Կոլմոգորովի օրինակներ. SPSS հոգեբանության և սոցիալական գիտությունների ոլորտում

Չափանիշի նպատակը

Չափանիշը նախատեսված է երկու բաշխումների համեմատության համար.

ա) էմպիրիկ տեսականով, օրինակ՝ միատեսակ կամ նորմալ.

բ) մեկ էմպիրիկ բաշխում մեկ այլ էմպիրիկ բաշխման հետ:

Չափանիշը թույլ է տալիս գտնել այն կետը, որտեղ երկու բաշխումների միջև կուտակված անհամապատասխանությունների գումարը ամենամեծն է, և գնահատել այդ անհամապատասխանության հուսալիությունը:

Չափանիշի նկարագրությունը

Եթե ​​մեթոդում երկու բաշխումների հաճախականությունները առանձին-առանձին համեմատում էինք առաջին նիշով, ապա առաջին և երկրորդ թվանշանների գումարով, ապա առաջին, երկրորդ և երրորդ թվանշանների գումարով և այլն։ Այսպիսով, մենք ամեն անգամ համեմատում ենք տվյալ կատեգորիայի համար կուտակված հաճախականությունները:

Եթե ​​երկու բաշխումների միջև տարբերությունները նշանակալի են, ապա ինչ-որ պահի կուտակված հաճախականությունների տարբերությունը կհասնի կրիտիկական արժեքի, և մենք կկարողանանք տարբերությունները ճանաչել որպես վիճակագրորեն նշանակալի: Այս տարբերությունը ներառված է չափանիշի բանաձևում: Որքան մեծ է էմպիրիկ արժեքը, այնքան ավելի էական են տարբերությունները:

Վարկածներ

Բաշխումների միջև եղած տարբերություններն անվստահելի են (դատելով դրանց միջև առավելագույն կուտակված անհամապատասխանության կետից):

Բաշխումների միջև տարբերությունները նշանակալի են (դատելով դրանց միջև առավելագույն կուտակված անհամապատասխանության կետից):

Կոլմոգորով-Սմիրնով չափանիշը կիրառելու համար պետք է բավարարվեն հետևյալ պայմանները.

1. Չափումը կարող է իրականացվել միջակայքի և հարաբերակցության սանդղակով:

2. Նմուշները պետք է լինեն պատահական և անկախ:

3. Ցանկալի է, որ երկու նմուշների ընդհանուր ծավալը լինի ≥ 50: Նմուշի ծավալի մեծացման հետ չափանիշի ճշգրտությունը մեծանում է:

4. Էմպիրիկ տվյալները պետք է թույլ տան ցանկացած հատկանիշի աճման կամ նվազման կարգով դասավորելու հնարավորությունը և պետք է անպայման արտացոլեն միակողմանի փոփոխություն: Այն դեպքում, երբ դժվար է պահպանել որևէ հատկանիշի պատվիրման սկզբունքը, ավելի լավ է օգտագործել չափանիշը. հեե- քառակուսի.

Այս չափանիշը օգտագործվում է նույն խնդիրները լուծելու համար, ինչ չափանիշը xi- քառակուսի. Այլ կերպ ասած, այն կարող է օգտագործվել էմպիրիկ բաշխումը միմյանց հետ համեմատելու տեսական մեկ կամ երկու էմպիրիկ բաշխման հետ: Այնուամենայնիվ, եթե օգտագործելիս հեե-քառակուսի համեմատում ենք երկու բաշխումների հաճախականությունները, այնուհետև այս չափանիշով համեմատվում են յուրաքանչյուր կատեգորիայի (այլընտրանքային) համար կուտակված (կուտակային) հաճախականությունները: Ավելին, եթե երկու բաշխումներում կուտակված հաճախականությունների տարբերությունը մեծ է ստացվում, ապա երկու բաշխումների տարբերությունները զգալի են։

Խնդիր 8.12.Ենթադրենք, որ փորձի ժամանակ հոգեբանը պետք է օգտագործի վեցկողմ 1-ից 6-ը թվերով: այնպիսին, որ բավականաչափ մեծ քանակությամբ նետումներով, նրա յուրաքանչյուր երեսը վայրէջք կկատարի մոտավորապես նույնքան անգամ: Խնդիրն է պարզել, թե արդյոք տվյալ խորանարդը մոտ կլինի իդեալին:

Լուծում.Եկեք 120 անգամ գլորենք խորանարդը և ստացված էմպիրիկ բաշխումը համեմատենք տեսականի հետ։ Քանի որ տեսական բաշխումը հավասարապես հավանական է, համապատասխան տեսական հաճախականությունները հավասար են 20-ի: Էմպիրիկ և տեսական հաճախականությունների բաշխումը միասին ներկայացնում ենք Աղյուսակ 8.15-ում.

Կոլմոգորով-Սմիրնովի չափանիշով հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իրականացնել մի շարք փոխակերպումներ՝ աղյուսակ 8.15-ի տվյալների հետ: Ներկայացնենք այս փոխակերպումները Աղյուսակ 8.16-ում և բացատրենք, թե ինչպես են դրանք ստացվել.

Խորհրդանիշ Ֆ.Է.Աղյուսակ 8.16-ում կնշենք կուտակված տեսական հաճախականությունները: Աղյուսակում դրանք ստացվում են հետևյալ կերպ՝ առաջին տեսական հաճախականությանը 20 ավելացնել երկրորդ հաճախականությունը, որը նույնպես հավասար է 20-ի, որպեսզի ստացվի 20 + 20 = 40 թիվը։ Երկրորդ հաճախականության փոխարեն դրվում է 40 թիվը։ Այնուհետեւ 40 թվին ավելացվում է հաջորդ տեսական հաճախականությունը, ստացված 60 արժեքը դրվում է երրորդ տեսական հաճախականության փոխարեն եւ այլն։

Խորհրդանիշ ՖԲԱղյուսակ 8.16-ում նշվում են կուտակված էմպիրիկ հաճախականությունները: Դրանք հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է էմպիրիկ հաճախականությունները դասավորել աճման կարգով՝ 15, 18, 18, 21, 23, 25, ապա ավելացնել դրանք հերթականությամբ։ Այսպիսով, նախ կա առաջին հաճախականությունը, որը հավասար է 15-ի, դրան գումարվում է երկրորդ ամենաբարձր հաճախականությունը և ստացված գումարը 15 + 18 = 33 դրվում է երկրորդ հաճախականության փոխարեն, ապա 18-ը ավելացվում է 33-ին (33 + 18 = 51): ), ստացված 51 թիվը դրվում է երրորդ հաճախականությունների փոխարեն և այլն։

Խորհրդանիշ |FE- ՖԲ|Աղյուսակ 8.16-ում նշվում են տեսական և էմպիրիկ հաճախականությունների տարբերության բացարձակ արժեքները յուրաքանչյուր սյունակի համար առանձին:

Այս չափանիշի էմպիրիկ արժեքը, որը նշվում է որպես Դ emp-ը ստացվում է բանաձևով (8.13).

Այն թվերի մեջ ստանալու համար |FE - FB|գտե՛ք առավելագույն թիվը (մեր դեպքում դա 9 է) և բաժանե՛ք այն ընտրանքի չափի վրա Պ.Մեր դեպքում Պ= 120, ուրեմն

Այս չափանիշի համար կրիտիկական արժեքներով աղյուսակը տրված է Հավելված 1-ում՝ թիվ 13-ի տակ: Հավելված 1-ի 13-րդ աղյուսակից, սակայն, հետևում է, որ եթե նմուշի տարրերի թիվը 100-ից ավելի է, ապա արժեքները կրիտիկական արժեքները հաշվարկվում են բանաձևով (8.14):

Չափանիշի նկարագրությունը

Դասական Կոլմոգորովի թեստը (երբեմն կոչվում է Կոլմոգորով-Սմիրնովի թեստ) նախատեսված է պարզ վարկածներ ստուգելու համար, թե արդյոք վերլուծված նմուշը պատկանում է ինչ-որ լիովին հայտնի բաշխման օրենքին:

Թող լինի անկախ նույնական բաշխված պատահական փոփոխականների նմուշ, լինի էմպիրիկ բաշխման ֆունկցիա և լինի որոշ «ճշմարիտ» բաշխման ֆունկցիա՝ հայտնի պարամետրերով: Չափանիշի վիճակագրությունը որոշվում է արտահայտությամբ.

Նշենք այն վարկածով, որ նմուշը ենթարկվում է բաշխմանը: Այնուհետև, Կոլմոգորովի թեորեմի համաձայն, եթե փորձարկվող վարկածը ճշմարիտ է.

0:%20%5Cquad%20%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7DP(%5Csqrt%7Bn%7D%20D_n%20%5Cleq%20t)=K(t)=%5Csum_%7Bj=- %5Cinfty%7D%5E%7B+%5Cinfty%7D(-1)%5Ej%20%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-2j%5E2t%5E2%7D." alt="\forall t >0: \քառյակ \lim_(n \մինչև \infty)P(\sqrt(n) D_n \leq t)=K(t)=\sum_(j=-\infty)^(+\infty)(-1 )^ջ \մաթրմ(ե)^(-2ջ^2տ^2).">!}

Վարկածը մերժվում է, եթե վիճակագրությունը գերազանցում է տվյալ նշանակության մակարդակի բաշխման քվենտիլը, և ընդունվում է այլ կերպ:

Նշում:Կոլմոգորովի չափանիշում նպատակահարմար է օգտագործել վիճակագրություն բոլշևյան ուղղումով. Այս վիճակագրության բաշխումը, եթե փորձարկվող վարկածը ճշմարիտ է, արագորեն համընկնում է Կոլմոգորովի բաշխմանը և 25%20" alt=" n>25):"> зависимостью от объема выборки можно пренебречь.!}

Նորմալությունը ստուգելու համար թեստի օգտագործումը

Այս դեպքում Կոլմոգորովի չափանիշն օգտագործվում է դիտարկված նմուշի նորմալ օրենքին պատկանելու վարկածը ստուգելու համար, որի պարամետրերը գնահատվում են հենց այս նմուշից՝ առավելագույն հավանականության մեթոդով։ Այսինքն՝ ստուգվում է բարդ վարկածև միջինի և շեղումների ընտրանքային գնահատումները օգտագործվում են որպես նորմալ օրենքի պարամետրերի գնահատումներ:

Այս դեպքում (Lillefors) օգտագործվել է ձևի փոփոխված վիճակագրություն.

.

Վիճակագրության համար կրիտիկական արժեքները տրված են հետևյալ աղյուսակում (Lillefors).

	0,15	0,10	0,05	0,03	0,01
	0,775	0,819	0,895	0,955	1,035

Բարդ վարկածների փորձարկում

Բարդ վարկածները ստուգելիս, երբ օրենքի պարամետրերը, որոնց հետ համաձայնությունը փորձարկվում է, գնահատվում են նմուշից, համաձայնության ոչ պարամետրիկ թեստերը կորցնում են բաշխումից ազատվելու հատկությունը (Kac, Kiefer, Wolfowitz): Բարդ հիպոթեզների փորձարկման ժամանակ ոչ պարամետրիկ համապատասխանության թեստերի վիճակագրության պայմանական բաշխումները (և Կոլմոգորովի թեստը) կախված են մի շարք գործոններից. գնահատվող պարամետրի տեսակի և գնահատվող պարամետրերի քանակի վերաբերյալ. որոշ դեպքերում՝ որոշակի պարամետրի արժեքի վրա (օրինակ՝ գամմա և բետա բաշխումների ընտանիքների դեպքում); պարամետրերի գնահատման մեթոդի վրա:

Պարզ և բարդ վարկածների փորձարկման ժամանակ նույն վիճակագրության սահմանային բաշխման տարբերություններն այնքան էական են, որ դա ոչ մի դեպքում չպետք է անտեսվի:

Կոլմոգորովի չափանիշի կիրառման վերաբերյալ տարբեր բարդ վարկածներ փորձարկելու համար տե՛ս Նովոսիբիրսկի պետական ​​տեխնիկական համալսարանի կայքը.

• Վիճակագրական տվյալների վերլուծություն, մոդելավորում և հավանական օրինաչափությունների ուսումնասիրություն: Համակարգչային մոտեցում՝ մենագրություն. – Նովոսիբիրսկ: NSTU Publishing House, 2011. – 888 p. (3-րդ և 4-րդ գլուխները)
• Համապատասխանության ոչ պարամետրային թեստերի վիճակագրության բաշխման մոդելներ, երբ փորձարկում են բարդ վարկածները՝ օգտագործելով առավելագույն հավանականության գնահատումները: Մաս I // Չափման տեխնոլոգիա. 2009. Թիվ 6. – Պ.3-11.
• Համապատասխանության ոչ պարամետրային թեստերի վիճակագրության բաշխման մոդելներ, երբ փորձարկում են բարդ վարկածները՝ օգտագործելով առավելագույն հավանականության գնահատումները: Մաս II // Չափման տեխնոլոգիա. 2009. Թիվ 8. – Պ.17-26.

գրականություն

1. Կոլմոգորոֆ Ա.Ն. Sulla determinazione empirica di una legge di distribuzione // Giornale dell` Istituto Italiano degly Attuari: 1933. – Հատ. 4. – Թիվ 1. – Էջ 83-91։
2. Բոլշև Լ.Ն., Սմիրնով Ն.Վ.Մաթեմատիկական վիճակագրության աղյուսակներ. Մ.: Նաուկա, 1983:
3. Lilliefors H.W.Կոլմոգորով-Սմիրնովի թեստի վրա նորմալության միջին և անհայտ շեղումով // J. Am. Վիճակագիր. Ասոց., 1967. V.62. – P.399-402.
4. Kac M., Kiefer J., Wolfowitz J.Նորմալության և հարմարության այլ թեստերի վրա՝ հիմնված հեռավորության մեթոդների վրա // Անն. Մաթեմատիկա։ Ստատ., 1955. V.26. – P.189-211.
5. Ստանդարտացման վերաբերյալ առաջարկություններ. Կիրառական վիճակագրություն. Փորձարարական բաշխման համաձայնությունը տեսականի հետ ստուգելու կանոններ. Մաս II. Ոչ պարամետրիկ թեստեր. - Մ.: Ստանդարտների հրատարակչություն: 2002. – 64 էջ.

Նախկինում դիտարկվում էին վարկածներ, որոնցում ենթադրվում էր, որ հայտնի է բնակչության բաշխման օրենքը։ Այժմ մենք կսկսենք փորձարկել անհայտ բաշխման ենթադրյալ օրենքի մասին վարկածները, այսինքն՝ փորձարկելու ենք այն զրոյական վարկածը, որ բնակչությունը բաշխված է ինչ-որ հայտնի օրենքի համաձայն։ Սովորաբար նման վարկածների փորձարկման վիճակագրական թեստեր են կոչվում համաձայնության չափանիշները.

Համաձայնության չափանիշկոչվում է անհայտ բաշխման ենթադրյալ օրենքի մասին վարկածը ստուգելու չափանիշ։ Այն էմպիրիկ և տեսական բաշխման անհամապատասխանության թվային չափումն է:

Հիմնական խնդիրը.Տրված է էմպիրիկ բաշխումը (նմուշ): Ենթադրություն արեք (առաջադրեք վարկած) տեսական բաշխման տեսակի վերաբերյալ և փորձարկեք վարկածը տվյալ նշանակության α մակարդակով։

Հիմնական խնդրի լուծումը բաղկացած է երկու մասից.

1. Վարկածի առաջադրում.

2. Հիպոթեզի փորձարկում տվյալ նշանակության մակարդակով:

Եկեք մանրամասն նայենք այս մասերին:

1. Վարկածների ընտրությունՀարմար է որոշել տեսական բաշխման տեսակը՝ օգտագործելով բազմանկյուններ կամ հաճախականության հիստոգրամներ։ Համեմատեք էմպիրիկ բազմանկյունը (կամ հիստոգրամը) բաշխման հայտնի օրենքների հետ և ընտրեք ամենահարմարը:

Ահա բաշխման ամենակարևոր օրենքների գրաֆիկները.

Էմպիրիկ բաշխման օրենքների օրինակները ներկայացված են նկարներում.

(ա) դեպքում առաջ է քաշվում նորմալ բաշխման վարկածը, (բ) դեպքում՝ միատեսակ բաշխման վարկածը, (գ) դեպքում՝ Պուասոնի բաշխման վարկածը։

Տեսական բաշխման մասին վարկած առաջ քաշելու հիմքը կարող է լինել տեսական նախադրյալները բնութագրի փոփոխության բնույթի մասին: Օրինակ, Լյապունովի թեորեմի պայմանների կատարումը թույլ է տալիս մեզ վարկած ստեղծել նորմալ բաշխման մասին։ Միջին և շեղումների հավասարությունը ենթադրում է Պուասոնի բաշխում:

Գործնականում մենք ամենից հաճախ հանդիպում ենք նորմալ բաշխման, ուստի մեր առաջադրանքներում մեզ միայն պետք է ստուգել նորմալ բաշխման վարկածը:

Վարկածների փորձարկումտեսական բաշխման մասին պատասխանում է հարցին. կարո՞ղ է ենթադրյալ տեսական և էմպիրիկ բաշխումների միջև եղած անհամապատասխանությունը համարվել պատահական, աննշան, բացատրվել նմուշում ընդգրկված որոշ օբյեկտների պատահականությամբ, թե՞ այս անհամապատասխանությունը ցույց է տալիս բաշխումների միջև զգալի անհամապատասխանություն: Գոյություն ունեն ստուգման տարբեր մեթոդներ (հարմարեցվածության չափանիշներ) - գ 2 (chi-square), Կոլմոգորով, Ռոմանովսկի և այլն:

Պիրսոնի չափանիշը.

Պիրսոնի չափանիշի առավելությունը նրա ունիվերսալությունն է. այն կարող է օգտագործվել բաշխման տարբեր օրենքների վերաբերյալ վարկածներ ստուգելու համար:

1. Նորմալ բաշխման վարկածի փորձարկում.Թող բավականաչափ մեծ նմուշ ստացվի Պշատ տարբեր իմաստների տարբերակով: Այն մշակելու հարմարության համար մենք բաժանում ենք տարբերակի ամենափոքրից մինչև ամենամեծ արժեքը. սհավասար մասեր, և մենք կենթադրենք, որ յուրաքանչյուր ինտերվալի մեջ ընկած տարբերակների արժեքները մոտավորապես հավասար են այն թվին, որը նշում է միջակայքի միջինը: Հաշվելով ընտրանքների քանակը, որոնք ընկնում են յուրաքանչյուր միջակայքում, մենք կստեղծենք այսպես կոչված խմբավորված նմուշ.

տարբերակներ……….. X 1 X 2 … x s

հաճախականություններ ……………. Պ 1 Պ 2 … n s ,

Որտեղ x iընդմիջումների միջնակետերի արժեքներն են, և n i- ներառված տարբերակների քանակը ես-ինտերվալ (էմպիրիկ հաճախականություններ): Ստացված տվյալների հիման վրա կարող եք հաշվարկել նմուշի միջինը և նմուշի ստանդարտ շեղումը ս Բ. Եկեք ստուգենք այն ենթադրությունը, որ բնակչությունը բաշխված է նորմալ օրենքով՝ պարամետրերով Մ(X) = , Դ(X) =. Այնուհետև դուք կարող եք գտնել թվերի քանակը ընտրանքի չափից Պ, որը պետք է հայտնվի յուրաքանչյուր ինտերվալում այս ենթադրության ներքո (այսինքն՝ տեսական հաճախականություններ)։ Դա անելու համար, օգտագործելով Laplace ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակը, մենք գտնում ենք մտնելու հավանականությունը եսրդ միջակայքը:

,

Որտեղ եւ եսԵվ բ i- սահմանները ես-րդ միջակայքը. Ստացված հավանականությունները բազմապատկելով n ընտրանքի չափով` գտնում ենք տեսական հաճախականությունները. p i =n·p iՄեր նպատակն է համեմատել էմպիրիկ և տեսական հաճախականությունները, որոնք, իհարկե, տարբերվում են միմյանցից, և պարզել, թե արդյոք այդ տարբերությունները աննշան են և չեն հերքում ուսումնասիրվող պատահական փոփոխականի նորմալ բաշխման վարկածը, թե՞ դրանք այնքան մեծ, որ հակասում են այս վարկածին: Այդ նպատակով օգտագործվում է պատահական փոփոխականի տեսքով չափանիշ

. (7)

Դրա իմաստն ակնհայտ է՝ ամփոփված են այն մասերը, որոնք կազմում են տեսական հաճախականությունների էմպիրիկ հաճախականությունների շեղումների քառակուսիները համապատասխան տեսական հաճախականություններից։ Կարելի է ապացուցել, որ, անկախ ընդհանուր բնակչության իրական բաշխման օրենքից, պատահական փոփոխականի (7) բաշխման օրենքը հակված է դեպի բաշխման օրենքը ազատության աստիճանների քանակով. k = s – 1 – r, Որտեղ r– ընտրանքային տվյալներից գնահատված ակնկալվող բաշխման պարամետրերի քանակը: Հետևաբար, նորմալ բաշխումը բնութագրվում է երկու պարամետրով k = s – 3. Ընտրված չափանիշի համար կառուցվում է աջակողմյան կրիտիկական շրջան, որը որոշվում է պայմանով.

(8)

Որտեղ α - նշանակության մակարդակը. Հետևաբար, կրիտիկական շրջանը տրվում է անհավասարությամբ իսկ վարկածի ընդունման տարածքն է .

Այսպիսով, զրոյական վարկածը ստուգելու համար Ն 0: բնակչությունը սովորաբար բաշխված է - դուք պետք է հաշվարկեք չափանիշի դիտարկված արժեքը նմուշից.

, (7`)

և օգտագործելով χ 2 բաշխման կրիտիկական կետերի աղյուսակը, գտե՛ք կրիտիկական կետը՝ օգտագործելով α և հայտնի արժեքները k = s – 3. Եթե - զրոյական վարկածն ընդունվում է, եթե այն մերժվում է։

Օրինակ։Ապրանքի նկատմամբ պահանջարկի ուսումնասիրության արդյունքները ներկայացված են աղյուսակում.

Առաջ քաշեք վարկած բաշխման տեսակի մասին և փորձարկեք այն a=0.01 նշանակության մակարդակում:

I. Առաջարկել վարկած.

Էմպիրիկ բաշխման տեսակը նշելու համար մենք կկառուցենք հիստոգրամա

120 160 180 200 220 280

Ելնելով հիստոգրամի տեսքից՝ կարելի է ենթադրություն անել ընդհանուր բնակչության մեջ ուսումնասիրվող հատկանիշի նորմալ բաշխման մասին։

II. Եկեք ստուգենք նորմալ բաշխման վարկածը, օգտագործելով Pearson-ի լավ համապատասխանության թեստը:

1. Հաշվի՛ր , s B. Որպես տարբերակ վերցրե՛ք միջակայքերի ծայրերի միջին թվաբանականը.

2. Գտե՛ք միջակայքերը (Z i ; Z i+1): ; .

Եկեք վերցնենք (-¥) որպես առաջին միջակայքի ձախ վերջ, և (+¥) որպես վերջին ինտերվալի աջ վերջ: Արդյունքները ներկայացված են աղյուսակում: 4.

3. Գտնենք Р i տեսական հավանականությունները և տեսական հաճախականությունները (տե՛ս Աղյուսակ 4):

Աղյուսակ 4

ես	Ինտերվալի սահմանը	Ф(Zi)	Ф(Z i+1)	P i = Ф(Z i+1)-Ф(Z i)
	x i	x i+1	Զ ի	Z i+1
			-¥	-1,14	-0,5	-0,3729	0,1271	6,36
			-1,14	-0,52	-0,3729	-0,1985	0,1744	8,72
			-0,52	0,11	-0,1985	0,0438	0,2423	12,12
			0,11	0,73	0,0438	0,2673	0,2235	11,18
			0,73	+¥	0,2673	0,5	0,2327	11,64

4. Համեմատենք էմպիրիկ և տեսական հաճախականությունները։ Սրա համար:

ա) հաշվարկել Պիրսոնի չափանիշի դիտարկված արժեքը.

Հաշվարկները ներկայացված են Աղյուսակ 5-ում:

Աղյուսակ 5

ես
		6,36	-1,36	1,8496	0,291
		8,72	1,28	1,6384	0,188
		12,12	1,88	3,5344	0,292
		11,18	0,82	0,6724	0,060
		11,64	-2,64	6,9696	0,599
Ս

բ) օգտագործելով c 2 բաշխման կրիտիկական կետերի աղյուսակը տվյալ նշանակության մակարդակում a=0.01 և ազատության աստիճանների քանակը k=m–3=5–3=2՝ գտնում ենք կրիտիկական կետը. մենք ունենք .

Համեմատեք գ. . Հետևաբար, ընդհանուր բնակչության ուսումնասիրված բնութագրիչի նորմալ բաշխման օրենքի մասին վարկածը մերժելու պատճառ չկա: Նրանք. էմպիրիկ և տեսական հաճախականությունների միջև անհամապատասխանությունը աննշան է (պատահական): ◄

Մեկնաբանություն.Փոքր էմպիրիկ հաճախականություններ պարունակող միջակայքերը (n i<5), следует объединить, а частоты этих интервалов сложить. Если производилось объединение интервалов, то при определении числа степеней свободы по формуле K=m-3 следует в качестве m принять число оставшихся после объединения интервалов.

2. Միատեսակ բաշխման վարկածի փորձարկում. Պիրսոնի թեստն օգտագործելիս այն վարկածը ստուգելու համար, որ բնակչությունը հավասարաչափ բաշխված է հավանականության գնահատված խտությամբ

Անհրաժեշտ է, հաշվարկելով արժեքը առկա նմուշից, գնահատել պարամետրերը ԱԵվ բըստ բանաձևերի.

Որտեղ Ա*Եվ բ*- գնահատականներ ԱԵվ բ. Իրոք, միասնական բաշխման համար Մ(X) = , , որտեղ դուք կարող եք ձեռք բերել որոշելու համակարգ Ա*Եվ բ*: , որի լուծումը արտահայտություններն են (9).

Հետո, ենթադրելով, որ , բանաձևերով կարող եք գտնել տեսական հաճախականությունները

Այստեղ ս– ընդմիջումների քանակը, որոնց բաժանվում է նմուշը.

Պիրսոնի չափանիշի դիտարկվող արժեքը հաշվարկվում է բանաձևով (7`), իսկ կրիտիկական արժեքը՝ աղյուսակի միջոցով՝ հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ ազատության աստիճանների քանակը. k = s – 3. Սրանից հետո կրիտիկական շրջանի սահմանները որոշվում են այնպես, ինչպես նորմալ բաշխման վարկածը ստուգելիս։

3. Էքսպոնենցիալ բաշխման մասին վարկածի փորձարկում.Այս դեպքում, գոյություն ունեցող նմուշը բաժանելով հավասար երկարության միջակայքերի, մենք դիտարկում ենք տարբերակների հաջորդականությունը՝ միմյանցից հավասար հեռավորության վրա (ենթադրում ենք, որ բոլոր տարբերակները, որոնք ընկնում են. ես- րդ ինտերվալը, վերցրեք մի արժեք, որը համընկնում է դրա միջինին) և դրանց համապատասխան հաճախականությունները n i(նմուշի ընտրանքների քանակը ներառված է ես--րդ միջակայքը): Եկեք հաշվարկենք այս տվյալներից և վերցնենք որպես պարամետրի գնահատում λ չափը։ Այնուհետև տեսական հաճախականությունները հաշվարկվում են բանաձևով

Այնուհետև համեմատվում են Պիրսոնի չափանիշի դիտարկված և կրիտիկական արժեքը՝ հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ ազատության աստիճանների քանակը. k = s – 2.

Օրինակ. Նմուշի համար, որի ինտերվալային վիճակագրական շարքը ունի ձև

ստուգել նշանակության մակարդակով α = 0,05 վարկած o.

Գործնականում, բացի χ 2 չափանիշից, հաճախ օգտագործվում է Կոլմոգորովի չափանիշը, որում էմպիրիկ բաշխման ֆունկցիայի և համապատասխան տեսական բաշխման ֆունկցիայի տարբերության առավելագույն բացարձակ արժեքը դիտվում է որպես տեսական և տեսական անհամապատասխանության չափանիշ։ էմպիրիկ բաշխումներ

կոչվում է Կոլմոգորովի թեստի վիճակագրություն:

Սահմանելով α նշանակության մակարդակը, կարող եք գտնել համապատասխան կրիտիկական արժեքը

Աղյուսակը ցույց է տալիս Կոլմոգորովի չափանիշի կրիտիկական արժեքները որոշ α-ի համար:

Աղյուսակ 4.2.

Կոլմոգորովի չափանիշի կիրառման սխեմա

1. Կառուցվում է էմպիրիկ բաշխման ֆունկցիա և գնահատված տեսական բաշխման ֆունկցիա F(x).

2. Որոշվում է Կոլմոգորովի D վիճակագրությունը - հաշվարկվում է տեսական և էմպիրիկ բաշխման և արժեքի անհամապատասխանության չափը

3. Եթե λ հաշվարկված արժեքը մեծ է կրիտիկական արժեքից, ապա H 0 զրոյական վարկածը, որ X պատահական փոփոխականն ունի տրված բաշխման օրենք, մերժվում է:

Եթե ​​, ապա նրանք կարծում են, որ H 0 վարկածը չի հակասում փորձարարական տվյալներին։

Օրինակ։Օգտագործելով Կոլմոգորովի թեստը α = 0,05 նշանակության մակարդակի վրա, ստուգեք H 0 վարկածը, որ պատահական փոփոխական X-ը` ձեռնարկության աշխատողների արտադրանքը, ունի նորմալ բաշխման օրենք:

Լուծում. 1. Կառուցենք էմպիրիկ և տեսական բաշխման ֆունկցիաներ։

Էմպիրիկ բաշխման ֆունկցիան կառուցված է հարաբերական կուտակված հաճախականություններից:

Տեսական բաշխման ֆունկցիան կկառուցենք ըստ բանաձևի

Որտեղ

Եկեք ամփոփենք հաշվարկի արդյունքները աղյուսակում.

Աղյուսակ 4.3.

Հարց 3

λ - Կոլմոգորով-Սմիրնով չափանիշ

Չափանիշի նպատակը

Չափանիշ λ Նախատեսված է համեմատել երկու բաշխումներ.

Ա) էմպիրիկ՝ տեսականով, օրինակ, համազգեստ կամ նորմալ;

ոսկոր էմպիրիկբաշխում մյուսի հետ էմպիրիկբաշխում։

Չափանիշը թույլ է տալիս գտնել այն կետը, որտեղ երկու բաշխումների միջև կուտակված անհամապատասխանությունների գումարը ամենամեծն է, և գնահատել այդ անհամապատասխանության հուսալիությունը:

Չափանիշի նկարագրությունը

Եթե ​​χ 2 մեթոդով յուրաքանչյուր թվանշանի համար առանձին ենք համեմատում երկու բաշխման հաճախականությունները, ապա այստեղ նախ համեմատում ենք առաջին թվի հաճախականությունները, ապա առաջին և երկրորդ թվանշանների գումարի, ապա առաջինի, երկրորդի գումարի համար։ և երրորդ թվեր և այլն: Այսպիսով, մենք ամեն անգամ համեմատում ենք տվյալ կատեգորիայի համար կուտակված հաճախականությունները:

Եթե ​​երկու բաշխումների միջև տարբերությունները նշանակալի են, ապա ինչ-որ պահի կուտակված հաճախականությունների տարբերությունը կհասնի կրիտիկական արժեքի, և մենք կկարողանանք տարբերությունները ճանաչել որպես վիճակագրորեն նշանակալի: Չափանիշի բանաձևի մեջ λ այս տարբերությունը ներառված է: Որքան մեծ է էմպիրիկ արժեքը λ , այնքան ավելի էական են տարբերությունները։

Վարկածներ -

H 0: Երկու բաշխումների միջև տարբերությունները էական չեն (դատելով դրանց միջև առավելագույն կուտակված անհամապատասխանության կետից):

H 1: Երկու բաշխումների միջև տարբերությունները նշանակալի են (դատելով դրանց միջև առավելագույն կուտակված անհամապատասխանության կետից):

Չափանիշի գրաֆիկական ներկայացում

Պատկերազարդման համար հաշվի առեք դեղին (թիվ 4) գույնի բաշխումը 8 գույնի M. Luscher թեստում: Եթե ​​առարկաները պատահականորեն ընտրեն գույները, ապա դեղինը, ինչպես բոլոր մյուսները, կարող է հավասարապես զբաղեցնել ընտրության 8 դիրքերից որևէ մեկը: Գործնականում, սակայն, առարկաների մեծամասնությունը այս գույնը՝ «ակնկալիքի և հույսի գույնը» դնում է շարքի առաջին դիրքերից մեկում:

Նկ. 4.9 սյունակները ցույց են տալիս 8 դեղին հարվածի հարաբերական հաճախականությունը նախ 1-ին դիրքում (առաջին ձախ սյունակում), ապա 1-ին և 2-րդ դիրքերում (երկրորդ սյունակ), ապա 1-ին, 2-րդ և 3-րդ դիրքերում և այլն: Մենք տեսնում ենք, որ բարձրությունը ձողերը անընդհատ աճում են, քանի որ դրանք արտացոլում են տվյալ դիրքում կուտակված հարաբերական հաճախականությունները: Օրինակ, 3-րդ դիրքում գտնվող ձողը ունի 0,51 բարձրություն: Սա նշանակում է, որ առաջին երեք հորիզոնականներում դեղինը տեղավորվում է առարկաների 51%-ի կողմից։

8 Հարաբերական հաճախականությունը կամ պատահականությունը հաճախականությունն է, որը բաժանվում է դիտարկումների ընդհանուր թվի վրա. այս դեպքում սա դեղին գույնի տվյալ դիրքին հարվածելու հաճախականությունն է՝ կապված առարկաների քանակի հետ: Օրինակ՝ 1-ին դիրքին դեղին հարվածելու հաճախականությունը ƒ=24 է; առարկաների թիվը n=102; հարաբերական հաճախականություն ƒ*=ƒ/n=О.235.

Կտրված գիծը Նկ. Նկար 4.9-ը միացնում է կուտակված հաճախականություններն արտացոլող կետերը, որոնք կդիտվեն, եթե դեղին գույնը հավասար հավանականությամբ ընկներ 8 դիրքերից յուրաքանչյուրի վրա: Հաստ գծերը ցույց են տալիս էմպիրիկ և տեսական հարաբերական հաճախությունների միջև եղած անհամապատասխանությունները: Այս անհամապատասխանությունները կոչվում են դ.

Նկար 4.9. Համեմատություններ λ չափանիշով. սլաքները ցույց են տալիս անհամապատասխանությունները հարաբերական հաճախությունների էմպիրիկ և տեսական կուտակումների միջև յուրաքանչյուր կատեգորիայի համար

Առավելագույն անհամապատասխանությունը Նկ. 4.9-ը նշանակված է որպես դ մաքսՀենց այս երրորդ գույնի դիրքն է շրջադարձային կետը, որը որոշում է, թե արդյոք տվյալ էմպիրիկ բաշխումը հուսալիորեն տարբերվում է միատեսակից: Մենք դա կստուգենք՝ նայելով Օրինակ 1-ին:

Չափանիշի սահմանափակումներըλ

1. Չափանիշները պահանջում են, որ նմուշը բավականաչափ մեծ լինի: Երկու էմպիրիկ բաշխումներ համեմատելիս անհրաժեշտ է, որ n 1.2 > 50. Էմպիրիկ բաշխման համեմատությունը տեսականի հետ երբեմն թույլատրվում է n > 5 (Van der Waerden B.L., 1960; Gubler E.V., 1978):

2. Կատեգորիաները պետք է դասավորված լինեն ցանկացած հատկանիշի աճման կամ նվազման կարգով: Նրանք պետք է անպայման արտացոլեն ինչ-որ միակողմանի փոփոխություն: Օրինակ, մենք կարող ենք դուրս գրել շաբաթվա օրերը, թերապիայի կուրսն ավարտելուց հետո 1-ին, 2-րդ, 3-րդ ամիսները, մարմնի ջերմաստիճանի բարձրացում, անբավարարության զգացում և այլն: Միևնույն ժամանակ, եթե վերցնենք. լիցքաթափումները, որոնք պատահաբար պարզվեց, որ շարված են տվյալ հաջորդականությամբ, ապա հաճախականությունների կուտակումը կարտացոլի լիցքաթափումների պատահական մոտիկության միայն այս տարրը: Օրինակ, եթե Հեքհաուզենի մեթոդով վեց գրգռիչ նկարներ ներկայացվում են տարբեր սուբյեկտների տարբեր հերթականությամբ, մենք չենք կարող խոսել ռեակցիաների կուտակման մասին՝ ստանդարտ հավաքածուի թիվ 1 նկարից թիվ 2 նկարին անցնելու ժամանակ և այլն։ խոսել նշանի միակողմանի փոփոխության մասին «ծննդյան կարգ», «ազգություն», «ստացված կրթության առանձնահատկություններ» և այլն համեմատական ​​կատեգորիաների ժամանակ: Այս տվյալները ներկայացնում են անվանական սանդղակներ. դրանք հատկանիշի ոչ միանշանակ միակողմանի փոփոխություն չեն պարունակում:

Այսպիսով, մենք չենք կարող հաճախականություններ կուտակել կատեգորիաներում, որոնք տարբերվում են միայն որակապես և չեն ներկայացնում կարգի սանդղակ: Բոլոր դեպքերում, երբ շարքերը դասավորված չեն որևէ հատկանիշի աճման կամ նվազման կարգով, մենք պետք է օգտագործենք χ 2 մեթոդը: .

Օրինակ 1:Էմպիրիկ բաշխվածության համեմատությունը տեսականի հետ

Առողջ տղամարդկանց, տեխնիկական և ռազմատեխնիկական բուհերի ուսանողների 19-ից 22 տարեկան, միջին տարիքը՝ 20 տարեկան, Լուշերի թեստը կատարվել է 8 գույնի տարբերակով։ Պարզվել է, որ դեղին գույնն ավելի հաճախ է նախընտրում առարկաները, քան մերժվածները (Աղյուսակ 4.16): Կարելի՞ է ասել, որ առողջ առարկաների մոտ դեղին գույնի բաշխումը 8 դիրքի վրա տարբերվում է միատեսակ բաշխումից:

Աղյուսակ 4.16

Դեղին գույնի էմպիրիկ հաճախականություններ 8 դիրքերից յուրաքանչյուրի համար (n=102)

	Դեղին դիրքեր
Էմպիրիկ հաճախականություններ

Ձևակերպենք վարկածներ.

H 0. Դեղինի էմպիրիկ բաշխումը ութ դիրքերում չի տարբերվում միատեսակ բաշխումից:

H 1. Դեղինի էմպիրիկ բաշխումը ութ դիրքերում տարբերվում է միասնական բաշխումից:

Այժմ սկսենք հաշվարկները՝ աստիճանաբար արդյունքներով լրացնելով λ չափանիշի հաշվարկման աղյուսակը. . Ավելի լավ է հետևել բոլոր գործողություններին՝ օգտագործելով Աղյուսակը: 4.17, ապա դրանք ավելի հասկանալի կլինեն։

Աղյուսակում մուտքագրենք արտանետումների անվանումները (թվերը) և համապատասխան էմպիրիկ հաճախականությունները (Աղյուսակ 4.17-ի առաջին սյունակ):

Այնուհետև մենք հաշվարկում ենք էմպիրիկ հաճախականությունները ƒ* բանաձևով.

ƒ* ժ= ƒ*/ n

Որտեղ զ ժ - տվյալ դիրքի վրա դեղին գույնի հաճախականությունը. n - դիտարկումների ընդհանուր թիվը;

ժ - պաշտոնի համարը ըստ հերթականության:

Արդյունքները գրենք երկրորդ սյունակում (տե՛ս Աղյուսակ 4.17):

Այժմ մենք պետք է հաշվենք կուտակված էմպիրիկ հաճախականությունները ∑ƒ*. Դա անելու համար մենք կամփոփենք էմպիրիկ հաճախականությունները ƒ*: Օրինակ, 1-ին կարգի համար կուտակված էմպիրիկ հաճախականությունը հավասար կլինի 1-ին կարգի էմպիրիկ հաճախականությանը, Eƒ* 1 =0,235 9:

2-րդ կարգի համար կուտակված էմպիրիկ հաճախականությունը կլինի 1-ին և 2-րդ կարգերի էմպիրիկ հաճախականությունների գումարը.

Eƒ* 1+2 =O.235+0.147=0.382

3-րդ կարգի համար կուտակված էմպիրիկ հաճախականությունը կլինի 1-ին, 2-րդ և 3-րդ կարգերի էմպիրիկ հաճախությունների գումարը.

Eƒ* 1+2+3 =0,235+0,147+0,128=0,510

Մենք տեսնում ենք, որ խնդիրը կարող ենք պարզեցնել՝ գումարելով նախորդ թվի կուտակված էմպիրիկ հաճախականությունը այս թվանշանի էմպիրիկ հաճախականության հետ, օրինակ՝ 4-րդ նիշի համար.

Eƒ* 1+2+3+4 =0.510+0.078=O.588

Այս աշխատանքի արդյունքները գրենք երրորդ սյունակում։

Այժմ մենք պետք է համեմատենք կուտակված էմպիրիկ հաճախականությունները կուտակված տեսական հաճախականությունների հետ։ 1-ին կարգի համար տեսական հաճախականությունը որոշվում է բանաձևով.

զ* տեսություն = 1/կ

9 Բոլոր բանաձևերը տրված են դիսկրետ բնութագրերի համար, որոնք կարող են արտահայտվել ամբողջ թվերով, օրինակ՝ հերթական համարը, առարկաների քանակը, խմբի քանակական կազմը և այլն։

Որտեղ կ - թվանշանների քանակը (այս դեպքում՝ գունային դիրքերը):

Հարցի օրինակի համար.

զ * տեսություն =1/8=0,125

Այս տեսական հաճախականությունը վերաբերում է բոլոր 8 բիթերին: Իրոք, դեղին (կամ որևէ այլ) գույնի պատահական ընտրության 8 դիրքերից յուրաքանչյուրի մեջ ընկնելու հավանականությունը 1/8 է, այսինքն. 0,125.

Յուրաքանչյուր թվանշանի համար կուտակված տեսական հաճախականությունները որոշվում են գումարման միջոցով:

1-ին կարգի համար կուտակված տեսական հաճախականությունը հավասար է դասակարգին հարվածելու տեսական հաճախականությանը.

զ * t1 =0,125

2-րդ կարգի համար կուտակված տեսական հաճախականությունը 1-ին և 2-րդ կարգերի տեսական հաճախությունների հանրագումարն է.

զ * t1 + 2 =0,125+0,125=0,250

3-րդ կարգի համար կուտակված տեսական հաճախականությունը նախորդ կատեգորիայում կուտակված տեսական հաճախականության գումարն է այս կատեգորիայի տեսական հաճախականությամբ.

զ * t1 + 2 + 3 =0,250+0,125=0,375

Տեսական կուտակված հաճախականությունները կարելի է որոշել նաև բազմապատկելով.

Ս զ * Տ ժ = զ *տեսություն* ժ

Որտեղ զ * տեսություն - տեսական հաճախականություն;

j թվանշանի սերիական համարն է:

Հաշվարկված կուտակված տեսական հաճախականությունները մուտքագրենք աղյուսակի չորրորդ սյունակ (Աղյուսակ 4.17):

Այժմ մենք պարզապես պետք է հաշվարկենք էմպիրիկ և տեսական կուտակված հաճախականությունների տարբերությունները (սյունակներ 3 և 4): Հինգերորդ սյունակը պարունակում է այս տարբերությունների բացարձակ արժեքները, որոնք նշվում են որպես դ.

Եկեք 5-րդ սյունակից որոշենք, թե տարբերության բացարձակ արժեքներից որն է ամենամեծը: Այն կկոչվի d max: Այս դեպքում d max =0.135:

Այժմ մենք պետք է դիմենք Աղյուսակին: X Հավելված 1 կրիտիկական արժեքների որոշման համար դ մաքս n=102-ով։

Աղյուսակ 4.17

Չափանիշի հաշվարկը դեղին ընտրանքների բաշխումը միատեսակ բաշխման հետ համեմատելիս (n=102)

Դեղին դիրք	Էմպիրիկ հաճախականություն	Էմպիրիկ հաճախականություն	Կուտակային էմպիրիկ հաճախականություն	Կուտակային տեսական հաճախականություն	Տարբերություն

Այս դեպքում, հետևաբար,

Ակնհայտ է, որ որքան շատ են բաշխումները տարբերվում, այնքան մեծ են կուտակված հաճախականությունների տարբերությունները: Հետևաբար, մեզ համար դժվար չի լինի նշանակալի և աննշան գոտիներ բաշխել համապատասխան առանցքի երկայնքով.

d em - d kr

Պատասխան.Բայց այն մերժվում է p=0.05-ում։ Դեղին գույնի բաշխումը ութ դիրքերի վրա տարբերվում է միասնական բաշխումից: Ներկայացնենք ալգորիթմի տեսքով կատարված բոլոր գործողությունները

ԱԼԳՈՐԻԹՄ 14

Տարբերության բացարձակ արժեքի հաշվարկդ էմպիրիկ և միատեսակ բաշխումների միջև

1. Ներս բերեք Վկատեգորիաների անվանումների և համապատասխան էմպիրիկ հաճախականությունների աղյուսակ (առաջին սյունակ):

ƒ* em = ƒ em /n

Որտեղ ƒ em- տվյալ կատեգորիայի էմպիրիկ հաճախականությունը.

Պ- դիտարկումների ընդհանուր թիվը.

Մուտքագրեք արդյունքները երկրորդ սյունակում:

∑ զ* ժ=∑ զ* ժ -1 + զ* ժ

Որտեղ ∑ զ* ժ -1

j - թվանշանի սերիական համարը.

f* j: - տրված j-ro արտանետման էմպիրիկ հաճախականություն:

Արդյունքները մուտքագրեք աղյուսակի երրորդ սյունակում:

∑ զ*Տժ=∑ զ*Տժ -1 + զ*Տժ

Որտեղ =∑ զ*Տժ -1 - նախորդ ելքերում կուտակված տեսական հաճախականությունը.

j - թվանշանի սերիական համարը.

ƒ* t j՝ - տվյալ արտանետման տեսական հաճախականությունը. Արդյունքները մուտքագրեք աղյուսակի երրորդ սյունակում:

5. Հաշվեք էմպիրիկ և տեսական կուտակված հաճախականությունների տարբերությունները յուրաքանչյուր թվի համար (3-րդ և 4-րդ սյունակների արժեքների միջև):

6. Հինգերորդ սյունակում գրի՛ր ստացված տարբերությունների բացարձակ արժեքները՝ առանց դրանց նշանի։ Նշեք դրանք որպես դ.

7. Որոշեք հինգերորդ սյունակից տարբերության ամենամեծ բացարձակ արժեքը. դ մաքս .

8. Աղյուսակի համաձայն. X Հավելված 1-ը որոշում կամ հաշվարկում է կրիտիկական արժեքները դ մաքսորոշակի թվով դիտարկումների համար n.

Եթե դ մաքս հավասար է կրիտիկական արժեքին դ կամ գերազանցում է այն, բաշխումների տարբերությունները զգալի են:

Օրինակ 2. երկուսի համընկնումէմպիրիկ բաշխումներ

Հետաքրքիր է համեմատել նախորդ օրինակում ստացված տվյալները X. Klar-ի 800 սուբյեկտների հարցման տվյալների հետ (Klar H., 1974, p. 67): X. Clar-ը ցույց տվեց, որ դեղինը միակ գույնն է, որի բաշխումը 8 դիրքերի վրա չի տարբերվում համազգեստից: Համեմատության համար նրանք օգտագործել են χ 2 մեթոդը . Նրա ստացած էմպիրիկ հաճախականությունները ներկայացված են Աղյուսակում: 4.18.

Աղյուսակ 4.18

Դեղին գույնի էմպիրիկ հաճախականություններ X. Klar-ի կողմից ուսումնասիրված 8 դիրքերից յուրաքանչյուրի համար (հետո՝ Klar H., 1974) (n=800)

Դեղին դիրքի թվանշաններ
Էմպիրիկ հաճախականություններ

Ձևակերպենք վարկածներ.

H 0. Դեղին գույնի էմպիրիկ բաշխումները ներքին նմուշի և X. Clara նմուշի 8 դիրքերում չեն տարբերվում:

H 1. Դեղինի էմպիրիկ բաշխումները ներքին և X. Clara նմուշի 8 տարրերի միջև տարբեր են միմյանցից:

Քանի որ այս դեպքում մենք կհամեմատենք կուտակված էմպիրիկ հաճախականությունները յուրաքանչյուր թվի համար, մեզ չեն հետաքրքրում տեսական հաճախականությունները:

Բոլոր հաշվարկները կիրականացվեն աղյուսակում՝ օգտագործելով 15 ալգորիթմը:

ԱԼԳՈՐԻԹՄ 15

Չափանիշի հաշվարկ λերկու էմպիրիկ բաշխումները համեմատելիս

1. Աղյուսակում մուտքագրեք 1-ին (առաջին սյունակ) և բաշխման 2-ում (երկրորդ սյունակ) ստացված կատեգորիաների անվանումները և համապատասխան էմպիրիկ հաճախականությունները:

ƒ* e =ƒ e /n 1

Որտեղ ƒ հ

n 1 [ - նմուշի դիտարկումների քանակը:

Մուտքագրեք բաշխման էմպիրիկ հաճախականությունները 1 երրորդ սյունակում:

ƒ* e =ƒ e /n 2

Որտեղ ƒ հ- տվյալ կատեգորիայի էմպիրիկ հաճախականությունը.

n 2 - 2-րդ նմուշի դիտարկումների քանակը.

Աղյուսակի չորրորդ սյունակում մուտքագրեք 2-ի բաշխման էմպիրիկ հաճախականությունները:

∑ƒ* ժ =∑ƒ* ժ -1 +ƒ* ժ

Որտեղ ∑ƒ* ժ -1 - նախորդ ելքերում կուտակված հաճախականությունը.

ժ - կատեգորիայի սերիական համարը;

ƒ* ժ -1 - այս արտանետման հաճախականությունը.

Ստացված արդյունքները գրի՛ր հինգերորդ սյունակում։

7. Որոշի՛ր յոթերորդ սյունակից տարբերության ամենամեծ բացարձակ արժեքը

որտեղ n 1 - առաջին նմուշի դիտարկումների քանակը.

n 2 - երկրորդ նմուշի դիտարկումների քանակը:

9. Համաձայն Աղյուսակի. XI Հավելված 1 որոշեք, թե վիճակագրական նշանակության որ մակարդակին է համապատասխանում λ-ի ստացված արժեքը. .

Եթե ​​λ em > 1.36, բաշխումների միջև տարբերությունները նշանակալի են:

Նմուշների հաջորդականությունը կարող է ընտրվել կամայականորեն, քանի որ դրանց միջև եղած անհամապատասխանությունները գնահատվում են տարբերությունների բացարձակ արժեքով: Մեր դեպքում առաջինը կհամարենք ներքին նմուշը, երկրորդը՝ Կլարային։

Աղյուսակ 4.19

Չափանիշի հաշվարկը էմպիրիկ բաշխումները համեմատելիս

դեղին ներքին ընտրանքում (n1=102)

և Կլարայի նմուշ (n2 =: 800)

Դեղին դիրք	Էմպիրիկ հաճախականություններ		Էմպիրիկ հաճախականություններ		Էմպիրիկ մանրամասներ են կուտակվել		Տարբերություն ∑ƒ* 1 -∑ƒ* 2
					∑ƒ* 1	∑ƒ* 2

Կուտակված էմպիրիկ հաճախականությունների միջև առավելագույն տարբերությունը 0,118 է և ընկնում է երկրորդ նիշին:

Համաձայն 15 ալգորիթմի 8-րդ կետի, մենք հաշվարկում ենք λ-ի արժեքը :

Աղյուսակի համաձայն. XI Հավելված 1 սահմանում է վիճակագրական մակարդակը
ստացված արժեքի նշանակությունը՝ p=0.16:

Պարզության համար կառուցենք կարևորության առանցք:

Առանցքը ցույց է տալիս λ-ի կրիտիկական արժեքները, որոնք համապատասխանում են ընդունված նշանակության մակարդակներին՝ λ 0,05 = 1,36, λ 0,01 = 1,63:

Նշանակության գոտին ձգվում է դեպի աջ՝ 1,63-ից սկսած, իսկ աննշանության գոտին՝ դեպի ձախ՝ 1,36-ից մինչև ավելի ցածր արժեքներ։

λ em< λ кр

Պատասխան.Բայց դա ընդունված է։ Դեղին գույնի էմպիրիկ բաշխումները 8 դիրքերում ներքին և X. Clara նմուշում նույնն են: Այսպիսով, դեղին գույնի բաշխումները երկու նմուշներում չեն տարբերվում, բայց միևնույն ժամանակ դրանք տարբեր կերպ են փոխկապակցված միատեսակ բաշխման հետ. Klar-ում տարբերություններ չեն հայտնաբերվել միատեսակ բաշխումից, սակայն 8-րդ ներքին նմուշում տարբերություններ են հայտնաբերվել. (էջ<0,05). Возможно, картину могло бы прояснить применение другого метода?

Է.Վ. Գուբլերը (1978) առաջարկել է համատեղել λ չափանիշի օգտագործումը φ* չափանիշի հետ (Ֆիշերի անկյունային փոխակերպում)։

λ և φ* մեթոդների համադրման այս հնարավորությունների մասին կխոսենք հաջորդ դասախոսության ժամանակ։

.5. Բաշխումները համեմատելու չափանիշ ընտրելու ալգորիթմ