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Teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto materiale.

Teorema sulla variazione del momento angolare di un punto materiale La quantità di movimento del sistema, come quantità vettoriale, è determinata dalle formule (4.12) e (4.13). Teorema. La derivata della quantità di moto del sistema rispetto al tempo è uguale a

somma geometrica

tutte le forze esterne che agiscono su di esso.

(4.28)

Nelle proiezioni degli assi cartesiani otteniamo equazioni scalari.

Puoi scrivere un vettore

ed equazioni scalari

Che esprimono il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema in forma integrale: la variazione della quantità di moto del sistema in un certo periodo di tempo è uguale alla somma degli impulsi nello stesso periodo di tempo. Quando si risolvono i problemi, vengono utilizzate più spesso le equazioni (4.27).

Legge di conservazione della quantità di moto Teorema sulla variazione del momento angolare Teorema sulla variazione del momento angolare di un punto rispetto al centro: la derivata temporale del momento angolare di un punto rispetto a un centro fisso è pari a

momento vettoriale (4.30)

, agendo su un punto di forza relativo allo stesso centro.

(4.31)

O

Confrontando (4.23) e (4.30), vediamo che i momenti dei vettori e sono legati dalla stessa dipendenza di cui sono legati i vettori e loro stessi (Fig. 4.1). Se proiettiamo l'uguaglianza sull'asse passante per il centro O, otteniamo

Questa uguaglianza esprime il teorema del momento angolare di un punto rispetto ad un asse. Riso. 4.1. Teorema sulla variazione del momento angolare principale o momento angolare

(4.32)

sistema meccanico

(4.33)

rispetto al centro: la derivata temporale del momento angolare del sistema rispetto ad un centro fisso è uguale alla somma dei momenti di tutte le forze esterne rispetto allo stesso centro.

(4.34)

(4.35)

(4.36)

Pertanto, è consigliabile utilizzare il teorema sulla variazione del momento angolare per studiare il movimento di un corpo rigido, cosa molto comune nella tecnologia, la sua rotazione attorno a asse fisso.

Legge di conservazione del momento angolare di un sistema

1. Inserisci l'espressione (4.32) .

Quindi dall’equazione (4.32) segue che, cioè se la somma dei momenti di tutte le forze esterne applicate al sistema rispetto a un dato centro è uguale a zero, allora il momento cinetico del sistema rispetto a questo centro sarà numericamente e direzionalmente costante.

2. Se , allora . Pertanto, se la somma dei momenti delle forze esterne che agiscono sul sistema rispetto a un determinato asse è zero, allora il momento cinetico del sistema rispetto a questo asse sarà un valore costante.

Questi risultati esprimono la legge di conservazione del momento angolare.

Nel caso di un corpo rigido rotante, segue dall'uguaglianza (4.34) che, se , allora . Da qui arriviamo alle seguenti conclusioni:

Se il sistema è immutabile (assolutamente solido), quindi, e il corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso con velocità angolare costante.

Se il sistema è mutevole, allora . Quando si aumenta (quindi singoli elementi i sistemi si allontanano dall'asse di rotazione) la velocità angolare diminuisce, perché , e quando diminuisce aumenta, quindi, nel caso di un sistema variabile, con l'aiuto di forze interne è possibile modificare la velocità angolare.

Secondo compito D2 lavoro di provaè dedicato al teorema sulla variazione del momento angolare di un sistema rispetto ad un asse.

Problema D2

Una piattaforma orizzontale omogenea (circolare con raggio R o rettangolare con lati R e 2R, dove R = 1,2 m) con massa kg ruota con velocità angolare attorno all'asse verticale z, distanziata dal centro di massa C della piattaforma ad una distanza distanza OC = b (Fig. E2.0 – D2.9, tabella D2); Le dimensioni di tutte le piattaforme rettangolari sono mostrate in Fig. D2.0a (vista dall'alto).

In questo momento, un carico D con una massa di kg inizia a muoversi lungo lo scivolo della piattaforma (sotto l'influenza di forze interne) secondo la legge, dove s è espresso in metri, t - in secondi. Allo stesso tempo, una coppia di forze con un momento M (espresso in newtonometri; in M< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).

Determinare, trascurando la massa dell’albero, la dipendenza cioè velocità angolare della piattaforma in funzione del tempo.

In tutte le figure il carico D è mostrato in una posizione in cui s > 0 (quando s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.

Indicazioni. Problema D2 – applicare il teorema sulla variazione del momento angolare del sistema. Quando si applica il teorema ad un sistema costituito da una piattaforma e un carico, il momento angolare del sistema rispetto all'asse z viene determinato come la somma dei momenti della piattaforma e del carico. Va tenuto presente che la velocità assoluta del carico è la somma delle velocità relativa e portatile, ad es. . Pertanto, la quantità di movimento di questo carico . Quindi puoi usare il teorema di Varignon (statica), secondo il quale ; questi momenti si calcolano allo stesso modo dei momenti delle forze. La soluzione è spiegata più dettagliatamente nell'esempio D2.

Quando si risolve il problema, è utile rappresentare nel disegno ausiliario una vista della piattaforma dall'alto (dall'estremità z), come fatto in Fig. D2.0, a – D2.9, a.

Il momento d'inerzia di una piastra di massa m rispetto all'asse Cz, perpendicolare alla piastra e passante per il suo baricentro, è pari a: per una piastra rettangolare con lati e

;

Per una piastra rotonda di raggio R

Numero di condizione	B	s = F(t)	M
	R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2	-0,4 0,6 0,8 10 t 0,4 -0,5 t -0,6 t 0,8 t 0,4 0,5	4t -6 -8t -9 6 -10 12

	Riso. D2.0		Riso. D2.0a

	Riso. D2.1		Riso. D2.1a

	Riso. D2.2		Riso. D2.2a

	Riso. D2.3		Riso. D2.3a

	Riso. D2.4
		Riso. D2.4a

		Riso. D2.5a
	Riso. D2.5

	Riso. D2.6		Riso. D2.6a

	Riso. D2.7		Riso. D2.7a

	Riso. D2.8		Riso. D2.8a

	Riso. D2.9		Riso. D2.9a

	Riso. D2

Esempio D2. Una piattaforma orizzontale omogenea (rettangolare con lati 2l e l), avente una massa, è rigidamente fissata ad un albero verticale e ruota con esso attorno ad un asse z con velocità angolare (Fig. E2a ). In quel momento sull'albero inizia ad agire una coppia M diretta in senso opposto ; caricare contemporaneamente D massa situata nella trincea AB al punto CON, inizia a muoversi lungo lo scivolo (sotto l'influenza di forze interne) secondo la legge s = CD = F(t).

Dato: m 1 = 16 kg, t2= 10kg, l= 0,5 m, = 2, s = 0,4t 2 (s - in metri, t - in secondi), M= kt, Dove k=6Nm/s. Determinare: - la legge della variazione della velocità angolare della piattaforma.

Soluzione. Consideriamo un sistema meccanico costituito da una piattaforma e un carico D. Per determinare w applichiamo il teorema sulla variazione del momento angolare del sistema rispetto all'asse z:

(1)

Descriviamo le forze esterne che agiscono sul sistema: la forza gravitazionale della reazione e la coppia M. Poiché le forze e sono parallele all'asse z e le reazioni intersecano questo asse, i loro momenti relativi all'asse z sono uguali a zero. Quindi, considerando la direzione per il momento positiva (cioè antioraria), otteniamo e l'equazione (1) assumerà questa forma.

Teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto

Poiché la massa di un punto e la sua accelerazione sono costanti, l'equazione che esprime la legge fondamentale della dinamica può essere rappresentata nella forma

L'equazione esprime contemporaneamente il teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto in forma differenziale: derivata temporale della quantità di moto di un punto è uguale alla somma geometrica delle forze agenti sul punto.

Integriamo questa equazione. Lasciamo che la massa punti M, muovendosi sotto l'influenza della forza (Fig. 15), ha in questo momento T=0 velocità e al momento T 1 velocità.

Fig.15

Quindi moltiplichiamo entrambi i membri dell'uguaglianza per e da essi prendiamo gli integrali definiti. In questo caso, a destra, dove avviene l'integrazione nel tempo, i limiti degli integrali saranno 0 e T 1, e a sinistra, dove è integrata la velocità, i limiti dell'integrale saranno i corrispondenti valori di velocità e . Poiché l'integrale di è uguale , quindi come risultato otteniamo:

.

Gli integrali a destra rappresentano gli impulsi forze attive. Avremo quindi finalmente:

.

L'equazione esprime il teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto nella forma finale: la variazione della quantità di moto di un punto in un certo periodo di tempo è uguale alla somma geometrica degli impulsi di tutte le forze agenti sul punto nello stesso periodo di tempo ( riso. 15).

Quando si risolvono i problemi, vengono spesso utilizzate equazioni di proiezione invece di equazioni vettoriali.

Nel caso di movimento rettilineo che avviene lungo l'asse OH il teorema è espresso dalla prima di queste equazioni.

Esempio 9. Trova la legge del moto punto materiale masse M, muovendosi lungo l'asse X sotto l'influenza di una forza costante in modulo F(Fig. 16) alle condizioni iniziali: , a .

Fig.16

Soluzione. Creiamo un'equazione differenziale per il movimento di un punto in proiezione sull'asse X: . Integrando questa equazione, troviamo: . La costante è determinata dalla condizione iniziale della velocità ed è pari a . Finalmente

.

Inoltre, tenendo conto che v = dx/dt, arriviamo all'equazione differenziale: , integrando il quale otteniamo

La costante è determinata dalla condizione iniziale per la coordinata del punto. È uguale. Di conseguenza, la legge del moto di un punto ha la forma

Esempio 10. Carico di peso R(Fig. 17) inizia a muoversi da uno stato di riposo lungo un piano orizzontale liscio sotto l'influenza della forza F = ct. Trova la legge del moto del carico.

Fig.17

Soluzione. Scegliamo l'origine del sistema di coordinate DI nella posizione iniziale del carico e dirigere l'asse X nella direzione del movimento (Fig. 17). Allora le condizioni iniziali hanno la forma: X(t = 0) = 0,v( t = 0) = 0. Sul carico agiscono delle forze F,P e la forza di reazione piana N. Proiezioni di queste forze sull'asse X avere significati FX = F = kt, RX = 0, Nx= 0, quindi la corrispondente equazione del moto può essere scritta come segue: . Separando le variabili di questa equazione differenziale e poi integrandole, otteniamo: v = Gkt 2 /2P + C 1. Sostituendo i dati iniziali ( v(0) = 0), lo troviamo C 1 = 0 e otteniamo la legge del cambiamento di velocità .

L'ultima espressione, a sua volta, è un'equazione differenziale, integrando la quale troviamo la legge del moto di un punto materiale: . La costante qui inclusa è determinata dalla seconda condizione iniziale X(0) = 0. È facile verificarlo. Finalmente

Esempio 11. Su un carico fermo su un piano orizzontale liscio (vedi Fig. 17) a distanza UN dall'origine, comincia ad agire nella direzione positiva dell'asse X forza F = k 2 (P/G)X, Dove R - peso del carico. Trova la legge del moto del carico.

Soluzione. Equazione del moto del carico considerato (punto materiale) in proiezione sull'asse X

Le condizioni iniziali dell’equazione (1) hanno la forma: X(t = 0) = UN, v( t = 0) = 0.

Rappresentiamo la derivata temporale della velocità inclusa nell'equazione (1) come segue:

.

Sostituendo questa espressione nell'equazione (1) e riducendo di ( P/G), otteniamo

Separando le variabili nell'ultima equazione, lo troviamo . Integrando quest'ultima, abbiamo: . Utilizzo delle condizioni iniziali , otteniamo , e, quindi,

, . (2)

Poiché la forza agisce sul carico nella direzione positiva dell'asse X, allora è chiaro che dovrebbe muoversi nella stessa direzione. Pertanto nella soluzione (2) va scelto il segno più. Sostituendo ulteriormente nella seconda espressione (2) con , otteniamo un'equazione differenziale per determinare la legge di moto del carico. Donde, separando le variabili, abbiamo

.

Integrando quest’ultimo, troviamo: . Dopo aver trovato la costante finalmente otteniamo

Esempio 12. Palla M masse M(Fig. 18) cade senza velocità iniziale sotto l'influenza della gravità. Quando la palla cade, incontra resistenza, dove – coefficiente di resistenza costante. Trova la legge del moto della palla.

Fig.18

Soluzione. Introduciamo un sistema di coordinate con l'origine nel punto in cui si trova la palla t = 0, dirigendo l'asse A verticalmente verso il basso (Fig. 18). Equazione differenziale del moto di una palla proiettata sull'asse A allora ha la forma

Le condizioni iniziali della palla sono scritte come segue: sì(t = 0) = 0, v( t = 0) = 0.

Separare le variabili nell'equazione (1)

e integrando troviamo: , dove . O dopo aver trovato una costante

O . (2)

Ne consegue che la velocità massima, cioè la velocità a , è uguale a .

Per trovare la legge del moto, sostituire v nell'equazione (2) con morire/dt. Quindi, integrando l'equazione risultante tenendo conto della condizione iniziale, troviamo finalmente

.

Esempio 13. Sottomarino da ricerca di forma e massa sferica M= = 1,5×105 kg inizia ad immergersi a motori spenti, avendo una velocità orizzontale v X 0 = 30 SM e galleggiabilità negativa R 1 = 0.01mg, Dove – somma vettoriale della forza di galleggiamento di Archimede Q e gravità mg, agendo sulla barca (Fig. 20). Forza di resistenza all'acqua , kg/s. Determinare le equazioni del moto della barca e la sua traiettoria.

Teoremi generali sulla dinamica di un sistema di corpi. Teoremi sul movimento del centro di massa, sulla variazione della quantità di moto, sulla variazione del momento angolare principale, sulla variazione dell'energia cinetica. Principi di D'Alembert e movimenti possibili. Equazione generale della dinamica. Equazioni di Lagrange.

Contenuto

Il lavoro svolto dalla forza, è uguale prodotto scalare vettori forza e spostamento infinitesimo del punto di applicazione:
,
cioè il prodotto dei valori assoluti dei vettori F e ds per il coseno dell'angolo compreso tra loro.

Il lavoro compiuto dal momento della forza, è uguale al prodotto scalare dei vettori coppia e dell'angolo di rotazione infinitesimale:
.

principio di d'Alembert

L'essenza del principio di d'Alembert è ridurre i problemi di dinamica a problemi di statica. Per fare ciò, si assume (o si sa in anticipo) che i corpi del sistema abbiano determinate accelerazioni (angolari). Successivamente vengono introdotte le forze inerziali e (o) i momenti delle forze inerziali, che sono uguali in grandezza e opposti in direzione alle forze e ai momenti delle forze che, secondo le leggi della meccanica, creerebbero date accelerazioni o accelerazioni angolari

Diamo un'occhiata a un esempio. Il corpo subisce un movimento di traslazione ed è influenzato da forze esterne. Assumiamo inoltre che queste forze creino un'accelerazione del centro di massa del sistema. Secondo il teorema sul moto del centro di massa, il centro di massa di un corpo avrebbe la stessa accelerazione se sul corpo agisse una forza. Successivamente introduciamo la forza di inerzia:
.
Successivamente, il problema della dinamica:
.
;
.

Per il movimento rotatorio procedere allo stesso modo. Lasciamo che il corpo ruoti attorno all'asse z e sia influenzato da momenti di forza esterni M e zk .
.
Assumiamo che questi momenti creino un'accelerazione angolare ε z.
;
.

Successivamente introduciamo le forze del momento d'inerzia M И = - J z ε z.

Successivamente, il problema della dinamica:

Si trasforma in un problema di statica:.
Il principio dei movimenti possibili Il principio degli spostamenti possibili viene utilizzato per risolvere problemi statici. In alcuni problemi fornisce una soluzione più breve rispetto alla composizione delle equazioni di equilibrio. Ciò è particolarmente vero per i sistemi con connessioni (ad esempio sistemi di corpi collegati da fili e blocchi) costituiti da molti corpi di tutte le forze attive che agiscono su di esso per qualsiasi possibile trasferimento sistema era uguale a zero.

Possibile riposizionamento del sistema- si tratta di un piccolo movimento in cui i collegamenti imposti al sistema non vengono interrotti.

Connessioni ideali- si tratta di connessioni che non eseguono lavoro quando il sistema si muove. Più precisamente, la quantità di lavoro svolto dalle connessioni stesse durante lo spostamento del sistema è zero.

Equazione generale della dinamica (principio di D'Alembert - Lagrange)

Il principio di D'Alembert-Lagrange è una combinazione del principio di D'Alembert con il principio dei movimenti possibili. Cioè, quando risolviamo un problema dinamico, introduciamo forze inerziali e riduciamo il problema a un problema statico, che risolviamo utilizzando il principio dei possibili spostamenti.

Principio di D'Alembert-Lagrange.
Quando un sistema meccanico con connessioni ideali si muove, in ogni momento la somma dei lavori elementari di tutte le forze attive applicate e di tutte le forze inerziali su ogni possibile movimento del sistema è zero:
.
Questa equazione si chiama equazione generale della dinamica.

Equazioni di Lagrange

Coordinate q generalizzate 1 , q 2 , ..., q n è un insieme di n quantità che determinano univocamente la posizione del sistema.

Il numero di coordinate generalizzate n coincide con il numero di gradi di libertà del sistema.

Velocità generalizzate sono derivate di coordinate generalizzate rispetto al tempo t.

Forze generalizzate Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Consideriamo un possibile movimento del sistema, in cui la coordinata q k riceverà uno spostamento δq k.
Le restanti coordinate rimangono invariate. Sia δAk il lavoro compiuto dalle forze esterne durante tale movimento. Poi
.

δA k = Q k δq k , oppure
Se, con un possibile movimento del sistema, cambiano tutte le coordinate, allora il lavoro compiuto dalle forze esterne durante tale movimento ha la forma: δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.

Allora le forze generalizzate sono derivate parziali del lavoro sugli spostamenti: Per le forze potenziali
.

con potenziale Π, Equazioni di Lagrange

- queste sono le equazioni del moto di un sistema meccanico in coordinate generalizzate: Ecco T- energia cinetica
.

. È una funzione di coordinate generalizzate, velocità e, possibilmente, tempo. Pertanto, la sua derivata parziale è anche una funzione di coordinate generalizzate, velocità e tempo. Successivamente, è necessario tenere conto del fatto che le coordinate e le velocità sono funzioni del tempo. Pertanto, per trovare la derivata totale rispetto al tempo, è necessario applicare la regola di derivazione di una funzione complessa:
Letteratura utilizzata: SM Targ, Corso breve, « meccanica teorica Scuola di specializzazione

Come per un punto materiale, ricaveremo un teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema in varie forme.

Trasformiamo l'equazione (teorema sul movimento del baricentro di un sistema meccanico)

come segue:

;

;

L'equazione risultante esprime il teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico in forma differenziale: la derivata della quantità di moto di un sistema meccanico rispetto al tempo è uguale al vettore principale delle forze esterne che agiscono sul sistema .

Nelle proiezioni sugli assi delle coordinate cartesiane:

; ; .

Prendendo nel tempo gli integrali di entrambi i membri delle ultime equazioni, otteniamo un teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico in forma integrale: la variazione della quantità di moto di un sistema meccanico è uguale alla quantità di moto del vettore principale di forze esterne che agiscono sul sistema .

.

Oppure nelle proiezioni sugli assi delle coordinate cartesiane:

; ; .

Corollari dal teorema (leggi di conservazione della quantità di moto)

La legge di conservazione della quantità di moto si ottiene come casi particolari del teorema sulla variazione della quantità di moto per un sistema in funzione delle caratteristiche del sistema di forze esterne. Le forze interne possono essere qualsiasi, poiché non influenzano i cambiamenti della quantità di moto.

I casi possibili sono due:

1. Se la somma vettoriale di tutte le forze esterne applicate al sistema è uguale a zero, allora la quantità di movimento del sistema è costante in grandezza e direzione

2. Se la proiezione del vettore principale delle forze esterne su qualsiasi asse delle coordinate e/o e/o , allora la proiezione della quantità di moto sugli stessi assi è un valore costante, cioè e/o e/o rispettivamente.

Immissioni simili possono essere effettuate per un punto materiale e per un punto materiale.

Condizione problematica. Da una pistola la cui massa M, un proiettile di massa vola via in direzione orizzontale M a velocità v. Trova la velocità V armi dopo aver sparato.

Soluzione. Tutte le forze esterne che agiscono sul sistema meccanico arma-proiettile sono verticali. Ciò significa che, in base al corollario del teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema, abbiamo: .

La quantità di movimento del sistema meccanico prima dello sparo:

La quantità di movimento del sistema meccanico dopo lo sparo:

.

Uguagliando i membri destri delle espressioni, otteniamo che

.

Il segno "-" nella formula risultante indica che dopo aver sparato la pistola rotolerà indietro nella direzione opposta all'asse Bue.

ESEMPIO 2. Un flusso di liquido con densità scorre ad una velocità V da un tubo con area di sezione trasversale F e colpisce una parete verticale ad angolo. Determinare la pressione del fluido sulla parete.

SOLUZIONE. Applichiamo il teorema sulla variazione della quantità di moto in forma integrale a un volume di liquido con una massa M colpire un muro per un periodo di tempo T.

EQUAZIONE DI MESHCHERSKY

(equazione fondamentale della dinamica di un corpo di massa variabile)

Nella tecnologia moderna si verificano casi in cui la massa di un punto e di un sistema non rimane costante durante il movimento, ma cambia. Quindi, ad esempio, durante il volo dei razzi spaziali, a causa dell'espulsione dei prodotti della combustione e di singole parti non necessarie dei razzi, la variazione di massa raggiunge il 90-95% del valore iniziale totale. Ma non solo la tecnologia spaziale può essere un esempio della dinamica del movimento di massa variabile. Nell'industria tessile si verificano cambiamenti significativi nella massa di vari fusi, bobine e rotoli alle moderne velocità operative di macchine e macchinari.

Consideriamo le principali caratteristiche associate alle variazioni di massa, utilizzando l'esempio del movimento traslatorio di un corpo di massa variabile. La legge fondamentale della dinamica non può essere applicata direttamente ad un corpo di massa variabile. Pertanto otteniamo equazioni differenziali moto di un punto di massa variabile, applicando il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema.

Lascia che il punto abbia massa m+DM si muove a velocità. Quindi una certa particella con una massa viene separata dal punto dm muovendosi a velocità.

La quantità di movimento del corpo prima che la particella si stacchi:

La quantità di movimento di un sistema costituito da un corpo e una particella staccata dopo la sua separazione:

Quindi il cambiamento di slancio:

Per il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema:

Indichiamo la quantità - velocità relativa particelle:

Denotiamo

Misurare R chiamata forza reattiva. La forza reattiva è la spinta del motore causata dall'espulsione del gas dall'ugello.

Finalmente otteniamo

-

Questa formula esprime l'equazione base della dinamica di un corpo di massa variabile (formula di Meshchersky). Dall'ultima formula segue che le equazioni differenziali del moto di un punto di massa variabile hanno la stessa forma di un punto di massa costante, fatta eccezione per la forza reattiva aggiuntiva applicata al punto dovuta alla variazione di massa.

L'equazione fondamentale per la dinamica di un corpo di massa variabile indica che l'accelerazione di questo corpo si forma non solo a causa delle forze esterne, ma anche a causa della forza reattiva.

La forza reattiva è una forza simile a quella avvertita dalla persona che spara: quando si spara con una pistola, viene avvertita dalla mano; Quando si spara con un fucile, viene percepito dalla spalla.

La prima formula di Tsiolkovsky (per un razzo a stadio singolo)

Lasciamo che un punto di massa variabile o un razzo si muovano in linea retta sotto l'influenza di una sola forza reattiva. Poiché per molti moderni motori a reazione, dov'è la massima forza reattiva (spinta del motore) consentita dalla progettazione del motore; - la forza di gravità agente sul motore situato sul superficie terrestre. Quelli. quanto sopra ci consente di trascurare la componente nell'equazione di Meshchersky e di accettare questa equazione nella forma per ulteriori analisi: ,

Indichiamo:

Riserva di carburante (per i motori a reazione liquida - la massa secca del razzo (la sua massa rimanente dopo aver bruciato tutto il carburante);

La massa di particelle separate dal razzo; visto come quantità variabile, variando da a .

Scriviamo l'equazione del moto rettilineo di un punto di massa variabile nella seguente forma:

Poiché la formula per determinare la massa variabile di un razzo è

Pertanto le equazioni del moto di un punto Prendendo gli integrali di entrambi i membri otteniamo

Dove - velocità caratteristica- questa è la velocità che un razzo acquisisce sotto l'influenza della spinta dopo che tutte le particelle sono state espulse dal razzo (per i motori a reazione liquida - dopo che tutto il carburante si è esaurito).

Preso al di fuori del segno integrale (cosa che può essere fatta sulla base del teorema del valore medio noto dalla matematica superiore) lo è velocità media particelle espulse da un razzo.

La quantità di movimento del sistema chiamiamo la somma geometrica delle quantità di moto di tutti i punti materiali del sistema

Per scoprirlo significato fisico(70) calcoliamo la derivata di (64)

. (71)

Risolvendo insieme la (70) e la (71), si ottiene

. (72)

Così, il vettore della quantità di moto di un sistema meccanico è determinato dal prodotto della massa del sistema per la velocità del suo centro di massa.

Calcoliamo la derivata di (72)

. (73)

Risolvendo insieme la (73) e la (67), si ottiene

. (74)

L'equazione (74) esprime il seguente teorema.

Teorema: La derivata temporale del vettore quantità di moto del sistema è uguale alla somma geometrica di tutte le forze esterne del sistema.

Quando si risolvono i problemi, l'equazione (74) deve essere proiettata sugli assi delle coordinate:

. (75)

Dall'analisi di (74) e (75) segue quanto segue: legge di conservazione della quantità di moto di un sistema: Se la somma di tutte le forze del sistema è zero, il vettore quantità di moto mantiene la sua grandezza e direzione.

Se
, Quello
,Q = cost . (76)

In un caso particolare, questa legge può essere soddisfatta lungo uno degli assi coordinati.

Se
, Quello, Q z = cost. (77)

È consigliabile utilizzare il teorema sulla variazione della quantità di moto nei casi in cui il sistema comprende corpi liquidi e gassosi.

Teorema sulla variazione del momento angolare di un sistema meccanico

La quantità di movimento caratterizza solo la componente traslazionale del movimento.

Per caratterizzare il moto rotatorio di un corpo è stato introdotto il concetto di momento angolare principale del sistema rispetto ad un dato centro (momento cinetico). Momento cinetico del sistema

. (78)

rispetto ad un dato centro è la somma geometrica dei momenti delle quantità di moto di tutti i suoi punti rispetto allo stesso centro

. (79)

Proiettando la (22) sugli assi delle coordinate, possiamo ottenere un'espressione per il momento cinetico relativo agli assi delle coordinate Momento cinetico del corpo rispetto agli assi

. (80)

pari al prodotto del momento di inerzia del corpo rispetto a questo asse e della velocità angolare del corpo

Dalla (80) segue che il momento cinetico caratterizza solo la componente rotazionale del movimento.

Una caratteristica dell'azione rotazionale di una forza è il suo momento rispetto all'asse di rotazione.

Teorema: Il teorema sulla variazione del momento angolare stabilisce la relazione tra la caratteristica del moto rotatorio e la forza che provoca tale moto.La derivata temporale del vettore del momento angolare del sistema rispetto ad un centro è uguale alla somma geometrica dei momenti di tutte le forze esterne del sistema rispetto a

. (81)

lo stesso centro

Quando si risolvono problemi di ingegneria (81), è necessario progettare sugli assi delle coordinate La loro analisi di (81) e (82) implica: legge di conservazione del momento angolare

,

Se la somma dei momenti di tutte le forze esterne rispetto al centro (o asse) è uguale a zero, il momento cinetico del sistema rispetto a questo centro (o asse) mantiene la sua grandezza e direzione.

O