Ո՞րն է Վիետայի թեորեմը: Վիետայի թեորեմա

Մաթեմատիկայի մեջ կան հատուկ տեխնիկա, որոնցով շատ քառակուսի հավասարումներ կարելի է լուծել շատ արագ և առանց որևէ տարբերակիչի: Ավելին, պատշաճ վերապատրաստման դեպքում շատերը սկսում են բանավոր կերպով լուծել քառակուսի հավասարումները՝ բառացիորեն «առաջին հայացքից»։

Ցավոք, դպրոցական մաթեմատիկայի ժամանակակից դասընթացում նման տեխնոլոգիաները գրեթե չեն ուսումնասիրվում։ Բայց դուք պետք է իմանաք! Եվ այսօր մենք կանդրադառնանք այս տեխնիկաներից մեկին՝ Վիետայի թեորեմին: Նախ, եկեք ներկայացնենք նոր սահմանում.

x 2 + bx + c = 0 ձևի քառակուսային հավասարումը կոչվում է կրճատված: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ x 2-ի գործակիցը 1 է: Գործակիցների վրա այլ սահմանափակումներ չկան:

1. x 2 + 7x + 12 = 0 կրճատված քառակուսի հավասարում է.
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - նույնպես կրճատվել է;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - բայց դա ընդհանրապես տրված չէ, քանի որ x 2-ի գործակիցը հավասար է 2-ի:

Իհարկե, ax 2 + bx + c = 0 ձևի ցանկացած քառակուսային հավասարում կարելի է կրճատել, պարզապես բոլոր գործակիցները բաժանեք a թվի վրա: Մենք միշտ կարող ենք դա անել, քանի որ ըստ սահմանման քառակուսի հավասարումհետևում է, որ a ≠ 0.

Ճիշտ է, այս փոխակերպումները միշտ չէ, որ օգտակար կլինեն արմատներ գտնելու համար։ Ստորև մենք կհամոզվենք, որ դա պետք է արվի միայն այն դեպքում, երբ քառակուսիով տրված վերջնական հավասարման մեջ բոլոր գործակիցները ամբողջ թվեր են։ Առայժմ եկեք նայենք ամենապարզ օրինակներին.

Առաջադրանք. Քառակուսային հավասարումը վերածեք կրճատված հավասարման.

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0:

Յուրաքանչյուր հավասարում բաժանենք x 2 փոփոխականի գործակցի վրա։ Մենք ստանում ենք.

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - ամեն ինչ բաժանել 3-ի;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - բաժանված է −4-ի;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - բաժանված է 1.5-ի, բոլոր գործակիցները դարձան ամբողջ թվեր;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3.5x − 5.5 = 0 - բաժանվում է 2-ի։ Այս դեպքում հայտնվեցին կոտորակային գործակիցներ։

Ինչպես տեսնում եք, վերը նշված քառակուսի հավասարումները կարող են ունենալ ամբողջ թվային գործակիցներ, նույնիսկ եթե սկզբնական հավասարումը պարունակել է կոտորակներ:

Այժմ ձևակերպենք հիմնական թեորեմը, որի համար, ըստ էության, ներդրվել է կրճատված քառակուսի հավասարման հասկացությունը.

Վիետայի թեորեմա. Դիտարկենք x 2 + bx + c = 0 ձևի կրճատված քառակուսային հավասարումը: Ենթադրենք, որ այս հավասարումն ունի իրական արմատներ x 1 և x 2: Այս դեպքում ճշմարիտ են հետևյալ պնդումները.

1. x 1 + x 2 = −b. Այսինքն՝ տրված քառակուսի հավասարման արմատների գումարը հավասար է x փոփոխականի գործակցին՝ վերցված հակառակ նշանով;
2. x 1 x 2 = գ. Քառակուսային հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ գործակցի։

Օրինակներ. Պարզության համար մենք կքննարկենք միայն վերը նշված քառակուսի հավասարումները, որոնք լրացուցիչ փոխակերպումներ չեն պահանջում.

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; արմատները `x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = -15; արմատները `x 1 = 3; x 2 = -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; արմատները՝ x 1 = −1; x 2 = −4.

Վիետայի թեորեմը լրացուցիչ տեղեկություններ է տալիս քառակուսի հավասարման արմատների մասին։ Առաջին հայացքից դա կարող է դժվար թվալ, բայց նույնիսկ նվազագույն վերապատրաստման դեպքում դուք կսովորեք «տեսնել» արմատները և բառացիորեն կռահել դրանք հաշված վայրկյանների ընթացքում:

Առաջադրանք. Լուծե՛ք քառակուսի հավասարումը.

1. x 2 - 9x + 14 = 0;
2. x 2 - 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0։

Փորձենք դուրս գրել գործակիցները՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը և «կռահել» արմատները.

1. x 2 − 9x + 14 = 0 կրճատված քառակուսի հավասարում է:
   Վիետայի թեորեմով մենք ունենք՝ x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Հեշտ է տեսնել, որ արմատները 2 և 7 թվերն են;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - նույնպես կրճատվել է:
   Վիետայի թեորեմով՝ x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Այստեղից էլ արմատները՝ 3 և 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - այս հավասարումը չի կրճատվում: Բայց սա կուղղենք հիմա՝ հավասարման երկու կողմերը բաժանելով a = 3 գործակցի վրա։ Ստանում ենք՝ x 2 + 11x + 10 = 0։
   Մենք լուծում ենք Վիետայի թեորեմի միջոցով՝ x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ արմատներ՝ −10 և −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - կրկին x 2-ի գործակիցը հավասար չէ 1-ի, այսինքն. հավասարումը տրված չէ. Մենք ամեն ինչ բաժանում ենք a = −7 թվի վրա։ Ստանում ենք՝ x 2 − 11x + 30 = 0:
   Վիետայի թեորեմով՝ x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Այս հավասարումներից հեշտ է կռահել արմատները՝ 5 և 6։

Վերոնշյալ պատճառաբանությունից պարզ է դառնում, թե ինչպես է Վիետայի թեորեմը պարզեցնում քառակուսի հավասարումների լուծումը։ Ոչ բարդ հաշվարկներ, ոչ թվաբանական արմատներ կամ կոտորակներ: Եվ մեզ նույնիսկ դիսկրիմինանտ պետք չէր (տե՛ս «Քառակուսային հավասարումների լուծում» դասը):

Իհարկե, մեր բոլոր մտորումների մեջ մենք ելնում ենք երկու կարևոր ենթադրություններից, որոնք, ընդհանուր առմամբ, միշտ չէ, որ հանդիպում են իրական խնդիրներում.

1. Քառակուսային հավասարումը կրճատվում է, այսինքն. x 2-ի գործակիցը 1 է;
2. Հավասարումն ունի երկու տարբեր արմատներ. Հանրահաշվական տեսանկյունից, այս դեպքում դիսկրիմինանտը D > 0 է - իրականում մենք սկզբում ենթադրում ենք, որ այս անհավասարությունը ճիշտ է:

Այնուամենայնիվ, բնորոշ մաթեմատիկական խնդիրներայս պայմանները բավարարված են: Եթե ​​հաշվարկի արդյունքում ստացվում է «վատ» քառակուսի հավասարում (x 2-ի գործակիցը տարբերվում է 1-ից), դա կարելի է հեշտությամբ ուղղել՝ նայեք դասի հենց սկզբի օրինակներին: Ես ընդհանրապես լռում եմ արմատների մասին. սա ի՞նչ խնդիր է, որը պատասխան չունի: Իհարկե արմատներ կլինեն։

Այսպիսով, Վիետայի թեորեմի օգտագործմամբ քառակուսի հավասարումների լուծման ընդհանուր սխեման հետևյալն է.

1. Կրճատիր քառակուսի հավասարումը տրվածին, եթե դա արդեն արված չէ խնդրի դրույթում.
2. Եթե ​​վերը նշված քառակուսի հավասարման գործակիցները կոտորակային են, մենք լուծում ենք՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտը: Դուք նույնիսկ կարող եք վերադառնալ սկզբնական հավասարմանը ավելի «հարմար» թվերի հետ աշխատելու համար.
3. Ամբողջ թվերի գործակիցների դեպքում մենք լուծում ենք հավասարումը Վիետայի թեորեմի միջոցով.
4. Եթե ​​մի քանի վայրկյանում չեք կարող կռահել արմատները, մոռացեք Վիետայի թեորեմի մասին և լուծեք՝ օգտագործելով տարբերակիչ:

Առաջադրանք. Լուծե՛ք հավասարումը` 5x 2 − 35x + 50 = 0:

Այսպիսով, մենք մեր առջև ունենք մի հավասարում, որը չի կրճատվում, քանի որ գործակից a = 5. Ամեն ինչ բաժանեք 5-ի, ստացվում է՝ x 2 − 7x + 10 = 0։

Քառակուսային հավասարման բոլոր գործակիցները ամբողջ թվեր են. փորձենք լուծել այն Վիետայի թեորեմի միջոցով: Մենք ունենք՝ x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10: Այս դեպքում արմատները հեշտ է կռահել. դրանք 2 և 5 են: Կարիք չկա հաշվել օգտագործելով տարբերակիչ:

Առաջադրանք. Լուծե՛ք հավասարումը −5x 2 + 8x − 2,4 = 0։

Տեսնենք՝ −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - այս հավասարումը փոքրացված չէ, երկու կողմերը բաժանենք a = −5 գործակցով։ Ստանում ենք՝ x 2 − 1.6x + 0.48 = 0 - կոտորակային գործակիցներով հավասարում։

Ավելի լավ է վերադառնալ սկզբնական հավասարմանը և հաշվել տարբերակիչի միջոցով՝ −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4:

Առաջադրանք. Լուծե՛ք հավասարումը` 2x 2 + 10x − 600 = 0:

Նախ, եկեք ամեն ինչ բաժանենք a = 2 գործակցի վրա։ Ստանում ենք x 2 + 5x − 300 = 0 հավասարումը։

Սա կրճատված հավասարումն է, Վիետայի թեորեմի համաձայն մենք ունենք՝ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300։ Դժվար է կռահել քառակուսի հավասարման արմատները այս դեպքում. անձամբ ես լրջորեն խրված էի այս խնդիրը լուծելիս:

Դուք պետք է արմատներ փնտրեք տարբերակիչի միջոցով՝ D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2: Եթե ​​դուք չեք հիշում տարբերակիչի արմատը, ես պարզապես նշեմ, որ 1225: 25 = 49: Հետևաբար, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2:

Այժմ, երբ հայտնի է տարբերակիչի արմատը, հավասարումը լուծելը դժվար չէ: Մենք ստանում ենք `x 1 = 15; x 2 = −20։

2.5 Վիետայի բանաձևը բազմանդամների համար (հավասարումներ) ավելի բարձր աստիճաններ

Վիետի կողմից ստացված քառակուսի հավասարումների բանաձևերը ճիշտ են նաև ավելի բարձր աստիճանի բազմանդամների համար։

Թող բազմանդամը

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

Ունի n տարբեր արմատներ x 1, x 2..., x n:

Այս դեպքում այն ​​ունի ձևի ֆակտորիզացիա.

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1) (x – x 2)…(x – x n)

Այս հավասարության երկու կողմերն էլ բաժանենք 0 ≠ 0-ի և բացենք առաջին մասի փակագծերը։ Մենք ստանում ենք հավասարություն.

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Բայց երկու բազմանդամները նույնականորեն հավասար են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նույն հզորությունների գործակիցները հավասար են: Դրանից բխում է, որ հավասարությունը

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Օրինակ՝ երրորդ աստիճանի բազմանդամների համար

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Մենք ինքնություններ ունենք

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Ինչ վերաբերում է քառակուսային հավասարումներին, ապա այս բանաձեւը կոչվում է Վիետայի բանաձեւեր։ Այս բանաձեւերի ձախ կողմերը սիմետրիկ բազմանդամներ են այս հավասարման x 1, x 2 ..., x n արմատներից, իսկ աջ կողմերը արտահայտված են բազմանդամի գործակցի միջոցով:

2.6 Հավասարումներ, որոնք կարող են կրճատվել դեպի քառակուսի (երկքվադրական)

Չորրորդ աստիճանի հավասարումները վերածվում են քառակուսային հավասարումների.

կացին 4 + bx 2 + c = 0,

կոչվում է երկքառակուսի, և a ≠ 0:

Բավական է այս հավասարման մեջ դնել x 2 = y, հետևաբար.

ay² + by + c = 0

եկեք գտնենք ստացված քառակուսային հավասարման արմատները

y 1,2 =

x 1, x 2, x 3, x 4 արմատները անմիջապես գտնելու համար y-ը փոխարինեք x-ով և ստացեք

x² =

x 1,2,3,4 = .

Եթե ​​չորրորդ աստիճանի հավասարումն ունի x 1, ապա այն ունի նաև արմատ x 2 = -x 1,

Եթե ​​ունի x 3, ապա x 4 = - x 3: Նման հավասարման արմատների գումարը զրո է։

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Եկեք հավասարումը փոխարինենք երկքառակուսի հավասարումների արմատների բանաձևով.

x 1,2,3,4 = ,

իմանալով, որ x 1 = -x 2, և x 3 = -x 4, ապա.

x 3.4 =

Պատասխան՝ x 1.2 = ±2; x 1.2 =

2.7 Երկկվադրական հավասարումների ուսումնասիրություն

Վերցնենք երկքառակուսի հավասարում

կացին 4 + bx 2 + c = 0,

որտեղ a, b, c-ն իրական թվեր են, և a > 0: Ներկայացնելով օժանդակ անհայտը y = x², մենք ուսումնասիրում ենք այս հավասարման արմատները և արդյունքները մուտքագրում աղյուսակում (տես Հավելված No 1):

2.8 Կարդանո բանաձեւ

Եթե ​​օգտագործենք ժամանակակից սիմվոլիզմը, ապա Կարդանոյի բանաձևի ստացումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

x =

Այս բանաձևը որոշում է ընդհանուր երրորդ աստիճանի հավասարման արմատները.

կացին 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0:

Այս բանաձևը շատ դժվար է և բարդ (այն պարունակում է մի քանի բարդ ռադիկալներ): Դա միշտ չէ, որ կկիրառվի, քանի որ... շատ դժվար է լրացնել:

F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Թվարկե՛ք կամ ընտրե՛ք ամենահետաքրքիր վայրերը 2-3 տեքստերից։ Այսպիսով, մենք ուսումնասիրել ենք ընտրովի դասընթացների ստեղծման և անցկացման ընդհանուր դրույթները, որոնք հաշվի կառնվեն հանրահաշիվից ընտրովի դասընթաց 9-րդ դասարանի «Քառակուսային հավասարումներ և անհավասարություններ պարամետրով» մշակելիս։ Գլուխ II. «Քառակուսային հավասարումներ և պարամետրով անհավասարություններ» ընտրովի դասընթացի անցկացման մեթոդիկա 1.1. Տարածված են...

Լուծումներ թվային հաշվարկի մեթոդներից. Հավասարման արմատները որոշելու համար չեն պահանջվում Աբել, Գալուա, Սուտ և այլն խմբերի տեսությունների իմացություն և հատուկ մաթեմատիկական տերմինաբանության օգտագործում՝ օղակներ, դաշտեր, իդեալներ, իզոմորֆիզմներ և այլն։ n-րդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է միայն քառակուսի հավասարումներ լուծելու և բարդ թվից արմատներ հանելու ունակություն։ Արմատները կարելի է որոշել...

MathCAD համակարգում ֆիզիկական մեծությունների չափման միավորո՞վ: 11. Մանրամասն նկարագրեք տեքստը, գրաֆիկական և մաթեմատիկական բլոկները: Դասախոսություն թիվ 2. Գծային հանրահաշվի խնդիրներ և դիֆերենցիալ հավասարումների լուծում MathCAD միջավայրում Գծային հանրահաշվի խնդիրներում գրեթե միշտ անհրաժեշտություն կա մատրիցներով տարբեր գործողություններ կատարելու։ Օպերատորի վահանակը մատրիցներով գտնվում է Math վահանակի վրա: ...

Այս դասախոսության ընթացքում մենք կծանոթանանք քառակուսի հավասարման արմատների և նրա գործակիցների միջև առկա հետաքրքիր հարաբերություններին: Այս հարաբերություններն առաջին անգամ հայտնաբերել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ֆրանսուա Վիետը (1540-1603):

Օրինակ, 3x 2 - 8x - 6 = 0 հավասարման համար, առանց դրա արմատները գտնելու, կարող եք, օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, անմիջապես ասել, որ արմատների գումարը հավասար է, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է.
այսինքն - 2. Իսկ x 2 - 6x + 8 = 0 հավասարման համար մենք եզրակացնում ենք. արմատների գումարը 6 է, արմատների արտադրյալը 8; Ի դեպ, դժվար չէ կռահել, թե ինչի են հավասար արմատները՝ 4 և 2:
Վիետայի թեորեմի ապացույց. ax 2 + bx + c = 0 քառակուսի հավասարման x 1 և x 2 արմատները գտնվել են բանաձևերի միջոցով.

Որտեղ D = b 2 - 4ac հավասարման դիսկրիմինանտն է: Այս արմատները միասին դնելով,
մենք ստանում ենք

Հիմա եկեք հաշվարկենք x 1 և x 2 արմատների արտադրյալը։ Ունենք

Երկրորդ կապն ապացուցված է.
Մեկնաբանություն. Վիետայի թեորեմը վավեր է նաև այն դեպքում, երբ քառակուսի հավասարումը ունի մեկ արմատ (այսինքն, երբ D = 0), ուղղակի ենթադրվում է, որ այս դեպքում հավասարումն ունի երկու նույնական արմատ, որոնց նկատմամբ կիրառվում են վերը նշված հարաբերությունները։
Ապացուցված հարաբերությունները կրճատված քառակուսի հավասարման համար x 2 + px + q = 0 ստանում են հատկապես պարզ ձև:

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 = q
դրանք. Կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների գումարը հավասար է հակառակ նշանով վերցված երկրորդ գործակցին, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։
Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, դուք կարող եք ստանալ այլ հարաբերություններ քառակուսի հավասարման արմատների և գործակիցների միջև: Թող, օրինակ, x 1 և x 2 լինեն կրճատված քառակուսի հավասարման արմատները x 2 + px + q = 0: Ապա

Այնուամենայնիվ, Վիետայի թեորեմի հիմնական նպատակն այն չէ, որ այն արտահայտում է որոշ հարաբերություններ քառակուսի հավասարման արմատների և գործակիցների միջև։ Շատ ավելի կարևոր է, որ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, ստացվում է քառակուսի եռանդամի ֆակտորինգի բանաձև, առանց որի մենք ապագայում չենք կարողանա անել:

Ապացույց. Մենք ունենք

Օրինակ 1. Գործոնավորեք քառակուսի եռանկյունը 3x 2 - 10x + 3:
Լուծում. Լուծելով 3x 2 - 10x + 3 = 0 հավասարումը, մենք գտնում ենք քառակուսի եռանդամի արմատները 3x 2 - 10x + 3. x 1 = 3, x2 = .
Օգտագործելով թեորեմ 2-ը, մենք ստանում ենք

Իմաստ ունի փոխարենը գրել 3x - 1 Այնուհետև մենք վերջապես ստանում ենք 3x 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1):
Նկատի ունեցեք, որ տրված քառակուսի եռանկյունը կարող է գործոնացվել առանց թեորեմ 2-ի կիրառման՝ օգտագործելով խմբավորման մեթոդը.

3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1):

Բայց, ինչպես տեսնում եք, այս մեթոդով հաջողությունը կախված է նրանից՝ կկարողանա՞նք գտնել հաջող խմբավորում, թե ոչ, մինչդեռ առաջին մեթոդով հաջողությունը երաշխավորված է։
Օրինակ 1. Կրճատել կոտորակը

Լուծում. 2x 2 + 5x + 2 = 0 հավասարումից մենք գտնում ենք x 1 = - 2,

x2 - 4x - 12 = 0 հավասարումից մենք գտնում ենք x 1 = 6, x 2 = -2: Ահա թե ինչու
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2):
Այժմ կրճատենք տրված կոտորակը.

Օրինակ 3. Գործոնավորեք արտահայտությունները.
ա) x4 + 5x 2 +6; բ) 2x+-3
Լուծում ա) Ներկայացնենք նոր փոփոխական y = x2. Սա թույլ կտա վերաշարադրել տրված արտահայտությունը y փոփոխականի նկատմամբ քառակուսի եռանդամի տեսքով, այն է՝ y 2 + bу + 6 ձևով։
Լուծելով y 2 + bу + 6 = 0 հավասարումը, մենք գտնում ենք y 2 + 5у + 6 քառակուսի եռանդամի արմատները՝ y 1 = - 2, y 2 = -3: Այժմ օգտագործենք թեորեմ 2; մենք ստանում ենք

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3):
Մնում է հիշել, որ y = x 2, այսինքն՝ վերադառնալ տրված արտահայտությանը: Այսպիսով,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2) (x 2 + 3):
բ) Ներկայացնենք նոր փոփոխական y = . Սա թույլ կտա վերաշարադրել տրված արտահայտությունը քառակուսի եռանկյունի տեսքով y փոփոխականի նկատմամբ, այն է՝ 2y 2 + y - 3 ձևով։ Լուծելով հավասարումը.
2y 2 + y - 3 = 0, գտե՛ք քառակուսի եռանդամի արմատները 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Հաջորդը, օգտագործելով թեորեմ 2-ը, մենք ստանում ենք.

Մնում է հիշել, որ y = , այսինքն՝ վերադառնալ տրված արտահայտությանը։ Այսպիսով,

Բաժնի վերջում որոշ պատճառաբանություններ, կրկին կապված Վիետայի թեորեմի հետ, ավելի ճիշտ, հակառակ հայտարարության հետ.
եթե x 1, x 2 թվերն այնպիսին են, որ x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q, ապա այս թվերը հավասարման արմատներն են.
Օգտագործելով այս պնդումը, դուք կարող եք բանավոր կերպով լուծել շատ քառակուսի հավասարումներ՝ առանց դժվար արմատային բանաձևերի, ինչպես նաև քառակուսի հավասարումներ կազմել տրված արմատներով։ Բերենք օրինակներ.

1) x 2 - 11x + 24 = 0: Այստեղ x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24: Հեշտ է կռահել, որ x 1 = 8, x 2 = 3:

2) x 2 + 11x + 30 = 0: Այստեղ x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30: Հեշտ է կռահել, որ x 1 = -5, x 2 = -6:
Նկատի ունեցեք, որ եթե հավասարման կեղծ անդամը դրական թիվ է, ապա երկու արմատներն էլ դրական են կամ բացասական. Սա կարևոր է հաշվի առնել արմատներ ընտրելիս:

3) x 2 + x - 12 = 0. Այստեղ x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12: Հեշտ է կռահել, որ x 1 = 3, x2 = -4:
Խնդրում ենք նկատի ունենալ. եթե հավասարման ազատ անդամը բացասական թիվ է, ապա արմատները տարբեր նշաններ ունեն. Սա կարևոր է հաշվի առնել արմատներ ընտրելիս:

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Հեշտ է տեսնել, որ x = 1-ը բավարարում է հավասարումը, այսինքն. x 1 = 1 հավասարման արմատն է: Քանի որ x 1 x 2 = -, և x 1 = 1, մենք ստանում ենք, որ x 2 = -:

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Այստեղ x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Եթե ուշադրություն դարձնեք այն փաստին, որ 2830 = 283. 10 և 293 = 283 + 10, ապա պարզ է դառնում, որ x 1 = 283, x 2 = 10 (այժմ պատկերացրեք, թե ինչ հաշվարկներ պետք է կատարվեն այս քառակուսի հավասարումը լուծելու համար, օգտագործելով ստանդարտ բանաձևեր):

6) Կազմենք քառակուսի հավասարում այնպես, որ դրա արմատները լինեն x 1 = 8, x 2 = - 4 թվերը: Սովորաբար նման դեպքերում մենք կազմում ենք կրճատված քառակուսային հավասարումը x 2 + px + q = 0:
Մենք ունենք x 1 + x 2 = -p, ուստի 8 - 4 = -p, այսինքն p = -4: Ավելին, x 1 x 2 = q, այսինքն. 8 «(-4) = q, որտեղից ստանում ենք q = -32: Այսպիսով, p = -4, q = -32, ինչը նշանակում է, որ պահանջվող քառակուսի հավասարումը ունի x 2 -4x-32 = 0 ձև:

Դպրոցական հանրահաշվի դասընթացում երկրորդ կարգի հավասարումների լուծման մեթոդներն ուսումնասիրելիս հաշվի են առնվում ստացված արմատների հատկությունները: Դրանք ներկայումս հայտնի են որպես Վիետայի թեորեմ։ Դրա օգտագործման օրինակները տրված են այս հոդվածում:

Քառակուսային հավասարում

Երկրորդ կարգի հավասարումը ստորև նկարում ներկայացված հավասարությունն է:

Այստեղ a, b, c նշանները որոշ թվեր են, որոնք կոչվում են դիտարկվող հավասարման գործակիցներ։ Հավասարությունը լուծելու համար հարկավոր է գտնել x-ի արժեքները, որոնք այն դարձնում են ճիշտ:

Նկատի ունեցեք, որ քանի որ առավելագույն հզորությունը, որին կարելի է բարձրացնել x-ը, երկուսն է, ապա ընդհանուր դեպքում արմատների թիվը նույնպես երկու է։

Այս տեսակի հավասարությունները լուծելու մի քանի եղանակ կա: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք դրանցից մեկը, որը ներառում է այսպես կոչված Վիետայի թեորեմի օգտագործումը:

Վիետայի թեորեմի ձևակերպում

16-րդ դարի վերջին հայտնի մաթեմատիկոս Ֆրանսուա Վիետը (ֆրանսիացի) տարբեր քառակուսի հավասարումների արմատների հատկությունները վերլուծելիս նկատել է, որ դրանց որոշակի համակցությունները բավարարում են կոնկրետ հարաբերություններ։ Մասնավորապես, այդ համակցություններն իրենց արտադրյալն ու գումարն են։

Վիետայի թեորեմը սահմանում է հետևյալը. քառակուսի հավասարման արմատները, երբ գումարվում են, տալիս են հակառակ նշանով վերցված գծային և քառակուսի գործակիցների հարաբերությունը, և երբ դրանք բազմապատկվում են, հանգեցնում են ազատ անդամի և քառակուսի գործակցի հարաբերությանը։ .

Եթե ​​հավասարման ընդհանուր ձևը գրված է այնպես, ինչպես ցույց է տրված հոդվածի նախորդ հատվածի լուսանկարում, ապա մաթեմատիկորեն այս թեորեմը կարելի է գրել երկու հավասարության տեսքով.

• r 2 + r 1 = -b / a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Որտեղ r 1, r 2-ը տվյալ հավասարման արմատների արժեքն է:

Վերոնշյալ երկու հավասարումները կարող են օգտագործվել մի շարք տարբեր մաթեմատիկական խնդիրներ լուծելու համար։ Վիետայի թեորեմի օգտագործումը լուծումներով օրինակներում տրված է հոդվածի հաջորդ բաժիններում։

Վիետայի թեորեմը (ավելի ճիշտ՝ Վիետայի թեորեմի հակադարձ թեորեմը) թույլ է տալիս կրճատել քառակուսի հավասարումների լուծման ժամանակը։ Դուք պարզապես պետք է իմանաք, թե ինչպես օգտագործել այն: Ինչպե՞ս սովորել լուծել քառակուսի հավասարումներ՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը: Դժվար չէ, եթե մի փոքր մտածես։

Այժմ մենք կխոսենք միայն կրճատված քառակուսի հավասարման լուծման մասին՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը. Կրճատված քառակուսի հավասարումը այն հավասարումն է, որտեղ a, այսինքն՝ x²-ի գործակիցը հավասար է մեկին: Հնարավոր է նաև լուծել քառակուսի հավասարումներ, որոնք տրված չեն Վիետայի թեորեմի միջոցով, բայց արմատներից գոնե մեկը ամբողջ թիվ չէ: Դրանք ավելի դժվար է կռահել։

Վիետայի թեորեմի հակադարձ թեորեմն ասում է. եթե x1 և x2 թվերն այնպիսին են, որ

ապա x1 և x2 քառակուսի հավասարման արմատներն են

Վիետայի թեորեմի միջոցով քառակուսի հավասարումը լուծելիս հնարավոր է ընդամենը 4 տարբերակ. Եթե ​​հիշում եք պատճառաբանության գիծը, կարող եք սովորել շատ արագ գտնել ամբողջական արմատներ:

I. Եթե q-ն դրական թիվ է,

սա նշանակում է, որ x1 և x2 արմատները նույն նշանի թվեր են (քանի որ միայն նույն նշաններով թվերը բազմապատկելուց ստացվում է դրական թիվ):

Ի.ա. Եթե ​​-p-ն դրական թիվ է, (համապատասխանաբար, էջ<0), то оба корня x1 и x2 — դրական թվեր(քանի որ մենք գումարեցինք նույն նշանի թվեր և ստացանք դրական թիվ):

Ի.բ. Եթե ​​-p-ն բացասական թիվ է, (համապատասխանաբար՝ p>0), ապա երկու արմատներն էլ բացասական թվեր են (մենք ավելացրել ենք նույն նշանի թվեր և ստացել ենք բացասական թիվ)։

II. Եթե ​​q-ն բացասական թիվ է,

սա նշանակում է, որ x1 և x2 արմատներն ունեն տարբեր նշաններ (թվերը բազմապատկելիս բացասական թիվ է ստացվում միայն այն դեպքում, երբ գործոնների նշանները տարբեր են): Այս դեպքում x1 + x2-ն այլևս գումար չէ, այլ տարբերություն (ի վերջո, տարբեր նշաններով թվեր գումարելիս բացարձակ արժեքով փոքրը հանում ենք մեծից)։ Հետևաբար, x1+x2 ցույց է տալիս, թե որքանով են տարբերվում x1 և x2 արմատները, այսինքն՝ որքանով է մի արմատը մեծ մյուսից (բացարձակ արժեքով)։

II.ա. Եթե ​​-p-ն դրական թիվ է, (այսինքն՝ էջ<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Եթե ​​-p-ն բացասական թիվ է, (p>0), ապա ավելի մեծ (մոդուլային) արմատը բացասական թիվ է:

Դիտարկենք քառակուսի հավասարումների լուծումը Վիետայի թեորեմի միջոցով՝ օգտագործելով օրինակներ։

Տրված քառակուսի հավասարումը լուծե՛ք Վիետայի թեորեմի միջոցով.

Այստեղ q=12>0, ուրեմն x1 և x2 արմատները նույն նշանի թվեր են։ Դրանց գումարը -p=7>0 է, ուստի երկու արմատներն էլ դրական թվեր են։ Մենք ընտրում ենք այն ամբողջ թվերը, որոնց արտադրյալը հավասար է 12-ի: Սրանք 1-ն են և 12-ը, 2-ը և 6-ը, 3-ը և 4-ը: 3-ի և 4-ի զույգերի գումարը 7 է: Սա նշանակում է, որ 3-ը և 4-ը հավասարման արմատներն են:

Այս օրինակում q=16>0, ինչը նշանակում է, որ x1 և x2 արմատները նույն նշանի թվեր են։ Դրանց գումարը -p=-10 է<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Այստեղ q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, ապա ավելի մեծ թիվը դրական է: Այսպիսով, արմատները 5 և -3 են:

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.