Եռանդամի ֆունկցիայի գրաֆիկ. Ինչպե՞ս կառուցել պարաբոլա: Ի՞նչ է պարաբոլան: Ինչպե՞ս են լուծվում քառակուսի հավասարումները: Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկի վերլուծության խնդիրներ

Սահմանվում է $a((x)^(2))+bx+c$ $(a\ne 0) բանաձևով $a, b$ և $c$ թվերը քառակուսի եռանդամի գործակիցներն են. սովորաբար կոչվում է՝ ա - առաջատար, բ - երկրորդ կամ միջին գործակից, գ - ազատ տերմին: y = ax 2 + bx + c ձևի ֆունկցիան կոչվում է քառակուսի ֆունկցիա:

Այս բոլոր պարաբոլները սկզբում ունեն իրենց գագաթը. a > 0-ի համար սա գրաֆիկի ամենացածր կետն է (ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը), իսկ a-ի համար< 0, наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение функции). Ось Oy есть ось симметрии каждой из таких парабол.

Ինչպես երևում է, a > 0-ի դեպքում պարաբոլան ուղղված է դեպի վեր, a-ի համար< 0 - вниз.

Գոյություն ունի պարզ և հարմար գրաֆիկական մեթոդ, որը թույլ է տալիս առանց հաշվարկների կառուցել y = ax 2 պարաբոլայի ցանկացած կետ, եթե հայտնի է պարաբոլայի այլ կետ, բացի գագաթից: Թող M(x 0, y 0) կետը ընկած լինի y = ax 2 պարաբոլայի վրա (նկ. 2): Եթե ​​ցանկանում ենք O և M կետերի միջև կառուցել լրացուցիչ n կետ, ապա աբսցիսային առանցքի ON հատվածը բաժանում ենք n + 1 հավասար մասերի և բաժանման կետերում ուղղահայացներ ենք գծում Ox առանցքի վրա։ NM հատվածը բաժանում ենք նույն թվով հավասար մասերի և ճառագայթներով բաժանման կետերը միացնում կոորդինատների սկզբնակետին։ Պարաբոլայի պահանջվող կետերը գտնվում են նույն թվերով ուղղահայաց և ճառագայթների հատման կետում (նկ. 2-ում բաժանման կետերի թիվը 9 է):

y = ax 2 + bx + c ֆունկցիայի գրաֆիկը y = ax 2 գրաֆիկից տարբերվում է միայն իր դիրքով և կարելի է ստանալ պարզապես գծագրի վրա կորը շարժելով։ Սա հետևում է քառակուսի եռանկյունի ձևով ներկայացված լինելուց

որից հեշտ է եզրակացնել, որ y = ax 2 + bx + c ֆունկցիայի գրաֆիկը y = ax 2 պարաբոլա է, որի գագաթը տեղափոխվում է կետ։

իսկ նրա համաչափության առանցքը մնացել է Oy առանցքին զուգահեռ (նկ. 3): Քառակուսային եռանդամի ստացված արտահայտությունից հեշտությամբ հետևում են նրա բոլոր հիմնական հատկությունները: D = b 2 − 4ac արտահայտությունը կոչվում է 2 + bx + c քառակուսի եռանդամի դիսկրիմինանտ և հարակից քառակուսի հավասարման ax 2 + bx + c = 0: Տարբերիչի նշանը որոշում է, թե արդյոք գրաֆը քառակուսային եռանկյունը հատում է x առանցքը կամ գտնվում է նրանից նույն կողմում: Մասնավորապես, եթե Դ< 0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a >0, ապա պարաբոլան գտնվում է Ox առանցքի վերևում, և եթե ա< 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D >0 քառակուսի եռանդամի գրաֆիկը հատում է x առանցքը երկու x 1 և x 2 կետերում, որոնք ax 2 + bx + c = 0 քառակուսի հավասարման արմատներն են և համապատասխանաբար հավասար են:

D = 0 կետում պարաբոլան դիպչում է Ox առանցքին

Քառակուսային եռանդամի հատկությունները հիմք են հանդիսանում քառակուսի անհավասարությունների լուծման համար։ Սա բացատրենք օրինակով։ Ենթադրենք, որ մենք պետք է գտնենք 3x 2 - 2x - 1 անհավասարության բոլոր լուծումները< 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D >0, ապա համապատասխան քառակուսային հավասարումը 3x 2 − 2x − 1 = 0 ունի երկու տարբեր արմատներ, դրանք որոշվում են ավելի վաղ տրված բանաձեւերով.

x 1 = −1/3 և x 2 = 1:

Քննարկվող քառակուսի եռանկյունում a = 3 > 0, ինչը նշանակում է, որ նրա գրաֆիկի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, իսկ քառակուսի եռյակի արժեքները բացասական են միայն արմատների միջև ընկած ժամանակահատվածում: Այսպիսով, անհավասարության բոլոր լուծումները բավարարում են պայմանը

−1/3 < x < 1.

Տարբեր անհավասարություններ կարող են վերածվել քառակուսային անհավասարությունների՝ նույն փոխարինումներով, որոնցով տարբեր հավասարումներ վերածվում են քառակուսայինի:

Սահմանում

Պարաբոլակոչվում է $y = ax^(2) + bx + c$ քառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկ, որտեղ $a \neq 0$:

$y = x^2$ ֆունկցիայի գրաֆիկ։

$y = x^2$ ֆունկցիայի գրաֆիկը սխեմատիկորեն գծելու համար մենք կգտնենք մի քանի կետեր, որոնք բավարարում են այս հավասարությունը։ Հարմարության համար այս կետերի կոորդինատները գրում ենք աղյուսակի տեսքով.

$y = ax^2$ ֆունկցիայի գրաֆիկ։

Եթե ​​$a > 0$ գործակիցը, ապա $y = ax^2$ գրաֆիկը ստացվում է $y = x^2$ գրաֆիկից կամ ուղղահայաց ձգելով ($a > 1$-ի համար) կամ սեղմելով $x$-ին: առանցք (0 դոլարի դիմաց< a < 1$). Изобразим для примера графики $y = 2x^2$ и $y = \dfrac{x^2}{2}$:

Եթե ​​$a< 0$, то график функции $y = ax^2$ можно получить из графика $y = |a|x^2$, отразив его симметрично относительно оси $x$. Построим графики функций $y = - x^2$, $y = -2x^2$ и $y = - \dfrac{x^2}{2}$:

Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկ.

$y = ax^2 + bx + c$ ֆունկցիան գծագրելու համար հարկավոր է $ax^2 + bx + c$ քառակուսի եռանկյունից մեկուսացնել ամբողջական քառակուսի, այսինքն՝ այն ներկայացնել $a(x - տեսքով: x_0)^2 + y_0$ . $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է համապատասխան $y = ax^2$ գրաֆիկից՝ $x$ առանցքի երկայնքով $x_0$-ով տեղաշարժվելով, իսկ $y_0$-ով: $y$ առանցքի երկայնքով: Արդյունքում, $(0;0)$ կետը կտեղափոխվի $(x_0;y_0)$ կետ:

Սահմանում

Վերևը$y = a(x - x_0)^2 + y_0$ պարաբոլան $(x_0;y_0)$ կոորդինատներով կետն է:

Եկեք կառուցենք պարաբոլա $y = 2x^2 - 4x - 6$: Ընտրելով ամբողջական քառակուսին, մենք ստանում ենք $y = 2(x - 1)^2 - 8$:

Արդյունքը պարաբոլա է՝ իր գագաթով $(1;-8)$ կետում։

$y = ax^2 + bx + c$ քառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է $y$ առանցքը $(0; c)$ կետում, իսկ $x$ առանցքը $(x_(1,2) կետերում: ;0)$, որտեղ $ x_(1,2)$ $ax^2 + bx + c = 0$ քառակուսային հավասարման արմատներն են (և եթե հավասարումը արմատներ չունի, ապա համապատասխան պարաբոլան չի հատում $-ը: x$ առանցք):

Օրինակ, $y = 2x^2 - 4x - 6$ պարաբոլը հատում է առանցքները $(0; -6)$, $(-1; 0)$ և $(3; 0)$ կետերում: