Ընդլայնել արտահայտման մոդուլը.

Բաժին 2. Հիմնական հատկություններ.

Մեկ այլ կարևոր փաստ. մոդուլը երբեք բացասական չէ. Ինչ թիվ էլ վերցնենք՝ լինի դա դրական, թե բացասական, նրա մոդուլը միշտ դրական է ստացվում (կամ ծայրահեղ դեպքերում՝ զրո): Ահա թե ինչու մոդուլը հաճախ անվանում են թվի բացարձակ արժեք։

Բացի այդ, եթե միավորենք մոդուլի սահմանումը դրական և բացասական թվերի համար, մենք ստանում ենք մոդուլի գլոբալ սահմանում բոլոր թվերի համար: Այսինքն՝ թվի մոդուլը հավասար է թվին, եթե թիվը դրական է (կամ զրո), կամ հավասար է հակառակ թվին, եթե թիվը բացասական է։ Դուք կարող եք սա գրել որպես բանաձև.

Կա նաև զրոյի մոդուլ, բայց այն միշտ հավասար է զրոյի։ Բացի այդ, զրոն միակ թիվն է, որը չունի հակադիր։

Այսպիսով, եթե դիտարկենք $y=\left| ֆունկցիան x \right|$ և փորձեք նկարել դրա գրաֆիկը, դուք կստանաք այսպիսի բան.

Մոդուլի գրաֆիկ և հավասարման լուծման օրինակ

Այս նկարից անմիջապես պարզ է դառնում, որ $\left| -m \աջ|=\ձախ| m \right|$, և մոդուլի գրաֆիկը երբեք չի ընկնում x առանցքից ցածր: Բայց սա դեռ ամենը չէ. կարմիր գիծը նշում է $y=a$ ուղիղ գիծը, որը դրական $a$-ի դեպքում մեզ տալիս է միանգամից երկու արմատ՝ $((x)_(1))$ և $((x) _(2)) $, բայց մենք ավելի ուշ կխոսենք:

Բացի զուտ հանրահաշվական սահմանումից, կա երկրաչափական սահմանում. Ենթադրենք, թվային տողի վրա կա երկու կետ՝ $((x)_(1))$ և $((x)_(2))$: Այս դեպքում $\left| արտահայտությունը ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$-ը պարզապես նշված կետերի միջև եղած հեռավորությունն է: Կամ, եթե նախընտրում եք, այս կետերը միացնող հատվածի երկարությունը.

Այս սահմանումը նաև ենթադրում է, որ մոդուլը միշտ ոչ բացասական է: Բայց բավականաչափ սահմանումներ և տեսություն՝ եկեք անցնենք իրական հավասարումների:

Հիմնական բանաձև

Լավ, մենք պարզեցինք սահմանումը: Բայց դա ավելի հեշտ չդարձրեց: Ինչպե՞ս լուծել այս մոդուլը պարունակող հավասարումները:

Հանգիստ, պարզապես հանգիստ: Սկսենք ամենապարզ բաներից։ Մտածեք այսպիսի մի բան.

\[\ձախ| x\աջ|=3\]

Այսպիսով, $x$-ի մոդուլը 3 է: Ինչի՞ կարող է հավասար լինել $x$-ը: Դե, դատելով սահմանումից, մենք բավականին գոհ ենք $x=3$-ից: Իրոք.

\[\ձախ| 3\աջ|=3\]

Այլ թվեր կա՞ն։ Կապը կարծես ակնարկում է, որ կա: Օրինակ, $x=-3$-ը նույնպես $\left| է -3 \աջ|=3$, այսինքն. պահանջվող հավասարությունը բավարարված է.

Այսպիսով, միգուցե եթե փնտրենք և մտածենք, ավելի շատ թվեր գտնե՞նք: Բայց եկեք խոստովանենք, որ այլևս թվեր չկան: Հավասարում $\ձախ| x \right|=3$-ն ունի ընդամենը երկու արմատ՝ $x=3$ և $x=-3$։

Հիմա մի փոքր բարդացնենք խնդիրը։ Թող $f\left(x \right)$ ֆունկցիան կախվի մոդուլի նշանի տակ՝ $x$ փոփոխականի փոխարեն, և դրեք կամայական $a$ թիվ աջ կողմում գտնվող եռակի փոխարեն։ Մենք ստանում ենք հավասարումը.

\[\ձախ| f\ ձախ (x \աջ) \աջ|=a\]

Այսպիսով, ինչպես կարող ենք լուծել սա: Հիշեցնեմ՝ $f\left(x \right)$-ը կամայական ֆունկցիա է, $a$-ը՝ ցանկացած թիվ։ Նրանք. Ընդհանրապես ինչ-որ բան: Օրինակ:

\[\ձախ| 2x+1 \աջ|=5\]

\[\ձախ| 10x-5 \աջ|=-65\]

