Ուսուցման առաջադրանքներ Պյութագորասի թեորեմի վերաբերյալ. Անկախ աշխատանք «Առաջադրանքներ «Պյութագորասի թեորեմ» թեմայով

Երբ դուք առաջին անգամ սկսեցիք սովորել քառակուսի արմատների մասին և ինչպես լուծել իռացիոնալ հավասարումներ (հավասարություններ, որոնք ներառում են անհայտ արմատի նշանի տակ), հավանաբար առաջին անգամ զգացիք դրանց գործնական կիրառումը: Թվերի քառակուսի արմատ վերցնելու ունակությունը նույնպես անհրաժեշտ է Պյութագորասի թեորեմի միջոցով խնդիրներ լուծելու համար։ Այս թեորեմը վերաբերում է ցանկացած ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի երկարություններին:

Թող ուղղանկյուն եռանկյան ոտքերի երկարությունները (այդ երկու կողմերը, որոնք հանդիպում են ուղիղ անկյան տակ) նշանակվեն տառերով և, իսկ հիպոթենուսի երկարությունը (եռանկյան ամենաերկար կողմը, որը գտնվում է ուղիղ անկյան դիմաց) կնշանակվի տառերով. նամակը։ Այնուհետև համապատասխան երկարությունները կապված են հետևյալ հարաբերությամբ.

Այս հավասարումը թույլ է տալիս գտնել ուղղանկյուն եռանկյան կողմի երկարությունը, երբ հայտնի է նրա մյուս երկու կողմերի երկարությունը: Բացի այդ, այն թույլ է տալիս որոշել, թե արդյոք խնդրո առարկա եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է, պայմանով, որ բոլոր երեք կողմերի երկարությունները նախապես հայտնի լինեն:

Խնդիրների լուծում՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը

Նյութը համախմբելու համար մենք կլուծենք հետևյալ խնդիրները՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը.

Այսպիսով, հաշվի առնելով.

Ոտքերից մեկի երկարությունը 48 է, հիպոթենուսը՝ 80։
Ոտքի երկարությունը 84 է, հիպոթենուսը՝ 91։

Գանք լուծմանը.

ա) Տվյալները վերը նշված հավասարման մեջ փոխարինելը տալիս է հետևյալ արդյունքները.

48 2 + բ 2 = 80 2

2304 + բ 2 = 6400

բ 2 = 4096

բ= 64 կամ բ = -64

Քանի որ եռանկյան կողմի երկարությունը չի կարող արտահայտվել որպես բացասական թիվ, երկրորդ տարբերակը ինքնաբերաբար մերժվում է։

Առաջին նկարի պատասխանը. բ = 64.

բ) Երկրորդ եռանկյան ոտքի երկարությունը նույն կերպ է գտնում.

84 2 + բ 2 = 91 2

7056 + բ 2 = 8281

բ 2 = 1225

բ= 35 կամ բ = -35

Ինչպես նախորդ դեպքում, բացասական որոշումը մերժվում է։

Երկրորդ նկարի պատասխանը. բ = 35

Մեզ տրվում է.

Եռանկյան փոքր կողմերի երկարությունները համապատասխանաբար 45 և 55 են, իսկ ավելի մեծ կողմերը՝ 75։
Եռանկյան փոքր կողմերի երկարությունները համապատասխանաբար 28 և 45 են, իսկ ավելի մեծ կողմերը՝ 53։

Եկեք լուծենք խնդիրը.

ա) Պետք է ստուգել, թե արդյոք տրված եռանկյան ավելի կարճ կողմերի երկարությունների քառակուսիների գումարը հավասար է ավելի մեծի երկարության քառակուսուն.

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Հետևաբար, առաջին եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն չէ:

բ) կատարվում է նույն գործողությունը.

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Այսպիսով, երկրորդ եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:

Նախ գտնենք (-2, -3) և (5, -2) կոորդինատներով կետերով կազմված ամենամեծ հատվածի երկարությունը։ Դա անելու համար մենք օգտագործում ենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում կետերի միջև հեռավորությունը գտնելու հայտնի բանաձևը.

Նմանապես, մենք գտնում ենք հատվածի երկարությունը, որը փակված է (-2, -3) և (2, 1) կոորդինատներով կետերի միջև.

Ի վերջո, մենք որոշում ենք հատվածի երկարությունը կետերի միջև (2, 1) և (5, -2) կոորդինատներով.

Քանի որ հավասարությունը գործում է.

ապա համապատասխան եռանկյունը ուղղանկյուն է։

Այսպիսով, մենք կարող ենք ձևակերպել խնդրի պատասխանը. քանի որ ամենակարճ երկարություն ունեցող կողմերի քառակուսիների գումարը հավասար է ամենաերկար երկարություն ունեցող կողմի քառակուսուն, կետերը ուղղանկյուն եռանկյան գագաթներն են:

Հիմքը (գտնվում է խիստ հորիզոնական), խարույկը (գտնվում է խիստ ուղղահայաց) և մալուխը (ձգված անկյունագծով) համապատասխանաբար կազմում են ուղղանկյուն եռանկյուն, մալուխի երկարությունը գտնելու համար Պյութագորասի թեորեմը կարող է օգտագործվել.

Այսպիսով, մալուխի երկարությունը կկազմի մոտավորապես 3,6 մետր:

Տրված է՝ R կետից P կետ (եռանկյան ոտքը) հեռավորությունը 24 է, R կետից Q կետ (հիպոթենուս)՝ 26։

Այսպիսով, եկեք օգնենք Vita-ին լուծել խնդիրը: Քանի որ նկարում ներկայացված եռանկյան կողմերը պետք է ձևավորեն ուղղանկյուն եռանկյուն, դուք կարող եք օգտագործել Պյութագորասի թեորեմը՝ գտնելու երրորդ կողմի երկարությունը.

Այսպիսով, լճակի լայնությունը 10 մետր է։

Սերգեյ Վալերիևիչ

Քաղաքային բյուջետային ուսումնական հաստատություն

«Կրասնիկովսկայայի հիմնական միջնակարգ դպրոց»

Օրյոլի շրջանի Զնամենսկի շրջան

Դասի ամփոփում թեմայի շուրջ.

«Պյութագորասյան պալատ» թեմայով խնդիրների լուծում.

Մաթեմատիկայի ուսուցիչ -

Ֆիլինա Մարինա Ալեքսանդրովնա

2015 – 2016 ուսումնական տարի

«Պյութագորասյան պալատ» թեմայով խնդիրների լուծում.

Դասի նպատակը.

Ամրապնդել Պյութագորասի թեորեմը խնդիրներ լուծելիս կիրառելու կարողությունը
Զարգացնել տրամաբանական մտածողությունը
Սովորեք օգտագործել ձեռք բերված գիտելիքները գործնականում և առօրյա կյանքում

Դասի տեսակը. ուսումնասիրված նյութի ընդհանրացման և համախմբման դաս.

Դասի աշխատանքի ձևերը.ճակատային, անհատական, ինքնուրույն:

Սարքավորումներ: համակարգիչ; մուլտիմեդիա պրոյեկտոր; ներկայացում դասի համար.

Դասերի ժամանակ

1. Կազմակերպչական պահ

Ողջույն, դասի պատրաստակամության ստուգում (աշխատանքային տետրեր, դասագրքեր, գրավոր նյութեր):

Մաթեմատիկական թելադրություն

Ո՞ր եռանկյունն է կոչվում ուղղանկյուն եռանկյուն:
Որքա՞ն է ուղղանկյուն եռանկյան անկյունների գումարը:
Որքա՞ն է ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը:
Ձևակերպե՛ք 30 աստիճան անկյան դիմաց ընկած ոտքի հատկությունը:
Նշեք Պյութագորասի թեորեմը:
Ինչպե՞ս է կոչվում ուղիղ անկյան դիմաց գտնվող կողմը:
Ինչպե՞ս է կոչվում ուղղանկյունին հարող կողմը:

Մաթեմատիկական թելադրանքի ստուգում

Եթե կա ուղիղ անկյուն.

180°
3. 90°

4. Անկյունին հակառակ ընկած ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը

30°-ում այն հավասար է հիպոթենուսի կեսին:

5. Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ հիպոթենուսի քառակուսին

Հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին:

6. Հիպոթենուզա.

7. Ոտք.

Խնդրի լուծում

Թիվ 2. Որքա՞ն պետք է տեղափոխվի սանդուղքի ստորին ծայրը տան պատից:

Ո՞ր երկարությունն է 13 մ, որպեսզի դրա վերին ծայրը լինի 12 մ բարձրության վրա:

Թիվ 3. Տրված է.

∆ABC հավասարաչափ

AB = 13 սմ,

ID – բարձրություն, ID=12 սմ

Գտեք՝ AC

№ 4.

Տրված է՝ ABCD – ռոմբ,

AC, VD - անկյունագծեր,

AC = 12 սմ, BD = 16 սմ:

Գտեք՝ P ABCD

Ֆիզիկական դաստիարակության դադար

Փորձարկում

1. Ո՞ր գիտնականի թեորեմն օգտագործեցինք այսօր դասարանում:
ա) Դեմոկրիտ; բ) Մագնիտսկի; գ) Պյութագորաս; դ) Լոմոնոսով.
2. Ի՞նչ հայտնաբերեց այս մաթեմատիկոսը:
ա) թեորեմա; բ) ձեռագիր; գ) հնագույն տաճար; դ) առաջադրանք.
3. Ի՞նչ է կոչվում ուղղանկյուն եռանկյան ամենամեծ կողմը:
ա) միջին; բ) ոտք; գ) բիսեկտոր; դ) հիպոթենուզա.
4. Ինչու է թեորեմը կոչվում «հարսի թեորեմ»
ա) քանի որ գրվել է հարսի համար.
բ) քանի որ հարսն է գրել.
գ) քանի որ գծանկարը նման է «թիթեռի», իսկ «թիթեռը» թարգմանվում է որպես «նիմֆ» կամ «հարսնացու».
դ) քանի որ դա առեղծվածային թեորեմ է:

5. Ինչու է թեորեմը կոչվում «էշերի կամուրջ»
ա) այն օգտագործվել է ավանակներ վարժեցնելու համար.
բ) միայն խելացիներն ու համառները կարող էին հաղթահարել այս կամուրջը և ապացուցել այս թեորեմը.
գ) գրվել է «էշերի» կողմից.
դ) թեորեմի շատ բարդ ապացույց:
6. Պյութագորասի թեորեմում հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է
ա) եռանկյան կողմերի երկարությունների գումարը.
բ) ոտքերի քառակուսիների գումարը.
գ) եռանկյունու մակերեսը.
դ) հրապարակի մակերեսը.
7. Որո՞նք են եգիպտական եռանկյան կողմերը:
ա) 1, 2, 3; բ) 3,4,5; գ)2,3,4; դ) 6,7,8.

Դասի ամփոփում, գնահատում.

Տնային աշխատանք - № 9, № 12

Մտորումներ

«Ես կրկնեցի…» «Ես իմացա…»

«Ես համախմբվել եմ…» «Սովորել եմ որոշել…»

«Ինձ դուր է գալիս…»

Գտե՛ք ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսի բարձրությունը, եթե նրա ոտքերը 3 սմ և 5 սմ են:

Այս խնդիրը լուծելու համար հարկավոր է նկարել եռանկյունի, և, իհարկե, ուղղանկյուն: Հետագա լուծման հարմարության համար ես այն կնկարեմ հիպոթենուսի վրա պառկած։

Հիմա եկեք գծենք բարձրությունը: Ինչ է սա ամեն դեպքում: Սա մի գիծ է, որը գծված է եռանկյան անկյունից դեպի հակառակ կողմը, որն այս կողմի հետ կազմում է ուղիղ անկյուն:

Որտեղի՞ց է առաջացել 34 սմ թվի արմատը: Հայտնի ոտքերով եռանկյունու հիպոթենուսը գտնելը շատ հեշտ է՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը.
Հիպոթենուզ = հիպոթենուսի քառակուսու արմատ = 34 սմ արմատ:

Բարձրությունը գծելուց հետո հայտնվեցին երկու ներքին եռանկյուններ։ Մեր առաջադրանքում, փաստորեն, տառերով նշանակումն անօգուտ է, բայց պարզության համար.

Այսպիսով, կար ABC եռանկյուն, որի մեջ BD բարձրությունը իջեցվեց մինչև AC հիպոթենուսը: Արդյունքը երկու ներքին ուղղանկյուն եռանկյուն է՝ ADB և BDC: Մենք չգիտենք, թե ինչպես է բարձրությունը բաժանել հիպոթենուսը, ուստի ավելի փոքր անհայտ մասը՝ AD, նշանակում ենք x-ով, իսկ ավելի մեծը՝ DC-ն՝ AC-ի և x-ի տարբերությամբ, այսինքն. (արմատը 34)-x սմ.

Ցանկալի բարձրությունը նշանակենք y-ով: Այժմ, ըստ Պյութագորասի թեորեմի, երկու ներքին ուղղանկյուն եռանկյուններից մենք կկազմենք հավասարումների համակարգ.
x^2 + y^2 = 9
((34-ի արմատը)-x)^2 + y^2 = 25

Արտահայտենք y^2 առաջին հավասարումից՝ y^2 = 9 - x^2
Եկեք փոխարինենք՝ նախ պարզեցնելով երկրորդ հավասարումը. (34-ի արմատը)*x + x^2 + 9 - x^2 = 43 - 2*(34-ի արմատ)*x = 25
2 * (արմատը 34) * x = 18
x = 9/(34-ի արմատ)

Ուռա՜ Գրեթե արված է! Այժմ, կրկին, ըստ Պյութագորասի թեորեմի, ABD եռանկյունից.
(հիպոթենուսի քառակուսի) - ((գտնվել է x) քառակուսի) = պահանջվող բարձրության քառակուսի
AB^2 - x^2 = 9 - 81/34 = 225/34 = h^2
h = 15/(34-ի արմատ)

(տարբերակ 1)

ABCD ուղղանկյունում հարակից կողմերն ունեն 12:5 հարաբերակցություն, իսկ անկյունագիծը 26 սմ է:

ABCD BD = 2√41 սմ, AC = 26 սմ, AD = 16 սմ զուգահեռագծի O-ի անկյունագծերի հատման կետով գծված է ուղիղ գիծ: Գտե՛ք այն հատվածները, որոնց այս ուղիղը բաժանել է AD կողմը: