Ինչու են Պյութագորասի շալվարները բոլոր կողմերից հավասար: Պյութագորասյան շալվար

Պյութագորասի թեորեմը բոլորին հայտնի է դեռ դպրոցական տարիներից: Մի ականավոր մաթեմատիկոս ապացուցեց մի հիանալի վարկած, որը ներկայումս օգտագործում են շատ մարդիկ։ Կանոնն այսպես է գործում՝ հիպոթենուսի երկարության քառակուսին ուղղանկյուն եռանկյունհավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին: Շատ տասնամյակներ շարունակ ոչ մի մաթեմատիկոս չի կարողացել վիճել այս կանոնը. Ի վերջո, Պյութագորասը երկար քայլեց դեպի իր նպատակը, որպեսզի արդյունքում գծագրերը տեղի ունենան ք. Առօրյա կյանք.

Այս թեորեմի մի փոքրիկ հատված, որը հորինվել է ապացուցումից անմիջապես հետո, ուղղակիորեն ապացուցում է վարկածի հատկությունները. Պյութագորասյան շալվարբոլոր ուղղություններով հավասար»: Այս երկտողանոց տողը դաջված է շատերի հիշողության մեջ. մինչ օրս բանաստեղծությունը հիշվում է հաշվարկներ անելիս։
Այս թեորեմը կոչվել է «Պյութագորասի շալվար» այն պատճառով, որ մեջտեղում գծվելիս ստացվել է ուղղանկյուն եռանկյուն՝ յուրաքանչյուր կողմում քառակուսիներով։ Արտաքինից այս նկարը նման էր շալվարին, այստեղից էլ վարկածի անվանումը:
Պյութագորասը հպարտանում էր մշակված թեորեմով, քանի որ այս վարկածը տարբերվում է նմանատիպներից ապացույցների առավելագույն քանակով։ Կարևոր է. հավասարումը ներառվել է Գինեսի ռեկորդների գրքում 370 իրական ապացույցների շնորհիվ:
Վարկածն ապացուցվել է հսկայական թվով մաթեմատիկոսների և դասախոսների կողմից տարբեր երկրներբազմաթիվ եղանակներով. Շուտով անգլիացի մաթեմատիկոս Ջոնսը հայտարարեց վարկածը և ապացուցեց այն դիֆերենցիալ հավասարման միջոցով։
Ներկայումս ոչ ոք չգիտի թեորեմի ապացույցն անձամբ Պյութագորասի կողմից։. Մաթեմատիկոսի ապացույցների մասին փաստերն այսօր ոչ մեկին հայտնի չեն։ Ենթադրվում է, որ Էվկլիդեսի գծագրերի ապացույցը Պյութագորասի ապացույցն է։ Այնուամենայնիվ, որոշ գիտնականներ վիճում են այս հայտարարության հետ. շատերը կարծում են, որ Էվկլիդեսը ինքնուրույն ապացուցեց թեորեմը, առանց վարկածի ստեղծողի օգնության:
Այսօրվա գիտնականները դա են հայտնաբերել մեծ մաթեմատիկոսառաջինը չէր, ով հայտնաբերեց այս վարկածը. Հավասարումը հայտնի էր Պյութագորասի կողմից դրա հայտնաբերումից շատ առաջ։ Այս մաթեմատիկոսը կարողացավ միայն վերամիավորել վարկածը:
Պյութագորասը հավասարմանը չի տվել «Պյութագորասի թեորեմ» անվանումը. Այս անունը մնացել է «բարձրաձայն երկշարք» բառից հետո։ Մաթեմատիկոսը միայն ցանկանում էր, որ ամբողջ աշխարհն իմանա ու օգտագործի իր ջանքերն ու հայտնագործությունները։
Մեծ մաթեմատիկոս Մորից Քանտորը գտել և տեսել է հին պապիրուսի վրա գծագրերով նշումներ. Դրանից անմիջապես հետո Կանտորը հասկացավ, որ այս թեորեմը հայտնի էր եգիպտացիներին դեռ մ.թ.ա. 2300 թվականին: Միայն դրանից հետո ոչ ոք չօգտվեց դրանից և չփորձեց ապացուցել:
Ներկայիս գիտնականները կարծում են, որ վարկածը հայտնի է եղել մ.թ.ա. 8-րդ դարում. Հնդկական դրա գիտնականներըժամանակը հայտնաբերել է ուղիղ անկյուններով օժտված եռանկյան հիպոթենուսի մոտավոր հաշվարկ։ Ճիշտ է, այն ժամանակ ոչ ոք մոտավոր հաշվարկներով չկարողացավ հաստատապես ապացուցել հավասարումը։
Մեծ մաթեմատիկոս Բարտել վան դեր Վաերդենը վարկածն ապացուցելուց հետո եզրակացրեց կարևոր եզրակացություն «Հույն մաթեմատիկոսի վաստակը համարվում է ոչ թե ուղղության և երկրաչափության բացահայտումը, այլ միայն դրա հիմնավորումը։ Պյութագորասը իր ձեռքում ուներ հաշվարկման բանաձևեր, որոնք հիմնված էին ենթադրությունների, ոչ ճշգրիտ հաշվարկների և անորոշ գաղափարների վրա: Սակայն ականավոր գիտնականին հաջողվեց այն վերածել ճշգրիտ գիտության»։
Հայտնի բանաստեղծն ասաց, որ իր գծանկարի հայտնաբերման օրը ցուլերի համար փառահեղ մատաղ է կանգնեցրել.. Վարկածի բացահայտումից հետո էր, որ սկսեցին լուրեր տարածվել, որ հարյուր ցուլի զոհաբերությունը «թափառել է գրքերի և հրատարակությունների էջերով»։ Մինչ օրս խելացիները կատակում են, որ այդ ժամանակվանից բոլոր ցլերը վախենում են նոր հայտնագործությունից:
Ապացույց, որ Պյութագորասը չէ, ով հորինել է տաբատի մասին բանաստեղծությունը, որպեսզի ապացուցի իր առաջ քաշած գծագրերը. Մեծ մաթեմատիկոսի կյանքի ընթացքում դեռ շալվար չի եղել. Նրանք հորինվել են մի քանի տասնամյակ անց:
Պեկկան, Լայբնիցը և մի քանի այլ գիտնականներ փորձեցին ապացուցել նախկինում հայտնի թեորեմը, բայց ոչ մեկին չհաջողվեց։
Գծանկարների անվանումը «Պյութագորասի թեորեմ» նշանակում է «խոսքով համոզում». Այսպես է թարգմանվում Պյութագորաս բառը, որը մաթեմատիկոսն ընդունել է որպես կեղծանուն։
Պյութագորասի մտորումները սեփական կանոնի մասին. երկրի վրա ամեն ինչի գաղտնիքը թվերի մեջ է. Չէ՞ որ մաթեմատիկոսը, հենվելով սեփական վարկածի վրա, ուսումնասիրել է թվերի հատկությունները, բացահայտել հավասարությունն ու տարօրինակությունը, ստեղծել է համամասնություններ։

Հուսով ենք, որ ձեզ դուր եկավ նկարների ընտրությունը - Հետաքրքիր փաստերՊյութագորասի թեորեմի մասին. իմացեք ինչ-որ նոր բան հայտնի թեորեմի մասին (15 լուսանկար) առցանց լավ որակով: Խնդրում ենք թողնել ձեր կարծիքը մեկնաբանություններում: Մեզ համար կարևոր է յուրաքանչյուր կարծիք։

«Պյութագորասյան շալվարները բոլոր կողմերից հավասար են։
Սա ապացուցելու համար պետք է նկարահանել ու ցուցադրել»:

Այս բանաստեղծությունը հայտնի է բոլորին ավագ դպրոց, այն ժամանակվանից, երբ մենք ուսումնասիրեցինք Պյութագորասի հայտնի թեորեմը երկրաչափության դասում. ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսի երկարության քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին: Թեև ինքը՝ Պյութագորասը, երբեք շալվար չի հագել, այն ժամանակ հույները չէին հագնում դրանք: Ո՞վ է Պյութագորասը:
Սամոսի Պյութագորասը լատ. Պյութագորաս, պյութական հեռարձակող (մ.թ.ա. 570-490) - հին հույն փիլիսոփա, մաթեմատիկոս և միստիկ, Պյութագորասի կրոնական և փիլիսոփայական դպրոցի ստեղծող։
Իր ուսուցիչների հակասական ուսմունքների մեջ Պյութագորասը փնտրում էր կենդանի կապ, մեկ մեծ ամբողջության սինթեզ: Նա իր առջեւ նպատակ դրեց՝ գտնել դեպի ճշմարտության լույսը տանող ճանապարհը, այսինքն՝ ապրել միասնության մեջ: Այդ նպատակով Պյութագորասը այցելեց ամբողջ հին աշխարհ. Նա կարծում էր, որ պետք է ընդլայնի իր առանց այն էլ լայն հորիզոնները՝ ուսումնասիրելով բոլոր կրոնները, վարդապետությունները և պաշտամունքները: Նա ապրում էր ռաբբիների մեջ և շատ բան իմացավ Իսրայելի օրենսդիր Մովսեսի գաղտնի ավանդույթների մասին: Այնուհետև նա այցելեց Եգիպտոս, որտեղ նա սկսվեց Ադոնիսի առեղծվածների մեջ, և, երբ կարողացավ անցնել Եփրատի հովիտը, երկար ժամանակ մնաց քաղդեացիների մոտ՝ իմանալու նրանց գաղտնի իմաստությունը: Պյութագորասը այցելեց Ասիա և Աֆրիկա, ներառյալ Հինդուստան և Բաբելոն: Բաբելոնում ուսումնասիրել է մոգերի գիտելիքները։
Պյութագորասի վաստակը աշխարհի զարգացման քանակական օրենքների մասին գաղափարների առաջխաղացումն էր, ինչը նպաստեց մաթեմատիկական, ֆիզիկական, աստղագիտական և. աշխարհագրական գիտելիքներ. Իրերի հիմքը Թիվն է, սովորեցնում էր Պյութագորասը, ճանաչել աշխարհը նշանակում է իմանալ այն թվերը, որոնք կառավարում են այն: Թվերն ուսումնասիրելով՝ պյութագորասցիները թվային հարաբերություններ են մշակել և գտել դրանք մարդկային գործունեության բոլոր ոլորտներում։ Պյութագորասը գաղտնի դասավանդում էր և չէր թողնում գրավոր գործեր։ Պյութագորասը տվեց մեծ նշանակությունթիվ։ Նրան փիլիսոփայական հայացքներմեծապես պայմանավորված է մաթեմատիկական ներկայացումներ. Նա ասաց. «Ամեն ինչ մի թիվ է», «բոլոր բաները թվեր են»՝ այսպիսով ընդգծելով աշխարհի ըմբռնման մի կողմը, այն է՝ նրա չափելիությունը թվային արտահայտության մեջ։ Պյութագորասը հավատում էր, որ թիվը վերահսկում է ամեն ինչ, ներառյալ բարոյական և հոգևոր հատկությունները: Նա ուսուցանել է (ըստ Արիստոտելի). «Արդարությունը... ինքն իրենով բազմապատկվող թիվ է»։ Նա կարծում էր, որ յուրաքանչյուր առարկայի մեջ, բացի իր փոփոխական վիճակներից, կա անփոփոխ էակ, որոշակի անփոփոխ նյութ։ Սա թիվ է։ Այստեղից էլ բխում է պյութագորականության հիմնական գաղափարը. թիվը գոյություն ունեցող ամեն ինչի հիմքն է: Պյութագորացիները թվերի և մաթեմատիկական հարաբերությունների մեջ տեսնում էին երևույթների թաքնված իմաստի, բնության օրենքների բացատրությունը: Ըստ Պյութագորասի՝ մտքի առարկաներն ավելի իրական են, քան զգայական իմացության առարկաները, քանի որ թվերն ունեն հավերժական բնույթ, այսինքն. հավերժական։ Դրանք մի տեսակ իրականություն են, որը վեր է կանգնած իրերի իրականությունից: Պյութագորասն ասում է, որ օբյեկտի բոլոր հատկությունները կարող են ոչնչացվել կամ փոփոխվել, բացառությամբ մեկ թվային հատկության։ Այս գույքը միավոր է: Միասնությունը իրերի գոյությունն է՝ անխորտակելի ու անխզելի, անփոփոխ։ Ցանկացած առարկա բաժանեք ամենափոքր մասնիկների՝ յուրաքանչյուր մասնիկ կլինի մեկ: Պնդելով, որ թվային էակը միակ անփոփոխ էակն է, Պյութագորասը եկել է այն եզրակացության, որ բոլոր առարկաները թվերի պատճեններ են։
Միավորը բացարձակ թիվ է: Անհրաժեշտ չէ, որ միավորը որևէ այլ բանի հետ կապ ունենա: Այն գոյություն ունի ինքնուրույն: Երկուսը միայն մեկից մեկի հարաբերությունն է: Բոլոր թվերը միայն
Միավորի թվային հարաբերությունները, դրա փոփոխությունները: Եվ գոյության բոլոր ձևերը անսահմանության միայն որոշակի կողմեր են, հետևաբար և Միավորներ: Բնօրինակ Մեկը պարունակում է բոլոր թվերը, հետևաբար, պարունակում է ամբողջ աշխարհի տարրերը: Օբյեկտները վերացական գոյության իրական դրսեւորումներ են։ Պյութագորասն առաջինն էր, ով տիեզերքը նշանակեց իր մեջ եղած բոլոր իրերով որպես թվով հաստատված կարգ: Այս կարգը հասանելի է մտքին և ճանաչվում է նրա կողմից, ինչը թույլ է տալիս աշխարհը տեսնել բոլորովին նոր ձևով:
Աշխարհի ճանաչման գործընթացը, ըստ Պյութագորասի, այն կառավարող թվերի ճանաչման գործընթացն է։ Պյութագորասից հետո տիեզերքը սկսեց դիտվել որպես դասավորված ըստ տիեզերքի թվի:
Պյութագորասը սովորեցնում էր, որ մարդու հոգին անմահ է: Նա հանդես եկավ հոգիների վերաբնակեցման գաղափարով: Նա հավատում էր, որ այն ամենը, ինչ տեղի է ունենում աշխարհում, որոշակի ժամանակահատվածներից հետո նորից ու նորից կրկնվում է, իսկ մահացածների հոգիները որոշ ժամանակ անց բնակվում են ուրիշներում: Հոգին, որպես թիվ, ներկայացնում է Միավորը, այսինքն. հոգին էապես կատարյալ է: Բայց ամեն կատարելություն, որքանով որ շարժման մեջ է մտնում, վերածվում է անկատարության, թեև ձգտում է վերագտնել իր նախկին կատարյալ վիճակը։ Պյութագորասը Միասնությունից շեղումը անկատարություն է անվանել. ուստի երկուսը համարվում էր անիծված թիվ։ Մարդու հոգին համեմատական անկատարության վիճակում է։ Այն բաղկացած է երեք տարրբանականություն, բանականություն, կիրք: Բայց եթե կենդանիներն էլ ունեն խելք ու կրքեր, ապա միայն մարդն է օժտված բանականությամբ (բանականությամբ): Սրանցից որևէ մեկը երեք կողմկարող է գերակշռել մարդու մեջ, և այդ ժամանակ մարդը դառնում է հիմնականում կամ ողջամիտ, կամ ողջախոհ, կամ զգայական: Ըստ այդմ՝ նա կամ փիլիսոփա է ստացվում, կամ սովորական մարդ, կամ կենդանի։
Այնուամենայնիվ, վերադառնանք թվերին: Այո, իրոք, թվերը Տիեզերքի հիմնարար փիլիսոփայական օրենքի՝ Հակադրությունների միասնության վերացական դրսեւորումն են։
Նշում։ Աբստրակցիան հիմք է հանդիսանում ընդհանրացման և հայեցակարգի ձևավորման գործընթացների համար։ Նա - անհրաժեշտ պայմանդասակարգում. Այն ձևավորում է իրականության ընդհանրացված պատկերներ, որոնք հնարավորություն են տալիս բացահայտել որոշակի գործունեության համար նշանակալի առարկաների կապերն ու հարաբերությունները։
Տիեզերքի հակադրությունների միասնությունը բաղկացած է ձևից և բովանդակությունից, ձևը քանակական կատեգորիա է, իսկ բովանդակությունը որակական կատեգորիա է: Բնականաբար, թվերն արտահայտում են քանակական և որակական կատեգորիաները աբստրակցիայի մեջ։ Այսպիսով, թվերի գումարումը (հանումը) Ձևերի աբստրակցիայի քանակական բաղադրիչն է, իսկ բազմապատկումը (բաժանումը) Բովանդակության աբստրակցիայի որակական բաղադրիչն է։ Ձևի և Բովանդակության աբստրակցիայի թվերը հակադիրների միասնության անքակտելի կապի մեջ են։
Փորձենք մաթեմատիկական գործողություններ կատարել թվերի վրա՝ անքակտելի կապ հաստատելով Ձևի և Բովանդակության միջև։

Այսպիսով, եկեք նայենք թվերի շարքին:
1,2,3,4,5,6,7,8,9. 1+2= 3 (3) 4+5=9 (9)… (6) 7+8=15 -1+5=6 (9): Հաջորդ 10 – (1+0) + 11 (1+1) = (1+2= 3) - 12 –(1+2=3) (3) 13-(1+3= 4) + 14 –(1 +4=5) = (4+5= 9) (9) …15 –(1+5=6) (6) … 16- (1+6=7) + 17 – (1+7 =8) ( 7+8=15) – (1+5= 6) … (18) – (1+8=9) (9): 19 – (1+9= 10) (1) -20 – (2+0=2) (1+2=3) 21 –(2+1=3) (3) – 22- (2+2= 4) ) 23-(2+3=5) (4+5=9) (9) 24- (2+4=6) 25 – (2+5=7) 26 – (2+6= 8) – 7+ 8= 15 (1+5=6) (6) և այլն:
Այստեղից դիտում ենք Ձևերի ցիկլային փոխակերպում, որը համապատասխանում է Բովանդակության ցիկլին - 1-ին ցիկլ - 3-9-6 - 6-9-3 2-րդ ցիկլ - 3-9- 6 -6-9-3 և այլն:
6
9 9
3

Ցիկլերը արտացոլում են Տիեզերքի տորուսի շրջադարձը, որտեղ Ձևի և Բովանդակության աբստրակցիոն թվերի հակադրությունները 3-ն են և 6-ը, որտեղ 3-ը որոշում է սեղմումը, իսկ 6-ը՝ ձգումը: Նրանց փոխազդեցության փոխզիջումը 9 թիվն է:
Հաջորդ 1,2,3,4,5,6,7,8,9. 1x2=2 (3) 4x5=20 (2+0=2) (6) 7x8=56 (5+6=11 1+1= 2) (9) և այլն։
Ցիկլը նման է 2-(3)-2-(6)- 2-(9)… որտեղ 2-ը 3-6-9 ցիկլի բաղկացուցիչ տարրն է:
Ստորև ներկայացված է բազմապատկման աղյուսակը.
2x1=2
2x2=4
(2+4=6)
2x3=6
2x4=8
2x5=10
(8+1+0 = 9)
2x6=12
(1+2=3)
2x7=14
2x8=16
(1+4+1+6=12;1+2=3)
2x9=18
(1+8=9)
Ցիկլ -6,6- 9- 3,3 – 9:
3x1=3
3x2=6
3x3=9
3x4=12 (1+2=3)
3x5=15 (1+5=6)
3x6=18 (1+8=9)
3x7=21 (2+1=3)
3x8=24 (2+4=6)
3x9=27 (2+7=9)
Ցիկլ 3-6-9; 3-6-9; 3-6-9.
4x1=4
4x2=8 (4+8=12 1+2=3)
4x3=12 (1+2=3)
4x4=16
4x5=20 (1+6+2+0=9)
4x6=24 (2+4=6)
4x7=28
4x8= 32 (2+8+3+2= 15 1+5=6)
4x9=36 (3+6=9)
Ցիկլ 3.3 – 9 - 6.6 - 9:
5x1=5
5x2=10 (5+1+0=6)
5x3=15 (1+5=6)
5x4=20
5x5=25 (2+0+2+5=9)
5x6=30 (3+0=3)
5x7=35
5x8=40 (3+5+4+0= 12 1+2=3)
5x9=45 (4+5=9)
Ցիկլ -6,6 – 9 - 3,3- 9:
6x1=6
6x2=12 (1+2=3)
6x3=18 (1+8=9)
6x4=24 (2+4=6)
6x5=30 (3+0=3)
6x6=36 (3+6=9)
6x7=42 (4+2=6)
6x8=48 (4+8=12 1+2=3)
6x9=54 (5+4=9)
Ցիկլ – 3-9-6; 3-9-6; 3-9.
7x1=7
7x2=14 (7+1+4= 12 1+2=3)
7x3=21 (2+1=3)
7x4=28
7x5=35 (2+8+3+5=18 1+8=9)
7x6=42 (4+2=6)
7x7=49
7x8=56 (4+9+5+6=24 2+4=6)
7x9=63 (6+3=9)
Ցիկլ – 3,3 – 9 – 6,6 – 9:
8x1=8
8x2=16 (8+1+6= 15 1+5=6.
8x3=24 (2+4=6)
8x4=32
8x5=40 (3+2+4+0 =9)
8x6=48 (4+8=12 1+2=3)
8x7=56
8x8=64 (5+6+6+4= 21 2+1=3)
8x9=72 (7+2=9)
Ցիկլ -6,6 – 9 – 3,3 – 9:
9x1=9
9x2= 18 (1+8=9)
9x3= 27 (2+7=9)
9x4=36 (3+6=9)
9x5=45 (4+5=9)
9x6=54 (5+4=9)
9x7=63 (6+3=9)
9x8=72 (7+2=9)
9x9=81 (8+1=9):
Ցիկլը 9-9-9-9-9-9-9-9-9 է:

Բովանդակության որակական կատեգորիայի թվերը՝ 3-6-9, ցույց են տալիս տարբեր թվով նեյտրոններով ատոմի միջուկը, իսկ քանակական կատեգորիան՝ ատոմի էլեկտրոնների թիվը։ Քիմիական տարրերն այն միջուկներն են, որոնց զանգվածները 9-ի բազմապատիկ են, իսկ 3-ի և 6-ի բազմապատիկները իզոտոպներ են:
Նշում։ Իզոտոպ (հունարեն «հավասար», «նույնական» և «տեղից») - նույն ատոմների և միջուկների տեսակները քիմիական տարրմիջուկում տարբեր թվով նեյտրոններով: Քիմիական տարրը նույն միջուկային լիցքերով ատոմների հավաքածու է։ Իզոտոպները միևնույն միջուկային լիցքով, բայց զանգվածային տարբեր թվերով քիմիական տարրի ատոմների տեսակներ են:

Բոլոր իրական առարկաները կազմված են ատոմներից, իսկ ատոմները որոշվում են թվերով։
Ուստի բնական է, որ Պյութագորասը համոզված էր, որ թվերն իրական առարկաներ են, այլ ոչ թե պարզ նշաններ։ Թիվը նյութական առարկաների որոշակի վիճակ է, իրի էությունը։ Եվ այս հարցում Պյութագորասը ճիշտ էր.

» Ուորվիքի համալսարանի մաթեմատիկայի պատվավոր պրոֆեսոր, գիտության հայտնի հանրահայտիչ Յան Ստյուարտը, որը նվիրված է թվերի դերին մարդկության պատմության մեջ և դրանց ուսումնասիրության արդիականությանը մեր ժամանակներում:

Պյութագորասի հիպոթենուզա

Պյութագորասի եռանկյուններն ունեն ուղիղ անկյուններ և ամբողջ թվեր: Դրանցից ամենապարզն ունի 5 երկարությամբ ամենաերկար կողմը, մյուսները՝ 3 և 4։ Ընդհանուր առմամբ կա 5 կանոնավոր բազմանիստ։ Հինգերորդ աստիճանի հավասարումը չի կարող լուծվել հինգերորդ արմատների կամ որևէ այլ արմատների միջոցով: Ինքնաթիռի վրա և եռաչափ տարածության վրա գտնվող վանդակները չունեն հնգբլթակ պտտվող համաչափություն, ուստի բյուրեղներում այդպիսի համաչափություններ բացակայում են։ Այնուամենայնիվ, դրանք կարելի է գտնել չորս չափսերով վանդակաճաղերի մեջ և հետաքրքիր կառուցվածքներում, որոնք հայտնի են որպես քվազիկիստալներ:

Պյութագորասի ամենափոքր եռյակի հիպոթենուզը

Պյութագորասի թեորեմն ասում է, որ ուղղանկյուն եռանկյան ամենաերկար կողմը (հռչակավոր հիպոթենուսը) կապված է այս եռանկյան մյուս երկու կողմերի հետ շատ պարզ և գեղեցիկ ձևով. հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է քառակուսիների գումարին։ մյուս երկու կողմերը.

Ավանդաբար, մենք այս թեորեմն անվանում ենք Պյութագորաս անունով, բայց իրականում դրա պատմությունը բավականին անորոշ է: Կավե տախտակները հուշում են, որ հին բաբելոնացիները գիտեին Պյութագորասի թեորեմը հենց Պյութագորասից շատ առաջ; Հայտնաբերողի համբավը նրան բերեց պյութագորացիների մաթեմատիկական պաշտամունքը, որի կողմնակիցները կարծում էին, որ Տիեզերքը հիմնված է թվային օրենքների վրա։ Հին հեղինակները մի շարք մաթեմատիկական թեորեմներ էին վերագրում Պյութագորասին, և, հետևաբար, Պյութագորասին, բայց իրականում մենք պատկերացում չունենք, թե ինչ մաթեմատիկայի մեջ է ներգրավված ինքը Պյութագորասը: Մենք նույնիսկ չգիտենք, թե արդյոք պյութագորացիները կարող էին ապացուցել Պյութագորասի թեորեմը, թե նրանք պարզապես հավատում էին, որ դա ճիշտ է: Կամ, ամենայն հավանականությամբ, նրանք ունեին դրա ճշմարտացիության համոզիչ ապացույցներ, որոնք, այնուամենայնիվ, բավարար չեն լինի այն, ինչ մենք այսօր ապացույց ենք համարում։

Պյութագորասի ապացույցները

Պյութագորասի թեորեմի առաջին հայտնի ապացույցը գտնվում է Էվկլիդեսի տարրերում։ Սա բավականին բարդ ապացույց է՝ օգտագործելով գծանկարը, որը վիկտորիանական դպրոցականները անմիջապես կճանաչեն որպես «Պյութագորասյան տաբատ». Գծանկարն իսկապես նման է ներքնաշորերի, որոնք չորանում են գծի վրա: Բառացիորեն կան հարյուրավոր այլ ապացույցներ, որոնցից շատերն ավելի ակնհայտ են դարձնում պնդումը։

// Բրինձ. 33. Պյութագորասյան շալվար

Ամենապարզ ապացույցներից մեկը մի տեսակ մաթեմատիկական գլուխկոտրուկ է։ Վերցրեք ցանկացած ուղղանկյուն եռանկյուն, պատրաստեք դրա չորս օրինակ և հավաքեք դրանք քառակուսու ներսում: Մեկ դասավորության մեջ մենք տեսնում ենք քառակուսի հիպոթենուսի վրա. մյուսի հետ - քառակուսիներ եռանկյունու մյուս երկու կողմերում: Հասկանալի է, որ երկու դեպքում էլ տարածքները հավասար են։

// Բրինձ. 34. Ձախ՝ քառակուսի հիպոթենուսի վրա (գումարած չորս եռանկյունի): Աջ՝ մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարը (գումարած նույն չորս եռանկյունները): Այժմ վերացրեք եռանկյունները

Պերիգալի մասնահատումը ևս մեկ հանելուկի ապացույց է:

// Բրինձ. 35. Պերիգալի դիսեկցիա

Կա նաև թեորեմի ապացույց՝ օգտագործելով հարթության վրա քառակուսիների դասավորությունը: Թերևս այսպես են պյութագորացիները կամ նրանց անհայտ նախորդները բացահայտել այս թեորեմը։ Եթե նայեք, թե ինչպես է թեքված քառակուսին համընկնում երկու այլ քառակուսիների վրա, կարող եք տեսնել, թե ինչպես կարելի է մեծ քառակուսի կտորներ կտրել, ապա դրանք միասին դնել երկու փոքր քառակուսիների մեջ: Կարող եք նաև տեսնել ուղղանկյուն եռանկյուններ, որոնց կողմերը տալիս են ներգրավված երեք քառակուսիների չափերը:

// Բրինձ. 36. Ապացուցում սալահատակով

Հետաքրքիր ապացույցներ կան՝ օգտագործելով նմանատիպ եռանկյունները եռանկյունաչափության մեջ: Հայտնի է գոնեհիսուն տարբեր ապացույցներ:

Պյութագորասյան եռյակներ

Թվերի տեսության մեջ Պյութագորասի թեորեմը դարձավ բեղմնավոր գաղափարի աղբյուր՝ գտնել հանրահաշվական հավասարումների ամբողջական լուծումներ։ Պյութագորասյան եռյակը a, b և c այնպիսի ամբողջ թվերի բազմություն է, որ

Երկրաչափորեն նման եռյակը սահմանում է ամբողջ թվով կողմերով ուղղանկյուն եռանկյուն:

Պյութագորասյան եռյակի ամենափոքր հիպոթենուսը 5-ն է:

Այս եռանկյան մյուս երկու կողմերը 3 և 4 են։ Ահա

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Հաջորդ ամենամեծ հիպոթենուսը 10-ն է, քանի որ

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Այնուամենայնիվ, սա, ըստ էության, նույն եռանկյունն է՝ կրկնակի կողմերով: Հաջորդ ամենամեծ և իսկապես տարբեր հիպոթենուսը 13-ն է, որի համար

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Էվկլիդեսը գիտեր, որ կան Պյութագորասի եռյակների անսահման թվով տարբեր տատանումներ, և նա տվեց այն, ինչը կարելի է անվանել բոլորին գտնելու բանաձև։ Ավելի ուշ Դիոֆանտ Ալեքսանդրացին առաջարկեց մի պարզ բաղադրատոմս, որը հիմնականում նույնական է Էվկլիդեսին:

Վերցրեք ցանկացած երկու բնական թիվ և հաշվարկեք.

նրանց կրկնակի արտադրանքը;

նրանց քառակուսիների տարբերությունը;

դրանց քառակուսիների գումարը:

Ստացված երեք թվերը կլինեն Պյութագորասի եռանկյունու կողմերը:

Վերցնենք, օրինակ, 2 և 1 թվերը. Հաշվենք.

կրկնակի արտադրանք `2 × 2 × 1 = 4;

քառակուսիների տարբերությունը `22 - 12 = 3;

քառակուսիների գումարը՝ 22 + 12 = 5,

և ստացանք հայտնի 3-4-5 եռանկյունին: Եթե փոխարենը վերցնենք 3 և 2 թվերը, ապա կստանանք.

կրկնակի արտադրանքը `2 × 3 × 2 = 12;

քառակուսիների տարբերությունը `32 - 22 = 5;

քառակուսիների գումարը՝ 32 + 22 = 13,

և մենք ստանում ենք հաջորդ ամենահայտնի եռանկյունը 5 - 12 - 13: Փորձենք վերցնել 42 և 23 թվերը և ստանալ.

կրկնակի արտադրանքը `2 × 42 × 23 = 1932;

քառակուսիների տարբերությունը՝ 422 - 232 = 1235;

քառակուսիների գումարը՝ 422 + 232 = 2293,

ոչ ոք երբեք չի լսել 1235–1932–2293 եռանկյունու մասին։

Բայց այս թվերը նույնպես գործում են.

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Դիոֆանտինյան կանոնի մեկ այլ հատկանիշ կա, որի մասին արդեն ակնարկվել է. տրված երեք թվերի դեպքում մենք կարող ենք մեկ այլ կամայական թիվ վերցնել և բոլորը բազմապատկել դրանով։ Այսպիսով, 3–4–5 եռանկյունին կարելի է վերածել 6–8–10 եռանկյունու՝ բազմապատկելով բոլոր կողմերը 2-ով, կամ 15–20–25 եռանկյունի՝ բոլորը 5-ով բազմապատկելով։

Եթե անցնենք հանրահաշվի լեզվին, ապա կանոնը ստանում է հետևյալ ձևը՝ թող u, v և k լինեն ամբողջ թվեր. Այնուհետև ուղղանկյուն եռանկյուն՝ կողքերով

2kuv և k (u2 - v2) ունի հիպոթենուզ

Հիմնական գաղափարը ներկայացնելու այլ եղանակներ կան, բայց դրանք բոլորը հանգում են վերը նկարագրվածին: Այս մեթոդը թույլ է տալիս ստանալ բոլոր Պյութագորաս եռյակները:

Կանոնավոր պոլիեդրաներ

Կան ուղիղ հինգ կանոնավոր պոլիեդրաներ: Կանոնավոր բազմանիստ (կամ պոլիէդրոն) է ծավալային գործիչվերջավոր թվով հարթ երեսներով։ Դեմքերը հանդիպում են միմյանց եզրեր կոչվող գծերի վրա; եզրերը հանդիպում են գագաթներ կոչվող կետերում:

Euclidean Principia-ի գագաթնակետը ապացույցն է այն բանի, որ կարող են լինել միայն հինգ կանոնավոր պոլիէդրաներ, այսինքն՝ բազմանիստ, որոնցում յուրաքանչյուր դեմք ներկայացնում է. կանոնավոր բազմանկյուն(հավասար կողմեր, հավասար անկյուններ), բոլոր երեսները նույնական են, և բոլոր գագաթները շրջապատված են հավասար թվով նույնական հեռավորության վրա գտնվող դեմքերով: Ահա հինգ կանոնավոր պոլիեդրաներ.

չորս եռանկյուն երեսներով, չորս գագաթներով և վեց եզրերով քառասյուն;

խորանարդ կամ վեցանկյուն, 6 քառակուսի երեսներով, 8 գագաթներով և 12 եզրերով;

ութանիստ 8 եռանկյուն դեմքով, 6 գագաթներով և 12 եզրերով;

12 հնգանկյուն երեսներով, 20 գագաթներով և 30 եզրերով տասներկուանիստ;

20 եռանկյուն դեմքով, 12 գագաթներով և 30 եզրերով սրբապատկեր։

// Բրինձ. 37. Հինգ կանոնավոր բազմանիստ

Բնության մեջ կարելի է գտնել նաև կանոնավոր պոլիեդրաներ։ 1904 թվականին Էռնստ Հեկելը հրապարակեց փոքրիկ օրգանիզմների նկարներ, որոնք հայտնի են որպես ռադիոլարերներ. նրանցից շատերը նման են այդ նույն հինգ կանոնավոր բազմաեզրին: Միգուցե, այնուամենայնիվ, նա մի փոքր ուղղեց բնությունը, և գծագրերը լիովին չեն արտացոլում կոնկրետ կենդանի էակների ձևը: Առաջին երեք կառուցվածքները նույնպես դիտվում են բյուրեղներում։ Բյուրեղների մեջ դուք չեք գտնի դոդեկաեդրոններ և իկոսաեդրոններ, չնայած երբեմն այնտեղ հանդիպում են անկանոն դոդեկաեդրոններ և իկոսաեդրոններ։ Իսկական տասներկուանիստները կարող են առաջանալ որպես քվազիկրիստալներ, որոնք բոլոր առումներով նման են բյուրեղներին, բացառությամբ այն, որ դրանց ատոմները պարբերական ցանց չեն կազմում։

// Բրինձ. 38. Haeckel-ի գծագրերը. Radiolarians կանոնավոր պոլիեդրների տեսքով

// Բրինձ. 39. Կանոնավոր բազմանիստների զարգացումները

Կարող է հետաքրքիր լինել թղթից սովորական պոլիեդրների մոդելներ պատրաստելը՝ նախ կտրելով փոխկապակցված դեմքերի մի շարք. մշակումը ծալվում է եզրերի երկայնքով, իսկ համապատասխան եզրերը սոսնձվում են։ Օգտակար է յուրաքանչյուր նման զույգի կողերից մեկին լրացուցիչ սոսնձի բարձիկ ավելացնել, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 39. Եթե նման հարթակ չկա, կարող եք օգտագործել կպչուն ժապավեն:

Հինգերորդ աստիճանի հավասարում

Գոյություն չունի հանրահաշվական բանաձեւ 5-րդ աստիճանի հավասարումներ լուծելու համար։

Ընդհանուր առմամբ, հինգերորդ աստիճանի հավասարումն այսպիսի տեսք ունի.

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0:

Խնդիրը նման հավասարման լուծումների բանաձեւ գտնելն է (այն կարող է ունենալ մինչև հինգ լուծում): Քառակուսի և խորանարդ հավասարումների, ինչպես նաև չորրորդ աստիճանի հավասարումների փորձը հուշում է, որ նման բանաձև պետք է լինի նաև հինգերորդ աստիճանի հավասարումների համար, և տեսականորեն դրանում պետք է հայտնվեն հինգերորդ, երրորդ և երկրորդ աստիճանների արմատներ։ Կրկին, մենք կարող ենք հանգիստ ենթադրել, որ նման բանաձեւը, եթե այն գոյություն ունենա, կլինի շատ, շատ բարդ:

Այս ենթադրությունը, ի վերջո, սխալ դուրս եկավ։ Փաստորեն, նման բանաձև գոյություն չունի. համենայնդեպս, չկա բանաձև, որը բաղկացած է a, b, c, d, e և f գործակիցներից, որոնք կազմված են գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանման միջոցով և արմատներ են վերցնում: Այսպիսով, 5 թվի մեջ շատ հատուկ բան կա: Հնգյակի այս անսովոր պահվածքի պատճառները շատ խորն են, և դրանք հասկանալու համար շատ ժամանակ պահանջվեց:

Դժբախտության առաջին նշանն այն էր, որ որքան էլ մաթեմատիկոսները փորձեին գտնել նման բանաձև, որքան էլ նրանք խելացի լինեին, նրանք անփոփոխ ձախողվեցին: Որոշ ժամանակ բոլորը հավատում էին, որ պատճառները բանաձևի անհավանական բարդության մեջ են։ Համարվում էր, որ ոչ ոք պարզապես չի կարող ճիշտ հասկանալ այս հանրահաշիվը: Սակայն ժամանակի ընթացքում որոշ մաթեմատիկոսներ սկսեցին կասկածել, որ նման բանաձև նույնիսկ գոյություն ունի, և 1823 թվականին Նիլս Հենդրիկ Աբելը կարողացավ ապացուցել հակառակը։ Նման բանաձև չկա. Դրանից կարճ ժամանակ անց Էվարիստ Գալուան ճանապարհ գտավ որոշելու, թե այս կամ այն աստիճանի հավասարումը (5-րդ, 6-րդ, 7-րդ, ցանկացած տեսակի) լուծելի է այս տեսակի բանաձևի միջոցով:

Այս ամենից եզրակացությունը պարզ է՝ 5 թիվը առանձնահատուկ է։ Դուք կարող եք որոշել հանրահաշվական հավասարումներ(օգտագործելով արմատներ n-րդ աստիճան n-ի տարբեր արժեքների համար 1, 2, 3 և 4 հզորությունների համար, բայց ոչ 5-րդ աստիճանի համար: Այստեղ ավարտվում է ակնհայտ օրինաչափությունը:

Ոչ ոք չի զարմանում, որ 5-ից ավելի աստիճանների հավասարումները իրենց ավելի վատ են պահում. մասնավորապես նրանք ունեն նույն դժվարությունը՝ ոչ ընդհանուր բանաձևերդրանք լուծելու համար։ Սա չի նշանակում, որ հավասարումները լուծումներ չունեն. Սա նույնպես չի նշանակում, որ անհնար է գտնել շատ ճշգրիտ թվային արժեքներ այս լուծումների համար: Ամեն ինչ վերաբերում է ավանդական հանրահաշվի գործիքների սահմանափակումներին: Սա հիշեցնում է քանոնի և կողմնացույցի միջոցով անկյան եռահատման անհնարինությունը: Պատասխանը կա, բայց թվարկված մեթոդները անբավարար են և թույլ չեն տալիս որոշել, թե դա ինչ է։

Բյուրեղագրական սահմանափակում

Երկու և եռաչափ բյուրեղները չունեն 5 ճառագայթների պտտման համաչափություն:

Բյուրեղի ատոմները կազմում են վանդակ, այսինքն՝ կառուցվածք, որը պարբերաբար կրկնվում է մի քանի անկախ ուղղություններով։ Օրինակ, պաստառի օրինակը կրկնվում է գլանափաթեթի երկարությամբ; բացի այդ, այն սովորաբար կրկնվում է հորիզոնական ուղղությամբ՝ երբեմն պաստառի մի կտորից մյուսը տեղափոխելով: Ըստ էության, պաստառը երկչափ բյուրեղ է:

Ինքնաթիռի վրա կա պաստառի նախշերի 17 տեսակ (տե՛ս Գլուխ 17): Նրանք տարբերվում են սիմետրիայի տեսակներով, այսինքն՝ նախշը կոշտ կերպով շարժելու եղանակներով, որպեսզի այն իր սկզբնական դիրքում հենց իր վրա ընկնի։ Համաչափության տեսակները ներառում են, մասնավորապես, պտտվող սիմետրիայի տարբեր տարբերակներ, որտեղ նախշը պետք է պտտվի որոշակի անկյան տակ որոշակի կետի շուրջը` սիմետրիայի կենտրոնը:

Պտտման համաչափության կարգն այն է, թե քանի անգամ կարելի է մարմինը պտտել ամբողջական շրջանով, որպեսզի նախշի բոլոր մանրամասները վերադառնան իրենց սկզբնական դիրքերին: Օրինակ, 90° ռոտացիան 4-րդ կարգի ռոտացիայի համաչափություն է*: Բյուրեղային ցանցում պտտվող սիմետրիայի հնարավոր տեսակների ցանկը կրկին մատնանշում է 5 թվի անսովորությունը. այն չկա: Կան տարբերակներ 2-րդ, 3-րդ, 4-րդ և 6-րդ կարգի պտտման սիմետրիկությամբ, սակայն պաստառների ձևավորումներից ոչ մեկը չունի 5-րդ կարգի պտտման սիմետրիա: 6-ից մեծ կարգի պտտման համաչափություն նույնպես գոյություն չունի բյուրեղներում, բայց հաջորդականության առաջին խախտումը դեռ տեղի է ունենում 5-րդ համարի մոտ:

Նույնը տեղի է ունենում եռաչափ տարածության բյուրեղագրական համակարգերի դեպքում։ Այստեղ վանդակաճաղը կրկնվում է երեք անկախ ուղղություններով. Գոյություն ունեն 219 տարբեր տեսակի համաչափություն, կամ 230, եթե մենք հաշվում ենք դիզայնի հայելային պատկերը որպես առանձին տարբերակ, չնայած այն հանգամանքին, որ այս դեպքում հայելու համաչափություն չկա: Կրկին նկատվում են 2, 3, 4 և 6 կարգերի պտտվող համաչափություններ, բայց ոչ 5: Այս փաստը կոչվում է բյուրեղագրական սահմանափակություն:

Քառաչափ տարածության մեջ կան 5-րդ կարգի համաչափությամբ վանդակավորներ. Ընդհանուր առմամբ, բավականաչափ բարձր հարթության վանդակների համար հնարավոր է պտտման համաչափության ցանկացած կանխորոշված կարգ:

// Բրինձ. 40. Սեղանի աղի բյուրեղյա վանդակ: Մուգ գնդիկները ներկայացնում են նատրիումի ատոմները, բաց գնդիկները՝ քլորի ատոմները

Քվազիկրիստալներ

Թեև 5-րդ կարգի պտտման համաչափությունը հնարավոր չէ 2D կամ 3D ցանցերում, այն կարող է գոյություն ունենալ մի փոքր ավելի քիչ կանոնավոր կառույցներում, որոնք հայտնի են որպես քվազիկիստալներ: Օգտագործելով Կեպլերի էսքիզները՝ Ռոջեր Պենրոուզը հայտնաբերեց հարթ համակարգերավելիի հետ ընդհանուր տեսակհնգապատիկ սիմետրիա. Դրանք կոչվում են քվազիկրիստալներ։

Քվազիկրիստալները գոյություն ունեն բնության մեջ: 1984 թվականին Դանիել Շեխտմանը հայտնաբերեց, որ ալյումինի և մանգանի համաձուլվածքը կարող է ձևավորել քվազիկյուրիստալներ. Սկզբում բյուրեղագետները նրա զեկույցը դիմավորեցին որոշակի թերահավատությամբ, սակայն հետագայում հայտնագործությունը հաստատվեց, և 2011 թվականին Շեխտմանը արժանացավ քիմիայի Նոբելյան մրցանակի: 2009 թվականին Լուկա Բինդիի գլխավորած գիտնականների խումբը ռուսական Կորյակ լեռնաշխարհից մի հանքանյութում քվազիկյուրիստներ է հայտնաբերել՝ ալյումինի, պղնձի և երկաթի միացություն: Այսօր այս հանքանյութը կոչվում է icosahedrite: Զանգվածային սպեկտրոմետրի միջոցով հանքանյութում տարբեր թթվածնի իզոտոպների պարունակությունը չափելով՝ գիտնականները ցույց տվեցին, որ այս միներալը Երկրի վրա չի առաջացել։ Այն ձևավորվել է մոտ 4,5 միլիարդ տարի առաջ, այն ժամանակ, երբ Արեգակնային համակարգնոր էր առաջանում և ծախսվում մեծ մասըժամանակ աստերոիդների գոտում, որը պտտվում է Արեգակի շուրջ, մինչև ինչ-որ խանգարում փոխեց նրա ուղեծիրը և ի վերջո բերեց այն Երկիր:

// Բրինձ. 41. Ձախ՝ ճշգրիտ հնգապատիկ սիմետրիկությամբ երկու քվազիկյուրիստական վանդակներից մեկը: Աջ՝ իկոսաեդրային ալյումին-պալադիում-մանգան քվազիկրիստալի ատոմային մոդել

Մի բանում, որում դուք կարող եք հարյուր տոկոսով վստահ լինել, այն է, որ երբ նրան հարցնեն, թե որն է հիպոթենուսի քառակուսին, ցանկացած մեծահասակ համարձակորեն կպատասխանի. «Ոտքերի քառակուսիների գումարը»: Այս թեորեմը ամուր արմատավորված է յուրաքանչյուր կրթված մարդու գիտակցության մեջ, բայց դուք պարզապես պետք է ինչ-որ մեկին խնդրեք դա ապացուցել, և կարող են դժվարություններ առաջանալ: Ուստի եկեք հիշենք և դիտարկենք Պյութագորասի թեորեմն ապացուցելու տարբեր եղանակներ։

Համառոտ կենսագրություն

Պյութագորասի թեորեմը ծանոթ է գրեթե բոլորին, բայց ինչ-ինչ պատճառներով այն աշխարհ բերած մարդու կենսագրությունն այնքան էլ հայտնի չէ։ Սա կարելի է ուղղել: Հետևաբար, նախքան Պյութագորասի թեորեմն ապացուցելու տարբեր ուղիներ ուսումնասիրելը, դուք պետք է համառոտ ծանոթանաք նրա անհատականությանը:

Պյութագորաս - փիլիսոփա, մաթեմատիկոս, մտածող ծագումով այսօրից շատ դժվար է տարբերել նրա կենսագրությունը լեգենդներից, որոնք մշակվել են ի հիշատակ այս մեծ մարդու: Բայց ինչպես հետևում է իր հետևորդների աշխատություններից, Պյութագորաս Սամոսացին ծնվել է Սամոս կղզում: Նրա հայրը սովորական քարահատ էր, բայց մայրը ազնվական ընտանիքից էր։

Դատելով լեգենդից՝ Պյութագորասի ծնունդը կանխագուշակել է Պիթիա անունով մի կին, ում պատվին անվանակոչել են տղային։ Նրա կանխատեսմամբ՝ ծնված տղան պետք է շատ օգուտ ու բարիք բերեր մարդկությանը։ Ինչն էլ հենց նա արեց։

Թեորեմի ծնունդ

Իր պատանեկության տարիներին Պյութագորասը տեղափոխվեց Եգիպտոս՝ այնտեղ հանդիպելու եգիպտացի հայտնի իմաստուններին։ Նրանց հետ հանդիպելուց հետո նրան թույլ են տվել սովորել, որտեղ սովորել է եգիպտական փիլիսոփայության, մաթեմատիկայի և բժշկության բոլոր մեծ նվաճումները։

Հավանաբար հենց Եգիպտոսում է, որ Պյութագորասը ոգեշնչվել է բուրգերի վեհությամբ և գեղեցկությամբ և ստեղծել իր սեփականը. մեծ տեսություն. Սա կարող է ցնցել ընթերցողներին, սակայն ժամանակակից պատմաբանները կարծում են, որ Պյութագորասը չի ապացուցել իր տեսությունը: Բայց նա միայն իր գիտելիքները փոխանցեց իր հետևորդներին, որոնք հետագայում ավարտեցին բոլոր անհրաժեշտ մաթեմատիկական հաշվարկները։

Ինչևէ, այսօր հայտնի է այս թեորեմի ապացուցման ոչ թե մեկ մեթոդ, այլ միանգամից մի քանիսը։ Այսօր մենք կարող ենք միայն կռահել, թե ինչպես են իրականացրել հին հույները իրենց հաշվարկները, ուստի այստեղ մենք կանդրադառնանք Պյութագորասի թեորեմն ապացուցելու տարբեր եղանակներին:

Պյութագորասի թեորեմ

Նախքան որևէ հաշվարկ սկսելը, դուք պետք է պարզեք, թե ինչ տեսություն եք ուզում ապացուցել: Պյութագորասի թեորեմը հետևյալն է. «Եռանկյունում, որի անկյուններից մեկը 90° է, ոտքերի քառակուսիների գումարը հավասար է հիպոթենուսի քառակուսուն»։

Պյութագորասի թեորեմն ապացուցելու 15 տարբեր եղանակ կա։ Սա բավականին մեծ թիվ է, ուստի մենք ուշադրություն կդարձնենք դրանցից ամենատարածվածներին:

Մեթոդ առաջին

Նախ, եկեք սահմանենք, թե ինչ է մեզ տրվել: Այս տվյալները կկիրառվեն նաև Պյութագորասի թեորեմի ապացուցման այլ մեթոդների վրա, ուստի արժե անմիջապես հիշել բոլոր առկա նշումները։

Ենթադրենք, մեզ տրված է ուղղանկյուն եռանկյուն՝ a, b ոտքերով և c-ին հավասար հիպոթենուսով: Ապացույցի առաջին մեթոդը հիմնված է այն փաստի վրա, որ անհրաժեշտ է ուղղանկյուն եռանկյունից քառակուսի նկարել:

Դա անելու համար a երկարության ոտքին պետք է ավելացնել b ոտքին հավասար հատված և հակառակը: Սա պետք է հանգեցնի հրապարակի երկու հավասար կողմերին: Մնում է գծել երկու զուգահեռ գիծ, և քառակուսին պատրաստ է։

Ստացված նկարի ներսում դուք պետք է նկարեք ևս մեկ քառակուսի, որի կողմը հավասար է սկզբնական եռանկյունու հիպոթենուսին: Դա անելու համար ас և св գագաթներից պետք է նկարել երկու զուգահեռ հատվածներ, որոնք հավասար են с-ին: Այսպիսով, մենք ստանում ենք քառակուսու երեք կողմ, որոնցից մեկը սկզբնական ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսն է: Մնում է միայն նկարել չորրորդ հատվածը։

Ելնելով ստացված նկարից՝ կարող ենք եզրակացնել, որ արտաքին քառակուսու մակերեսը (a + b) 2 է։ Եթե նայեք նկարի ներսում, ապա կտեսնեք, որ բացի ներքին քառակուսուց, կան չորս ուղղանկյուն եռանկյուններ: Յուրաքանչյուրի մակերեսը 0,5ավ.

Հետևաբար, տարածքը հավասար է՝ 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2

Հետևաբար (a+c) 2 =2ab+c 2

Եվ, հետևաբար, c 2 =a 2 +b 2

Թեորեմն ապացուցված է.

Մեթոդ երկրորդ. նմանատիպ եռանկյուններ

Պյութագորասի թեորեմի ապացուցման այս բանաձևը ստացվել է երկրաչափության բաժնի մի դրույթի հիման վրա, որը վերաբերում է նմանատիպ եռանկյուններին: Այն նշում է, որ ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը միջին համեմատական է նրա հիպոթենուսին և հիպոթենուսի հատվածին, որը բխում է 90° անկյան գագաթից։

Նախնական տվյալները մնում են նույնը, ուստի եկեք անմիջապես սկսենք ապացույցից: Եկեք գծենք CD հատված AB կողմին ուղղահայաց: Ելնելով վերոնշյալ հայտարարությունից՝ եռանկյունների կողմերը հավասար են.

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV:

Հարցին պատասխանելու համար, թե ինչպես կարելի է ապացուցել Պյութագորասի թեորեմը, ապացույցը պետք է ավարտվի երկու անհավասարությունների քառակուսու վրա։

AC 2 = AB * AD և CB 2 = AB * DV

Այժմ մենք պետք է գումարենք ստացված անհավասարությունները:

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), որտեղ AD + DV = AB

Ստացվում է, որ.

AC 2 + CB 2 =AB * AB

Եւ, հետեւաբար:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Պյութագորասի թեորեմի ապացույցը և տարբեր ձևերովդրա լուծումները պահանջում են բազմակողմանի մոտեցում այս խնդրին: Այնուամենայնիվ, այս տարբերակը ամենապարզներից մեկն է:

Մեկ այլ հաշվարկի մեթոդ

Պյութագորասի թեորեմի ապացուցման տարբեր մեթոդների նկարագրությունները կարող են ոչինչ չնշանակել, քանի դեռ չեք սկսել ինքնուրույն զբաղվել: Շատ տեխնիկա ներառում է ոչ միայն մաթեմատիկական հաշվարկներ, այլև սկզբնական եռանկյունից նոր թվերի կառուցում:

Այս դեպքում անհրաժեշտ է լրացնել մեկ այլ ուղղանկյուն եռանկյուն VSD BC կողքից: Այսպիսով, այժմ կան երկու եռանկյուններ ընդհանուր ոտքով մ.թ.ա.

Իմանալով, որ համանման պատկերների մակերեսները հարաբերակցություն ունեն իրենց նման գծային չափերի քառակուսիների հետ, ապա.

S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2.

S avs *(2-ից մինչև 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

2-ից մինչև 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Քանի որ Պյութագորասի թեորեմի 8-րդ դասարանի ապացուցման տարբեր մեթոդներից այս տարբերակը հազիվ թե հարմար լինի, կարող եք օգտագործել հետևյալ մեթոդը.

Պյութագորասի թեորեմն ապացուցելու ամենահեշտ ձևը. Կարծիքներ

Ըստ պատմաբանների՝ այս մեթոդն առաջին անգամ օգտագործվել է թեորեմը նորից ապացուցելու համար Հին Հունաստան. Դա ամենապարզն է, քանի որ բացարձակապես ոչ մի հաշվարկ չի պահանջում։ Եթե նկարը ճիշտ եք նկարում, ապա հստակ տեսանելի կլինի այն պնդման ապացույցը, որ a 2 + b 2 = c 2:

Այս մեթոդի պայմանները մի փոքր տարբեր կլինեն նախորդից: Թեորեմն ապացուցելու համար ենթադրենք, որ ABC ուղղանկյուն եռանկյունը հավասարաչափ է:

Որպես քառակուսի կողմ վերցնում ենք AC հիպոթենուսը և գծում նրա երեք կողմերը։ Բացի այդ, ստացված քառակուսիում անհրաժեշտ է գծել երկու անկյունագծային գիծ։ Այսպիսով, դրա ներսում դուք ստանում եք չորս հավասարաչափ եռանկյուն:

Դուք նաև պետք է AB և CB ոտքերի վրա քառակուսի գծեք և դրանցից յուրաքանչյուրում մեկական անկյունագիծ ուղիղ գծեք: Առաջին գիծը գծում ենք A գագաթից, երկրորդը՝ C-ից։

Այժմ դուք պետք է ուշադիր նայեք ստացված նկարին: Քանի որ AC հիպոթենուսի վրա կան չորս եռանկյուններ, որոնք հավասար են սկզբնականին, իսկ կողմերին՝ երկու, սա ցույց է տալիս այս թեորեմի ճշմարտացիությունը:

Ի դեպ, Պյութագորասի թեորեմի ապացուցման այս մեթոդի շնորհիվ ծնվեց հայտնի արտահայտությունը՝ «Պյութագորասի շալվարը բոլոր ուղղություններով հավասար է»։

Ապացույց Ջ. Գարֆիլդի կողմից

Ջեյմս Գարֆիլդը Ամերիկայի Միացյալ Նահանգների քսաներորդ նախագահն է։ Ի լրումն այն բանի, որ նա իր հետքը թողեց պատմության մեջ որպես Միացյալ Նահանգների կառավարիչ, նա նաև օժտված ավտոդիտակտ էր:

Իր կարիերայի սկզբում նա սովորական ուսուցիչ էր հանրակրթական դպրոցում, բայց շուտով դարձավ ամենաբարձրերից մեկի տնօրենը ուսումնական հաստատություններ. Ինքնազարգացման ցանկությունը թույլ տվեց նրան առաջարկել նոր տեսությունՊյութագորասի թեորեմի ապացույցը. Թեորեմը և դրա լուծման օրինակը հետևյալն են.

Նախ պետք է թղթի վրա երկու ուղղանկյուն եռանկյունի նկարել, որպեսզի դրանցից մեկի ոտքը երկրորդի շարունակությունն է: Այս եռանկյունների գագաթները պետք է միացվեն, որպեսզի ի վերջո ձևավորվի trapezoid:

Ինչպես գիտեք, trapezoid-ի մակերեսը հավասար է նրա հիմքերի գումարի և բարձրության կեսի արտադրյալին:

S=a+b/2 * (a+b)

Եթե ստացված trapezoid-ը դիտարկենք որպես երեք եռանկյուններից բաղկացած գործիչ, ապա դրա մակերեսը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ.

S=av/2 *2 + s 2 /2

Այժմ մենք պետք է հավասարեցնենք երկու բնօրինակ արտահայտությունները

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 +b 2

Պյութագորասի թեորեմի և դրա ապացուցման մեթոդների մասին կարելի էր գրել մեկից ավելի հատոր։ ուսումնական օգնություն. Բայց կա՞ դրա մեջ որևէ կետ, երբ այս գիտելիքը գործնականում չի կարող կիրառվել:

Պյութագորասի թեորեմի գործնական կիրառում

Ցավոք, ժամանակակից դպրոցական ծրագրերԱյս թեորեմը նախատեսված է օգտագործել միայն երկրաչափական խնդիրներում։ Շրջանավարտները շուտով կլքեն դպրոցը՝ չիմանալով, թե ինչպես կարող են գործնականում կիրառել իրենց գիտելիքներն ու հմտությունները:

Իրականում ցանկացած մարդ կարող է օգտագործել Պյութագորասի թեորեմն իր առօրյա կյանքում: Եվ ոչ միայն ներս մասնագիտական գործունեություն, այլեւ սովորական տնային գործերում։ Դիտարկենք մի քանի դեպք, երբ Պյութագորասի թեորեմը և դրա ապացուցման մեթոդները կարող են չափազանց անհրաժեշտ լինել։

Թեորեմի և աստղագիտության հարաբերությունները

Թվում է, թե ինչպես կարելի է միացնել թղթի վրա աստղերն ու եռանկյունները: Իրականում աստղագիտությունը գիտական ոլորտ է, որտեղ լայնորեն կիրառվում է Պյութագորասի թեորեմը։

Օրինակ, դիտարկենք լույսի ճառագայթի շարժումը տարածության մեջ: Հայտնի է, որ լույսը երկու ուղղություններով էլ շարժվում է նույն արագությամբ։ Հետագիծն անվանենք AB, որով շարժվում է լույսի ճառագայթը լ. Եվ եկեք անվանենք այն ժամանակի կեսը, որը լույս է պահանջում A կետից B կետ հասնելու համար տ. Եվ ճառագայթի արագությունը - գ. Ստացվում է, որ. c*t=l

Եթե այս նույն ճառագայթին նայեք մեկ այլ հարթությունից, օրինակ՝ տիեզերական գծից, որը շարժվում է v արագությամբ, ապա մարմիններն այս կերպ դիտարկելիս դրանց արագությունը կփոխվի։ Այս դեպքում նույնիսկ անշարժ տարրերը կսկսեն շարժվել v արագությամբ հակառակ ուղղությամբ։

Ենթադրենք, կատակերգական նավը նավարկում է դեպի աջ: Այնուհետև A և B կետերը, որոնց միջև ճառագայթը շտապում է, կսկսեն շարժվել դեպի ձախ: Ավելին, երբ ճառագայթը A կետից շարժվում է B կետ, A կետը ժամանակ ունի շարժվելու, և, համապատասխանաբար, լույսն արդեն կհասնի նոր կետ C: Գտնելու համար հեռավորության կեսը, որով տեղափոխվել է A կետը, պետք է բազմապատկել. երեսպատման արագությունը ճառագայթի ճամփորդության ժամանակի կեսով (t»):

Եվ պարզելու համար, թե որքան հեռու կարող է անցնել լույսի ճառագայթը այս ընթացքում, պետք է նոր s տառով նշել ճանապարհի կեսը և ստանալ հետևյալ արտահայտությունը.

Եթե պատկերացնենք, որ C և B լույսի կետերը, ինչպես նաև տիեզերական գիծը, գագաթներն են հավասարաչափ եռանկյուն, ապա A կետից մինչև գիծ ընկած հատվածը այն կբաժանի երկու ուղղանկյուն եռանկյունիների։ Հետևաբար, Պյութագորասի թեորեմի շնորհիվ դուք կարող եք գտնել այն հեռավորությունը, որը կարող էր անցնել լույսի ճառագայթը:

Այս օրինակը, իհարկե, ամենահաջողը չէ, քանի որ միայն քչերին կարող է բախտ վիճակվել փորձել այն գործնականում: Հետևաբար, եկեք դիտարկենք այս թեորեմի ավելի սովորական կիրառությունները:

Բջջային ազդանշանի փոխանցման տիրույթ

Ժամանակակից կյանքն այլևս հնարավոր չէ պատկերացնել առանց սմարթֆոնների գոյության։ Բայց որքանո՞վ կօգտվեին դրանք, եթե չկարողանային միացնել բաժանորդներին բջջային կապի միջոցով:

Բջջային կապի որակը ուղղակիորեն կախված է բջջային օպերատորի ալեհավաքի բարձրությունից: Հաշվարկելու համար, թե բջջային աշտարակից որքան հեռավորության վրա կարող է ազդանշան ստանալ հեռախոսը, կարող եք կիրառել Պյութագորասի թեորեմը:

Ենթադրենք, պետք է գտնել անշարժ աշտարակի մոտավոր բարձրությունը, որպեսզի այն կարողանա ազդանշան տարածել 200 կիլոմետր շառավղով։

AB (աշտարակի բարձրությունը) = x;

BC (ազդանշանի փոխանցման շառավիղ) = 200 կմ;

ՕՀ (շառավիղ գլոբուս) = 6380 կմ;

OB=OA+ABOB=r+x

Կիրառելով Պյութագորասի թեորեմը՝ պարզում ենք, որ աշտարակի նվազագույն բարձրությունը պետք է լինի 2,3 կիլոմետր։

Պյութագորասի թեորեմը առօրյա կյանքում

Տարօրինակ կերպով, Պյութագորասի թեորեմը կարող է օգտակար լինել նույնիսկ կենցաղային հարցերում, օրինակ՝ զգեստապահարանի բարձրությունը որոշելը, օրինակ: Առաջին հայացքից նման բարդ հաշվարկներ օգտագործելու կարիք չկա, քանի որ դուք կարող եք պարզապես չափումներ կատարել ժապավենի չափման միջոցով: Բայց շատերը զարմանում են, թե ինչու են որոշակի խնդիրներ առաջանում հավաքման գործընթացում, եթե բոլոր չափումները կատարվել են ավելի քան ճշգրիտ:

Փաստն այն է, որ զգեստապահարանը հավաքվում է հորիզոնական դիրքով և միայն դրանից հետո բարձրացվում և տեղադրվում է պատին: Հետևաբար, կառուցվածքը բարձրացնելու ընթացքում պահարանի կողքը պետք է ազատորեն շարժվի ինչպես բարձրության, այնպես էլ սենյակի անկյունագծով:

Ենթադրենք կա 800 մմ խորությամբ զգեստապահարան։ Հեռավորությունը հատակից առաստաղ - 2600 մմ: Փորձառու կահույքագործը կասի, որ կաբինետի բարձրությունը պետք է լինի 126 մմ-ով պակաս սենյակի բարձրությունից: Բայց ինչու հենց 126 մմ: Դիտարկենք մի օրինակ։

Կաբինետի իդեալական չափսերով, եկեք ստուգենք Պյութագորասի թեորեմի գործողությունը.

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 մմ - ամեն ինչ տեղավորվում է:

Ասենք պահարանի բարձրությունը ոչ թե 2474 մմ է, այլ 2505 մմ։ Ապա.

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 մմ:

Հետեւաբար, այս կաբինետը հարմար չէ այս սենյակում տեղադրելու համար: Քանի որ այն ուղղահայաց դիրքի վրա բարձրացնելը կարող է վնասել նրա մարմնին:

Թերևս, տարբեր գիտնականների կողմից Պյութագորասի թեորեմի ապացուցման տարբեր եղանակներ դիտարկելով, կարող ենք եզրակացնել, որ այն ավելի քան ճիշտ է։ Այժմ դուք կարող եք օգտագործել ստացված տեղեկատվությունը ձեր առօրյա կյանքում և լիովին վստահ լինել, որ բոլոր հաշվարկները ոչ միայն օգտակար կլինեն, այլև ճիշտ:

Տաբատ - ստացեք վավեր ridestep գովազդային կոդ Akademika-ում կամ գնեք շալվարը զեղչով ridestep-ում:

Ջարգ. դպրոց Կատակել։ Պյութագորասի թեորեմը, որը հաստատում է ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսի վրա կառուցված քառակուսիների մակերեսների և ոտքերի միջև կապը։ BTS, 835… Մեծ բառարանՌուսական ասացվածքներ

Պյութագորասյան շալվար- Պյութագորասի թեորեմի կատակերգական անուն, որն առաջացել է այն պատճառով, որ ուղղանկյունի կողքերի վրա կառուցված և տարբեր ուղղություններով շեղվող քառակուսիները նման են տաբատի կտրվածքին: Ես սիրում էի երկրաչափությունը... և ընդունելության քննությունԵս նույնիսկ համալսարան ընդունվեցի... արտահայտությունների գիրքՌուսական գրական լեզու

Պյութագորասյան շալվար- Պյութագորասի թեորեմի հումորային անվանումը, որը հաստատում է կապը հիպոթենուսի վրա կառուցված քառակուսիների և ուղղանկյուն եռանկյունու ոտքերի միջև, որը նման է նկարներում պատկերված տաբատի կտրվածքին... Բազմաթիվ արտահայտությունների բառարան

Վանական. շնորհալի մարդու մասին Չրք. Սա, անկասկած, իմաստուն է: Հնում, հավանաբար, նա կհորինի Պյութագորասյան շալվարը... Սալտիկով. Բազմազան տառեր. Պյութագորասյան շալվար (գեոմ.). ուղղանկյունում հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիներին (ուսուցում ... ... Michelson-ի մեծ բացատրական և դարձվածքաբանական բառարան

Պյութագորասի շալվարը բոլոր կողմերից հավասար է- Կոճակների թիվը հայտնի է։ Ինչու՞ է կոճղը ամուր: (կոպիտ) տաբատի և տղամարդու սեռական օրգանի մասին. Պյութագորասի շալվարը բոլոր կողմերից հավասար է: Դա ապացուցելու համար անհրաժեշտ է հեռացնել և ցույց տալ 1) Պյութագորասի թեորեմի մասին. 2) լայն տաբատի մասին... Կենդանի ելույթ. Խոսակցական արտահայտությունների բառարան

Պյութագորաս շալվար (հորինել) վանական. շնորհալի մարդու մասին. Ամուսնացնել։ Սա, անկասկած, իմաստուն է: Հնում, հավանաբար, նա կհորինի Պյութագորասյան շալվարը... Սալտիկով. Խայտաբղետ տառեր. Պյութագորասյան տաբատ (գեոմ.). ուղղանկյունի մեջ կա հիպոթենուսի քառակուսի... ... Michelson's Large Explanatory and Phraseological Dictionary (բնօրինակ ուղղագրություն)

Պյութագորասյան շալվարները բոլոր ուղղություններով հավասար են- Պյութագորասի թեորեմի հումորային ապացույց; նաև որպես կատակ ընկերոջ լայն տաբատի մասին... Ժողովրդական դարձվածքաբանության բառարան

Ադժ., կոպիտ...

PYTHAGOREAN շալվարը ԲՈԼՈՐ ԿՈՂՄԻՑ ՀԱՎԱՍԱՐ Է (ԿՈՈՈՄՆԵՐԻ ԹԻՎԸ ՀԱՅՏՆԻ Է, ԻՆՉՈՒ Է ՁԻԳԱԼ/ՍԱ Ապացուցելու համար ՊԵՏՔ Է ՀԱՆԵԼ ԵՎ ՑՈՒՑԱԴՐԵԼ)- բայ, կոպիտ... Բառարանժամանակակից խոսակցական դարձվածքաբանական միավորներ և ասացվածքներ

Գոյական, հոգնակի, օգտագործված համեմատել հաճախ Մորֆոլոգիա՝ pl. Ինչ? շալվար, (ոչ) ինչ: շալվար, ինչ? շալվար, (տես) ինչ: շալվար, ինչ? տաբատ, իսկ ի՞նչ տաբատի մասին 1. Տաբատը հագուստի մի կտոր է, որն ունի երկու կարճ կամ երկար ոտքեր և ծածկում է ստորին հատվածը... ... Դմիտրիևի բացատրական բառարան

Գրքեր

Պյութագորասյան շալվար. Այս գրքում դուք կգտնեք ֆանտազիա և արկածներ, հրաշքներ և գեղարվեստական գրականություն: Զվարճալի ու տխուր, սովորական ու խորհրդավոր... Էլ ի՞նչ է պետք զվարճալի ընթերցանության համար։ Գլխավորն այն է, որ կա...
Հրաշքներ անիվների վրա, Մարկուշա Անատոլի. Միլիոնավոր անիվներ պտտվում են ամբողջ երկրով մեկ՝ մեքենաները պտտվում են, ժամացույցներում չափում ժամանակը, հպում գնացքների տակ, կատարում են անհամար աշխատանքներ մեքենաներում և տարբեր մեխանիզմներում: Նրանք…