Ինքնության մատրիցայի աստիճանը հավասար է: Հաշվարկել մատրիցայի աստիճանը տարրական փոխակերպումների միջոցով

r թիվը կոչվում է A մատրիցայի աստիճան, եթե.
1) A մատրիցը պարունակում է r կարգի ոչ զրոյական մինոր;
2) կարգի բոլոր փոքրերը (r + 1) և ավելի բարձր, եթե դրանք կան, հավասար են զրոյի:
Հակառակ դեպքում, մատրիցայի աստիճանը ոչ զրոյական անչափահասի ամենաբարձր կարգն է:
Նշումներ՝ rangA, r A կամ r:
Սահմանումից բխում է, որ r-ն ամբողջ թիվ է դրական թիվ. Զուր մատրիցայի համար վարկանիշը համարվում է զրո:

Ծառայության հանձնարարություն. Առցանց հաշվիչը նախատեսված է գտնելու համար մատրիցային աստիճան. Լուծումը պահվում է Word և Excel ձևաչափերով: տես լուծման օրինակ:

Հրահանգ. Ընտրեք մատրիցայի չափը, սեղմեք Հաջորդը:

Սահմանում. Թող տրվի r աստիճանի մատրիցա։ Ցանկացած փոքր մատրիցա, բացի զրոյից և r կարգի, կոչվում է հիմնական, իսկ դրա բաղադրիչների տողերն ու սյունակները՝ հիմնական տողեր և սյունակներ։
Համաձայն այս սահմանման՝ A մատրիցը կարող է ունենալ մի քանի հիմնական մինորներ։

Նույնականության E մատրիցայի աստիճանը n է (տողերի թիվը):

Օրինակ 1. Հաշվի առնելով երկու մատրիցա, և նրանց անչափահասները , . Դրանցից ո՞րը կարելի է հիմք ընդունել։
Լուծում. Փոքր M 1 =0, ուստի այն չի կարող հիմք հանդիսանալ մատրիցներից որևէ մեկի համար: Փոքր M 2 =-9≠0 և ունի 2 կարգ, ուստի այն կարող է ընդունվել որպես A-ի կամ/և B-ի հիմքային մատրիցաներ, պայմանով, որ դրանք ունեն 2-ի հավասար դասակարգումներ: Քանի որ detB=0 (որպես երկու համամասնական սյունակներով որոշիչ), ապա rangB=2 և M 2-ը կարող են ընդունվել որպես B մատրիցի հիմնական մինոր: A մատրիցի աստիճանը 3 է, քանի որ detA=-27≠ 0-ը և, հետևաբար, այս մատրիցի հիմնական մինոր կարգը պետք է լինի 3, այսինքն՝ M 2-ը հիմք չէ A մատրիցի համար: Նկատի ունեցեք, որ A մատրիցն ունի եզակի հիմք, որը հավասար է A մատրիցի որոշիչին:

Թեորեմ (հիմնական մինորի վրա). Մատրիցայի ցանկացած տող (սյունակ) նրա հիմնական տողերի (սյունակների) գծային համակցությունն է:
Հետևանքները թեորեմից.

1. R աստիճանի մատրիցի ցանկացած (r+1) սյունակ (տող) գծային կախված է:
2. Եթե ​​մատրիցայի աստիճանը փոքր է նրա տողերի (սյուների) թվից, ապա նրա տողերը (սյունակները) գծային կախված են: Եթե ​​rangA-ն հավասար է նրա տողերի (սյուների) թվին, ապա տողերը (սյունակները) գծային անկախ են։
3. A մատրիցի որոշիչը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ նրա տողերը (սյունակները) գծային կախված են:
4. Եթե ​​մատրիցայի տողին (սյունակին) ավելացվի մեկ այլ տող (սյունակ), որը բազմապատկված է զրոյից տարբեր թվով, ապա մատրիցայի աստիճանը չի փոխվի:
5. Եթե ​​մատրիցում խաչեք մի տող (սյունակ), որը այլ տողերի (սյունակներ) գծային համակցություն է, ապա մատրիցայի աստիճանը չի փոխվի:
6. Մատրիցայի աստիճանը հավասար է նրա գծային անկախ տողերի (սյունակների) առավելագույն թվին:
7. Գծային անկախ տողերի առավելագույն քանակը նույնն է, ինչ գծային անկախ սյունակների առավելագույն քանակը:

Օրինակ 2. Գտեք մատրիցայի աստիճանը .
Լուծում. Ելնելով մատրիցայի աստիճանի սահմանումից՝ մենք կփնտրենք ամենաբարձր կարգի մինոր, որը տարբերվում է զրոյից: Նախ, մենք մատրիցը վերածում ենք ավելի պարզ ձևի: Դա անելու համար մատրիցայի առաջին շարքը բազմապատկեք (-2) և ավելացրեք երկրորդին, այնուհետև այն բազմապատկեք (-1) և ավելացրեք երրորդին:

Մատրիցային դասակարգումնրա ոչ զրոյական անչափահասների ամենամեծ կարգն է։ Մատրիցայի աստիճանը նշվում է կամ .

Եթե ​​տրված մատրիցայի կարգի բոլոր մինորները հավասար են զրոյի, ապա բոլոր փոքրերը մեծ են բարձր կարգիայս մատրիցը նույնպես հավասար են զրոյի: Սա բխում է որոշիչի սահմանումից: Սա ենթադրում է մատրիցայի աստիճանը գտնելու ալգորիթմ:

Եթե ​​բոլոր առաջին կարգի փոքրերը (մատրիցայի տարրերը) հավասար են զրոյի, ապա . Եթե ​​առաջին կարգի անչափահասներից գոնե մեկը տարբերվում է զրոյից, և բոլոր երկրորդ կարգի փոքրերը հավասար են զրոյի, ապա . Ընդ որում, բավական է նայել միայն երկրորդ կարգի այն անչափահասներին, որոնք սահմանակից են առաջին կարգի ոչ զրոյական մինորին։ Եթե ​​կա երկրորդ կարգի անչափահաս, բացի զրոյից, մեկը հետազոտում է երրորդ կարգի անչափահասները, որոնք շրջապատում են ոչ զրոյական երկրորդ կարգի անչափահասին: Սա շարունակվում է այնքան ժամանակ, մինչև հասնենք երկու դեպքերից մեկին. կա՛մ կարգի բոլոր անչափահասները, որոնք սահմանակից են -րդ կարգի ոչ զրոյական փոքրին, հավասար են զրոյի, կա՛մ այդպիսի անչափահասներ չկան: Հետո .

Օրինակ 10 Հաշվեք մատրիցայի աստիճանը:

Առաջին կարգի մինորը (տարրը) տարբերվում է զրոյից: Անչափահասը, որը շրջապատում է այն, նույնպես զրոյական չէ:

Այս բոլոր անչափահասները հավասար են զրոյի, ուստի .

Մատրիցայի աստիճանը գտնելու վերը նշված ալգորիթմը միշտ չէ, որ հարմար է, քանի որ այն կապված է հաշվարկի հետ մեծ թվովորոշիչները. Մատրիցայի աստիճանը հաշվարկելիս առավել հարմար է օգտագործել տարրական փոխակերպումներ, որոնց օգնությամբ մատրիցը իջեցվում է այնքան պարզ ձևի, որ ակնհայտ է, թե որն է դրա աստիճանը:

Տարրական մատրիցային փոխակերպումներկոչվում են հետևյալ փոխակերպումները.

Ø մատրիցի ցանկացած տողի (սյունակի) բազմապատկում ոչ զրոյական թվով.

Ø ավելացում մեկ այլ տողի (սյունակի) մեկ տողի (սյունակի) վրա, որը բազմապատկվում է կամայական թվով:

Կես Հորդանանմատրիցային տողերի փոխակերպում.

լուծող տարրով մատրիցային տողերով փոխակերպումների հետևյալ շարքը կոչվում է.

Ø առաջին տողին ավելացրեք u բազմապատկած թվով և այլն;

Ø վերջին տողին ավելացրեք u բազմապատկած թվով:

Մատրիցային սյուների կիսահորդանանի փոխակերպումլուծող տարրով կոչվում է մատրիցային սյունակներով փոխակերպումների հետևյալ շարքը.

Ø առաջին սյունակում ավելացրեք th-ը, բազմապատկված թվով և այլն;

Ø վերջին սյունակին ավելացրո՛ւ րդը՝ բազմապատկելով թվով։

Այս փոխակերպումները կատարելուց հետո ստացված մատրիցը հետևյալն է.

Քառակուսի մատրիցայի տողերի կամ սյունակների կիսահորդանանական փոխակերպումը չի փոխում դրա որոշիչը:

Մատրիցայի տարրական փոխակերպումները չեն փոխում նրա աստիճանը: Եկեք ցույց տանք մի օրինակ, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել մատրիցայի աստիճանը տարրական փոխակերպումների միջոցով: տողերը (սյունակները) գծային կախված են:

Թող տրվի որոշ մատրիցա.

.

Ընտրեք այս մատրիցով կամայական գծեր եւ կամայական սյունակներ
. Հետո որոշիչը Մատրիցային տարրերից կազմված կարգը
գտնվում է ընտրված տողերի և սյունակների հատման կետում, կոչվում է փոքր -րդ կարգի մատրիցա
.

Սահմանում 1.13.Մատրիցային դասակարգում
այս մատրիցայի ոչ զրոյական մինորի ամենամեծ կարգն է:

Մատրիցայի աստիճանը հաշվարկելու համար պետք է դիտարկել նրա ամենափոքր կարգի բոլոր փոքրերը և, եթե դրանցից գոնե մեկը զրոյական չէ, անցնել ամենաբարձր կարգի անչափահասների դիտարկմանը: Մատրիցայի աստիճանը որոշելու այս մոտեցումը կոչվում է սահմանային մեթոդ (կամ սահմանային անչափահասների մեթոդ):

Առաջադրանք 1.4.Անչափահասների եզրագծման մեթոդով որոշեք մատրիցայի աստիճանը
.

.

Դիտարկենք առաջին կարգի եզրագիծը, օրինակ.
. Այնուհետև մենք դիմում ենք երկրորդ կարգի որոշ սահմանների դիտարկմանը:

Օրինակ,
.

Վերջապես վերլուծենք երրորդ կարգի սահմանագիծը։

.

Այսպիսով, ոչ զրոյական փոքրի ամենաբարձր կարգը 2 է, հետևաբար
.

Խնդիր 1.4 լուծելիս կարելի է նկատել, որ երկրորդ կարգի սահմանակից փոքրերի շարքը զրո չեն։ Այս առումով տեղի է ունենում հետևյալ հասկացությունը.

Սահմանում 1.14.Մատրիցայի հիմնական մինորը ցանկացած ոչ զրոյական փոքր է, որի կարգը հավասար է մատրիցայի աստիճանին:

Թեորեմ 1.2.(Հիմնական փոքր թեորեմ): Հիմնական տողերը (հիմնական սյունակները) գծային անկախ են:

Նկատի ունեցեք, որ մատրիցայի տողերը (սյունակները) գծային կախված են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանցից գոնե մեկը կարող է ներկայացվել որպես մյուսների գծային համակցություն:

Թեորեմ 1.3.Գծային անկախ մատրիցային տողերի թիվը հավասար է գծային անկախ մատրիցային սյունակների թվին և հավասար է մատրիցայի աստիճանին:

Թեորեմ 1.4.(Անհրաժեշտ և բավարար պայման, որպեսզի որոշիչը հավասար լինի զրոյի): Որպեսզի որոշիչ -րդ կարգը հավասար է զրոյի, անհրաժեշտ է և բավարար, որ նրա տողերը (սյունակները) լինեն գծային կախված։

Մատրիցայի դասակարգումը դրա սահմանման հիման վրա հաշվարկելը չափազանց դժվար է: Սա հատկապես կարևոր է դառնում բարձր կարգի մատրիցների համար: Այս առումով, գործնականում, մատրիցայի աստիճանը հաշվարկվում է 10.2 - 10.4 թեորեմների կիրառման, ինչպես նաև մատրիցային համարժեքության և տարրական փոխակերպումների հասկացությունների կիրառման հիման վրա:

Սահմանում 1.15.Երկու մատրիցա
Եվ կոչվում են համարժեք, եթե նրանց շարքերը հավասար են, այսինքն.
.

Եթե ​​մատրիցներ
Եվ համարժեք են, ապա նշիր
 .

Թեորեմ 1.5.Մատրիցայի աստիճանը չի փոխվում տարրական փոխակերպումներից:

Մենք կանվանենք մատրիցայի տարրական փոխակերպումներ
մատրիցայի վրա հետևյալ գործողություններից որևէ մեկը.

Տողերի փոխարինում սյունակներով, իսկ սյունակները՝ համապատասխան տողերով;

Մատրիցային տողերի փոխարկում;

Գծի հատում, որի բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի.

Ցանկացած տողի բազմապատկում ոչ զրոյական թվով;

Մի շարքի տարրերին ավելացնելով մեկ այլ տողի համապատասխան էլեմենտները՝ բազմապատկված նույն թվով
.

Թեորեմ 1.5-ի եզրակացություն.Եթե ​​մատրիցը
ստացված մատրիցից օգտագործելով վերջավոր թվով տարրական փոխակերպումներ, այնուհետև մատրիցները
Եվ համարժեք են։

Մատրիցայի աստիճանը հաշվարկելիս այն պետք է վերածվի trapezoidal ձևի՝ օգտագործելով վերջավոր թվով տարրական փոխակերպումներ:

Սահմանում 1.16.Մենք կկոչենք տրապեզոիդ մատրիցայի ներկայացման այն ձևը, երբ զրոյից տարբերվող ամենամեծ կարգի սահմանային մինորում, անկյունագծերից ցածր բոլոր տարրերը անհետանում են: Օրինակ:

.

Այստեղ
, մատրիցային տարրեր
վերածվել զրոյի. Այնուհետև նման մատրիցայի ներկայացման ձևը կլինի trapezoidal:

Որպես կանոն, մատրիցները վերածվում են տրապեզոիդային՝ օգտագործելով Գաուսի ալգորիթմը։ Գաուսի ալգորիթմի գաղափարն այն է, որ մատրիցայի առաջին շարքի տարրերը համապատասխան գործոններով բազմապատկելով՝ նրանք հասնում են այն բանին, որ առաջին սյունակի բոլոր տարրերը գտնվում են տարրի տակ։
, կվերածվեր զրոյի։ Այնուհետև, երկրորդ սյունակի տարրերը բազմապատկելով համապատասխան բազմապատկիչներով, մենք հասնում ենք, որ երկրորդ սյունակի բոլոր տարրերը գտնվում են տարրի տակ.
, կվերածվեր զրոյի։ Հետագա շարունակեք նույն կերպ:

Առաջադրանք 1.5.Որոշեք մատրիցայի աստիճանը՝ այն դարձնելով տրապեզոիդային:

.

Գաուսի ալգորիթմի կիրառման հարմարության համար կարող եք փոխել առաջին և երրորդ տողերը:








.

Ակնհայտորեն այստեղ
. Այնուամենայնիվ, արդյունքն ավելի էլեգանտ ձևի բերելու համար կարելի է շարունակել սյուների հետագա վերափոխումները:










.

Մատրիցայի աստիճանի հայեցակարգի հետ աշխատելու համար մեզ անհրաժեշտ է տեղեկատվություն «Հանրահաշվային լրացումներ և փոքրեր. Փոքրիկների և հանրահաշվական լրացումների տեսակները» թեմայից: Առաջին հերթին դա վերաբերում է «մատրիցի փոքր» տերմինին, քանի որ մատրիցայի աստիճանը մենք կորոշենք հենց անչափահասների միջոցով։

Մատրիցային դասակարգումնշեք նրա անչափահասների առավելագույն կարգը, որոնց մեջ կա առնվազն մեկը, որը հավասար չէ զրոյի:

Համարժեք մատրիցներմատրիցներ են, որոնց շարքերը հավասար են միմյանց:

Բացատրենք ավելի մանրամասն։ Ենթադրենք, երկրորդ կարգի անչափահասների մեջ կա առնվազն մեկը, որը տարբերվում է զրոյից: Իսկ բոլոր անչափահասները, որոնց կարգը երկուսից բարձր է, հավասար են զրոյի։ Եզրակացություն․ Իսկ բոլոր անչափահասները, որոնց կարգը 10-ից բարձր է, հավասար են զրոյի։ Եզրակացություն. մատրիցայի աստիճանը 10 է:

$A$ մատրիցայի աստիճանը նշվում է հետևյալ կերպ. $\rang A$ կամ $r(A)$: $O$ զրոյական մատրիցայի աստիճանը հավասար է զրոյի, $\rang O=0$: Հիշեցնեմ, որ մատրիցային մինոր ձևավորելու համար անհրաժեշտ է հատել տողեր և սյունակներ, բայց անհնար է ավելի շատ տողեր և սյունակներ հատել, քան պարունակում է հենց մատրիցը։ Օրինակ, եթե $F$ մատրիցն ունի $5/ապատիկ 4$ չափ (այսինքն այն պարունակում է 5 տող և 4 սյունակ), ապա դրա անչափահասների առավելագույն կարգը չորսն է։ Այլևս հնարավոր չի լինի ձևավորել հինգերորդ կարգի անչափահասներ, քանի որ նրանց համար կպահանջվի 5 սյունակ (իսկ մենք ունենք ընդամենը 4): Սա նշանակում է, որ $F$ մատրիցայի աստիճանը չի կարող չորսից մեծ լինել, այսինքն. $\rang F≤4$:

Ավելի շատ ընդհանուր ձևվերը նշվածը նշանակում է, որ եթե մատրիցը պարունակում է $m$ տողեր և $n$ սյունակներ, ապա դրա վարկանիշը չի կարող գերազանցել $m$ և $n$ թվերից ամենափոքրը, այսինքն. $\rang A≤\min(m,n)$:

Սկզբունքորեն, այն գտնելու մեթոդը բխում է հենց աստիճանի սահմանումից։ Ըստ սահմանման մատրիցայի աստիճանը գտնելու գործընթացը սխեմատիկորեն կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

Թույլ տվեք ավելի մանրամասն բացատրել այս դիագրամը: Սկսենք պատճառաբանել հենց սկզբից, այսինքն. ինչ-որ $A$ մատրիցով առաջին կարգի անչափահասների հետ:

1. Եթե ​​բոլոր առաջին կարգի փոքրերը (այսինքն $A$ մատրիցայի տարրերը) հավասար են զրոյի, ապա $\rang A=0$։ Եթե ​​առաջին կարգի անչափահասների մեջ կա առնվազն մեկը, որը հավասար չէ զրոյի, ապա $\rang A≥ 1$: Անցնում ենք երկրորդ կարգի անչափահասների ստուգմանը։
2. Եթե ​​բոլոր երկրորդ կարգի փոքրերը հավասար են զրոյի, ապա $\rang A=1$: Եթե ​​երկրորդ կարգի անչափահասների մեջ կա առնվազն մեկը, որը հավասար չէ զրոյի, ապա $\rang A≥ 2$: Անցնում ենք երրորդ կարգի անչափահասների ստուգմանը։
3. Եթե ​​բոլոր երրորդ կարգի փոքրերը հավասար են զրոյի, ապա $\rang A=2$: Եթե ​​երրորդ կարգի անչափահասների մեջ կա առնվազն մեկը, որը հավասար չէ զրոյի, ապա $\rang A≥ 3$: Անցնենք չորրորդ կարգի անչափահասների ստուգմանը։
4. Եթե ​​չորրորդ կարգի բոլոր փոքրերը հավասար են զրոյի, ապա $\rang A=3$: Եթե ​​կա չորրորդ կարգի առնվազն մեկ ոչ զրոյական մինոր, ապա $\rang A≥ 4$: Մենք անցնում ենք հինգերորդ կարգի անչափահասների ստուգմանը և այլն։

Ի՞նչ է մեզ սպասում այս ընթացակարգի ավարտին: Հնարավոր է, որ k-րդ կարգի մինորների մեջ լինի առնվազն մեկը, որը տարբերվում է զրոյից, և (k + 1)-րդ կարգի բոլոր մինորները հավասար կլինեն զրոյի։ Սա նշանակում է, որ k-ն անչափահասների առավելագույն կարգն է, որոնց մեջ կա առնվազն մեկը, որը հավասար չէ զրոյի, այսինքն. կոչումը հավասար կլինի k. Կարող է լինել այլ իրավիճակ՝ k-րդ կարգի անչափահասների մեջ կլինի առնվազն մեկը, որը հավասար չէ զրոյի, և (k + 1)-րդ կարգի փոքրերը չեն կարող ձևավորվել։ Այս դեպքում մատրիցայի աստիճանը նույնպես հավասար է k. Կարճ ասած, վերջին կազմված ոչ զրոյական փոքրի կարգը և հավասար կլինի մատրիցայի աստիճանին.

Անցնենք օրինակներին, որոնցում հստակ պատկերված կլինի մատրիցայի աստիճանը ըստ սահմանման գտնելու գործընթացը: Եվս մեկ անգամ շեշտում եմ, որ այս թեմայի օրինակներում մենք կգտնենք մատրիցների աստիճանը՝ օգտագործելով միայն աստիճանի սահմանումը։ Այլ մեթոդներ (մատրիցայի աստիճանի հաշվարկը սահմանազատող անչափահասների մեթոդով, մատրիցայի աստիճանի հաշվարկ տարրական փոխակերպումների մեթոդով) դիտարկվում են հետևյալ թեմաներում։

Ի դեպ, ամենևին էլ պարտադիր չէ սկսել ամենափոքր կարգի անչափահասներից կոչումը գտնելու կարգը, ինչպես արվել է թիվ 1 և 2 օրինակներում։ Դուք կարող եք անմիջապես գնալ ավելի բարձր կարգի անչափահասների մոտ (տե՛ս օրինակ թիվ 3):

Օրինակ #1

Գտեք $A=\left(\սկիզբ(զանգված)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 մատրիցի աստիճանը & 0 & 1 \վերջ (զանգված)\աջ)$:

Այս մատրիցն ունի $3/ապատիկ 5$ չափ, այսինքն. պարունակում է երեք տող և հինգ սյունակ: 3 և 5 թվերից 3-ը նվազագույնն է, ուստի $A$ մատրիցայի աստիճանը առավելագույնը 3 է, այսինքն. $\աստիճան A≤ 3$. Եվ այս անհավասարությունն ակնհայտ է, քանի որ մենք այլևս չենք կարող չորրորդ կարգի անչափահասներ ձևավորել. նրանց պետք է 4 տող, իսկ մենք ունենք ընդամենը 3։ Եկեք ուղղակիորեն անցնենք տվյալ մատրիցայի աստիճանը գտնելու գործընթացին։

Առաջին կարգի անչափահասների (այսինքն $A$ մատրիցայի տարրերի թվում) կան ոչ զրոյականներ։ Օրինակ՝ 5, -3, 2, 7։ Ընդհանրապես մեզ չի հետաքրքրում ոչ զրոյական տարրերի ընդհանուր թիվը։ Կա առնվազն մեկ ոչ զրոյական տարր, և դա բավական է: Քանի որ առաջին կարգի անչափահասների մեջ կա առնվազն մեկ ոչ զրոյական, մենք եզրակացնում ենք, որ $\rangում է A≥ 1$ և անցնում ենք երկրորդ կարգի անչափահասների ստուգմանը:

Եկեք սկսենք ուսումնասիրել երկրորդ կարգի անչափահասներին: Օրինակ՝ #1, #2 տողերի և #1, #4 սյունակների խաչմերուկում կան հետևյալ փոքր տարրերը՝ $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end (զանգված) \աջ| $. Այս որոշիչի համար երկրորդ սյունակի բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի, հետևաբար որոշիչն ինքնին հավասար է զրոյի, այսինքն. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (տես հատկությունը #3 որոշիչների հատկության մեջ): Կամ կարող եք պարզապես հաշվարկել այս որոշիչը՝ օգտագործելով թիվ 1 բանաձևը՝ երկրորդ և երրորդ կարգի որոշիչները հաշվարկելու բաժնից.

$$ \ձախ|\սկիզբ(զանգված)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(զանգված) \աջ|=5\cdot 0-0\cdot 7=0: $$

Մեր ստուգած երկրորդ կարգի առաջին մինորը հավասար է զրոյի։ Ի՞նչ է ասում: Երկրորդ կարգի անչափահասների հետագա ստուգման անհրաժեշտության մասին. Կամ նրանք բոլորը զրո են (և այդ դեպքում վարկանիշը հավասար կլինի 1-ի), կամ նրանց մեջ կա առնվազն մեկ անչափահաս, որը տարբերվում է զրոյից: Փորձենք ավելի լավ ընտրություն կատարել՝ գրելով երկրորդ կարգի մինոր, որի տարրերը գտնվում են #1, #2 տողերի և #1 և #5 սյունակների խաչմերուկում՝ $\left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array)\right|$. Գտնենք երկրորդ կարգի այս մինորի արժեքը.

$$ \ձախ|\սկիզբ(զանգված)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(զանգված) \աջ|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Այս անչափահասը հավասար չէ զրոյի: Եզրակացություն. երկրորդ կարգի անչափահասների մեջ կա առնվազն մեկ այլ, քան զրո: Հետևաբար $\աստիճան A≥ 2$: Պետք է անցնել երրորդ կարգի անչափահասների ուսումնասիրությանը։

Եթե ​​երրորդ կարգի անչափահասների ձևավորման համար ընտրենք #2 կամ #4 սյունակ, ապա այդպիսի մինորները հավասար կլինեն զրոյի (քանի որ դրանք զրո սյունակ են պարունակելու)։ Մնում է ստուգել երրորդ կարգի միայն մեկ մինոր, որի տարրերը գտնվում են թիվ 1, թիվ 3, թիվ 5 սյունակների և թիվ 1, թիվ 2, թիվ 3 տողերի խաչմերուկում։ Եկեք գրենք այս մինորը և գտնենք դրա արժեքը.

$$ \ձախ|\սկիզբ(զանգված)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \վերջ (զանգված) \աջ|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Այսպիսով, բոլոր երրորդ կարգի անչափահասները հավասար են զրոյի: Վերջին ոչ զրոյական մինորը, որը մենք կազմեցինք, երկրորդ կարգի էր։ Եզրակացություն. անչափահասների առավելագույն կարգը, որոնց մեջ զրոյից առնվազն մեկը կա, հավասար է 2-ի: Հետևաբար, $\rang A=2$:

Պատասխանել$\աստիճան A=2$.

Օրինակ #2

Գտեք $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 մատրիցայի աստիճանը \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \աջ)$.

Մենք ունենք չորրորդ կարգի քառակուսի մատրիցա։ Մենք անմիջապես նշում ենք, որ այս մատրիցայի աստիճանը չի գերազանցում 4-ը, այսինքն. $\աստիճան A≤ 4$. Եկեք սկսենք գտնել մատրիցայի աստիճանը:

Առաջին կարգի մինորների մեջ (այսինքն $A$ մատրիցայի տարրերից) կա առնվազն մեկը, որը հավասար չէ զրոյի, ուստի $\rang A≥ 1$։ Անցնում ենք երկրորդ կարգի անչափահասների ստուգմանը։ Օրինակ՝ թիվ 2, թիվ 3 տողերի և թիվ 1 և 2 սյունակների հատման կետում ստանում ենք երկրորդ կարգի հետևյալ մինորը՝ $\left| \ սկիզբ (զանգված) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end (զանգված) \աջ|$. Եկեք հաշվարկենք.

$$ \ձախ| \սկիզբ (զանգված) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \վերջ (զանգված) \աջ|=0-10=-10. $$

Երկրորդ կարգի անչափահասների մեջ կա առնվազն մեկը, որը հավասար չէ զրոյի, ուստի $\rang A≥ 2$:

Անցնենք երրորդ կարգի անչափահասներին։ Գտնենք, օրինակ, անչափահաս, որի տարրերը գտնվում են թիվ 1, թիվ 3, թիվ 4 տողերի և թիվ 1, թիվ 2, թիվ 4 սյունակների խաչմերուկում.

$$ \ձախ | \սկիզբ (զանգված) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \վերջ (զանգված) \աջ|=105-105=0: $$

Քանի որ այս երրորդ կարգի անչափահասը հավասար է զրոյի, անհրաժեշտ է հետաքննել մեկ այլ երրորդ կարգի անչափահաս: Կամ բոլորը հավասար կլինեն զրոյի (այդ դեպքում կոչումը հավասար կլինի 2-ի), կամ նրանց մեջ կլինի առնվազն մեկը, որը հավասար չէ զրոյի (այն ժամանակ մենք կսկսենք ուսումնասիրել չորրորդ կարգի անչափահասներին): Դիտարկենք երրորդ կարգի անչափահաս, որի տարրերը գտնվում են թիվ 2, թիվ 3, թիվ 4 տողերի և թիվ 2, թիվ 3, թիվ 4 սյունակների խաչմերուկում.

$$ \ձախ| \սկիզբ (զանգված) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \վերջ (զանգված) \աջ|=-28. $$

Երրորդ կարգի անչափահասների մեջ կա առնվազն մեկ ոչ զրոյական փոքր, այնպես որ $\rang A≥ 3$: Անցնենք չորրորդ կարգի անչափահասների ստուգմանը։

Չորրորդ կարգի ցանկացած փոքրամասնություն գտնվում է $A$ մատրիցայի չորս տողերի և չորս սյունակների խաչմերուկում: Այլ կերպ ասած, չորրորդ կարգի մինորը $A$ մատրիցի որոշիչն է, քանի որ այս մատրիցը պարունակում է ընդամենը 4 տող և 4 սյունակ: Այս մատրիցայի որոշիչը հաշվարկվել է «Determinant-ի հերթականության նվազեցում. որոշիչի տարրալուծում անընդմեջ (սյունակ)» թեմայի թիվ 2 օրինակում, ուստի եկեք պարզապես վերցնենք ավարտված արդյունքը.

$$ \ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \վերջ (զանգված)\աջ|=86. $$

Այսպիսով, չորրորդ կարգի մինորը հավասար չէ զրոյի։ Մենք այլևս չենք կարող հինգերորդ կարգի անչափահասներ ձևավորել։ Եզրակացություն. անչափահասների ամենաբարձր կարգը, որոնց թվում կա առնվազն մեկը, բացի զրոյից, 4-ն է: Արդյունք՝ $\rang A=4$:

Պատասխանել$\աստիճան A=4$.

Օրինակ #3

Գտեք $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 մատրիցայի աստիճանը \end(զանգված)\աջ)$.

Անմիջապես նշեք, որ այս մատրիցը պարունակում է 3 տող և 4 սյունակ, ուստի $\rang A≤ 3$: Նախորդ օրինակներում մենք սկսեցինք աստիճանը գտնելու գործընթացը՝ հաշվի առնելով ամենափոքր (առաջին) կարգի անչափահասները։ Այստեղ մենք կփորձենք անհապաղ ստուգել հնարավոր ամենաբարձր կարգի անչափահասներին։ $A$ մատրիցայի համար սրանք երրորդ կարգի անչափահասներ են: Դիտարկենք երրորդ կարգի անչափահասին, որի տարրերը գտնվում են թիվ 1, թիվ 2, թիվ 3 տողերի և 2, թիվ 3, թիվ 4 սյունակների խաչմերուկում.

$$ \ձախ| \սկիզբ (զանգված) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \վերջ (զանգված) \աջ|=-8-60-20=-88. $$

Այսպիսով, անչափահասների ամենաբարձր կարգը, որոնց թվում կա առնվազն մեկը, որը հավասար չէ զրոյի, 3-ն է: Հետևաբար, մատրիցայի աստիճանը 3 է, այսինքն. $\աստիճան A=3$.

Պատասխանել$\աստիճան A=3$.

Ընդհանուր առմամբ, ըստ սահմանման մատրիցայի աստիճանը գտնելը, ընդհանուր դեպքում, բավականին ժամանակատար խնդիր է: Օրինակ, համեմատաբար փոքր $5\ անգամ 4$-ի մատրիցն ունի 60 երկրորդ կարգի անչափահասներ: Եվ եթե նույնիսկ դրանցից 59-ը հավասար են զրոյի, ապա 60-րդ մինորը կարող է ոչ զրոյական լինել։ Այնուհետև դուք պետք է ուսումնասիրեք երրորդ կարգի անչափահասներին, որոնցից այս մատրիցն ունի 40 կտոր: Սովորաբար մարդը փորձում է օգտագործել ոչ այնքան բարդ մեթոդներ, ինչպիսիք են անչափահասների եզրագծման մեթոդը կամ համարժեք փոխակերպումների մեթոդը:

Դիտարկենք ուղղանկյուն մատրիցա: Եթե ​​այս մատրիցում մենք կամայականորեն ընտրենք կգծեր և կսյունակներ, այնուհետև ընտրված տողերի և սյունակների հատման կետերում գտնվող տարրերը կազմում են k-րդ կարգի քառակուսի մատրիցա։ Այս մատրիցայի որոշիչը կոչվում է k-րդ կարգի անչափահասԱ մատրիցա: Ակնհայտ է, որ A մատրիցն ունի 1-ից մինչև m և n թվերից ամենափոքրը ցանկացած կարգի փոքրեր: Ա մատրիցի բոլոր ոչ զրոյական փոքրերի թվում կան գոնեմեկ անչափահաս, որի կարգը կլինի ամենամեծը. Տվյալ մատրիցայի անչափահասների ոչ զրոյական կարգերից ամենամեծը կոչվում է աստիճանմատրիցներ. Եթե ​​A մատրիցայի աստիճանն է r, ապա սա նշանակում է, որ A մատրիցն ունի կարգի ոչ զրոյական մինոր r, բայց ամեն փոքր կարգի ավելի մեծ է, քան r, հավասար է զրոյի։ A մատրիցի աստիճանը նշանակվում է r(A): Ակնհայտ է, որ հարաբեր

Մատրիցայի աստիճանի հաշվարկ՝ օգտագործելով անչափահասները

Մատրիցայի աստիճանը հայտնաբերվում է կամ անչափահասների սահմանագծումով, կամ տարրական փոխակերպումների մեթոդով: Մատրիցայի աստիճանը առաջին եղանակով հաշվարկելիս պետք է ավելի ցածր կարգի անչափահասներից անցնել ավելի բարձր կարգի անչափահասներին: Եթե ​​A մատրիցի k-րդ կարգի ոչ զրոյական մինոր D-ն արդեն գտնվել է, ապա պետք է հաշվարկվեն միայն փոքր D-ին սահմանակից (k + 1)-րդ կարգի փոքրերը, այսինքն. պարունակող այն որպես անչափահաս. Եթե ​​դրանք բոլորը զրո են, ապա մատրիցայի աստիճանն է կ.

Օրինակ 1Գտեք մատրիցայի աստիճանը սահմանազատող անչափահասների մեթոդով

.

Լուծում.Մենք սկսում ենք 1-ին կարգի անչափահասներից, այսինքն. A մատրիցայի տարրերից: Եկեք ընտրենք, օրինակ, մինորը (տարրը) М 1 = 1, որը գտնվում է առաջին շարքում և առաջին սյունակում: Երկրորդ շարքի և երրորդ սյունակի օգնությամբ սահմանազատվելով՝ մենք ստանում ենք փոքր M 2 = , որը տարբերվում է զրոյից։ Այժմ մենք դիմում ենք 3-րդ կարգի անչափահասներին, որոնք սահմանակից են M 2-ին: Դրանցից ընդամենը երկուսն են (կարող եք ավելացնել երկրորդ սյունակ կամ չորրորդ): Մենք հաշվարկում ենք դրանք. = 0. Այսպիսով, երրորդ կարգի բոլոր սահմանակից անչափահասները հավասար են զրոյի։ Ա մատրիցայի աստիճանը երկու է:

Հաշվարկել մատրիցայի աստիճանը տարրական փոխակերպումների միջոցով

ՏարրականՀետևյալ մատրիցային փոխակերպումները կոչվում են.

1) ցանկացած երկու տողերի (կամ սյունակների) փոխակերպում.

2) տողը (կամ սյունակը) բազմապատկել ոչ զրոյական թվով.

3) մեկ տողին (կամ սյունակին) ավելացնելով մեկ այլ տող (կամ սյունակ)՝ բազմապատկված ինչ-որ թվով:

Երկու մատրիցները կոչվում են համարժեք, եթե դրանցից մեկը ստացվում է մյուսից տարրական փոխակերպումների վերջավոր բազմության օգնությամբ։

Համարժեք մատրիցները, ընդհանուր առմամբ, հավասար չեն, բայց դրանց շարքերը հավասար են: Եթե ​​A և B մատրիցները համարժեք են, ապա սա գրվում է հետևյալ կերպ~ բ.

Կանոնականմատրիցը այն մատրիցն է, որն ունի մի քանի 1 անընդմեջ հիմնական անկյունագծի սկզբում (որոնց թիվը կարող է լինել զրո), իսկ մնացած բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի, օրինակ.

.

Տողերի և սյունակների տարրական փոխակերպումների օգնությամբ ցանկացած մատրիցա կարող է վերածվել կանոնականի։ Կանոնական մատրիցայի աստիճանը հավասար է նրա հիմնական անկյունագծում գտնվողների թվին:

Օրինակ 2Գտեք մատրիցայի աստիճանը

և բերել այն կանոնական ձևի։

Լուծում.Առաջին շարքը հանեք երկրորդ շարքից և վերադասավորեք այս տողերը.

.

Այժմ երկրորդ և երրորդ տողերից հանեք առաջինը՝ համապատասխանաբար 2-ով և 5-ով բազմապատկած.

;

հանել առաջինը երրորդ շարքից; մենք ստանում ենք մատրիցը

որը համարժեք է A մատրիցին, քանի որ դրանից ստացվում է տարրական փոխակերպումների վերջավոր բազմության միջոցով: Ակնհայտ է, որ B մատրիցայի աստիճանը 2 է, և հետևաբար r(A)=2: B մատրիցը հեշտությամբ կարող է կրճատվել մինչև կանոնական: Բոլոր հաջորդներից հանելով առաջին սյունակը, որը բազմապատկվում է համապատասխան թվերով, մենք զրոյի ենք դարձնում առաջին շարքի բոլոր տարրերը, բացառությամբ առաջինի, իսկ մնացած տողերի տարրերը չեն փոխվում։ Այնուհետև բոլոր հաջորդներից հանելով երկրորդ սյունակը, որը բազմապատկված է համապատասխան թվերով, մենք զրոյի ենք դարձնում երկրորդ շարքի բոլոր տարրերը, բացառությամբ երկրորդի, և ստանում ենք կանոնական մատրիցա.

.