Cosa caratterizza il momento d'inerzia centrifugo. Caratteristiche geometriche delle sezioni piane

3.3.1. Pompa centrifuga sommergibile In questa sezione considereremo l'opzione con la pompa centrifuga sommergibile NPTs-750. Utilizzo l'acqua di sorgente da aprile a ottobre. Lo pompa con una pompa centrifuga sommergibile NPTs-750/5nk (il primo numero indica il consumo energetico in watt,

DEFINIZIONE

Momento d'inerzia assiale (o equatoriale). sezione relativa all'asse è detta quantità definita come:

L'espressione (1) significa che per calcolare il momento d'inerzia assiale, sull'intera area S si prende la somma dei prodotti delle aree infinitesimali () moltiplicata per i quadrati delle distanze da esse all'asse di rotazione:

La somma dei momenti di inerzia assiale della sezione rispetto agli assi reciprocamente perpendicolari (ad esempio, rispetto agli assi X e Y nel sistema di coordinate cartesiane) dà il momento di inerzia polare () relativo al punto di intersezione di questi assi:

DEFINIZIONE

Momento polare l'inerzia è detta sezione del momento d'inerzia rispetto ad un punto.

I momenti d'inerzia assiali sono sempre maggiori di zero, poiché nelle loro definizioni (1) sotto il segno di integrale c'è il valore dell'area dell'area elementare (), sempre positivo, e il quadrato della distanza da tale area a l'asse.

Se abbiamo a che fare con una sezione di forma complessa, spesso usiamo cosa nei calcoli momento assiale L'inerzia di una sezione complessa rispetto ad un asse è pari alla somma dei momenti d'inerzia assiali delle parti di tale sezione rispetto allo stesso asse. Va però ricordato che è impossibile sommare i momenti di inerzia riscontrati rispetto ad assi e punti diversi.

Il momento d'inerzia assiale relativo all'asse passante per il baricentro della sezione ha il valore più piccolo di tutti i momenti relativi agli assi ad essa paralleli. Il momento di inerzia attorno a qualsiasi asse () purché parallelo all'asse passante per il baricentro è pari a:

dove è il momento d'inerzia della sezione rispetto all'asse passante per il baricentro della sezione; - area della sezione trasversale; - distanza tra gli assi.

Esempi di risoluzione dei problemi

ESEMPIO 1

ESEMPIO 2

Se m = 1, n = 1, otteniamo la caratteristica

che si chiama momento d'inerzia centrifugo.

Momento centrifugo inerzia rispetto agli assi coordinati – la somma dei prodotti delle aree elementari dA alle loro distanze da questi assi, prese su tutta l'area della sezione trasversale UN.

Se almeno uno degli assi sì O zè l'asse di simmetria della sezione, il momento d'inerzia centrifugo di tale sezione rispetto a tali assi è pari a zero (poiché in questo caso ogni valore positivo z·y·dA possiamo mettere in corrispondenza esattamente uguale, ma negativa, dall'altra parte dell'asse di simmetria della sezione, vedi figura).

Consideriamo ulteriori caratteristiche geometriche che possono essere ricavate da quelle principali elencate e che vengono spesso utilizzate anche nei calcoli di resistenza e rigidezza.

Momento d'inerzia polare

Momento d'inerzia polare Jp nominare la caratteristica

D'altra parte,

Momento d'inerzia polare(relativo ad un dato punto) – la somma dei prodotti delle aree elementari dA dai quadrati delle loro distanze a questo punto, occupata l'intera area della sezione trasversale UN.

La dimensione dei momenti di inerzia è m 4 in SI.

Momento di resistenza

Momento di resistenza rispetto ad un asse - un valore pari al momento di inerzia rispetto allo stesso asse diviso per la distanza ( ymax O zmassimo) al punto più distante da questo asse

La dimensione dei momenti resistenti è m 3 in SI.

Raggio di inerzia

Raggio di inerzia sezione relativa ad un certo asse è chiamato valore determinato dalla relazione:

I raggi di rotazione sono espressi in unità SI di m.

Commento: le sezioni trasversali degli elementi delle moderne strutture rappresentano spesso una certa composizione di materiali con diversa resistenza alla deformazione elastica, caratterizzata, come noto da un corso di fisica, dal modulo di Young E. Nel caso più generale di una sezione d'urto disomogenea, il modulo di Young è funzione continua coordinate dei punti della sezione, cioè E = E(z, y). Pertanto, la rigidezza di una sezione disomogenea nelle proprietà elastiche è caratterizzata da caratteristiche più complesse delle caratteristiche geometriche di una sezione omogenea, cioè quelle elastico-geometriche della forma

2.2. Calcolo delle caratteristiche geometriche di figure semplici

Sezione rettangolare

Determiniamo il momento d'inerzia assiale del rettangolo rispetto all'asse z. Dividiamo l'area del rettangolo in aree elementari con dimensioni B(larghezza) e dy(altezza). Quindi l'area di un rettangolo così elementare (ombreggiato) è uguale a dA = bdy. Sostituendo il valore dA nella prima formula, otteniamo

Per analogia, scriviamo il momento assiale attorno all'asse A:

Momenti resistenti assiali di un rettangolo:

;

In modo simile si possono ottenere caratteristiche geometriche per altre figure semplici.

Sezione rotonda

È conveniente trovarlo prima momento d'inerzia polare J p .

Quindi, dato che per un cerchio J z = J y, UN J p = J z + J y, troveremo J z =Jy = Jp / 2.

Dividiamo il cerchio in anelli infinitesimi di spessore dρ e raggio ρ ; area di un tale anello dA = 2 ∙ π ∙ ρ ∙ dρ. Sostituendo l'espressione con dA in un'espressione per Jp e integrando, otteniamo

2.3. Calcolo dei momenti d'inerzia rispetto ad assi paralleli

z E sì:

È necessario determinare i momenti di inerzia di questa sezione rispetto ai “nuovi” assi z1 E sì 1, paralleli a quelli centrali e distanziati da essi a distanza UN E B rispettivamente:

Coordinate di qualsiasi punto nel “nuovo” sistema di coordinate z101y1 può essere espresso tramite coordinate nei “vecchi” assi z E sì COSÌ:

Dagli assi z E sì– momento centrale, quindi statico Sz = 0.

Infine possiamo scrivere le formule di “transizione” per il trasferimento parallelo degli assi:

Tieni presente che le coordinate UN E B devono essere sostituiti tenendo conto del loro segno (nel sistema di coordinate z101y1).

2.4. Calcolo dei momenti di inerzia durante la rotazione degli assi delle coordinate

Siano noti i momenti di inerzia di una sezione arbitraria rispetto agli assi centrali z, y:

; ;

Giriamo gli assi z, sì ad angolo α in senso antiorario, considerando positivo l'angolo di rotazione degli assi in questa direzione.

È necessario determinare i momenti di inerzia relativi ai “nuovi” assi (ruotati). z1 E sì 1:

Coordinate del sito elementare dA nel “nuovo” sistema di coordinate z10y1 può essere espresso tramite coordinate nei “vecchi” assi come questo:

Sostituiamo questi valori nelle formule per i momenti di inerzia nei “nuovi” assi e integriamo termine per termine:

Dopo aver effettuato trasformazioni simili con le restanti espressioni, annoteremo finalmente le formule di “transizione” durante la rotazione degli assi delle coordinate:

Nota che se sommiamo le prime due equazioni, otteniamo

cioè il momento polare di inerzia è la quantità invariante(in altre parole, invariato durante la rotazione degli assi delle coordinate).

2.5. Assi principali e momenti principali di inerzia

Finora abbiamo considerato le caratteristiche geometriche delle sezioni in sistema arbitrario coordinate, tuttavia, di maggiore interesse pratico è il sistema di coordinate in cui la sezione è descritta dal minor numero di caratteristiche geometriche. Questo sistema di coordinate “speciale” è specificato dalla posizione degli assi principali della sezione. Introduciamo i concetti: assi principali E principali momenti di inerzia.

Assi principali– due assi tra loro perpendicolari, rispetto ai quali il momento d’inerzia centrifugo è nullo, mentre i momenti d’inerzia assiali assumono valori estremi (massimo e minimo).

Vengono chiamati gli assi principali passanti per il baricentro della sezione assi centrali principali.

I momenti d'inerzia rispetto agli assi principali si chiamano principali momenti di inerzia.

Gli assi centrali principali sono solitamente indicati da lettere tu E v; principali momenti di inerzia – J u E Jv(per definizione Juv = 0).

Deriviamo le espressioni che ci permettono di trovare la posizione degli assi principali e l'entità dei principali momenti di inerzia. Sapendolo Juv= 0, usiamo l'equazione (2.3):

Angolo α 0 definisce la posizione degli assi principali rispetto agli eventuali assi centrali z E sì. Angolo α 0 depositato tra l'asse z e asse tu ed è considerato positivo in senso antiorario.

Si noti che se una sezione ha un asse di simmetria, allora, in conformità con la proprietà del momento d'inerzia centrifugo (vedere sezione 2.1, paragrafo 4), tale asse sarà sempre l'asse principale della sezione.

Angolo escluso α nelle espressioni (2.1) e (2.2) utilizzando (2.4), otteniamo formule per determinare i principali momenti di inerzia assiale:

Scriviamo la regola: l'asse massimo forma sempre un angolo minore con quello degli assi (zoy) rispetto ai quali il momento d'inerzia ha valore maggiore.

2.6. Forme razionali delle sezioni trasversali

Tensioni normali in un punto arbitrario nella sezione trasversale di una trave curva dritta sono determinati dalla formula:

, (2.5)

Dove M– momento flettente nella sezione trasversale considerata; A– la distanza dal punto considerato all'asse centrale principale perpendicolare al piano d'azione del momento flettente; Jx– il momento d’inerzia centrale principale della sezione.

Le maggiori sollecitazioni normali di trazione e compressione in una data sezione trasversale si verificano nei punti più lontani dall'asse neutro. Sono determinati dalle formule:

; ,

Dove alle 1 E alle 2– distanze dall’asse centrale principale X alle fibre stirate e compresse più distanti.

Per travi in ​​materiali plastici, quando [σ p ] = [σ c ] ([σ p ], [σ c ] sono le tensioni ammissibili per il materiale della trave rispettivamente in trazione e compressione), le sezioni simmetriche rispetto all'asse centrale vengono utilizzati gli assi In questo caso la condizione di forza ha la forma:

≤ [σ], (2.6)

Dove L x = J x / y max– momento resistente della sezione trasversale della trave rispetto all'asse centrale principale; ymax = h/2(H– altezza della sezione); M massimo– il momento flettente maggiore in valore assoluto; [σ] – sollecitazione di flessione ammissibile del materiale.

Oltre alla condizione di resistenza, la trave deve soddisfare anche la condizione di economia. Le più economiche sono quelle forme di sezione trasversale per le quali si ottiene il momento resistente maggiore con la minima quantità di materiale (o con la sezione trasversale più piccola). Affinché la forma della sezione sia razionale è necessario, se possibile, distribuire la sezione lontano dall'asse centrale principale.

Ad esempio, una trave a I standard è circa sette volte più resistente e trenta volte più rigida di una trave quadrata della stessa sezione trasversale realizzata con lo stesso materiale.

Si tenga presente che quando cambia la posizione della sezione rispetto al carico agente, la resistenza della trave cambia significativamente, pur mantenendo invariata l'area della sezione trasversale. Di conseguenza la sezione deve essere posizionata in modo che la linea di forza coincida con quella degli assi principali rispetto ai quali il momento d'inerzia è minimo. Dovresti sforzarti di garantire che la curvatura della trave avvenga nel piano della sua massima rigidità.

Il momento d'inerzia assiale è uguale alla somma dei prodotti delle aree elementari per il quadrato della distanza dall'asse corrispondente.

(8)

Il segno è sempre "+".

Non può essere uguale a 0.

Proprietà: Assume valore minimo quando il punto di intersezione degli assi coordinati coincide con il baricentro della sezione.

Il momento d'inerzia assiale di una sezione viene utilizzato nei calcoli di resistenza, rigidità e stabilità.

1.3. Momento d'inerzia polare della sezione Jρ

(9)

Relazione tra momento d'inerzia polare e assiale:

(10)

(11)

Il momento d'inerzia polare della sezione è pari alla somma dei momenti assiali.

Proprietà:

quando gli assi vengono ruotati in qualsiasi direzione, uno dei momenti d'inerzia assiali aumenta e l'altro diminuisce (e viceversa). La somma dei momenti d'inerzia assiali rimane costante.

1.4. Momento d'inerzia centrifugo della sezione Jxy

Il momento d'inerzia centrifugo della sezione è pari alla somma dei prodotti delle aree elementari e delle distanze dai due assi

(12)

Unità di misura [cm 4 ], [mm 4 ].

Segno "+" o "-".

, se gli assi delle coordinate sono assi di simmetria (esempio - trave a I, rettangolo, cerchio), o uno degli assi delle coordinate coincide con l'asse di simmetria (esempio - canale).

Pertanto, per le figure simmetriche il momento d'inerzia centrifugo è 0.

Assi coordinati tu E v , passanti per il baricentro della sezione, attorno alla quale il momento centrifugo è pari a zero, vengono chiamati i principali assi centrali di inerzia della sezione. Sono detti principali perché il momento centrifugo ad essi relativo è nullo, e centrali perché passano per il baricentro della sezione.

Per sezioni non simmetriche rispetto agli assi X O sì , ad esempio, all'angolo, non sarà uguale a zero. Per queste sezioni viene determinata la posizione degli assi tu E v calcolando l'angolo di rotazione degli assi X E sì

(13)

Momento centrifugo rispetto agli assi tu E v -

Formula per determinare i momenti d'inerzia assiali rispetto agli assi centrali principali tu E v :

(14)

Dove
- momenti di inerzia assiale rispetto agli assi centrali,

- momento d'inerzia centrifugo rispetto agli assi centrali.

1.5. Momento d'inerzia attorno ad un asse parallelo a quello centrale (teorema di Steiner)

Teorema di Steiner:

Il momento d'inerzia attorno ad un asse parallelo a quello centrale è uguale al momento d'inerzia assiale centrale più il prodotto dell'area dell'intera figura e il quadrato della distanza tra gli assi.

(15)

Dimostrazione del teorema di Steiner.

Secondo la fig. 5 distanza A al sito elementare dF

Sostituendo il valore A nella formula otteniamo:

Termine
, poiché il punto C è il baricentro della sezione (vedi proprietà dei momenti statici della sezione rispetto agli assi centrali).

Per un rettangolo con altezzaH e larghezzaB :

Momento d'inerzia assiale:

Momento flettente:

il momento resistente a flessione è pari al rapporto tra il momento d'inerzia e la distanza della fibra più distante dalla linea neutra:

Perché
, Quello

Per un cerchio:

Momento d'inerzia polare:

Momento d'inerzia assiale:

Momento torcente:

Perché
, Quello

Momento flettente:

Esempio 2. Determinare il momento di inerzia di una sezione trasversale rettangolare attorno all'asse centrale CON X .

Soluzione. Dividiamo l'area del rettangolo in rettangoli elementari con dimensioni B (larghezza) e dy (altezza). Quindi l'area di tale rettangolo (ombreggiata in Fig. 6) è uguale a dF=amico. Calcoliamo il valore del momento d'inerzia assiale J X

Per analogia scriviamo

- momento d'inerzia assiale della sezione rispetto alla centrale

Momento d'inerzia centrifugo

, poiché gli assi CON X e C sì sono assi di simmetria.

Esempio 3. Determinare il momento d'inerzia polare di una sezione trasversale circolare.

Soluzione. Dividiamo il cerchio in anelli di spessore infinitamente sottili
raggio , l'area di tale anello
. Sostituendo il valore
Integrando nell'espressione del momento d'inerzia polare, otteniamo

Tenendo conto dell'uguaglianza dei momenti assiali di una sezione circolare
E

, otteniamo

I momenti di inerzia assiale dell'anello sono uguali

Con– il rapporto tra il diametro dell'apertura e il diametro esterno dell'albero.

Lezione n. 2 “Assi principali epunti principaliinerzia

Consideriamo come cambiano i momenti di inerzia quando gli assi delle coordinate vengono ruotati. Supponiamo che siano dati i momenti di inerzia di una certa sezione rispetto agli assi 0 X, 0A(non necessariamente centrale) - ,- momenti d'inerzia assiale della sezione. È necessario determinare ,- momenti assiali relativi agli assi tu,v, ruotato rispetto al primo sistema di un angolo
(Fig. 8)

Poiché la proiezione della linea spezzata OABC è uguale alla proiezione della linea finale, troviamo:

(15)

Escludiamo u e v nelle espressioni dei momenti di inerzia:

(18)

Consideriamo le prime due equazioni. Sommandoli termine per termine, otteniamo

Pertanto, la somma dei momenti di inerzia assiale attorno a due assi reciprocamente perpendicolari non dipende dall'angolo
e rimane costante quando gli assi vengono ruotati. Notiamo allo stesso tempo che

Dove - distanza dall'origine delle coordinate al sito elementare (vedi Fig. 5). Così

Dove - il già familiare momento di inerzia polare:

Determiniamo il momento d'inerzia assiale del cerchio rispetto al diametro.

Poiché a causa della simmetria
ma, come sai,

Pertanto, per un cerchio

Con una modifica dell'angolo di rotazione degli assi
valori del momento E cambia, ma l’importo rimane lo stesso. Pertanto esiste un tale significato
, in corrispondenza del quale uno dei momenti d'inerzia raggiunge il suo valore massimo, mentre l'altro momento assume un valore minimo. Differenziare l'espressione per angolo
e uguagliando la derivata a zero, troviamo

(19)

A questo valore dell'angolo
uno dei momenti assiali sarà il più grande e l'altro sarà il più piccolo. Allo stesso tempo, il momento d'inerzia centrifugo
nulla, cosa che può essere facilmente verificata uguagliando a zero la formula del momento d'inerzia centrifugo
.

Vengono chiamati assi attorno ai quali il momento d'inerzia centrifugo è zero e i momenti assiali assumono valori estremi principaleassi. Se sono anche centrali (il punto di origine coincide con il baricentro della sezione), allora si chiamano assi centrali principali (tu; v). Si chiamano momenti assiali di inerzia rispetto agli assi principali principali momenti di inerzia -E

E il loro valore è determinato dalla seguente formula:

(20)

Il segno più corrisponde al momento d'inerzia massimo, il segno meno al minimo.

C'è un'altra caratteristica geometrica: raggio di rotazione sezioni. Questo valore viene spesso utilizzato nelle conclusioni teoriche e nei calcoli pratici.

Ad esempio, il raggio di rotazione della sezione rispetto a un determinato asse 0 X , si chiama quantità , determinato dall’uguaglianza

(21)

F – area della sezione trasversale,

- momento d'inerzia assiale della sezione,

Dalla definizione segue che il raggio di rotazione è uguale alla distanza dall'asse 0 X al punto in cui l'area della sezione trasversale F dovrebbe essere concentrata (condizionatamente) in modo che il momento di inerzia di questo punto sia uguale al momento di inerzia dell'intera sezione. Conoscendo il momento d'inerzia della sezione e la sua area, si può ricavare il raggio di rotazione relativo all'asse 0 X:

(22)

Vengono chiamati i raggi di rotazione corrispondenti agli assi principali raggi d’inerzia principali e sono determinati dalle formule

(23)

Lezione 3. Torsione di aste di sezione circolare.