Consideriamo un punto materiale di massa m, che si trova a una distanza r dall'asse fisso (Fig. 26). Il momento d'inerzia J di un punto materiale rispetto a un asse è una quantità fisica scalare pari al prodotto della massa m per il quadrato della distanza r da questo asse:
J = signor 2(75)
Il momento d'inerzia di un sistema di N punti materiali sarà pari alla somma dei momenti d'inerzia dei singoli punti:
Riso. 26.
Determinare il momento d'inerzia di un punto.
Se la massa è distribuita in modo continuo nello spazio, la somma è sostituita dall'integrazione. Il corpo è suddiviso in volumi elementari dv, ciascuno dei quali ha una massa dm.
Il risultato è la seguente espressione:
Per un corpo omogeneo in volume, la densità ρ è costante, e scrivendo la massa elementare nella forma:
dm = ρdv, trasformiamo la formula (70) come segue:
Dimensione del momento di inerzia - kg*m2.
Il momento d'inerzia di un corpo è una misura dell'inerzia di un corpo in movimento rotatorio, proprio come la massa di un corpo è una misura della sua inerzia in movimento traslatorio.
Momento di inerzia - questa è una misura delle proprietà inerziali di un corpo solido durante il movimento rotatorio, a seconda della distribuzione della massa rispetto all'asse di rotazione. In altre parole, il momento di inerzia dipende dalla massa, dalla forma, dalle dimensioni del corpo e dalla posizione dell'asse di rotazione.
Qualsiasi corpo, indipendentemente dal fatto che stia ruotando o sia fermo, ha un momento di inerzia attorno a qualsiasi asse, proprio come un corpo ha massa indipendentemente dal fatto che sia in movimento o a riposo. Analogamente alla massa, il momento di inerzia è una quantità additiva.
In alcuni casi, il calcolo teorico del momento d'inerzia è abbastanza semplice. Di seguito sono riportati i momenti di inerzia di alcuni corpi solidi di forma geometrica regolare attorno ad un asse passante per il baricentro.
Momento d'inerzia di un disco infinitamente piatto di raggio R rispetto ad un asse perpendicolare al piano del disco:
Momento d'inerzia di una palla di raggio R:
Momento d'inerzia di una lunghezza dell'asta l rispetto all'asse passante per il centro dell'asta perpendicolare ad essa:
Momento d'inerzia di un cerchio di raggio infinitamente sottile R rispetto ad un asse perpendicolare al suo piano:
Il momento d'inerzia di un corpo attorno ad un asse arbitrario si calcola utilizzando il teorema di Steiner:
Il momento d'inerzia di un corpo attorno ad un asse arbitrario è uguale alla somma del momento d'inerzia attorno ad un asse passante per il centro di massa parallelo a quello dato, e il prodotto della massa corporea per il quadrato della distanza tra gli assi.
Usando il teorema di Steiner, calcoliamo il momento di inerzia di un'asta di lunghezza l rispetto all'asse passante per l'estremità perpendicolare ad esso (Fig. 27).
Per calcolare il momento di inerzia dello stelo
Secondo il teorema di Steiner, il momento di inerzia dell’asta rispetto all’asse O′O′ è uguale al momento di inerzia rispetto all’asse OO più md2. Da qui otteniamo:
Ovviamente: il momento di inerzia non è lo stesso rispetto ai diversi assi, e quindi, quando si risolvono problemi sulla dinamica del movimento rotatorio, il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse che ci interessa deve essere cercato ogni volta separatamente . Quindi, ad esempio, quando si progettano dispositivi tecnici contenenti parti rotanti (nel trasporto ferroviario, nella produzione aeronautica, nell'ingegneria elettrica, ecc.), è richiesta la conoscenza dei valori dei momenti di inerzia di queste parti. Con una forma corporea complessa, il calcolo teorico del momento di inerzia può essere difficile da eseguire. In questi casi si preferisce misurare sperimentalmente il momento di inerzia di una parte non standard.
Momento della forza F rispetto al punto O
Le quantità introdotte dalle formule (3.26), (3.27) risultano essenziali nello studio della dinamica dei moti rotazionali di un corpo rigido o di un sistema di corpi. Queste caratteristiche di inerzia dipendono sia dalla posizione dell'origine che dalle direzioni degli assi coordinati selezionati. Tuttavia in un dato punto del corpo sono presenti sei quantità, insieme alla massa totale M determinare completamente la sua inerzia. In altre parole, conoscendo queste quantità, puoi trovare il momento di inerzia relativo a un asse di una direzione arbitraria e il momento di inerzia centrifugo per una coppia di nuovi assi (ruotati) e anche, con una geometria del corpo nota, andare avanti alle caratteristiche inerziali determinate per un'origine diversa. Sia richiesto di trovare il momento di inerzia relativo ad una data direzione (asse ξ ), caratterizzato dall'ort. Il momento d'inerzia di un sistema di punti materiali rispetto ad un asse è la somma dei prodotti delle masse di questi punti per i quadrati delle loro distanze dall'asse
È facile capire che il quadrato della distanza H,, può essere calcolato utilizzando la formula (Fig. 53)
(3.28)
Scriviamo diversamente l'espressione risultante (3.29).
