Come verificare se i vettori sono linearmente dipendenti. Dipendenza lineare e indipendenza lineare dei vettori

Dipendenza lineare dei vettori

Quando si risolvono vari problemi, di regola, non si ha a che fare con un vettore, ma con un certo insieme di vettori della stessa dimensione. Tali aggregati sono chiamati sistema di vettori e denotare

Definizione.Combinazione lineare di vettori chiamato vettore del modulo

dove sono i numeri reali. Si dice anche che un vettore sia espresso linearmente in termini di vettori o scomposto in questi vettori.

Ad esempio, siano dati tre vettori: , , . La loro combinazione lineare con i coefficienti rispettivamente 2, 3 e 4 costituisce il vettore

Definizione. L'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari di un sistema di vettori è chiamato span lineare di questo sistema.

Definizione. Viene chiamato un sistema di vettori diversi da zero linearmente dipendente, se ci sono numeri che non sono contemporaneamente uguali a zero, tali che la combinazione lineare di un dato sistema con i numeri indicati sia uguale al vettore zero:

Se l'ultima uguaglianza per un dato sistema di vettori è possibile solo per , allora viene chiamato questo sistema di vettori linearmente indipendenti.

Ad esempio, un sistema di due vettori è linearmente indipendente; sistema di due vettori ed è linearmente dipendente, poiché .

Sia il sistema di vettori (19) linearmente dipendente. Selezioniamo il termine della somma (20) in cui il coefficiente è , ed esprimiamolo attraverso i restanti termini:

Come si può vedere da questa uguaglianza, uno dei vettori del sistema linearmente dipendente (19) si è rivelato espresso in termini di altri vettori di questo sistema (o è espanso in termini dei suoi restanti vettori).

Proprietà di un sistema vettoriale linearmente dipendente

1. Un sistema costituito da un vettore diverso da zero è linearmente indipendente.

2. Un sistema contenente un vettore zero è sempre linearmente dipendente.

3. Un sistema contenente più di un vettore è linearmente dipendente se e solo se tra i suoi vettori esiste almeno un vettore che si esprime linearmente in termini degli altri.

Il significato geometrico di una relazione lineare nel caso di vettori bidimensionali su un piano: quando un vettore si esprime attraverso un altro, abbiamo, cioè questi vettori sono collineari o, che è lo stesso, situati su linee parallele.

Nel caso spaziale della dipendenza lineare di tre vettori, questi sono paralleli a un piano, cioè complanare. Basta “correggere” le lunghezze di questi vettori con i fattori corrispondenti affinché uno di essi diventi la somma degli altri due o si esprima attraverso di essi.

Teorema. Nello spazio, qualsiasi sistema contenente vettori è linearmente dipendente da .

Esempio. Scopri se i vettori sono linearmente dipendenti.

Soluzione. Facciamo un'uguaglianza vettoriale. Scrivendo in forma vettoriale di colonna, otteniamo

Pertanto, il problema si è ridotto alla risoluzione del sistema

Risolviamo il sistema utilizzando il metodo gaussiano:

Di conseguenza, otteniamo un sistema di equazioni:

che ha infinite soluzioni, tra le quali ce n'è sicuramente una diversa da zero, quindi i vettori sono linearmente dipendenti.

Permettere lè uno spazio lineare arbitrario, a io Î L,- i suoi elementi (vettori).

Definizione 3.3.1. Espressione , Dove , - numeri reali arbitrari, chiamati combinazione lineare vettori un 1 , un 2 ,…, un N.

Se il vettore R = , poi lo dicono R scomposto in vettori un 1 , un 2 ,…, un N.

Definizione 3.3.2. Viene chiamata una combinazione lineare di vettori non banale, se tra i numeri ce n'è almeno uno diverso da zero. Altrimenti viene chiamata la combinazione lineare banale.

