համապատասխանաբար շրջանագծի և ներգծված շրջանագծի շառավիղներն են:

Եթե ​​եռանկյունը հավասարաչափ է, ապա դրա վրա կիրառվում է բանաձևը.

P=2R (sinβ + 2sinα),

որտեղ α-ն հիմքի վրա ընկած անկյունն է, իսկ β՝ հիմքին հակառակ անկյունը։

Հաճախ մաթեմատիկական խնդիրների լուծումը պահանջում է խորը վերլուծություն և պահանջվող բանաձևերը գտնելու և դուրս բերելու հատուկ կարողություն, և դա, ինչպես շատերը գիտեն, բավականին բարդ աշխատանք է: Թեեւ որոշ խնդիրներ կարելի է լուծել միայն մեկ բանաձեւով.

Դիտարկենք այն բանաձևերը, որոնք հիմնական են այն հարցին, թե ինչպես կարելի է գտնել եռանկյան պարագիծը եռանկյունների բազմազան տեսակների առնչությամբ պատասխանելու համար:

Իհարկե, եռանկյան պարագիծը գտնելու հիմնական կանոնը հետևյալն է. Եռանկյան պարագիծը գտնելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել նրա բոլոր կողմերի երկարությունները՝ օգտագործելով համապատասխան բանաձևը.

որտեղ b, a և c եռանկյան կողմերի երկարություններն են, իսկ P-ն եռանկյան պարագիծն է:

Այս բանաձևի մի քանի հատուկ դեպքեր կան. Ենթադրենք, ձեր խնդիրը ձևակերպված է հետևյալ կերպ. «Ինչպե՞ս գտնել ուղղանկյուն եռանկյան պարագիծը»: Այս դեպքում դուք պետք է օգտագործեք հետևյալ բանաձևը.

P = b + a + √(b2 + a2)

Այս բանաձևում b և a-ն ուղղանկյուն եռանկյան ոտքերի անմիջական երկարություններն են: Հեշտ է կռահել, որ (հիպոթենուսով) կողմի փոխարեն օգտագործվում է արտահայտություն՝ ստացված հնության մեծ գիտնականի՝ Պյութագորասի թեորեմից։

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է լուծել խնդիր, որտեղ եռանկյունները նման են, ապա տրամաբանական կլինի օգտագործել այս պնդումը. պարագծերի հարաբերակցությունը համապատասխանում է նմանության գործակցին: Ենթադրենք, դուք ունեք երկու նման եռանկյունիներ՝ ΔABC և ΔA1B1C1: Այնուհետեւ նմանության գործակիցը գտնելու համար անհրաժեշտ է ΔABC պարագիծը բաժանել ΔA1B1C1 պարագծի վրա։

Եզրափակելով՝ կարելի է նշել, որ եռանկյան պարագիծը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով տարբեր տեխնիկա՝ կախված ձեր ունեցած նախնական տվյալներից: Ավելացնենք, որ ուղղանկյուն եռանկյունների համար կան մի քանի հատուկ դեպքեր։

Ցանկացած եռանկյան պարագիծը պատկերը սահմանափակող գծի երկարությունն է: Այն հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է պարզել այս բազմանկյան բոլոր կողմերի գումարը:

Հաշվարկը տրված կողմերի երկարություններից

Երբ հայտնի լինեն դրանց իմաստները, դա հեշտ է անել: Նշելով այս պարամետրերը m, n, k տառերով, իսկ պարագիծը՝ P տառերով, ստանում ենք հաշվարկման բանաձևը՝ P = m+n+k։ Առաջադրանք. Հայտնի է, որ եռանկյունը ունի 13,5 դեցիմետր, 12,1 դեցիմետր և 4,2 դեցիմետր երկարություն: Պարզեք պարագիծը: Մենք լուծում ենք. Եթե այս բազմանկյան կողմերն են a = 13,5 դմ, b = 12,1 դմ, c = 4,2 դմ, ապա P = 29,8 դմ: Պատասխան՝ P = 29,8 դմ:

Երկու հավասար կողմեր ​​ունեցող եռանկյան պարագիծ

Նման եռանկյունը կոչվում է հավասարաչափ: Եթե ​​այս հավասար կողմերն ունեն սանտիմետր երկարություն, իսկ երրորդ կողմը՝ b սանտիմետր, ապա պարագիծը հեշտ է պարզել՝ P = b + 2a: Առաջադրանք՝ եռանկյունն ունի երկու կողմ 10 դեցիմետր, հիմքը՝ 12 դեցիմետր։ Գտեք P. Լուծում. Թողեք a = c = 10 dm կողմը, հիմքը b = 12 dm: Կողմերի գումարը P = 10 դմ + 12 դմ + 10 դմ = 32 դմ: Պատասխան՝ P = 32 դեցիմետր:

