Shamshurin A.V. 1
Gagarina N.A. 1
1 Istituto comunale di istruzione di bilancio “Scuola secondaria n. 31”
Il testo dell'opera è pubblicato senza immagini e formule.
La versione completa dell'opera è disponibile nella scheda "File di lavoro" in formato PDF
Introduzione
Ho iniziato guardando molti argomenti di matematica su Internet e ho scelto questo argomento perché credo che l'importanza di trovare DL giochi un ruolo enorme nella risoluzione di equazioni e problemi. Nel mio lavoro di ricerca ho esaminato equazioni in cui è sufficiente trovare solo l'ODZ, il pericolo, l'opzionalità, l'ODZ limitato e alcuni divieti in matematica. La cosa più importante per me è superare bene l'Esame di Stato Unificato di matematica, e per questo ho bisogno di sapere: quando, perché e come trovare DL. Ciò mi ha spinto a ricercare l'argomento, il cui scopo era dimostrare che padroneggiare questo argomento aiuterà gli studenti a completare correttamente le attività dell'Esame di Stato Unificato. Per raggiungere questo obiettivo, ho ricercato ulteriore letteratura e altre fonti. Mi chiedevo se gli studenti della nostra scuola sanno: quando, perché e come trovare ODZ. Pertanto, ho condotto un test sull'argomento "Quando, perché e come trovare ODZ?" (Sono state fornite 10 equazioni). Numero di studenti - 28. hanno affrontato il problema - 14%, pericolo di DD (preso in considerazione) - 68%, facoltatività (preso in considerazione) - 36%.
Bersaglio: identificazione: quando, perché e come trovare ODZ.
Problema: equazioni e disuguaglianze in cui è necessario trovare ODZ non hanno trovato posto nel corso di algebra per una presentazione sistematica, motivo probabilmente per cui io e i miei colleghi spesso commettiamo errori quando risolviamo tali esempi, dedicando molto tempo a risolverli, dimenticandoci sull'ODZ.
Compiti:
- Mostra il significato di ODZ nella risoluzione di equazioni e disequazioni.
- Condurre un lavoro pratico su questo argomento e riassumerne i risultati.
Penso che le conoscenze e le competenze che ho acquisito mi aiuteranno a risolvere la domanda: è necessario cercare DZ o no? Smetterò di commettere errori imparando a eseguire correttamente l'ODZ. Se riuscirò a farlo, lo dirà il tempo, o meglio l'Esame di Stato unificato.
Capitolo 1
Cos'è l'ODZ?
ODZ lo è intervallo di valori accettabili, cioè questi sono tutti i valori della variabile per cui l'espressione ha senso.
Importante. Per trovare ODZ non risolviamo un esempio! Risolviamo pezzi dell'esempio per trovare luoghi proibiti.
Alcuni divieti in matematica. Ci sono pochissime azioni proibite in matematica. Ma non tutti se li ricordano...
- Le espressioni costituite da un segno di molteplicità pari o devono essere >0 o uguali a zero, ODZ:f(x)
- L'espressione al denominatore della frazione non può essere uguale a zero, ODZ:f(x)
- |f(x)|=g(x), ODZ: g(x) 0
Come registrare ODZ? Molto semplice. Scrivi sempre ODZ accanto all'esempio. Sotto queste lettere conosciute, guardando l'equazione originale, scriviamo i valori di x consentiti per l'esempio originale. Trasformare l'esempio può cambiare l'OD e, di conseguenza, la risposta.
Algoritmo per trovare ODZ:
- Determinare il tipo di divieto.
- Trova valori ai quali l'espressione non ha senso.
- Elimina questi valori dall'insieme dei numeri reali R.
Risolvi l'equazione: =
|
Senza DZ |
Con ODZ |
|
Risposta: x=5 |
ODZ: => => Risposta: nessuna radice |
L’intervallo di valori accettabili ci mette al riparo da errori così gravi. Ad essere onesti, è a causa dell'ODZ che molti "studenti shock" si trasformano in studenti "C". Considerando che cercare e tenere conto del DL è un passo insignificante nella soluzione, lo saltano e poi si chiedono: “perché l’insegnante ha dato 2?” Sì, è per questo che l’ho messo perché la risposta è sbagliata! Non si tratta di un “pignolo” dell’insegnante, ma di un errore ben preciso, proprio come un calcolo sbagliato o un segno smarrito.
Equazioni aggiuntive:
a) = ; b) -42=14x+; c) =0; d) |x-5|=2x-2
Capitolo 2
ODZ. Per quello? Quando? Come?
Intervallo di valori accettabili: esiste una soluzione
- L'ODZ è un insieme vuoto, il che significa che l'esempio originale non ha soluzioni
- =ODZ:
Risposta: nessuna radice.
- =ODZ:
Risposta: nessuna radice.
0, l'equazione non ha radici
Risposta: nessuna radice.
Ulteriori esempi:
a) + =5; b) + =23x-18; c) =0.
- L'ODZ contiene uno o più numeri e una semplice sostituzione determina rapidamente le radici.
ODZ: x=2, x=3
Verifica: x=2, + , 0<1, верно
Verifica: x=3, + , 0<1, верно.
Risposta: x=2, x=3.
- > ODZ: x=1,x=0
Controlla: x=0, > , 0>0, falso
Verifica: x=1, > , 1>0, vero
Risposta: x=1.
- + =x ODZ: x=3
Controllare: + =3, 0=3, errato.
Risposta: nessuna radice.
Ulteriori esempi:
a) = ; b) + =0; c) + =x -1
Pericolo di DD
Tieni presente che le trasformazioni di identità possono:
- non influenzare il DL;
- portare a un DL espanso;
- portare ad un restringimento dell’ODZ.
È anche noto che a seguito di alcune trasformazioni che modificano l'ODZ originale, ciò può portare a decisioni errate.
Illustriamo ogni caso con un esempio.
1) Considera l'espressione x + 4x + 7x, l'ODZ della variabile x per questo è l'insieme R. Presentiamo termini simili. Di conseguenza assumerà la forma x 2 +11x. Ovviamente anche l'ODZ della variabile x di questa espressione è un insieme R. Pertanto la trasformazione effettuata non ha modificato l'ODZ.
2) Prendi l'equazione x+ - =0. In questo caso, ODZ: x≠0. Questa espressione contiene anche termini simili, dopo averli ridotti si arriva all'espressione x, per la quale l'ODZ è R. Cosa vediamo: come risultato della trasformazione, l'ODZ è stato espanso (il numero zero è stato aggiunto all'ODZ del variabile x per l'espressione originale).
3) Prendiamo l'espressione. ODZ della variabile x è determinato dalla disuguaglianza (x−5)·(x−2)≥0, ODZ: (−∞, 2]∪∪/Modalità di accesso: materiali dai siti www.fipi.ru, www.eg
Appendice 1
Lavoro pratico “ODZ: quando, perché e come?”
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Opzione 1 |
Opzione 2 |
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│x+14│= 2 - 2x |
|
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│3x│=1 - 3x |
Appendice 2
Risposte ai compiti del lavoro pratico “ODZ: quando, perché e come?”
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Opzione 1 |
Opzione 2 |
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Risposta: nessuna radice |
Risposta: x-qualsiasi numero tranne x=5 |
|
9x+ = +27 ODZ: x≠3 Risposta: nessuna radice |
ODZ: x=-3, x=5. Risposta: -3;5. |
|
y= -diminuisce, y= -aumenta Ciò significa che l'equazione ha al massimo una radice. Risposta: x=6. |
ODZ: → →х≥5 Risposta: x≥5, x≤-6. |
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│x+14│=2-2x ODZ:2-2x≥0, x≤1 x=-4, x=16, 16 non appartiene a ODZ |
Diminuisce, aumenta L'equazione ha al massimo una radice. Risposta: nessuna radice. |
|
0, ODZ: x≥3, x≤2 Risposta: x≥3, x≤2 |
8x+ = -32, ODZ: x≠-4. Risposta: nessuna radice. |
|
x=7, x=1. Risposta: nessuna soluzione |
Crescente - decrescente Risposta: x=2. |
|
0 ODZ: x≠15 Risposta: x è qualsiasi numero tranne x=15. |
│3-х│=1-3х, ODZ: 1-3х≥0, x≤ x=-1, x=1 non appartiene all'ODZ. Risposta: x=-1. |
Equazioni frazionarie. ODZ.
Attenzione!
Ce ne sono altri
materiali della Parte Speciale 555.
Per coloro che sono molto "non molto..."
E per chi “moltissimo…”)
Continuiamo a padroneggiare le equazioni. Sappiamo già come lavorare con equazioni lineari e quadratiche. L'ultima vista rimasta - equazioni frazionarie. Oppure sono anche chiamati in modo molto più rispettabile - equazioni razionali frazionarie. È la stessa cosa.
Equazioni frazionarie.
Come suggerisce il nome, queste equazioni contengono necessariamente frazioni. Ma non solo frazioni, ma frazioni che hanno sconosciuto al denominatore. Almeno in uno. Per esempio:
Lascia che ti ricordi che se i denominatori sono solo numeri, queste sono equazioni lineari.
Come decidere equazioni frazionarie? Prima di tutto, sbarazzatevi delle frazioni! Successivamente, l'equazione molto spesso si trasforma in lineare o quadratica. E poi sappiamo cosa fare... In alcuni casi può trasformarsi in un'identità, come 5=5 o in un'espressione errata, come 7=2. Ma questo accade raramente. Ne parlerò di seguito.
Ma come eliminare le frazioni!? Molto semplice. Applicando le stesse identiche trasformazioni.
Dobbiamo moltiplicare l'intera equazione per la stessa espressione. In modo che tutti i denominatori siano ridotti! Tutto diventerà subito più semplice. Lasciatemi spiegare con un esempio. Dobbiamo risolvere l'equazione:
Come ti insegnavano alle elementari? Spostiamo tutto da una parte, lo portiamo a un denominatore comune, ecc. Dimenticalo come un brutto sogno! Questo è ciò che devi fare quando aggiungi o sottrai frazioni. Oppure lavori con le disuguaglianze. E nelle equazioni moltiplichiamo immediatamente entrambi i lati per un'espressione che ci darà l'opportunità di ridurre tutti i denominatori (cioè, in sostanza, per un denominatore comune). E qual è questa espressione?
Sul lato sinistro, ridurre il denominatore richiede la moltiplicazione per x+2. E a destra è richiesta la moltiplicazione per 2, ciò significa che l'equazione deve essere moltiplicata per 2(x+2). Moltiplicare:
Questa è una moltiplicazione comune delle frazioni, ma la descriverò in dettaglio:
Tieni presente che non sto ancora aprendo la staffa (x+2)! Quindi, per intero, lo scrivo:
Sul lato sinistro si contrae completamente (x+2), e a destra 2. Questo è quanto richiesto! Dopo la riduzione otteniamo lineare equazione:
E tutti possono risolvere questa equazione! x = 2.
Risolviamo un altro esempio, un po' più complicato:
Se ricordiamo che 3 = 3/1, e 2x = 2x/ 1, possiamo scrivere:
E ancora una volta ci liberiamo di ciò che non ci piace davvero: le frazioni.
Vediamo che per ridurre il denominatore con X, dobbiamo moltiplicare la frazione per (x-2). E alcuni non sono un ostacolo per noi. Bene, moltiplichiamo. Tutto lato sinistro e Tutto lato destro:
Ancora parentesi (x-2) Non lo sto rivelando. Lavoro con la parentesi nel suo insieme come se fosse un numero! Questo va fatto sempre, altrimenti non si riduce nulla.
Con un sentimento di profonda soddisfazione riduciamo (x-2) e otteniamo un'equazione senza frazioni, con un righello!
Ora apriamo le parentesi:
Portiamo quelli simili, spostiamo tutto sul lato sinistro e otteniamo:
Ma prima impareremo a risolvere altri problemi. Sugli interessi. A proposito, è un rastrello!
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Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)
Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.
Tipo di lavoro: 13
Condizione
UN) Risolvi l'equazione 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.
B) \sinistra[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \destra].
Mostra soluzioneSoluzione
UN) Aprendo le parentesi e spostando tutti i termini a sinistra, otteniamo l'equazione 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Considerando che \cos x \neq 0, il termine 2 \sin x può essere sostituito da 2 tan x \cos x, otteniamo l'equazione 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0,
1) che raggruppandosi può essere ridotto alla forma (1-tg x)(1-2 \cos x)=0. 1-tgx=0, marrone chiaro x=1,
2) x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z; 1-2 \cos x=0, \cosx=\frac12,
B) x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z. Utilizzando il cerchio numerico, seleziona le radici appartenenti all'intervallo
\sinistra[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \destra].
x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,
x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
UN) Risposta \frac\pi 4+\pi n,
B) \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3,
Tipo di lavoro: 13
\frac(9\pi )4.
Condizione
UN) Argomento: Intervallo di valori ammessi (APV) Risolvi l'equazione
B)(2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot\sqrt (tgx)=0. Indicare le radici di questa equazione che appartengono all'intervallo
Mostra soluzioneSoluzione
UN)\sinistra(0;\,\frac(3\pi )2\destra] ; ODZ:
\begin(cases) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(cases)
L'equazione originale sull'ODZ è equivalente a un insieme di equazioni
\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(array)\right. Risolviamo la prima equazione. Per fare questo effettueremo una sostituzione \cos4x=t, t \in [-1; 1].
Quindi \sin^24x=1-t^2.
Otteniamo:
2(1-t^2)-3t=0, 2t^2+3t-2=0,
t_1=\frac12,
t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].
\cos4x=\frac12,
4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,
x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.
Risolviamo la seconda equazione.
tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.
Utilizzando il cerchio unitario, troviamo soluzioni che soddisfano l'ODZ. Il segno “+” indica il 1° e il 3° quarto, in cui tg x>0. Otteniamo: x=\pi k, k \in \mathbb Z;
B) x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.
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Troviamo le radici appartenenti all'intervallo \left(0;\,\frac(3\pi )2\right]. x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ;
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
UN) x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12). \pi k, k \in \mathbb Z;
B) \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z. \pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi )(12);
Fonte: “Matematica. Preparazione all'Esame di Stato Unificato 2017. A livello di profilo." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.
Tipo di lavoro: 13
\frac(9\pi )4.
Condizione
UN) Risolvi l'equazione: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;
B) Elenca tutte le radici appartenenti all'intervallo \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right].
Mostra soluzioneSoluzione
UN) Perché \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, Quello \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, Ciò significa che l'equazione data è equivalente all'equazione \cos^2x=\cos ^22x, che, a sua volta, è equivalente all'equazione \cos^2x-\cos ^2 2x=0.
Ma \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) E
\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, quindi l'equazione diventa
(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,
(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.
Quindi o 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, oppure 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.
Risolvendo la prima equazione come equazione quadratica per \cos x, otteniamo:
(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4. Quindi o \cos x=1 oppure \cosx=-\frac12. Se \cos x=1, allora x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Se \cos x=-\frac12, Quello x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z.
Allo stesso modo, risolvendo la seconda equazione, otteniamo \cos x=-1 oppure \cosx=\frac12. Se \cos x=-1, allora le radici x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Se \cosx=\frac12, Quello x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.
Uniamo le soluzioni ottenute:
x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.
B) Selezioniamo le radici che rientrano in un dato intervallo utilizzando un cerchio numerico.
Otteniamo: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi, x_3 =\frac(13\pi )3.
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
UN) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;
B) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi )3.
Fonte: “Matematica. Preparazione all'Esame di Stato Unificato 2017. A livello di profilo." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.
Tipo di lavoro: 13
\frac(9\pi )4.
Condizione
UN) Argomento: Intervallo di valori ammessi (APV) 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\sinistra(\dfrac(3\pi )2-x\destra) )(1+tgx).
B) Indicare le radici di questa equazione che appartengono all'intervallo \sinistra(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\destra).
Mostra soluzioneSoluzione
UN) 1. Secondo la formula di riduzione, ctg\sinistra(\frac(3\pi )2-x\destra) =tgx. Il dominio di definizione dell'equazione saranno valori di x tali che \cos x \neq 0 e tan x \neq -1. Trasformiamo l'equazione utilizzando la formula del coseno del doppio angolo 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Otteniamo l'equazione:
5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx). Notare che \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), quindi l'equazione diventa: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). Da qui \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx),
\cos x+\sin x =\frac65. 2. Trasforma \sin x+\cos x utilizzando la formula di riduzione e la formula della somma dei coseni: \sin x=\cos \sinistra(\frac\pi 2-x\destra), \cos x+\peccato x= 2\cos \frac\pi 4\cos \sinistra(x-\frac\pi 4\destra)= \sqrt 2\cos \sinistra(x-\frac\pi 4\destra) = \frac65.
Da qui \cos \sinistra(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5. Significa, x-\frac\pi 4= arco\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,
O x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.
Ecco perché x=\frac\pi 4+arco\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,
O x =\frac\pi 4-arco\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.
I valori trovati di x appartengono al dominio di definizione.
B) Scopriamo prima dove cadono le radici dell'equazione in k=0 e t=0. Questi saranno i numeri di conseguenza a=\frac\pi 4+arcos \frac(3\sqrt 2)5 E
b=\frac\pi 4-arcos \frac(3\sqrt 2)5.
1. Dimostriamo la disuguaglianza ausiliaria:<\frac{3\sqrt 2}2<1.
\frac(\sqrt 2)(2) Veramente,<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.
\frac(\quadrato 2)(2)=\frac(5\quadrato 2)(10) Nota anche questo<1^2=1, \sinistra(\frac(3\quadrato 2)5\destra) ^2=\frac(18)(25) Significa<1.
\frac(3\quadrato 2)5 (1) 2. Dalle disuguaglianze
Per la proprietà arcocoseno otteniamo: 0 Da qui arccos 1<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,
0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,
0 \frac\pi 4+0 Allo stesso modo, -\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5<
0 \frac\pi 4 Per k=-1 et=-1 otteniamo le radici dell'equazione a-2\pi e b-2\pi. \Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg). Allo stesso tempo -2\pi \sinistra(-2\pi , -\frac(3\pi )2\destra). Per altri valori di k e t, le radici dell'equazione non appartengono all'intervallo dato. Infatti, se k\geqslant 1 e t\geqslant 1, allora le radici sono maggiori di 2\pi. UN) Se k\leqslant -2 e t\leqslant -2, le radici sono più piccole B) -\frac(7\pi )2. Fonte: “Matematica. Preparazione all'Esame di Stato Unificato 2017. A livello di profilo." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Tipo di lavoro: 13 UN) Argomento: Intervallo di valori ammessi (APV) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z; B)-\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5. UN)\sin \sinistra(\frac\pi 2+x\destra) =\sin (-2x). Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono all'intervallo ; Trasformiamo l'equazione: \cos x =-\sen 2x, \cos x+2 \sen x \cos x=0, \cos x(1+2 \sen x)=0, \cosx=0, x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z; 1+2 \peccato x=0, B)\peccato x=-\frac12, x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z. Troviamo le radici appartenenti al segmento utilizzando la circonferenza unitaria. UN) L'intervallo indicato contiene un singolo numero \frac\pi 2. B) Troviamo le radici appartenenti al segmento utilizzando la circonferenza unitaria. Fonte: “Matematica. Preparazione all'Esame di Stato Unificato 2017. A livello di profilo." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Tipo di lavoro: 13 UN) Argomento: Intervallo di valori ammessi (APV) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; B)(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z; \frac(\sin x-1)(1+\cos 2x)=\frac(\sin x-1)(1+\cos (\pi +x)). UN) Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento \sinistra[ -\frac(3\pi )(2); -\frac(\pi )2 \right]. Troviamo l'equazione ODZ:\cos 2x \neq -1, \cos (\pi +x) \neq -1; Da qui l'ODZ: L'insieme risultante di valori x non è incluso nell'ODZ. Significa, \peccato x \neq 1. Dividi entrambi i membri dell'equazione per un fattore (\peccato x-1), diverso da zero. Otteniamo l'equazione \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)), o equazione 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Applicando la formula di riduzione a sinistra e la formula di riduzione a destra, otteniamo l'equazione 2\cos^2x=1-\cosx. Questa equazione è per sostituzione \cosx=t, Dove -1 \leqinclinazione t \leqinclinazione 1 ridurlo al quadrato: 2t^2+t-1=0, le cui radici t_1=-1 a=\frac\pi 4+arcos \frac(3\sqrt 2)5 t_2=\frac12. Ritornando alla variabile x, otteniamo \cosx = \frac12 O \cosx=-1, Dove x=\frac\pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pik, k \in \mathbb Z. B) Risolviamo le disuguaglianze 1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , 2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,) 3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , M, N, k \in \mathbb Z. 1)
-\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqinclinazione -\frac56, -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12). \sinistra [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\destra]. 2)
-\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12). Non ci sono numeri interi nell'intervallo \sinistra[ -\frac7(12) ; -\frac1(12)\destra]. 3)
-\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34. Questa disuguaglianza è soddisfatta da k=-1, quindi x=-\pi. UN) \frac\pi 3+2\pi m; -\frac\pi 3+2\pi n; \pi +2\pik, M, N, k \in \mathbb Z; B) -\pi . Fonte: “Matematica. Preparazione all'Esame di Stato Unificato 2017. A livello di profilo." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. (\sin x-\cos 2x)\cdot (\sin x+\cos 2x) e \cos 2x=1-2 \sin ^2 x, quindi l'equazione assumerà la forma (\sin x-(1-2 \sin ^2 x))\,\cdot(\sin x+(1-2 \sin ^2 x))=0, (2 \sin ^2 x+\sin x-1)\,\cdot (2 \sin ^2 x-\sin x-1)=0. Quindi 2 \sin ^2 x+\sin x-1=0 oppure 2 \sin ^2 x-\sin x-1=0. Risolviamo la prima equazione come equazione quadratica rispetto a \sin x, (\sin x)_(1,2)=\frac(-1 \pm \sqrt 9)4=\frac(-1 \pm 3)4. Quindi o \sin x=-1 oppure \sinx=\frac12. Se \sin x=-1, allora x=\frac(3\pi )2+ 2k\pi , k \in \mathbb Z. Se \peccato x=\frac12, O x=\frac\pi 6 +2s\pi , s \in \mathbb Z, O x=\frac(5\pi )6+2t\pi , t \in \mathbb Z. Allo stesso modo, risolvendo la seconda equazione, otteniamo \sin x=1 oppure \sin x=-\frac12. Poi x =\frac\pi 2+2m\pi , m\in \mathbb Z, O x=\frac(-\pi )6 +2n\pi , n \in \mathbb Z, O x=\frac(-5\pi )6+2p\pi , p \in \mathbb Z. Uniamo le soluzioni ottenute: x=\frac\pi 2+m\pi,m\in\mathbb Z; x=\pm\frac\pi 6+s\pi,s \in \mathbb Z. B) Selezioniamo le radici che rientrano in un dato intervallo utilizzando un cerchio numerico. Otteniamo: x_1 =\frac(7\pi )2, x_2 =\frac(23\pi )6, x_3 =\frac(25\pi )6. UN) \frac\pi 2+ m\pi , m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 6 +s\pi , s \in \mathbb Z; B) \frac(7\pi )2;\,\,\frac(23\pi )6;\,\,\frac(25\pi )6. Qualsiasi espressione con una variabile ha il proprio intervallo di valori validi, dove esiste. L'ODZ deve essere sempre preso in considerazione quando si prendono decisioni. Se è assente, potresti ottenere un risultato errato. Questo articolo ti mostrerà come trovare correttamente ODZ e utilizzare esempi. Verrà inoltre discussa l’importanza di indicare la DZ quando si prende una decisione. Questa definizione è relativa ai valori consentiti della variabile. Quando introduciamo la definizione, vediamo a quale risultato porterà. A partire dalla seconda media, iniziamo a lavorare con i numeri e le espressioni numeriche. Le definizioni iniziali con variabili passano al significato delle espressioni con variabili selezionate. Quando sono presenti espressioni con variabili selezionate, alcune di esse potrebbero non soddisfare. Ad esempio, un'espressione della forma 1: a, se a = 0, non ha senso, poiché è impossibile dividere per zero. Cioè l'espressione deve avere valori adatti in ogni caso e dare una risposta. In altre parole, hanno senso con le variabili esistenti. Definizione 1 Se esiste un'espressione con variabili, ha senso solo se il valore può essere calcolato sostituendole. Definizione 2 Se esiste un'espressione con variabili, non ha senso quando, sostituendole, il valore non può essere calcolato. Cioè, questo implica una definizione completa Definizione 3 Le variabili ammissibili esistenti sono quei valori per i quali l'espressione ha senso. E se non ha senso, sono considerati inaccettabili. Per chiarire quanto sopra: se c'è più di una variabile, allora potrebbero esserci una coppia di valori adatti. Esempio 1 Ad esempio, considera un'espressione della forma 1 x - y + z, dove sono presenti tre variabili. Altrimenti puoi scriverlo come x = 0, y = 1, z = 2, mentre un'altra voce ha la forma (0, 1, 2). Questi valori sono chiamati validi, il che significa che è possibile trovare il valore dell'espressione. Otteniamo che 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. Da ciò vediamo che (1, 1, 2) sono inaccettabili. La sostituzione risulta in una divisione per zero, ovvero 1 1 - 2 + 1 = 1 0. L'intervallo di valori accettabili è un elemento importante quando si valutano le espressioni algebriche. Pertanto, vale la pena prestare attenzione a questo quando si effettuano i calcoli. Definizione 4 Zona ODZè l'insieme dei valori ammessi per una data espressione. Diamo un'occhiata ad un'espressione di esempio. Esempio 2 Se abbiamo un'espressione della forma 5 z - 3, allora l'ODZ ha la forma (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) . Questo è l'intervallo di valori validi che soddisfa la variabile z per una determinata espressione. Se esistono espressioni della forma z x - y, allora è chiaro che x ≠ y, z assume qualsiasi valore. Queste sono chiamate espressioni ODZ. È necessario tenerne conto per non ottenere una divisione per zero durante la sostituzione. L'intervallo di valori consentiti e l'intervallo di definizione hanno lo stesso significato. Solo il secondo viene utilizzato per le espressioni e il primo per equazioni o disuguaglianze. Con l'aiuto di DL, l'espressione o disuguaglianza ha senso. Il dominio di definizione della funzione coincide con l'intervallo di valori consentiti della variabile x per l'espressione f (x). Trovare l'ODZ significa trovare tutti i valori validi che si adattano a una determinata funzione o disuguaglianza. Il mancato rispetto di queste condizioni potrebbe portare a risultati errati. Per trovare l'ODZ è spesso necessario effettuare delle trasformazioni in una data espressione. Ci sono espressioni in cui il loro calcolo è impossibile: Tutto ciò dimostra quanto sia importante avere ODZ. Esempio 3 Trova l'espressione ODZ x 3 + 2 x y − 4 .
Soluzione
Qualsiasi numero può essere cubato. Questa espressione non ha una frazione, quindi i valori di xey possono essere qualsiasi. Cioè, ODZ è un numero qualsiasi. Risposta: xey – qualsiasi valore. Esempio 4 Trova l'ODZ dell'espressione 1 3 - x + 1 0. Soluzione
Si può vedere che esiste una frazione il cui denominatore è zero. Ciò significa che per qualsiasi valore di x otterremo la divisione per zero. Ciò significa che possiamo concludere che questa espressione è considerata indefinita, cioè non ha alcuna responsabilità aggiuntiva. Risposta: ∅ . Esempio 5 Trova l'ODZ dell'espressione data x + 2 · y + 3 - 5 · x. Soluzione
La presenza di una radice quadrata significa che questa espressione deve essere maggiore o uguale a zero. Se è negativo, non ha significato. Ciò significa che è necessario scrivere una disuguaglianza della forma x + 2 · y + 3 ≥ 0. Cioè, questo è l'intervallo desiderato di valori accettabili. Risposta: insieme di x e y, dove x + 2 y + 3 ≥ 0. Esempio 6 Determina l'espressione ODZ della forma 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) . Soluzione
Per condizione, abbiamo una frazione, quindi il suo denominatore non dovrebbe essere uguale a zero. Otteniamo che x + 1 - 1 ≠ 0. L'espressione radicale ha sempre senso quando maggiore o uguale a zero, cioè x + 1 ≥ 0. Poiché ha un logaritmo, la sua espressione deve essere strettamente positiva, cioè x 2 + 3 > 0. Anche la base del logaritmo deve avere valore positivo e diverso da 1, quindi aggiungiamo le condizioni x + 8 > 0 e x + 8 ≠ 1. Ne consegue che la ODZ desiderata assumerà la forma: x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1 In altre parole, si chiama sistema di diseguaglianze con una variabile. La soluzione porterà alla seguente notazione ODZ [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) . Risposta: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞) Durante le trasformazioni di identità, è importante trovare l'ODZ. Ci sono casi in cui l'esistenza di ODZ non si verifica. Per capire se una determinata espressione ha una soluzione è necessario confrontare il VA delle variabili dell'espressione originale e il VA di quella risultante. Trasformazioni dell'identità: Diamo un'occhiata a un esempio. Esempio 7 Se abbiamo un'espressione della forma x 2 + x + 3 · x, allora la sua ODZ è definita sull'intero dominio di definizione. Anche riportando termini simili e semplificando l'espressione, l'ODZ non cambia. Esempio 8 Se prendiamo l'esempio dell'espressione x + 3 x − 3 x, allora le cose stanno diversamente. Abbiamo un'espressione frazionaria. E sappiamo che la divisione per zero è inaccettabile. Allora l'ODZ ha la forma (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . Si può vedere che zero non è una soluzione, quindi lo aggiungiamo tra parentesi. Consideriamo un esempio con la presenza di un'espressione radicale. Esempio 9 Se esiste x - 1 · x - 3, allora dovresti prestare attenzione all'ODZ, poiché deve essere scritto come la disuguaglianza (x − 1) · (x − 3) ≥ 0. È possibile risolvere con il metodo degli intervalli, quindi troviamo che l'ODZ assumerà la forma (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . Dopo aver trasformato x - 1 · x - 3 e applicato la proprietà delle radici, abbiamo che l'ODZ può essere integrata e il tutto può essere scritto sotto forma di un sistema di disequazioni della forma x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ 0. Risolvendolo, troviamo che [ 3 , + ∞) . Ciò significa che l'ODZ è completamente scritto come segue: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . Le trasformazioni che restringono la DZ devono essere evitate. Esempio 10 Consideriamo un esempio dell'espressione x - 1 · x - 3, quando x = - 1. Sostituendo, otteniamo che - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Se trasformiamo questa espressione e la portiamo nella forma x - 1 · x - 3, nel calcolo scopriamo che 2 - 1 · 2 - 3 l'espressione non ha senso, poiché l'espressione radicale non dovrebbe essere negativa. È necessario aderire alle identiche trasformazioni che l'ODZ non cambierà. Se ci sono esempi che lo espandono, allora dovrebbero essere aggiunti al DL. Esempio 11 Consideriamo l'esempio di una frazione della forma x x 3 + x. Se eliminiamo per x, otteniamo 1 x 2 + 1. Quindi l'ODZ si espande e diventa (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Inoltre, durante il calcolo, lavoriamo già con la seconda frazione semplificata. In presenza dei logaritmi la situazione è leggermente diversa. Esempio 12 Se esiste un'espressione della forma ln x + ln (x + 3), viene sostituita da ln (x · (x + 3)), in base alla proprietà del logaritmo. Da ciò possiamo vedere che ODZ da (0 , + ∞) a (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Pertanto per determinare l'ODZ ln (x · (x + 3)) è necessario effettuare i calcoli sull'ODZ, cioè sull'insieme (0, + ∞). Durante la risoluzione è sempre necessario prestare attenzione alla struttura e al tipo di espressione data dalla condizione. Se l'area di definizione viene trovata correttamente, il risultato sarà positivo. Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio Quando risolviamo vari problemi, molto spesso dobbiamo eseguire identiche trasformazioni di espressioni. Ma succede che in alcuni casi una sorta di trasformazione è accettabile, in altri no. Un significativo supporto in termini di monitoraggio dell'ammissibilità delle trasformazioni in corso viene fornito da ODZ. Diamo un'occhiata a questo in modo più dettagliato. L'essenza dell'approccio è la seguente: l'ODZ delle variabili per l'espressione originale viene confrontato con l'ODZ delle variabili per l'espressione ottenuta come risultato di trasformazioni identiche e, sulla base dei risultati del confronto, vengono tratte le conclusioni appropriate. In generale, le trasformazioni dell'identità possono Illustriamo ogni caso con un esempio. Considera l'espressione x 2 +x+3·x, l'ODZ della variabile x per questa espressione è l'insieme R. Ora eseguiamo la seguente trasformazione identica con questa espressione: presentiamo termini simili, di conseguenza assumerà la forma x 2 +4·x. Ovviamente anche la variabile x di questa espressione è un insieme R. Pertanto la trasformazione effettuata non ha modificato la DZ. Andiamo avanti. Prendiamo l'espressione x+3/x−3/x. In questo caso, l'ODZ è determinato dalla condizione x≠0, che corrisponde all'insieme (−∞, 0)∪(0, +∞) . Questa espressione contiene anche termini simili, dopo averli ridotti si arriva all'espressione x, per la quale l'ODZ è R. Cosa vediamo: come risultato della trasformazione, l'ODZ è stato espanso (il numero zero è stato aggiunto all'ODZ della variabile x per l'espressione originale). Resta da considerare un esempio di restringimento dell'intervallo di valori accettabili dopo le trasformazioni. Prendiamo l'espressione x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
\frac(9\pi )4.Condizione
Soluzione
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
\frac(9\pi )4.Condizione
Soluzione
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
Valori delle variabili validi e non validi
Cos'è l'ODZ?
Come trovare ODZ? Esempi, soluzioni
Perché è importante considerare il DPD quando si guida il cambiamento?
. L'ODZ della variabile x è determinata dalla disuguaglianza (x−1)·(x−3)≥0, per la sua soluzione è adatta, ad esempio, di conseguenza abbiamo (−∞, 1]∪∪; modificato di S. A. Telyakovsky - 17- ed. - M.: Educazione, 2008. - 240 p.: illustrato - ISBN 978-5-09-019315-3.