Definizione 3.3.3 . Vettori a 1 , a 2 ,…, a N sono detti linearmente dipendenti se esiste una loro combinazione lineare non banale tale che

= 0 .

Definizione 3.3.4. Vettori a 1 ,a 2 ,…, a N sono detti linearmente indipendenti se l'uguaglianza = 0 è possibile solo nel caso in cui tutti i numeri l 1, l 2,…, ln sono contemporaneamente uguali a zero.

Si noti che qualsiasi elemento diverso da zero a 1 può essere considerato un sistema linearmente indipendente, poiché l'uguaglianza l un 1 = 0 possibile solo se l= 0.

Teorema 3.3.1. Una condizione necessaria e sufficiente per la dipendenza lineare a 1 , a 2 ,…, a Nè la possibilità di scomporre almeno uno di questi elementi nel resto.

Prova. Necessità. Siano gli elementi a 1 , a 2 ,…, a N linearmente dipendente. Questo significa questo = 0 e almeno uno dei numeri l 1, l 2,…, ln diverso da zero. Diamo per certezza l 1 ¹ 0. Allora

cioè l'elemento a 1 viene scomposto negli elementi a 2 , a 3 , ..., a N.

Adeguatezza. Scomponiamo l'elemento a 1 negli elementi a 2 , a 3 , ..., a N, cioè a 1 = . Allora = 0 , quindi esiste una combinazione lineare non banale dei vettori a 1 , a 2 ,…, a N, uguale 0 , quindi sono linearmente dipendenti .

Teorema 3.3.2. Se almeno uno degli elementi a 1 , a 2 ,…, a N zero, allora questi vettori sono linearmente dipendenti.

Prova . Permettere UN N= 0 , quindi = 0 , il che significa la dipendenza lineare di questi elementi.

Teorema 3.3.3. Se tra n vettori qualsiasi p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Prova. Siano, per certezza, gli elementi a 1 , a 2 ,…, a P linearmente dipendente. Ciò significa che esiste una combinazione lineare non banale tale che = 0 . L'uguaglianza specificata verrà preservata se aggiungiamo l'elemento ad entrambe le sue parti. Poi + = 0 e almeno uno dei numeri l 1, l 2,…, lp diverso da zero. Pertanto, i vettori a 1 , a 2 ,…, a N sono linearmente dipendenti.

Corollario 3.3.1. Se n elementi sono linearmente indipendenti, allora ogni k di essi è linearmente indipendente (k< n).

Teorema 3.3.4. Se i vettori un 1 , un 2 ,…, un N- 1 sono linearmente indipendenti e gli elementi un 1 , un 2 ,…, un N- 1, a n sono linearmente dipendenti, quindi il vettore UN n può essere espanso in vettori un 1 , un 2 ,…, un N- 1 .

Prova. Poiché dalla condizione a 1 , a 2 ,…,UN N- 1, a N sono linearmente dipendenti, allora esiste una loro combinazione lineare non banale = 0 , e (altrimenti i vettori a 1 , a 2 ,…, a risulteranno linearmente dipendenti N- 1). Ma poi il vettore

Q.E.D.

Compito 1. Scopri se il sistema di vettori è linearmente indipendente. Il sistema di vettori sarà specificato dalla matrice del sistema, le cui colonne sono costituite dalle coordinate dei vettori.

.

Soluzione. Consideriamo la combinazione lineare uguale a zero. Avendo scritto questa uguaglianza in coordinate, otteniamo il seguente sistema di equazioni:

.

Un tale sistema di equazioni è chiamato triangolare. Ha una sola soluzione . Pertanto, i vettori linearmente indipendenti.

Compito 2. Scopri se il sistema di vettori è linearmente indipendente.

.

Soluzione. Vettori sono linearmente indipendenti (vedi problema 1). Dimostriamo che il vettore è una combinazione lineare di vettori . Coefficienti di dilatazione vettoriale sono determinati dal sistema di equazioni

.

Questo sistema, come quello triangolare, ha una soluzione unica.

Pertanto, il sistema di vettori linearmente dipendente.

Commento. Vengono chiamate matrici dello stesso tipo del Problema 1 triangolare , e nel problema 2 – triangolare a gradini . La questione della dipendenza lineare di un sistema di vettori è facilmente risolvibile se la matrice composta dalle coordinate di questi vettori è triangolare a gradini. Se la matrice non ha una forma speciale, quindi utilizzando conversioni di stringhe elementari , preservando i rapporti lineari tra le colonne, può essere ridotto ad una forma triangolare a gradini.

Conversioni elementari di stringhe matrici (EPS) si chiamano le seguenti operazioni su una matrice:

1) riorganizzazione delle linee;

2) moltiplicare una stringa per un numero diverso da zero;

3) aggiungere un'altra stringa a una stringa, moltiplicata per un numero arbitrario.

Compito 3. Trova il massimo sottosistema linearmente indipendente e calcola il rango del sistema di vettori

.

Soluzione. Riduciamo la matrice del sistema utilizzando EPS ad una forma triangolare a gradini. Per spiegare il procedimento indichiamo con il simbolo la riga con il numero della matrice da trasformare. La colonna dopo la freccia indica le azioni sulle righe della matrice in conversione che devono essere eseguite per ottenere le righe della nuova matrice.

.

Ovviamente le prime due colonne della matrice risultante sono linearmente indipendenti, la terza colonna è la loro combinazione lineare e la quarta non dipende dalle prime due. Vettori sono detti di base. Formano un sottosistema massimale linearmente indipendente del sistema , e il rango del sistema è tre.

Base, coordinate

Compito 4. Trova la base e le coordinate dei vettori in questa base sull'insieme dei vettori geometrici le cui coordinate soddisfano la condizione .

Soluzione. L'insieme è un piano passante per l'origine. Una base arbitraria su un piano è costituita da due vettori non collineari. Le coordinate dei vettori nella base selezionata vengono determinate risolvendo il corrispondente sistema di equazioni lineari.

C'è un altro modo per risolvere questo problema, quando puoi trovare la base usando le coordinate.

Coordinate gli spazi non sono coordinate sul piano, poiché sono legati dalla relazione , cioè non sono indipendenti. Le variabili indipendenti e (sono dette libere) definiscono univocamente un vettore sul piano e, pertanto, possono essere scelte come coordinate in . Quindi la base è costituito da vettori che giacciono e corrispondono a insiemi di variabili libere E , questo è .

Compito 5. Trova la base e le coordinate dei vettori in questa base sull'insieme di tutti i vettori nello spazio le cui coordinate dispari sono uguali tra loro.

Soluzione. Scegliamo, come nel problema precedente, le coordinate nello spazio.

Perché , quindi variabili libere determinano in modo univoco il vettore da cui derivano e sono quindi coordinate. La base corrispondente è costituita da vettori.

Compito 6. Trova la base e le coordinate dei vettori in questa base sull'insieme di tutte le matrici della forma , Dove – numeri arbitrari.

Soluzione. Ciascuna matrice è rappresentabile in modo univoco nella forma:

Questa relazione è l'espansione del vettore rispetto alla base
con le coordinate .

Compito 7. Trova la dimensione e la base dell'involucro lineare di un sistema di vettori

.

Soluzione. Usando l'EPS, trasformiamo la matrice dalle coordinate dei vettori del sistema in una forma triangolare a gradini.

.

Colonne le ultime matrici sono linearmente indipendenti, così come le colonne espressi linearmente attraverso di essi. Pertanto, i vettori formare una base , E .

Commento. Base dentro è scelto in modo ambiguo. Ad esempio, i vettori costituiscono anche una base .

Definizione. Combinazione lineare di vettori a 1 , ..., an con coefficienti x 1 , ..., x n è detto vettore

x 1 un 1 + ... + x n un n .

banale, se tutti i coefficienti x 1 , ..., x n sono uguali a zero.

Definizione. Si chiama la combinazione lineare x 1 a 1 + ... + x n a n non banale, se almeno uno dei coefficienti x 1, ..., x n non è uguale a zero.

linearmente indipendenti, se non esiste una combinazione non banale di questi vettori uguale al vettore zero.

Cioè i vettori a 1, ..., an sono linearmente indipendenti se x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 se e solo se x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definizione. I vettori a 1, ..., an si chiamano linearmente dipendente, se esiste una combinazione non banale di questi vettori uguale al vettore zero.

Proprietà dei vettori linearmente dipendenti:

Per vettori bi e tridimensionali.

Due vettori linearmente dipendenti sono collineari. (I vettori collineari sono linearmente dipendenti.)

Per vettori tridimensionali.

Tre vettori linearmente dipendenti sono complanari. (Tre vettori complanari sono linearmente dipendenti.)

• Per vettori n-dimensionali.

  n+1 vettori sono sempre linearmente dipendenti.

Esempi di problemi sulla dipendenza lineare e sull'indipendenza lineare dei vettori:

Esempio 1. Controlla se i vettori a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) sono linearmente indipendenti .

Soluzione:

I vettori saranno linearmente dipendenti, poiché la dimensione dei vettori è inferiore al numero di vettori.

Esempio 2. Controlla se i vettori a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) sono linearmente indipendenti.

Soluzione:

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + x3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

sottrarre il secondo dalla prima riga; aggiungi una seconda riga alla terza riga:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Questa soluzione mostra che il sistema ha molte soluzioni, cioè esiste una combinazione diversa da zero di valori dei numeri x 1, x 2, x 3 tale che la combinazione lineare dei vettori a, b, c è uguale a il vettore zero, ad esempio:

A + b + c = 0

il che significa che i vettori a, b, c sono linearmente dipendenti.

Risposta: i vettori a, b, c sono linearmente dipendenti.

Esempio 3. Controlla se i vettori a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) sono linearmente indipendenti.

Soluzione: Troviamo i valori dei coefficienti ai quali la combinazione lineare di questi vettori sarà uguale al vettore zero.

x1a + x2b + x3c1 = 0

Questa equazione vettoriale può essere scritta come un sistema di equazioni lineari

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + 2x3 = 0

Risolviamo questo sistema utilizzando il metodo di Gauss

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

sottrarre la prima dalla seconda riga; sottrai il primo dalla terza riga:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

sottrarre il secondo dalla prima riga; aggiungi un secondo alla terza riga.

Presentato da noi operazioni lineari sui vettori consentono di creare varie espressioni per quantità vettoriali e trasformarli utilizzando le proprietà impostate per queste operazioni.

Sulla base di un dato insieme di vettori a 1, ..., a n, puoi creare un'espressione della forma

dove a 1, ... e n sono numeri reali arbitrari. Questa espressione si chiama combinazione lineare di vettori un 1, ..., un n. I numeri α i, i = 1, n, rappresentano coefficienti di combinazione lineare. Viene anche chiamato un insieme di vettori sistema di vettori.

In relazione al concetto introdotto di combinazione lineare di vettori, si pone il problema di descrivere un insieme di vettori che può essere scritto come combinazione lineare di un dato sistema di vettori a 1, ..., a n. Inoltre, sorgono domande naturali sulle condizioni in cui esiste una rappresentazione di un vettore sotto forma di combinazione lineare e sull'unicità di tale rappresentazione.

Definizione 2.1. I vettori a 1, ... e n sono chiamati linearmente dipendente, se esiste un insieme di coefficienti α 1 , ... , α n tale che

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

e almeno uno di questi coefficienti è diverso da zero. Se l'insieme di coefficienti specificato non esiste, vengono chiamati i vettori linearmente indipendenti.

Se α 1 = ... = α n = 0, allora, ovviamente, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Tenendo presente questo, possiamo dire questo: vettori a 1, ..., e n sono linearmente indipendenti se dall'uguaglianza (2.2) segue che tutti i coefficienti α 1 , ... , α n sono uguali a zero.

Il seguente teorema spiega perché il nuovo concetto è chiamato il termine "dipendenza" (o "indipendenza") e fornisce un semplice criterio per la dipendenza lineare.

Teorema 2.1. Affinché i vettori a 1, ..., en, n > 1, siano linearmente dipendenti, è necessario e sufficiente che uno di essi sia una combinazione lineare degli altri.

◄ Necessità. Supponiamo che i vettori a 1, ... e n siano linearmente dipendenti. Secondo la Definizione 2.1 di dipendenza lineare, nell'uguaglianza (2.2) a sinistra c'è almeno un coefficiente diverso da zero, ad esempio α 1. Lasciando il primo termine a sinistra dell'uguaglianza, spostiamo gli altri a destra, cambiando segno, come al solito. Dividendo l'uguaglianza risultante per α 1, otteniamo

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

quelli. rappresentazione del vettore a 1 come combinazione lineare dei restanti vettori a 2, ..., a n.

Adeguatezza. Supponiamo, ad esempio, che il primo vettore a 1 possa essere rappresentato come una combinazione lineare dei restanti vettori: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Trasferendo tutti i termini da destra a sinistra otteniamo a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, cioè una combinazione lineare di vettori a 1, ..., an con coefficienti α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, pari a vettore nullo. In questa combinazione lineare, non tutti i coefficienti sono zero. Secondo la Definizione 2.1, i vettori a 1, ..., e n sono linearmente dipendenti.

La definizione e il criterio per la dipendenza lineare sono formulati per implicare la presenza di due o più vettori. Tuttavia, possiamo anche parlare di una dipendenza lineare di un vettore. Per realizzare questa possibilità, invece di “i vettori sono linearmente dipendenti”, è necessario dire “il sistema di vettori è linearmente dipendente”. È facile vedere che l'espressione “un sistema di un vettore è linearmente dipendente” significa che questo singolo vettore è zero (in una combinazione lineare c'è solo un coefficiente e non dovrebbe essere uguale a zero).

Il concetto di dipendenza lineare ha una semplice interpretazione geometrica. Le tre affermazioni seguenti chiariscono questa interpretazione.

Teorema 2.2. Due vettori sono linearmente dipendenti se e solo se collineare.

◄ Se i vettori a e b sono linearmente dipendenti, allora uno di essi, ad esempio a, è espresso attraverso l'altro, cioè a = λb per un numero reale λ. Secondo la definizione 1.7 funziona vettori per numero, i vettori a e b sono collineari.

Siano ora i vettori a e b collineari. Se sono entrambi nulli, allora è ovvio che sono linearmente dipendenti, poiché qualsiasi loro combinazione lineare è uguale al vettore zero. Sia uno di questi vettori diverso da 0, ad esempio il vettore b. Indichiamo con λ il rapporto tra le lunghezze dei vettori: λ = |a|/|b|. I vettori collineari possono essere unidirezionale O diretto in modo opposto. In quest'ultimo caso cambiamo il segno di λ. Allora, verificando la Definizione 1.7, siamo convinti che a = λb. Secondo il Teorema 2.1, i vettori aeb sono linearmente dipendenti.

Osservazione 2.1. Nel caso di due vettori, tenendo conto del criterio della dipendenza lineare, il teorema dimostrato può essere riformulato così: due vettori sono collineari se e solo se uno di essi è rappresentato come il prodotto dell'altro da un numero. Questo è un criterio conveniente per la collinearità di due vettori.

Teorema 2.3. Tre vettori sono linearmente dipendenti se e solo se complanare.

◄ Se tre vettori a, b, c sono linearmente dipendenti, allora, secondo il Teorema 2.1, uno di essi, ad esempio a, è una combinazione lineare degli altri: a = βb + γc. Combiniamo le origini dei vettori b e c nel punto A. Allora i vettori βb, γс avranno un'origine comune nel punto A e lungo secondo la regola del parallelogramma, la loro somma è quelli. il vettore a sarà un vettore con origine A e la fine, che è il vertice di un parallelogramma costruito sui vettori componenti. Pertanto tutti i vettori giacciono sullo stesso piano, cioè complanari.

Siano complanari i vettori a, b, c. Se uno di questi vettori è zero, allora è ovvio che sarà una combinazione lineare degli altri. È sufficiente prendere tutti i coefficienti di una combinazione lineare uguali a zero. Pertanto, possiamo supporre che tutti e tre i vettori non siano zero. Compatibile iniziato di questi vettori in un punto comune O. Lascia che le loro estremità siano rispettivamente i punti A, B, C (Fig. 2.1). Per il punto C tracciamo rette parallele alle rette passanti per coppie di punti O, A e O, B. Designando i punti di intersezione come A" e B", otteniamo un parallelogramma OA"CB", quindi OC" = OA" + OB". Il vettore OA" e il vettore diverso da zero a = OA sono collineari, e quindi il primo di essi può essere ottenuto moltiplicando il secondo per un numero reale α:OA" = αOA. Allo stesso modo, OB" = βOB, β ∈ R. Di conseguenza, otteniamo che OC" = α OA. + βOB, cioè il vettore c è una combinazione lineare dei vettori a e b. Secondo il Teorema 2.1, i vettori a, b, c sono linearmente dipendenti.

Teorema 2.4. Quattro vettori qualsiasi sono linearmente dipendenti.

◄ Eseguiamo la dimostrazione secondo lo stesso schema del Teorema 2.3. Considera quattro vettori arbitrari a, b, c e d. Se uno dei quattro vettori è zero, o tra di essi ci sono due vettori collineari, oppure tre dei quattro vettori sono complanari, allora questi quattro vettori sono linearmente dipendenti. Ad esempio, se i vettori a e b sono collineari, allora possiamo creare la loro combinazione lineare αa + βb = 0 con coefficienti diversi da zero, quindi aggiungere i restanti due vettori a questa combinazione, prendendo zero come coefficienti. Otteniamo una combinazione lineare di quattro vettori uguali a 0, in cui sono presenti coefficienti diversi da zero.

Pertanto, possiamo assumere che tra i quattro vettori selezionati, nessun vettore è zero, nessuno due è collineare e nessuno tre è complanare. Scegliamo il punto O come inizio comune. Quindi le estremità dei vettori a, b, c, d saranno alcuni punti A, B, C, D (Fig. 2.2). Per il punto D tracciamo tre piani paralleli ai piani OBC, OCA, OAB, e siano A", B", C" i punti di intersezione di questi piani rispettivamente con le rette OA, OB, OS. Otteniamo un parallelepipedo OA" C "B" C" B"DA", e i vettori a, b, c giacciono sui suoi bordi emergenti dal vertice O. Poiché il quadrilatero OC"DC" è un parallelogramma, allora OD = OC" + OC " A sua volta, il segmento OC" è un parallelogramma OA"C"B", quindi OC" = OA" + OB" e OD = OA" + OB" + OC" .

Resta da notare che le coppie di vettori OA ≠ 0 e OA" , OB ≠ 0 e OB" , OC ≠ 0 e OC" sono collineari, e quindi è possibile selezionare i coefficienti α, β, γ in modo che OA" = αOA, OB" = βOB e OC" = γOC. Alla fine otteniamo OD = αOA + βOB + γOC. Di conseguenza, il vettore OD è espresso attraverso gli altri tre vettori, e tutti e quattro i vettori, secondo il Teorema 2.1, sono linearmente dipendenti.