Ինչպես գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ օգտագործելով բանաձևը. Ֆունկցիաները և դրանց գրաֆիկները

Գիտելիք հիմնական տարրական գործառույթները, դրանց հատկությունները և գրաֆիկներըոչ պակաս կարևոր, քան բազմապատկման աղյուսակների իմացությունը: Նրանք նման են հիմքի, ամեն ինչ հիմնված է նրանց վրա, ամեն ինչ կառուցված է նրանցից և ամեն ինչ իջնում է նրանց վրա։

Այս հոդվածում մենք կթվարկենք բոլոր հիմնական տարրական գործառույթները, կտրամադրենք դրանց գրաֆիկները և կտանք առանց եզրակացության կամ ապացույցի Հիմնական տարրական գործառույթների հատկություններըըստ սխեմայի.

ֆունկցիայի վարքագիծը սահմանման տիրույթի սահմաններում, ուղղահայաց ասիմպտոտներ (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս ֆունկցիայի անջատման կետերի հոդվածի դասակարգումը);
զույգ և կենտ;
ուռուցիկության (ուռուցիկություն դեպի վեր) և գոգավորության (ուռուցք դեպի ներքև), թեքության կետերը (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս ֆունկցիայի ուռուցիկության հոդվածը, ուռուցիկության ուղղությունը, թեքության կետերը, ուռուցիկության և թեքության պայմանները);
թեք և հորիզոնական ասիմպտոտներ;
ֆունկցիաների եզակի կետեր;
որոշ ֆունկցիաների հատուկ հատկություններ (օրինակ՝ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ամենափոքր դրական շրջանը)։

Եթե դուք հետաքրքրված եք կամ, ապա կարող եք գնալ տեսության այս բաժիններին:

Հիմնական տարրական գործառույթներեն՝ հաստատուն ֆունկցիա (հաստատուն), n-րդ արմատ, հզորության ֆունկցիա, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական ֆունկցիա, եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ։

Էջի նավարկություն.

Մշտական գործառույթ:

Բոլոր իրական թվերի բազմության վրա հաստատուն ֆունկցիա է սահմանվում բանաձևով, որտեղ C-ն իրական թիվ է: Կայուն ֆունկցիան կապում է x անկախ փոփոխականի յուրաքանչյուր իրական արժեքը y կախված փոփոխականի նույն արժեքի հետ՝ C արժեքին: Հաստատուն ֆունկցիան կոչվում է նաև հաստատուն։

Հաստատուն ֆունկցիայի գրաֆիկը x-առանցքին զուգահեռ և (0,C) կոորդինատներով կետով անցնող ուղիղ գիծ է։ Որպես օրինակ՝ ցույց կտանք y=5, y=-2 և հաստատուն ֆունկցիաների գրաֆիկները, որոնք ստորև բերված նկարում համապատասխանում են համապատասխանաբար սև, կարմիր և կապույտ գծերին։

Մշտական ֆունկցիայի հատկությունները.

Դոմեն՝ իրական թվերի ամբողջությունը:
Մշտական ֆունկցիան հավասար է:
Արժեքների միջակայք՝ C եզակի թվից բաղկացած բազմություն։
Անընդհատ ֆունկցիան չի աճում և չի նվազում (այդ իսկ պատճառով այն հաստատուն է):
Անիմաստ է խոսել հաստատունի ուռուցիկության և գոգավորության մասին։
Ասիմպտոտներ չկան։
Ֆունկցիան անցնում է կոորդինատային հարթության (0,C) կետով։

n-րդ աստիճանի արմատ.

Դիտարկենք հիմնական տարրական ֆունկցիան, որը տրված է բանաձևով, որտեղ n-ը մեկից մեծ բնական թիվ է։

n-րդ աստիճանի արմատ, n-ը զույգ թիվ է:

Սկսենք n-րդ արմատային ֆունկցիայից n արմատային ցուցիչի զույգ արժեքների համար:

Որպես օրինակ, այստեղ պատկերված է ֆունկցիայի գրաֆիկների պատկերներով և , դրանք համապատասխանում են սև, կարմիր և կապույտ գծերին։

Զույգ աստիճանի արմատային ֆունկցիաների գծապատկերները նման տեսք ունեն ցուցիչի այլ արժեքների համար:

n-րդ արմատի ֆունկցիան նույնիսկ n-ի համար:

n-րդ արմատը, n-ը կենտ թիվ է:

Իրական թվերի ամբողջ բազմության վրա սահմանվում է n-րդ արմատային ֆունկցիան կենտ n արմատային ցուցիչով։ Օրինակ, ահա ֆունկցիայի գրաֆիկները և , դրանք համապատասխանում են սև, կարմիր և կապույտ կորերին։

Արմատային ցուցիչի այլ կենտ արժեքների դեպքում ֆունկցիայի գրաֆիկները նման տեսք կունենան:

n-րդ արմատի ֆունկցիայի հատկությունները կենտ n-ի համար:

Հզորության գործառույթ:

Հզորության ֆունկցիան տրվում է ձևի բանաձևով.

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիայի գրաֆիկների ձևը և ուժային ֆունկցիայի հատկությունները՝ կախված ցուցիչի արժեքից։

Սկսենք a ամբողջ թվային ցուցիչով հզորության ֆունկցիայից: Այս դեպքում ուժային ֆունկցիաների գրաֆիկների տեսքը և ֆունկցիաների հատկությունները կախված են ցուցիչի հավասարությունից կամ տարօրինակությունից, ինչպես նաև նրա նշանից։ Հետևաբար, մենք նախ կդիտարկենք հզորության ֆունկցիաները a աստիճանի կենտ դրական արժեքների համար, այնուհետև զույգ դրական ցուցանիշների համար, ապա կենտ բացասական ցուցիչների համար և վերջապես, զույգ բացասական a-ի համար:

Կոտորակի և իռացիոնալ ցուցիչներով հզորության ֆունկցիաների հատկությունները (ինչպես նաև նման հզորության ֆունկցիաների գրաֆիկների տեսակը) կախված են a ցուցիչի արժեքից։ Մենք դրանք կդիտարկենք նախ՝ a-ի համար զրոյից մինչև մեկ, երկրորդ՝ մեկից մեծի համար, երրորդը, a-ի համար՝ մինուս մեկից մինչև զրոյի, չորրորդ՝ մինուս մեկից փոքրի համար:

Այս բաժնի վերջում, ամբողջականության համար, մենք կնկարագրենք զրոյական ցուցիչով հզորության ֆունկցիա:

Հզորության ֆունկցիա կենտ դրական ցուցիչով:

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիա կենտ դրական ցուցիչով, այսինքն՝ a = 1,3,5,....

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս ուժային ֆունկցիաների գրաֆիկները՝ սև գիծ, – կապույտ գիծ, – կարմիր գիծ, – կանաչ գիծ: a=1-ի համար ունենք գծային ֆունկցիա y=x.

Կենտ դրական ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի հատկությունները:

Հզորության ֆունկցիա նույնիսկ դրական ցուցիչով:

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիա՝ զույգ դրական ցուցիչով, այսինքն՝ a = 2,4,6,....

Որպես օրինակ՝ մենք տալիս ենք ուժային ֆունկցիաների գրաֆիկները՝ սև գիծ, - կապույտ գիծ, - կարմիր գիծ: a=2-ի համար ունենք քառակուսի ֆունկցիա, որի գրաֆիկն է քառակուսային պարաբոլա.

Զույգ դրական ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի հատկությունները:

Հզորության ֆունկցիա կենտ բացասական ցուցիչով:

Դիտեք հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկները ցուցիչի կենտ բացասական արժեքների համար, այսինքն՝ a = -1, -3, -5,....

Նկարում ներկայացված են ուժային ֆունկցիաների գրաֆիկները որպես օրինակ՝ սև գիծ, - կապույտ գիծ, - կարմիր գիծ, - կանաչ գիծ: a=-1-ի համար ունենք հակադարձ համեմատականություն, որի գրաֆիկն է հիպերբոլա.

Կենտ բացասական ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի հատկությունները:

Հզորության ֆունկցիա նույնիսկ բացասական ցուցիչով:

Անցնենք a=-2,-4,-6,… հզորության ֆունկցիային:

Նկարում ներկայացված են հզորության ֆունկցիաների գրաֆիկները՝ սև գիծ, - կապույտ գիծ, - կարմիր գիծ:

Զույգ բացասական ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի հատկությունները:

Ռացիոնալ կամ իռացիոնալ ցուցիչով հզորության ֆունկցիա, որի արժեքը զրոյից մեծ է և մեկից փոքր:

Նշում!Եթե a-ն կենտ հայտարարով դրական կոտորակ է, ապա որոշ հեղինակներ ուժային ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը համարում են միջակայքը։ Սահմանված է, որ a աստիճանը անկրճատելի կոտորակ է։ Այժմ հանրահաշվի և վերլուծության սկզբունքների վերաբերյալ շատ դասագրքերի հեղինակները ՉԵՆ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ ուժային ֆունկցիաները ցուցիչով կոտորակի տեսքով, որի կենտ հայտարարը փաստարկի բացասական արժեքների համար: Մենք հավատարիմ կմնանք հենց այս տեսակետին, այսինքն՝ բազմությունը կհամարենք կոտորակային դրական ցուցիչներով ուժային ֆունկցիաների սահմանման տիրույթներ։ Մենք խորհուրդ ենք տալիս ուսանողներին պարզել ձեր ուսուցչի կարծիքը այս նուրբ կետի վերաբերյալ, որպեսզի խուսափեն տարաձայնություններից:

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիա a ռացիոնալ կամ իռացիոնալ ցուցիչով և .

Ներկայացնենք հզորության ֆունկցիաների գրաֆիկները a=11/12 (սև գիծ), a=5/7 (կարմիր գիծ), (կապույտ գիծ), a=2/5 (կանաչ գիծ):

Հզորության ֆունկցիա մեկից մեծ ոչ ամբողջ ռացիոնալ կամ իռացիոնալ ցուցիչով:

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիա ոչ ամբողջ թվով ռացիոնալ կամ իռացիոնալ a ցուցիչով և .

Ներկայացնենք բանաձևերով տրված հզորության ֆունկցիաների գրաֆիկները (համապատասխանաբար սև, կարմիր, կապույտ և կանաչ գծեր):

A ցուցիչի այլ արժեքների համար ֆունկցիայի գրաֆիկները կունենան նմանատիպ տեսք:

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները ժամը .

Հզորության ֆունկցիա իրական ցուցիչով, որը մեծ է մինուս մեկից և փոքր է զրոյից:

Նշում!Եթե a-ն կենտ հայտարարով բացասական կոտորակ է, ապա որոշ հեղինակներ համարում են, որ ուժային ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը միջակայքն է. . Սահմանված է, որ a չափանիշը անկրճատելի կոտորակ է։ Այժմ հանրահաշվի և վերլուծության սկզբունքների վերաբերյալ շատ դասագրքերի հեղինակները ՉԵՆ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ ուժային ֆունկցիաները ցուցիչով կոտորակի տեսքով, որի կենտ հայտարարը փաստարկի բացասական արժեքների համար: Մենք հավատարիմ կմնանք հենց այս տեսակետին, այսինքն՝ կոտորակային բացասական ցուցիչներով ուժային ֆունկցիաների սահմանման տիրույթները համապատասխանաբար կհամարենք բազմություն։ Մենք խորհուրդ ենք տալիս ուսանողներին պարզել ձեր ուսուցչի կարծիքը այս նուրբ կետի վերաբերյալ, որպեսզի խուսափեն տարաձայնություններից:

Անցնենք ուժային ֆունկցիային՝ կգոդ։

Հզորության ֆունկցիաների գրաֆիկների ձևի մասին լավ պատկերացնելու համար մենք տալիս ենք ֆունկցիաների գրաֆիկների օրինակներ. (համապատասխանաբար սև, կարմիր, կապույտ և կանաչ կորեր):

a, ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի հատկությունները.

Հզորության ֆունկցիա ոչ ամբողջ թվով իրական ցուցիչով, որը փոքր է մինուս մեկից:

Բերենք ուժային ֆունկցիաների գրաֆիկների օրինակներ , դրանք պատկերված են համապատասխանաբար սև, կարմիր, կապույտ և կանաչ գծերով։

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները մինուս մեկից փոքր ոչ ամբողջ բացասական ցուցիչով:

Երբ a = 0, մենք ունենք ֆունկցիա՝ սա ուղիղ գիծ է, որից բացառվում է (0;1) կետը (պայմանավորվածություն է ձեռք բերվել ոչ մի նշանակություն չտալ 0 0 արտահայտությանը):

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա.

Հիմնական տարրական ֆունկցիաներից մեկը էքսպոնենցիալ ֆունկցիան է։

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկը, որտեղ և ընդունում է տարբեր ձևեր՝ կախված a հիմքի արժեքից։ Եկեք պարզենք սա:

Նախ դիտարկենք այն դեպքը, երբ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմքը զրոյից մեկ արժեք է վերցնում, այսինքն՝ .

Որպես օրինակ՝ ներկայացնում ենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկները a = 1/2 – կապույտ գծի, a = 5/6 – կարմիր գծի համար: Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկները նման տեսք ունեն բազայի այլ արժեքների համար ընդմիջումից:

Մեկից փոքր հիմք ունեցող էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունները:

Անցնենք այն դեպքին, երբ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմքը մեկից մեծ է, այսինքն՝ .

Որպես օրինակ՝ ներկայացնում ենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների գրաֆիկները՝ կապույտ և կարմիր գիծ: Մեկից ավելի բազայի այլ արժեքների դեպքում էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկները կունենան նմանատիպ տեսք:

Մեկից մեծ հիմք ունեցող էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունները:

Լոգարիթմական ֆունկցիա.

Հաջորդ հիմնական տարրական ֆունկցիան լոգարիթմական ֆունկցիան է, որտեղ, . Լոգարիթմական ֆունկցիան սահմանվում է միայն փաստարկի դրական արժեքների համար, այսինքն՝ .

Լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկը տարբեր ձևեր է ստանում՝ կախված a հիմքի արժեքից։

Սկսենք այն դեպքից, երբ .

Որպես օրինակ՝ ներկայացնում ենք լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկները a = 1/2 – կապույտ գծի, a = 5/6 – կարմիր գծի համար: Մեկից չգերազանցող բազայի այլ արժեքների դեպքում լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկները կունենան նմանատիպ տեսք:

Մեկից փոքր հիմք ունեցող լոգարիթմական ֆունկցիայի հատկությունները:

Անցնենք այն դեպքին, երբ լոգարիթմական ֆունկցիայի հիմքը մեկից մեծ է ():

Ցույց տանք լոգարիթմական ֆունկցիաների գրաֆիկները՝ կապույտ գիծ, - կարմիր գիծ։ Մեկից մեծ բազայի այլ արժեքների դեպքում լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկները կունենան նմանատիպ տեսք:

Մեկից մեծ հիմք ունեցող լոգարիթմական ֆունկցիայի հատկությունները:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, դրանց հատկությունները և գրաֆիկները:

Բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները (սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս) պատկանում են հիմնական տարրական ֆունկցիաներին։ Այժմ մենք կանդրադառնանք դրանց գրաֆիկներին և կթվարկենք դրանց հատկությունները:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ունեն հայեցակարգ հաճախականությունը(ֆունկցիայի արժեքների կրկնություն տարբեր արգումենտների արժեքների համար, որոնք միմյանցից տարբերվում են ըստ ժամանակահատվածի , որտեղ T-ը ժամանակաշրջանն է), հետևաբար, եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունների ցանկին ավելացվել է տարր։ «Ամենափոքր դրական շրջանը».. Նաև յուրաքանչյուր եռանկյունաչափական ֆունկցիայի համար մենք կնշենք այն փաստարկի արժեքները, որոնց դեպքում անհետանում է համապատասխան գործառույթը:

Այժմ եկեք զբաղվենք բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով հերթականությամբ։

Սինուսային ֆունկցիա y = sin(x) .

Եկեք գծենք սինուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը, այն կոչվում է «սինուսային ալիք»:

Սինուսի ֆունկցիայի հատկությունները y = sinx.

Կոսինուս ֆունկցիա y = cos(x) .

Կոսինուսի ֆունկցիայի գրաֆիկը (կոչվում է «կոսինուս») ունի հետևյալ տեսքը.

y = cosx կոսինուսի ֆունկցիայի հատկությունները:

Շոշափող ֆունկցիա y = tan(x) .

Շոշափող ֆունկցիայի գրաֆիկը (այն կոչվում է «տանգենսոիդ») ունի հետևյալ տեսքը.

y = tanx շոշափող ֆունկցիայի հատկությունները:

Կոտանգենս ֆունկցիա y = ctg(x) .

Եկեք գծենք կոտանգենս ֆունկցիայի գրաֆիկը (այն կոչվում է «կոտանգենտոիդ»).

Կոտանգենս ֆունկցիայի հատկությունները y = ctgx.

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, դրանց հատկությունները և գրաֆիկները:

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները (աղեղային սինուս, աղեղային կոսինուս, աղեղային շոշափող և աղեղային կոտանգենս) հիմնական տարրական ֆունկցիաներն են։ Հաճախ «arc» նախածանցի պատճառով հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կոչվում են աղեղային ֆունկցիաներ։ Այժմ մենք կանդրադառնանք դրանց գրաֆիկներին և կթվարկենք դրանց հատկությունները:

Arcsine ֆունկցիա y = arcsin(x) .

Եկեք գծագրենք արկսինային ֆունկցիան.

Arccotangent ֆունկցիայի հատկությունները y = arcctg(x) .

Մատենագիտություն.

Կոլմոգորով Ա.Ն., Աբրամով Ա.Մ., Դուդնիցին Յու.Պ. և այլք Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. 10-11-րդ դասարանների համար. հանրակրթական հաստատություններ.
Վիգոդսկի Մ.Յա. Տարրական մաթեմատիկայի ձեռնարկ.
Նովոսելով Ս.Ի. Հանրահաշիվ և տարրական ֆունկցիաներ.
Թումանով Ս.Ի. Տարրական հանրահաշիվ. Ձեռնարկ ինքնակրթության համար.

Հիմնական տարրական ֆունկցիաները, դրանց բնորոշ հատկությունները և համապատասխան գրաֆիկները մաթեմատիկական գիտելիքների հիմունքներից են, որոնք իրենց կարևորությամբ նման են բազմապատկման աղյուսակին: Տարրական գործառույթները հիմք են, աջակցություն բոլոր տեսական խնդիրների ուսումնասիրության համար։

Ստորև բերված հոդվածը ներկայացնում է հիմնական նյութը հիմնական տարրական գործառույթների թեմայի վերաբերյալ: Կներկայացնենք տերմիններ, կտանք սահմանումներ; Եկեք մանրամասն ուսումնասիրենք տարրական ֆունկցիաների յուրաքանչյուր տեսակ և վերլուծենք դրանց հատկությունները։

Առանձնացվում են հիմնական տարրական գործառույթների հետևյալ տեսակները.

Սահմանում 1

մշտական գործառույթ (հաստատուն);
n-րդ արմատ;
հզորության գործառույթ;
էքսպոնենցիալ ֆունկցիա;
լոգարիթմական ֆունկցիա;
եռանկյունաչափական գործառույթներ;
եղբայրական եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ.

Հաստատուն ֆունկցիան սահմանվում է բանաձևով՝ y = C (C-ն որոշակի իրական թիվ է) և ունի նաև անուն՝ հաստատուն։ Այս ֆունկցիան որոշում է x անկախ փոփոխականի ցանկացած իրական արժեքի համապատասխանությունը y փոփոխականի նույն արժեքին՝ C-ի արժեքին:

Հաստատունի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է, որը զուգահեռ է աբսցիսայի առանցքին և անցնում է (0, C) կոորդինատներ ունեցող կետով։ Պարզության համար ներկայացնում ենք y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 հաստատուն ֆունկցիաների գրաֆիկները (գծագրում նշված են համապատասխանաբար սև, կարմիր և կապույտ գույներով):

Սահմանում 2

Այս տարրական ֆունկցիան սահմանվում է y = x n բանաձեւով (n-ը մեկից մեծ բնական թիվ է)։

Դիտարկենք ֆունկցիայի երկու տարբերակ։

n-րդ արմատ, n – զույգ թիվ

Պարզության համար մենք նշում ենք գծագիր, որը ցույց է տալիս նման գործառույթների գրաֆիկները. y = x, y = x 4 և y = x8. Այս հատկանիշները գունային կոդավորված են՝ համապատասխանաբար սև, կարմիր և կապույտ:

Զույգ աստիճանի ֆունկցիայի գծապատկերները նման տեսք ունեն ցուցիչի այլ արժեքների համար:

Սահմանում 3

N-րդ արմատի ֆունկցիայի հատկությունները, n-ը զույգ թիվ է

սահմանման տիրույթ – բոլոր ոչ բացասական իրական թվերի բազմությունը [0, + ∞);
երբ x = 0, ֆունկցիա y = x n-ն ունի զրոյի հավասար արժեք;
այս ֆունկցիան ընդհանուր ձևի ֆունկցիա է (այն ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ);
միջակայք՝ [ 0 , + ∞);
այս ֆունկցիան y = x n հավասար արմատային ցուցիչներով մեծանում է սահմանման ողջ տիրույթում.
ֆունկցիան ունի ուռուցիկություն՝ դեպի վեր ուղղվածություն ամբողջ սահմանման տիրույթում.
թեքման կետեր չկան.
ասիմպտոտներ չկան;
Նույնիսկ n ֆունկցիայի գրաֆիկն անցնում է (0; 0) և (1; 1) կետերով:

n-րդ արմատ, n – կենտ թիվ

Նման ֆունկցիա սահմանվում է իրական թվերի ամբողջ բազմության վրա։ Պարզության համար դիտարկեք ֆունկցիաների գրաֆիկները y = x 3, y = x 5 և x 9. Գծանկարում դրանք նշված են գույներով՝ սևը, կարմիրը և կապույտը համապատասխանաբար կորերի գույներն են։

y = x n ֆունկցիայի արմատային ցուցիչի այլ կենտ արժեքները կտան նմանատիպ տիպի գրաֆիկ:

Սահմանում 4

N-րդ արմատի ֆունկցիայի հատկությունները, n-ը կենտ թիվ է

սահմանման տիրույթ - բոլոր իրական թվերի բազմությունը.
այս ֆունկցիան տարօրինակ է.
արժեքների միջակայք - բոլոր իրական թվերի հավաքածու;
y = x n ֆունկցիան կենտ արմատային ցուցիչների համար մեծանում է սահմանման ողջ տիրույթում.
ֆունկցիան ունի գոգավորություն միջակայքի վրա (- ∞ ; 0 ] և ուռուցիկություն [0, + ∞) ինտերվալի վրա;
թեքման կետն ունի կոորդինատներ (0; 0);
ասիմպտոտներ չկան;
Կենտ n ֆունկցիայի գրաֆիկն անցնում է (- 1 ; - 1), (0 ; 0) և (1 ; 1) կետերով։

Հզորության գործառույթ

Սահմանում 5

Հզորության ֆունկցիան սահմանվում է y = x a բանաձևով:

Գրաֆիկների տեսքը և ֆունկցիայի հատկությունները կախված են ցուցիչի արժեքից։

երբ հզորության ֆունկցիան ունի a ամբողջ թվային ցուցիչ, ապա հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկի տեսակը և դրա հատկությունները կախված են նրանից, թե արդյոք ցուցանիշը զույգ է, թե՞ կենտ, ինչպես նաև, թե ինչ նշան ունի ցուցանիշը: Այս բոլոր հատուկ դեպքերը ավելի մանրամասն քննարկենք ստորև.
Ցուցանիշը կարող է լինել կոտորակային կամ իռացիոնալ. կախված դրանից, ֆունկցիայի գրաֆիկների տեսակը և հատկությունները նույնպես տարբերվում են: Մենք կվերլուծենք հատուկ դեպքերը՝ մի քանի պայման դնելով. 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
հզորության ֆունկցիան կարող է ունենալ զրոյական ցուցիչ, մենք նաև ավելի մանրամասն կվերլուծենք ստորև:

Եկեք վերլուծենք հզորության ֆունկցիան y = x a, երբ a-ն կենտ դրական թիվ է, օրինակ՝ a = 1, 3, 5...

Պարզության համար մենք նշում ենք նման հզորության ֆունկցիաների գրաֆիկները՝ y = x (գրաֆիկական գույնը սև), y = x 3 (գրաֆիկի կապույտ գույնը), y = x 5 (գրաֆիկի կարմիր գույնը), y = x 7 (գրաֆիկական գույնը կանաչ): Երբ a = 1, մենք ստանում ենք y = x գծային ֆունկցիան:

Սահմանում 6

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները, երբ ցուցիչը կենտ դրական է

ֆունկցիան աճում է x ∈-ի համար (- ∞ ; + ∞);
ֆունկցիան ունի ուռուցիկություն x ∈-ի համար (- ∞ ; 0 ] և գոգավորություն x ∈ [ 0 ; + ∞) համար (բացառությամբ գծային ֆունկցիայի);
թեքման կետն ունի կոորդինատներ (0 ; 0) (բացառությամբ գծային ֆունկցիայի);
ասիմպտոտներ չկան;
Ֆունկցիայի անցման կետերը՝ (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) :

Եկեք վերլուծենք հզորության ֆունկցիան y = x a, երբ a-ն զույգ դրական թիվ է, օրինակ՝ a = 2, 4, 6...

Պարզության համար մենք նշում ենք նման ուժային ֆունկցիաների գրաֆիկները. y = x 2 (գրաֆիկական գույնը սև), y = x 4 (գրաֆիկի կապույտ գույնը), y = x 8 (գրաֆիկի կարմիր գույնը): Երբ a = 2, մենք ստանում ենք քառակուսի ֆունկցիա, որի գրաֆիկը քառակուսային պարաբոլա է:

Սահմանում 7

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները, երբ ցուցիչը նույնիսկ դրական է.

սահմանման տիրույթ՝ x ∈ (- ∞ ; + ∞);
նվազում է x ∈-ի համար (- ∞ ; 0 ] ;
ֆունկցիան ունի գոգավորություն x ∈-ի համար (- ∞ ; + ∞);
թեքման կետեր չկան;
ասիմպտոտներ չկան;
Ֆունկցիայի անցման կետերը՝ (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) :

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս ուժային ֆունկցիայի գրաֆիկների օրինակներ y = x a, երբ a-ն կենտ բացասական թիվ է. y = x - 9 (գրաֆիկական գույնը սև); y = x - 5 (գրաֆիկի կապույտ գույնը); y = x - 3 (գրաֆիկի կարմիր գույնը); y = x - 1 (գրաֆիկական գույնը կանաչ): Երբ a = - 1, մենք ստանում ենք հակադարձ համեմատականություն, որի գրաֆիկը հիպերբոլա է:

Սահմանում 8

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները, երբ ցուցիչը կենտ բացասական է.

Երբ x = 0, մենք ստանում ենք երկրորդ տեսակի ընդհատում, քանի որ lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 1, - 3, - 5, …. Այսպիսով, ուղիղ գիծը x = 0 ուղղահայաց ասիմպտոտ է.

միջակայք՝ y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
ֆունկցիան կենտ է, քանի որ y (- x) = - y (x);
ֆունկցիան նվազում է x ∈ - ∞-ի համար; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
ֆունկցիան ունի ուռուցիկություն x ∈-ի համար (- ∞ ; 0) և գոգավորություն x ∈-ի համար (0 ; + ∞) ;
թեքման կետեր չկան;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, երբ a = - 1, - 3, - 5, . . . .

Ֆունկցիայի անցման կետերը՝ (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս y = x a հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկների օրինակներ, երբ a-ն զույգ բացասական թիվ է. y = x - 8 (գրաֆիկական գույնը սև); y = x - 4 (գրաֆիկի կապույտ գույնը); y = x - 2 (գրաֆիկի կարմիր գույնը):

Սահմանում 9

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները, երբ ցուցիչը նույնիսկ բացասական է.

սահմանման տիրույթ՝ x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Երբ x = 0, մենք ստանում ենք երկրորդ տեսակի ընդհատում, քանի որ lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 2, - 4, - 6, …. Այսպիսով, ուղիղ գիծը x = 0 ուղղահայաց ասիմպտոտ է.

ֆունկցիան զույգ է, քանի որ y(-x) = y(x);
ֆունկցիան աճում է x ∈-ի համար (- ∞ ; 0) և նվազում է x ∈ 0-ի համար; + ∞ ;
ֆունկցիան ունի գոգավորություն x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
թեքման կետեր չկան;
հորիզոնական ասիմպտոտ – ուղիղ գիծ y = 0, քանի որ.

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, երբ a = - 2, - 4, - 6, . . . .

ֆունկցիայի անցման կետերը՝ (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Հենց սկզբից ուշադրություն դարձրեք հետևյալ ասպեկտին. այն դեպքում, երբ a-ն կենտ հայտարարով դրական կոտորակ է, որոշ հեղինակներ որպես այս ուժային ֆունկցիայի սահմանման տիրույթ ընդունում են - ∞ միջակայքը. + ∞ , սահմանելով, որ a ցուցանիշը անկրճատելի կոտորակ է: Այս պահին հանրահաշվի և վերլուծության սկզբունքների վերաբերյալ բազմաթիվ ուսումնական հրապարակումների հեղինակները ՉԵՆ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ ուժային ֆունկցիաները, որտեղ ցուցիչը փաստարկի բացասական արժեքների համար կենտ հայտարար ունեցող կոտորակ է: Հետագայում մենք հավատարիմ կմնանք հենց այս դիրքորոշմանը. մենք կվերցնենք հավաքածուն [0; + ∞): Առաջարկություն ուսանողներին. պարզեք ուսուցչի տեսակետը այս կետի վերաբերյալ՝ տարաձայնություններից խուսափելու համար:

Այսպիսով, եկեք նայենք ուժային ֆունկցիային y = x a, երբ ցուցիչը ռացիոնալ կամ իռացիոնալ թիվ է, պայմանով, որ 0< a < 1 .

Եկեք պատկերացնենք հզորության ֆունկցիաները գրաֆիկներով y = x a երբ a = 11 12 (գրաֆիկական գույնը սև); a = 5 7 (գրաֆիկի կարմիր գույնը); a = 1 3 (գրաֆիկի կապույտ գույնը); a = 2 5 (գրաֆիկի կանաչ գույնը):

a ցուցիչի այլ արժեքներ (տրամադրված է 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Սահմանում 10

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները 0-ում< a < 1:

միջակայք՝ y ∈ [ 0 ; + ∞);
ֆունկցիան մեծանում է x ∈ [0; + ∞);
ֆունկցիան ուռուցիկ է x ∈-ի համար (0 ; + ∞);
թեքման կետեր չկան;
ասիմպտոտներ չկան;

Եկեք վերլուծենք հզորության ֆունկցիան y = x a, երբ ցուցիչը ոչ ամբողջ ռացիոնալ կամ իռացիոնալ թիվ է, պայմանով, որ a > 1:

Եկեք գրաֆիկներով պատկերացնենք հզորության ֆունկցիան y = x a տվյալ պայմաններում օգտագործելով հետևյալ ֆունկցիաները որպես օրինակ՝ y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (սև, կարմիր, կապույտ, կանաչ գրաֆիկների գույնը, համապատասխանաբար):

Ա ցուցիչի այլ արժեքները՝ պայմանով > 1, կտան նմանատիպ գրաֆիկ:

Սահմանում 11

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները a > 1:

սահմանման տիրույթ՝ x ∈ [ 0 ; + ∞);
միջակայք՝ y ∈ [ 0 ; + ∞);
այս ֆունկցիան ընդհանուր ձևի ֆունկցիա է (այն ոչ կենտ է, ոչ էլ զույգ);
ֆունկցիան մեծանում է x ∈ [0; + ∞);
ֆունկցիան ունի գոգավորություն x ∈ (0 ; + ∞) համար (երբ 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
թեքման կետեր չկան;
ասիմպտոտներ չկան;
Ֆունկցիայի անցման կետերը՝ (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, երբ a-ն կենտ հայտարարով բացասական կոտորակ է, որոշ հեղինակների աշխատություններում կա կարծիք, որ այս դեպքում սահմանման տիրույթը ∞ միջակայքն է; 0 ∪ (0 ; + ∞) նախազգուշացումով, որ a ցուցիչը անկրճատելի կոտորակ է: Այս պահին հանրահաշվի և վերլուծության սկզբունքների վերաբերյալ ուսումնական նյութերի հեղինակները ՉԵՆ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ ուժային ֆունկցիաները փաստարկի բացասական արժեքների համար կենտ հայտարար ունեցող կոտորակի տեսքով: Ավելին, մենք հավատարիմ ենք հենց այս տեսակետին. մենք ընդունում ենք բազմությունը (0 ; + ∞) որպես կոտորակային բացասական ցուցիչներով հզորության ֆունկցիաների սահմանման տիրույթ: Առաջարկություն ուսանողներին. Այս պահին հստակեցրեք ձեր ուսուցչի տեսլականը՝ տարաձայնություններից խուսափելու համար:

Շարունակենք թեման և վերլուծենք ուժային ֆունկցիան y = x a տրամադրվում է՝ - 1< a < 0 .

Ներկայացնենք հետևյալ ֆունկցիաների գրաֆիկները. y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (սև, կարմիր, կապույտ, կանաչ գույնը տողերը, համապատասխանաբար):

Սահմանում 12

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները - 1-ում< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ երբ - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

միջակայք՝ y ∈ 0 ; + ∞ ;
այս ֆունկցիան ընդհանուր ձևի ֆունկցիա է (այն ոչ կենտ է, ոչ էլ զույգ);
թեքման կետեր չկան;

Ստորև բերված գծագրում ներկայացված են y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 ուժային ֆունկցիաների գրաֆիկները (համապատասխանաբար կորերի սև, կարմիր, կապույտ, կանաչ գույները):

Սահմանում 13

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները ա< - 1:

սահմանման տիրույթ՝ x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ երբ a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

միջակայք՝ y ∈ (0 ; + ∞) ;
այս ֆունկցիան ընդհանուր ձևի ֆունկցիա է (այն ոչ կենտ է, ոչ էլ զույգ);
ֆունկցիան նվազում է x ∈ 0-ի համար; + ∞ ;
ֆունկցիան ունի գոգավորություն x ∈ 0-ի համար; + ∞ ;
թեքման կետեր չկան;
հորիզոնական ասիմպտոտ – ուղիղ գիծ y = 0;
ֆունկցիայի անցման կետ՝ (1; 1) .

Երբ a = 0 և x ≠ 0, մենք ստանում ենք y = x 0 = 1 ֆունկցիան, որը սահմանում է այն ուղիղը, որտեղից բացառվում է (0; 1) կետը (պայմանավորվածություն է ձեռք բերվել, որ 0 0 արտահայտությանը որևէ նշանակություն չի տրվի: )

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիան ունի ձև y = a x, որտեղ a > 0 և a ≠ 1, և այս ֆունկցիայի գրաֆիկը տարբերվում է՝ ելնելով a հիմքի արժեքից: Դիտարկենք հատուկ դեպքեր.

Նախ, եկեք նայենք այն իրավիճակին, երբ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմքն ունի զրոյից մինչև մեկ արժեք (0< a < 1) . Լավ օրինակ է a = 1 2 (կորի կապույտ գույնը) և a = 5 6 (կորի կարմիր գույնը) ֆունկցիաների գրաֆիկները:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկները նման տեսք կունենան բազայի այլ արժեքների համար 0 պայմանով< a < 1 .

Սահմանում 14

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունները, երբ հիմքը մեկից փոքր է.

միջակայք՝ y ∈ (0 ; + ∞) ;
այս ֆունկցիան ընդհանուր ձևի ֆունկցիա է (այն ոչ կենտ է, ոչ էլ զույգ);
էքսպոնենցիալ ֆունկցիա, որի հիմքը մեկից փոքր է, նվազում է սահմանման ողջ տիրույթում.
թեքման կետեր չկան;
հորիզոնական ասիմպտոտ – ուղիղ գիծ y = 0 x փոփոխականով դեպի + ∞;

Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմքը մեկից մեծ է (a > 1):

Եկեք պատկերացնենք այս հատուկ դեպքը y = 3 2 x (կորի կապույտ գույնը) և y = e x (գրաֆիկի կարմիր գույնը) էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիաների գրաֆիկով:

Հիմքի այլ արժեքներ, ավելի մեծ միավորներ, նման տեսք կտան էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկին:

Սահմանում 15

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունները, երբ հիմքը մեկից մեծ է.

սահմանման տիրույթ - իրական թվերի ամբողջությունը.
միջակայք՝ y ∈ (0 ; + ∞) ;
այս ֆունկցիան ընդհանուր ձևի ֆունկցիա է (այն ոչ կենտ է, ոչ էլ զույգ);
էքսպոնենցիալ ֆունկցիա, որի հիմքը մեկից մեծ է, աճում է որպես x ∈ - ∞; + ∞ ;
ֆունկցիան ունի գոգավորություն x ∈ - ∞-ում; + ∞ ;
թեքման կետեր չկան;
հորիզոնական ասիմպտոտ – ուղիղ գիծ y = 0 x փոփոխականով դեպի - ∞;
ֆունկցիայի անցման կետ՝ (0; 1) .

Լոգարիթմական ֆունկցիան ունի y = log a (x) ձևը, որտեղ a > 0, a ≠ 1:

Նման գործառույթը սահմանվում է միայն փաստարկի դրական արժեքների համար՝ x ∈ 0-ի համար; + ∞ .

Լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկը տարբեր տեսք ունի՝ հիմնված a հիմքի արժեքի վրա։

Նախ դիտարկենք իրավիճակը, երբ 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Հիմքի այլ արժեքները, ոչ ավելի մեծ միավորները, կտան նմանատիպ տիպի գրաֆիկ:

Սահմանում 16

Լոգարիթմական ֆունկցիայի հատկությունները, երբ հիմքը մեկից փոքր է.

սահմանման տիրույթ՝ x ∈ 0 ; + ∞ . Քանի որ x-ը աջից ձգտում է զրոյի, ֆունկցիայի արժեքները ձգտում են դեպի +∞;
միջակայք՝ y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
այս ֆունկցիան ընդհանուր ձևի ֆունկցիա է (այն ոչ կենտ է, ոչ էլ զույգ);
լոգարիթմական
ֆունկցիան ունի գոգավորություն x ∈ 0-ի համար; + ∞ ;
թեքման կետեր չկան;
ասիմպտոտներ չկան;

Այժմ տեսնենք այն հատուկ դեպքը, երբ լոգարիթմական ֆունկցիայի հիմքը մեկից մեծ է՝ a > 1. . Ստորև բերված գծագրում ներկայացված են y = log 3 2 x և y = ln x լոգարիթմական ֆունկցիաների գրաֆիկները (գրաֆիկների կապույտ և կարմիր գույները համապատասխանաբար):

Մեկից ավելի բազայի այլ արժեքներ կտան նմանատիպ տիպի գրաֆիկ:

Սահմանում 17

Լոգարիթմական ֆունկցիայի հատկությունները, երբ հիմքը մեկից մեծ է.

սահմանման տիրույթ՝ x ∈ 0 ; + ∞ . Քանի որ x-ը աջից ձգտում է զրոյի, ֆունկցիայի արժեքները ձգտում են դեպի -∞;
միջակայք՝ y ∈ - ∞ ; + ∞ (իրական թվերի ամբողջությունը);
այս ֆունկցիան ընդհանուր ձևի ֆունկցիա է (այն ոչ կենտ է, ոչ էլ զույգ);
լոգարիթմական ֆունկցիան աճում է x ∈ 0-ի համար; + ∞ ;
ֆունկցիան ուռուցիկ է x ∈ 0-ի համար; + ∞ ;
թեքման կետեր չկան;
ասիմպտոտներ չկան;
ֆունկցիայի անցման կետ՝ (1; 0) .

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն են՝ սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս։ Դիտարկենք դրանցից յուրաքանչյուրի հատկությունները և համապատասխան գրաֆիկան։

Ընդհանուր առմամբ, բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները բնութագրվում են պարբերականության հատկությամբ, այսինքն. երբ ֆունկցիաների արժեքները կրկնվում են արգումենտի տարբեր արժեքների համար՝ միմյանցից տարբերվելով f (x + T) = f (x) ժամանակաշրջանով (T-ն ժամկետն է): Այսպիսով, եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունների ցանկին ավելացվում է «ամենափոքր դրական ժամանակաշրջան» կետը։ Բացի այդ, մենք կնշենք այն փաստարկի արժեքները, որոնց դեպքում համապատասխան գործառույթը դառնում է զրո:

Սինուսային ֆունկցիա՝ y = sin(x)

Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է սինուսային ալիք։

Սահմանում 18

Սինուսի ֆունկցիայի հատկությունները.

սահմանման տիրույթ՝ իրական թվերի ամբողջությունը x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
ֆունկցիան անհետանում է, երբ x = π · k, որտեղ k ∈ Z (Z-ն ամբողջ թվերի բազմությունն է);
ֆունկցիան մեծանում է x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z և նվազում x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
սինուսի ֆունկցիան ունի լոկալ մաքսիմումներ π 2 + 2 π · k կետերում; 1 և տեղական նվազագույնը կետերում - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
սինուսի ֆունկցիան գոգավոր է, երբ x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z և ուռուցիկ, երբ x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
ասիմպտոտներ չկան.

Կոսինուսի ֆունկցիա. y = cos(x)

Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է կոսինուսային ալիք։

Սահմանում 19

Կոսինուսի ֆունկցիայի հատկությունները.

սահմանման տիրույթ՝ x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
ամենափոքր դրական ժամանակահատվածը `T = 2 π;
արժեքների միջակայք՝ y ∈ - 1 ; 1 ;
այս ֆունկցիան զույգ է, քանի որ y (- x) = y (x);
ֆունկցիան աճում է x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z և նվազում x ∈ 2 π · k-ի համար; π + 2 π k, k ∈ Z;
կոսինուսի ֆունկցիան ունի լոկալ մաքսիմումներ 2 π · k կետերում; 1, k ∈ Z և տեղական նվազագույնները π + 2 π · k կետերում; - 1, k ∈ z;
կոսինուսի ֆունկցիան գոգավոր է, երբ x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z եւ ուռուցիկ, երբ x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
թեքման կետերն ունեն π 2 + π · k կոորդինատներ; 0 , k ∈ Z
ասիմպտոտներ չկան.

Շոշափող ֆունկցիա. y = t գ (x)

Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է շոշափող.

Սահմանում 20

Շոշափող ֆունկցիայի հատկությունները.

սահմանման տիրույթ՝ x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, որտեղ k ∈ Z (Z-ը ամբողջ թվերի բազմությունն է);
Սահմանման տիրույթի սահմանի վրա շոշափող ֆունկցիայի վարքագիծը lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Այսպիսով, ուղիղները x = π 2 + π · k k ∈ Z ուղղահայաց ասիմպտոտներ են;
ֆունկցիան անհետանում է, երբ x = π · k k ∈ Z-ի համար (Z-ն ամբողջ թվերի բազմությունն է);
միջակայք՝ y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
այս ֆունկցիան կենտ է, քանի որ y (- x) = - y (x) ;
ֆունկցիան աճում է որպես - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
շոշափող ֆունկցիան գոգավոր է x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ Z և ուռուցիկ x ∈ համար (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
թեքման կետերն ունեն π · k կոորդինատներ; 0 , k ∈ Z ;

Կոտանգենտի ֆունկցիա. y = c t g (x)

Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է կոտանգենտոիդ։ .

Սահմանում 21

Կոտանգենս ֆունկցիայի հատկությունները.

սահմանման տիրույթ՝ x ∈ (π · k ; π + π · k) , որտեղ k ∈ Z (Z-ն ամբողջ թվերի բազմությունն է);

Կոտանգենս ֆունկցիայի վարքագիծը սահմանման տիրույթի սահմանին lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Այսպիսով, ուղիղները x = π · k k ∈ Z ուղղահայաց ասիմպտոտներ են;

ամենափոքր դրական ժամանակահատվածը `T = π;
ֆունկցիան անհետանում է, երբ x = π 2 + π · k k ∈ Z-ի համար (Z-ն ամբողջ թվերի բազմությունն է);
միջակայք՝ y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
այս ֆունկցիան կենտ է, քանի որ y (- x) = - y (x) ;
ֆունկցիան նվազում է x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
կոտանգենս ֆունկցիան գոգավոր է x ∈-ի համար (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z և ուռուցիկ x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
թեքման կետերն ունեն π 2 + π · k կոորդինատներ; 0, k ∈ Z;
Չկան թեք կամ հորիզոնական ասիմպտոտներ:

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն են՝ արկսին, արկոզին, արկտանգենս և արկոտանգենս։ Հաճախ անվանման մեջ «arc» նախածանցի առկայության պատճառով հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կոչվում են աղեղային ֆունկցիաներ. .

Աղեղի սինուսի ֆունկցիա՝ y = a r c sin (x)

Սահմանում 22

Արկսինային ֆունկցիայի հատկությունները.

այս ֆունկցիան կենտ է, քանի որ y (- x) = - y (x) ;
arcsine ֆունկցիան ունի գոգավորություն x ∈ 0-ի համար; 1 և ուռուցիկություն x ∈ - 1-ի համար; 0 ;
թեքության կետերն ունեն կոորդինատներ (0; 0), որը նաև ֆունկցիայի զրո է.
ասիմպտոտներ չկան.

Աղեղի կոսինուսի ֆունկցիա. y = a r c cos (x)

Սահմանում 23

Աղեղի կոսինուսի ֆունկցիայի հատկությունները.

սահմանման տիրույթ՝ x ∈ - 1 ; 1 ;
միջակայք՝ y ∈ 0 ; π;
այս ֆունկցիան ունի ընդհանուր ձև (ոչ զույգ, ոչ էլ կենտ);
ֆունկցիան նվազում է սահմանման ողջ տիրույթում.
աղեղային կոսինուսի ֆունկցիան ունի գոգավորություն x ∈ - 1-ում; 0 և ուռուցիկություն x ∈ 0-ի համար; 1 ;
թեքության կետերն ունեն 0 կոորդինատներ; π 2;
ասիմպտոտներ չկան.

Arctangent ֆունկցիա՝ y = a r c t g (x)

Սահմանում 24

Արկտանգենս ֆունկցիայի հատկությունները.

սահմանման տիրույթ՝ x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
արժեքների միջակայք՝ y ∈ - π 2 ; π 2;
այս ֆունկցիան կենտ է, քանի որ y (- x) = - y (x) ;
ֆունկցիան մեծանում է սահմանման ողջ տիրույթում.
արկտանգենս ֆունկցիան ունի գոգավորություն x ∈-ի համար (- ∞ ; 0 ] և ուռուցիկություն x ∈ [ 0 ; + ∞);
թեքման կետն ունի կոորդինատներ (0; 0), որը նաև ֆունկցիայի զրո է.
հորիզոնական ասիմպտոտները ուղիղ գծեր են y = - π 2 որպես x → - ∞ և y = π 2 որպես x → + ∞ (նկարում ասիմպտոտները կանաչ գծեր են):

Աղեղային շոշափող ֆունկցիա. y = a r c c t g (x)

Սահմանում 25

Արկկոտանգենս ֆունկցիայի հատկությունները.

սահմանման տիրույթ՝ x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
միջակայք՝ y ∈ (0; π) ;
այս ֆունկցիան ունի ընդհանուր ձև.
ֆունկցիան նվազում է սահմանման ողջ տիրույթում.
աղեղային կոտանգենս ֆունկցիան ունի գոգավորություն x ∈ [0; + ∞) և ուռուցիկություն x ∈-ի համար (- ∞ ; 0 ] ;
թեքման կետն ունի 0 կոորդինատներ; π 2;
Հորիզոնական ասիմպտոտներն են ուղիղ գծեր y = π x → - ∞-ում (կանաչ գիծ գծագրում) և y = 0 x → + ∞-ում:

Եթե տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Դպրոցականների առջեւ խնդիր է դրված կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը հանրահաշվի ուսումնասիրության հենց սկզբում եւ շարունակում են դրանք կառուցել տարեցտարի: Սկսած գծային ֆունկցիայի գրաֆիկից, որի համար պետք է իմանալ միայն երկու կետ, պարաբոլան, որն արդեն պահանջում է 6 կետ, հիպերբոլա և սինուսային ալիք։ Տարեցտարի ֆունկցիաները դառնում են ավելի ու ավելի բարդ, և դրանց գրաֆիկները այլևս հնարավոր չէ կառուցել կաղապարի միջոցով, անհրաժեշտ է ավելի բարդ ուսումնասիրություններ կատարել՝ օգտագործելով ածանցյալներ և սահմաններ։

Եկեք պարզենք, թե ինչպես գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկը: Դա անելու համար եկեք սկսենք ամենապարզ գործառույթներից, որոնց գրաֆիկները գծագրված են կետ առ կետ, ապա դիտարկենք ավելի բարդ ֆունկցիաներ կառուցելու պլան։

Գծային ֆունկցիայի գրաֆիկական ձևավորում

Ամենապարզ գրաֆիկները կառուցելու համար օգտագործեք ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակը: Գծային ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է։ Փորձենք գտնել y=4x+5 ֆունկցիայի գրաֆիկի կետերը։

Դա անելու համար վերցնենք x փոփոխականի երկու կամայական արժեք, դրանք հերթով փոխարինենք ֆունկցիայի մեջ, գտնենք y փոփոխականի արժեքը և ամեն ինչ մուտքագրենք աղյուսակում:
Վերցրեք x=0 արժեքը և փոխարինեք այն x - 0-ի փոխարեն ֆունկցիայի մեջ։ Ստանում ենք՝ y=4*0+5, այսինքն՝ y=5, այս արժեքը գրեք աղյուսակում 0-ի տակ։ Նմանապես վերցրեք x=։ 0, ստանում ենք y=4*1+5 , y=9։
Այժմ ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար անհրաժեշտ է այս կետերը գծել կոորդինատային հարթության վրա: Այնուհետեւ դուք պետք է ուղիղ գիծ գծեք:

Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկական ձևավորում

Քառակուսի ֆունկցիան y=ax 2 +bx +c ձևի ֆունկցիա է, որտեղ x-ը փոփոխական է, a,b,c-ն թվեր են (a-ն հավասար չէ 0-ի): Օրինակ՝ y=x 2, y=x 2 +5, y=(x-3) 2, y=2x 2 +3x+5։

Ամենապարզ քառակուսի y=x ֆունկցիան կառուցելու համար սովորաբար վերցվում է 5-7 միավոր։ Վերցնենք x փոփոխականի արժեքները՝ -2, -1, 0, 1, 2 և գտնենք y-ի արժեքները այնպես, ինչպես առաջին գրաֆիկը կառուցելիս:

Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է պարաբոլա: Ֆունկցիաների գրաֆիկները կառուցելուց հետո աշակերտները նոր առաջադրանքներ են ունենում՝ կապված գրաֆիկի հետ։

Օրինակ 1. գտե՛ք y=x 2 ֆունկցիայի գծապատկերի աբսցիսան, եթե օրդինատը 9 է: Խնդիրը լուծելու համար պետք է փոխարինել նրա 9 արժեքը y-ի փոխարեն, ստանում ենք 9=x 2 և լուծում ենք այս հավասարումը. x=3 և x=-3: Սա կարելի է տեսնել նաև ֆունկցիայի գրաֆիկում:

Ֆունկցիայի ուսումնասիրություն և դրա գրաֆիկի գծում

Ավելի բարդ գործառույթների գծապատկերներ գծելու համար հարկավոր է կատարել մի քանի քայլ՝ ուղղված այն ուսումնասիրելուն: Դա անելու համար ձեզ հարկավոր է.

Գտեք ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը: Սահմանման տիրույթը այն բոլոր արժեքներն են, որոնք կարող է վերցնել x փոփոխականը: Այն կետերը, որոնցում հայտարարը դառնում է 0 կամ արմատական արտահայտությունը դառնում է բացասական, պետք է բացառվեն սահմանման տիրույթից:
Սահմանեք՝ ֆունկցիան զույգ է, թե կենտ: Հիշեցնենք, որ զույգ ֆունկցիան այն է, որը համապատասխանում է f(-x)=f(x) պայմանին: Դրա գրաֆիկը սիմետրիկ է Oy-ի նկատմամբ։ Ֆունկցիան կենտ կլինի, եթե այն համապատասխանում է f(-x)=-f(x) պայմանին: Այս դեպքում գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։
Գտե՛ք կոորդինատային առանցքների հատման կետերը: Ox առանցքի հետ հատման կետի աբսցիսան գտնելու համար անհրաժեշտ է լուծել f(x) = 0 հավասարումը (օրդինատը հավասար է 0-ի): Oy առանցքի հետ հատման կետի օրդինատը գտնելու համար անհրաժեշտ է x փոփոխականի փոխարեն ֆունկցիայում փոխարինել 0-ով (աբսցիսան 0 է)։
Գտե՛ք ֆունկցիայի ասիմպտոտները: Ասիպտոտը ուղիղ գիծ է, որին գրաֆիկը մոտենում է անորոշ ժամանակով, բայց երբեք չի հատում: Եկեք պարզենք, թե ինչպես գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկի ասիմպտոտները:
- Ուղղահայաց ասիմպտոտ x=a
- Հորիզոնական ասիմպտոտ - ուղիղ y=a
- Թեք ասիմպտոտ - y=kx+b ձևի ուղիղ գիծ
Գտե՛ք ֆունկցիայի ծայրահեղ կետերը, ֆունկցիայի ավելացման և նվազման միջակայքերը: Գտնենք ֆունկցիայի ծայրահեղ կետերը։ Դա անելու համար անհրաժեշտ է գտնել առաջին ածանցյալը և այն հավասարեցնել 0-ի: Հենց այս կետերում ֆունկցիան կարող է փոխվել մեծացումից նվազման: Եկեք որոշենք ածանցյալի նշանը յուրաքանչյուր միջակայքում: Եթե ածանցյալը դրական է, ապա ֆունկցիայի գրաֆիկը մեծանում է, եթե այն բացասական է, ապա նվազում է։
Գտեք ֆունկցիայի գրաֆիկի թեքման կետերը, դեպի վեր և վար ուռուցիկության միջակայքերը:

Թեքման կետեր գտնելն այժմ ավելի հեշտ է, քան երբևէ: Պարզապես պետք է գտնել երկրորդ ածանցյալը, ապա հավասարեցնել այն զրոյի: Հաջորդը յուրաքանչյուր ինտերվալի վրա գտնում ենք երկրորդ ածանցյալի նշանը: Եթե այն դրական է, ապա ֆունկցիայի գրաֆիկը ուռուցիկ է դեպի ներքև, եթե բացասական է՝ դեպի վեր։

Նախ, փորձեք գտնել ֆունկցիայի տիրույթը.

Դուք հասցրե՞լ եք: Համեմատենք պատասխանները.

Ամեն ինչ ճի՞շտ է։ Լավ արեցիր։

Այժմ փորձենք գտնել ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը.

Գտե՞լ եք Եկեք համեմատենք.

Հասկացա? Լավ արեցիր։

Եկեք նորից աշխատենք գրաֆիկների հետ, միայն հիմա մի փոքր ավելի բարդ է. գտեք և՛ ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը, և՛ ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Ինչպես գտնել ֆունկցիայի և՛ տիրույթը, և՛ տիրույթը (ընդլայնված)

Ահա թե ինչ է տեղի ունեցել.

Կարծում եմ, որ դուք պարզել եք գրաֆիկները: Հիմա եկեք փորձենք գտնել ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը բանաձևերի համաձայն (եթե չգիտեք, թե ինչպես դա անել, կարդացեք բաժինը).

Դուք հասցրե՞լ եք: Եկեք ստուգենք պատասխանները:

, քանի որ արմատական արտահայտությունը պետք է լինի զրոյի մեծ կամ հավասար։
, քանի որ դուք չեք կարող բաժանել զրոյի և արմատական արտահայտությունը չի կարող բացասական լինել:
, քանի որ, համապատասխանաբար, բոլորի համար։
, քանի որ դուք չեք կարող բաժանել զրոյի:

Այնուամենայնիվ, մենք դեռևս ունենք ևս մեկ անպատասխան...

Մեկ անգամ եւս կրկնեմ սահմանումը և շեշտեմ.

Նկատեցի՞ք։ «Մինակ» բառը մեր սահմանման շատ, շատ կարևոր տարր է: Ես կփորձեմ դա բացատրել ձեզ իմ մատներով:

Ենթադրենք՝ ունենք ուղիղ գծով սահմանված ֆունկցիա։ . Ժամը, մենք այս արժեքը փոխարինում ենք մեր «կանոնով» և ստանում այն: Մեկ արժեքը համապատասխանում է մեկ արժեքի: Մենք նույնիսկ կարող ենք կազմել տարբեր արժեքների աղյուսակ և գծապատկերել այս ֆունկցիան՝ ինքներս տեսնելու համար:

"Նայել! - Դուք ասում եք, «« տեղի է ունենում երկու անգամ»: Այսպիսով, միգուցե պարաբոլան ֆունկցիա չէ՞: Ոչ, այդպես է։

Այն փաստը, որ «»-ը հայտնվում է երկու անգամ, պարաբոլային անորոշության մեջ մեղադրելու պատճառ չէ:

Փաստն այն է, որ հաշվարկելիս մենք ստացել ենք մեկ խաղ։ Իսկ հետ հաշվարկելիս մեկ խաղ ստացանք։ Այնպես որ, դա ճիշտ է, պարաբոլան ֆունկցիա է: Նայեք գրաֆիկին.

Հասկացա? Եթե ոչ, ահա մի կյանքի օրինակ, որը շատ հեռու է մաթեմատիկայից:

Ենթադրենք, մենք ունենք մի խումբ դիմորդներ, ովքեր հանդիպել են փաստաթղթերը ներկայացնելիս, որոնցից յուրաքանչյուրը զրույցում ասել է, թե որտեղ է ապրում.

Համաձայնեք, մի քաղաքում միանգամայն հնարավոր է, որ մի քանի տղաներ ապրեն, բայց անհնար է, որ մի մարդ միաժամանակ ապրի մի քանի քաղաքում։ Սա նման է մեր «պարաբոլայի» տրամաբանական ներկայացմանը. Մի քանի տարբեր X-եր համապատասխանում են նույն խաղին:

Հիմա բերենք մի օրինակ, որտեղ կախվածությունը ֆունկցիա չէ: Ենթադրենք, այս նույն տղաները մեզ ասացին, թե ինչ մասնագիտությունների համար են դիմել.

Այստեղ մենք բոլորովին այլ իրավիճակ ունենք՝ մեկ մարդ հեշտությամբ կարող է փաստաթղթեր ներկայացնել մեկ կամ մի քանի ուղղությունների համար։ Այն է մեկ տարրհավաքածուները դրվում են նամակագրության մեջ մի քանի տարրերբազմություններ. Համապատասխանաբար, սա գործառույթ չէ:

Եկեք փորձարկենք ձեր գիտելիքները գործնականում:

Նկարներից որոշեք, թե որն է ֆունկցիա և ինչը ոչ.

Հասկացա? Եվ ահա այն պատասխանները:

Ֆունկցիան է - B, E.
Ֆունկցիան չէ - A, B, D, D:

Դուք հարցնում եք, թե ինչու: Այո, ահա թե ինչու.

Բոլոր նկարներում բացի IN)Եվ Ե)Կան մի քանիսը մեկի համար!

Համոզված եմ, որ այժմ կարող եք հեշտությամբ տարբերակել ֆունկցիան ոչ ֆունկցիայից, ասել, թե ինչ է արգումենտը և ինչ է կախված փոփոխականը, ինչպես նաև որոշել արգումենտի թույլատրելի արժեքների միջակայքը և ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը: . Անցնենք հաջորդ բաժնին՝ ինչպե՞ս սահմանել ֆունկցիա:

Գործառույթը նշելու մեթոդներ

Ի՞նչ եք կարծում, ի՞նչ են նշանակում բառերը: «սահմանել գործառույթը»? Ճիշտ է, սա նշանակում է բոլորին բացատրել, թե տվյալ դեպքում ինչ գործառույթի մասին է խոսքը։ Ավելին, այնպես բացատրիր, որ բոլորը քեզ ճիշտ հասկանան, և քո բացատրության հիման վրա մարդկանց գծած ֆունկցիաների գրաֆիկները նույնն են։

Ինչպե՞ս կարող եմ դա անել: Ինչպե՞ս սահմանել գործառույթ:Ամենապարզ մեթոդը, որն արդեն օգտագործվել է ավելի քան մեկ անգամ այս հոդվածում օգտագործելով բանաձեւը.Մենք գրում ենք բանաձև և դրա մեջ արժեք փոխարինելով՝ հաշվում ենք արժեքը։ Եվ ինչպես հիշում եք, բանաձևը օրենք է, կանոն, որով մեզ և մեկ այլ անձի համար պարզ է դառնում, թե ինչպես է X-ը վերածվում Y-ի:

Սովորաբար, դա հենց այն է, ինչ նրանք անում են. առաջադրանքներում մենք տեսնում ենք պատրաստի գործառույթներ, որոնք նշված են բանաձևերով, այնուամենայնիվ, կան գործառույթ սահմանելու այլ եղանակներ, որոնց մասին բոլորը մոռանում են, և, հետևաբար, «այլ կերպ ինչպե՞ս կարող եք գործառույթ սահմանել»: խճողակներ. Եկեք ամեն ինչ հասկանանք հերթականությամբ, և սկսենք վերլուծական մեթոդից։

Գործառույթի որոշման վերլուծական մեթոդ

Վերլուծական մեթոդը բանաձևով ֆունկցիայի սահմանումն է: Սա ամենահամընդհանուր, համապարփակ և միանշանակ մեթոդն է։ Եթե ունես բանաձև, ապա դու բացարձակապես ամեն ինչ գիտես ֆունկցիայի մասին. կարող ես դրանից կազմել արժեքների աղյուսակ, կարող ես կառուցել գրաֆիկ, որոշել, թե որտեղ է մեծանում ֆունկցիան և որտեղ է այն նվազում, ընդհանուր առմամբ ուսումնասիրել այն։ լրիվ։

Դիտարկենք գործառույթը. Որն է տարբերությունը?

"Ինչ է դա նշանակում?" -հարցնում ես։ Հիմա կբացատրեմ.

Հիշեցնեմ, որ նշումում փակագծերում արտահայտությունը կոչվում է արգումենտ։ Եվ այս փաստարկը կարող է լինել ցանկացած արտահայտություն, պարտադիր չէ, որ պարզ: Ըստ այդմ, ինչպիսին էլ լինի փաստարկը (փակագծերում դրված արտահայտությունը), փոխարենը մենք այն կգրենք արտահայտության մեջ։

Մեր օրինակում այն կունենա հետևյալ տեսքը.

Դիտարկենք մեկ այլ առաջադրանք՝ կապված ֆունկցիայի հստակեցման վերլուծական մեթոդի հետ, որը դուք կունենաք քննության ժամանակ։

Գտեք արտահայտության արժեքը at.

Համոզված եմ, որ սկզբում դուք վախեցաք, երբ տեսաք նման արտահայտություն, բայց բացարձակապես սարսափելի ոչինչ չկա դրանում:

Ամեն ինչ նույնն է, ինչ նախորդ օրինակում. ինչ էլ որ լինի արգումենտը (փակագծերի արտահայտությունը), փոխարենը մենք այն կգրենք արտահայտության մեջ։ Օրինակ՝ ֆունկցիայի համար։

Ի՞նչ է պետք անել մեր օրինակում: Փոխարենը պետք է գրել, իսկ փոխարենը՝.

կրճատել ստացված արտահայտությունը.

Այսքանը:

Անկախ աշխատանք

Այժմ փորձեք ինքներդ գտնել հետևյալ արտահայտությունների իմաստը.

, Եթե
, Եթե

Դուք հասցրե՞լ եք: Եկեք համեմատենք մեր պատասխանները. Մենք սովոր ենք, որ ֆունկցիան ունի ձև

Նույնիսկ մեր օրինակներում մենք ֆունկցիան սահմանում ենք հենց այս կերպ, բայց վերլուծական առումով հնարավոր է, օրինակ, ֆունկցիան բացահայտ կերպով նշել:

Փորձեք ինքներդ կառուցել այս գործառույթը:

Դուք հասցրե՞լ եք:

Ահա թե ինչպես եմ այն կառուցել։

Ի վերջո, ի՞նչ հավասարում ստացանք:

Ճիշտ! Գծային, ինչը նշանակում է, որ գրաֆիկը կլինի ուղիղ գիծ: Եկեք աղյուսակ կազմենք՝ որոշելու համար, թե որ կետերն են պատկանում մեր գծին.

Հենց սրա մասին էինք խոսում... Մեկը համապատասխանում է մի քանիսին։

Փորձենք նկարել կատարվածը.

Մեր ստացածը ֆունկցիա՞ է:

Ճիշտ է, ոչ։ Ինչո՞ւ։ Փորձեք այս հարցին պատասխանել գծագրի օգնությամբ։ Ի՞նչ ստացաք:

«Որովհետև մեկ արժեքը համապատասխանում է մի քանի արժեքների»:

Ի՞նչ եզրակացություն կարող ենք անել սրանից։

Ճիշտ է, գործառույթը միշտ չէ, որ կարող է բացահայտ արտահայտվել, և այն, ինչ «քողարկված» է որպես գործառույթ, միշտ չէ, որ գործառույթ է:

Գործառույթը նշելու աղյուսակային մեթոդ

Ինչպես անունն է հուշում, այս մեթոդը պարզ նշան է: Այո այո։ Ինչպես այն, ինչ ես և դու արդեն պատրաստել ենք: Օրինակ:

Այստեղ դուք անմիջապես նկատեցիք մի օրինաչափություն՝ Y-ը երեք անգամ մեծ է X-ից: Իսկ հիմա «շատ ուշադիր մտածելու» առաջադրանքը. կարծում եք, որ աղյուսակի տեսքով տրված ֆունկցիան համարժեք է ֆունկցիայի՞:

Եկեք երկար չխոսենք, այլ նկարենք։

Այսպիսով. Մենք նկարում ենք պաստառի կողմից նշված գործառույթը հետևյալ կերպ.

Տեսնու՞մ եք տարբերությունը։ Ամեն ինչ նշված կետերի մասին չէ: Ավելի ուշադիր նայեք.

Հիմա տեսե՞լ եք: Երբ մենք ֆունկցիա ենք սահմանում աղյուսակային ձևով, գրաֆիկի վրա ցուցադրում ենք միայն այն կետերը, որոնք ունենք աղյուսակում, և տողը (ինչպես մեր դեպքում) անցնում է միայն դրանց միջով։ Երբ մենք ֆունկցիա ենք սահմանում վերլուծական, մենք կարող ենք վերցնել ցանկացած կետ, և մեր գործառույթը չի սահմանափակվում դրանցով։ Սա է յուրահատկությունը։ Հիշիր.

Ֆունկցիայի կառուցման գրաֆիկական մեթոդ

Ոչ պակաս հարմար է ֆունկցիայի կառուցման գրաֆիկական մեթոդը։ Մենք նկարում ենք մեր ֆունկցիան, և մեկ այլ հետաքրքրված անձ կարող է գտնել, թե ինչի է հավասար y-ը որոշակի x-ում և այլն։ Ամենատարածվածներից են գրաֆիկական և վերլուծական մեթոդները։

Այնուամենայնիվ, այստեղ դուք պետք է հիշեք, թե ինչի մասին մենք խոսեցինք հենց սկզբում. կոորդինատային համակարգում գծված յուրաքանչյուր «կռկռոց» գործառույթ չէ: Հիշում ես? Համենայն դեպս, ես այստեղ կպատճենեմ ֆունկցիայի սահմանումը.

Որպես կանոն, մարդիկ սովորաբար անվանում են մեր քննարկած ֆունկցիայի հստակեցման երեք եղանակներ՝ վերլուծական (օգտագործելով բանաձև), աղյուսակային և գրաֆիկական՝ ամբողջովին մոռանալով, որ ֆունկցիան կարելի է բանավոր նկարագրել: Սրա նման? Այո, շատ պարզ!

Գործառույթի բանավոր նկարագրություն

Ինչպե՞ս բառացիորեն նկարագրել գործառույթը: Վերցնենք մեր վերջին օրինակը - . Այս ֆունկցիան կարելի է նկարագրել որպես «x-ի յուրաքանչյուր իրական արժեք համապատասխանում է իր եռակի արժեքին»: Այսքանը: Ոչ մի բարդ բան. Դուք, իհարկե, կառարկեք. «կան այնպիսի բարդ գործառույթներ, որոնք պարզապես անհնար է բանավոր նշել»: Այո, կան այդպիսիք, բայց կան գործառույթներ, որոնք ավելի հեշտ է բանավոր նկարագրել, քան բանաձևով սահմանել։ Օրինակ՝ «x-ի յուրաքանչյուր բնական արժեք համապատասխանում է այն թվանշանների տարբերությանը, որոնցից այն բաղկացած է, մինչդեռ մինուենդը համարվում է թվի նշման մեջ պարունակվող ամենամեծ թվանշանը»: Այժմ եկեք տեսնենք, թե ինչպես է գործնականում իրականացվում ֆունկցիայի մեր բանավոր նկարագրությունը.

Տրված թվի ամենամեծ թվանշանը, համապատասխանաբար, մինուենդն է, ապա.

Գործառույթների հիմնական տեսակները

Հիմա եկեք անցնենք ամենահետաքրքիր մասին. եկեք նայենք այն գործառույթների հիմնական տեսակներին, որոնց հետ աշխատել/աշխատում եք և կաշխատեք դպրոցական և քոլեջի մաթեմատիկայի ընթացքում, այսինքն՝ եկեք ծանոթանանք դրանց, որպեսզի խոսեք և տվեք նրանց համառոտ նկարագրությունը: Կարդացեք ավելին յուրաքանչյուր գործառույթի մասին համապատասխան բաժնում:

Գծային ֆունկցիա

Այն ձևի ֆունկցիան, որտեղ իրական թվերն են:

Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է, ուստի գծային ֆունկցիա կառուցելը հանգում է երկու կետերի կոորդինատները գտնելուն։

Ուղիղ գծի դիրքը կոորդինատային հարթության վրա կախված է անկյունային գործակիցից։

Ֆունկցիայի շրջանակը (այսինքն՝ վավեր արգումենտի արժեքների շրջանակը) է:

Արժեքների շրջանակ - .

Քառակուսի ֆունկցիա

Ձևի ֆունկցիա, որտեղ

Ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է, երբ պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև, երբ ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր։

Քառակուսային ֆունկցիայի շատ հատկություններ կախված են դիսկրիմինանտի արժեքից: Խտրականությունը հաշվարկվում է բանաձևով

Պարաբոլայի դիրքը կոորդինատային հարթության վրա արժեքի և գործակցի նկատմամբ ներկայացված է նկարում.

Դոմեն

Արժեքների միջակայքը կախված է տվյալ ֆունկցիայի ծայրահեղությունից (պարաբոլայի գագաթնակետից) և գործակիցից (պարաբոլայի ճյուղերի ուղղությունից)

Հակադարձ համեմատականություն

Բանաձևով տրված ֆունկցիան, որտեղ

Թիվը կոչվում է հակադարձ համեմատականության գործակից։ Կախված արժեքից՝ հիպերբոլայի ճյուղերը տարբեր քառակուսիներով են.

Դոմեն - .