Ուշադրություն դարձնենք երկրորդ հավասարմանը. Նրա մասին անմիջապես կարելի է ասել՝ նա արմատներ չունի։ Ինչո՞ւ։ Ամեն ինչ ճիշտ է, քանի որ դրա համար պահանջվում է, որ մոդուլը հավասար լինի բացասական թվի, ինչը երբեք չի լինում, քանի որ մենք արդեն գիտենք, որ մոդուլը միշտ դրական թիվ է, իսկ ծայրահեղ դեպքում՝ զրո։

Բայց առաջին հավասարման դեպքում ամեն ինչ ավելի զվարճալի է: Երկու տարբերակ կա՝ կա՛մ մոդուլի նշանի տակ կա դրական արտահայտություն, այնուհետև $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, կամ այս արտահայտությունը դեռ բացասական է, իսկ հետո $\left| 2x+1 \աջ|=-\ձախ(2x+1 \աջ)=-2x-1$: Առաջին դեպքում մեր հավասարումը կվերագրվի հետևյալ կերպ.

\[\ձախ| 2x+1 \աջ|=5\Աջ սլաք 2x+1=5\]

Եվ հանկարծ պարզվում է, որ $2x+1$ ենթամոդուլային արտահայտությունն իսկապես դրական է՝ այն հավասար է 5 թվին։ մենք կարող ենք ապահով կերպով լուծել այս հավասարումը. արդյունքում ստացված արմատը կլինի պատասխանի մի մասը.

Նրանք, ովքեր հատկապես անվստահ են, կարող են փորձել փոխարինել գտած արմատը սկզբնական հավասարման մեջ և համոզվել, որ մոդուլի տակ իսկապես դրական թիվ կա:

Հիմա եկեք նայենք բացասական ենթամոդուլային արտահայտության դեպքին.

\[\ձախ\( \սկիզբ(հավասարեցնել)& \ձախ| 2x+1 \աջ|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\Աջ սլաք -2x-1=5 \Աջ սլաք 2x+1=-5\]

Վա՜յ Կրկին ամեն ինչ պարզ է. մենք ենթադրեցինք, որ $2x+1 \lt 0$, և արդյունքում ստացանք $2x+1=-5$ - իսկապես, այս արտահայտությունը զրոյից փոքր է։ Մենք լուծում ենք ստացված հավասարումը, մինչդեռ արդեն հաստատ գիտենք, որ հայտնաբերված արմատը կհամապատասխանի մեզ.

Ընդհանուր առմամբ կրկին երկու պատասխան ստացանք՝ $x=2$ և $x=3$։ Այո, հաշվարկների քանակը մի փոքր ավելի մեծ է ստացվել, քան շատ պարզ հավասարման $\left| x \right|=3$, բայց սկզբունքորեն ոչինչ չի փոխվել: Այսպիսով, միգուցե կա ինչ-որ ունիվերսալ ալգորիթմ:

Այո, նման ալգորիթմ գոյություն ունի։ Եվ հիմա մենք կվերլուծենք այն:

Ազատվել մոդուլի նշանից

Եկեք մեզ տրվի $\left| հավասարումը f\left(x \right) \right|=a$, իսկ $a\ge 0$ (հակառակ դեպքում, ինչպես արդեն գիտենք, արմատներ չկան): Այնուհետև կարող եք ազատվել մոդուլի նշանից՝ օգտագործելով հետևյալ կանոնը.

\[\ձախ| f\ ձախ (x \աջ) \աջ|=a\Աջ սլաք f\ ձախ (x \աջ)=\pm a\]

Այսպիսով, մոդուլի հետ մեր հավասարումը բաժանվում է երկու մասի, բայց առանց մոդուլի: Ահա այսքանն է տեխնոլոգիան: Փորձենք լուծել մի քանի հավասարումներ։ Սկսենք սրանից

\[\ձախ| 5x+4 \աջ|=10\Աջ սլաք 5x+4=\pm 10\]

Եկեք քննարկենք առանձին, երբ աջ կողմում կա տասը գումարած, և առանձին, երբ կա մինուս: Մենք ունենք:

\[\սկիզբ (հավասարեցնել)& 5x+4=10\Աջ սլաք 5x=6\Աջ սլաք x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8: \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսքանը: Ստացանք երկու արմատ՝ $x=1,2$ և $x=-2,8$։ Ամբողջ լուծումը տեւեց բառացիորեն երկու տող:

Լավ, հարց չկա, եկեք մի քիչ ավելի լուրջ բան նայենք.

\[\ձախ| 7-5x\աջ|=13\]

