Տարածքի բանաձևըանհրաժեշտ է որոշել գործչի մակերեսը, որը իրական արժեքավոր ֆունկցիա է, որը սահմանված է Էվկլիդեսյան հարթության որոշ դասի պատկերների վրա և բավարարում է 4 պայման.

1. Դրականություն - տարածքը չի կարող զրոյից պակաս լինել;
2. Նորմալացում - կողային միավոր ունեցող քառակուսին ունի 1 տարածք;
3. Համապատասխանություն - համընկնող թվերն ունեն հավասար տարածք;
4. Ավելացում - առանց ընդհանուր ներքին կետերի 2 թվերի միավորման տարածքը հավասար է այս թվերի տարածքների գումարին:

Երկրաչափական պատկերների տարածքի բանաձևեր.

Երկրաչափական պատկեր	Բանաձև	Նկարչություն
Ուռուցիկ քառանկյան հակառակ կողմերի միջնակետերի միջև հեռավորությունները գումարելու արդյունքը հավասար կլինի նրա կիսաշրջագծին:
Շրջանակային հատված. Շրջանակի հատվածի մակերեսը հավասար է նրա աղեղի արտադրյալին և շառավիղի կեսին:
Շրջանակի հատված: ASB հատվածի տարածքը ստանալու համար բավական է հանել AOB եռանկյան մակերեսը AOB հատվածի տարածքից:	S = 1/2 R(s - AC)
Էլիպսի մակերեսը հավասար է էլիպսի հիմնական և փոքր կիսաառանցքների երկարությունների և pi թվի արտադրյալին:
Էլիպս. Էլիպսի տարածքը հաշվարկելու մեկ այլ տարբերակ նրա երկու շառավղով է:
Եռանկյուն. Հիմքի և բարձրության միջով: Շրջանի տարածքի բանաձևը՝ օգտագործելով դրա շառավիղը և տրամագիծը:
Հրապարակ. Նրա կողմից: Քառակուսու մակերեսը հավասար է նրա կողմի երկարության քառակուսուն։
Քառակուսի. Իր անկյունագծերի միջոցով. Քառակուսու մակերեսը հավասար է նրա անկյունագծի երկարության քառակուսու կեսին:
Կանոնավոր բազմանկյուն. Կանոնավոր բազմանկյունի մակերեսը որոշելու համար անհրաժեշտ է այն բաժանել հավասար եռանկյունների, որոնք ընդհանուր գագաթ կունենան ներգծված շրջանագծի կենտրոնում:	S= r p = 1/2 r n a

Եռանկյունը բոլորին ծանոթ կերպար է։ Եվ դա, չնայած դրա ձևերի հարուստ բազմազանությանը: Ուղղանկյուն, հավասարակողմ, սուր, հավասարաչափ, բութ: Նրանցից յուրաքանչյուրն ինչ-որ կերպ տարբերվում է: Բայց յուրաքանչյուրի համար պետք է պարզել եռանկյունու տարածքը:

Բոլոր եռանկյունների համար ընդհանուր բանաձևեր, որոնք օգտագործում են կողմերի երկարությունները կամ բարձրությունները

Դրանցում ընդունված նշանակումները՝ կողմեր՝ a, b, c; բարձրությունները համապատասխան կողմերի վրա a, n in, n հետ.

1. Եռանկյան մակերեսը հաշվարկվում է որպես ½-ի, կողմի և դրանից հանված բարձրության արտադրյալ: S = ½ * a * n a. Մյուս երկու կողմերի բանաձևերը պետք է գրվեն նույն կերպ:

2. Հերոնի բանաձեւը, որում հայտնվում է կիսաշրջագիծը (այն սովորաբար նշվում է p փոքր տառով, ի տարբերություն ամբողջ պարագծի)։ Կիսաշրջագիծը պետք է հաշվարկվի հետևյալ կերպ. գումարեք բոլոր կողմերը և բաժանեք դրանք 2-ի: Կիսաշրջագծի բանաձևը հետևյալն է. Նկարն ունի հետևյալ տեսքը՝ S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)):

3. Եթե դուք չեք ցանկանում օգտագործել կիսաշրջագիծ, ապա օգտակար կլինի բանաձեւը, որը պարունակում է միայն կողմերի երկարությունները՝ S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a. ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Այն մի փոքր ավելի երկար է, քան նախորդը, բայց դա կօգնի, եթե մոռացել եք, թե ինչպես գտնել կիսաշրջագիծը:

Ընդհանուր բանաձևեր, որոնք ներառում են եռանկյան անկյունները

Բանաձևերը կարդալու համար անհրաժեշտ նշումներ՝ α, β, γ - անկյուններ: Նրանք ընկած են համապատասխանաբար a, b, c կողմերում:

1. Ըստ դրա՝ երկու կողմերի և նրանց միջև անկյան սինուսի արտադրյալի կեսը հավասար է եռանկյան մակերեսին։ Այսինքն՝ S = ½ a * b * sin γ: Մյուս երկու դեպքերի բանաձևերը պետք է գրվեն նույն ձևով։

2. Եռանկյան մակերեսը կարելի է հաշվարկել մի կողմից և երեք հայտնի անկյուններից: S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α):

3. Կա նաև մեկ հայտնի կողմ և երկու հարակից անկյուն ունեցող բանաձև: Այն կարծես այսպիսին է՝ S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)):

Վերջին երկու բանաձևերը ամենապարզը չեն: Նրանց հիշելը բավականին դժվար է։

Ընդհանուր բանաձևեր այն իրավիճակների համար, որտեղ հայտնի են ներգծված կամ շրջագծված շրջանագծերի շառավիղները

Լրացուցիչ նշանակումներ՝ r, R - շառավիղներ: Առաջինն օգտագործվում է ներգծված շրջանագծի շառավղով։ Երկրորդը նկարագրվածի համար է։

1. Առաջին բանաձևը, որով հաշվարկվում է եռանկյան մակերեսը, կապված է կիսաշրջագծի հետ: S = r * r. Այն գրելու մեկ այլ եղանակ է. S = ½ r * (a + b + c):

2. Երկրորդ դեպքում անհրաժեշտ կլինի բազմապատկել եռանկյան բոլոր կողմերը և բաժանել դրանք շրջագծված շրջանագծի շառավղով քառապատիկով։ Բառացի արտահայտությամբ այն ունի հետևյալ տեսքը՝ S = (a * b * c) / (4R):

3. Երրորդ իրավիճակը թույլ է տալիս անել առանց կողմերին իմանալու, բայց ձեզ անհրաժեշտ կլինեն բոլոր երեք անկյունների արժեքները: S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Հատուկ դեպք՝ ուղղանկյուն եռանկյուն

Սա ամենապարզ իրավիճակն է, քանի որ պահանջվում է միայն երկու ոտքերի երկարությունը։ Դրանք նշանակվում են լատիներեն a և b տառերով: Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հավասար է դրան ավելացված ուղղանկյան մակերեսի կեսին:

Մաթեմատիկորեն այն ունի հետևյալ տեսքը՝ S = ½ a * b. Հիշելը ամենահեշտն է։ Քանի որ այն կարծես ուղղանկյունի մակերեսի բանաձև է, հայտնվում է միայն կոտորակ, որը ցույց է տալիս կեսը:

Հատուկ դեպք՝ հավասարաչափ եռանկյուն

Քանի որ այն ունի երկու հավասար կողմեր, դրա տարածքի որոշ բանաձևեր որոշ չափով պարզեցված են թվում: Օրինակ, Հերոնի բանաձևը, որը հաշվարկում է հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը, ստանում է հետևյալ ձևը.

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)):

Եթե ​​փոխակերպեք այն, այն ավելի կարճ կդառնա: Այս դեպքում Հերոնի բանաձևը հավասարաչափ եռանկյունու համար գրված է հետևյալ կերպ.

S = ¼ √-ում (4 * a 2 - b 2):

Տարածքի բանաձևը մի փոքր ավելի պարզ է թվում, քան կամայական եռանկյունու դեպքում, եթե հայտնի են կողմերի միջև եղած անկյունը: S = ½ a 2 * sin β.

Հատուկ դեպք՝ հավասարակողմ եռանկյուն

Սովորաբար խնդիրների դեպքում դրա մասին կողմը հայտնի է կամ ինչ-որ կերպ կարելի է պարզել։ Այնուհետև նման եռանկյունու տարածքը գտնելու բանաձևը հետևյալն է.

S = (a 2 √3) / 4.

Տարածքը գտնելու խնդիրներ, եթե եռանկյունը պատկերված է վանդակավոր թղթի վրա

Ամենապարզ իրավիճակն այն է, երբ ուղղանկյուն եռանկյունը գծվում է այնպես, որ նրա ոտքերը համընկնեն թղթի գծերի հետ: Ապա դուք պարզապես պետք է հաշվեք բջիջների քանակը, որոնք տեղավորվում են ոտքերի մեջ: Այնուհետև բազմապատկեք դրանք և բաժանեք երկուսի:

Երբ եռանկյունը սուր է կամ բութ, այն պետք է գծել դեպի ուղղանկյուն: Այնուհետև ստացված գործիչը կունենա 3 եռանկյուն: Մեկը խնդրի մեջ տրվածն է։ Իսկ մյուս երկուսը օժանդակ են ու ուղղանկյուն։ Վերջին երկուսի տարածքները պետք է որոշվեն վերը նկարագրված մեթոդով: Այնուհետև հաշվարկեք ուղղանկյունի մակերեսը և դրանից հանեք օժանդակների համար հաշվարկվածները: Որոշվում է եռանկյունու տարածքը.

Իրավիճակը, երբ եռանկյան կողմերից ոչ մեկը չի համընկնում թղթի գծերի հետ, պարզվում է, որ շատ ավելի բարդ է: Այնուհետև այն պետք է գրվի ուղղանկյունի մեջ, որպեսզի սկզբնական գործչի գագաթները ընկնեն նրա կողքերին: Այս դեպքում կլինեն երեք օժանդակ ուղղանկյուն եռանկյուններ:

Հերոնի բանաձևի օգտագործմամբ խնդրի օրինակ

Վիճակ. Որոշ եռանկյուններ ունի հայտնի կողմեր: Նրանք հավասար են 3, 5 և 6 սմ-ի: Պետք է պարզել դրա տարածքը:

Այժմ դուք կարող եք հաշվարկել եռանկյան մակերեսը վերը նշված բանաձևով: Քառակուսի արմատի տակ չորս թվերի արտադրյալն է՝ 7, 4, 2 և 1։ Այսինքն՝ մակերեսը √(4 * 14) = 2 √(14) է։

Եթե ​​ավելի մեծ ճշգրտություն չի պահանջվում, ապա կարող եք վերցնել 14-ի քառակուսի արմատը: Այն հավասար է 3,74-ի: Այնուհետև մակերեսը կլինի 7.48։

Պատասխանել. S = 2 √14 սմ 2 կամ 7,48 սմ 2:

Ուղղանկյուն եռանկյունու խնդրի օրինակ

Վիճակ. Ուղղանկյուն եռանկյան մեկ ոտքը 31 սմ-ով մեծ է երկրորդից: Դուք պետք է պարզեք դրանց երկարությունը, եթե եռանկյան մակերեսը 180 սմ 2 է:
Լուծում. Մենք ստիպված կլինենք լուծել երկու հավասարումների համակարգ. Առաջինը կապված է տարածքի հետ. Երկրորդը՝ ոտքերի հարաբերակցությամբ, որը տրված է խնդրի մեջ։
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Նախ, «ա»-ի արժեքը պետք է փոխարինվի առաջին հավասարման մեջ: Ստացվում է՝ 180 = ½ (+ 31-ում) * դյույմ։ Կա միայն մեկ անհայտ մեծություն, ուստի այն հեշտ է լուծել: Փակագծերը բացելուց հետո ստացվում է քառակուսի հավասարումը. Եռանկյունը չի կարող բացասական արժեք լինել:

Մնում է հաշվարկել երկրորդ ոտքը. ստացված թվին գումարել 31, Ստացվում է 40: Սրանք այն քանակներն են, որոնք փնտրվում են խնդրի մեջ:

Պատասխանել. Եռանկյան ոտքերը 9 և 40 սմ են։

Եռանկյան տարածքի, կողմի և անկյան միջով կողմ գտնելու խնդիր

Վիճակ. Որոշակի եռանկյունու մակերեսը 60 սմ 2 է։ Անհրաժեշտ է հաշվարկել դրա կողմերից մեկը, եթե երկրորդ կողմը 15 սմ է, իսկ նրանց միջև անկյունը 30º է:

Լուծում. Ընդունված նշումի հիման վրա ցանկալի կողմը «a» է, հայտնի կողմը՝ «b», տրված անկյունը՝ «γ»: Այնուհետև տարածքի բանաձևը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

60 = ½ a * 15 * մեղք 30º: Այստեղ 30 աստիճանի սինուսը 0,5 է։

Փոխակերպումներից հետո «a»-ն պարզվում է, որ հավասար է 60 / (0,5 * 0,5 * 15): Այսինքն՝ 16։

Պատասխանել. Պահանջվող կողմը 16 սմ է։

Խնդիր ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ներգծված քառակուսու մասին

Վիճակ. 24 սմ կողմ ունեցող քառակուսու գագաթը համընկնում է եռանկյան ուղիղ անկյան հետ։ Մյուս երկուսը պառկած են կողքերին: Երրորդը պատկանում է հիպոթենուսին։ Ոտքերից մեկի երկարությունը 42 սմ է: Որքա՞ն է ուղղանկյուն եռանկյունու մակերեսը:

Լուծում. Դիտարկենք երկու ուղղանկյուն եռանկյուն: Առաջինը առաջադրանքի մեջ նշվածն է: Երկրորդը հիմնված է սկզբնական եռանկյունու հայտնի ոտքի վրա։ Նրանք նման են, քանի որ ունեն ընդհանուր անկյուն և կազմված են զուգահեռ ուղիղներով։

