Il valore di una frazione algebrica è una variabile. Le principali proprietà di una frazione algebrica: formulazione, dimostrazione, esempi di applicazione

Ma a quel tempo lo formulammo in una forma “semplificata”, comoda e sufficiente per lavorare con le frazioni ordinarie. In questo articolo esamineremo la proprietà di base delle frazioni applicata alle frazioni algebriche (ovvero, frazioni il cui numeratore e denominatore sono polinomi; in alcuni libri di testo di algebra tali frazioni sono chiamate frazioni razionali anziché algebriche). Per prima cosa formuliamo proprietà principale di una frazione algebrica, lo giustificheremo e successivamente elencheremo le principali aree della sua applicazione.

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Formulazione e motivazione

Per cominciare, ricordiamo come è stata formulata la proprietà fondamentale della frazione per le frazioni ordinarie: se sia il numeratore che il denominatore di una frazione ordinaria vengono moltiplicati o divisi per un numero naturale, il valore della frazione non cambierà. Questa affermazione corrisponde alle uguaglianze e (che sono valide anche con parti riorganizzate nella forma e ), dove a, b e m sono alcuni.

In effetti, non è necessario parlare di divisione del numeratore e del denominatore per un numero: questo caso è coperto dall'uguaglianza della forma . Ad esempio, l'uguaglianza può essere giustificata attraverso la divisione utilizzando l'uguaglianza come , ma può anche essere giustificato sulla base dell'uguaglianza . Pertanto, inoltre, assoceremo la proprietà principale della frazione all'uguaglianza (e) e non ci soffermeremo sull'uguaglianza (e).

Ora mostreremo che la proprietà principale di una frazione si applica anche alle frazioni il cui numeratore e denominatore sono . Per fare ciò, dimostriamo che l'uguaglianza scritta è vera non solo per i numeri naturali, ma anche per qualsiasi numero reale. In altre parole, dimostreremo che l'uguaglianza è vera per tutti i numeri reali a, b e m, e b e m sono diversi da zero (altrimenti incontreremo la divisione per zero).

Sia la frazione a/b una rappresentazione del numero z, cioè . Dimostriamo che la frazione corrisponde anche al numero z, cioè dimostriamo che . Ciò dimostrerà l’uguaglianza.

Vale la pena notare che se una frazione algebrica ha coefficienti frazionari, moltiplicare il suo numeratore e denominatore per un certo numero ci consente di passare a coefficienti interi e quindi di semplificarne la forma. Per esempio, . E le regole per cambiare i segni dei membri di una frazione algebrica si basano sulla moltiplicazione del numeratore e del denominatore per meno uno.

La seconda applicazione più importante della proprietà fondamentale delle frazioni è la riduzione delle frazioni algebriche. Nel caso generale, la riduzione viene effettuata in due fasi: prima vengono fattorizzati il ​​numeratore e il denominatore, il che consente di trovare un fattore comune m, quindi, sulla base dell'uguaglianza, viene effettuata una transizione a una frazione del forma a/b senza questo fattore comune. Ad esempio, una frazione algebrica dopo aver scomposto il numeratore e il denominatore assume la forma www.site, compresi i materiali interni e il design esterno, non può essere riprodotta in alcuna forma o utilizzata senza il previo consenso scritto del detentore del copyright.

Questa lezione tratta il concetto di frazione algebrica. Le persone incontrano le frazioni nelle situazioni della vita più semplici: quando è necessario dividere un oggetto in più parti, ad esempio, per tagliare una torta equamente in dieci persone. Ovviamente ognuno riceverà una fetta della torta. In questo caso, ci troviamo di fronte al concetto di frazione numerica, ma è possibile una situazione in cui un oggetto è diviso in un numero sconosciuto di parti, ad esempio x. In questo caso, sorge il concetto di espressione frazionaria. Hai già conosciuto le espressioni intere (che non contengono la divisione in espressioni con variabili) e le loro proprietà in 7a elementare. Successivamente esamineremo il concetto di frazione razionale, nonché i valori accettabili delle variabili.

Soggetto:Frazioni algebriche. Operazioni aritmetiche sulle frazioni algebriche

Lezione:Concetti di base

1. Definizione ed esempi di frazioni algebriche

Le espressioni razionali si dividono in espressioni intere e frazionarie.

Definizione. Frazione razionaleè un'espressione frazionaria della forma , dove sono polinomi. - numeratore, - denominatore.

Esempi espressioni razionali:- espressioni frazionarie; - intere espressioni. Nella prima espressione, ad esempio, il numeratore è e il denominatore è .

Senso frazione algebrica come chiunque espressione algebrica, dipende dal valore numerico delle variabili che sono incluse in esso. In particolare, nel primo esempio il valore della frazione dipende dai valori delle variabili e , e nel secondo esempio solo dal valore della variabile .

2. Calcolo del valore di una frazione algebrica e due problemi frazionari fondamentali

Consideriamo il primo compito tipico: calcolare il valore frazione razionale per diversi valori delle variabili in esso incluse.

Esempio 1. Calcola il valore della frazione per a) , b) , c)

Soluzione. Sostituiamo i valori delle variabili nella frazione indicata: a) , b) , c) - non esiste (poiché non è possibile dividere per zero).

Risposta: 3; 1; non esiste.

Come puoi vedere, per qualsiasi frazione sorgono due problemi tipici: 1) calcolare la frazione, 2) trovare valori validi e non validi variabili di lettere.

Definizione. Valori variabili validi- valori delle variabili per le quali l'espressione ha senso. Viene chiamato l'insieme di tutti i possibili valori delle variabili ODZ O dominio di definizione.

3. Valori accettabili (ADV) e inaccettabili delle variabili in frazioni con una variabile

Il valore delle variabili letterali potrebbe non essere valido se il denominatore della frazione in questi valori è zero. In tutti gli altri casi valgono i valori delle variabili, poiché è possibile calcolare la frazione.

Esempio 2. Stabilire a quali valori della variabile la frazione non ha senso.

Soluzione. Perché questa espressione abbia senso è necessario e sufficiente che il denominatore della frazione non sia uguale a zero. Pertanto, non saranno validi solo i valori della variabile per i quali il denominatore è uguale a zero. Il denominatore della frazione è , quindi risolviamo l'equazione lineare:

Pertanto, dato il valore della variabile, la frazione non ha significato.

Dalla soluzione dell'esempio segue la regola per trovare valori non validi delle variabili: il denominatore della frazione è uguale a zero e vengono trovate le radici dell'equazione corrispondente.

Diamo un'occhiata a diversi esempi simili.

Esempio 3. Stabilire a quali valori della variabile la frazione non ha senso.

Soluzione. .

Risposta. .

Esempio 4. Stabilire a quali valori della variabile la frazione non ha senso.

Soluzione..

Esistono altre formulazioni di questo problema: trova dominio di definizione O intervallo di valori di espressione accettabili (APV). Ciò significa trovare tutti i valori validi delle variabili. Nel nostro esempio, questi sono tutti valori tranne . È conveniente rappresentare il dominio di definizione su un asse numerico.

Per fare ciò, ritagliamo un punto su di esso, come indicato in figura:

Così, dominio di definizione della frazione ci saranno tutti i numeri tranne il 3.

Risposta..

Esempio 5. Stabilire a quali valori della variabile la frazione non ha senso.

Soluzione..

Rappresentiamo la soluzione risultante sull'asse numerico:

Risposta..

4. Rappresentazione grafica dell'intervallo di valori accettabili (AP) e inaccettabili delle variabili in frazioni

Esempio 6. Stabilire a quali valori delle variabili la frazione non ha senso.

Soluzione.. Abbiamo ottenuto l'uguaglianza di due variabili, faremo esempi numerici: oppure, ecc.

Rappresentiamo questa soluzione su un grafico nel sistema di coordinate cartesiane:

Riso. 3. Grafico della funzione.

Le coordinate di qualsiasi punto che giace su questo grafico non sono incluse nell'intervallo di valori di frazione accettabili.

Risposta. .

5. Caso del tipo "divisione per zero".

Negli esempi discussi, abbiamo riscontrato una situazione in cui si verificava la divisione per zero. Consideriamo ora il caso in cui si presenta una situazione più interessante con la divisione dei tipi.

Esempio 7. Stabilire a quali valori delle variabili la frazione non ha senso.

Soluzione..

Si scopre che la frazione non ha senso in . Ma si potrebbe sostenere che non è così perché: .

Può sembrare che se l'espressione finale è uguale a 8 in , allora si può calcolare anche quella originale, e quindi ha senso in . Tuttavia, se lo sostituiamo nell'espressione originale, otteniamo: non ha senso.

Risposta..

Per comprendere più in dettaglio questo esempio, risolviamo il seguente problema: a quali valori la frazione indicata è uguale a zero?

(una frazione è zero quando il suo numeratore è zero) . Ma è necessario risolvere l'equazione originale con una frazione, e non ha senso per , poiché a questo valore della variabile il denominatore è zero. Ciò significa che questa equazione ha una sola radice.

6. Regola per trovare ODZ

Pertanto, possiamo formulare una regola esatta per trovare l'intervallo di valori consentiti di una frazione: trovare ODZfrazioniè necessario e sufficiente uguagliare il suo denominatore a zero e trovare le radici dell'equazione risultante.

Abbiamo considerato due compiti principali: calcolare il valore di una frazione ai valori specificati delle variabili e trovare l'intervallo di valori accettabili di una frazione.

Consideriamo ora alcuni altri problemi che possono sorgere quando si lavora con le frazioni.

7. Vari compiti e conclusioni

Esempio 8. Dimostrare che per qualsiasi valore della variabile la frazione .

Prova. Il numeratore è un numero positivo. . Di conseguenza, sia il numeratore che il denominatore sono numeri positivi, quindi la frazione è un numero positivo.

Comprovato.

Esempio 9. È noto che , find .

Soluzione. Dividiamo la frazione termine per termine. Abbiamo il diritto di ridurre di, tenendo conto di ciò che è un valore variabile non valido per una determinata frazione.

Risposta..

In questa lezione abbiamo trattato i concetti di base relativi alle frazioni. Nella prossima lezione vedremo proprietà principale di una frazione.

Riferimenti

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2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. - M.: Educazione, 2010.

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1. Festival delle idee pedagogiche.

2. Vecchia scuola.

3. Portale Internet lib2.podelise. ru.

Compiti a casa

1. N. 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. - M.: Educazione, 2010.

2. Scrivi una frazione razionale il cui dominio di definizione è: a) l'insieme, b) l'insieme, c) l'intera linea numerica.

3. Dimostrare che per tutti i possibili valori della variabile, il valore della frazione non è negativo.

4. Trova il dominio di espressione. Istruzioni: considerare separatamente due casi: quando il denominatore della frazione inferiore è zero e quando il denominatore della frazione originale è zero.

Quando uno studente entra alla scuola superiore, la matematica è divisa in due materie: algebra e geometria. Ci sono sempre più concetti, i compiti sono sempre più difficili. Alcune persone hanno difficoltà a comprendere le frazioni. Ho perso la prima lezione su questo argomento e voilà. frazioni? Una domanda che tormenterà tutta la mia vita scolastica.

Il concetto di frazione algebrica

Cominciamo con una definizione. Sotto frazione algebrica si riferisce alle espressioni P/Q, dove P è il numeratore e Q è il denominatore. Sotto la voce di una lettera è possibile nascondere un numero, un'espressione numerica o un'espressione numerica-alfabetica.

Prima di chiederti come risolvere le frazioni algebriche, devi prima capire che tale espressione fa parte del tutto.

Di norma, un numero intero è 1. Il numero al denominatore mostra in quante parti è divisa l'unità. Il numeratore è necessario per scoprire quanti elementi sono presi. La barra della frazione corrisponde al segno di divisione. È consentito scrivere un'espressione frazionaria come operazione matematica “Divisione”. In questo caso il numeratore è il dividendo, il denominatore è il divisore.

Regola base delle frazioni comuni

Quando gli studenti studiano questo argomento a scuola, vengono forniti degli esempi da rinforzare. Per risolverli correttamente e trovare diverse vie d'uscita da situazioni complesse, è necessario applicare la proprietà di base delle frazioni.

Funziona così: se moltiplichi sia il numeratore che il denominatore per lo stesso numero o espressione (diverso da zero), il valore della frazione comune non cambia. Un caso speciale di questa regola è la divisione di entrambi i lati di un'espressione per lo stesso numero o polinomio. Tali trasformazioni sono chiamate uguaglianze identiche.

Di seguito vedremo come risolvere addizioni e sottrazioni di frazioni algebriche, moltiplicando, dividendo e riducendo le frazioni.

Operazioni matematiche con le frazioni

Diamo un'occhiata a come risolvere la proprietà principale di una frazione algebrica e come applicarla nella pratica. Se devi moltiplicare due frazioni, sommarle, dividerle l'una per l'altra o sottrarle, devi sempre seguire le regole.

Pertanto, per l'operazione di addizione e sottrazione, è necessario trovare un fattore aggiuntivo per portare le espressioni ad un denominatore comune. Se le frazioni sono inizialmente indicate con la stessa espressione Q, allora questo paragrafo va omesso. Una volta trovato il denominatore comune, come si risolvono le frazioni algebriche? È necessario aggiungere o sottrarre i numeratori. Ma! Va ricordato che se c'è un segno “-” davanti alla frazione, tutti i segni al numeratore vengono invertiti. A volte non dovresti eseguire sostituzioni o operazioni matematiche. È sufficiente cambiare il segno davanti alla frazione.

Il concetto è spesso usato come frazioni riducenti. Ciò significa quanto segue: se il numeratore e il denominatore vengono divisi per un'espressione diversa da uno (la stessa per entrambe le parti), si ottiene una nuova frazione. Il dividendo e il divisore sono più piccoli di prima, ma a causa della regola base delle frazioni rimangono uguali all'esempio originale.

Lo scopo di questa operazione è ottenere una nuova espressione irriducibile. Puoi risolvere questo problema riducendo il numeratore e il denominatore del massimo comun divisore. L'algoritmo operativo è composto da due punti:

1. Trovare MCD per entrambi i membri della frazione.
2. Dividendo numeratore e denominatore per l'espressione trovata e ottenendo una frazione irriducibile uguale alla precedente.

Di seguito è riportata una tabella che mostra le formule. Per comodità, puoi stamparlo e portarlo con te in un quaderno. Tuttavia, affinché in futuro, quando si risolve un test o un esame, non ci siano difficoltà nella questione su come risolvere le frazioni algebriche, queste formule devono essere apprese a memoria.

Diversi esempi con soluzioni

Da un punto di vista teorico, viene considerata la questione di come risolvere le frazioni algebriche. Gli esempi forniti nell'articolo ti aiuteranno a comprendere meglio il materiale.

1. Converti le frazioni e portale a un denominatore comune.

2. Converti le frazioni e portale a un denominatore comune.

Dopo aver studiato la parte teorica e considerato la parte pratica, non dovrebbero sorgere più domande.

Nel § 42 si diceva che se la divisione dei polinomi non può essere eseguita completamente, il quoziente viene scritto sotto forma di un'espressione frazionaria in cui il dividendo è il numeratore e il divisore è il denominatore.

Esempi di espressioni frazionarie:

Il numeratore e il denominatore di un'espressione frazionaria possono essere essi stessi espressioni frazionarie, ad esempio:

Tra le espressioni algebriche frazionarie, molto spesso devi occuparti di quelle in cui il numeratore e il denominatore sono polinomi (in particolare monomi). Ciascuna di queste espressioni è chiamata frazione algebrica.

Definizione. Un'espressione algebrica che è una frazione il cui numeratore e denominatore sono polinomi è chiamata frazione algebrica.

Come in aritmetica, il numeratore e il denominatore di una frazione algebrica sono chiamati termini della frazione.

In futuro, avendo studiato le operazioni sulle frazioni algebriche, saremo in grado di trasformare qualsiasi espressione frazionaria in una frazione algebrica utilizzando trasformazioni identiche.

Esempi di frazioni algebriche:

Nota che l'intera espressione, cioè un polinomio, può essere scritta come una frazione, per fare ciò è sufficiente scrivere questa espressione al numeratore e 1 al denominatore.

2. Valori di lettere accettabili.

Le lettere incluse solo nel numeratore possono assumere qualsiasi valore (a meno che non vengano introdotte ulteriori restrizioni dalla condizione del problema).

Per le lettere incluse nel denominatore sono validi solo i valori che non portano il denominatore a zero. Pertanto nel seguito assumeremo sempre che il denominatore di una frazione algebrica non sia uguale a zero.