ազգություն (∂ f ∂ ϕ) 2. Սա ցույց է տալիս, որ օբյեկտի իներցիայի գործակիցը կախված է

մաղել ընդհանրացված կոորդինատների ընտրությունից և կարող է վերահաշվարկվել:

Ոչ կայուն հոլոնոմիկ մեկ աստիճանի համակարգի FE-ն ունի կառուցվածք

քառակուսային բազմանդամի կլոր՝ ընդհանրացված արագության q & , գործակցի նկատմամբ

որոնց արժեքները հիմնականում կախված են q և t.

2T = aq & 2 + 2a 1 q & + 2a 0 , a = a (q ,t ), a 1 = a 1 (q ,t ), a 0 = a 0 (q ,t ) (5.10)

a , a 0, a 1 գործակիցների չափը որոշվում է Լ.Էյլերի սկզբունքով. արտահայտությունների բոլոր տերմինները պետք է ունենան նույն չափը։

5.3. Հզորության հզորություն

Տարածության այն տարածքը, որտեղ ուժ է գործադրվում նյութական առարկայի վրա, կոչվում է վեկտորային ուժային դաշտ. Այս տարածքը կարող է լինել եռաչափ (օրինակ՝ գնդաձև) կամ երկչափ, կամ ներկայացնում է ուղիղ կամ կոր գծի մի հատված։ Սովորաբար ենթադրվում է, որ ուժը կախված է միայն ուժի կիրառման կետի կոորդինատներից (x, y, z) կամ մեկ կամ երկու կոորդինատներից, կամ կայուն է մեծությամբ և ուղղությամբ։ Թույլատրվում են նաև այն դեպքերը, երբ ուժերը կախված են ինչպես կետի, այնպես էլ ժամանակի արագությունից, այսինքն. ուժը նշված է կոորդինատների, արագությունների և ժամանակի տարածության տարածքում: Կան դեպքեր, երբ

որտեղ ուժը կախված է արագացումից:

ակնթարթում t հղման շրջանակում կոչվում է Oxyz

Հզորությունը Ֆ

սկալար, որը հավասար է ուժի կետային արտադրյալին

կիրառվում է կետի արագության վրա

ուժ v այս համակարգում.

մ/վ = Վ)

Fv cos(F,v)

Զզ, (Ն

Ըստ այս սահմանման՝ ուժի հզորությունը դրական սկալյար է, եթե ուժի և արագության միջև անկյունը սուր է (այս դեպքում ուժը նպաստում է շարժմանը, կինետիկ էներգիայի ավելացմանը) և բացասական, եթե անկյունը բութ է (երբ ուժը դանդաղեցնում է շարժումը): Ուժի հզորությունը զրո է, եթե ուժը ուղղահայաց է ուժի կիրառման կետի արագությանը, կամ եթե ուժի կիրառման կետը չունի արագություն։

Երկու հղման համակարգերում հզորությունները տարբեր են, եթե համակարգերը շարժվում են միմյանց համեմատ, ուստի պետք է նշվի հենակետային համակարգը, որում հաշվարկվում է ուժերի հզորությունը:

Շփման ուժերի, ինչպես նաև շարժման դեմ ուղղված այլ ցրող ուժերի հզորությունը բացասական է։

Անիվի և ճանապարհի միջև սոսնձման ուժի ուժը (եթե անիվի սայթաքում չկա) զրո է, քանի որ ուժի կիրառման կետը արագություն չունի։

Դիտարկենք այն դեպքը, երբ ուժերը կախված են միայն կետի դիրքից

U (x, y, z) ուժի կիրառման կետի դիրքի ֆունկցիան է, այսինքն. – դեկարտյան (կամ ընդհանրացված) կոորդինատների ֆունկցիա: Այս դեպքում F (x, y, z) ուժը կոչվում է պոտենցիալ, իսկ «ուժի ֆունկցիան» U՝ հակառակ նշանով.

պոտենցիալ էներգիա P (x, y, z) = − U (x, y, z): Տիեզերքի այն շրջանը, որտեղ

որը մարմնի վրա ազդող պոտենցիալ ուժ է կոչվում պոտենցիալ ուժային դաշտ. Ածանցյալ նշանի տակ կարող եք ավելացնել ցանկացած հաստատուն, ուստի ուժի ֆունկցիան և պոտենցիալ էներգիան որոշվում են մինչև հաստատուն, որը որոշում է հղման մակարդակը: Ընդհանուր առմամբ, պոտենցիալ էներգիան կարելի է սահմանել որպես ստացված P ֆունկցիա (q 1,..., q n):

հզորությունը վերածելով P = − П & (q 1 ,..., q n ) ձևի, որտեղ q s-ն ընդհանրացված է

նոր կոորդինատներ.

Թող մարմինը կամայականորեն շարժվի տարածության մեջ, այսինքն. այն O բևեռի հետ միասին շարժվում է v O արագությամբ և պտտվում ω անկյունային արագությամբ։

Կոշտ մարմնի վրա կիրառվող զույգ ուժերի ուժը կախված չէ բևեռի արագությունից։ Այն հավասար է զույգ ուժերի պահի սկալյար արտադրյալին և անկյունային արագությանը։

P = M			M ω cos(M,ω			) = M xω x + M yω y + M zω z,

որտեղ M-ը զույգ ուժերի մոմենտն է, ω-ն կոշտ մարմնի անկյունային արագությունն է, որը, ինչպես հայտնի է, կախված չէ բևեռի ընտրությունից։ Ցրող ուժի զույգերի հզորությունը բացասական է: Զույգ ուժերի ուժը կախված չէ այն վայրից, որտեղ այն կիրառվում է մարմնի վրա։ Առանցքակալում մի զույգ շփման ուժերի հզորությունը բացասական է, քանի որ շփման ոլորող մոմենտը և պտտման անկյունային արագությունը հակառակ ուղղություններ են:

Կոշտ մարմնի վրա կիրառվող ուժերի համակարգի հզորությունը հավասար է համակարգի հիմնական վեկտորի R սկալյար արտադրյալին և մարմնի ցանկացած բևեռի արագությանը` գումարված ուժերի հարաբերական M 0 հիմնական մոմենտի սկալյար արտադրյալին: այս բևեռին և մարմնի անկյունային արագությանը.

vO+M

Oω

համար R = ∑ F i, M O = ∑ r i × F i:

5.4. Աշխատանք և պոտենցիալ էներգիա

Ընտրված կոորդինատային համակարգում ուժի տարրական աշխատանքը (ֆիքսված կամ շարժվող) անսահման փոքր մեծություն է, որը հավասար է այս համակարգում ուժի սկալյար արտադրյալին և ուժի կիրառման կետի տարրական տեղաշարժին.

d′A = F		d r = Xdx + Ydy + Zdz = F | դ ր | cos(F,d r), (N m=J)

Այստեղ d ΄A-ն նշանակում է անվերջ փոքր ժամանակամիջոցում ուժի կատարած անվերջ փոքր աշխատանքը, d r-ը կետի արագության հետ համակցված տարրական տեղաշարժն է։ Պարզը ցույց է տալիս, որ d ΄A-ն միշտ չէ, որ ինչ-որ ֆունկցիայի ամբողջական դիֆերենցիալ է:

Ակնհայտ է, որ Pdt արտադրյալը հավասար է d ΄A տարրական աշխատանքին.

Փոքր ժամանակային միջակայքով բազմապատկած հզորությունը ∆t-ն այս ինտերվալի ընթացքում ուժի ∆A աշխատանքի մոտավոր արժեքն է, հզորությունը մոտավորապես հավասար է ուժի աշխատանքին 1 վայրկյանում։ Վերջավոր ժամանակային ընդմիջումով ուժի կատարած աշխատանքը կոչվում է ժամանակի ընթացքում հզորության որոշակի ինտեգրալ.

A12 = ∫ Pdt = ∫			v dt v = r & = dr / dt համար:

Այս ընդհանուր բանաձևով աշխատանքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իմանալ ուժը որպես ժամանակի ֆունկցիա, կամ ուժը և արագությունը՝ որպես միայն t ժամանակի ֆունկցիաներ։ Բայց որոշ հատուկ դեպքերում (պոտենցիալ ուժի դեպքում, մշտական ​​շփման ուժի դեպքում՝ շարժման հաստատուն ուղղությամբ), հնարավոր է աշխատանքը հաշվարկել առանց ուժի կիրառման կետի շարժման կինեմատիկական հավասարումների. բավական է իմանալ միայն կետի սկզբնական և վերջնական դիրքը։

Դիտարկենք ուժի կիրառման կետի շարժումը երկու հղման համակարգերի նկատմամբ, որոնք շարժվում են մեկը մյուսի նկատմամբ: Երկու համակարգերում կետի արագությունը տարբեր է, հետևաբար ուժի հզորությունը տարբեր կլինի։ Այսպիսով, հզորության և աշխատանքի հասկացությունները ձևակերպվում են կոնկրետ հղման համակարգի հետ կապված, հիմնականում ISO-ի կամ PSO-ի (իներցիոն կամ թարգմանական հղման համակարգեր) հետ կապված:

Սահմանում F ուժը կոչվում է պոտենցիալ, և դրա ուժային դաշտը

պոտենցիալ ուժային դաշտ, եթե երկու պայման կա.

1) Ուժը բավարարում է հետևյալ պայմաններից մեկին. F = F (x, y, z):

2) Ուժի d ′ A տարրական աշխատանքը կոորդինատների որոշ ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալն է, կամ ուժի հզորությունը ցանկացած պահի հավասար է որոշակի Պ ֆունկցիայի ընդհանուր ժամանակի ածանցյալին (x, y, z)

P(x,y,z) ֆունկցիան, որը ստացվում է տարրական աշխատանքի արտահայտությունը փոխակերպելով կամ ուժի արտահայտումից, կոչվում է.

Պոտենցիալ ուժային դաշտի պոտենցիալ էներգիան M(x, y, z) կետում:

Այսպիսով, ասոցացվում է F (x, y, z) ուժի վեկտորային դաշտը

երեք փոփոխականների P(x, y, z) սկալյար ֆունկցիայի մաթեմատիկորեն ավելի պարզ դաշտ, կամ երկու փոփոխականի P(x,y) կամ մեկ փոփոխականի P(x) ֆունկցիա:

Պոտենցիալ էներգիան կարող է ներկայացված լինել ոչ միայն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում, այլև գլանաձև, գնդաձև կոորդինատային համակարգերում, ընդհանուր առմամբ, դա որոշ ընդհանրացված կոորդինատների ֆունկցիա է։

nat P(q 1, q 2, q 3).

P(q 1, q 2, q 3) = C հավասարմամբ սահմանված մակերեսները, որտեղ C-ը կամայականորեն նշանակված հաստատուն պարամետր է, կոչվում են. պոտենցիալ հավասարաչափ մակերեսներ.

Նկատի ունեցեք, որ դիֆերենցիալ նշանի տակ միշտ կարող եք գումարել կամ հանել որևէ հաստատուն, այնպես որ (5.18) բանաձևում Π ֆունկցիան որոշվի մինչև հաստատուն: Հաստատունը կամայականորեն նշանակվում է, օրինակ, սահմանվում է հավասար զրոյի, դրանով իսկ ընտրելով համարժեք մակերևույթների ընտանիքի հղման մակարդակը:

Պոտենցիալ ուժի հզորությունը հավասար է մինուս նշանով վերցված արտադրյալին

ջուրը ժամանակին պոտենցիալ էներգիայից P = −Π & . Այս արտահայտությունը փոխարինենք որոշակի ինտեգրալով (5.17): Մենք ստանում ենք պոտենցիալ ուժի աշխատանքի արտահայտություն ուժի կիրառման կետի վերջնական տեղաշարժի վրա, որն իրականացվել է որոշակի ժամանակահատվածում.

A 12 = P(x 1, y 1, z 1) – P(x 2, y 2, z 2) = P1 – P2:

Այսպիսով, պոտենցիալ ուժի աշխատանքը, երբ այն շարժվում է ներսից

ցանկացած հետագծի երկայնքով M 1 կետից (x 1, y 1, z 1) մինչև M 2 (x 2, y 2, z 2) կետը հավասար է այս շարժման ընթացքում պոտենցիալ էներգիայի կորստին, այսինքն. հավասար տարբեր

պոտենցիալ էներգիաների կապերը պոտենցիալ դաշտի առաջին և երկրորդ կետերում: Պոտենցիալ ուժի կատարած աշխատանքը կախված չէ երկու կետերը միացնող հետագծի ձևից։ Մասնավորապես, ցանկացած փակ հետագծի վրա պոտենցիալ ուժի աշխատանքը հավասար է զրոյի, իսկ այն աշխատանքը, երբ ուժի կիրառման կետը P=C1 համարժեք մակերևույթից տեղափոխվում է P=C2 մակերես, հավասար է.

sti հաստատուններ՝ A12 = C1 - C2:

Հատուկ դեպք Որպես M 1 սկզբնական կետ (x 1 , y 1 , z 1 ) վերցնում ենք պոտենցիալ դաշտի ցանկացած կետ M (x , y , z ) և որպես M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) վերցնել այնպիսի կետային դաշտ M (x O , y O , z O ), որտեղ պոտենցիալ էներգիան հավասար է

Մենք ստանում ենք հետևյալ ֆիզիկական մեկնաբանությունը. Պոտենցիալ դաշտի ցանկացած կետում M կետում պոտենցիալ էներգիան հավասար է կիրառվող ուժի աշխատանքին, երբ դրա կիրառման կետը M դիրքից ցանկացած հարթ կամ ոչ հարթ հետագծի երկայնքով տեղափոխում է մի դիրք, որտեղ պոտենցիալ էներգիան վերցվում է հավասար զրոյի, և հավասար է նաև ուժի աշխատանքին, որը վերցված է մինուս նշանով M (x,y,z) դիրքում «զրոյական» դիրքից տեղափոխելու վրա, որի դեպքում պոտենցիալ էներգիան վերցված է հավասար զրոյի։

Օրինակ 1 Եկեք գտնենք գրավիտացիայի պոտենցիալ էներգիան G = − Gk, pro-

Օքսիզ համակարգի Oz ուղղահայաց առանցքի k միավոր վեկտորի հետ հակառակ ուղղորդված: Տարրական մեթոդով մենք ստանում ենք.

d ΄A = G x dx + G y dy + G z dz = –Gdz = – d (Gz) => П = Gz.

Օգտագործելով էներգիայի մեթոդը, մենք ստանում ենք

P = G x x & +G y y & +G z z & = −Gz & = −(Gz) Π = Gz:

Այսպիսով, ծանրության պոտենցիալ էներգիան հավասար է նյութական կետի կշռի և Oxy հարթությունից վերև գտնվող M կետի դիրքի արտադրյալին, որը բավարարում է z = 0 պայմանը: Այստեղ նշանակվում է Oxy հարթությունը:

զրոյական համարժեք հարթություն. Ձգողականության պոտենցիալ էներգիան բացասական է Oxy հարթության տակ գտնվող կետերում, z-ում< 0. На любых горизонтальных плоскостях данная потенциальная энергия одинакова во всех точках, т.е. горизонтальные плоскости являются эквипотенциальными поверхностями. Работа силы тяжести на перемещении с плоскости уровня z = z 1 на плоскость z = z 2 определяется по формуле:

A 12 = P1 – P2 = G (z 1 – z 2 ) = ± Gh ժամը h = |z 1 –z 2 |.

Այս աշխատանքը համաչափ է մակարդակների տարբերությանը (կորուստին), բացասական է, եթե առաջին մակարդակը ցածր է երկրորդից:

Նշում. Եթե ​​Oz առանցքն ուղղված է դեպի ներքև, ապա ստանում ենք հակառակ նշանով բանաձև՝ P = –Gz:

Օրինակ 2. Զսպանակի առաձգական ուժի պոտենցիալ էներգիա: Հորիզոնական զսպանակի ուժային դաշտն ունի Ox հորիզոնական առանցքի ձև: Առանցքի սկզբնաղբյուրը համատեղելի է չդեֆորմացված զսպանակի ազատ ծայրի հետ, x-ը զսպանակի առաձգական լարումն է x > 0-ում, կամ զսպանակի սեղմման լարվածությունը x-ում։< 0. Упругая сила пружины F = − cxi , где i - орт оси x . Она всегда направлена противоположно деформации. Методом мощности находим потенциальную энергию силы упругости

P = Fx x = − c x x = − (c x					Π = cx

Եկեք պատկերացնենք, որ գարունը շատ դանդաղ է ձգվում արտաքին ուժով,

դանդաղորեն զրոյից հասնելով F արժեքին = cxi-ում: Ենթադրում ենք, որ զսպանակի առաձգական ուժը յուրաքանչյուր պահի հավասարակշռում է արտաքին ուժը։

F ext ուժի միջին արժեքը միջակայքում հավասար է՝ F cр = cx / 2:

Զսպանակի առաձգական ուժը, ձգվելուն դիմակայելու համար բացասական աշխատանք կատարելիս, գարնանը պահպանում է դրական ներուժը:

էներգիան հավասար է Π = F x = cx 2 / 2:
Ձևափոխման վրա առաձգական ուժի աշխատանքը				X 2 − x 1 հավասար է A 12 = (x 2 2 – x 1 2 )c /2:
Ակնհայտ է, որ A 12< 0 при x1 < x2 и A 12 >0 x1-ի համար > x2-ի համար
	3. Երկրի ձգողականությունը			հակադարձ քառակուսու օրենքի համաձայն.
F = γ m m / r2,			= − γ m m r / r 3, որտեղ r-ը նյութական կետի շառավղային վեկտորն է

երկրակենտրոն հղման համակարգ, γ = 6,672 10–11 (m3 /(kg s2) - մշտական ​​ձգողականություն

goteny, r / r = e - ort մարմնի շառավղով վեկտորի (նյութական կետ) գծված Երկրի կենտրոնից, m 1 = 6 1024 (kg) - Երկրի զանգված, m - մարմնի զանգված, γm. 1 =

3986·1011 (m3/s2) - երկրակենտրոն գրավիտացիոն հաստատուն: Հաշվի առնելով

ինքնություններ r r = r 2,

γ m1 մ

γ m1 մ

γ m1 մ

γ m1 մ

d A = −

r dr = −

dr = d (−

Π(r) = −

Նշենք, որ P(r)→0 որպես r →∞, հետևաբար՝ պոտենցիալ էներգիա

անսահմանության դեպքում հավասար է զրոյի:

"

Տեղաշարժման վրա ուժի տարրական աշխատանքը (նկ. 3.22) ուժի սկալյար արտադրյալն է և դրա կիրառման կետի տարրական տեղաշարժը.

որտեղ a-ն անկյունն է վեկտորների ուղղությունների միջև և

Որովհետեւ ապա տարրական աշխատանքի համար կարող ենք գրել մեկ այլ արտահայտություն.

Տարրական աշխատանքի համար կարող եք գրել ևս մի քանի արտահայտություն.

Տարրական աշխատանքի բանաձևերից հետևում է, որ այս մեծությունը կարող է լինել դրական (a անկյունը սուր է), բացասական (a անկյունը բութ է) կամ հավասար լինել զրոյի (a անկյունը ուղիղ է)։

Ուժերի լիարժեք աշխատանք. Որոշել ուժի կատարած ընդհանուր աշխատանքը մի կետից տեղաշարժի վրա Մ 0 դեպի ՄԵկեք բաժանենք այս շարժումը nտեղաշարժեր, որոնցից յուրաքանչյուրը սահմանում դառնում է տարրական։ Հետո ուժի աշխատանք Ա:

Որտեղ դԱ կ- աշխատել համար կ-րդ տարրական շարժում.

Գրված գումարն ինտեգրալ է և կարող է փոխարինվել գծային ինտեգրալով, որը վերցված է կորի երկայնքով տեղաշարժով Մ 0 Մ.Հետո

կամ

որտեղ է ժամանակի պահը տ=0-ը համապատասխանում է մի կետի Մ 0, և ժամանակի պահը տ- կետ Մ.

Տարրական և ամբողջական աշխատանքի սահմանումից հետևում է.

1) արդյունք ուժի աշխատանքը ցանկացած տեղաշարժի վրա հավասար է այս տեղաշարժի վրա բաղադրիչ ուժերի աշխատանքի հանրահաշվական գումարին.

2) լրիվ տեղաշարժի վրա ուժերի կողմից կատարված աշխատանքը հավասար է բաղադրիչի տեղաշարժերի վրա նույն ուժի կատարած աշխատանքի գումարին, որին որևէ կերպ բաժանվում է ամբողջ տեղաշարժը:

Ուժի ուժ.Ուժի ուժը ժամանակի միավորի վրա կատարված աշխատանքն է.

կամ հաշվի առնելով դա

Հզորության հզորությունմեծություն է, որը հավասար է ուժի սկալյար արտադրյալին և դրա կիրառման կետի արագությանը։

Այսպիսով, մշտական ​​հզորության դեպքում արագության աճը հանգեցնում է ուժի նվազմանը և հակառակը: Ուժի միավորն է Վատ 1Վտ=1 Ջ/վ:

Եթե ​​ֆիքսված առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի վրա ուժ է կիրառվում, ապա նրա հզորությունը հավասար է

Նմանապես որոշվում է մի զույգ ուժերի հզորությունը։

3.3.4.3. Ուժի աշխատանքի հաշվարկման օրինակներ

Ուժի ընդհանուր աշխատանք -

Որտեղ հ- այն բարձրությունը, որին իջել է կետը:

Այսպիսով, գրավիտացիոն ուժի աշխատանքը դրական է, երբ կետը իջնում ​​է, և բացասական, երբ կետը բարձրանում է: Ծանրության ուժով կատարված աշխատանքը կախված չէ կետերի միջև եղած հետագծի ձևից Մ 0 և Մ 1 .

Գծային առաձգական ուժի աշխատանք.Գծային առաձգական ուժը Հուկի օրենքի համաձայն գործող ուժն է (Նկար 3.24).

որտեղ է շառավիղի վեկտորը քաշված հավասարակշռության կետից, որտեղ ուժը զրոյական է, մինչև տվյալ կետը Մ; Հետ- հաստատուն կոշտության գործակից:

Կետից տեղաշարժի վրա ուժի կողմից կատարված աշխատանք Մ 0-ից մինչև կետ Մ 1-ը որոշվում է բանաձևով

Կատարելով ինտեգրում, մենք ստանում ենք

(3.27)

Բրինձ. 3.25

Օգտագործելով բանաձևը (3.27)՝ հաշվարկվում է աղբյուրների գծային առաձգական ուժի աշխատանքը՝ կետից որևէ ճանապարհով շարժվելիս։ Մ 0, որի սկզբնական դեֆորմացիան հավասար է ճիշտ Մ 1, որտեղ դեֆորմացիան համապատասխանաբար հավասար է Նոր նշումով բանաձևը (3.27) ընդունում է ձևը

Պտտվող կոշտ մարմնի վրա կիրառվող ուժով կատարված աշխատանք. Երբ կոշտ մարմինը պտտվում է ֆիքսված առանցքի շուրջ, կետի արագությունը Մկարելի է հաշվարկել Էյլերի բանաձևով, տես նկ. 3.25:

Այնուհետև մենք որոշում ենք ուժի տարրական աշխատանքը բանաձևով

Օգտագործելով խառը խաչի արտադրանքի հատկությունը
մենք ստանում ենք

Որովհետեւ - ուժի պահը կետի նկատմամբ ՄԱՍԻՆ. Հաշվի առնելով դա - ուժի պահը պտտման առանցքի նկատմամբ Օզև ω dt=դφ, վերջապես մենք ստանում ենք.

dA=Մ զ դφ.

Հաստատուն առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի ցանկացած կետի վրա կիրառվող ուժի տարրական աշխատանքը հավասար է պտտման առանցքի նկատմամբ ուժի պահի արտադրյալին և մարմնի պտտման անկյան դիֆերենցիալին։

Ամբողջական աշխատանք.

Այն հատուկ դեպքում, երբ , աշխատանքը որոշվում է բանաձեւով

որտեղ j-ը մարմնի պտտման անկյունն է, որով հաշվարկվում է ուժի աշխատանքը։

Բրինձ. 3.26

Կոշտ մարմնի ներքին ուժերի աշխատանքը. Փաստենք, որ կոշտ մարմնի ներքին ուժերի կատարած աշխատանքը զրո է ցանկացած շարժման համար։ Բավական է ապացուցել, որ բոլոր ներքին ուժերի տարրական աշխատանքների գումարը հավասար է զրոյի։ Դիտարկենք մարմնի ցանկացած երկու կետ Մ 1 և Մ 2 (նկ. 3.26): Քանի որ ներքին ուժերը մարմնի կետերի միջև փոխազդեցության ուժեր են, ապա.

Ներկայացնենք ուժի երկայնքով ուղղված միավոր վեկտոր

Ուժերի տարրական աշխատանքների գումարը և հավասար է

Ընդլայնելով փակագծերում վեկտորների սկալյար արտադրյալները՝ ստանում ենք

Քանի որ կինեմատիկայում ապացուցված է, որ կոշտ մարմնի ցանկացած երկու կետերի արագությունների կանխատեսումները այս կետերը միացնող ուղիղ գծի ուղղությամբ հավասար են միմյանց կոշտ մարմնի ցանկացած շարժման համար, ապա ստացված արտահայտության մեջ. նույնական արժեքների տարբերությունը փակագծերում է, այսինքն. արժեքը հավասար է զրոյի:

3.3.4.4. Թեորեմ կետի կինետիկ էներգիայի փոփոխության մասին

Զանգվածով նյութական կետի համար մ, շարժվելով ուժի ազդեցության տակ, դինամիկայի հիմնական օրենքը կարող է ներկայացվել որպես

Բազմապատկելով այս կապի երկու կողմերը մասշտաբով կետի շառավիղի վեկտորի դիֆերենցիալով մենք ունենք

կամ

Հաշվի առնելով դա - ուժի տարրական աշխատանք,

(3.28)

Բանաձևը (3.28) արտահայտում է դիֆերենցիալ ձևով կետի կինետիկ էներգիայի փոփոխության թեորեմը:

Կետի կինետիկ էներգիայի դիֆերենցիալը հավասար է կետի վրա ազդող ուժի տարրական աշխատանքին։

Եթե ​​հավասարության երկու կողմերը (3.28) ինտեգրված են կետից Մ 0-ից մինչև կետ Մ(տես Նկար 3.22), մենք ստանում ենք թեորեմ վերջնական ձևով կետի կինետիկ էներգիայի փոփոխության մասին.

Ցանկացած տեղաշարժով կետի կինետիկ էներգիայի փոփոխությունը հավասար է նույն տեղաշարժով կետի վրա ազդող ուժի աշխատանքին։

3.4.4.5. Համակարգի կինետիկ էներգիայի փոփոխության թեորեմ

Համակարգի յուրաքանչյուր կետի համար կինետիկ էներգիայի փոփոխության թեորեմը կարող է արտահայտվել ձևով.

Այս հարաբերությունների աջ և ձախ մասերն ամփոփելով համակարգի բոլոր կետերի վրա և դիֆերենցիալ նշանը գումարի նշանից այն կողմ տեղափոխելով՝ մենք ստանում ենք.

կամ

Որտեղ - համակարգի կինետիկ էներգիա; – արտաքին և ներքին ուժերի տարրական աշխատանք, համապատասխանաբար.

Բանաձևը (3.29) արտահայտում է դիֆերենցիալ ձևով համակարգի կինետիկ էներգիայի փոփոխության թեորեմը:

Համակարգի կինետիկ էներգիայից դիֆերենցիալը հավասար է համակարգի վրա գործող բոլոր արտաքին և ներքին ուժերի տարրական աշխատանքների գումարին։

Եթե ​​(3.29)-ի երկու կողմերը ինտեգրված են համակարգի երկու դիրքերի միջև՝ սկզբնական և վերջնական, որոնցում կինետիկ էներգիան հավասար է. Տ 0 և Տ, ապա, փոխելով գումարման և ինտեգրման կարգը, ունենք.

կամ

Որտեղ - արտաքին ուժի աշխատանքը համակարգի կետի համար Մկերբ այն նախնական դիրքից տեղափոխվում է վերջնական դիրք Մկ; - կետի վրա գործող ներքին ուժի աշխատանք Մկ.

Բանաձևը (3.30) արտահայտում է համակարգի կինետիկ էներգիայի փոփոխության թեորեմը վերջավոր կամ ամբողջական ձևով։

Համակարգի կինետիկ էներգիայի փոփոխությունը, երբ այն մի դիրքից մյուսը շարժվում է, հավասար է համակարգի վրա գործող բոլոր արտաքին և ներքին ուժերի աշխատանքի գումարին, որոնք գործում են համակարգի վրա նույն շարժման ընթացքում համակարգի կետերի համապատասխան շարժումների վրա: համակարգը.

Ուժերի աշխատանքը հաշվարկվում է § 87-ում և 88-ում ստացված բանաձևերով: Եկեք լրացուցիչ դիտարկենք հետևյալ դեպքերը.

1. Համակարգի վրա ազդող ծանրության ուժերի աշխատանքը. Քաշ ունեցող մասնիկի վրա ազդող ծանրության աշխատանքը հավասար կլինի այն կոորդինատներին, որոնք որոշում են մասնիկի սկզբնական և վերջնական դիրքերը (տես § 88): Այնուհետև, հաշվի առնելով, որ (տե՛ս § 32), մենք գտնում ենք համակարգի վրա ազդող բոլոր գրավիտացիոն ուժերի աշխատանքի գումարի արժեքը.

Այս արդյունքը կարող է ներկայացվել նաև ձևով

որտեղ P-ը համակարգի կշիռն է, զանգվածի կենտրոնի (կամ ծանրության կենտրոնի) ուղղահայաց շարժումն է: Հետևաբար, համակարգի վրա ազդող ծանրության ուժերի աշխատանքը հաշվարկվում է որպես դրանց հիմնական վեկտորի (պինդ մարմնի դեպքում՝ արդյունք) P-ի աշխատանք՝ համակարգի զանգվածի կենտրոնի (կամ ծանրության կենտրոնի) տեղաշարժի վրա։ մարմնից):

2. Պտտվող մարմնի վրա կիրառվող ուժերի աշխատանք. Մարմնի վրա կիրառվող F ուժի տարրական աշխատանքը (նկ. 307) հավասար կլինի (տե՛ս § 87)

քանի որ , որտեղ է մարմնի պտտման տարրական անկյունը։

Բայց, ինչպես հեշտ է տեսնել,

Քանակը կանվանենք ոլորող մոմենտ: Հետո մենք ստանում ենք

Հետևաբար, քննարկվող դեպքում տարրական աշխատանքը հավասար է պտույտի և պտույտի տարրական անկյան արտադրյալին։ Բանաձևը (46) վավեր է նաև մի քանի ուժերի գործողության դեպքում, եթե ենթադրենք

Անդրադառնալով վերջնական անկյունին, աշխատեք

իսկ մշտական ​​պահի դեպքում

Եթե ​​մարմնի վրա գործում են Օզի առանցքին ուղղահայաց հարթության վրա գտնվող զույգ ուժեր, ապա (46)-(47) բանաձևերում դա ակնհայտորեն կնշանակի այս զույգի պահը։

Եկեք նաև նշենք, թե այս դեպքում ինչպես է որոշվում իշխանությունը (տե՛ս § 87): Օգտագործելով հավասարությունը (46), մենք գտնում ենք

Հետևաբար, երբ ուժերը գործում են պտտվող մարմնի վրա, հզորությունը հավասար է ոլորող մոմենտների և մարմնի անկյունային արագության արտադրյալին: Նույն հզորությամբ, որքան մեծ ոլորող մոմենտ է, այնքան ցածր է անկյունային արագությունը:

3. Գլորվող մարմնի վրա ազդող շփման ուժերի աշխատանքը. R շառավղով անիվը (նկ. 308), որը գլորվում է որոշակի հարթության (մակերեսի) երկայնքով առանց սահելու, գործում է B կետում կիրառվող շփման ուժով, որը թույլ չի տալիս կետը սահել հարթության երկայնքով: Այս ուժի տարրական աշխատանքը. Բայց B կետն այս դեպքում համընկնում է արագությունների ակնթարթային կենտրոնի հետ (տե՛ս § 56) և

Այդ ժամանակից ի վեր յուրաքանչյուր տարրական շարժման համար:

Հետևաբար, առանց սահելու գլորվելիս մարմնի ցանկացած շարժման ժամանակ սահելը կանխող շփման ուժի աշխատանքը զրո է։ Նույն պատճառով այս դեպքում N նորմալ ռեակցիայի աշխատանքը նույնպես զրոյական է, եթե B կետում կիրառվող N ուժի պատճառով մարմինները համարենք ոչ դեֆորմացվող (ինչպես նկ. 308, ա)։

Դիտարկենք փոխադրական կամ պտտվող շարժման ենթարկվող կոշտ մարմնի ցանկացած կետում կիրառվող ուժի աշխատանքը և ուժը որոշելու բանաձևերը:

1. Փոխադրական շարժման ենթարկվող կոշտ մարմնի վրա կիրառվող ուժի աշխատանքը և ուժը:

Դիտարկենք կոշտ մարմինը, որը ենթարկվում է փոխակերպման շարժման իներցիալ հղման համակարգի նկատմամբ կամայական կետում կիրառվող ուժի ազդեցության տակ (նկ. 24):

Կոշտ մարմնի փոխադրական շարժման դեպքում նրա բոլոր կետերը շարժվում են մեծությամբ և ուղղությամբ հավասար արագություններով։ Նշենք մարմնի արագությունը։

Օգտագործելով բանաձևը (4.31) մենք ստանում ենք

որտեղ է կոշտ մարմնի կամայական կետի շառավիղի վեկտորի դիֆերենցիալը:

Բրինձ. 24. Կոշտ մարմնի փոխադրական շարժում ուժի ազդեցությամբ

(4.49) բաժանելով dt, թարգմանական շարժման ենթարկվող մարմնի վրա ազդող ուժի ուժը որոշելու համար մենք ստանում ենք արտահայտություն.

որտեղ է անկյունը արագության ուժի վեկտորների միջև:

Այսինքն՝ կոշտ մարմնի փոխադրական շարժման ժամանակ ուժի ուժը սահմանվում է որպես ուժի վեկտորի և կոշտ մարմնի արագության վեկտորի սկալյար արտադրյալ։

Ինտեգրում (4.49) կետի ցանկացած վերջավոր տեղաշարժի վրա Մմեկնարկային դիրքից Մ 0 դեպի դիրք Մ 1, մենք ստանում ենք այս տեղաշարժով մարմնի վրա ազդող ուժի կատարած ընդհանուր աշխատանքը

2. Պտտման շարժման ենթարկվող կոշտ մարմնի վրա կիրառվող ուժի աշխատանքը և ուժը:

Դիտարկենք կոշտ մարմնի պտույտը ֆիքսված ուղղահայաց առանցքի շուրջ Օզայս մարմնի կամայական կետում կիրառվող ուժի ազդեցության տակ Մ(նկ. 25):

Բրինձ. 25. Կոշտ մարմնի պտույտ ֆիքսված առանցքի շուրջ

Կետի դիրքը Մկացիններում Օքսիզորոշվում է շառավիղի վեկտորով: Կետային արագություն Մուղղված շոշափելիորեն դեպի շարժման հետագիծ (շրջանակ՝ կենտրոնով պտտման առանցքի վրա)։ Այս արագության վեկտորը կարող է որոշվել օգտագործելով Էյլերի վեկտորի բանաձևը, որը հայտնի է կոշտ մարմնի կինեմատիկայի ընթացքից:

որտեղ է կոշտ մարմնի պտտման անկյունային արագության վեկտորը:

Օգտագործելով բանաձևը (4.32) մենք ստանում ենք

Շրջանաձև կարգով փոխելով խառը վեկտորային արտադրյալի գործոնները՝ մենք ստանում ենք

որտեղ է կենտրոնի նկատմամբ ուժի վեկտորային մոմենտը Օ.

Պոմպերի և անկյունային արագության վեկտորների միջև անկյունը:

Հաշվի առնելով, որ.

1. - ուժի պահ, պտտման առանցքի նկատմամբ Օզ.

2. և հետևաբար

մենք վերջապես կստանանք այն

Այսպիսով, ֆիքսված առանցքի շուրջ պտտվող կոշտ մարմնի ցանկացած կետում կիրառվող ուժի տարրական աշխատանքը հավասար է այս ուժի պահի արտադրյալին պտտման առանցքի և մարմնի պտտման անկյան դիֆերենցիալին:

Ֆ անկյան միջով մարմինը պտտելիս ուժի կատարած ընդհանուր աշխատանքը որոշելու համար, ինտեգրելով արտահայտությունը (4.53), մենք ստանում ենք.

Այն դեպքում, երբ , ընդհանուր աշխատանքը կարող է որոշվել բանաձևով

որտեղ φ մարմնի պտտման անկյունն է, որով որոշվում է ուժի աշխատանքը։

Եթե ​​պահի ուղղությունը և անկյունային արագությունը համընկնում են, ապա ուժի կատարած աշխատանքը համարվում է դրական, հակառակ դեպքում՝ բացասական։

Եկեք որոշենք ուժի հզորությունը, երբ կոշտ մարմինը պտտվում է առանցքի շուրջը: Օգտագործելով բանաձևը (4.40) մենք ստանում ենք

Այն է Պտտվող պինդ մարմնի վրա կիրառվող ուժի ուժը սահմանվում է որպես ուժի պահի արտադրյալ՝ կապված պտտման առանցքի և մարմնի անկյունային արագության հետ։ . Հզորության նշանը որոշվում է աշխատանքի նշանի նման։

Թեորեմ. ծանրության ուժով կատարված աշխատանքը կախված չէ հետագծի տեսակից և հավասար է ուժի մոդուլի արտադրյալին և դրա կիրառման կետի ուղղահայաց տեղաշարժին. .

Թող նյութը մատնանշի Մ շարժվում է ձգողականության ազդեցության տակ Գ և որոշակի ժամանակահատվածում շարժվում է դիրքից Մ 1 դիրքավորել Մ 2 , քայլելով ճանապարհը ս (նկ. 4).
Մի կետի հետագծի վրա Մ ընտրել անսահման փոքր տարածք դս , որը կարելի է համարել ուղղագիծ, իսկ դրա ծայրերից կոորդինատային առանցքներին զուգահեռ ուղիղ գծեր ենք գծում, որոնցից մեկը ուղղահայաց է, մյուսը՝ հորիզոնական։
Ստվերավորված եռանկյունից մենք ստանում ենք դա

dy = ds cos α.

Ուժի տարրական աշխատանք Գ ճանապարհին դս հավասար է.

dW = F ds cos α.

Ընդհանուր աշխատանք, որը կատարվում է գրավիտացիայի միջոցով Գ ճանապարհին ս հավասար է

W = ∫ Gds cos α = ∫ Gdy = G ∫ dy = Gh.

Այսպիսով, ծանրության ուժով կատարված աշխատանքը հավասար է ուժի արտադրյալին և դրա կիրառման կետի ուղղահայաց տեղաշարժին.

Թեորեմն ապացուցված է.

Ձգողության աշխատանքի որոշման խնդրի լուծման օրինակ

Առաջադրանք. Միատարր ուղղանկյուն զանգված Ա Բ Գ Դ զանգվածային մ = 4080 կգունի վրա նշված չափսերը բրինձ. 5.
Որոշեք, թե ինչ աշխատանք է պահանջվում զանգվածը եզրի շուրջ թեքելու համար Դ .

Լուծում.
Ակնհայտ է, որ պահանջվող աշխատանքը հավասար է դիմադրության աշխատանքին, որը կատարվում է զանգվածի ծանրության ուժի կողմից, մինչդեռ զանգվածի ծանրության կենտրոնի ուղղահայաց շարժումը եզրին թեքվելիս: Դ այն ուղին է, որը որոշում է գրավիտացիայի միջոցով կատարված աշխատանքի ծավալը:

Նախ, եկեք որոշենք զանգվածի ծանրությունը. G = մգ = 4080×9,81 = 40000 N = 40 կՆ.

Ուղղահայաց շարժումը որոշելու համար հ Ուղղանկյուն միատարր զանգվածի ծանրության կենտրոնը (այն գտնվում է ուղղանկյան անկյունագծերի հատման կետում), օգտագործում ենք Պյութագորասի թեորեմը, որի հիման վրա.

KO 1 = ОD – КD = √(ОК 2 + КD 2) – КD = √(3 2 +4 2) - 4 = 1 մ.

Ձգողության աշխատանքի թեորեմի հիման վրա մենք որոշում ենք զանգվածը շրջելու համար անհրաժեշտ աշխատանքը.

W = G×KO 1 = 40,000×1 = 40,000 J = 40 կՋ:

Խնդիրը լուծված է։

Աշխատանքը կատարվում է պտտվող մարմնի վրա կիրառվող մշտական ​​ուժով

Պատկերացնենք, որ սկավառակը պտտվում է հաստատուն առանցքի շուրջ՝ հաստատուն ուժի ազդեցության տակ Ֆ (նկ. 6), որի կիրառման կետը շարժվում է սկավառակի հետ։ Եկեք քանդենք իշխանությունը Ֆ երեք փոխադարձ ուղղահայաց բաղադրիչների. F 1 - շրջագծային ուժ, F 2 - առանցքային ուժ, F 3 - ճառագայթային ուժ.

Սկավառակը անսահման փոքր անկյան տակ պտտելիս dφ ուժ Ֆ կկատարի տարրական աշխատանք, որը արդյունքում ստացված աշխատանքի թեորեմի հիման վրա հավասար կլինի բաղադրիչների աշխատանքի գումարին։

Ակնհայտ է, որ բաղադրիչների աշխատանքը F 2 Եվ F 3 հավասար կլինի զրոյի, քանի որ այդ ուժերի վեկտորները ուղղահայաց են անվերջ փոքր տեղաշարժին դս կիրառման կետեր Մ , հետևաբար ուժի տարրական աշխատանքը Ֆ հավասար է իր բաղադրիչի աշխատանքին F 1 :

dW = F 1 ds = F 1 Rdφ.

Սկավառակը վերջնական անկյան տակ դարձնելիս φ ուժի աշխատանք Ֆ հավասար է

W = ∫ F 1 Rdφ = F 1 R ∫ dφ = F 1 Rφ,

որտեղ է անկյունը φ արտահայտված ռադիաններով։

Բաղադրիչների պահերից F 2 Եվ F 3 առանցքի համեմատ զ հավասար են զրոյի, ապա, Վարինյոնի թեորեմի հիման վրա, ուժի պահը Ֆ առանցքի համեմատ զ հավասար է:

M z (F) = F 1 R.

Պտտման առանցքի նկատմամբ սկավառակի վրա կիրառվող ուժի պահը կոչվում է ոլորող մոմենտ, և ըստ ստանդարտի. ISO, որը նշվում է տառով Տ :

T = M z (F), հետևաբար, W = Tφ .

Պտտվող մարմնի վրա կիրառվող հաստատուն ուժի աշխատանքը հավասար է պտտման և անկյունային տեղաշարժի արտադրյալին:

Խնդրի լուծման օրինակ

Առաջադրանք. աշխատողը ուժով պտտում է ճախարի բռնակը Ֆ = 200 Ն, ուղղահայաց պտտման շառավղին։
Գտեք ժամանակի ընթացքում ծախսված աշխատանք տ = 25 վայրկյան, եթե բռնակի երկարությունը r = 0,4 մ, և դրա անկյունային արագությունը ω = π/3 ռադ/վ.

Լուծում.
Նախ, եկեք որոշենք անկյունային տեղաշարժը φ ճախարակի բռնակներ համար 25 վայրկյան:

φ = ωt = (π/3)×25 = 26,18 ռադ.

W = Tφ = Frφ = 200×0,4×26,18 ≈ 2100 J ≈ 2,1 կՋ.

Ուժ

Ցանկացած ուժի կատարած աշխատանքը կարող է կատարվել տարբեր ժամանակահատվածներում, այսինքն՝ տարբեր արագություններով։ Բնութագրելու համար, թե որքան արագ է կատարվում աշխատանքը, մեխանիկայի մեջ կա մի հասկացություն ուժ , որը սովորաբար նշվում է տառով Պ .