Կրկին բացում ենք մոդուլը պլյուս և մինուսով.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել)& 7-5x=13\Աջ սլաք -5x=6\Աջ սլաք x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Կրկին մի քանի տող, և պատասխանը պատրաստ է: Ինչպես ասացի, մոդուլների մեջ բարդ բան չկա: Պարզապես պետք է հիշել մի քանի կանոն. Հետևաբար, մենք առաջ ենք շարժվում և սկսում իսկապես ավելի բարդ խնդիրներից:

Աջ կողմի փոփոխականի դեպք

Այժմ հաշվի առեք այս հավասարումը.

\[\ձախ| 3x-2 \աջ|=2x\]

Այս հավասարումը սկզբունքորեն տարբերվում է բոլոր նախորդներից: Ինչպե՞ս: Իսկ այն, որ հավասար նշանի աջ կողմում դրված է $2x$ արտահայտությունը, և մենք նախապես չենք կարող իմանալ՝ դա դրական է, թե բացասական։

Ի՞նչ անել այս դեպքում: Նախ, մենք պետք է մեկընդմիշտ դա հասկանանք եթե պարզվի, որ հավասարման աջ կողմը բացասական է, ապա հավասարումը արմատներ չի ունենա- մենք արդեն գիտենք, որ մոդուլը չի ​​կարող հավասար լինել բացասական թվի:

Եվ երկրորդը, եթե աջ մասը դեռ դրական է (կամ հավասար է զրոյի), ապա կարող եք գործել ճիշտ այնպես, ինչպես նախկինում. պարզապես բացեք մոդուլը առանձին՝ գումարած նշանով և առանձին՝ մինուս նշանով։

Այսպիսով, մենք ձևակերպում ենք կանոն $f\left(x \right)$ և $g\left(x \right)$ կամայական ֆունկցիաների համար:

\[\ձախ| f\ ձախ (x \աջ) \աջ|=g\ ձախ (x \աջ)\ Աջ սլաք \ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել)& f\ ձախ (x \աջ) =\pm g\ ձախ (x \աջ ), \\& g\ ձախ (x \աջ)\ge 0. \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\]

Մեր հավասարման հետ կապված մենք ստանում ենք.

\[\ձախ| 3x-2 \աջ|=2x\Աջ սլաք \ձախ\( \սկիզբ(հավասարեցնել)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\]

Դե, մենք ինչ-որ կերպ կհաղթահարենք $2x\ge 0$ պահանջը: Ի վերջո, մենք կարող ենք հիմարաբար փոխարինել այն արմատները, որոնք ստանում ենք առաջին հավասարումից և ստուգել, ​​թե արդյոք անհավասարությունը պահպանվում է, թե ոչ:

Այսպիսով, եկեք լուծենք ինքնին հավասարումը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Դե, այս երկու արմատներից որն է բավարարում $2x\ge 0$ պահանջը: Այո երկուսն էլ! Հետևաբար, պատասխանը կլինի երկու թիվ՝ $x=(4)/(3)\;$ և $x=0$։ Սա է լուծումը:

Ես կասկածում եմ, որ ուսանողներից ոմանք արդեն սկսել են ձանձրանալ: Դե, եկեք նայենք նույնիսկ ավելի բարդ հավասարմանը.

\[\ձախ| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \աջ|=x-((x)^(3))\]

Թեև այն չար տեսք ունի, իրականում այն ​​դեռևս նույն «մոդուլը հավասար է ֆունկցիայի» ձևի հավասարումն է.

\[\ձախ| f\ ձախ (x \աջ) \աջ|=g\ ձախ (x \աջ)\]

Եվ դա լուծվում է ճիշտ նույն կերպ.

\[\ձախ| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \աջ|=x-((x)^(3))\Աջ սլաք \ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \ձախ(x-((x)^(3)) \աջ), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\]

Անհավասարության հետ ավելի ուշ կզբաղվենք. այն ինչ-որ կերպ չափազանց չար է (իրականում պարզ է, բայց մենք չենք լուծի այն): Առայժմ ավելի լավ է գործ ունենալ ստացված հավասարումների հետ: Դիտարկենք առաջին դեպքը. սա այն դեպքում, երբ մոդուլը ընդլայնվում է գումարած նշանով.

