Սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս հասկացությունները եռանկյունաչափության հիմնական կատեգորիաներն են, մաթեմատիկայի ճյուղը և անքակտելիորեն կապված են անկյունի սահմանման հետ։ Այս մաթեմատիկական գիտությանը տիրապետելը պահանջում է բանաձևերի և թեորեմների անգիր և ըմբռնում, ինչպես նաև զարգացած տարածական մտածողություն: Ահա թե ինչու եռանկյունաչափական հաշվարկները հաճախ դժվարություններ են առաջացնում դպրոցականների և ուսանողների համար։ Դրանք հաղթահարելու համար դուք պետք է ավելի լավ ծանոթանաք եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին և բանաձևերին:
Հայեցակարգեր եռանկյունաչափության մեջ
Եռանկյունաչափության հիմնական հասկացությունները հասկանալու համար նախ պետք է հասկանալ, թե ինչ են ուղղանկյուն եռանկյունը և անկյունը շրջանագծի մեջ, և ինչու են բոլոր հիմնական եռանկյունաչափական հաշվարկները կապված դրանց հետ: Եռանկյունը, որի անկյուններից մեկը չափում է 90 աստիճան, ուղղանկյուն է: Պատմականորեն այս ցուցանիշը հաճախ օգտագործվում էր ճարտարապետության, ծովագնացության, արվեստի և աստղագիտության մեջ: Ըստ այդմ, ուսումնասիրելով և վերլուծելով այս գործչի հատկությունները, մարդիկ եկան հաշվարկելու դրա պարամետրերի համապատասխան հարաբերակցությունները:
Ուղղանկյուն եռանկյունների հետ կապված հիմնական կատեգորիաներն են հիպոթենուսը և ոտքերը: Հիպոթենուսը եռանկյան կողմն է, որը հակառակ է ուղիղ անկյան: Ոտքերը, համապատասխանաբար, մնացած երկու կողմերն են։ Ցանկացած եռանկյան անկյունների գումարը միշտ 180 աստիճան է:
Գնդաձև եռանկյունաչափությունը եռանկյունաչափության բաժին է, որը չի ուսումնասիրվում դպրոցում, բայց կիրառական գիտություններում, ինչպիսիք են աստղագիտությունը և գեոդեզիան, գիտնականներն այն օգտագործում են: Գնդաձև եռանկյունու յուրահատկությունն այն է, որ այն միշտ ունի 180 աստիճանից մեծ անկյունների գումար։
Եռանկյան անկյուններ
Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ անկյան սինուսը ցանկալի անկյան դիմաց գտնվող ոտքի հարաբերությունն է եռանկյան հիպոթենուսին: Համապատասխանաբար, կոսինուսը հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունն է: Այս երկու արժեքները միշտ ունեն մեկից պակաս մեծություն, քանի որ հիպոթենուսը միշտ ավելի երկար է, քան ոտքը:
Անկյան շոշափողը արժեք է, որը հավասար է հակառակ կողմի հարակից կողմի և ցանկալի անկյան հարևան կողմի կամ սինուսի և կոսինուսի հարաբերությանը: Կոտանգենսն իր հերթին ցանկալի անկյան հարակից կողմի հարաբերակցությունն է հակառակ կողմին: Անկյունի կոտանգենսը կարելի է ստանալ նաև մեկը շոշափող արժեքի վրա բաժանելով։
Միավոր շրջանակ
Միավոր շրջանագիծը երկրաչափության մեջ այն շրջանագիծն է, որի շառավիղը հավասար է մեկի: Նման շրջանագիծը կառուցված է դեկարտյան կոորդինատային համակարգում, շրջանագծի կենտրոնը համընկնում է սկզբնակետի հետ, իսկ շառավիղի վեկտորի սկզբնական դիրքը որոշվում է X առանցքի դրական ուղղության երկայնքով (աբսցիսային առանցք): Շրջանակի յուրաքանչյուր կետ ունի երկու կոորդինատ՝ XX և YY, այսինքն՝ աբսցիսայի և օրդինատի կոորդինատները։ Ընտրելով XX հարթության շրջանագծի ցանկացած կետ և նրանից ուղղահայաց գցելով դեպի աբսցիսայի առանցքը, մենք ստանում ենք ուղղանկյուն եռանկյուն, որը ձևավորվում է ընտրված կետի շառավղով (նշվում է C տառով), X առանցքին գծված ուղղանկյուն։ (հատման կետը նշվում է G տառով), իսկ աբսցիսայի առանցքի հատվածը գտնվում է կոորդինատների սկզբնակետի (կետը նշանակված է A տառով) և հատման կետի G-ի միջև: Ստացված ACG եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է, որը գրված է շրջան, որտեղ AG-ն հիպոթենուսն է, իսկ AC և GC-ն ոտքերն են: AC շրջանագծի շառավղի և AG նշմամբ աբսցիսային առանցքի հատվածի միջև անկյունը սահմանվում է α (ալֆա): Այսպիսով, cos α = AG/AC: Հաշվի առնելով, որ AC-ը միավոր շրջանագծի շառավիղն է, և այն հավասար է մեկի, ստացվում է, որ cos α=AG: Նմանապես, sin α=CG:
Բացի այդ, իմանալով այս տվյալները, դուք կարող եք որոշել C կետի կոորդինատը շրջանագծի վրա, քանի որ cos α=AG, իսկ sin α=CG, ինչը նշանակում է, որ C կետն ունի տրված կոորդինատները (cos α;sin α): Իմանալով, որ շոշափողը հավասար է սինուսի և կոսինուսի հարաբերությանը, մենք կարող ենք որոշել, որ tan α = y/x, և cot α = x/y: Բացասական կոորդինատային համակարգում անկյունները դիտարկելով՝ կարող եք հաշվարկել, որ որոշ անկյունների սինուսի և կոսինուսի արժեքները կարող են բացասական լինել:
Հաշվարկներ և հիմնական բանաձևեր
Եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արժեքներ
Հաշվի առնելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների էությունը միավորի շրջանակի միջոցով, մենք կարող ենք դուրս բերել այդ ֆունկցիաների արժեքները որոշ անկյունների համար: Արժեքները թվարկված են ստորև բերված աղյուսակում:
Ամենապարզ եռանկյունաչափական ինքնությունները
Այն հավասարումները, որոնցում եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանի տակ անհայտ արժեք կա, կոչվում են եռանկյունաչափական: Նույնականություններ sin x = α արժեքով, k - ցանկացած ամբողջ թիվ.
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
- sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, լուծումներ չկան:
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Cos x = a արժեքով նույնականություններ, որտեղ k-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է.
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x = -1, x = π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, լուծումներ չկան:
- cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.
Նույնականություններ tg x = a արժեքով, որտեղ k-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է.
- tan x = 0, x = π/2 + πk.
- tan x = a, x = արկտան α + πk.
Նույնականություններ ctg x = a արժեքով, որտեղ k-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է.
- մահճակալ x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
Կրճատման բանաձևեր
Մշտական բանաձևերի այս կատեգորիան նշանակում է մեթոդներ, որոնցով դուք կարող եք ձևի եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից տեղափոխել արգումենտի ֆունկցիաներ, այսինքն՝ նվազեցնել ցանկացած արժեքի անկյան սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը և կոտանգենսը անկյան համապատասխան ցուցիչներին: 0-ից 90 աստիճանի միջակայքը՝ հաշվարկների ավելի հարմարավետության համար:
Անկյունի սինուսի ֆունկցիաների կրճատման բանաձևերը հետևյալն են.
- sin(900 - α) = α;
- sin (900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin (1800 + α) = -sin α;
- sin (2700 - α) = -cos α;
- sin (2700 + α) = -cos α;
- sin (3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = sin α.
Անկյունի կոսինուսի համար.
- cos(900 - α) = մեղք α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Վերոնշյալ բանաձևերի օգտագործումը հնարավոր է երկու կանոնների համաձայն. Նախ, եթե անկյունը կարող է ներկայացվել որպես արժեք (π/2 ± a) կամ (3π/2 ± a), ֆունկցիայի արժեքը փոխվում է.
- մեղքից մինչև կոս;
- cos-ից մինչև մեղք;
- tg-ից մինչև ctg;
- ctg-ից tg.
Ֆունկցիայի արժեքը մնում է անփոփոխ, եթե անկյունը կարող է ներկայացվել որպես (π ± a) կամ (2π ± a):
Երկրորդ, կրճատված ֆունկցիայի նշանը չի փոխվում. եթե ի սկզբանե դրական է եղել, այդպես էլ մնում է։ Նույնը բացասական գործառույթների դեպքում:
Հավելման բանաձևեր
Այս բանաձևերը արտահայտում են սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի արժեքները երկու պտտվող անկյունների գումարի և տարբերության՝ իրենց եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջոցով: Սովորաբար անկյունները նշանակվում են α և β:
Բանաձևերն այսպիսի տեսք ունեն.
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β):
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β):
Այս բանաձևերը վավեր են α և β ցանկացած անկյունների համար:
Կրկնակի և եռակի անկյունային բանաձևեր
Կրկնակի և եռակի անկյան եռանկյունաչափական բանաձևերը բանաձևեր են, որոնք կապում են համապատասխանաբար 2α և 3α անկյունների ֆունկցիաները α անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին։ Ավելացման բանաձևերից ստացված.
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2 α.
- tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α):
- sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α):
Անցում գումարից ապրանքի
Հաշվի առնելով, որ 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), պարզեցնելով այս բանաձևը, մենք ստանում ենք sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 նույնականացումը: Նմանապես sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α - β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α):
Անցում ապրանքից դեպի գումար
Այս բանաձևերը բխում են գումարի արտադրանքի անցման ինքնություններից.
- sinα * sinβ = 1/2 *;
- cosα * cosβ = 1/2 *;
- sinα * cosβ = 1/2 *:
Աստիճանների նվազեցման բանաձևեր
Այս նույնություններում սինուսի և կոսինուսի քառակուսի և խորանարդ ուժերը կարող են արտահայտվել բազմակի անկյան առաջին ուժի սինուսի և կոսինուսի տեսքով.
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α) / 4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Ունիվերսալ փոխարինում
Համընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինման բանաձևերը արտահայտում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կիսանկյան շոշափողով։
- sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), x = π + 2πn-ով;
- cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), որտեղ x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), որտեղ x = π + 2πn;
- cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), x = π + 2πn-ով:
Հատուկ դեպքեր
Ստորև բերված են պարզագույն եռանկյունաչափական հավասարումների հատուկ դեպքեր (k-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է):
Սինուսի գործակիցներ.
| Sin x արժեքը | x արժեքը |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk կամ 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk կամ -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk կամ 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk կամ -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk կամ 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk կամ -2π/3 + 2πk |
Կոսինուսի գործակիցներ.
| cos x արժեքը | x արժեքը |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2 πk |
| -1 | 2 + 2 πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Շոշափողներ՝
| tg x արժեքը | x արժեքը |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Կոտանգենտի գործակիցները.
| ctg x արժեքը | x արժեքը |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Թեորեմներ
Սինուսների թեորեմա
Թեորեմի երկու տարբերակ կա՝ պարզ և ընդլայնված։ Պարզ սինուսի թեորեմ՝ a/sin α = b/sin β = c/sin γ: Այս դեպքում a, b, c եռանկյան կողմերն են, իսկ α, β, γ՝ համապատասխանաբար հակառակ անկյունները։
Ընդլայնված սինուսի թեորեմ կամայական եռանկյունու համար՝ a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R: Այս նույնությամբ R-ը նշանակում է շրջանագծի շառավիղը, որում մակագրված է տվյալ եռանկյունը։
Կոսինուսների թեորեմ
Ինքնությունը ցուցադրվում է հետևյալ կերպ՝ a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α: Բանաձևում a, b, c-ն եռանկյան կողմերն են, իսկ α-ն՝ a կողմին հակառակ անկյունը:
Շոշափող թեորեմ
Բանաձևն արտահայտում է երկու անկյունների շոշափողների և նրանց դիմաց գտնվող կողմերի երկարության հարաբերությունները: Կողմերը պիտակավորված են a, b, c, իսկ համապատասխան հակադիր անկյուններն են α, β, γ: Շոշափող թեորեմի բանաձևը՝ (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).
Կոտանգենտի թեորեմ
Եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը միացնում է նրա կողմերի երկարությանը: Եթե a, b, c եռանկյան կողմերն են, իսկ A, B, C, համապատասխանաբար, նրանց դիմացի անկյուններն են, r-ը ներգծված շրջանագծի շառավիղն է, իսկ p-ն եռանկյան կիսաշրջագիծն է, ապա հետևյալը. ինքնությունը վավեր է.
- մահճակալ A / 2 = (p-a) / r;
- մահճակալ B / 2 = (p-b) / r;
- մահճակալ C/2 = (p-c)/r.
Դիմում
Եռանկյունաչափությունը միայն տեսական գիտություն չէ, որը կապված է մաթեմատիկական բանաձևերի հետ։ Նրա հատկությունները, թեորեմները և կանոնները գործնականում օգտագործվում են մարդկային գործունեության տարբեր ճյուղերի կողմից՝ աստղագիտություն, օդային և ծովային նավարկություն, երաժշտության տեսություն, գեոդեզիա, քիմիա, ակուստիկա, օպտիկա, էլեկտրոնիկա, ճարտարապետություն, տնտեսագիտություն, մեքենաշինություն, չափիչ աշխատանք, համակարգչային գրաֆիկա, քարտեզագրություն, օվկիանոսագրություն և շատ ուրիշներ։
Սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը և կոտանգենսը եռանկյունաչափության հիմնական հասկացություններն են, որոնց օգնությամբ կարելի է մաթեմատիկորեն արտահայտել եռանկյան կողմերի անկյունների և երկարությունների հարաբերությունները, նույնականությունների, թեորեմների և կանոնների միջոցով գտնել պահանջվող մեծությունները։
4-ի միասնական պետական քննություն. Չե՞ք պայթել երջանկությունից։
Հարցը, ինչպես ասում են, հետաքրքիր է... Հնարավոր է, կարելի է անցնել 4-ով! Եվ միաժամանակ չպայթել... Հիմնական պայմանը կանոնավոր մարզվելն է։ Ահա մաթեմատիկայի միասնական պետական քննության հիմնական նախապատրաստությունը: Պետական միասնական քննության բոլոր գաղտնիքներով ու առեղծվածներով, որոնց մասին դասագրքերում չեք կարդա... Ուսումնասիրեք այս բաժինը, լուծեք ավելի շատ առաջադրանքներ տարբեր աղբյուրներից, և ամեն ինչ կստացվի: Ենթադրվում է, որ «A C-ն ձեզ բավական է» հիմնական բաժինը: դա ձեզ ոչ մի խնդիր չի առաջացնում: Բայց եթե հանկարծ... Հետևեք հղումներին, մի՛ ծույլ եղեք:
Եվ մենք կսկսենք մեծ ու սարսափելի թեմայից.
Եռանկյունաչափություն
Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
նյութեր 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր շատ «ոչ շատ ...» են:
Եվ նրանց համար, ովքեր «շատ…»)
Այս թեման բազմաթիվ խնդիրներ է առաջացնում ուսանողների համար։ Այն համարվում է ամենադաժաններից մեկը։ Որո՞նք են սինուսը և կոսինուսը: Որո՞նք են շոշափողը և կոտանգենսը: Ի՞նչ է թվերի շրջանակը:Հենց այս անվնաս հարցերն ես տալիս, մարդը գունատվում է ու փորձում շեղել խոսակցությունը... Բայց ապարդյուն. Սրանք պարզ հասկացություններ են: Եվ այս թեման ավելի բարդ չէ, քան մյուսները: Պարզապես պետք է հենց սկզբից հստակ հասկանալ այս հարցերի պատասխանները։ Սա շատ կարևոր է։ Եթե հասկանաք, ձեզ դուր կգա եռանկյունաչափությունը։ Այսպիսով,
Որո՞նք են սինուսը և կոսինուսը: Որո՞նք են շոշափողը և կոտանգենսը:
Սկսենք հին ժամանակներից։ Մի անհանգստացեք, մենք մոտ 15 րոպեում կանցնենք եռանկյունաչափության բոլոր 20 դարերի միջով և, առանց դա նկատելու, կկրկնենք 8-րդ դասարանի երկրաչափությունը:
Եկեք գծենք կողմերով ուղղանկյուն եռանկյուն ա, բ, գև անկյուն X. Ահա այն.
Հիշեցնեմ, որ այն կողմերը, որոնք կազմում են ուղիղ անկյուն, կոչվում են ոտքեր։ ա և գ- ոտքեր. Դրանք երկուսն են։ Մնացած կողմը կոչվում է հիպոթենուս: Հետ- հիպոթենուզա.
Եռանկյուն և եռանկյուն, պարզապես մտածեք: Ի՞նչ անել դրա հետ: Բայց հին ժողովուրդը գիտեր ինչ անել։ Կրկնենք նրանց գործողությունները. Եկեք չափենք կողմը Վ. Նկարում բջիջները հատուկ գծված են, ինչպես դա տեղի է ունենում միասնական պետական քննության առաջադրանքներում: ՎԿողք հավասար է չորս բջիջների: Լավ: Եկեք չափենք կողմըԱ.
Երեք բջիջ. Հիմա եկեք բաժանենք կողմի երկարությունըԱ Վմեկ կողմի երկարությամբ Հիմա եկեք բաժանենք կողմի երկարությունը. Կամ, ինչպես ասում են նաև, եկեք վերաբերվենք Վ. Դեպի= 3/4.
ա/վ ՎԸնդհակառակը, դուք կարող եք բաժանել հավասար է չորս բջիջների: Լավ: Եկեք չափենք կողմըվրա ՎՄենք ստանում ենք 4/3: Կարող է բաժանել ըստՀետ. ՀետՀիպոթենուզա Անհնար է հաշվել ըստ բջիջների, բայց դա հավասար է 5-ի: Մենք ստանում ենքբարձր որակ
= 4/5. Մի խոսքով, կարելի է կողմերի երկարությունները բաժանել միմյանց և ստանալ մի քանի թվեր։
Ուրեմն ի՞նչ։ Ո՞րն է այս հետաքրքիր գործունեության իմաստը: Դեռ ոչ մեկը: Անիմաստ վարժություն, կոպիտ ասած:) Հիմա եկեք սա անենք: Եկեք մեծացնենք եռանկյունը: Եկեք երկարացնենք կողմերըմեջ և հետ X, բայց այնպես, որ եռանկյունը մնա ուղղանկյուն: Անկյուն , իհարկե, չի փոխվում։ Սա տեսնելու համար մկնիկը պահեք նկարի վրա կամ հպեք դրան (եթե ունեք պլանշետ): Կուսակցություններա, բ և գ կվերածվի m, n, k
, և, իհարկե, կողմերի երկարությունները կփոխվեն։
Բայց նրանց հարաբերությունները չեն: ԴեպիՎերաբերմունք Դեպիէր: = 3/4, դարձավմ/ն = 6/8 = 3/4: Մյուս համապատասխան կողմերի հարաբերությունները նույնպես չի փոխվի . Դուք կարող եք փոխել կողմերի երկարությունները ուղղանկյուն եռանկյան մեջ, ինչպես ցանկանում եք, մեծացնել, փոքրացնել, – առանց x անկյունը փոխելու համապատասխան կողմերի հարաբերությունները չեն փոխվի
Բայց սա արդեն շատ կարևոր է։ Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերությունները ոչ մի կերպ կախված չեն կողմերի երկարություններից (նույն անկյան տակ): Սա այնքան կարևոր է, որ կողմերի միջև հարաբերությունները վաստակել են իրենց հատուկ անվանումը: Ձեր անունները, այսպես ասած։) Հանդիպեք ինձ։
Որքա՞ն է x անկյան սինուսը ? Սա հակառակ կողմի հարաբերակցությունն է հիպոթենուսին.
sinx = a/c
Որքա՞ն է x անկյան կոսինուսը ? Սա հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունն է.
Հետosx= բարձր որակ
Ինչ է շոշափողը x ? Սա հակառակ կողմի հարաբերակցությունն է հարակից կողմի.
tgx =Դեպի
Որքա՞ն է x անկյան կոտանգենսը ? Սա հարակից կողմի հարաբերակցությունն է հակառակին.
ctgx = v/a
Դա շատ պարզ է. Սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը որոշ թվեր են: Անչափ. Պարզապես թվեր: Յուրաքանչյուր անկյուն ունի իր սեփականը:
Ինչո՞ւ եմ ես ամեն ինչ այդքան ձանձրալի կրկնում: Հետո ինչ է սա պետք է հիշել. Կարևոր է հիշել. Անգիրը կարելի է հեշտացնել: Ծանո՞թ է «Սկսենք հեռվից…» արտահայտությունը: Այսպիսով, սկսեք հեռվից:
Սինուսանկյունը հարաբերակցություն է հեռավորոտքի անկյունից մինչև հիպոթենուս: Կոսինուս- հարևանի հարաբերակցությունը հիպոթենուսին:
Շոշափողանկյունը հարաբերակցություն է հեռավորոտքի անկյունից մինչև մոտիկ: Կոտանգենս- հակառակը:
Ավելի հեշտ է, չէ՞:
Դե, եթե հիշում եք, որ տանգենսում և կոտանգենսում կան միայն ոտքեր, իսկ սինուսում և կոսինուսում հայտնվում է հիպոթենուսը, ապա ամեն ինչ բավականին պարզ կդառնա:
Այս ամբողջ փառահեղ ընտանիքը՝ սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս, կոչվում են նաև եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ.
Իսկ հիմա դիտարկման հարց.
Ինչու ենք ասում սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս անկյուն?Խոսքը կողմերի հարաբերությունների մասին է, ինչպես... Ի՞նչ կապ ունի դա։ անկյուն?
Դիտարկենք երկրորդ նկարը։ Ճիշտ նույնն է, ինչ առաջինը։
Սկավառեք ձեր մկնիկը նկարի վրա: Ես փոխեցի անկյունը X. Այն ավելացրել է x-ից x.Բոլոր հարաբերությունները փոխվել են: Վերաբերմունք Դեպիկազմել է 3/4, իսկ համապատասխան հարաբերակցությունը տ/վդարձավ 6/4։
Եվ մնացած բոլոր հարաբերությունները դարձան տարբեր:
Հետևաբար, կողմերի հարաբերությունները ոչ մի կերպ կախված չեն դրանց երկարություններից (մեկ անկյան տակ x), այլ կտրուկ կախված են հենց այս անկյան տակ: Եվ միայն նրանից։Հետևաբար, սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս տերմինները վերաբերում են անկյուն.Այստեղ անկյունը գլխավորն է։
Պետք է հստակ հասկանալ, որ անկյունը անքակտելիորեն կապված է իր եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ։ Յուրաքանչյուր անկյուն ունի իր սինուսը և կոսինուսը: Եվ գրեթե յուրաքանչյուրն ունի իր տանգենսն ու կոտանգենսը:Սա կարևոր է։ Ենթադրվում է, որ եթե մեզ տրված է անկյուն, ապա դրա սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը մենք գիտենք ! Եվ հակառակը։ Հաշվի առնելով սինուսը կամ որևէ այլ եռանկյունաչափական ֆունկցիա, դա նշանակում է, որ մենք գիտենք անկյունը:
Կան հատուկ աղյուսակներ, որտեղ յուրաքանչյուր անկյան համար նկարագրված են նրա եռանկյունաչափական ֆունկցիաները։ Դրանք կոչվում են Բրադիսի սեղաններ։ Դրանք կազմվել են շատ վաղուց։ Երբ դեռ հաշվիչներ կամ համակարգիչներ չկային...
Իհարկե, անհնար է անգիր անել բոլոր անկյունների եռանկյունաչափական ֆունկցիաները։ Ձեզանից պահանջվում է իմանալ դրանք միայն մի քանի տեսանկյունից, այս մասին ավելի ուշ: Բայց հմայքը Ես գիտեմ անկյուն, ինչը նշանակում է, որ ես գիտեմ նրա եռանկյունաչափական ֆունկցիաները» -միշտ աշխատում է!
Այսպիսով, մենք կրկնեցինք 8-րդ դասարանի երկրաչափության մի հատված: Արդյո՞ք դա մեզ պետք է միասնական պետական քննության համար: Անհրաժեշտ է. Ահա մի տիպիկ խնդիր միասնական պետական քննությունից. Այս խնդիրը լուծելու համար բավարար է 8-րդ դասարանը։ Տրված նկար.
Բոլորը. Այլևս տվյալներ չկան։ Մենք պետք է գտնենք օդանավի կողքի երկարությունը:
Բջիջներն այնքան էլ չեն օգնում, եռանկյունը ինչ-որ կերպ սխալ է տեղադրված... Դիտմամբ, ենթադրում եմ... Տեղեկությունից կա հիպոթենուսի երկարությունը: 8 բջիջ: Չգիտես ինչու, անկյունը տրվեց.
Սա այն վայրն է, որտեղ դուք պետք է անմիջապես հիշեք եռանկյունաչափության մասին: Կա անկյուն, ինչը նշանակում է, որ մենք գիտենք նրա բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները: Չորս գործառույթներից ո՞րը պետք է օգտագործենք: Տեսնենք, ի՞նչ գիտենք։ Մենք գիտենք հիպոթենուսը և անկյունը, բայց պետք է գտնել կիցկաթետեր այս անկյունում! Պարզ է, որ կոսինուսը պետք է գործի դրվի: Ահա մենք գնում ենք: Մենք պարզապես գրում ենք կոսինուսի սահմանմամբ (հարաբերակցությունը կիցոտք դեպի հիպոթենուզ):
cosC = BC/8
C անկյունը 60 աստիճան է, կոսինուսը՝ 1/2։ Դուք պետք է դա իմանաք, առանց որևէ աղյուսակի: Այսպիսով.
1/2 = մ.թ.ա./8
Տարրական գծային հավասարում. Անհայտ - Արև. Նրանք, ովքեր մոռացել են, թե ինչպես լուծել հավասարումները, նայեք հղումը, մնացածը լուծում.
BC = 4
Երբ հին մարդիկ հասկացան, որ յուրաքանչյուր անկյուն ունի իր եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հավաքածուն, նրանք ողջամիտ հարց ունեին. Արդյո՞ք սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը և կոտանգենսը ինչ-որ կերպ կապված են միմյանց հետ:Այսպիսով, իմանալով մի անկյան ֆունկցիան, կարող եք գտնել մյուսները: Առանց ինքնին անկյունը հաշվելու՞:
Նրանք այնքան անհանգիստ էին...)
Մեկ անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների կապը:
Իհարկե, նույն անկյան սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը կապված են միմյանց հետ։ Արտահայտությունների միջև ցանկացած կապ մաթեմատիկայում տրվում է բանաձևերով։ Եռանկյունաչափության մեջ կան վիթխարի թվով բանաձևեր. Բայց այստեղ մենք կանդրադառնանք ամենահիմնականներին: Այս բանաձևերը կոչվում են. հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունները.Ահա դրանք.
Դուք պետք է մանրամասն իմանաք այս բանաձևերը: Առանց դրանց եռանկյունաչափության մեջ ընդհանրապես անելիք չկա: Այս հիմնական ինքնություններից հետևում են ևս երեք օժանդակ ինքնություն.
Անմիջապես զգուշացնում եմ, որ վերջին երեք բանաձևերը արագ դուրս են գալիս ձեր հիշողությունից։ Չգիտես ինչու։) Այս բանաձևերը, իհարկե, կարող եք դուրս բերել առաջին երեքից։ Բայց, դժվարին ժամանակներում... Հասկանում ես։)
Ստանդարտ խնդիրներում, ինչպես ստորև բերվածները, կա այս մոռացվող բանաձևերից խուսափելու միջոց: ԵՎ կտրուկ նվազեցնել սխալներըմոռացության պատճառով, և հաշվարկների մեջ նույնպես։ Այս պրակտիկան գտնվում է «Նույն անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների փոխհարաբերությունները» դասի 555-րդ բաժնում։
Ի՞նչ առաջադրանքներում և ինչպե՞ս են օգտագործվում հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունները: Ամենատարածված առաջադրանքը անկյունային ֆունկցիա գտնելն է, եթե տրված է մյուսը: Միասնական պետական քննությունում տարեցտարի նման առաջադրանք կա։) Օրինակ.
Գտե՛ք sinx-ի արժեքը, եթե x-ը սուր անկյուն է և cosx=0,8:
Առաջադրանքը գրեթե տարրական է. Մենք փնտրում ենք բանաձև, որը պարունակում է սինուս և կոսինուս: Ահա բանաձեւը.
մեղք 2 x + cos 2 x = 1
Մենք այստեղ փոխարինում ենք հայտնի արժեքով, այն է՝ 0,8 կոսինուսի փոխարեն.
մեղք 2 x + 0,8 2 = 1
Դե, մենք սովորականի պես հաշվում ենք.
մեղք 2 x + 0,64 = 1
մեղք 2 x = 1 - 0.64
Դա գործնականում բոլորն է: Մենք հաշվարկել ենք սինուսի քառակուսին, մնում է հանել քառակուսի արմատը և պատասխանը պատրաստ է։ 0.36-ի արմատը 0.6 է:
Առաջադրանքը գրեթե տարրական է. Բայց «գրեթե» բառը կա մի պատճառով... Փաստն այն է, որ sinx= - 0.6 պատասխանը նույնպես հարմար է... (-0.6) 2-ը նույնպես կլինի 0.36:
Երկու տարբեր պատասխաններ կան. Եվ ձեզ պետք է մեկը: Երկրորդը սխալ է. Ինչպես լինել!? Այո, ինչպես միշտ:) Ուշադիր կարդացեք առաջադրանքը: Ինչ-ինչ պատճառներով ասվում է. եթե x-ը սուր անկյուն է...Իսկ առաջադրանքներում ամեն բառ ունի իր նշանակությունը, այո... Այս արտահայտությունը լրացուցիչ տեղեկություն է լուծման համար։
Սուր անկյունը 90°-ից փոքր անկյուն է: Եվ այդպիսի անկյուններում Բոլորըեռանկյունաչափական ֆունկցիաներ՝ սինուս, կոսինուս և կոտանգենսի հետ շոշափող. դրական.Նրանք. Այստեղ մենք պարզապես մերժում ենք բացասական պատասխանը։ Մենք իրավունք ունենք.
Իրականում ութերորդ դասարանցիները նման նրբությունների կարիք չունեն։ Նրանք աշխատում են միայն ուղղանկյուն եռանկյուններով, որտեղ անկյունները կարող են լինել միայն սուր: Եվ նրանք չգիտեն, երջանիկներ, որ կան և՛ բացասական, և՛ 1000° անկյուններ... Եվ այս բոլոր սարսափելի անկյուններն ունեն իրենց եռանկյունաչափական ֆունկցիաները՝ և՛ գումարած, և՛ մինուս...
Բայց ավագ դպրոցի աշակերտների համար, առանց հաշվի առնելու նշանը՝ ոչ մի կերպ։ Շատ գիտելիքը բազմապատկում է վիշտերը, այո...) Իսկ ճիշտ լուծման համար առաջադրանքի մեջ պարտադիր առկա է լրացուցիչ տեղեկություն (եթե դա անհրաժեշտ է): Օրինակ, այն կարող է տրվել հետևյալ գրառումով.
Կամ այլ կերպ: Ստորև բերված օրինակներում կտեսնեք:) Նման օրինակները լուծելու համար անհրաժեշտ է իմանալ Ո՞ր քառորդին է ընկնում տրված x անկյունը և ի՞նչ նշան ունի ցանկալի եռանկյունաչափական ֆունկցիան այս քառորդում:
Եռանկյունաչափության այս հիմունքները քննարկվում են դասերում, թե ինչ է եռանկյունաչափական շրջանը, այս շրջանագծի անկյունների չափումը, անկյան ճառագայթային չափումը: Երբեմն անհրաժեշտ է իմանալ սինուսների, տանգենսների և կոտանգենսների կոսինուսների աղյուսակը:
Այսպիսով, եկեք նկատենք ամենակարևորը.
Գործնական խորհուրդներ.
1. Հիշեք սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումները: Դա շատ օգտակար կլինի։
2. Մենք հստակ հասկանում ենք՝ սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը սերտորեն կապված են անկյուններով։ Մենք գիտենք մի բան, ինչը նշանակում է, որ մենք գիտենք մեկ այլ բան:
3. Մենք հստակ հասկանում ենք՝ մի անկյան սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը և կոտանգենսը միմյանց հետ կապված են հիմնական եռանկյունաչափական ինքնություններով: Մենք գիտենք մեկ գործառույթ, ինչը նշանակում է, որ մենք կարող ենք (եթե ունենք անհրաժեշտ լրացուցիչ տեղեկատվություն) հաշվարկել մնացած բոլորը։
Հիմա եկեք որոշենք, ինչպես միշտ. Նախ առաջադրանքներ 8-րդ դասարանի շրջանակներում. Բայց ավագ դպրոցի աշակերտներն էլ կարող են դա անել...)
1. Հաշվեք tgA-ի արժեքը, եթե ctgA = 0,4:
2. β-ն ուղղանկյուն եռանկյան անկյուն է: Գտե՛ք tanβ-ի արժեքը, եթե sinβ = 12/13:
3. Որոշի՛ր x սուր անկյան սինուսը, եթե tgх = 4/3:
4. Գտեք արտահայտության իմաստը.
6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°
5. Գտեք արտահայտության իմաստը.
(1-cosx)(1+cosx), եթե sinx = 0.3
Պատասխաններ (առանձնացված են կիսատ-ստորակետներով, անկարգություններով).
0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5
Արդյո՞ք դա աշխատեց: Հիանալի Ութերորդ դասարանցիներն արդեն կարող են գնալ իրենց A-ները ստանալու:)
Ամեն ինչ չստացվեց? 2-րդ և 3-րդ առաջադրանքները ինչ-որ կերպ այնքան էլ լավ չեն… Խնդիր չկա։ Նման առաջադրանքների համար կա մեկ գեղեցիկ տեխնիկա. Ամեն ինչ կարելի է լուծել գործնականում առանց բանաձևերի ընդհանրապես: Եվ, հետևաբար, առանց սխալների: Այս տեխնիկան նկարագրված է դասում. «Մեկ անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների փոխհարաբերությունները» բաժնում 555: Մնացած բոլոր խնդիրները նույնպես լուծվում են այնտեղ:
Սրանք խնդիրներ էին, ինչպիսին Միասնական պետական քննությունն էր, բայց մերկացված տարբերակով: Միասնական պետական քննություն՝ թեթև): Իսկ հիմա գրեթե նույն առաջադրանքները, բայց լիարժեք ձևաչափով։ Գիտելիքով ծանրաբեռնված ավագ դպրոցի աշակերտների համար):
6. Գտե՛ք tanβ-ի արժեքը, եթե sinβ = 12/13, և
7. Որոշեք sinх, եթե tgх = 4/3, և x-ը պատկանում է միջակայքին (- 540°; - 450°):
8. Գտեք sinβ cosβ արտահայտության արժեքը, եթե ctgβ = 1:
Պատասխաններ (խառնաշփոթ).
0,8; 0,5; -2,4.
Այստեղ 6-րդ խնդիրում անկյունը շատ հստակ նշված չէ... Բայց 8-ում այն ընդհանրապես նշված չէ։ Սա դիտավորյալ է): Հավելյալ տեղեկությունը վերցվում է ոչ միայն առաջադրանքից, այլ նաև գլխից։) Բայց եթե որոշեք, մեկ ճիշտ առաջադրանքը երաշխավորված է։
Իսկ եթե չե՞ս որոշել։ Հմմ... Դե, այստեղ կօգնի 555-րդ բաժինը: Այնտեղ մանրամասն նկարագրված են այս բոլոր խնդիրների լուծումները, դժվար է չհասկանալ։
Այս դասը տալիս է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների շատ սահմանափակ պատկերացում: 8-րդ դասարանի շրջանակներում. Իսկ մեծերը դեռ հարցեր ունեն...
Օրինակ, եթե անկյունը X(նայեք այս էջի երկրորդ նկարին) - հիմարություն արեք: Եռանկյունին ամբողջությամբ կփլվի: Ուրեմն ի՞նչ պետք է անենք։ Չի լինի ոտք, հիպոթենուզա... Սինուսն անհետացել է...
Եթե հին մարդիկ այս իրավիճակից ելք չգտան, հիմա չէինք ունենա բջջային հեռախոս, հեռուստացույց, էլեկտրականություն։ Այո՛, այո՛։ Այս բոլոր իրերի տեսական հիմքն առանց եռանկյունաչափական ֆունկցիաների զրո է առանց փայտիկի: Բայց հին ժողովուրդը չհիասթափեցրեց. Թե ինչպես են նրանք դուրս եկել՝ հաջորդ դասին:
Եթե Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...
Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)
Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորենք՝ հետաքրքրությամբ։)
Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։
Հիշենք դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացը և խոսենք այն մասին, թե ինչ է շոշափողը և ինչպես գտնել անկյան շոշափողը: Նախ, եկեք սահմանենք, թե ինչ է կոչվում շոշափող: Ուղղանկյուն եռանկյունում սուր անկյան շոշափողը հակառակ կողմի և հարակից կողմի հարաբերությունն է: Կից ոտքը նա է, որը մասնակցում է անկյան ձևավորմանը, հակառակ ոտքը այն է, որը գտնվում է անկյան դիմաց։
Բացի այդ, սուր անկյան շոշափողը այս անկյան սինուսի և նրա կոսինուսի հարաբերությունն է: Հասկանալու համար հիշենք, թե որն է անկյան սինուսը և կոսինուսը: Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ սուր անկյան սինուսը հակառակ կողմի հարաբերությունն է հիպոթենուսին, կոսինուսը հարակից կողմի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է:
Կա նաև կոտանգենս, այն հակադիր է շոշափողին։ Կոտանգենսը հարակից կողմի և հակառակ կողմի հարաբերությունն է և, համապատասխանաբար, անկյան կոսինուսի և նրա սինուսի հարաբերությունը:
Սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը և կոտանգենսը անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ են, որոնք ցույց են տալիս եռանկյան անկյունների և կողմերի միջև կապը և օգնում են հաշվարկել եռանկյան կողմերը:
Հաշվե՛ք սուր անկյան շոշափողը
Ինչպե՞ս գտնել շոշափողը եռանկյան մեջ: Որպեսզի ժամանակ չկորցնեք շոշափողի որոնման մեջ, կարող եք գտնել հատուկ աղյուսակներ, որոնք ցույց են տալիս բազմաթիվ անկյունների եռանկյունաչափական ֆունկցիաները: Դպրոցական երկրաչափության խնդիրներում որոշ անկյուններ շատ տարածված են, և ուսուցիչներին խնդրում են անգիր անել իրենց սինուսների, կոսինուսների, շոշափողների և կոտանգենսների արժեքները: Մենք առաջարկում ենք ձեզ փոքրիկ ափսե՝ այս անկյունների պահանջվող արժեքներով։
Եթե այն անկյունը, որի շոշափողը պետք է գտնել, ներկայացված չէ այս աղյուսակում, ապա կարող եք օգտագործել երկու բանաձև, որոնք վերևում ներկայացրել ենք բանավոր ձևով։
Անկյունի շոշափողը հաշվարկելու առաջին եղանակը հակառակ ոտքի երկարությունը հարակից ոտքի երկարության վրա բաժանելն է։ Ենթադրենք, հակառակ կողմը 4 է, իսկ հարակից կողմը՝ 8։ Շոշափողը գտնելու համար անհրաժեշտ է 4։8։ Անկյան շոշափողը կլինի ½ կամ 0,5:
Տանգենսը հաշվարկելու երկրորդ եղանակը տրված անկյան սինուսի արժեքը նրա կոսինուսի արժեքի վրա բաժանելն է։ Օրինակ, մեզ տրվում է 45 աստիճանի անկյուն: Նրա մեղքը = երկուսի արմատը բաժանված է երկուսի; դրա cos-ը հավասար է նույն թվին: Այժմ սինուսը բաժանում ենք կոսինուսի վրա և ստանում մեկին հավասար շոշափող։
Պատահում է, որ դուք պետք է օգտագործեք հենց այս բանաձևը, բայց հայտնի է միայն մեկ տարր՝ սինուս կամ կոսինուս: Այս դեպքում օգտակար կլինի հիշել բանաձեւը
sin2 α + cos2 α = 1. Սա հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունն է: Անհայտ տարրը հայտնիի տերմիններով արտահայտելով՝ կարող ես պարզել դրա իմաստը։ Իսկ իմանալով սինուսն ու կոսինուսը, դժվար չէ գտնել շոշափողը։
Եվ եթե ակնհայտորեն երկրաչափությունը ձեր կոչումը չէ, բայց դուք դեռ պետք է կատարեք ձեր տնային աշխատանքը, ապա կարող եք օգտագործել առցանց հաշվիչը անկյան շոշափումը հաշվարկելու համար:
Մենք ձեզ ասել ենք՝ օգտագործելով պարզ օրինակներ, թե ինչպես գտնել շոշափողը: Այնուամենայնիվ, առաջադրանքների պայմանները կարող են ավելի բարդ լինել, և միշտ չէ, որ հնարավոր է արագ պարզել բոլոր անհրաժեշտ տվյալները: Այս դեպքում ձեզ կօգնեն Պյութագորասի թեորեմը և տարբեր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները։
Դասախոսություն: Սինուս, կոսինուս, շոշափող, կամայական անկյան կոտանգենս
Սինուս, կամայական անկյան կոսինուս
Որպեսզի հասկանանք, թե ինչ են եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, եկեք նայենք միավորի շառավղով շրջանին։ Այս շրջանագիծը կոորդինատային հարթության սկզբում կենտրոն ունի: Տրված ֆունկցիաները որոշելու համար կօգտագործենք շառավիղի վեկտորը ԿԱՄ, որը սկսվում է շրջանագծի կենտրոնից, և կետը Ռշրջանագծի մի կետ է: Այս շառավղային վեկտորը առանցքի հետ կազմում է ալֆա անկյուն Օհ. Քանի որ շրջանագիծն ունի մեկին հավասար շառավիղ, ուրեմն ԿԱՄ = R = 1.
Եթե կետից Ռիջեցնել առանցքի ուղղահայացը Օհ, ապա ստանում ենք մեկին հավասար հիպոթենուսով ուղղանկյուն եռանկյուն։
Եթե շառավիղի վեկտորը շարժվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, ապա այս ուղղությունը կոչվում է բացասական, եթե այն շարժվում է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ - դրական.
Անկյունի սինուս ԿԱՄ, կետի օրդինատն է Ռվեկտոր շրջանագծի վրա:
Այսինքն՝ տվյալ անկյան ալֆայի սինուսի արժեքը ստանալու համար անհրաժեշտ է որոշել կոորդինատը Uինքնաթիռում.
Ինչպե՞ս է ստացվել այս արժեքը: Քանի որ մենք գիտենք, որ ուղղանկյուն եռանկյան կամայական անկյան սինուսը հակառակ կողմի հարաբերությունն է հիպոթենուսին, մենք ստանում ենք.
Եվ քանի որ R=1, Դա sin(α) = y 0 .
Միավոր շրջանագծի մեջ օրդինատի արժեքը չի կարող լինել -1-ից փոքր և 1-ից մեծ, ինչը նշանակում է
Միավոր շրջանագծի առաջին և երկրորդ քառորդներում սինուսը դրական արժեք է ընդունում, իսկ երրորդ և չորրորդում՝ բացասական:
Անկյան կոսինուստրված շրջան, որը ձևավորվում է շառավիղի վեկտորով ԿԱՄ, կետի աբսցիսա է Ռվեկտոր շրջանագծի վրա:
Այսինքն՝ տվյալ անկյան ալֆայի կոսինուսի արժեքը ստանալու համար անհրաժեշտ է որոշել կոորդինատը Xինքնաթիռում.
Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ կամայական անկյան կոսինուսը հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է, մենք ստանում ենք, որ
Եվ քանի որ R=1, Դա cos(α) = x 0 .
Միավոր շրջանագծի մեջ աբսցիսայի արժեքը չի կարող լինել -1-ից փոքր և 1-ից մեծ, ինչը նշանակում է
Միավոր շրջանագծի առաջին և չորրորդ քառորդներում կոսինուսը դրական արժեք է ընդունում, իսկ երկրորդում և երրորդում՝ բացասական:
Շոշափողկամայական անկյունՀաշվարկվում է սինուսի և կոսինուսի հարաբերակցությունը:
Եթե դիտարկենք ուղղանկյուն եռանկյուն, ապա սա հակառակ կողմի հարաբերակցությունն է հարակից կողմի: Եթե մենք խոսում ենք միավոր շրջանագծի մասին, ապա սա օրդինատի և աբսցիսայի հարաբերակցությունն է։
Դատելով այս հարաբերություններից՝ կարելի է հասկանալ, որ շոշափողը չի կարող գոյություն ունենալ, եթե աբսցիսայի արժեքը զրո է, այսինքն՝ 90 աստիճանի անկյան տակ։ Շոշափողը կարող է վերցնել մնացած բոլոր արժեքները:
Միավոր շրջանագծի առաջին և երրորդ քառորդներում շոշափողը դրական է, իսկ երկրորդում և չորրորդում՝ բացասական:
Աղյուսակը պարունակում է շոշափող արժեքներ 0°-ից մինչև 360°:
Շոշափումների աղյուսակը անհրաժեշտ է, երբ ձեռքի տակ չունեք հաշվիչ: Պարզելու համար, թե որն է անկյան շոշափողը, պարզապես փնտրեք այն աղյուսակում: Նախ, աղյուսակի կարճ տարբերակը.
https://uchim.org/matematika/tablica-tangensov - uchim.org
Շոշափող աղյուսակ 0°-180°-ի համար
|
|
|
Շոշափող սեղան 180° - 360°-ի համար
|
|
|
Երկրաչափության մեջ կան նաև եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետևյալ աղյուսակները՝ սինուսների աղյուսակ, կոսինուսների աղյուսակ և կոտանգենսների աղյուսակ։
Ամեն ինչ ուսման համար » Մաթեմատիկա դպրոցում » Անկյունների շոշափումների աղյուսակ (անկյուններ, արժեքներ)
Էջը նշելու համար սեղմեք Ctrl+D:
Շատ օգտակար տեղեկություններով խումբ (բաժանորդագրվեք, եթե ունեք միասնական պետական քննություն կամ միասնական պետական քննություն).
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշաններ
Եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանը կախված է բացառապես այն կոորդինատային քառորդից, որում գտնվում է թվային արգումենտը։
Վերջին անգամ մենք սովորեցինք արգումենտները վերածել ռադիանի չափման աստիճանի չափման (տե՛ս «Անկյան ռադիանի և աստիճանի չափումը» դասը), այնուհետև որոշել այս նույն կոորդինատային քառորդը: Հիմա եկեք իրականում որոշենք սինուսի, կոսինուսի և շոշափողի նշանը:
α անկյունը եռանկյունաչափական շրջանագծի կետի օրդինատն է (y կոորդինատ), որը տեղի է ունենում, երբ շառավիղը պտտվում է α անկյան տակ։
α անկյունը եռանկյունաչափական շրջանագծի կետի աբսցիսա է (x կոորդինատ), որը առաջանում է, երբ շառավիղը պտտվում է α անկյան տակ։
α անկյունը սինուսի և կոսինուսի հարաբերությունն է:
Կամ, որը նույնն է, y կոորդինատի հարաբերությունը x կոորդինատին:
Նշում` sin α = y ; cos α = x; tg α = y: x.
Այս բոլոր սահմանումները ձեզ ծանոթ են ավագ դպրոցի հանրահաշիվից: Այնուամենայնիվ, մեզ հետաքրքրում են ոչ թե բուն սահմանումները, այլ այն հետևանքները, որոնք առաջանում են եռանկյունաչափական շրջանի վրա: Նայեք.
Կապույտ գույնը ցույց է տալիս OY առանցքի դրական ուղղությունը (օրդինատների առանցքը), կարմիրը ցույց է տալիս OX առանցքի (աբսցիսային առանցքի) դրական ուղղությունը:
Այս «ռադարի» վրա ակնհայտ են դառնում եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշանները։ Մասնավորապես.
- sin α > 0, եթե α անկյունը գտնվում է I կամ II կոորդինատային քառորդում: Դա պայմանավորված է նրանով, որ ըստ սահմանման սինուսը օրդինատ է (y կոորդինատ):
Իսկ y կոորդինատը դրական կլինի հենց I և II կոորդինատային եռամսյակներում.
- cos α > 0, եթե α անկյունը գտնվում է 1-ին կամ 4-րդ կոորդինատային քառորդում: Քանի որ միայն այնտեղ x կոորդինատը (aka abscissa) կլինի զրոյից մեծ;
- tan α > 0, եթե α անկյունը գտնվում է I կամ III կոորդինատային քառորդում: Սա բխում է սահմանումից. ի վերջո, tan α = y: x, հետևաբար այն դրական է միայն այնտեղ, որտեղ x և y նշանները համընկնում են:
Սա տեղի է ունենում առաջին կոորդինատային քառորդում (այստեղ x > 0, y > 0) և երրորդ կոորդինատային քառորդում (x< 0, y < 0).
Պարզության համար նշենք յուրաքանչյուր եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանները՝ սինուս, կոսինուս և տանգենս, առանձին «ռադարների» վրա։ Ստանում ենք հետևյալ պատկերը.
Նշում․ իմ քննարկումներում ես երբեք չեմ խոսել չորրորդ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի՝ կոտանգենսի մասին։
Փաստն այն է, որ կոտանգենս նշանները համընկնում են շոշափող նշանների հետ. այնտեղ հատուկ կանոններ չկան։
Այժմ ես առաջարկում եմ դիտարկել B11 խնդիրների նման օրինակներ մաթեմատիկայի միասնական պետական քննությունից, որը տեղի է ունեցել 2011 թվականի սեպտեմբերի 27-ին: Ի վերջո, տեսությունը հասկանալու լավագույն միջոցը պրակտիկան է: Ցանկալի է շատ պրակտիկա ունենալ։ Իհարկե, առաջադրանքների պայմանները փոքր-ինչ փոխվեցին։
Առաջադրանք. Որոշեք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների և արտահայտությունների նշանները (գործառույթների արժեքներն ինքնին պետք չէ հաշվարկել).
- sin (3π/4);
- cos (7π/6);
- tg (5π/3);
- sin (3π/4) cos (5π/6);
- cos (2π/3) tg (π/4);
- sin (5π/6) cos (7π/4);
- tan (3π/4) cos (5π/3);
- ctg (4π/3) tg (π/6):
Գործողությունների պլանը հետևյալն է. նախ մենք բոլոր անկյունները ճառագայթային չափերից վերածում ենք աստիճանների (π → 180°), այնուհետև նայում ենք, թե որ կոորդինատային քառորդում է ստացված թիվը։
Իմանալով եռամսյակները, մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել նշանները `համաձայն նոր նկարագրված կանոնների: Մենք ունենք.
- մեղք (3π/4) = մեղք (3 · 180°/4) = մեղք 135°: Քանի որ 135° ∈, սա անկյուն է II կոորդինատային քառորդից: Բայց երկրորդ եռամսյակում սինուսը դրական է, ուստի sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°: Որովհետև 210° ∈, սա այն անկյունն է III կոորդինատային քառորդից, որում բոլոր կոսինուսները բացասական են:
Հետևաբար cos(7π/6)< 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°: Քանի որ 300° ∈ մենք գտնվում ենք IV քառորդում, որտեղ շոշափողը բացասական արժեքներ է ընդունում: Հետևաբար tan (5π/3)< 0;
- sin (3π/4) cos (5π/6) = մեղք (3 180°/4) cos (5 180°/6) = մեղք 135° cos 150°։ Եկեք զբաղվենք սինուսով. քանի որ 135° ∈ , սա երկրորդ քառորդն է, որի սինուսները դրական են, այսինքն.
sin (3π/4) > 0. Այժմ աշխատում ենք կոսինուսով՝ 150° ∈ - կրկին երկրորդ քառորդ, այնտեղ կոսինուսները բացասական են։ Հետևաբար cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°: Մենք նայում ենք կոսինուսին. 120° ∈ II կոորդինատային քառորդն է, ուստի cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ - это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии).
Այնտեղ շոշափողը դրական է, ուստի tan (π/4) > 0: Կրկին ստանում ենք մի արտադրյալ, որի գործակիցները տարբեր նշաններ ունեն: Քանի որ «մինուս գումարածը տալիս է մինուս», մենք ունենք՝ cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
- sin (5π/6) cos (7π/4) = մեղք (5 180°/6) cos (7 180°/4) = մեղք 150° cos 315°: Մենք աշխատում ենք սինուսով. սկսած 150° ∈ ից, խոսքը II կոորդինատային քառորդի մասին է, որտեղ սինուսները դրական են։
Հետևաբար, sin (5π/6) > 0: Նմանապես, 315° ∈ IV կոորդինատային քառորդն է, այնտեղ կոսինուսները դրական են:
Հետևաբար cos (7π/4) > 0: Մենք ստացել ենք երկու դրական թվերի արտադրյալ. նման արտահայտությունը միշտ դրական է: Մենք եզրակացնում ենք՝ sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°:
Բայց 135° ∈ անկյունը երկրորդ քառորդն է, այսինքն. tg (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ - это IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0.
Քանի որ «մինուս գումարածը տալիս է մինուս նշան», մենք ունենք՝ tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
- ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°: Մենք նայում ենք կոտանգենսի փաստարկին. 240° ∈ III կոորդինատային քառորդն է, հետևաբար ctg (4π/3) > 0: Նմանապես, շոշափողի համար մենք ունենք՝ 30° ∈ I կոորդինատային քառորդն է, այսինքն. ամենապարզ անկյունը. Հետևաբար tan (π/6) > 0: Կրկին ունենք երկու դրական արտահայտություն. դրանց արտադրյալը նույնպես դրական կլինի:
Հետևաբար, մահճակալ (4π/3) tg (π/6) > 0:
Վերջապես, եկեք նայենք մի քանի ավելի բարդ խնդիրների: Եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանը պարզելուց բացի, դուք պետք է այստեղ մի փոքր մաթեմատիկա անեք՝ ճիշտ այնպես, ինչպես դա արվում է իրական B11 խնդիրներում: Սկզբունքորեն սրանք գրեթե իրական խնդիրներ են, որոնք իրականում ի հայտ են գալիս մաթեմատիկայի միասնական պետական քննությունում։
Գտե՛ք sin α, եթե sin2 α = 0,64 և α ∈ [π/2; π].
Քանի որ sin2 α = 0,64, մենք ունենք՝ sin α = ±0,8:
Մնում է որոշել՝ պլյուս թե մինուս։ Ըստ պայմանի, անկյուն α ∈ [π/2; π] II կոորդինատային քառորդն է, որտեղ բոլոր սինուսները դրական են: Հետևաբար, sin α = 0.8 - նշանների հետ անորոշությունը վերացված է:
Առաջադրանք. Գտեք cos α, եթե cos2 α = 0,04 և α ∈ [π; 3π/2]:
Մենք գործում ենք նույն կերպ, այսինքն.
վերցնել քառակուսի արմատը՝ cos2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2: Ըստ պայմանի, անկյուն α ∈ [π; 3π/2], այսինքն. Խոսքը երրորդ կոորդինատային եռամսյակի մասին է։ Այնտեղ բոլոր կոսինուսները բացասական են, ուստի cos α = −0,2:
Առաջադրանք. Գտե՛ք sin α, եթե sin2 α = 0,25 և α ∈:
Ունենք՝ sin2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5:
Ցանկացած անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
Կրկին նայում ենք անկյունին՝ α ∈ IV կոորդինատային քառորդն է, որում, ինչպես գիտենք, սինուսը բացասական կլինի։ Այսպիսով, մենք եզրակացնում ենք. sin α = −0,5:
Առաջադրանք. Գտե՛ք tan α, եթե tan2 α = 9 և α ∈:
Ամեն ինչ նույնն է, միայն շոշափողի համար:
Հանի՛ր քառակուսի արմատը՝ tan2 α = 9 ⇒ tan α = ±3: Բայց ըստ պայմանի α ∈ անկյունը I կոորդինատային քառորդն է։ Բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, ներառյալ. շոշափող, կան դրական, ուստի tan α = 3: Ահա և վերջ:
- VKontakte 0
- Google+ 0
- Լավ 0
- Ֆեյսբուք 0
