Շարժման դիֆերենցիալ հավասարում նյութական կետուժի տակ Ֆկարող է ներկայացվել հետևյալ վեկտորային ձևով.

Քանի որ կետի զանգվածը մընդունվում է որպես հաստատուն, ապա այն կարող է մուտքագրվել ածանցյալ նշանի տակ։ Հետո

Բանաձև (1) արտահայտում է դիֆերենցիալ ձևով կետի իմպուլսի փոփոխության թեորեմը. Առաջին ածանցյալը կետի իմպուլսի ժամանակի նկատմամբ հավասար է կետի վրա ազդող ուժին.

Կոորդինատային առանցքների վրա պրոյեկցիաներում (1) կարող է ներկայացվել որպես

Եթե ​​երկու կողմերը (1) բազմապատկվեն dt, ապա ստանում ենք նույն թեորեմի մեկ այլ ձև՝ իմպուլսի թեորեմը դիֆերենցիալ ձևով.

դրանք. կետի իմպուլսի դիֆերենցիալը հավասար է կետի վրա ազդող ուժի տարրական իմպուլսին։

Նախագծելով (2)-ի երկու մասերը կոորդինատային առանցքների վրա՝ մենք ստանում ենք

Ինտեգրելով (2)-ի երկու մասերը զրոյից մինչև t (նկ. 1), ունենք

որտեղ է տվյալ պահին կետի արագությունը տ; - արագություն տ = 0;

Ս- ժամանակի ընթացքում ուժի իմպուլս տ.

(3) ձևով արտահայտությունը հաճախ անվանում են իմպուլսի թեորեմ վերջավոր (կամ ինտեգրալ) ձևով. կետի իմպուլսի փոփոխությունը ցանկացած ժամանակահատվածում հավասար է ուժի իմպուլսին նույն ժամանակահատվածում:

Կոորդինատային առանցքների վրա կանխատեսումների ժամանակ այս թեորեմը կարող է ներկայացվել հետևյալ ձևով.

Նյութական կետի համար ցանկացած ձևի իմպուլսի փոփոխության թեորեմը ըստ էության չի տարբերվում կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներից։

Համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմ

Համակարգի շարժման մեծությունը կկոչվի վեկտորային մեծություն Ք, հավասար է համակարգի բոլոր կետերի շարժման մեծությունների երկրաչափական գումարին (հիմնական վեկտորին):

Դիտարկենք մի համակարգ, որը բաղկացած է n նյութական կետեր. Եկեք այս համակարգի համար կազմենք շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ և դրանք գումարենք տերմին առ անդամ: Այնուհետև մենք ստանում ենք.

Վերջին գումարը, պայմանավորված ներքին ուժերի հատկությամբ, հավասար է զրոյի։ Բացի այդ,

Վերջապես մենք գտնում ենք.

Բանաձևը (4) արտահայտում է համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմը դիֆերենցիալ ձևով. համակարգի իմպուլսի ժամանակային ածանցյալը հավասար է համակարգի վրա ազդող բոլոր արտաքին ուժերի երկրաչափական գումարին։

Գտնենք թեորեմի մեկ այլ արտահայտություն. Թող պահը տ= 0 համակարգի շարժման ծավալն է Q 0, և ժամանակի պահին t 1դառնում է հավասար Q 1.Այնուհետև հավասարության երկու կողմերը (4) բազմապատկելով dtև ինտեգրվելով՝ մենք ստանում ենք.

Կամ որտեղ:

(S- ուժի իմպուլս)

քանի որ աջ կողմի ինտեգրալները արտաքին ուժերի ազդակներ են տալիս,

հավասարումը (5) արտահայտում է համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմն ինտեգրալ ձևով. որոշակի ժամանակահատվածում համակարգի իմպուլսի փոփոխությունը հավասար է նույն ժամանակահատվածում համակարգի վրա գործող արտաքին ուժերի իմպուլսների գումարին:

Կոորդինատային առանցքների վրա կանխատեսումներում կունենանք.

Իմպուլսի պահպանման օրենքը

Համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմից կարելի է ստանալ հետևյալ կարևոր հետևությունները.

1. Համակարգի վրա գործող բոլոր արտաքին ուժերի գումարը հավասար լինի զրոյի.

Այնուհետև (4) հավասարումից հետևում է, որ այս դեպքում Q = Const.

Այսպիսով, եթե համակարգի վրա ազդող բոլոր արտաքին ուժերի գումարը հավասար է զրոյի, ապա համակարգի իմպուլսի վեկտորը մեծությամբ և ուղղությամբ հաստատուն կլինի:

2. 01Թող արտաքին ուժեր, գործող համակարգի վրա այնպիսին են, որ դրանց կանխատեսումների գումարը որոշ առանցքի վրա (օրինակ՝ Ox) հավասար է զրոյի.

Այնուհետեւ (4`) հավասարումներից հետեւում է, որ այս դեպքում Q = Const.

Այսպիսով, եթե որևէ առանցքի վրա գործող բոլոր արտաքին ուժերի կանխատեսումների գումարը հավասար է զրոյի, ապա այս առանցքի վրա համակարգի շարժման քանակի պրոյեկցիան հաստատուն արժեք է:

Այս արդյունքներն արտահայտում են համակարգի իմպուլսի պահպանման օրենքը։Դրանցից հետևում է, որ ներքին ուժերը չեն կարող փոխել համակարգի շարժման ընդհանուր ծավալը։

Դիտարկենք մի քանի օրինակ.

· Գլանափաթեթի վերադարձի մասին ֆենոմեն. Եթե ​​հրացանն ու փամփուշտը դիտարկենք որպես մեկ համակարգ, ապա կրակոցի ժամանակ փոշու գազերի ճնշումը կլինի ներքին ուժ։ Այս ուժը չի կարող փոխել համակարգի ընդհանուր թափը: Բայց քանի որ փոշու գազերը, ազդելով փամփուշտի վրա, հաղորդում են նրան որոշակի քանակությամբ առաջ ուղղված շարժում, նրանք պետք է միաժամանակ հրացանին փոխանցեն նույն շարժումը: հակադարձ ուղղություն. Սա կհանգեցնի հրացանի հետ շարժվելու, այսինքն. այսպես կոչված վերադարձը։ Նմանատիպ երեւույթ տեղի է ունենում ատրճանակով կրակելիս (ետ վերադարձ):

· Պտուտակի (պտուտակի) շահագործում. Պտուտակն օդի (կամ ջրի) որոշակի զանգվածի շարժում է հաղորդում պտուտակի առանցքի երկայնքով՝ հետ շպրտելով այս զանգվածը։ Եթե ​​նետված զանգվածը և օդանավը (կամ նավը) դիտարկենք որպես մեկ համակարգ, ապա շարժիչի և շրջակա միջավայրի փոխազդեցության ուժերը, որպես ներքին, չեն կարող փոխել այս համակարգի շարժման ընդհանուր ծավալը։ Հետևաբար, երբ օդի (ջրի) զանգվածը հետ է շպրտվում, օդանավը (կամ նավը) ստանում է համապատասխան առաջընթաց արագություն, որպեսզի դիտարկվող համակարգի շարժման ընդհանուր ծավալը մնա հավասար զրոյի, քանի որ այն զրոյական էր մինչև շարժման սկիզբը։ .

Նմանատիպ ազդեցություն է ձեռք բերվում թիակների կամ թիավարման անիվների գործողությամբ:

· R e c t i v e Շարժում Հրթիռում (հրթիռ) վառելիքի այրման գազային արգասիքները մեծ արագությամբ դուրս են մղվում հրթիռի պոչի անցքից (ռեակտիվ շարժիչի վարդակից): Ճնշման ուժերը, որոնք գործում են այս դեպքում, կլինեն ներքին ուժեր, և դրանք չեն կարող փոխել հրթիռ-փոշի գազային համակարգի ընդհանուր թափը։ Բայց քանի որ արտահոսող գազերն ունեն որոշակի քանակությամբ շարժում՝ ուղղված դեպի ետ, հրթիռը ստանում է համապատասխան առաջընթաց արագություն։

Առանցքի շուրջ պահերի թեորեմ.

Դիտարկենք զանգվածի նյութական կետը մ, շարժվելով ուժի ազդեցության տակ Ֆ. Եկեք դրա համար գտնենք փոխհարաբերությունները վեկտորների պահի միջև mVԵվ Ֆորոշ ֆիքսված Z առանցքի համեմատ:

m z (F) = xF - yF (7)

Նմանապես արժեքի համար m(mV), եթե հանվում է մփակագծերից դուրս կլինի

մ z (mV) = m (xV - yV)(7`)

Այս հավասարության երկու կողմերից էլ վերցնելով ժամանակի նկատմամբ ածանցյալները՝ գտնում ենք

Ստացված արտահայտության աջ կողմում առաջին փակագիծը հավասար է 0-ի, քանի որ dx/dt=V և dу/dt = V, երկրորդ փակագիծն ըստ (7) բանաձևի հավասար է

mz (F), քանի որ դինամիկայի հիմնական օրենքի համաձայն.

Վերջապես մենք կունենանք (8)

Ստացված հավասարումն արտահայտում է առանցքի շուրջ պահերի թեորեմը. Ցանկացած առանցքի նկատմամբ կետի իմպուլսի պահի ժամանակային ածանցյալը հավասար է նույն առանցքի նկատմամբ գործող ուժի մոմենտին:Նմանատիպ թեորեմ է գործում ցանկացած O կենտրոնի վերաբերյալ պահերի համար:

Քանի որ կետի զանգվածը հաստատուն է, և դրա արագացումը, դինամիկայի հիմնական օրենքը արտահայտող հավասարումը (2) կարող է ներկայացվել ձևով.

Հավասարումը (32) միաժամանակ արտահայտում է դիֆերենցիալ ձևով կետի իմպուլսի փոփոխության թեորեմը. կետի իմպուլսի ժամանակային ածանցյալը հավասար է կետի վրա ազդող ուժերի գումարին։

Թող շարժվող կետն ունենա արագություն ժամանակի պահին և արագություն՝ այնուհետև հավասարության երկու կողմերը (32) բազմապատկենք և դրանցից վերցնենք որոշակի ինտեգրալներ: Այս դեպքում, աջ կողմում, որտեղ ինտեգրումը տեղի է ունենում ժամանակի ընթացքում, կլինեն ինտեգրալի սահմանները, իսկ ձախ կողմում, որտեղ արագությունը ինտեգրված է, ինտեգրալի սահմանները կլինեն համապատասխան արագության արժեքները:

Քանի որ-ի ինտեգրալը հավասար է, արդյունքը հետևյալն է

Աջ կողմում գտնվող ինտեգրալները, ինչպես հետևում է բանաձևից (30), ներկայացնում են իմպուլսներ ակտիվ ուժեր. Հետևաբար, վերջապես կլինի

Բանաձևը (33) արտահայտում է վերջնական ձևով կետի իմպուլսի փոփոխության թեորեմը. որոշակի ժամանակահատվածում կետի իմպուլսի փոփոխությունը հավասար է կետի վրա ազդող բոլոր ուժերի իմպուլսների գումարին։ նույն ժամանակահատվածում:

Խնդիրներ լուծելիս վեկտորային հավասարման (33) փոխարեն հաճախ օգտագործվում են կանխատեսումների հավասարումներ։ Հավասարության երկու կողմերը (33) նախագծելով կոորդինատային առանցքների վրա՝ մենք ստանում ենք

Առանցքի երկայնքով տեղի ունեցող ուղղագիծ շարժման դեպքում թեորեմն արտահայտվում է այս հավասարումներից առաջինով։

Խնդրի լուծում. (33) կամ (34) հավասարումները թույլ են տալիս, իմանալով, թե ինչպես է փոխվում կետի արագությունը, երբ կետը շարժվում է, որոշել գործող ուժերի իմպուլսը (դինամիկայի առաջին խնդիրը) կամ, իմանալով գործող ուժերի իմպուլսները, որոշել. ինչպես է փոխվում կետի արագությունը շարժվելիս (դինամիկայի երկրորդ խնդիրը): Երկրորդ խնդիրը լուծելիս, երբ տրվում են ուժեր, անհրաժեշտ է հաշվարկել դրանց իմպուլսները, ինչպես երևում է հավասարություններից (30) կամ (31), դա կարելի է անել միայն այն դեպքում, երբ ուժերը հաստատուն են կամ կախված են միայն ժամանակից։

Այսպիսով, (33), (34) հավասարումները կարող են ուղղակիորեն օգտագործվել դինամիկայի երկրորդ խնդիրը լուծելու համար, երբ խնդրի տվյալները և պահանջվող մեծությունները ներառում են՝ գործող ուժերը, կետի շարժման ժամանակը և դրա սկզբնական և վերջնական արագությունները (այսինքն. մեծություններ), իսկ ուժերը պետք է լինեն հաստատուն կամ կախված միայն ժամանակից:

Խնդիր 95. Կգ զանգված ունեցող կետը թվայինորեն հաստատուն արագությամբ շարժվում է շրջանագծի մեջ Որոշե՛ք կետի վրա ազդող ուժի իմպուլսը այն ժամանակահատվածում, որի ընթացքում կետն անցնում է շրջանագծի մեկ քառորդը։

Լուծում. Իմպուլսի փոփոխության թեորեմի համաձայն՝ երկրաչափորեն կառուցելով շարժման այս մեծությունների տարբերությունը (նկ. 222), ստացված ուղղանկյուն եռանկյունից գտնում ենք.

Բայց, ըստ խնդրի պայմանների, հետևաբար.

Վերլուծական հաշվարկի համար, օգտագործելով (34) հավասարումների առաջին երկուսը, կարող ենք գտնել

Խնդիր 96. Բեռը, որն ունի զանգված և ընկած է հորիզոնական հարթության վրա, տրվում է (հրումով) սկզբնական արագություն Բեռի հետագա շարժումը դանդաղեցնում է հաստատուն F ուժը: Որոշեք, թե որքան ժամանակ կպահանջվի բեռի համար: կանգնել,

Լուծում. Ըստ խնդրի տվյալների՝ պարզ է, որ շարժման ժամանակը որոշելու համար կարելի է օգտագործել ապացուցված թեորեմը։ Մենք պատկերում ենք բեռը կամայական դիրքում (նկ. 223): Դրա վրա գործում է P ծանրության ուժը, N հարթության ռեակցիան և արգելակման ուժը F: Ուղղելով առանցքը շարժման ուղղությամբ՝ մենք կազմում ենք առաջին հավասարումները (34):

Այս դեպքում արագությունը կանգառի պահին), ա. Ուժերից միայն F ուժն է տալիս պրոյեկցիան առանցքի վրա, քանի որ այն հաստատուն է, որտեղ է արգելակման ժամանակը: Այս բոլոր տվյալները փոխարինելով (ա) հավասարման մեջ՝ ստանում ենք պահանջվող ժամանակը

Թեորեմում քննարկվող համակարգը կարող է լինել ցանկացած մարմիններից բաղկացած ցանկացած մեխանիկական համակարգ։

Թեորեմի հայտարարություն

Մեխանիկական համակարգի շարժման (իմպուլսի) մեծությունը մեծություն է, որը հավասար է համակարգում ընդգրկված բոլոր մարմինների շարժման (իմպուլսների) մեծությունների գումարին։ Համակարգի մարմինների վրա գործող արտաքին ուժերի իմպուլսը համակարգի մարմինների վրա գործող բոլոր արտաքին ուժերի իմպուլսների գումարն է։

( կգ մ/վ)

Համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմն ասում է

Համակարգի իմպուլսի փոփոխությունը որոշակի ժամանակահատվածում հավասար է նույն ժամանակահատվածում համակարգի վրա գործող արտաքին ուժերի ազդակին:

Համակարգի իմպուլսի պահպանման օրենքը

Եթե ​​համակարգի վրա ազդող բոլոր արտաքին ուժերի գումարը զրո է, ապա համակարգի շարժման (իմպուլս) մեծությունը հաստատուն մեծություն է։

, մենք ստանում ենք համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմի արտահայտությունը դիֆերենցիալ ձևով:

Ստացված հավասարության երկու կողմերն էլ ինտեգրվելով կամայականորեն որոշ ժամանակի ընթացքում որոշ և, Մենք ստանում ենք համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմի արտահայտությունը ինտեգրալ ձևով.

Իմպուլսի պահպանման օրենքը (Իմպուլսի պահպանման օրենքը) նշում է, որ համակարգի բոլոր մարմինների իմպուլսների վեկտորային գումարը հաստատուն արժեք է, եթե համակարգի վրա ազդող արտաքին ուժերի վեկտորային գումարը հավասար է զրոյի։

(իմպուլսի մոմենտը m 2 kg s −1)

Կենտրոնի նկատմամբ անկյունային իմպուլսի փոփոխության թեորեմ

ածանցյալ իմպուլսի ժամանակի նկատմամբ ( կինետիկ պահ) ցանկացած ֆիքսված կենտրոնի նկատմամբ նյութական կետը հավասար է նույն կենտրոնի նկատմամբ կետի վրա ազդող ուժի մոմենտին:

դկ 0 /dt = Մ 0 (Ֆ ) .

Թեորեմ առանցքի նկատմամբ անկյունային իմպուլսի փոփոխության մասին

Ցանկացած ֆիքսված առանցքի նկատմամբ նյութական կետի իմպուլսի (կինետիկ մոմենտի) պահի ժամանակային ածանցյալը հավասար է նույն առանցքի նկատմամբ այս կետի վրա ազդող ուժի պահին:

դկ x /dt = Մ x (Ֆ ); դկ y /dt = Մ y (Ֆ ); դկ զ /dt = Մ զ (Ֆ ) .

Հաշվի առեք նյութական կետ Մ զանգվածային մ , շարժվելով ուժի ազդեցության տակ Ֆ (Նկար 3.1): Գրենք և կառուցենք անկյունային իմպուլսի վեկտորը (կինետիկ իմպուլս) Մ 0 նյութական կետ կենտրոնի նկատմամբ Օ :

Եկեք տարբերակենք անկյունային իմպուլսի արտահայտությունը (կինետիկ պահ կ 0) ըստ ժամանակի՝

Որովհետեւ դոկտ /dt = Վ , ապա վեկտորի արտադրյալը Վ ⊗ մ ⋅ Վ (գոյական վեկտորներ Վ Եվ մ ⋅ Վ ) հավասար է զրոյի։ Միևնույն ժամանակ դ (մ ⋅ V) /dt = F ըստ նյութական կետի իմպուլսի թեորեմի։ Հետևաբար մենք ստանում ենք դա

դկ 0 /dt = r ⊗Ֆ , (3.3)

Որտեղ r ⊗Ֆ = Մ 0 (Ֆ ) – վեկտոր-ուժի պահ Ֆ ֆիքսված կենտրոնի համեմատ Օ . Վեկտոր կ 0 ⊥ ինքնաթիռ ( r , մ ⊗Վ ), և վեկտորը Մ 0 (Ֆ ) ⊥ ինքնաթիռ ( r ,Ֆ ), վերջապես ունենք

դկ 0 /dt = Մ 0 (Ֆ ) . (3.4)

Բանաձևը (3.4) արտահայտում է նյութական կետի անկյունային իմպուլսի (անկյունային իմպուլսի) փոփոխության թեորեմը կենտրոնի նկատմամբ. Նյութական կետի իմպուլսի պահի (կինետիկ մոմենտի) ժամանակային ածանցյալը ցանկացած ֆիքսված կենտրոնի նկատմամբ հավասար է նույն կենտրոնի նկատմամբ կետի վրա ազդող ուժի մոմենտին:

Նախագծելով հավասարությունը (3.4) դեկարտյան կոորդինատների առանցքների վրա՝ մենք ստանում ենք

դկ x /dt = Մ x (Ֆ ); դկ y /dt = Մ y (Ֆ ); դկ զ /dt = Մ զ (Ֆ ) . (3.5)

Հավասարումներն (3.5) արտահայտում են նյութական կետի անկյունային իմպուլսի (կինետիկ իմպուլսի) փոփոխության թեորեմն առանցքի նկատմամբ. Ցանկացած ֆիքսված առանցքի նկատմամբ նյութական կետի իմպուլսի (կինետիկ մոմենտի) պահի ժամանակային ածանցյալը հավասար է նույն առանցքի նկատմամբ այս կետի վրա ազդող ուժի պահին:

Դիտարկենք (3.4) և (3.5) թեորեմներից բխող հետևանքները:

Եզրակացություն 1.Դիտարկենք այն դեպքը, երբ ուժը Ֆ ամբողջ շարժման ընթացքում կետն անցնում է անշարժ կենտրոնով Օ (կենտրոնական ուժի դեպք), այսինքն. Երբ Մ 0 (Ֆ ) = 0. Ապա թեորեմից (3.4) հետևում է, որ կ 0 = հաստատ ,

դրանք. Կենտրոնական ուժի դեպքում նյութական կետի անկյունային իմպուլսը (կինետիկ մոմենտը) այս ուժի կենտրոնի նկատմամբ մնում է անփոփոխ մեծությամբ և ուղղությամբ (Նկար 3.2):

Նկար 3.2

Պայմանից կ 0 = հաստատ դրանից բխում է, որ շարժվող կետի հետագիծը հարթ կոր է, որի հարթությունն անցնում է այս ուժի կենտրոնով։

Եզրակացություն 2.Թող Մ զ (Ֆ ) = 0, այսինքն. ուժը հատում է առանցքը զ կամ դրան զուգահեռ: Այս դեպքում, ինչպես երևում է հավասարումների երրորդից (3.5), կ զ = հաստատ ,

դրանք. եթե որևէ ֆիքսված առանցքի նկատմամբ կետի վրա ազդող ուժի պահը միշտ զրո է, ապա այս առանցքի նկատմամբ կետի անկյունային իմպուլսը (կինետիկ մոմենտը) մնում է հաստատուն։

Իմպուլսի փոփոխության թեորեմի ապացույց

Թող համակարգը կազմված լինի զանգվածներով և արագացումներով նյութական կետերից: Մենք համակարգի մարմինների վրա գործող բոլոր ուժերը բաժանում ենք երկու տեսակի.

Արտաքին ուժերը ուժեր են, որոնք գործում են դիտարկվող համակարգում չընդգրկված մարմիններից: Նյութական կետի վրա գործող արտաքին ուժերի արդյունքը թվով եսնշենք

Ներքին ուժերն այն ուժերն են, որոնց հետ բուն համակարգի մարմինները փոխազդում են միմյանց հետ: Այն ուժը, որով գտնվում է թվով կետի վրա եսհամարով կետը վավեր է կ, կնշենք , իսկ ազդեցության ուժը եսրդ կետը կրդ կետ - . Ակնհայտ է, երբ, ապա

Օգտագործելով ներկայացված նշումը, մենք գրում ենք Նյուտոնի երկրորդ օրենքը դիտարկվող նյութական կետերից յուրաքանչյուրի համար ձևով.

Հաշվի առնելով դա և ամփոփելով Նյուտոնի երկրորդ օրենքի բոլոր հավասարումները՝ ստանում ենք.

Արտահայտությունը ներկայացնում է համակարգում գործող բոլոր ներքին ուժերի գումարը: Համաձայն Նյուտոնի երրորդ օրենքի՝ այս գումարում յուրաքանչյուր ուժ համապատասխանում է այնպիսի ուժի, որը, հետևաբար, պահպանվում է. Քանի որ ամբողջ գումարը բաղկացած է նման զույգերից, գումարն ինքնին զրո է։ Այսպիսով, մենք կարող ենք գրել

Օգտագործելով համակարգի իմպուլսի նշումը, մենք ստանում ենք

Հաշվի առնելով արտաքին ուժերի թափի փոփոխությունը , մենք ստանում ենք համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմի արտահայտությունը դիֆերենցիալ ձևով.

Այսպիսով, ստացված վերջին հավասարումներից յուրաքանչյուրը թույլ է տալիս ասել. համակարգի իմպուլսի փոփոխությունը տեղի է ունենում միայն արտաքին ուժերի գործողության արդյունքում, և ներքին ուժերը չեն կարող որևէ ազդեցություն ունենալ այս արժեքի վրա:

Ստացված հավասարության երկու կողմերն էլ ինտեգրելով որոշ և ի միջև կամայականորեն վերցված ժամանակային միջակայքում, մենք ստանում ենք համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմի արտահայտությունը ինտեգրալ ձևով.

որտեղ և են համակարգի շարժման քանակի արժեքները ժամանակի պահերին և, համապատասխանաբար, արտաքին ուժերի իմպուլսն է որոշակի ժամանակահատվածում: Նախկինում ասվածի և ներկայացված նշումների համաձայն.

Թեորեմ կետի իմպուլսի փոփոխության մասին

Քանի որ կետի զանգվածը հաստատուն է, իսկ դրա արագացումը, դինամիկայի հիմնական օրենքը արտահայտող հավասարումը կարող է ներկայացվել ձևով.

Հավասարումը միաժամանակ արտահայտում է դիֆերենցիալ ձևով կետի իմպուլսի փոփոխության թեորեմը. ժամանակի ածանցյալ կետի իմպուլսը հավասար է կետի վրա ազդող ուժերի երկրաչափական գումարին։

Եկեք ինտեգրենք այս հավասարումը: Թող զանգվածը նշվի մ, շարժվելով ուժի ազդեցությամբ (նկ. 15), ունի պահ տ=0 արագություն, և այս պահին տ 1-արագություն.

Նկ.15

Այնուհետև հավասարության երկու կողմերը բազմապատկում ենք և դրանցից վերցնում որոշակի ինտեգրալներ։ Այս դեպքում, աջ կողմում, որտեղ ինտեգրումը տեղի է ունենում ժամանակի ընթացքում, ինտեգրալների սահմանները կլինեն 0 և տ 1, իսկ ձախ կողմում, որտեղ արագությունը ինտեգրված է, ինտեգրալի սահմանները կլինեն արագության համապատասխան արժեքները և . Քանի որ ինտեգրալից հավասար է , ապա արդյունքում ստանում ենք.

.

Աջ կողմի ինտեգրալները ներկայացնում են գործող ուժերի ազդակները։ Այսպիսով, մենք վերջապես կունենանք.

.

Հավասարումն արտահայտում է վերջնական ձևով կետի իմպուլսի փոփոխության թեորեմը. կետի իմպուլսի փոփոխությունը որոշակի ժամանակահատվածում հավասար է նույն ժամանակահատվածում կետի վրա ազդող բոլոր ուժերի իմպուլսների երկրաչափական գումարին (բրինձ. 15):

Խնդիրներ լուծելիս վեկտորային հավասարումների փոխարեն հաճախ օգտագործվում են պրոյեկցիոն հավասարումներ։

Առանցքի երկայնքով տեղի ունեցող ուղղագիծ շարժման դեպքում Օ՜թեորեմն արտահայտվում է այս հավասարումներից առաջինով։

Օրինակ 9.Գտե՛ք զանգվածի նյութական կետի շարժման օրենքը մ, շարժվելով առանցքի երկայնքով Xմոդուլում ուժի հաստատունի ազդեցության տակ Ֆ(նկ. 16) սկզբնական պայմաններում՝ , ժամը .

Նկ.16

Լուծում.Եկեք կազմենք դիֆերենցիալ հավասարումնախագծման կետի շարժում առանցքի վրա X: Ամբողջացնելով այս հավասարումը, մենք գտնում ենք. . հաստատունը որոշվում է արագության սկզբնական պայմանից և հավասար է . Վերջապես

.

Հետագայում, հաշվի առնելով, որ v = dx/dt, մենք հասնում ենք դիֆերենցիալ հավասարմանը. , ինտեգրելով, որը մենք ստանում ենք

հաստատունը որոշվում է կետի կոորդինատների սկզբնական պայմանից: Այն հավասար է։ Հետևաբար, կետի շարժման օրենքը ձև ունի

Օրինակ 10. Քաշի ծանրաբեռնվածություն Ռ(նկ. 17) ուժի ազդեցությամբ սկսում է տեղից շարժվել հարթ հորիզոնական հարթության երկայնքով F = kt. Գտեք բեռի շարժման օրենքը:

Նկ.17

Լուծում.Եկեք ընտրենք կոորդինատային համակարգի ծագումը ՄԱՍԻՆբեռի սկզբնական դիրքում և ուղղել առանցքը Xշարժման ուղղությամբ (նկ. 17): Այնուհետև նախնական պայմաններն ունեն ձևը. x(t = 0) = 0, v( t = 0) = 0. Բեռի վրա գործում են ուժեր Զ,Պև ինքնաթիռի ռեակցիայի ուժը Ն. Այս ուժերի կանխատեսումները առանցքի վրա Xիմաստներ ունեն Ֆx = Ֆ = կտ, Ռx = 0, Nx= 0, ուստի շարժման համապատասխան հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ. Այս դիֆերենցիալ հավասարման մեջ փոփոխականներն առանձնացնելով և այնուհետև ինտեգրելով՝ ստանում ենք՝ v = էկտ 2 /2Պ + Գ 1 . Նախնական տվյալների փոխարինում ( v(0) = 0), մենք գտնում ենք, որ Գ 1 = 0, և մենք ստանում ենք արագության փոփոխության օրենքը .

Վերջին արտահայտությունն իր հերթին դիֆերենցիալ հավասարում է, որն ինտեգրելով մենք գտնում ենք նյութական կետի շարժման օրենքը. . Այստեղ ներառված հաստատունը որոշվում է երկրորդ սկզբնական պայմանից X(0) = 0: Հեշտ է հաստատել, որ . Վերջապես

Օրինակ 11.Հորիզոնական հարթ հարթության վրա հանգստի վիճակում գտնվող բեռի վրա (տես նկ. 17) հեռավորության վրա ասկզբից, սկսում է գործել առանցքի դրական ուղղությամբ xուժ F = k 2 (Պ/է)x, Որտեղ R -բեռի քաշը. Գտեք բեռի շարժման օրենքը:

Լուծում.Դիտարկվող բեռի շարժման հավասարումը (նյութական կետ) առանցքի վրա պրոյեկցիայի ժամանակ X

(1) հավասարման սկզբնական պայմաններն ունեն ձև. x(t = 0) = ա, v( t = 0) = 0.

Ներկայացնենք (1) հավասարման մեջ ներառված արագության ժամանակի ածանցյալը հետևյալ կերպ.

.

Այս արտահայտությունը փոխարինելով (1) հավասարմամբ և կրճատելով (-ով) Պ/է), ստանում ենք

Վերջին հավասարման մեջ առանձնացնելով փոփոխականները՝ մենք գտնում ենք, որ . Ինտեգրելով վերջինս՝ ունենք. Օգտագործելով նախնական պայմանները մենք ստանում ենք, և, հետևաբար,

, . (2)

Քանի որ ուժը գործում է բեռի վրա առանցքի դրական ուղղությամբ X, ապա պարզ է, որ նա պետք է շարժվի նույն ուղղությամբ։ Հետևաբար, (2) լուծույթում պետք է ընտրել գումարած նշանը։ Երկրորդ արտահայտության մեջ (2) փոխարինելով , մենք ստանում ենք դիֆերենցիալ հավասարում բեռի շարժման օրենքը որոշելու համար: Ուստի, տարանջատելով փոփոխականները, ունենք

.

Վերջինս ինտեգրելով՝ մենք գտնում ենք. . Հաստատունը գտնելուց հետո մենք վերջապես ստանում ենք

Օրինակ 12.Գնդակ Մզանգվածները մ(նկ. 18) ընկնում է առանց նախնական արագության՝ ձգողականության ազդեցության տակ։ Երբ գնդակն ընկնում է, այն դիմադրություն է զգում, որտեղ – կայուն դիմադրության գործակից: Գտեք գնդակի շարժման օրենքը:

Նկ.18

Լուծում.Եկեք ներկայացնենք կոորդինատային համակարգ՝ սկզբնավորմամբ գնդակի գտնվելու վայրում t = 0, ուղղորդելով առանցքը ժամըուղղահայաց ներքեւ (նկ. 18): Գնդիկի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումը առանցքի վրա պրոյեկցիայի մեջ ժամըապա ունի ձևը

Գնդակի համար նախնական պայմանները գրված են հետևյալ կերպ. y(t = 0) = 0, v( t = 0) = 0.

Փոփոխականների առանձնացում (1) հավասարման մեջ

և ինտեգրվելով՝ մենք գտնում ենք՝ , որտեղ . Կամ հաստատուն գտնելուց հետո

կամ ։ (2)

Դրանից բխում է, որ առավելագույն արագությունը, այսինքն. արագությունը ժամը , հավասար է .

Շարժման օրենքը գտնելու համար (2) հավասարման մեջ v-ը փոխարինեք dy/dt. Այնուհետև, ինտեգրելով ստացված հավասարումը, հաշվի առնելով նախնական պայմանը, վերջապես գտնում ենք

.

Օրինակ 13.Գնդաձև ձևի և զանգվածի հետազոտական ​​սուզանավ մ= = 1,5×10 5 կգսկսում է սուզվել անջատված շարժիչներով՝ ունենալով հորիզոնական արագություն v X 0 = 30 մ/վրկև բացասական լողունակություն Ռ 1 = 0.01մգ, Որտեղ – Արքիմեդյան լողացող ուժի վեկտորային գումար Քև գրավիտացիան մգ, գործող նավակի վրա (նկ. 20): Ջրի դիմադրության ուժ , կգ/վրկ. Որոշի՛ր նավակի շարժման և նրա հետագծի հավասարումները։

Նյութական կետի շարժման չափըկոչվում է վեկտորային մեծություն mV,հավասար է կետի զանգվածի և դրա արագության վեկտորի արտադրյալին: Վեկտոր mVկիրառվում է շարժվող կետի վրա:

Համակարգի շարժման ծավալըկոչվում է վեկտորային մեծություն Ք, հավասար է համակարգի բոլոր կետերի շարժման մեծությունների երկրաչափական գումարին (հիմնական վեկտորին).

Վեկտոր Քազատ վեկտոր է։ SI միավորների համակարգում իմպուլսի մոդուլը չափվում է կգ մ/վ կամ Ն վ։

Որպես կանոն, համակարգի բոլոր կետերի արագությունները տարբեր են (տե՛ս, օրինակ, պտտվող անիվի կետերի արագությունների բաշխումը, ցույց է տրված նկ. 6.21-ում), և, հետևաբար, վեկտորների ուղիղ գումարումը հավասարության աջ կողմում։ (17.2) դժվար է: Գտնենք մի բանաձև, որի օգնությամբ մեծությունը Քշատ ավելի հեշտ է հաշվարկել: Հավասարությունից (16.4) հետևում է, որ

Երկու կողմերի ժամանակի ածանցյալը վերցնելով՝ ստանում ենք Այսպիսով, հաշվի առնելով հավասարությունը (17.2), գտնում ենք, որ

այսինքն՝ համակարգի իմպուլսը հավասար է ամբողջ համակարգի զանգվածի և նրա զանգվածի կենտրոնի արագության արտադրյալին։

Նշենք, որ վեկտորը Q,ինչպես ստատիկ ուժի հիմնական վեկտորը, այն ամբողջ մեխանիկական համակարգի շարժման որոշ ընդհանրացված վեկտոր է: Համակարգի շարժման ընդհանուր դեպքում նրա իմպուլսն է Քկարելի է դիտարկել որպես համակարգի շարժման փոխադրական մասի հատկանիշ՝ նրա զանգվածի կենտրոնի հետ միասին։ Եթե ​​համակարգը (մարմինը) շարժվելիս զանգվածի կենտրոնը անշարժ է, ապա համակարգի շարժման մեծությունը հավասար կլինի զրոյի։ Սա, օրինակ, մարմնի իմպուլսն է, որը պտտվում է իր զանգվածի կենտրոնով անցնող ֆիքսված առանցքի շուրջ:

Օրինակ։Որոշեք մեխանիկական համակարգի շարժման չափը (նկ. 17.1, Ա),բաղկացած բեռներից Ազանգվածային t A - 2 կգ, միատարր բլոկ IN 1 կգ քաշով և անիվներով Դզանգվածային մ Դ - 4կգ. Բեռներ Աշարժվում է արագությամբ V A - 2 մ/վ, անիվ Դգլորվում է առանց սայթաքելու, թելը անտարբեր է և անկշիռ։ Լուծում. Մարմինների համակարգի շարժման քանակությունը

Մարմին Աառաջ է գնում և Q A =m A V A(թվային Ք Ա= 4 կգ մ/վ, վեկտորի ուղղությունը Ք Ահամընկնում է ուղղության հետ V Ա).Արգելափակել INպարտավորվում է ռոտացիոն շարժումնրա զանգվածի կենտրոնով անցնող ֆիքսված առանցքի շուրջը. հետևաբար, QB- 0. Անիվ Դկազմում է հարթություն-զուգահեռ

շարժում; նրա ակնթարթային արագության կենտրոնը գտնվում է կետում TOհետևաբար նրա զանգվածի կենտրոնի արագությունը (կետ Ե)հավասար է V E = V A /2= 1 մ/վրկ. Անիվի շարժման գումարը Q D - m D V E - 4 կգ մ/վրկ; վեկտոր Ք Դուղղված հորիզոնական դեպի ձախ:

Վեկտորները պատկերելով Ք ԱԵվ Ք ԴՆկ. 17.1, բ, գտե՛ք շարժման ծավալը Քհամակարգեր ըստ բանաձևի (ա). Հաշվի առնելով քանակների ուղղությունները և թվային արժեքները՝ մենք ստանում ենք Q ~^Q A +Q E=4լ/2~ կգ մ/վ, վեկտորի ուղղությունը Քցույց է տրված Նկ. 17.1, բ.

Հաշվի առնելով դա a -dV/dt,Դինամիկայի հիմնական օրենքի հավասարումը (13.4) կարելի է ներկայացնել որպես

Հավասարումը (17.4) արտահայտում է դիֆերենցիալ ձևով կետի իմպուլսի փոփոխության թեորեմը. ժամանակի յուրաքանչյուր ակնթարթում կետի իմպուլսի ժամանակային ածանցյալը հավասար է կետի վրա ազդող ուժին: (Ըստ էության, սա դինամիկայի հիմնարար օրենքի ևս մեկ ձևակերպում է, որը մոտ է Նյուտոնի կողմից տրվածին): Եթե մի կետի վրա գործում են մի քանի ուժեր, ապա հավասարության աջ կողմում (17.4) կլինի կիրառվող ուժերի արդյունքը: նյութական կետին.

Եթե ​​հավասարության երկու կողմերը բազմապատկվեն dt,ապա մենք ստանում ենք

Այս հավասարության աջ կողմում գտնվող վեկտորային մեծությունը բնութագրում է մարմնի վրա ուժի գործադրած գործողությունը տարրական ժամանակահատվածում. dtայս արժեքը նշվում է dSև զանգիր տարրական ուժի ազդակ, այսինքն.

Զարկերակ Սուժ Ֆվերջավոր ժամանակահատվածի համար /, - / 0-ը սահմանվում է որպես համապատասխան տարրական իմպուլսների ամբողջական գումարի սահման, այսինքն.

Հատուկ դեպքում, եթե ուժը Ֆհաստատուն է մեծությամբ և ուղղությամբ, ապա S = F (t| -/ 0) և S- F (t l -/ 0): Ընդհանուր դեպքում ուժի իմպուլսի մեծությունը կարելի է հաշվարկել կոորդինատային առանցքների վրա դրա կանխատեսումներից.

Այժմ, ինտեգրելով հավասարության երկու կողմերը (17.5) հետ Տ= const, մենք ստանում ենք

Հավասարումը (17.9) արտահայտում է վերջավոր (ինտեգրալ) ձևով կետի իմպուլսի փոփոխության թեորեմը. կետի իմպուլսի փոփոխությունը որոշակի ժամանակահատվածում հավասար է կետի վրա ազդող ուժի իմպուլսին (կամ դրա վրա կիրառվող բոլոր ուժերի արդյունքի իմպուլսին) նույն ժամանակահատվածում։

Խնդիրներ լուծելիս օգտագործեք այս թեորեմի հավասարումները կոորդինատային առանցքների վրա պրոյեկցիաներում

Հիմա դիտարկենք մեխանիկական համակարգ, բաղկացած Պնյութական կետեր. Այնուհետև յուրաքանչյուր կետի համար կարող ենք կիրառել իմպուլսի փոփոխության թեորեմը (17.4)՝ հաշվի առնելով կետերի վրա կիրառվող արտաքին և ներքին ուժերը.

Այս հավասարությունները գումարելով և հաշվի առնելով, որ ածանցյալների գումարը հավասար է գումարի ածանցյալին, ստանում ենք.

Քանի որ ներքին ուժերի բնույթով HFk=0 և իմպուլսի սահմանմամբ ^fn k V/ գ = Ք, ապա մենք վերջապես գտնում ենք

Հավասարումը (17.11) արտահայտում է համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմը դիֆերենցիալ ձևով. ժամանակի յուրաքանչյուր պահին համակարգի իմպուլսի ժամանակային ածանցյալը հավասար է համակարգի վրա ազդող բոլոր արտաքին ուժերի երկրաչափական գումարին:

Հավասարությունը (17.11) նախագծելով կոորդինատային առանցքների վրա՝ մենք ստանում ենք

Երկու կողմերը (17.11) բազմապատկելով dtև ինտեգրվելով՝ մենք ստանում ենք

որտեղ 0, Q 0 -Համակարգի շարժման չափը ժամանակի պահերին համապատասխանաբար և / 0:

Հավասարումը (17.13) արտահայտում է համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմն ինտեգրալ ձևով. ցանկացած ժամանակի ընթացքում համակարգի իմպուլսի փոփոխությունը հավասար է համակարգի վրա միաժամանակ ազդող բոլոր արտաքին ուժերի իմպուլսների գումարին:

Կոորդինատային առանցքների վրա կանխատեսումներում մենք ստանում ենք

Համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմից կարելի է ստանալ հետևյալ կարևոր հետևանքները, որոնք արտահայտում են. համակարգի իմպուլսի պահպանման օրենքը։

• 1. Եթե համակարգի վրա ազդող բոլոր արտաքին ուժերի երկրաչափական գումարը զրո է (LF k=0), ապա (17.11) հավասարումից հետևում է, որ այս դեպքում Ք= const, այսինքն՝ համակարգի իմպուլսի վեկտորը մեծությամբ և ուղղությամբ հաստատուն կլինի:
• 2. Եթե համակարգի վրա ազդող արտաքին ուժերն այնպիսին են, որ ցանկացած առանցքի վրա դրանց կանխատեսումների գումարը զրո է (օրինակ. Ես e kx = 0), ապա (17.12) հավասարումներից հետևում է, որ այս դեպքում Q x = const, այսինքն՝ համակարգի իմպուլսի պրոյեկցիան այս առանցքի վրա մնում է անփոփոխ:

Նշենք, որ համակարգի ներքին ուժերը չեն մասնակցում համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմի հավասարմանը։ Այս ուժերը, թեև ազդում են համակարգի առանձին կետերի իմպուլսի վրա, սակայն չեն կարող փոխել համակարգի իմպուլսը որպես ամբողջություն։ Այս հանգամանքը հաշվի առնելով՝ խնդիրներ լուծելիս նպատակահարմար է ընտրել դիտարկվող համակարգը այնպես, որ անհայտ ուժերը (դրանց բոլորը կամ մի մասը) դարձվեն ներքին։

Իմպուլսի պահպանման օրենքը հարմար է կիրառել այն դեպքերում, երբ համակարգի մի մասի արագությունը փոխելով՝ անհրաժեշտ է որոշել դրա մյուս մասի արագությունը։

Խնդիր 17.1. TOսայլի կշռում t x- 12 կգ, որը շարժվում է հարթ հորիզոնական հարթության վրա մի կետում Աանկշիռ ձողը ամրացվում է գլանաձև ծխնիի միջոցով ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆերկարությունը /= 0,6 մ ծանրաբեռնվածությամբ Դզանգվածային t 2 - 6 կգ վերջում (նկ. 17.2): Ժամանակին / 0 = 0, երբ սայլի արագությունը Եվ () - 0,5 մ/վ, ձող ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆսկսում է պտտվել առանցքի շուրջ Ա,գծագրության հարթությանը ուղղահայաց՝ φ = (tg/6)(3^2 - 1) ռադ (/-վայրկյաններում) օրենքի համաձայն։ Սահմանել. u=f.

§ 17.3. Թեորեմ զանգվածի կենտրոնի շարժման մասին

Մեխանիկական համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմը կարող է արտահայտվել մեկ այլ ձևով, որը կոչվում է զանգվածի կենտրոնի շարժման թեորեմ։

(17.11) հավասարումը փոխարինելով Q = MVC,մենք ստանում ենք

Եթե ​​զանգվածը Մհամակարգը մշտական ​​է, մենք ստանում ենք

Որտեղ և հետ -համակարգի զանգվածի կենտրոնի արագացում։

Հավասարումը (17.15) արտահայտում է համակարգի զանգվածի կենտրոնի շարժման թեորեմը. Համակարգի զանգվածի և դրա զանգվածի կենտրոնի արագացման արտադրյալը հավասար է համակարգի վրա ազդող բոլոր արտաքին ուժերի երկրաչափական գումարին։

Հավասարությունը (17.15) նախագծելով կոորդինատային առանցքների վրա՝ մենք ստանում ենք

Որտեղ x c, y c, z c -համակարգի զանգվածի կենտրոնի կոորդինատները.

Այս հավասարումները զանգվածի կենտրոնի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ են Դեկարտյան կոորդինատային համակարգի առանցքների վրա պրոյեկցիաներում։

Քննարկենք ստացված արդյունքները։ Նախ հիշենք, որ համակարգի զանգվածի կենտրոնը երկրաչափական կետ է, որը երբեմն գտնվում է մարմնի երկրաչափական սահմաններից դուրս։ Մեխանիկական համակարգի վրա ազդող ուժերը (արտաքին և ներքին) կիրառվում են համակարգի բոլոր նյութական կետերի վրա։ Հավասարումները (17.15) հնարավորություն են տալիս որոշել համակարգի զանգվածի կենտրոնի շարժումը՝ առանց դրա առանձին կետերի շարժումը որոշելու։ Համեմատելով զանգվածի կենտրոնի շարժման թեորեմի (17.15) հավասարումները և Նյուտոնի երկրորդ օրենքի (13.5) հավասարումները նյութական կետի համար՝ գալիս ենք եզրակացության. Մեխանիկական համակարգի զանգվածի կենտրոնը շարժվում է նյութական կետի պես, որի զանգվածը հավասար է ամբողջ համակարգի զանգվածին, և կարծես այս կետի վրա կիրառվել են համակարգի վրա գործող բոլոր արտաքին ուժերը։Այսպիսով, լուծումները, որոնք մենք ստանում ենք դիտարկելով տրված մարմինըորպես նյութական կետ նրանք որոշում են այս մարմնի զանգվածի կենտրոնի շարժման օրենքը։

Մասնավորապես, եթե մարմինը շարժվում է թարգմանաբար, ապա մարմնի բոլոր կետերի և նրա զանգվածի կենտրոնի կինեմատիկական բնութագրերը նույնն են։ Ահա թե ինչու թարգմանաբար շարժվող մարմինը միշտ կարելի է համարել նյութական կետ, որի զանգվածը հավասար է ամբողջ մարմնի զանգվածին:

Ինչպես երևում է (17.15)-ից, համակարգի կետերի վրա գործող ներքին ուժերը չեն ազդում համակարգի զանգվածի կենտրոնի շարժման վրա։ Ներքին ուժերը կարող են ազդել զանգվածի կենտրոնի շարժման վրա այն դեպքերում, երբ արտաքին ուժերը փոխվում են իրենց ազդեցության տակ։ Դրա օրինակները կտրվեն ստորև:

Զանգվածի կենտրոնի շարժման թեորեմից կարելի է ստանալ հետևյալ կարևոր հետևանքները, որոնք արտահայտում են համակարգի զանգվածի կենտրոնի շարժման պահպանման օրենքը.

1. Եթե երկրաչափական գումարհամակարգի վրա գործող բոլոր արտաքին ուժերի զրո է (LF k=0), ապա (17.15) հավասարումից հետևում է.

Ինչ կասեք սրա մասին ա գ = 0 կամ V գ = const, այսինքն՝ այս համակարգի զանգվածի կենտրոնը

շարժվում է մեծությամբ և ուղղությամբ հաստատուն արագությամբ (այլ կերպ ասած՝ հավասարաչափ և ուղղագիծ)։ Կոնկրետ դեպքում, եթե սկզբում զանգվածի կենտրոնը գտնվում էր հանգստի վիճակում ( V դ=0), ապա այն կմնա հանգստի վիճակում; որտեղ

հետեւել Դուք գիտեք, որ նրա դիրքը տարածության մեջ չի փոխվի, այսինքն. r c =հաստատ.

2. Եթե համակարգի վրա ազդող արտաքին ուժերն այնպիսին են, որ դրանց ելքերի գումարն ինչ-որ առանցքի վրա (օրինակ՝ առանցքի X)հավասար է զրոյի (?F e kx= 0), ապա (17.16) հավասարումից հետևում է, որ այս դեպքում x s=0 կամ V Cx =x c = const, այսինքն՝ համակարգի զանգվածի կենտրոնի արագության պրոյեկցիան այս առանցքի վրա հաստատուն արժեք է։ Հատուկ դեպքում, եթե սկզբնական պահին Վեքս= 0, ապա ցանկացած հաջորդ ժամանակ այս արժեքը կմնա նույնը, և հետևում է, որ կոորդինատը x sհամակարգի զանգվածի կենտրոնը չի փոխվի, այսինքն. x c -հաստատ.

Դիտարկենք զանգվածի կենտրոնի շարժման օրենքը պատկերող օրինակներ։

Օրինակներ. 1. Ինչպես նշվեց, զանգվածի կենտրոնի շարժումը կախված է միայն արտաքին ուժերից, չեն կարող փոխել զանգվածի կենտրոնի դիրքը. Բայց համակարգի ներքին ուժերը կարող են առաջացնել արտաքին ազդեցություններ։ Այսպիսով, մարդու շարժումը հորիզոնական մակերևույթի վրա տեղի է ունենում նրա կոշիկների ներբանների և ճանապարհի մակերեսի միջև շփման ուժերի ազդեցության տակ: Իր մկանների ուժով (ներքին ուժերով) մարդը ոտքերով դուրս է մղում ճանապարհի երեսից, ինչի պատճառով էլ շփման ուժ է առաջանում ճանապարհի հետ շփման կետերում՝ ուղղված նրա ուղղությամբ։ շարժում։

• 2. Մեքենան նույն կերպ է շարժվում։ Նրա շարժիչի ներքին ճնշման ուժերը ստիպում են անիվներին պտտվել, բայց քանի որ վերջիններս ձգում են ճանապարհի հետ, արդյունքում առաջացած շփման ուժերը «մղում են» մեքենան առաջ (արդյունքում անիվները չեն պտտվում, այլ շարժվում են հարթությամբ զուգահեռ) . Եթե ​​ճանապարհը բացարձակ հարթ է, ապա մեքենայի զանգվածի կենտրոնը կլինի անշարժ (զրոյական սկզբնական արագությամբ), իսկ անիվները շփման բացակայության դեպքում կսահեն, այսինքն՝ կկատարեն պտտվող շարժում։
• 3. Շարժումը պտուտակի, պտուտակի կամ թիակների օգնությամբ տեղի է ունենում օդի (կամ ջրի) որոշակի զանգվածի մերժման պատճառով։ Եթե ​​նետված զանգվածը և շարժվող մարմինը դիտարկենք որպես մեկ համակարգ, ապա նրանց միջև փոխազդեցության ուժերը, որպես ներքին, չեն կարող փոխել այս համակարգի շարժման ընդհանուր ծավալը։ Այնուամենայնիվ, այս համակարգի յուրաքանչյուր մաս կտեղափոխվի, օրինակ, նավակը առաջ, և ջուրը, որը թիակները հետ են նետում:
• 4. Անօդ տարածության մեջ, երբ հրթիռը շարժվում է, «նետված զանգվածը» պետք է «վերցնել քեզ հետ». ռեակտիվ շարժիչը շարժում է հաղորդում հրթիռին՝ հետ շպրտելով վառելիքի այրման արգասիքները, որով լցված է հրթիռը:
• 5. Պարաշյուտով իջնելիս կարելի է կառավարել մարդ-պարաշյուտ համակարգի զանգվածի կենտրոնի շարժումը։ Եթե ​​մկանային ջանքերով մարդը սեղմում է պարաշյուտի գծերն այնպես, որ փոխվի նրա հովանոցի ձևը կամ օդային հոսքի հարձակման անկյունը, ապա դա կհանգեցնի օդի հոսքի արտաքին ազդեցության փոփոխության և դրանով իսկ ազդելու շարժման վրա: ամբողջ համակարգի:

Խնդիր 17.2. INԽնդիր 17.1 (տե՛ս նկ. 17.2) որոշել. 1) տրոլեյբուսի շարժման օրենքը X (= /)(/), եթե հայտնի է, որ ժամանակի սկզբնական պահին t 0 = O համակարգը գտնվում էր հանգստի վիճակում և կոորդինատը x 10 = 0; 2) նորմալ ռեակցիայի ընդհանուր արժեքի ժամանակի ընթացքում փոփոխության օրենքը N (N = N"+N")հորիզոնական հարթություն, այսինքն. N=f 2 (t).

Լուծում. Այստեղ, ինչպես 17.1-ում, մենք դիտարկում ենք սայլից և բեռից բաղկացած համակարգը Դ,կամայական դիրքում՝ դրան կիրառվող արտաքին ուժերի ազդեցության տակ (տես նկ. 17.2): Կոորդինատային առանցքներ Օհոնկարիր այնպես, որ x առանցքը լինի հորիզոնական, իսկ առանցքը ժամըանցավ կետով A 0,այսինքն կետի գտնվելու վայրը Աժամանակի մի կետում t-t 0 - 0.

1. Տրոլեյբուսի շարժման օրենքի որոշումը. X, = /,(0) որոշելու համար մենք օգտագործում ենք համակարգի զանգվածի կենտրոնի շարժման թեորեմը: Եկեք ստեղծենք դրա շարժման դիֆերենցիալ հավասարումը պրոյեկցիայի մեջ x առանցքի վրա.

Քանի որ բոլոր արտաքին ուժերը ուղղահայաց են, ուրեմն T,F e kx = 0, և հետևաբար

Ամբողջացնելով այս հավասարումը, մենք գտնում ենք, որ Mx s = B,այսինքն՝ համակարգի զանգվածի կենտրոնի արագության պրոյեկցիան x առանցքի վրա հաստատուն արժեք է։ Քանի որ սկզբնական պահին

Ինտեգրելով հավասար. Mx s= 0, մենք ստանում ենք

այսինքն կոորդինացնել x sհամակարգի զանգվածի կենտրոնը հաստատուն է։

Գրենք արտահայտությունը Mx sհամակարգի կամայական դիրքի համար (տես նկ. 17.2), հաշվի առնելով, որ x A - x { , x D - x 2Եվ x 2 - x ( - Իմեղք զ. Համաձայն (16.5) բանաձևի, որը որոշում է համակարգի զանգվածի կենտրոնի կոորդինատը, այս դեպքում. Mx s - t ( x ( + t 2 x 2"

կամայական ժամանակի համար

ժամանակի պահի համար / () = 0, X (= 0 և

Համաձայն (բ) հավասարության՝ կոորդինատը x sամբողջ համակարգի զանգվածի կենտրոնը մնում է անփոփոխ, այսինքն՝ xD^,) = xc (t).Հետևաբար, (c) և (d) արտահայտությունները հավասարեցնելով, մենք ստանում ենք x կոորդինատի կախվածությունը ժամանակից:

Պատասխան. X - 0,2 մ, որտեղ t-վայրկյանների ընթացքում:

2. Ռեակցիայի սահմանում Ն.Որոշելու համար N=f 2 (t) եկեք կազմենք համակարգի զանգվածի կենտրոնի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումը ուղղահայաց առանցքի վրա պրոյեկցիայի մեջ. ժամը(տես նկ. 17.2):

Այսպիսով, նշելով N=N+N»,մենք ստանում ենք

Օրինատը որոշող բանաձեւի համաձայն y սհամակարգի զանգվածի կենտրոնը, Մու ս = t (y x + t 2 y 2,որտեղ y, = C1-ում,ժամը 2-ին= y Դ = UԱ ~ 1 cos Ф» մենք ստանում ենք

Այս հավասարությունը ժամանակի ընթացքում երկու անգամ տարբերակելը (հաշվի առնելով, որ C1-ումԵվ Ամեծությունները հաստատուն են և, հետևաբար, դրանց ածանցյալները հավասար են զրոյի), գտնում ենք

Այս արտահայտությունը փոխարինելով (e) հավասարմամբ՝ մենք որոշում ենք ցանկալի կախվածությունը Ն-ից տ.

Պատասխան. N- 176,4 + 1,13,

որտեղ f = (i/6) (3/ -1), t- վայրկյանների ընթացքում, N- նյուտոններով։

Խնդիր 17.3.Էլեկտրական շարժիչի քաշը t x հեղույսներով ամրացված հիմքի հորիզոնական մակերեսին (նկ. 17.3): l երկարությամբ անկշիռ ձողը ամրացված է շարժիչի լիսեռի մի ծայրում՝ պտտման առանցքի նկատմամբ ուղիղ անկյան տակ, իսկ ձողի մյուս ծայրին ամրացված է կետային կշիռ: Ա զանգվածային t 2. Լիսեռը հավասարաչափ պտտվում է անկյունային արագությամբ c. Գտեք շարժիչի հորիզոնական ճնշումը պտուտակների վրա: Լուծում. Դիտարկենք մեխանիկական համակարգ, որը բաղկացած է շարժիչից և կետային քաշից Ա, ցանկացած պաշտոնում. Եկեք պատկերենք համակարգի վրա գործող արտաքին ուժերը՝ ձգողականությունը R x, R 2, հիմքի արձագանքը ուղղահայաց ուժի տեսքով Ն և հորիզոնական ուժ Ռ. Եկեք իրականացնենք կոորդինատային առանցք x հորիզոնական.

Հեղույսների վրա շարժիչի հորիզոնական ճնշումը որոշելու համար (և այն թվայինորեն հավասար կլինի ռեակցիային Ռ և ուղղված է վեկտորին հակառակ Ռ ), մենք կկազմենք թեորեմի հավասարումը հորիզոնական x առանցքի վրա պրոյեկցիայի ժամանակ համակարգի իմպուլսի փոփոխության վերաբերյալ.

Դիտարկվող համակարգի համար իր կամայական դիրքում, հաշվի առնելով, որ շարժիչի մարմնի շարժման չափը զրո է, մենք ստանում ենք. Q x = - տ 2 U Ա սոց. Հաշվի առնելով, որ V A = a z/, f = co/ (շարժիչի ռոտացիան միատեսակ է), ստանում ենք Q x - - m 2 co/cos co/. Տարբերակող Q x ժամանակի ընթացքում և փոխարինելով (ա) հավասարությամբ՝ մենք գտնում ենք R- m 2 co 2 /sin co/.

Նկատի ունեցեք, որ հենց այդպիսի ուժերն են ստիպում (տես § 14.3, երբ նրանք գործում են, առաջանում են կառուցվածքների հարկադիր թրթռումներ):

Զորավարժություններ համար ինքնուրույն աշխատանք

• 1. Ի՞նչ է կոչվում կետի և մեխանիկական համակարգի իմպուլս:
• 2. Ինչպե՞ս է փոխվում շրջանագծի շուրջ հավասարաչափ շարժվող կետի իմպուլսը:
• 3. Ի՞նչն է բնութագրում ուժի իմպուլսը:
• 4. Արդյո՞ք համակարգի ներքին ուժերն ազդում են դրա իմպուլսի վրա: Նրա զանգվածի կենտրոնի շարժի՞ վրա։
• 5. Ինչպե՞ս են դրան կիրառվող ուժերի զույգերը ազդում համակարգի զանգվածի կենտրոնի շարժման վրա:
• 6. Ի՞նչ պայմաններում է գտնվում համակարգի զանգվածի կենտրոնը հանգիստ վիճակում: շարժվում է միատեսակ և ուղիղ գծով.

7. Անշարժ նավակի մեջ, որտեղ ջուրը չի հոսում, մեծահասակը նստում է ետնամասում, իսկ երեխան՝ նավակի աղեղի մոտ: Ի՞նչ ուղղությամբ կշարժվի նավը, եթե փոխեն տեղերը:

Ո՞ր դեպքում նավակի շարժման մոդուլը մեծ կլինի. 1) եթե երեխան տեղափոխվի մեծահասակի ետ. 2) եթե մեծահասակը գնում է երեխայի մոտ նավակի աղեղի մոտ: Ինչպիսի՞ն կլինի «նավակ և երկու հոգի» համակարգի զանգվածի կենտրոնի տեղաշարժը այս շարժումների ժամանակ։