Հավասարակողմ եռանկյան պարագիծ

Եթե ​​եռանկյան բոլոր երեք կողմերն ունեն հավասար թվով չափման միավորներ, այն կոչվում է հավասարակողմ: Մեկ այլ անուն ճիշտ է. Կանոնավոր եռանկյան պարագիծը գտնում ենք P = a+a+a = 3·a բանաձևով: Խնդիր. Ունենք հավասարակողմ եռանկյունի հողամաս: Մի կողմը 6 մետր է։ Գտեք ցանկապատի երկարությունը, որը կարող է փակել այս տարածքը: Լուծում. Եթե այս բազմանկյան կողմը a = 6 մ է, ապա ցանկապատի երկարությունը P = 3 6 = 18 (մ): Պատասխան՝ P = 18 մ.

Եռանկյունի, որն ունի 90° անկյուն

Այն կոչվում է ուղղանկյուն: Ուղղանկյուն անկյան առկայությունը հնարավորություն է տալիս գտնել անհայտ կողմեր՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը և Պյութագորասի թեորեմը։ Ամենաերկար կողմը կոչվում է հիպոթենուս և նշանակված է c. Եվս երկու կողմ կա՝ a և b։ Հետևելով Պյութագորասի անվան թեորեմին՝ մենք ունենք c 2 = a 2 + b 2: Ոտքեր a = √ (c 2 - b 2) և b = √ (c 2 - a 2): Իմանալով a և b երկու ոտքերի երկարությունը՝ մենք հաշվարկում ենք հիպոթենուսը։ Այնուհետև մենք գտնում ենք նկարի կողմերի գումարը՝ ավելացնելով այս արժեքները: Առաջադրանք. Ուղղանկյուն եռանկյան ոտքերը ունեն 8,3 սանտիմետր և 6,2 սանտիմետր երկարություն: Եռանկյան պարագիծը պետք է հաշվարկվի: Լուծենք. Նշենք ոտքերը a = 8,3 սմ, b = 6,2 սմ Հետևելով Պյութագորասի թեորեմին, հիպոթենուսը c = √ (8,3 2 + 6,2 2) = √ (68,89 + 38,44) = √101 .33 = ) P = 24,9 (սմ): Կամ P = 8,3 + 6,2 + √ (8,3 2 + 6,2 2) = 24,9 (սմ): Պատասխան՝ P = 24,9 սմ: Արմատների արժեքները վերցվել են տասներորդական ճշգրտությամբ: Եթե ​​մենք գիտենք հիպոթենուսի և ոտքի արժեքները, ապա մենք ստանում ենք P-ի արժեքը՝ հաշվարկելով P = √ (c 2 - b 2) + b + c: Խնդիր 2. 90 աստիճան անկյան դիմաց ընկած հողամասի հատվածը 12 կմ է, ոտքերից մեկը 8 կմ է: Որքա՞ն ժամանակ կպահանջվի ամբողջ տարածքով շրջելու համար, եթե շարժվեք ժամում 4 կիլոմետր արագությամբ: Լուծում․ եթե ամենամեծ հատվածը 12 կմ է, փոքրը՝ b = 8 կմ, ապա ամբողջ ճանապարհի երկարությունը կլինի P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2) = 20 + √80 = 20 +: 8,9 = 28,9 (կմ): Ժամանակը կգտնենք՝ ճանապարհը բաժանելով արագության վրա։ 28,9:4 = 7,225 (ժ): Պատասխան. Դուք կարող եք շրջանցել այն 7,3 ժամում: Մենք քառակուսի արմատների արժեքը և ճշգրիտ պատասխանը վերցնում ենք տասներորդական: Դուք կարող եք գտնել ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի գումարը, եթե տրված են կողմերից մեկը և սուր անկյուններից մեկի արժեքը: Իմանալով b ոտքի երկարությունը և դրա դիմաց β անկյան արժեքը՝ մենք գտնում ենք անհայտ կողմը a = b/ tan β: Գտեք c = a հիպոթենուսը: sinα: Մենք գտնում ենք նման գործչի պարագիծը՝ գումարելով ստացված արժեքները։ P = a + a/ sinα + a/ tan α, կամ P = a(1 / sin α+ 1+1 / tan α): Առաջադրանք՝ C ուղղանկյուն Δ ABC-ում, BC ոտքը ունի 10 մ երկարություն, A անկյունը 29 աստիճան է: Պետք է գտնել Δ ABC կողմերի գումարը: Լուծում. Նշանակենք հայտնի կողմը BC = a = 10 մ, դրան հակառակ անկյունը, ∟A = α = 30°, ապա կողմը AC = b = 10: 0,58 = 17,2 (m), հիպոթենուս AB = c = 10: 0,5 = 20 (մ): P = 10 + 17,2 + 20 = 47,2 (մ): Կամ P = 10 · (1 + 1,72 + 2) = 47,2 մ Ունենք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքը մինչև հարյուրերորդական: Ունենալով α ոտքի և հարակից β անկյան արժեքը՝ պարզում ենք, թե ինչի է հավասար երկրորդ ոտքը՝ b = a tan β։ Հիպոթենուսն այս դեպքում հավասար կլինի β անկյան կոսինուսով բաժանված ոտքին: Պարագիծը պարզում ենք P = a + a tan β + a: cos β = (tg β + 1+1: cos β)·a բանաձեւով: Առաջադրանք՝ 90 աստիճան անկյուն ունեցող եռանկյան ոտքը 18 սմ է, հարակից անկյունը՝ 40 աստիճան։ Գտեք P. Լուծում. Նշանակենք հայտնի կողմը BC = 18 սմ, ∟β = 40°: Այնուհետև անհայտ կողմը AC = b = 18 · 0,83 = 14,9 (սմ), հիպոթենուս AB = c = 18: 0,77 = 23,4 (սմ): Նկարի կողմերի գումարը P = 56,3 (սմ): Կամ P = (1 + 1.3 + 0.83) * 18 = 56.3 սմ. Եթե հայտնի են c հիպոթենուզայի երկարությունը և որոշ անկյուններ, ապա ոտքերը հավասար կլինեն հիպոթենուզայի արտադրյալին: առաջինը` սինուսով, իսկ երկրորդի համար` այս անկյան կոսինուսով: Այս ցուցանիշի պարագիծը P = (sin α + 1+ cos α)*c է: Առաջադրանք՝ AB ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսը = 9,1 սանտիմետր, իսկ անկյունը 50 աստիճան է: Գտե՛ք այս նկարի կողմերի գումարը: Լուծում. Նշանակենք հիպոթենուսը՝ AB = c = 9,1 սմ, ∟A= α = 50°, ապա BC ոտքերից մեկն ունի երկարություն a = 9,1 · 0,77 = 7 (սմ), ոտքը AC = b = 9: 1 · 0,64 = 5,8 (սմ): Սա նշանակում է, որ այս բազմանկյան պարագիծը P = 9.1 + 7 + 5.8 = 21.9 (սմ): Կամ P = 9,1· (1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (սմ): Պատասխան՝ P = 21,9 սանտիմետր:

կամայական եռանկյունի, որի կողմերից մեկն անհայտ է

Եթե ​​մենք ունենք a և c երկու կողմերի արժեքները, և այս կողմերի միջև անկյունը γ, ապա կոսինուսի թեորեմով գտնում ենք երրորդը՝ b 2 = c 2 + a 2 - 2 ac cos β, որտեղ β անկյունն է: պառկած ա և գ կողմերի միջև։ Այնուհետև մենք գտնում ենք պարագիծը: Առաջադրանք՝ Δ ABC-ն ունի AB հատված՝ 15 դմ երկարությամբ և AC հատված՝ 30,5 դմ երկարությամբ։ Այս կողմերի միջև անկյունը 35 աստիճան է: Հաշվի՛ր Δ ABC կողմերի գումարը: Լուծում. Օգտվելով կոսինուսի թեորեմից՝ հաշվում ենք երրորդ կողմի երկարությունը։ BC 2 = 30,5 2 + 15 2 - 2 30,5 15 0,82 = 930,25 + 225 - 750,3 = 404,95: BC = 20.1 սմ P = 30.5 + 15 + 20.1 = 65.6 (դմ):

Կամայական եռանկյան կողմերի գումարը, որի երկու կողմերի երկարությունները անհայտ են

Երբ մենք գիտենք միայն մեկ հատվածի երկարությունը և երկու անկյան արժեքը, մենք կարող ենք պարզել երկու անհայտ կողմերի երկարությունը՝ օգտագործելով սինուսի թեորեմը. «Եռանկյունում կողմերը միշտ համաչափ են սինուսների արժեքներին։ հակառակ անկյունները»: Որտեղ է b = (a* sin β)/ sin a. Նմանապես c = (a sin γ): sin a. Պարագիծն այս դեպքում կլինի P = a + (a sin β)/ sin a + (a sin γ)/ sin a. Առաջադրանք՝ Մենք ունենք Δ ABC: Նրանում BC կողմի երկարությունը 8,5 մմ է, C անկյան արժեքը՝ 47°, B անկյունը՝ 35 աստիճան։ Գտե՛ք այս նկարի կողմերի գումարը: Լուծում. Նշանակենք կողմերի երկարությունները BC = a = 8,5 մմ, AC = b, AB = c, ∟ A = α= 47°, ∟B = β = 35°, ∟ C = γ = 180° - ( 47° + 35°) = 180° - 82° = 98°: Սինուսի թեորեմից ստացված հարաբերություններից գտնում ենք AC = b = (8.5 0.57) ոտքերը՝ 0.73 = 6.7 (մմ), AB = c = (7 0.99): 0.73 = 9.5 (մմ): Այսպիսով, այս բազմանկյան կողմերի գումարը P = 8,5 մմ + 5,5 մմ + 9,5 մմ = 23,5 մմ է: Պատասխան՝ P = 23,5 մմ: Այն դեպքում, երբ կա միայն մեկ հատվածի երկարություն և երկու հարակից անկյունների արժեքներ, մենք նախ հաշվարկում ենք հայտնի կողմի հակառակ անկյունը: Այս ցուցանիշի բոլոր անկյունները գումարվում են մինչև 180 աստիճան: Հետեւաբար ∟A = 180° - (∟B + ∟C): Այնուհետև մենք գտնում ենք անհայտ հատվածները՝ օգտագործելով սինուսների թեորեմը: Առաջադրանք՝ Մենք ունենք Δ ABC: Ունի 10 սմ BC հատված, B անկյան արժեքը 48 աստիճան է, C անկյունը 56 աստիճան։ Գտե՛ք Δ ABC կողմերի գումարը: Լուծում. Նախ՝ գտե՛ք BC հակառակ կողմի A անկյան արժեքը: ∟A = 180° - (48° + 56°) = 76°: Այժմ, օգտագործելով սինուսների թեորեմը, մենք հաշվարկում ենք AC կողմի երկարությունը = 10·0,74՝ 0,97 = 7,6 (սմ): AB = BC* sin C/ sin A = 8.6. Եռանկյան պարագիծը P = 10 + 8.6 + 7.6 = 26.2 (սմ): Արդյունք՝ P = 26,2 սմ:

Եռանկյան պարագծի հաշվարկ՝ օգտագործելով նրա ներսում ներգծված շրջանագծի շառավիղը

Երբեմն խնդրի կողմերից ոչ մեկը հայտնի չէ: Բայց կա արժեք եռանկյունու տարածքի և դրանում ներգծված շրջանագծի շառավղի համար: Այս մեծությունները կապված են՝ S = r p. Իմանալով եռանկյան տարածքը և r շառավիղը, մենք կարող ենք գտնել կիսաշրջագիծ p. Մենք գտնում ենք p = S: r. Խնդիր. Հողամասն ունի 24 մ 2 տարածք, r շառավիղը 3 մ է Գտեք ծառերի թիվը, որոնք պետք է հավասարաչափ տնկվեն այս հողամասը պարփակող գծի երկայնքով, եթե երկուսի միջև պետք է լինի 2 մետր հեռավորություն: հարևանները. Լուծում. Այս թվի կողմերի գումարը գտնում ենք հետևյալ կերպ՝ P = 2 · 24: 3 = 16 (մ): Այնուհետև բաժանեք երկուսի: 16:2= 8. Ընդհանուր՝ 8 ծառ։

Եռանկյան կողմերի գումարը դեկարտյան կոորդինատներով

Δ ABC-ի գագաթներն ունեն կոորդինատներ՝ A (x 1 ; y 1), B (x 2 ; y 2), C(x 3 ; y 3): Եկեք գտնենք յուրաքանչյուր կողմի քառակուսիները AB 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 ; BC 2 = (x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2; AC 2 = (x 1 - x 3) 2 + (y 1 - y 3) 2. Պարագիծը գտնելու համար պարզապես ավելացրեք բոլոր հատվածները: Առաջադրանք՝ գագաթների կոորդինատները Δ ABC՝ B (3; 0), A (1; -3), C (2; 5): Գտե՛ք այս նկարի կողմերի գումարը: Լուծում. Համապատասխան կոորդինատների արժեքները դնելով պարագծի բանաձևի մեջ՝ մենք ստանում ենք P = √(4 + 9) + √(1 + 25) + √(1 + 64) = √13 + √26 + √65 = 3.6 + 5.1 + 8.0 = 16.6: Մենք ունենք՝ P = 16.6: Եթե ​​պատկերը հարթության վրա չէ, այլ տարածության մեջ, ապա գագաթներից յուրաքանչյուրն ունի երեք կոորդինատ։ Հետեւաբար, կողմերի գումարի բանաձեւը կունենա եւս մեկ անդամ։

Վեկտորային մեթոդ

Եթե ​​պատկերը տրված է նրա գագաթների կոորդինատներով, ապա պարագիծը կարող է հաշվարկվել վեկտորի մեթոդով: Վեկտորը այն հատվածն է, որն ունի ուղղություն: Դրա մոդուլը (երկարությունը) նշվում է ǀᾱǀ նշանով։ Կետերի միջև հեռավորությունը համապատասխան վեկտորի երկարությունն է կամ վեկտորի բացարձակ արժեքը: Դիտարկենք հարթության վրա ընկած եռանկյունին: Եթե ​​գագաթներն ունեն կոորդինատներ A (x 1; y 1), M(x 2; y 2), T (x 3; y 3), ապա յուրաքանչյուր կողմի երկարությունը հայտնաբերվում է բանաձևերով. ǀAMǀ = √ ((x) 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2) 2), ǀMTǀ = √ ((x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2), ǀATǀ = √ ((x 1 - x 3) ) 2 + ( y 1 - y 3) 2). Եռանկյան պարագիծը ստանում ենք վեկտորների երկարությունները ավելացնելով։ Նմանապես, գտե՛ք տարածության մեջ եռանկյան կողմերի գումարը:

Բովանդակություն:

Պարագիծը երկչափ ձևի սահմանների ընդհանուր երկարությունն է: Եթե ​​ցանկանում եք գտնել եռանկյան պարագիծը, ապա պետք է ավելացնեք նրա բոլոր կողմերի երկարությունները. Եթե ​​չգիտեք եռանկյան առնվազն մեկ կողմի երկարությունը, ապա պետք է այն գտնեք: Այս հոդվածը ձեզ կպատմի (ա) ինչպես գտնել եռանկյան պարագիծը՝ տրված երեք հայտնի կողմերից. բ) ինչպես գտնել ուղղանկյուն եռանկյան պարագիծը, երբ հայտնի են միայն երկու կողմերը. գ) ինչպես գտնել ցանկացած եռանկյան պարագիծը, երբ տրվում է երկու կողմ և նրանց միջև եղած անկյունը (օգտագործելով կոսինուսի թեորեմը):

Քայլեր

1 Ըստ այս երեք կողմերի

1. 1 Պարագիծը գտնելու համար օգտագործեք բանաձևը. P = a + b + c, որտեղ a, b, c երեք կողմերի երկարություններն են, P-ը պարագիծն է:
2. 2 Գտե՛ք բոլոր երեք կողմերի երկարությունները:Մեր օրինակում՝ a = 5, b = 5, c = 5:
   • Այն հավասարակողմ եռանկյուն է, քանի որ բոլոր երեք կողմերը նույն երկարությունն են: Բայց վերը նշված բանաձեւը վերաբերում է ցանկացած եռանկյունու:
3. 3 Պարագիծը գտնելու համար ավելացրեք բոլոր երեք կողմերի երկարությունները:Մեր օրինակում՝ 5 + 5 + 5 = 15, այսինքն՝ P = 15:
   • Մեկ այլ օրինակ՝ a = 4, b = 3, c = 5. P = 3 + 4 + 5 = 12:
4. 4 Մի մոռացեք ձեր պատասխանում նշել չափման միավորը:Մեր օրինակում կողմերը չափվում են սանտիմետրերով, ուստի ձեր վերջնական պատասխանը պետք է ներառի նաև սանտիմետրեր (կամ խնդրի դրույթում նշված միավորները):
   • Մեր օրինակում յուրաքանչյուր կողմը 5 սմ է, ուստի վերջնական պատասխանը P = 15 սմ է:

2 Ուղղանկյուն եռանկյան երկու տրված կողմերի համար

1. 1 Հիշեք Պյութագորասի թեորեմը.Այս թեորեմը նկարագրում է ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի փոխհարաբերությունները և մաթեմատիկայի ամենահայտնի և կիրառական թեորեմներից մեկն է։ Թեորեմն ասում է, որ ցանկացած ուղղանկյուն եռանկյունում կողմերը կապված են հետևյալ հարաբերությամբ՝ a 2 + b 2 = c 2, որտեղ a, b-ը ոտքերն են, c-ը՝ հիպոթենուսը։
2. 2 Գծե՛ք եռանկյուն և պիտակավորե՛ք կողմերը՝ a, b, c:Ուղղանկյուն եռանկյան ամենաերկար կողմը հիպոթենուսն է: Այն գտնվում է ուղիղ անկյան դիմաց: Նշեք հիպոթենուսը որպես «c»: Ոտքերը (աջ անկյունին հարող կողմերը) նշեք «a» և «b»:
3. 3 Հայտնի կողմերի արժեքները փոխարինեք Պյութագորասի թեորեմով (a 2 + b 2 = c 2):Տառերի փոխարեն փոխարինեք խնդրի դրույթում տրված թվերը:
   • Օրինակ՝ a = 3 և b = 4: Փոխարինեք այս արժեքները Պյութագորասի թեորեմի մեջ՝ 3 2 + 4 2 = c 2:
   • Մեկ այլ օրինակ՝ a = 6 և c = 10: Այնուհետև՝ 6 2 + b 2 = 10 2
4. 4 Լուծե՛ք ստացված հավասարումը, որպեսզի գտնեք անհայտ կողմը:Դա անելու համար նախ քառակուսիացրեք կողմերի հայտնի երկարությունները (ուղղակի բազմապատկեք ձեզ տրված թիվը ինքն իրենով): Եթե ​​փնտրում եք հիպոթենուս, ապա ավելացրեք երկու կողմերի քառակուսիները և վերցրեք ստացված գումարի քառակուսի արմատը: Եթե ​​դուք փնտրում եք ոտք, հանեք հայտնի ոտքի քառակուսին հիպոթենուսի քառակուսուց և վերցրեք ստացված գործակիցի քառակուսի արմատը:
   • Առաջին օրինակում՝ 3 2 + 4 2 = c 2 ; 9 + 16 = c 2; 25= c 2 ; √25 = ս. Այսպիսով, c = 25:
   • Երկրորդ օրինակում՝ 6 2 + b 2 = 10 2 ; 36 + b 2 = 100. 36-ը տեղափոխեք հավասարման աջ կողմ և ստացեք՝ b 2 = 64; b = √64. Այսպիսով, b = 8:
5. 5
   • Մեր առաջին օրինակում՝ P = 3 + 4 + 5 = 12:
   • Մեր երկրորդ օրինակում՝ P = 6 + 8 + 10 = 24:

3 Ըստ տրված երկու կողմերի և նրանց միջև եղած անկյունի

1. 1 Եռանկյան ցանկացած կողմ կարելի է գտնել՝ օգտագործելով կոսինուսների օրենքը, եթե ձեզ տրված է երկու կողմ և նրանց միջև եղած անկյուն:Այս թեորեմը վերաբերում է ցանկացած եռանկյունու և շատ օգտակար բանաձև է։ Կոսինուսների թեորեմ՝ c 2 = a 2 + b 2 - 2abcos(C), որտեղ a, b, c եռանկյան կողմերն են, A, B, C՝ եռանկյան համապատասխան կողմերին հակառակ անկյունները։
2. 2 Գծի՛ր եռանկյուն և պիտակի՛ր կողմերը որպես a, b, c; համապատասխան կողմերին հակառակ անկյունները նշեք A, B, C (այսինքն՝ «a» կողմին հակառակ անկյունը, նշեք «A» և այլն):
   • Օրինակ՝ տրված է 10 և 12 կողմերով եռանկյունին և նրանց միջև անկյունը 97°, այսինքն՝ a = 10, b = 12, C = 97°:
3. 3 Փոխարինեք ձեզ տրված արժեքները բանաձևի մեջ և գտեք «c» անհայտ կողմը:Սկզբում հրապարակեք հայտնի կողմերի երկարությունները և ավելացրեք ստացված արժեքները: Այնուհետև գտե՛ք C անկյան կոսինուսը (օգտագործելով հաշվիչը կամ առցանց հաշվիչը): Հայտնի կողմերի երկարությունները բազմապատկենք տրված անկյան կոսինուսով և 2-ով (2abcos(C)): Ստացված արժեքը երկու կողմերի քառակուսիների գումարից (a 2 + b 2) հանեք և կստանաք c 2: Վերցրեք այս արժեքի քառակուսի արմատը՝ գտնելու «c» անհայտ կողմի երկարությունը։ Մեր օրինակում.
   • c 2 = 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × cos(97)
   • c 2 = 100 + 144 – (240 × -0,12187)
   • c 2 = 244 – (-29.25)
   • գ 2 = 244 + 29,25
   • գ 2 = 273,25
   • գ = 16,53
4. 4 Պարագիծը գտնելու համար ավելացրեք երեք կողմերի երկարությունները:Հիշեցնենք, որ պարագիծը հաշվարկվում է բանաձևով. P = a + b + c:
   • Մեր օրինակում՝ P = 10 + 12 + 16,53 = 38,53:

Պարագիծը մեծություն է, որը ենթադրում է հարթ (երկչափ) երկրաչափական պատկերի բոլոր կողմերի երկարությունը։ Տարբեր երկրաչափական ձևերի համար պարագիծը գտնելու տարբեր եղանակներ կան:

Այս հոդվածում դուք կսովորեք, թե ինչպես կարելի է գտնել գործչի պարագիծը տարբեր ձևերով՝ կախված նրա հայտնի դեմքերից:

Հնարավոր մեթոդներ.

• հայտնի են հավասարաչափ կամ որևէ այլ եռանկյունու բոլոր երեք կողմերը.
• ինչպես գտնել ուղղանկյուն եռանկյան պարագիծը՝ հաշվի առնելով նրա երկու հայտնի դեմքերը.
• Հայտնի են երկու երեսներ և անկյունը, որը գտնվում է նրանց միջև (կոսինուսի բանաձև) առանց կենտրոնական գծի և բարձրության:

Առաջին մեթոդ. գործչի բոլոր կողմերը հայտնի են

Ինչպես գտնել եռանկյան պարագիծը, երբ բոլոր երեք դեմքերը հայտնի են, դուք պետք է օգտագործեք հետևյալ բանաձևը՝ P = a + b + c, որտեղ a,b,c-ն եռանկյան բոլոր կողմերի հայտնի երկարություններն են, P-ն նկարի պարագիծն է։

Օրինակ, պատկերի երեք կողմերը հայտնի են. a = 24 սմ, b = 24 սմ. Սա սովորական հավասարաչափ ցուցանիշ է, որպեսզի հաշվարկենք պարագիծը. P = 24 + 24 = 72 սմ.

Այս բանաձևը վերաբերում է ցանկացած եռանկյունու:, պարզապես պետք է իմանալ նրա բոլոր կողմերի երկարությունները։ Եթե ​​դրանցից գոնե մեկն անհայտ է, ապա պետք է օգտագործել այլ մեթոդներ, որոնք մենք կքննարկենք ստորև:

Մեկ այլ օրինակ՝ a = 15 սմ, b = 13 սմ, c = 17 սմ Հաշվի՛ր պարագիծը՝ P = 15 + 13 + 17 = 45 սմ:

Ստացված պատասխանում շատ կարևոր է նշել չափման միավորը: Մեր օրինակներում կողմերի երկարությունները նշված են սանտիմետրերով (սմ), սակայն կան տարբեր առաջադրանքներ, որոնցում առկա են չափման այլ միավորներ:

Երկրորդ մեթոդը՝ ուղղանկյուն եռանկյունը և նրա երկու հայտնի կողմերը

Այն դեպքում, երբ առաջադրանքը, որը պետք է լուծել, տրվում է ուղղանկյուն պատկեր, որի երկու երեսների երկարությունները հայտնի են, իսկ երրորդը՝ ոչ, անհրաժեշտ է օգտագործել Պյութագորասի թեորեմը։

Նկարագրում է ուղղանկյուն եռանկյան երեսների փոխհարաբերությունները: Այս թեորեմով նկարագրված բանաձևը երկրաչափության մեջ ամենահայտնի և ամենահաճախ օգտագործվող թեորեմներից մեկն է։ Այսպիսով, թեորեմն ինքնին.

Ցանկացած ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը նկարագրվում են հետևյալ հավասարմամբ՝ a^2 + b^2 = c^2, որտեղ a-ն և b-ը նկարի ոտքերն են, իսկ c-ն հիպոթենուսն է:

• Հիպոթենուզա. Այն միշտ գտնվում է ուղիղ անկյան դիմաց (90 աստիճան), ինչպես նաև եռանկյունու ամենաերկար եզրն է։ Մաթեմատիկայի մեջ ընդունված է հիպոթենուսը նշել c տառով։
• Ոտքեր- սրանք ուղղանկյուն եռանկյան եզրեր են, որոնք պատկանում են ուղիղ անկյան և նշանակված են a և b տառերով: Ոտքերից մեկը նույնպես գործչի բարձրությունն է։

Այսպիսով, եթե խնդրի պայմանները սահմանում են նման երկրաչափական պատկերի երեք երեսներից երկուսի երկարությունները, ապա Պյութագորասի թեորեմի օգնությամբ անհրաժեշտ է գտնել երրորդ դեմքի չափը, այնուհետև օգտագործել առաջին մեթոդի բանաձևը։

Օրինակ, մենք գիտենք 2 ոտքի երկարությունը՝ a = 3 սմ, b = 5 սմ Փոխարինեք արժեքները թեորեմի մեջ՝ 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2: => 25 = c ^2 => c = 5 սմ Այսպիսով, նման եռանկյունու հիպոթենուսը 5 սմ է, ի դեպ, այս օրինակը ամենատարածվածն է և կոչվում է. Այլ կերպ ասած, եթե գործչի երկու ոտքը 3 սմ և 4 սմ է, ապա հիպոթենուսը համապատասխանաբար կլինի 5 սմ:

Եթե ​​ոտքերից մեկի երկարությունը անհայտ է, ապա անհրաժեշտ է ձեւակերպել բանաձեւը հետեւյալ կերպ՝ c^2 - a^2 = b^2: Եվ հակառակը մյուս ոտքի համար:

Շարունակենք օրինակով. Այժմ դուք պետք է դիմեք գործչի պարագիծը գտնելու ստանդարտ բանաձևին՝ P = a + b + c: Մեր դեպքում՝ P = 3 + 4 + 5 = 12 սմ:

Երրորդ մեթոդը երկու երեսների վրա և նրանց միջև եղած անկյունը

Ավագ դպրոցում, ինչպես նաև համալսարանում, դուք ամենից հաճախ պետք է դիմեք պարագիծը գտնելու այս մեթոդին: Եթե ​​խնդրի պայմանները սահմանում են երկու կողմերի երկարությունները, ինչպես նաև նրանց միջև անկյան չափը, ապա. դուք պետք է օգտագործեք կոսինուսների թեորեմը.

Այս թեորեմը վերաբերում է բացարձակապես ցանկացած եռանկյունի, ինչը նրան դարձնում է երկրաչափության մեջ ամենաօգտակարներից մեկը։ Թեորեմն ինքնին ունի հետևյալ տեսքը. իսկ C-ն այն անկյուններն են, որոնք գտնվում են եռանկյան համապատասխան երեսների դիմաց: Այսինքն՝ A-ն a-ին հակառակ անկյունն է և այլն։

Պատկերացնենք, որ նկարագրված է եռանկյուն, որի a և b կողմերը համապատասխանաբար 100 սմ և 120 սմ են, իսկ նրանց միջև ընկած անկյունը 97 աստիճան է։ Այսինքն, a = 100 սմ, b = 120 սմ, C = 97 աստիճան:

Այն ամենը, ինչ դուք պետք է անեք այս դեպքում, բոլոր հայտնի արժեքները փոխարինել կոսինուսի թեորեմի մեջ: Հայտնի երեսների երկարությունները քառակուսի են, որից հետո հայտնի կողմերը բազմապատկվում են միմյանց միջև և երկուսով և բազմապատկվում նրանց միջև եղած անկյան կոսինուսով։ Հաջորդը, դուք պետք է ավելացնեք դեմքերի քառակուսիները և հանեք դրանցից ստացված երկրորդ արժեքը: Քառակուսի արմատը վերցված է վերջնական արժեքից - սա կլինի երրորդ, նախկինում անհայտ կողմը:

Այն բանից հետո, երբ նկարի բոլոր երեք կողմերը հայտնի են, մնում է օգտագործել նկարագրված պատկերի պարագիծը առաջին մեթոդից գտնելու ստանդարտ բանաձևը, որը մենք արդեն սիրում ենք: