Ի՞նչ հատկություններ ունի զուգահեռագիծը: «Զուգահեռագիծը և դրա հատկությունները» հետազոտական ​​նախագիծ.

Առաջադրանք 4.

4√6 երկարությամբ զուգահեռագծի անկյունագծերից մեկը հիմքի հետ կազմում է 60° անկյուն, իսկ երկրորդը նույն հիմքով կազմում է 45° անկյուն։ Գտեք երկրորդ անկյունագիծը:

Լուծում.

1. AO = 2√6:

2. Սինուսների թեորեմը կիրառում ենք AOD եռանկյան վրա:

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o:

ОД = (2√6sin 60 о) / մեղք 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6:

Պատասխան՝ 12.

Առաջադրանք 5.

5√2 և 7√2 կողմեր ​​ունեցող զուգահեռագծի համար անկյունագծերի միջև փոքր անկյունը հավասար է զուգահեռագծի փոքր անկյան: Գտե՛ք շեղանկյունների երկարությունների գումարը:

Լուծում.

Թող d 1, d 2 լինեն զուգահեռագծի անկյունագծերը, իսկ անկյունագծերի և զուգահեռագծի փոքր անկյան միջև ընկած անկյունը հավասար է φ-ի:

1. Հաշվենք երկու տարբեր
ուղիները իր տարածքը.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Մենք ստանում ենք հավասարություն 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f կամ

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2;

2. Օգտագործելով զուգահեռագծի կողմերի և անկյունագծերի հարաբերությունները՝ գրում ենք հավասարությունը

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2:

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = դ 1 2 + դ 2 2:

d 1 2 + d 2 2 = 296:

3. Եկեք ստեղծենք համակարգ.

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Համակարգի երկրորդ հավասարումը բազմապատկենք 2-ով և ավելացնենք առաջինին։

Մենք ստանում ենք (d 1 + d 2) 2 = 576: Այսպիսով, Id 1 + d 2 I = 24:

Քանի որ d 1, d 2-ը զուգահեռագծի անկյունագծերի երկարություններն են, ապա d 1 + d 2 = 24:

Պատասխան՝ 24։

Առաջադրանք 6.

Զուգահեռագծի կողմերը 4 և 6 են։ Անկյունագծերի միջև սուր անկյունը 45 աստիճան է։ Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը:

Լուծում.

1. AOB եռանկյունից, օգտագործելով կոսինուսի թեորեմը, գրում ենք զուգահեռագծի կողմի և անկյունագծերի հարաբերությունները։

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16:

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64:

2. Նմանապես մենք գրում ենք AOD եռանկյան հարաբերությունը:

Հաշվի առնենք դա<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Մենք ստանում ենք d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144 հավասարումը:

3. Մենք ունենք համակարգ
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Առաջինը հանելով երկրորդ հավասարումից՝ ստանում ենք 2d 1 · d 2 √2 = 80 կամ.

դ 1 դ 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10:

Նշում:Այս և նախորդ հարցում համակարգն ամբողջությամբ լուծելու կարիք չկա՝ ակնկալելով, որ այս հարցում տարածքը հաշվարկելու համար մեզ անհրաժեշտ է անկյունագծերի արտադրյալը։

Պատասխան՝ 10.

Առաջադրանք 7.

Զուգահեռագծի մակերեսը 96 է, իսկ կողմերը՝ 8 և 15։ Գտե՛ք ավելի փոքր անկյունագծի քառակուսին։

Լուծում.

1. S ABCD = AB · AD · sin VAD. Բանաձևում կատարենք փոխարինում.

Մենք ստանում ենք 96 = 8 · 15 · sin VAD: Հետևաբար մեղքը VAD = 4/5:

2. Եկեք գտնենք cos VAD-ը: մեղք 2 VAD + cos 2 VAD = 1:

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25:

Ըստ խնդրի պայմանների՝ մենք գտնում ենք ավելի փոքր շեղանկյունի երկարությունը։ ՎԴ անկյունագիծը ավելի փոքր կլինի, եթե ВАD անկյունը սուր է: Այնուհետև cos VAD = 3/5:

3. ABD եռանկյունից, օգտագործելով կոսինուսի թեորեմը, գտնում ենք BD անկյունագծի քառակուսին:

ВД 2 = АВ 2 + АД 2 – 2 · АВ · ВД · cos VAD.

ВД 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145:

Պատասխան՝ 145։

Դեռ ունե՞ք հարցեր: Չգիտե՞ք ինչպես լուծել երկրաչափության խնդիրը:
Կրկնուսույցից օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։
Առաջին դասն անվճար է։

կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին:

Ինչպես էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ կետը և ուղիղ գիծը հարթությունների տեսության հիմնական տարրերն են, այնպես էլ զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյունների առանցքային պատկերներից է։ Դրանից, ինչպես գնդակից թելերը, հոսում են «ուղղանկյուն», «քառակուսի», «ռոմբ» և այլ երկրաչափական մեծություններ հասկացությունները։

հետ շփման մեջ

Զուգահեռագծի սահմանում

ուռուցիկ քառանկյուն,կազմված ուղիղ հատվածներից, որոնց յուրաքանչյուր զույգ զուգահեռ է, երկրաչափության մեջ հայտնի է որպես զուգահեռագիծ։

Ինչ տեսք ունի դասական զուգահեռագիծը, պատկերված է ABCD քառանկյունով: Կողմերը կոչվում են հիմքեր (AB, BC, CD և AD), ցանկացած գագաթից այս գագաթին հակառակ կողմին գծված ուղղահայացը կոչվում է բարձրություն (BE և BF), AC և BD ուղիղները կոչվում են անկյունագծեր:

Ուշադրություն.Քառակուսին, ռոմբը և ուղղանկյունը զուգահեռագծի հատուկ դեպքեր են:

Կողմերն ու անկյունները՝ հարաբերությունների առանձնահատկությունները

Հիմնական հատկությունները, մեծ հաշվով, կանխորոշված ​​է հենց նշանակմամբ, դրանք ապացուցված են թեորեմով։ Այս բնութագրերը հետևյալն են.

1. Հակառակ կողմերը զույգերով նույնական են։
2. Իրար հակառակ անկյունները զույգերով հավասար են։

Ապացույց. Դիտարկենք ∆ABC և ∆ADC, որոնք ստացվում են ABCD քառանկյունը AC ուղիղ գծի հետ բաժանելով: ∠BCA=∠CAD և ∠BAC=∠ACD, քանի որ AC-ը նրանց համար սովորական է (համապատասխանաբար BC||AD և AB||CD-ի ուղղահայաց անկյունները): Այստեղից բխում է՝ ∆ABC = ∆ADC (եռանկյունների հավասարության երկրորդ նշանը)։

∆ABC-ում AB և BC հատվածները զույգերով համապատասխանում են ∆ADC-ի CD և AD տողերին, ինչը նշանակում է, որ դրանք նույնական են՝ AB = CD, BC = AD: Այսպիսով, ∠B-ն համապատասխանում է ∠D-ին և դրանք հավասար են: Քանի որ ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, որոնք նույնպես զույգերով նույնական են, ապա ∠A = ∠C: Սեփականությունն ապացուցված է։

Ֆիգուրի անկյունագծերի բնութագրերը

Հիմնական առանձնահատկությունըզուգահեռագծի այս ուղիղներից. հատման կետը դրանք կիսում է կիսով չափ:

Ապացույց. Այսինքն՝ լինի ABCD նկարի AC և BD անկյունագծերի հատման կետը: Նրանք կազմում են երկու համաչափ եռանկյունիներ՝ ∆ABE և ∆CDE:

AB=CD, քանի որ դրանք հակադիր են: Ըստ տողերի և սեկանտի՝ ∠ABE = ∠CDE և ∠BAE = ∠DCE:

Համաձայն հավասարության երկրորդ չափանիշի՝ ∆ABE = ∆CDE։ Սա նշանակում է, որ ∆ABE և ∆CDE տարրերը՝ AE = CE, BE = DE և միևնույն ժամանակ AC և BD-ի համամասնական մասեր են։ Սեփականությունն ապացուցված է։

Հարակից անկյունների առանձնահատկությունները

Հարակից կողմերն ունեն 180°-ի հավասար անկյունների գումար, քանի որ դրանք ընկած են զուգահեռ գծերի և լայնակի միևնույն կողմում: ABCD քառանկյունի համար.

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Բիսեկտորի հատկությունները.

1. , իջեցված մի կողմից, ուղղահայաց են;
2. հակառակ գագաթներն ունեն զուգահեռ կիսիչներ;
3. կիսաչափ գծելով ստացված եռանկյունը հավասարաչափ կլինի:

Զուգահեռագծի բնորոշ հատկանիշների որոշումը թեորեմի միջոցով

Այս գործչի առանձնահատկությունները բխում են նրա հիմնական թեորեմից, որտեղ ասվում է հետևյալը. քառանկյունը համարվում է զուգահեռագիծայն դեպքում, երբ նրա անկյունագծերը հատվում են, և այս կետը դրանք բաժանում է հավասար հատվածների:

Ապացույց. թող ABCD քառանկյան AC և BD ուղիղները հատվեն, այսինքն. Քանի որ ∠AED = ∠BEC, և AE+CE=AC BE+DE=BD, ապա ∆AED = ∆BEC (եռանկյունների հավասարության առաջին չափանիշով): Այսինքն՝ ∠EAD = ∠ԵԿԲ: Դրանք նաև AC հատվածի ներքին խաչաձև անկյուններն են AD և BC գծերի համար: Այսպիսով, զուգահեռության սահմանմամբ - AD || Ք.ա. Ստացված է նաև BC և CD տողերի նմանատիպ հատկությունը։ Թեորեմն ապացուցված է.

Նկարի մակերեսի հաշվարկ

Այս գործչի տարածքը հայտնաբերվել է մի քանի մեթոդներովամենապարզներից մեկը՝ բազմապատկելով այն բարձրությունը և հիմքը, որին այն գծված է:

Ապացույց. B և C գագաթներից նկարեք BE և CF ուղղահայացները: ∆ABE և ∆DCF հավասար են, քանի որ AB = CD և BE = CF: ABCD-ն իր չափերով հավասար է EBCF ուղղանկյունին, քանի որ դրանք բաղկացած են համաչափ թվերից՝ S ABE և S EBCD, ինչպես նաև S DCF և S EBCD: Այստեղից հետևում է, որ այս երկրաչափական գործչի մակերեսը նույնն է, ինչ ուղղանկյունը.

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD:

Զուգահեռագծի մակերեսի ընդհանուր բանաձևը որոշելու համար եկեք բարձրությունը նշանակենք որպես hb, և կողք - բ. Համապատասխանաբար.

Տարածք գտնելու այլ եղանակներ

Տարածքի հաշվարկներ զուգահեռագծի և անկյան կողմերի միջով, որը նրանք ձևավորում են, երկրորդ հայտնի մեթոդն է։

,

Spr-ma - տարածք;

a և b-ն նրա կողմերն են

α-ն անկյունն է a և b հատվածների միջև:

Այս մեթոդը գործնականում հիմնված է առաջինի վրա, բայց այն դեպքում, երբ այն անհայտ է։ միշտ կտրում է ուղղանկյուն եռանկյունը, որի պարամետրերը հայտնաբերվում են եռանկյունաչափական նույնականությամբ, այսինքն. Փոխակերպելով հարաբերությունը, մենք ստանում ենք. Առաջին մեթոդի հավասարման մեջ մենք բարձրությունը փոխարինում ենք այս արտադրյալով և ստանում այս բանաձևի վավերականության ապացույց։

Զուգահեռագծի և անկյան անկյունագծերի միջով,որը նրանք ստեղծում են, երբ հատվում են, կարող ես գտնել նաև տարածքը:

Ապացույց. AC-ը և BD-ն հատվում են՝ ձևավորելով չորս եռանկյուններ՝ ABE, BEC, CDE և AED: Դրանց գումարը հավասար է այս քառանկյան մակերեսին։

Այս ∆ներից յուրաքանչյուրի մակերեսը կարելի է գտնել արտահայտությամբ, որտեղ a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB: Քանի որ , հաշվարկները օգտագործում են մեկ սինուսային արժեք: Այն է ։ Քանի որ AE+CE=AC= d 1 և BE+DE=BD= d 2, տարածքի բանաձևը կրճատվում է հետևյալի.

.

Կիրառում վեկտորային հանրահաշիվում

Այս քառանկյան բաղկացուցիչ մասերի հատկանիշները կիրառություն են գտել վեկտորային հանրահաշիվում, այն է՝ երկու վեկտորների գումարում։ Զուգահեռագծի կանոնը նշում է, որ եթե տրված են վեկտորներԵվՈչհամագիծ են, ապա դրանց գումարը հավասար կլինի այս թվի անկյունագծին, որի հիմքերը համապատասխանում են այս վեկտորներին։

Ապացույց՝ կամայականորեն ընտրված սկզբից, այսինքն. - կառուցել վեկտորներ և. Այնուհետև մենք կառուցում ենք OASV զուգահեռագիծ, որտեղ OA և OB հատվածները կողմեր ​​են: Այսպիսով, ՕՀ-ն ընկած է վեկտորի կամ գումարի վրա:

Զուգահեռագծի պարամետրերի հաշվարկման բանաձևեր

Ինքնությունը տրվում է հետևյալ պայմաններով.

1. a և b, α - կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը.
2. d 1 և d 2, γ - անկյունագծեր և դրանց հատման կետում;
3. h a և h b - բարձրություններ, որոնք իջեցվել են a և b կողմերին;

Պարամետր	Բանաձև
Գտնելով կողմերը
անկյունագծերի և նրանց միջև անկյան կոսինուսի երկայնքով
անկյունագծերի և կողմերի երկայնքով
բարձրության և հակառակ գագաթի միջոցով
Գտեք շեղանկյունների երկարությունը
կողմերի վրա և դրանց միջև եղած գագաթի չափը

Զուգահեռագիծը այն քառանկյունն է, որի հակառակ կողմերը զույգերով զուգահեռ են: Հետևյալ նկարը ցույց է տալիս ABCD զուգահեռագիծը: Այն ունի AB կողմը զուգահեռ CD կողքին և BC կողմը AD կողմին զուգահեռ:

Ինչպես կռահեցիք, զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյուն է: Դիտարկենք զուգահեռագծի հիմնական հատկությունները։

Զուգահեռագծի հատկությունները

1. Զուգահեռագրում հակառակ անկյուններն ու հակառակ կողմերը հավասար են: Եկեք ապացուցենք այս հատկությունը՝ դիտարկենք հետևյալ նկարում ներկայացված զուգահեռագիծը։

Diagonal BD-ն այն բաժանում է երկու հավասար եռանկյունների՝ ABD և CBD: Նրանք հավասար են BD կողքի և դրան հարող երկու անկյունների երկայնքով, քանի որ անկյունները խաչաձև ընկած են BC և AD և AB և CD, համապատասխանաբար, զուգահեռ ուղիղների BD հատվածում: Հետեւաբար AB = CD եւ
BC = մ.թ.ա. Իսկ 1, 2, 3 և 4 անկյունների հավասարությունից հետևում է, որ A անկյուն = անկյուն1 + անկյուն3 = անկյուն2 + անկյուն4 = անկյուն C:

2. Զուգահեռագծի անկյունագծերը կիսով չափ բաժանվում են հատման կետով: Թող O կետը լինի ABCD զուգահեռագծի AC և BD անկյունագծերի հատման կետը:

Այնուհետև AOB եռանկյունը և COD եռանկյունը հավասար են միմյանց կողքի երկայնքով և հարակից երկու անկյուններով: (AB = CD, քանի որ դրանք զուգահեռագծի հակառակ կողմերն են: Իսկ անկյունը 1 = անկյուն2 և անկյուն 3 = անկյուն4 նման են խաչաձև անկյունների, երբ AB և CD ուղիղները հատվում են համապատասխանաբար AC և BD հատվածների հետ:) Սրանից հետևում է, որ AO = OC: և OB = OD, որոնք և պետք է ապացուցվեին:

Բոլոր հիմնական հատկությունները պատկերված են հետևյալ երեք նկարներում: