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I sistemi di equazioni sono stati ampiamente utilizzati nel settore economico con modellazione matematica vari processi. Ad esempio, quando si risolvono problemi di gestione e pianificazione della produzione, percorsi logistici (problemi di trasporto) o posizionamento delle attrezzature.
I sistemi di equazioni vengono utilizzati non solo in matematica, ma anche in fisica, chimica e biologia, quando si risolvono problemi relativi alla determinazione della dimensione della popolazione.
Sistema equazioni lineari nominare due o più equazioni con più variabili per le quali è necessario trovare una soluzione comune. Una tale sequenza di numeri per la quale tutte le equazioni diventano uguaglianze vere o dimostrano che la sequenza non esiste.
Equazione lineare
Le equazioni della forma ax+by=c sono dette lineari. Le designazioni x, y sono le incognite il cui valore deve essere trovato, b, a sono i coefficienti delle variabili, c è il termine libero dell'equazione.
Risolvere un'equazione tracciandola sembrerà una linea retta, i cui tutti i punti sono soluzioni del polinomio.
Tipi di sistemi di equazioni lineari
Gli esempi più semplici sono considerati sistemi di equazioni lineari con due variabili X e Y.
F1(x, y) = 0 e F2(x, y) = 0, dove F1,2 sono funzioni e (x, y) sono variabili di funzione.
Risolvere il sistema di equazioni - ciò significa trovare valori (x, y) in corrispondenza dei quali il sistema si trasforma in una vera uguaglianza oppure stabilire che non esistono valori adeguati di x e y.
Una coppia di valori (x, y), scritti come coordinate di un punto, è chiamata soluzione di un sistema di equazioni lineari.
Se i sistemi hanno una soluzione comune o non esiste alcuna soluzione, sono detti equivalenti.
I sistemi omogenei di equazioni lineari sono sistemi il cui membro destro è uguale a zero. Se la parte destra dopo il segno uguale ha un valore o è espressa da una funzione, tale sistema è eterogeneo.
Il numero di variabili può essere molto più di due, allora dovremmo parlare di un esempio di sistema di equazioni lineari con tre o più variabili.
Di fronte ai sistemi, gli scolari presumono che il numero di equazioni debba necessariamente coincidere con il numero di incognite, ma non è così. Il numero di equazioni nel sistema non dipende dalle variabili; possono essercene quante si desidera.
Metodi semplici e complessi per la risoluzione di sistemi di equazioni
Non esiste un metodo analitico generale per risolvere tali sistemi; soluzioni numeriche. Il corso di matematica scolastica descrive in dettaglio metodi come permutazione, addizione algebrica, sostituzione, nonché metodi grafici e matriciali, soluzione mediante il metodo gaussiano.
Il compito principale quando si insegnano i metodi di soluzione è insegnare come analizzare correttamente il sistema e trovare l'algoritmo di soluzione ottimale per ciascun esempio. La cosa principale non è memorizzare un sistema di regole e azioni per ciascun metodo, ma comprendere i principi dell'utilizzo di un particolare metodo
Risolvere esempi di sistemi di equazioni lineari nel curriculum di istruzione generale del 7° grado è abbastanza semplice e spiegato in grande dettaglio. In qualsiasi libro di testo di matematica, a questa sezione viene prestata sufficiente attenzione. La risoluzione di esempi di sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo Gauss e Cramer viene studiata più in dettaglio nei primi anni di istruzione superiore.
Risoluzione di sistemi mediante il metodo di sostituzione
Le azioni del metodo di sostituzione mirano ad esprimere il valore di una variabile in termini della seconda. L'espressione viene sostituita nell'equazione rimanente, quindi viene ridotta ad una forma con una variabile. L'azione viene ripetuta a seconda del numero di incognite nel sistema
Diamo una soluzione ad un esempio di un sistema di equazioni lineari di classe 7 utilizzando il metodo di sostituzione:
Come si può vedere dall'esempio, la variabile x è stata espressa tramite F(X) = 7 + Y. L'espressione risultante, sostituita nella 2a equazione del sistema al posto di X, ha contribuito ad ottenere una variabile Y nella 2a equazione . Risolvere questo esempio è semplice e consente di ottenere il valore Y. L'ultimo passaggio è verificare i valori ottenuti.
Non è sempre possibile risolvere un esempio di sistema di equazioni lineari mediante sostituzione. Le equazioni possono essere complesse ed esprimere la variabile in termini della seconda incognita risulterà troppo complicato per ulteriori calcoli. Quando ci sono più di 3 incognite nel sistema, anche la soluzione per sostituzione non è praticabile.
Soluzione di un esempio di un sistema di equazioni lineari disomogenee:
Soluzione mediante addizione algebrica
Quando si cercano soluzioni ai sistemi utilizzando il metodo dell'addizione, le equazioni vengono aggiunte termine per termine e moltiplicate per vari numeri. L'obiettivo finale operazioni matematiche è un'equazione con una variabile.
L'applicazione di questo metodo richiede pratica e osservazione. Risolvere un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo dell'addizione quando sono presenti 3 o più variabili non è facile. L'addizione algebrica è utile quando le equazioni contengono frazioni e decimali.
Algoritmo di soluzione:
- Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per un certo numero. Di conseguenza azione aritmetica uno dei coefficienti della variabile deve diventare uguale a 1.
- Aggiungi l'espressione risultante termine per termine e trova una delle incognite.
- Sostituisci il valore risultante nella seconda equazione del sistema per trovare la variabile rimanente.
Metodo di soluzione introducendo una nuova variabile
Una nuova variabile può essere introdotta se il sistema richiede di trovare una soluzione per non più di due equazioni; anche il numero di incognite non deve essere superiore a due.
Il metodo viene utilizzato per semplificare una delle equazioni introducendo una nuova variabile. La nuova equazione viene risolta per l'incognita introdotta e il valore risultante viene utilizzato per determinare la variabile originale.
L'esempio mostra che introducendo una nuova variabile t, è stato possibile ridurre la prima equazione del sistema a quella standard trinomio quadratico. Puoi risolvere un polinomio trovando il discriminante.
È necessario trovare il valore del discriminante utilizzando la nota formula: D = b2 - 4*a*c, dove D è il discriminante desiderato, b, a, c sono i fattori del polinomio. Nell'esempio riportato a=1, b=16, c=39, quindi D=100. Se il discriminante è maggiore di zero, allora ci sono due soluzioni: t = -b±√D / 2*a, se il discriminante è minore di zero, allora c'è una soluzione: x = -b / 2*a.
La soluzione per i sistemi risultanti si trova con il metodo dell'addizione.
Metodo visivo per la risoluzione dei sistemi
Adatto per 3 sistemi di equazioni. Il metodo è costruire asse delle coordinate grafici di ciascuna equazione inclusa nel sistema. Le coordinate dei punti di intersezione delle curve saranno la soluzione generale del sistema.
Il metodo grafico ha una serie di sfumature. Diamo un'occhiata a diversi esempi di risoluzione visiva di sistemi di equazioni lineari.
Come si può vedere dall'esempio, per ogni linea sono stati costruiti due punti, i valori della variabile x sono stati scelti arbitrariamente: 0 e 3. In base ai valori di x sono stati trovati i valori di y: 3 e 0. I punti con coordinate (0, 3) e (3, 0) sono stati contrassegnati sul grafico e collegati da una linea.
I passaggi devono essere ripetuti per la seconda equazione. Il punto di intersezione delle rette è la soluzione del sistema.
L'esempio seguente richiede di trovare una soluzione grafica a un sistema di equazioni lineari: 0,5x-y+2=0 e 0,5x-y-1=0.
Come si vede dall'esempio, il sistema non ha soluzione, perché i grafici sono paralleli e non si intersecano per tutta la loro lunghezza.
I sistemi degli esempi 2 e 3 sono simili, ma una volta costruiti diventa ovvio che le loro soluzioni sono diverse. Va ricordato che non sempre è possibile dire se un sistema ha soluzione oppure no è sempre necessario costruire un grafo;
La matrice e le sue varietà
Le matrici vengono utilizzate per scrivere in modo conciso un sistema di equazioni lineari. Una matrice è un tipo speciale di tabella piena di numeri. n*m ha n righe e m colonne.
Una matrice è quadrata quando il numero di colonne e di righe sono uguali. Un vettore matrice è una matrice di una colonna con un numero infinito di righe. Una matrice con unità lungo una delle diagonali e altri elementi nulli è detta identità.
Una matrice inversa è una matrice moltiplicata per la quale quella originaria si trasforma in una matrice unitaria; tale matrice esiste solo per quella quadrata originaria.
Regole per convertire un sistema di equazioni in una matrice
In relazione ai sistemi di equazioni, i coefficienti e i termini liberi delle equazioni sono scritti come numeri di matrice;
Una riga di una matrice si dice diversa da zero se almeno un elemento della riga è diverso da zero. Pertanto, se in una qualsiasi delle equazioni il numero di variabili è diverso, è necessario inserire zero al posto dell'incognita mancante.
Le colonne della matrice devono corrispondere rigorosamente alle variabili. Ciò significa che i coefficienti della variabile x possono essere scritti solo in una colonna, ad esempio la prima, il coefficiente dell'incognita y - solo nella seconda.
Quando si moltiplica una matrice, tutti gli elementi della matrice vengono moltiplicati in sequenza per un numero.
Opzioni per trovare la matrice inversa
La formula per trovare la matrice inversa è abbastanza semplice: K -1 = 1 / |K|, dove K -1 è la matrice inversa, e |K| è il determinante della matrice. |K| non deve essere uguale a zero, il sistema ha una soluzione.
Il determinante si calcola facilmente per una matrice due per due; basta moltiplicare gli elementi diagonali tra loro. Per l'opzione “tre per tre” esiste la formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Puoi usare la formula, oppure puoi ricordare che devi prendere un elemento da ogni riga e da ogni colonna in modo che il numero di colonne e righe di elementi non si ripeta nel lavoro.
Risoluzione di esempi di sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo matriciale
Il metodo a matrice per trovare una soluzione consente di ridurre le voci ingombranti quando si risolvono sistemi con un numero elevato di variabili ed equazioni.
Nell'esempio, a nm sono i coefficienti delle equazioni, la matrice è un vettore x n sono variabili e b n sono termini liberi.
Risoluzione di sistemi mediante il metodo gaussiano
Nella matematica superiore, il metodo gaussiano viene studiato insieme al metodo Cramer e il processo di ricerca di soluzioni ai sistemi è chiamato metodo di soluzione Gauss-Cramer. Questi metodi vengono utilizzati per trovare variabili di sistemi con un gran numero di equazioni lineari.
Il metodo di Gauss è molto simile alle soluzioni per sostituzione e addizione algebrica, ma è più sistematico. Nel corso scolastico, la soluzione con il metodo gaussiano viene utilizzata per sistemi di 3 e 4 equazioni. Lo scopo del metodo è ridurre il sistema alla forma di un trapezio rovesciato. Di trasformazioni algebriche e sostituzioni, il valore di una variabile si trova in una delle equazioni del sistema. La seconda equazione è un'espressione con 2 incognite, mentre 3 e 4 sono rispettivamente con 3 e 4 variabili.
Dopo aver portato il sistema alla forma descritta, l'ulteriore soluzione si riduce alla sostituzione sequenziale di variabili note nelle equazioni del sistema.
IN libri di testo scolastici per il grado 7, un esempio di soluzione con il metodo gaussiano è descritto come segue:
Come si può vedere dall'esempio, al passo (3) sono state ottenute due equazioni: 3x 3 -2x 4 =11 e 3x 3 +2x 4 =7. Risolvere una qualsiasi delle equazioni ti consentirà di scoprire una delle variabili x n.
Il Teorema 5, menzionato nel testo, afferma che se una delle equazioni del sistema viene sostituita con una equivalente, anche il sistema risultante sarà equivalente a quello originale.
Il metodo Gauss è difficile da comprendere per gli studenti Scuola superiore, ma è uno dei modi più interessanti per sviluppare l'ingegno dei bambini iscritti a programmi di apprendimento avanzato nelle lezioni di matematica e fisica.
Per facilitare la registrazione, i calcoli vengono solitamente eseguiti come segue:
I coefficienti delle equazioni e dei termini liberi sono scritti sotto forma di matrice, dove ogni riga della matrice corrisponde a una delle equazioni del sistema. separa il lato sinistro dell'equazione da quello destro. I numeri romani indicano il numero di equazioni nel sistema.
Per prima cosa, annota la matrice su cui lavorare, poi tutte le azioni eseguite con una delle righe. La matrice risultante viene scritta dopo il segno "freccia" e si continuano le operazioni algebriche necessarie fino al raggiungimento del risultato.
Il risultato dovrebbe essere una matrice in cui una delle diagonali è uguale a 1 e tutti gli altri coefficienti sono uguali a zero, ovvero la matrice viene ridotta a una forma unitaria. Non dobbiamo dimenticare di eseguire calcoli con numeri su entrambi i lati dell'equazione.
Questo metodo di registrazione è meno macchinoso e permette di non distrarsi elencando numerose incognite.
L'uso gratuito di qualsiasi metodo risolutivo richiederà attenzione e una certa esperienza. Non tutti i metodi sono di natura applicata. Alcuni metodi per trovare soluzioni sono preferibili in una particolare area dell'attività umana, mentre altri esistono per scopi educativi.
2. Metodo dell'addizione algebrica.
3. Metodo di introduzione di una nuova variabile (metodo di sostituzione delle variabili).
Definizione: Un sistema di equazioni si riferisce a più equazioni per una o più variabili che devono essere eseguite contemporaneamente, ad es. con gli stessi valori delle variabili per tutte le equazioni. Le equazioni nel sistema sono combinate con un segno di sistema: una parentesi graffa.
Esempio 1:
- un sistema di due equazioni con due variabili X E sì.
La soluzione al sistema sono le radici. Quando questi valori vengono sostituiti, le equazioni diventano vere identità:
Risoluzione di sistemi di equazioni lineari.
Il metodo più comune per risolvere un sistema è il metodo di sostituzione.
Metodo di sostituzione.
Il metodo di sostituzione per risolvere sistemi di equazioni consiste nell'esprimere una variabile di un'equazione del sistema in termini di altre e sostituire questa espressione nelle rimanenti equazioni del sistema invece della variabile espressa.
Esempio 2:
Risolvi il sistema di equazioni:
Soluzione:
Viene fornito un sistema di equazioni che deve essere risolto con il metodo di sostituzione.
Esprimiamo la variabile sì dalla seconda equazione del sistema.
Commento:“Esprimere una variabile” significa trasformare l’uguaglianza in modo che questa variabile rimanga a sinistra del segno di uguale con un coefficiente pari a 1, e tutti gli altri termini vadano in lato destro uguaglianza.
Seconda equazione del sistema:
Lasciamo solo a sinistra sì:
E sostituiamo (da qui il nome del metodo) nella prima equazione invece di A l'espressione a cui è uguale, cioè .
Prima equazione:
Sostituiamo: 
Risolviamo questa banale equazione quadratica. Per coloro che hanno dimenticato come farlo, c'è un articolo Risolvere le equazioni quadratiche. . 
Quindi i valori delle variabili X trovato.
Sostituiamo questi valori nell'espressione della variabile sì. Ci sono due significati qui X, cioè. per ognuno di essi dovresti trovare un valore sì .
1) Lascia
Lo sostituiamo nell'espressione.
2) Lascia
Lo sostituiamo nell'espressione.
A tutto si può rispondere:
Commento: In questo caso la risposta va scritta a coppie per non confondere quale valore della variabile y corrisponde a quale valore della variabile x.
Risposta:
Commento: Nell’esempio 1 viene indicata solo una coppia come soluzione del sistema, ovvero questa coppia è una soluzione al sistema, ma non completa. Pertanto, come risolvere un'equazione o un sistema significa indicare la soluzione e dimostrare che non esistono altre soluzioni. Ed ecco un'altra coppia.
Formalizziamo la soluzione a questo sistema in stile scolastico:
Commento: Il segno “” significa “equivalentemente”, cioè il sistema o l'espressione successiva è equivalente alla precedente.
L'uso delle equazioni è molto diffuso nella nostra vita. Sono utilizzati in molti calcoli, costruzione di strutture e persino sport. L'uomo usava le equazioni nei tempi antichi e da allora il loro uso non ha fatto che aumentare. Il metodo di sostituzione consente di risolvere facilmente sistemi di equazioni lineari di qualsiasi complessità. L'essenza del metodo è che, utilizzando la prima espressione del sistema, esprimiamo "y", e poi sostituiamo l'espressione risultante nella seconda equazione del sistema invece di "y". Poiché l'equazione non contiene già due incognite, ma solo una, possiamo facilmente trovare il valore di questa variabile e quindi utilizzarla per determinare il valore della seconda.
Supponiamo di avere un sistema di equazioni lineari della seguente forma:
\[\sinistra\(\begin(matrice) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \end(matrice)\destra.\]
Esprimiamo \
\[\sinistra\(\begin(matrice) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \end(matrice)\destra.\]
Sostituiamo l'espressione risultante nell'equazione 2:
\[\sinistra\(\begin(matrice) y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \end(matrice)\destra.\]
Semplifichiamo e risolviamo l'equazione aprendo le parentesi e tenendo conto delle regole per il trasferimento dei termini:
Ora conosciamo il valore \ Usiamolo per trovare il valore \
Risposta: \[(4;2).\]
Dove posso risolvere un sistema di equazioni online utilizzando il metodo di sostituzione?
Puoi risolvere il sistema di equazioni sul nostro sito web. Un risolutore online gratuito ti permetterà di risolvere l'equazione in linea qualsiasi complessità in pochi secondi. Tutto quello che devi fare è semplicemente inserire i tuoi dati nel risolutore. Puoi anche scoprire come risolvere l'equazione sul nostro sito web. E se hai ancora domande, puoi farle nel nostro gruppo VKontakte.
1 . Nome e cognome insegnanti: ____Tkachuk Natalya Petrovna _________________________________________________________________________________________________
2. Lezione: _8 Data: .11.03________Materia_-matematica, lezione n. 71 secondo il programma:
3. Argomento della lezione Risoluzione dei sistemi per sostituzione 4 . Il luogo e il ruolo della lezione nell'argomento studiato :. Lezione per consolidare la conoscenza. Scopo della lezione :
Formativo: sviluppare la conoscenza della risoluzione di sistemi di equazioni utilizzando il metodo della sostituzione. Conoscere/capire: se i grafici hanno punti in comune, allora il sistema ha soluzioni; se i grafici non hanno punti in comune il sistema non ha soluzioni; algoritmo per la risoluzione di sistemi di equazioni.Essere in grado di farlo risolvere i sistemi per sostituzione Promuovere lo sviluppo di competenze per applicare le conoscenze acquisite in condizioni non standard (standard).Sviluppo: Promuovere lo sviluppo delle capacità degli studenti di generalizzare le conoscenze acquisite, condurre analisi, sintesi, confronti e trarre le conclusioni necessarie. Promuovere lo sviluppo delle competenze per applicare le conoscenze acquisite in condizioni non standard e standard.Educativo: Promuovere lo sviluppo di un atteggiamento creativo verso attività educative
Caratteristiche delle fasi della lezione
Attivitàstudenti
Autodeterminazione.
Attiva l'attività cognitiva
Risolvi il sistema
verbale
Frontale
Saluto agli studenti. effettuando. Creare una situazione di preparazione per la lezione, successo nella prossima lezione.
Controlla la disponibilità per la lezione.
2. Aggiornamento delle conoscenze.
Individuare la qualità e il livello di padronanza delle conoscenze e delle competenze acquisite nelle lezioni precedenti sull'argomento
Scopri se una coppia di numeri è una soluzione del sistema. x=5 e=9
Quali operazioni si possono eseguire con le equazioni?
(moltiplicare entrambi i membri dell'equazione per lo stesso numero, dividere per un numero diverso da zero....)
Lavoro di gruppo
Frontale. Guppovaya: analisi di algoritmi per la risoluzione dei problemi;
Pone domande importanti quando necessario.
Rispondono alle domande poste.
3. Allestimento compito educativo, obiettivi della lezione.
Formazione
e sviluppo delle competenze
definire e formulare
problema, obiettivo e argomento
studiare le linee
Come risolvere un sistema di equazioni per addizione, per sostituzione.
Quale metodo è appropriato utilizzare durante la risoluzione. questo sistema?
Lavoro di gruppo.
Individuale.
Frontale.
Quali passaggi abbiamo intrapreso per conoscere il prezzo di acquisto?
Quale argomento studieremo?
Parlano apertamente.
4. Fase di aggiornamento delle conoscenze sull'argomento
Promuovere lo sviluppo delle capacità di distinguere e confrontare le linee. Fornire le condizioni per lo sviluppo delle capacità di esprimere i propri pensieri in modo competente, chiaro e accurato.
№ 621
Scopri le posizioni relative delle linee
2x+0,5y= 1,2 e x-4y=0
È possibile determinare se le linee si intersecano o meno in base ai loro coefficienti?
2. creare equazioni di rette parallele tra loro.
Lavorare con uno studente
Lavoro in coppia con autotest
Frontale, individuale. laboratorio di risoluzione dei problemi
Pone domande importanti quando necessario. Traccia parallelismi con il materiale precedentemente studiato.
Fornisce la motivazione per completare le attività proposte.
Porta gli studenti alla conclusione sull'esistenza delle formule.
Risolvi i problemi, rispondi alle domande dell'insegnante se necessario. Svolgi l'esercizio su un quaderno.
A turno commentano, analizzano, individuano ragioni e soluzioni.
5.Lavora in modo indipendente
applicazione delle conoscenze acquisite. Aggiornamento delle conoscenze e delle competenze nella risoluzione dei problemi.
Formazione e sviluppo delle capacità di lettura dei numeri Pianificazione delle proprie attività per risolvere un determinato problema, monitoraggio del risultato ottenuto, correzione del risultato ottenuto, autoregolamentazione
1 varietà –
2 varietà
Lavoro indipendente. Controllare il tuo vicino.
"brainstorming"
Monitora l'esecuzione del lavoro.
Fornisce: controllo individuale; controllo selettivo.
Ti incoraggia ad esprimere la tua opinione.
Risolvi i problemi. Effettuare: autovalutazione; verifica reciproca; fornire una valutazione preliminare.
6. Valutazione della lezione, autovalutazione.
Formazione e sviluppo della capacità di analizzare e comprendere i propri risultati.
La capacità di determinare il livello di padronanza del materiale didattico.
Valutazione dei risultati intermedi e autoregolamentazione per aumentare la motivazione alle attività formative
Valutazione in ogni fase
1. Sai rappresentare graficamente equazioni lineari?
2.Riesci a determinare se si intersecano o no?
3. Conosci un algoritmo per risolvere sistemi di equazioni?
4. quali metodi conosci per risolvere sistemi di equazioni?
Lavoro di gruppo.
Gruppo e individuo...
Ti incoraggia ad esprimere la tua opinione.
Effettuare: autovalutazione e valutazione di un amico.
7. Riepilogo della lezione. Compiti a casa.
La capacità di correlare obiettivi e risultati delle proprie attività. Mantenere un sano spirito di competizione per mantenere la motivazione per le attività educative; partecipazione alla discussione collettiva dei problemi.
pag. 4.4 N. 623
Lavoro di gruppo.
Frontale - Individuazione e formulazione di un obiettivo cognitivo, riflessione su metodi e condizioni di azione
Analisi e sintesi di oggetti
Ti incoraggia ad esprimere la tua opinione.
Fornisce un commento su compiti a casa; compito di cercare caratteristiche nel testo...
I bambini partecipano alla discussione, analizzano, parlano. Rifletti e registra i loro risultati.
Oggi in classe ho imparato...
Oggi in classe ho imparato...
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