Այնուհետև նրանց ոտքերի հարաբերությունները հավասար են։ Փոքր եռանկյան ոտքերը հավասար են 24 սմ (քառակուսու կողմը) և 18 սմ (տրված ոտքը 42 սմ հանած քառակուսու կողմը 24 սմ): Մեծ եռանկյունու համապատասխան ոտքերը 42 սմ և x սմ են, հենց այս «x»-ն է անհրաժեշտ եռանկյունու մակերեսը հաշվարկելու համար:

18/42 = 24 / x, այսինքն, x = 24 * 42 / 18 = 56 (սմ):

Այնուհետև մակերեսը հավասար է 56-ի և 42-ի արտադրյալին, որը բաժանվում է երկուսի, այսինքն՝ 1176 սմ 2։

Պատասխանել. Պահանջվող մակերեսը 1176 սմ 2 է։

Եռանկյունի տարածք - խնդրի լուծման բանաձևեր և օրինակներ

Ստորև ներկայացված են կամայական եռանկյունու տարածքը գտնելու բանաձևերորոնք հարմար են ցանկացած եռանկյունու տարածքը գտնելու համար՝ անկախ նրա հատկություններից, անկյուններից կամ չափերից։ Բանաձևերը ներկայացված են նկարի տեսքով՝ դրանց կիրառման բացատրություններով կամ ճիշտության հիմնավորումներով։ Նաև առանձին նկար ցույց է տալիս բանաձևերում տառային նշանների և գծագրության գրաֆիկական նշանների համապատասխանությունը:

Նշում . Եթե ​​եռանկյունն ունի հատուկ հատկություններ (հավասարաչափ, ուղղանկյուն, հավասարակողմ), կարող եք օգտագործել ստորև տրված բանաձևերը, ինչպես նաև լրացուցիչ հատուկ բանաձևեր, որոնք վավեր են միայն այս հատկություններով եռանկյունների համար.

• «Հավասարակողմ եռանկյան մակերեսի բանաձևեր»

Եռանկյունի տարածքի բանաձևեր

Բանաձևերի բացատրություններ:
ա, բ, գ- այն եռանկյան կողմերի երկարությունները, որի տարածքը մենք ցանկանում ենք գտնել
r- եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը
Ռ- եռանկյան շուրջը շրջագծված շրջանագծի շառավիղը
հ- եռանկյունու բարձրությունը իջեցված դեպի կողմը
էջ- եռանկյան կիսաշրջագիծ, նրա կողմերի գումարի 1/2 (պարագիծ)
α - եռանկյան a կողմին հակառակ անկյուն
β - եռանկյան b կողմին հակառակ անկյուն
γ - եռանկյան c կողմին հակառակ անկյուն
հ ա, հ բ , հ գ- եռանկյան բարձրությունը իջեցված a, b, c կողմերին

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ տրված նշումները համապատասխանում են վերը նշված նկարին, այնպես որ իրական երկրաչափության խնդիր լուծելիս ձեզ համար տեսողականորեն ավելի հեշտ կլինի փոխարինել ճիշտ արժեքները բանաձևի ճիշտ տեղերում:

• Եռանկյան մակերեսն է եռանկյան բարձրության արտադրյալի կեսը և այն կողմի երկարությունը, որով իջեցվում է այս բարձրությունը(Ֆորմուլա 1): Այս բանաձեւի ճիշտությունը կարելի է հասկանալ տրամաբանորեն։ Հիմքին իջեցված բարձրությունը կամայական եռանկյունը կբաժանի երկու ուղղանկյունի: Եթե ​​դրանցից յուրաքանչյուրը կառուցեք b և h չափերով ուղղանկյունի, ապա ակնհայտորեն այս եռանկյունների մակերեսը հավասար կլինի ուղղանկյան տարածքի ուղիղ կեսին (Spr = bh)
• Եռանկյան մակերեսն է նրա երկու կողմերի արտադրյալի կեսը և նրանց միջև անկյան սինուսը(Բանաձև 2) (տե՛ս ստորև բերված այս բանաձևով խնդիր լուծելու օրինակ): Թեև այն տարբերվում է նախորդից, այն հեշտությամբ կարող է փոխակերպվել դրա մեջ: Եթե ​​բարձրությունը B անկյունից իջեցնենք b կողմ, ապա կստացվի, որ a կողմի և γ անկյան սինուսի արտադրյալը, ըստ ուղղանկյուն եռանկյան սինուսի հատկությունների, հավասար է մեր գծած եռանկյան բարձրությանը։ , որը մեզ տալիս է նախորդ բանաձեւը
• Կարելի է գտնել կամայական եռանկյունու տարածքը միջոցով աշխատանքընրա մեջ գրված շրջանագծի շառավիղի կեսը նրա բոլոր կողմերի երկարությունների գումարով(Բանաձև 3), պարզ ասած, անհրաժեշտ է եռանկյան կիսաշրջագիծը բազմապատկել ներգծված շրջանագծի շառավղով (սա ավելի հեշտ է հիշել)
• Կամայական եռանկյունու մակերեսը կարելի է գտնել՝ նրա բոլոր կողմերի արտադրյալը բաժանելով շուրջը շրջագծված շրջանագծի 4 շառավղով (բանաձև 4)
• Բանաձև 5-ը գտնում է եռանկյան մակերեսը նրա կողմերի երկարությունների և կիսաշրջագծի միջով (նրա բոլոր կողմերի գումարի կեսը)
• Հերոնի բանաձեւը(6) նույն բանաձևի ներկայացումն է՝ առանց կիսաշրջագծային հասկացության օգտագործման, միայն կողմերի երկարությունների միջով
• Կամայական եռանկյան մակերեսը հավասար է եռանկյան կողմի քառակուսու և այս կողմին հարող անկյունների սինուսների արտադրյալին, որը բաժանված է այս կողմին հակառակ անկյան կրկնակի սինուսով (Բանաձև 7)
• Կամայական եռանկյունու մակերեսը կարելի է գտնել որպես շրջանակի երկու քառակուսիների արտադրյալ, որոնք շրջապատված են նրա շուրջը յուրաքանչյուր անկյունի սինուսներով: (Ֆորմուլա 8)
• Եթե ​​հայտնի են մի կողմի երկարությունը և երկու հարակից անկյունների արժեքները, ապա եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել որպես այս կողմի քառակուսի բաժանված այս անկյունների կոտանգենսների կրկնակի գումարով (Բանաձև 9)
• Եթե ​​հայտնի է միայն եռանկյան բարձրություններից յուրաքանչյուրի երկարությունը (Բանաձև 10), ապա այդպիսի եռանկյան մակերեսը հակադարձ համեմատական ​​է այդ բարձրությունների երկարություններին, ինչպես Հերոնի բանաձևի համաձայն.
• Formula 11-ը թույլ է տալիս հաշվարկել եռանկյան մակերեսը՝ հիմնված նրա գագաթների կոորդինատների վրա, որոնք նշված են որպես (x;y) արժեքներ յուրաքանչյուր գագաթի համար: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ ստացված արժեքը պետք է ընդունվի մոդուլով, քանի որ առանձին (կամ նույնիսկ բոլոր) գագաթների կոորդինատները կարող են լինել բացասական արժեքների շրջանում:

Նշում. Ստորև բերված են երկրաչափական խնդիրների լուծման օրինակներ՝ եռանկյան մակերեսը գտնելու համար: Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է լուծել երկրաչափության խնդիր, որը նման չէ այստեղ, գրեք այդ մասին ֆորումում: Լուծումներում «քառակուսի արմատ» նշանի փոխարեն կարող է օգտագործվել sqrt() ֆունկցիան, որում sqrt-ը քառակուսի արմատի խորհրդանիշն է, իսկ radicand արտահայտությունը նշվում է փակագծերում։.Երբեմն պարզ արմատական ​​արտահայտությունների համար խորհրդանիշը կարող է օգտագործվել √

Առաջադրանք. Գտե՛ք տրված երկու կողմերի տարածքը և նրանց միջև եղած անկյունը

Եռանկյան կողմերը 5 և 6 սմ են: Նրանց միջև անկյունը 60 աստիճան է: Գտեք եռանկյան մակերեսը.

Լուծում.

Այս խնդիրը լուծելու համար դասի տեսական մասից օգտագործում ենք թիվ երկու բանաձևը։
Եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել երկու կողմերի երկարությունների և նրանց միջև անկյան սինուսի միջով և հավասար կլինի.
S=1/2 ab sin γ

Քանի որ մենք ունենք լուծման համար անհրաժեշտ բոլոր տվյալները (ըստ բանաձևի), մենք կարող ենք միայն արժեքները փոխարինել խնդրի պայմաններից բանաձևով.
S = 1/2 * 5 * 6 * մեղք 60

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների աղյուսակում մենք կգտնենք և կփոխարինենք սինուսի 60 աստիճանի արժեքը արտահայտության մեջ: Այն հավասար կլինի երեք անգամ երկուսի արմատին։
S = 15 √3 / 2

Պատասխանել 7,5 √3 (կախված ուսուցչի պահանջներից, հավանաբար կարող եք թողնել 15 √3/2)

Առաջադրանք. Գտե՛ք հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը

Գտե՛ք 3 սմ կողմ ունեցող հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը:

Լուծում.

Եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել Հերոնի բանաձևով.

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Քանի որ a = b = c, հավասարակողմ եռանկյան մակերեսի բանաձևը ստանում է ձևը.

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Պատասխանել: 9 √3 / 4.

Առաջադրանք. Կողմերի երկարությունը փոխելիս տարածքի փոփոխություն

Քանի՞ անգամ կավելանա եռանկյան մակերեսը, եթե կողմերը մեծացվեն 4 անգամ:

Լուծում.

Քանի որ եռանկյան կողմերի չափերը մեզ անհայտ են, խնդիրը լուծելու համար կենթադրենք, որ կողմերի երկարությունները համապատասխանաբար հավասար են կամայական a, b, c թվերին։ Այնուհետև խնդրի հարցին պատասխանելու համար կգտնենք տվյալ եռանկյան մակերեսը, այնուհետև կգտնենք այն եռանկյան մակերեսը, որի կողմերը չորս անգամ մեծ են։ Այս եռանկյունների մակերեսների հարաբերակցությունը մեզ կտա խնդրի պատասխանը։

Ստորև ներկայացնում ենք խնդրի լուծման քայլ առ քայլ տեքստային բացատրությունը։ Սակայն հենց վերջում այս նույն լուծումը ներկայացված է ավելի հարմար գրաֆիկական տեսքով։ Ցանկացողները կարող են անմիջապես իջնել լուծումները։

Լուծելու համար մենք օգտագործում ենք Հերոնի բանաձևը (տե՛ս վերևում դասի տեսական մասում): Այն կարծես այսպիսին է.

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(տես ստորև նկարի առաջին տողը)

Կամային եռանկյան կողմերի երկարությունները որոշվում են a, b, c փոփոխականներով:
Եթե ​​կողմերը մեծացվեն 4 անգամ, ապա նոր եռանկյան c մակերեսը կլինի.

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(տես ստորև նկարի երկրորդ տողը)

Ինչպես տեսնում եք, 4-ը ընդհանուր գործոն է, որը կարելի է հանել փակագծերից բոլոր չորս արտահայտություններից՝ համաձայն մաթեմատիկայի ընդհանուր կանոնների։
Հետո

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - նկարի երրորդ տողում
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - չորրորդ տող

256 թվի քառակուսի արմատը հիանալի կերպով արդյունահանված է, ուստի եկեք այն հանենք արմատի տակից
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(տես ստորև նկարի հինգերորդ տողը)

Խնդրում տրված հարցին պատասխանելու համար մենք պարզապես պետք է ստացված եռանկյունու տարածքը բաժանենք սկզբնականի մակերեսով:
Եկեք որոշենք մակերեսների հարաբերակցությունը՝ արտահայտությունները միմյանց վրա բաժանելով և ստացված կոտորակը փոքրացնելով։

Երբեմն կյանքում լինում են իրավիճակներ, երբ ստիպված ես խորամուխ լինել քո հիշողության մեջ՝ փնտրելով վաղուց մոռացված դպրոցական գիտելիքները: Օրինակ, դուք պետք է որոշեք եռանկյունաձև հողամասի տարածքը, կամ եկել է բնակարանի կամ առանձնատան մեկ այլ վերանորոգման ժամանակը, և դուք պետք է հաշվարկեք, թե որքան նյութ կպահանջվի մակերեսի համար: եռանկյունաձև ձև: Կար ժամանակ, երբ դուք կարող էիք նման խնդիր լուծել մի քանի րոպեում, բայց հիմա դուք հուսահատ փորձում եք հիշել, թե ինչպես կարելի է որոշել եռանկյունու մակերեսը:

Մի անհանգստացեք դրա մասին: Ի վերջո, միանգամայն նորմալ է, երբ մարդու ուղեղը որոշում է վաղուց չօգտագործված գիտելիքները փոխանցել ինչ-որ մի հեռավոր անկյուն, որտեղից երբեմն այնքան էլ հեշտ չէ այն քաղել։ Որպեսզի նման խնդիր լուծելու համար ստիպված չլինեք պայքարել մոռացված դպրոցական գիտելիքների որոնման հետ, այս հոդվածը պարունակում է տարբեր մեթոդներ, որոնք հեշտացնում են եռանկյունու անհրաժեշտ տարածքը գտնելը:

Հայտնի է, որ եռանկյունը բազմանկյունի տեսակ է, որը սահմանափակված է կողմերի նվազագույն հնարավոր քանակով։ Սկզբունքորեն, ցանկացած բազմանկյուն կարելի է բաժանել մի քանի եռանկյունների՝ իր գագաթները միացնելով հատվածների հետ, որոնք չեն հատում նրա կողմերը։ Հետևաբար, իմանալով եռանկյունին, կարող եք հաշվարկել գրեթե ցանկացած գործչի տարածքը:

Կյանքում առաջացող բոլոր հնարավոր եռանկյունների շարքում կարելի է առանձնացնել հետևյալ առանձնահատուկ տեսակները՝ և ուղղանկյուն:

Եռանկյան մակերեսը հաշվարկելու ամենահեշտ ձևն այն է, երբ նրա անկյուններից մեկը ուղիղ է, այսինքն՝ ուղղանկյուն եռանկյունու դեպքում: Հեշտ է տեսնել, որ այն կիսով չափ ուղղանկյուն է։ Հետեւաբար, նրա մակերեսը հավասար է կողմերի արտադրյալի կեսին, որոնք միմյանց հետ ուղիղ անկյուն են կազմում։

Եթե ​​գիտենք նրա գագաթներից մեկից հակառակ կողմ իջեցված եռանկյան բարձրությունը և այս կողմի երկարությունը, որը կոչվում է հիմք, ապա մակերեսը հաշվարկվում է որպես բարձրության և հիմքի արտադրյալի կեսը։ Սա գրված է հետևյալ բանաձևով.

S = 1/2*b*h, որում

S-ը եռանկյունու պահանջվող տարածքն է.

b, h - համապատասխանաբար, եռանկյան բարձրությունը և հիմքը:

Այնքան հեշտ է հաշվարկել հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը, քանի որ բարձրությունը կկիսվի հակառակ կողմը և կարելի է հեշտությամբ չափել: Եթե ​​տարածքը որոշված ​​է, ապա հարմար է որպես բարձրություն վերցնել ուղիղ անկյուն կազմող կողմերից մեկի երկարությունը։

Այս ամենն իհարկե լավ է, բայց ինչպե՞ս որոշել՝ եռանկյան անկյուններից մեկն ուղիղ է, թե ոչ։ Եթե ​​մեր գործչի չափը փոքր է, ապա կարող ենք օգտագործել շինարարական անկյուն, նկարչական եռանկյունի, բացիկ կամ ուղղանկյուն ձևով այլ առարկա։

Բայց ի՞նչ, եթե մենք ունենանք եռանկյունաձև հողակտոր: Այս դեպքում գործեք հետևյալ կերպ. ենթադրյալ ուղիղ անկյան վերևից մի կողմից հաշվեք 3-ի բազմապատիկ հեռավորությունը (30 սմ, 90 սմ, 3 մ), իսկ մյուս կողմից չափեք նույն 4-ի բազմապատիկ հեռավորությունը: համամասնությունը (40 սմ, 160 սմ, 4 մ): Այժմ դուք պետք է չափեք հեռավորությունը այս երկու հատվածների վերջնակետերի միջև: Եթե ​​արդյունքը 5-ի բազմապատիկ է (50 սմ, 250 սմ, 5 մ), ապա կարող ենք ասել, որ անկյունը ճիշտ է։

Եթե ​​մեր գործչի երեք կողմերից յուրաքանչյուրի երկարությունը հայտնի է, ապա եռանկյան մակերեսը կարելի է որոշել Հերոնի բանաձևով: Որպեսզի այն ունենա ավելի պարզ ձև, օգտագործվում է նոր արժեք, որը կոչվում է կիսաշրջագիծ։ Սա մեր եռանկյան բոլոր կողմերի գումարն է՝ կիսով չափ բաժանված: Կիսաշրջագիծը հաշվարկելուց հետո կարող եք սկսել տարածքը որոշել՝ օգտագործելով բանաձևը.

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), որտեղ

sqrt - քառակուսի արմատ;

p - կիսաշրջագծային արժեք (p = (a + b + c) / 2);

a, b, c - եռանկյան եզրեր (կողմեր):

Բայց ի՞նչ անել, եթե եռանկյունն ունի անկանոն ձև: Այստեղ երկու հնարավոր ճանապարհ կա. Դրանցից առաջինն այն է, որ փորձենք նման պատկերը բաժանել երկու ուղղանկյուն եռանկյունների, որոնց մակերեսների գումարը հաշվարկվում է առանձին, ապա գումարվում։ Կամ, եթե երկու կողմերի միջև անկյունը և այս կողմերի չափը հայտնի են, ապա կիրառեք բանաձևը.

S = 0,5 * ab * sinC, որտեղ

a,b - եռանկյունու կողմերը;

c-ն այս կողմերի միջև անկյան չափն է:

Վերջին դեպքը գործնականում հազվադեպ է, բայց, այնուամենայնիվ, կյանքում ամեն ինչ հնարավոր է, ուստի վերը նշված բանաձեւն ավելորդ չի լինի։ Հաջողություն ձեր հաշվարկներում:

Տարածքի հայեցակարգը

Ցանկացած երկրաչափական գործչի, մասնավորապես՝ եռանկյունու տարածքի հայեցակարգը կապված կլինի այնպիսի գործչի հետ, ինչպիսին է քառակուսին: Ցանկացած երկրաչափական պատկերի մակերեսի միավորի համար կվերցնենք քառակուսու մակերեսը, որի կողմը հավասար է մեկի: Ամբողջականության համար հիշենք երկու հիմնական հատկություն երկրաչափական պատկերների տարածքների հայեցակարգի համար:

Սեփականություն 1:Եթե ​​երկրաչափական պատկերները հավասար են, ապա դրանց մակերեսները նույնպես հավասար են:

Սեփականություն 2:Ցանկացած գործիչ կարելի է բաժանել մի քանի թվերի. Ավելին, սկզբնական գործչի մակերեսը հավասար է նրա բոլոր բաղկացուցիչ թվերի մակերեսների գումարին։

Դիտարկենք մի օրինակ։

Օրինակ 1

Ակնհայտ է, որ եռանկյան կողմերից մեկը ուղղանկյան անկյունագիծ է, որի մի կողմն ունի $5$ երկարություն (քանի որ կան $5$ բջիջներ), իսկ մյուսը $6$ (քանի որ կան $6$ բջիջներ)։ Այսպիսով, այս եռանկյան մակերեսը հավասար կլինի նման ուղղանկյան կեսին: Ուղղանկյան մակերեսը կազմում է

Այնուհետև եռանկյան մակերեսը հավասար է

Պատասխան՝ $15$։

Հաջորդը, մենք կքննարկենք եռանկյունների տարածքները գտնելու մի քանի եղանակներ, մասնավորապես, օգտագործելով բարձրությունը և հիմքը, օգտագործելով Հերոնի բանաձևը և հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը:

Ինչպես գտնել եռանկյան մակերեսը՝ օգտագործելով նրա բարձրությունը և հիմքը

Թեորեմ 1

Եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել որպես կողմի երկարության և այդ կողմի բարձրության արտադրյալի կեսը:

Մաթեմատիկորեն դա այսպիսի տեսք ունի

$S=\frac(1)(2)αh$

որտեղ $a$-ը կողմի երկարությունն է, $h$-ը դեպի այն ձգվող բարձրությունն է:

Ապացույց.

Դիտարկենք $ABC$ եռանկյուն, որում $AC=α$: Այս կողմում գծված է $BH$ բարձրությունը, որը հավասար է $h$-ի։ Եկեք այն կառուցենք մինչև $AXYC$ քառակուսի, ինչպես նկար 2-ում:

$AXBH$ ուղղանկյան մակերեսը $h\cdot AH$ է, իսկ $HBYC$ ուղղանկյան մակերեսը $h\cdot HC$ է: Հետո

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Հետևաբար, եռանկյան պահանջվող մակերեսը, ըստ 2 հատկության, հավասար է

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac (1) (2) αh$

Թեորեմն ապացուցված է.

Օրինակ 2

Ստորև բերված նկարում գտե՛ք եռանկյան մակերեսը, եթե բջիջն ունի մեկին հավասար տարածք

Այս եռանկյունու հիմքը հավասար է $9$-ի (քանի որ $9$-ը $9$ քառակուսի է): Բարձրությունը նույնպես $9$ է։ Այնուհետև թեորեմ 1-ով մենք ստանում ենք

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Պատասխան՝ 40,5 դոլար:

Հերոնի բանաձեւը

Թեորեմ 2

Եթե ​​մեզ տրված են $α$, $β$ և $γ$ եռանկյան երեք կողմերը, ապա դրա մակերեսը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ.

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

այստեղ $ρ$ նշանակում է այս եռանկյան կիսաշրջագիծ։

Ապացույց.

Դիտարկենք հետևյալ պատկերը.

Պյութագորասի թեորեմով $ABH$ եռանկյունից ստանում ենք

$CBH$ եռանկյունից, ըստ Պյութագորասի թեորեմի, ունենք

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Այս երկու հարաբերություններից մենք ստանում ենք հավասարություն

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((a^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-a^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-ա)(գ+β+ա))(4β^2)$

Քանի որ $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, ապա $α+β+γ=2ρ$, ինչը նշանակում է.

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2)$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Թեորեմ 1-ով մենք ստանում ենք

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$