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Դե, անիմաստ է, որ դուք պետք է ամեն ինչ հավաքեք ձախից, բերեք նմանատիպերը և տեսնեք, թե ինչ է տեղի ունենում: Եվ սա տեղի է ունենում.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Փակագծերից հանում ենք $((x)^(2))$ ընդհանուր գործակիցը և ստանում շատ պարզ հավասարում.

\[((x)^(2))\ձախ(2x-3 \աջ)=0\Աջ սլաք \ձախ[ \սկիզբ(հավասարեցնել)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

\[((x)_(1))=0;\քառակուսի ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

Այստեղ մենք օգտվեցինք արտադրյալի կարևոր հատկությունից, հանուն որի գործոնավորեցինք սկզբնական բազմանդամը. արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործակիցներից գոնե մեկը հավասար է զրոյի։

Հիմա ճիշտ նույն կերպ վարվենք երկրորդ հավասարման հետ, որը ստացվում է մինուս նշանով ընդլայնելով մոդուլը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\ձախ(x-((x)^(3)) \աջ); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\ ձախ (-3x+2 \աջ)=0: \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Կրկին նույնը. արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի: Մենք ունենք:

\[\ձախ[ \սկիզբ (հավասարեցնել)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

Դե, ստացանք երեք արմատ՝ $x=0$, $x=1,5$ և $x=(2)/(3)\;$։ Դե, այս հավաքածուից ո՞րը կմտնի վերջնական պատասխանի մեջ: Դա անելու համար հիշեք, որ մենք ունենք լրացուցիչ սահմանափակում անհավասարության տեսքով.

Ինչպե՞ս հաշվի առնել այս պահանջը: Եկեք պարզապես փոխարինենք գտնված արմատները և ստուգենք, թե արդյոք անհավասարությունը պահպանվում է այս $x$-ի համար, թե ոչ: Մենք ունենք:

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& x=0\Աջ սլաք x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\Աջ սլաք x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Աջ սլաք x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսպիսով, $x=1,5$ արմատը մեզ չի համապատասխանում։ Եվ ի պատասխան կլինի միայն երկու արմատ.

\[((x)_(1))=0;\քառակուսի ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Ինչպես տեսնում եք, նույնիսկ այս դեպքում ոչ մի բարդ բան չկար. մոդուլների հետ հավասարումները միշտ լուծվում են ալգորիթմի միջոցով: Պարզապես պետք է լավ հասկանալ բազմանդամներն ու անհավասարությունները: Հետևաբար, մենք անցնում ենք ավելի բարդ առաջադրանքների՝ արդեն կլինի ոչ թե մեկ, այլ երկու մոդուլ:

Հավասարումներ երկու մոդուլներով

Մինչ այժմ մենք ուսումնասիրել ենք միայն ամենապարզ հավասարումները՝ կար մեկ մոդուլ և մեկ այլ բան։ Այս «ուրիշ բանն» ուղարկեցինք անհավասարության մեկ այլ մաս՝ մոդուլից հեռու, որպեսզի վերջում ամեն ինչ կրճատվի $\left| ձևի հավասարման մեջ։ f\left(x \right) \right|=g\left(x \աջ)$ կամ նույնիսկ ավելի պարզ $\left| f\left(x \աջ) \աջ|=a$.

Բայց մանկապարտեզն ավարտվել է՝ ժամանակն է ավելի լուրջ բան մտածելու: Սկսենք հետևյալ հավասարումներից.

\[\ձախ| f\left(x \աջ) \աջ|=\ձախ| g\left(x \աջ) \աջ|\]

Սա «մոդուլը հավասար է մոդուլի» ձևի հավասարումն է։ Սկզբունքորեն կարևոր կետը այլ տերմինների և գործոնների բացակայությունն է. միայն մեկ մոդուլ ձախ կողմում, ևս մեկ մոդուլ աջում, և ոչ ավելին:

Ինչ-որ մեկը հիմա կմտածի, որ նման հավասարումներ ավելի դժվար է լուծել, քան այն, ինչ մինչ այժմ ուսումնասիրել ենք։ Բայց ոչ. այս հավասարումները նույնիսկ ավելի հեշտ են լուծել: Ահա բանաձևը.

\[\ձախ| f\left(x \աջ) \աջ|=\ձախ| g\ ձախ (x \աջ) \աջ |\ Աջ սլաք f\ ձախ (x \աջ) =\pm g\ ձախ (x \աջ)\]

Բոլորը! Մենք ուղղակի հավասարեցնում ենք ենթամոդուլային արտահայտությունները՝ դրանցից մեկի դիմաց գումարած կամ մինուս նշան դնելով։ Եվ հետո մենք լուծում ենք ստացված երկու հավասարումները, և արմատները պատրաստ են: Ոչ մի լրացուցիչ սահմանափակում, ոչ մի անհավասարություն և այլն: Ամեն ինչ շատ պարզ է.

Փորձենք լուծել այս խնդիրը.

\[\ձախ| 2x+3 \աջ|=\ձախ| 2x-7 \աջ|\]

Տարրական Ուոթսոն! Մոդուլների ընդլայնում.

\[\ձախ| 2x+3 \աջ|=\ձախ| 2x-7 \աջ|\Աջ սլաք 2x+3=\pm \ձախ(2x-7 \աջ)\]

Դիտարկենք յուրաքանչյուր դեպք առանձին.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\ձախ(2x-7 \աջ)\Աջ սլաք 2x+3=-2x+7: \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Առաջին հավասարումը արմատներ չունի։ Որովհետև ե՞րբ է $3=-7$: Ինչ արժեքներով $x$: «Ի՞նչ դժոխք է $x$-ը: Ձեզ քարկոծե՞լ են։ Այնտեղ ընդհանրապես $x$ չկա», - ասում եք դուք: Եվ դուք ճիշտ կլինեք: Մենք ստացել ենք հավասարություն, որը կախված չէ $x$ փոփոխականից, և միևնույն ժամանակ հավասարությունը ինքնին սխալ է։ Դրա համար էլ արմատներ չկան :)

Երկրորդ հավասարման դեպքում ամեն ինչ մի փոքր ավելի հետաքրքիր է, բայց նաև շատ, շատ պարզ.

Ինչպես տեսնում եք, ամեն ինչ լուծվեց բառացիորեն մի քանի տողում, մենք այլ բան չէինք սպասում գծային հավասարումից :)

Արդյունքում վերջնական պատասխանն է՝ $x=1$։

Այնպես, ինչպես? Դժվա՞ր: Իհարկե ոչ։ Փորձենք մեկ այլ բան.

\[\ձախ| x-1 \աջ|=\ձախ| ((x)^(2))-3x+2 \աջ|\]

Կրկին մենք ունենք $\left| ձևի հավասարում f\left(x \աջ) \աջ|=\ձախ| g\left(x \աջ) \աջ|$. Հետևաբար, մենք անմիջապես վերագրում ենք այն՝ բացահայտելով մոդուլի նշանը.

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \ձախ(x-1 \աջ)\]

Միգուցե ինչ-որ մեկը հիմա հարցնի. «Հեյ, ի՞նչ անհեթեթություն: Ինչո՞ւ է «պլյուս-մինուս»-ը հայտնվում աջ ձեռքի արտահայտության վրա, իսկ ձախում՝ ոչ»: Հանգստացեք, ես հիմա ամեն ինչ կբացատրեմ: Իսկապես, լավ իմաստով մենք պետք է վերագրեինք մեր հավասարումը հետևյալ կերպ.

Այնուհետև պետք է բացել փակագծերը, բոլոր տերմինները տեղափոխել հավասար նշանի մի կողմ (քանի որ հավասարումը, ակնհայտորեն, երկու դեպքում էլ քառակուսի է լինելու), ապա գտնել արմատները։ Բայց պետք է խոստովանեք. երբ «պլյուս-մինուս»-ը հայտնվում է երեք տերմինից առաջ (հատկապես, երբ այս տերմիններից մեկը քառակուսի արտահայտություն է), ինչ-որ կերպ ավելի բարդ է թվում, քան այն իրավիճակը, երբ «պլյուս-մինուս»-ը հայտնվում է ընդամենը երկու տերմինից առաջ:

Բայց ոչինչ չի խանգարում մեզ վերաշարադրել սկզբնական հավասարումը հետևյալ կերպ.

\[\ձախ| x-1 \աջ|=\ձախ| ((x)^(2))-3x+2 \աջ|\Աջ սլաք \ձախ| ((x)^(2))-3x+2 \աջ|=\ձախ| x-1 \ճիշտ|\]

Ինչ է պատահել? Ոչ մի առանձնահատուկ բան. նրանք պարզապես փոխանակեցին ձախ և աջ կողմերը: Մի փոքրիկ բան, որն ի վերջո մի փոքր կհեշտացնի մեր կյանքը:)

Ընդհանուր առմամբ, մենք լուծում ենք այս հավասարումը, հաշվի առնելով տարբերակները գումարած և մինուսով.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Աջ սլաք ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\ձախ(x-1 \աջ)\Աջ սլաք ((x)^(2))-2x+1=0: \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Առաջին հավասարումն ունի $x=3$ և $x=1$ արմատներ։ Երկրորդը, ընդհանուր առմամբ, ճշգրիտ քառակուսի է.

\[((x)^(2))-2x+1=((\ձախ(x-1 \աջ))^(2))\]

Հետեւաբար, այն ունի միայն մեկ արմատ՝ $x=1$։ Բայց այս արմատը մենք արդեն ստացել ենք ավելի վաղ: Այսպիսով, վերջնական պատասխանի մեջ կմտնեն միայն երկու թվեր.

\[((x)_(1))=3;\քառակուսի ((x)_(2))=1.\]

Առաքելությունն ավարտված է: Կարելի է դարակից վերցնել կարկանդակ և ուտել։ Դրանք 2-ն են, քոնը միջինն է :)

Կարևոր նշում. Միանման արմատների առկայությունը մոդուլի ընդլայնման տարբեր տարբերակների համար նշանակում է, որ սկզբնական բազմանդամները ֆակտորիզացված են, և այդ գործոններից անպայման կլինի ընդհանուր մեկը: Իրոք.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& \ձախ| x-1 \աջ|=\ձախ| ((x)^(2))-3x+2 \աջ|; \\& \ձախ| x-1 \աջ|=\ձախ| \ձախ(x-1 \աջ)\ձախ(x-2 \աջ) \աջ|. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Մոդուլի հատկություններից մեկը՝ $\left| a\cdot b \աջ|=\ձախ| a \աջ|\cdot \ձախ| b \right|$ (այսինքն՝ արտադրյալի մոդուլը հավասար է մոդուլի արտադրյալին), ուստի սկզբնական հավասարումը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

\[\ձախ| x-1 \աջ|=\ձախ| x-1 \աջ|\cdot \ձախ| x-2 \ճիշտ|\]

Ինչպես տեսնում եք, մենք իսկապես ընդհանուր գործոն ունենք. Այժմ, եթե հավաքում եք բոլոր մոդուլները մի կողմից, կարող եք այս գործոնը հանել փակագծից.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել)& \ձախ| x-1 \աջ|=\ձախ| x-1 \աջ|\cdot \ձախ| x-2 \աջ|; \\& \ձախ| x-1 \աջ|-\ձախ| x-1 \աջ|\cdot \ձախ| x-2 \աջ|=0; \\& \ձախ| x-1 \աջ|\cdot \left(1-\left| x-2 \աջ| \աջ)=0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Դե, հիմա հիշեք, որ արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի.

\[\ձախ[ \սկիզբ(հավասարեցնել)& \ձախ| x-1 \աջ|=0, \\& \ձախ| x-2 \աջ|=1. \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

Այսպիսով, սկզբնական հավասարումը երկու մոդուլով կրճատվել է երկու ամենապարզ հավասարումների, որոնց մասին մենք խոսեցինք դասի հենց սկզբում: Նման հավասարումները կարող են լուծվել բառացիորեն մի երկու տողով :)

Այս դիտողությունը կարող է անհարկի բարդ և գործնականում անկիրառելի թվալ: Այնուամենայնիվ, իրականում դուք կարող եք բախվել շատ ավելի բարդ խնդիրների, քան նրանք, որոնք մենք այսօր դիտարկում ենք: Դրանցում մոդուլները կարող են համակցվել բազմանդամների, թվաբանական արմատների, լոգարիթմների և այլնի հետ։ Եվ նման իրավիճակներում հավասարման ընդհանուր աստիճանն իջեցնելու ունակությունը՝ փակագծերից ինչ-որ բան հանելով, կարող է շատ, շատ օգտակար լինել:

Այժմ ես կցանկանայի վերլուծել մեկ այլ հավասարում, որն առաջին հայացքից կարող է խելահեղ թվալ։ Շատ ուսանողներ խրված են դրա վրա, նույնիսկ նրանք, ովքեր կարծում են, որ լավ են հասկանում մոդուլները:

Այնուամենայնիվ, այս հավասարումը նույնիսկ ավելի հեշտ է լուծել, քան այն, ինչ մենք նայեցինք ավելի վաղ: Եվ եթե հասկանաք, թե ինչու, դուք կստանաք ևս մեկ հնարք մոդուլներով հավասարումներ արագ լուծելու համար:

Այսպիսով, հավասարումը հետևյալն է.

\[\ձախ| x-((x)^(3)) \աջ|+\ձախ| ((x)^(2))+x-2 \աջ|=0\]

Ոչ, սա տառասխալ չէ. դա պլյուս է մոդուլների միջև: Եվ մենք պետք է գտնենք, թե $x$-ում երկու մոդուլների գումարը հավասար է զրոյի:

Ինչն է ամեն դեպքում խնդիրը: Բայց խնդիրն այն է, որ յուրաքանչյուր մոդուլ դրական թիվ է, կամ ծայրահեղ դեպքում՝ զրո։ Ի՞նչ կլինի, եթե գումարեք երկու դրական թիվ: Ակնհայտորեն կրկին դրական թիվ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Վերջին տողը կարող է ձեզ պատկերացում տալ. միակ դեպքը, երբ մոդուլների գումարը զրոյական է, եթե յուրաքանչյուր մոդուլ զրո է.

\[\ձախ| x-((x)^(3)) \աջ|+\ձախ| ((x)^(2))+x-2 \աջ|=0\Աջ սլաք \ձախ\( \սկիզբ(հավասարեցնել)& \ձախ| x-((x)^(3)) \աջ|=0, \\& \ձախ|.

Իսկ ե՞րբ է մոդուլը հավասար զրոյի։ Միայն մեկ դեպքում, երբ ենթամոդուլային արտահայտությունը հավասար է զրոյի.

\[((x)^(2))+x-2=0\Աջ սլաք \ձախ(x+2 \աջ)\ձախ(x-1 \աջ)=0\Աջ սլաք \ձախ[ \սկիզբ (հավասարեցնել)& x=-2 \\& x=1 \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\]

Այսպիսով, մենք ունենք երեք կետ, որոնցում առաջին մոդուլը զրոյացված է. 0, 1 և −1; ինչպես նաև երկու կետեր, որոնցում երկրորդ մոդուլը զրոյականացվում է. −2 և 1: Այնուամենայնիվ, մեզ անհրաժեշտ է, որ երկու մոդուլները միաժամանակ զրոյացվեն, ուստի գտնված թվերից պետք է ընտրել դրանք, որոնք ներառված են. երկու հավաքածուները: Ակնհայտ է, որ կա միայն մեկ այդպիսի թիվ՝ $x=1$ - սա կլինի վերջնական պատասխանը։

Ճեղքման մեթոդ

Դե, մենք արդեն անդրադարձել ենք մի շարք խնդիրների և սովորել ենք շատ տեխնիկա: Կարծում եք՝ այսքանո՞վ է: Բայց ոչ! Այժմ մենք կանդրադառնանք վերջնական տեխնիկային, և միևնույն ժամանակ ամենակարևորին: Մենք կխոսենք մոդուլով հավասարումների բաժանման մասին։ Ինչի՞ մասին ենք նույնիսկ խոսելու։ Եկեք մի փոքր հետ գնանք և նայենք մի քանի պարզ հավասարման: Օրինակ սա.

\[\ձախ| 3x-5 \աջ|=5-3x\]

Սկզբունքորեն մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես լուծել նման հավասարումը, քանի որ դա $\left| ձևի ստանդարտ կառուցում է։ f\left(x \right) \right|=g\left(x \աջ)$: Բայց եկեք փորձենք այս հավասարմանը նայել մի փոքր այլ տեսանկյունից: Ավելի ճիշտ, հաշվի առեք արտահայտությունը մոդուլի նշանի տակ: Հիշեցնեմ, որ ցանկացած թվի մոդուլը կարող է հավասար լինել հենց թվին, կամ կարող է հակառակ լինել այս թվին.

\[\ձախ| a \աջ|=\ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\]

Իրականում այս երկիմաստությունն է ամբողջ խնդիրը. քանի որ մոդուլի տակ թիվը փոխվում է (դա կախված է փոփոխականից), մեզ համար պարզ չէ՝ դա դրական է, թե բացասական։

Բայց ի՞նչ, եթե սկզբում պահանջեք, որ այս թիվը լինի դրական: Օրինակ, մենք պահանջում ենք, որ $3x-5 \gt 0$ - այս դեպքում մեզ երաշխավորված է դրական թիվ ստանալ մոդուլի նշանի տակ, և մենք կարող ենք ամբողջությամբ ազատվել հենց այս մոդուլից.

Այսպիսով, մեր հավասարումը կվերածվի գծայինի, որը հեշտությամբ կարելի է լուծել.

Ճիշտ է, այս բոլոր մտքերը իմաստ ունեն միայն $3x-5 \gt 0$ պայմանով - մենք ինքներս ենք ներկայացրել այս պահանջը՝ մոդուլը միանշանակ բացահայտելու համար։ Հետևաբար, գտնված $x=\frac(5)(3)$-ը փոխարինենք այս պայմանով և ստուգենք.

Ստացվում է, որ $x$-ի նշված արժեքի համար մեր պահանջը չի բավարարվում, քանի որ արտահայտությունը պարզվեց, որ հավասար է զրոյի, և մեզ անհրաժեշտ է, որ այն խիստ մեծ լինի զրոյից: Տխուր :(

Բայց դա լավ է! Ի վերջո, կա ևս մեկ տարբերակ $3x-5 \lt 0$։ Ավելին. կա նաև $3x-5=0$ դեպք, սա նույնպես պետք է դիտարկել, հակառակ դեպքում լուծումը թերի կլինի։ Այսպիսով, հաշվի առեք դեպքը $3x-5 \lt 0$:

Ակնհայտ է, որ մոդուլը կբացվի մինուս նշանով: Բայց հետո առաջանում է մի տարօրինակ իրավիճակ. սկզբնական հավասարման մեջ և՛ ձախ, և՛ աջ կողմում նույն արտահայտությունն է մնալու.

Հետաքրքիր է, $5-3x$ արտահայտությունը ինչ $x$-ով հավասար կլինի $5-3x$ արտահայտությանը: Նույնիսկ կապիտան Օբյոզենսը կխեղդի իր թուքը նման հավասարումներից, բայց մենք գիտենք, որ այս հավասարումը ինքնություն է, այսինքն. դա ճշմարիտ է փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար:

Սա նշանակում է, որ ցանկացած $x$ կհամապատասխանի մեզ: Այնուամենայնիվ, մենք ունենք սահմանափակում.

Այլ կերպ ասած, պատասխանը կլինի ոչ թե մեկ թիվ, այլ ամբողջ ընդմիջում.

Վերջապես, մնում է ևս մեկ դեպք՝ $3x-5=0$: Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. մոդուլի տակ կլինի զրո, և զրոյի մոդուլը նույնպես հավասար է զրոյի (սա ուղղակիորեն հետևում է սահմանումից).

Բայց հետո սկզբնական հավասարումը $\left| 3x-5 \right|=5-3x$-ը կվերագրվի հետևյալ կերպ.

Մենք արդեն ստացել ենք այս արմատը վերևում, երբ դիտարկեցինք $3x-5 \gt 0$-ի դեպքը: Ավելին, այս արմատը $3x-5=0$ հավասարման լուծումն է. սա այն սահմանափակումն է, որը մենք ինքներս ենք ներկայացրել մոդուլը վերականգնելու համար:)

Այսպիսով, բացի միջակայքից, մենք կբավարարվենք նաև այս միջակայքի ամենավերջում գտնվող թվով.

Ընդհանուր վերջնական պատասխան՝ $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Շատ սովորական չէ նման խեղկատակություն տեսնել մոդուլով բավականին պարզ (ըստ էության գծային) հավասարման պատասխանում, Իսկապե՞ս, ընտելացիր. մոդուլի դժվարությունն այն է, որ նման հավասարումների պատասխանները կարող են լիովին անկանխատեսելի լինել:

Ուրիշ բան շատ ավելի կարևոր է. մենք հենց նոր վերլուծեցինք համընդհանուր ալգորիթմ մոդուլով հավասարումը լուծելու համար: Եվ այս ալգորիթմը բաղկացած է հետևյալ քայլերից.

1. Հավասարման մեջ յուրաքանչյուր մոդուլ հավասարեցրու զրոյի: Մենք ստանում ենք մի քանի հավասարումներ.
2. Լուծե՛ք այս բոլոր հավասարումները և նշե՛ք արմատները թվային տողի վրա։ Արդյունքում ուղիղ գիծը կբաժանվի մի քանի ընդմիջումների, որոնցից յուրաքանչյուրում բոլոր մոդուլները եզակիորեն բացահայտվում են.
3. Լուծեք սկզբնական հավասարումը յուրաքանչյուր ընդմիջման համար և միավորեք ձեր պատասխանները:

Այսքանը: Մնում է միայն մեկ հարց՝ ի՞նչ անել 1-ին քայլով ստացված արմատների հետ։ Ենթադրենք՝ ունենք երկու արմատ՝ $x=1$ և $x=5$։ Նրանք թվային գիծը կբաժանեն 3 մասի.

Այսպիսով, որո՞նք են միջակայքերը: Պարզ է, որ դրանք երեքն են.

1. Ամենա ձախը՝ $x \lt 1$ — միավորն ինքնին ներառված չէ միջակայքում;
2. Կենտրոնական՝ $1\le x \lt 5$ - այստեղ մեկը ներառված է միջակայքում, բայց հինգը ներառված չէ;
3. Ամենաաջինը. $x\ge 5$ - հինգը ներառված է միայն այստեղ:

Կարծում եմ, դուք արդեն հասկանում եք օրինաչափությունը: Յուրաքանչյուր ինտերվալ ներառում է ձախ ծայրը և չի ներառում աջը:

Առաջին հայացքից նման գրառումը կարող է թվալ անհարմար, անտրամաբանական և ընդհանրապես ինչ-որ խենթ: Բայց հավատացեք ինձ, մի փոքր պրակտիկայից հետո դուք կգտնեք, որ այս մոտեցումը ամենահուսալին է և չի խանգարում մոդուլների միանշանակ բացմանը: Ավելի լավ է օգտագործել նման սխեման, քան ամեն անգամ մտածել՝ ձախ/աջ ծայրը տվեք ընթացիկ ինտերվալին կամ «գցեք» այն հաջորդը:

Սա ավարտում է դասը: Ներբեռնեք խնդիրներ ինքնուրույն լուծելու համար, փորձեք, համեմատեք պատասխանների հետ - և կտեսնենք ձեզ հաջորդ դասին, որը նվիրված կլինի մոդուլներով անհավասարություններին:)