Abbiamo cambiato l'ordine dei fattori nel secondo prodotto scalare e abbiamo eliminato le parentesi; Puoi fare il primo, ma il secondo? Allo stesso tempo è apparsa una nuova quantità, in cui due vettori vengono moltiplicati, ma non scalarmente o vettorialmente, ma in un modo nuovo; tale moltiplicazione è chiamata diadico(o tensore), e il prodotto stesso è una diade, che rappresenta tensore di secondo rango. La definizione analitica di un tensore è la seguente: un insieme di quantità Zn (nello spazio tridimensionale) che vengono trasformate quando il sistema di coordinate viene ruotato come prodotto di n coordinate è chiamato tensore di rango n. Con questa definizione, una diade sarà un tensore di rango 2, un vettore sarà un tensore di rango 1 e una quantità scalare sarà un tensore di rango zero. Ovviamente, la diade non cambierà quando i suoi fattori vengono riorganizzati: questa è una diade simmetrica . Otteniamo un caso più generale moltiplicando due vettori diversi, ad esempio e ; la diade non sarà più simmetrica e i suoi fattori non potranno essere riorganizzati:
Poiché i vettori e possono essere rappresentati nella forma
allora la diade può essere scritta come la somma di nove termini
(3.30)
Ecco... diadi elementari , e i loro coefficienti sono chiamati componenti o componenti del tensore . Un tensore del secondo rango (diade) può anche essere scritto come una matrice quadrata. Quindi, per il tensore (3.30)
(3.31)
Sebbene la forma espansa (3.30) del tensore non abbia una forma tabellare (3.31), la posizione di ciascun componente nella tabella è stabilita immediatamente dal suo fattore: la diade elementare: il vettore unitario di sinistra indica la riga e quello di destra unità unit indica la colonna; i vettori unitari corrispondono alla posizione di questa componente nella matrice ( 3.31). Ora è facile comprendere la disuguaglianza; riorganizzare i fattori nella diade significa sostituire le righe con le colonne (e viceversa) nella matrice (3.31), e il tensore sarà trasposto rispetto al tensore originale. Dalla teoria delle matrici è noto che la matrice quadrata (3.31) può essere moltiplicata a destra per un vettore colonna o a sinistra per un vettore riga. Scrivere il tensore nella forma (3.30) permette di ridurre queste operazioni alla moltiplicazione scalare di vettori unitari. Un tensore del secondo rango può essere moltiplicato scalarmente sia a destra che a sinistra per un vettore UN; in questo caso il risultato sarà diverso, poiché con la moltiplicazione a destra di un tensore per un vettore appariranno i prodotti scalari dei versori di destra delle diadi elementari e dei versori vettoriali, e con la moltiplicazione a sinistra di un vettore per a tensore, i vettori unitari di sinistra delle diadi elementari appariranno nei prodotti scalari. Di conseguenza, rimarranno i vettori delle diadi elementari che non hanno partecipato ai prodotti scalari, quindi il prodotto scalare di un tensore e un vettore sarà una quantità vettoriale. È facile immaginarlo 
, dove denota il tensore trasposto. Nel caso di un tensore simmetrico, il tensore trasposto è uguale a quello originale e la differenza tra il prodotto di destra e quello di sinistra scompare. Nel nostro caso, il tensore simmetrico e la sua espressione espansa come (3.29) risultano più semplici:
Se un tensore (del secondo rango) viene moltiplicato scalarmente per i vettori sia a sinistra che a destra, allora entrambi i vettori sinistro e destro delle diadi elementari parteciperanno ai prodotti scalari e il risultato sarà una quantità scalare. Questo è esattamente ciò che abbiamo nella formula (3.29). Scrivere questa formula nel modulo
dove il tensore è presentato sopra nella forma (3.32), capiamo immediatamente che come risultato della doppia moltiplicazione scalare nella (3.33), scompaiono i termini in cui si verificano i prodotti (scalari) di diversi vettori unitari. I restanti termini sono facili da scrivere subito; questi saranno gli stessi componenti tensoriali , come quelli presentati nella formula (3.32), solo i vettori unitari in questa formula dovrebbero essere sostituiti dalle corrispondenti proiezioni del vettore . Allora otteniamo
Confrontando il risultato (3.34) con la formula (3.38a), siamo convinti della legalità di omettere le parentesi nella formula (3.29). Il tensore più semplice del secondo rango è il tensore unitario:
(3.35)
Non è difficile capire che gli elementi diagonali della matrice corrispondenti al tensore (3.35) saranno uno, e il resto, quelli non diagonali, saranno zeri. Il nome "tensore unitario" è completamente giustificato, poiché moltiplicando qualsiasi vettore per esso (a destra o a sinistra, non importa), otteniamo nuovamente il vettore:
Questa proprietà del tensore unitario porta alla seguente interessante relazione:
(3.36)
Le relazioni (3.36) e (3.29) ci permettono di scrivere la formula (3.28) In un'altra forma
= 
(3.38)
Grandezza
= , (3.39)
incluso nell'espressione per (formula 3.38), is tensore d'inerzia di un corpo rigido nel punto O. Introducendo questo tensore, riscriviamo la formula (3.38) per il momento di inerzia attorno all'asse specificato dalla direzione del versore in una forma molto semplice
In tutti e quattro i casi, abbiamo considerato i momenti di inerzia del corpo attorno ad un asse passante per il centro di inerzia di questi corpi. Usando il teorema di Steiner, puoi trovare i momenti di inerzia dei corpi rispetto ad altri assi arbitrari, il che a volte è necessario, perché la rotazione non sempre avviene rispetto al centro di inerzia.
Teorema di Steiner:
Il momento d'inerzia di un corpo rispetto a un asse arbitrario è uguale alla somma del suo momento d'inerzia rispetto a un asse passante per il centro di massa e parallelo a quello dato, e il prodotto della massa corporea per il quadrato di la distanza tra gli assi
(
- distanza tra gli assi zс).
Prova:
(per definizione)
Questo è chiaro 
(per definizione)
(Perché 
)
Così, 
§14. Equazione di base per la dinamica del moto rotatorio
Lasciamo che in un punto ci sia un corpo rigido con un asse di rotazione fisso 
forza applicata 
.
|
|
Allora se il punto A fa un movimento elementare
Immaginiamo la forza |
, poi il lavoro elementare della forza 
uguale a
come somma di due forze, di cui una parallela all'asse di rotazione z( 
), e l'altro è perpendicolare all'asse z( 
).Allora è un lavoro elementare.
Punto 
, come tutti i punti del corpo, si muove lungo una circonferenza, il cui piano è perpendicolare all'asse z, il che significa 
collega due punti di questo cerchio e giace anch'esso su un piano perpendicolare all'asse z, e quindi al vettore 
, cioè. 
. Quindi, 
,
Dove 
- angolo tra i vettori 
E 
.
Diamo un'occhiata alla vista dall'alto.
|
|
A causa del fatto che
Vettore
|
:
.
a causa della piccolezza 
.
, come angoli con raggi reciprocamente perpendicolari.Dove 
.
sicuramente
Grandezza 
, pari alla distanza dalla linea lungo la quale agisce la forza all'asse di rotazione, è chiamato braccio della forza.
sicuramente
Il valore del prodotto della proiezione della forza sul piano di rotazione ( 
) e leva finanziaria 
è detto momento della forza attorno all'asse di rotazione z.
Se la forza 
, applicata a un corpo, porta ad un aumento dell'angolo di rotazione (cioè alla rotazione del corpo nella direzione di rotazione positiva selezionata), quindi il momento di tale forza è una quantità positiva. Se la forza porta ad una diminuzione dell'angolo, il momento della forza è negativo. Basato sul fatto che la quantità di lavoro elementare è uguale a 
, quindi, secondo il teorema dell'energia cinetica ( 
), uguagliando i membri destri delle equazioni otteniamo:
(Perché 
E 
)
Questa è la legge fondamentale della dinamica del movimento rotatorio.
Dichiarazione della legge:
Il momento della forza attorno all'asse di rotazione è uguale al prodotto del momento d'inerzia attorno a questo asse e dell'accelerazione angolare.
Si può facilmente dimostrare che se un corpo fissato attorno ad un asse di rotazione è sottoposto all'azione di molte forze con momenti diversi, allora la somma algebrica dei momenti delle forze relativi all'asse di rotazione è pari al prodotto del momento di inerzia attorno a questo asse e l'accelerazione angolare:
§15. Momento d'impulso.
Legge di conservazione del momento angolare
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Movimento in avanti |
Movimento rotatorio |
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Continuando l'analogia, possiamo presumerlo |
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|
- momento angolare di un corpo che ruota attorno ad un asse.
Veramente 
=>
=>
, Può essere visto se 
, Quello 
Pertanto, se la somma algebrica dei momenti di tutte le forze applicate al corpo rispetto all'asse di rotazione è uguale a 0, allora il momento angolare rispetto a questo asse è un valore costante.
È facile dimostrare che allo stesso modo si conserva il momento angolare di un sistema di corpi rotanti attorno ad un dato asse con velocità angolari diverse 
, e non solo un corpo solido.
Legge di conservazione del momento angolare:
Il momento angolare di un sistema chiuso di corpi rispetto ad un asse arbitrario è un valore costante.
In conclusione, considereremo casi speciali nella risoluzione dei problemi nella determinazione del momento angolare di un corpo, le cui dimensioni, rispetto alla distanza dall'asse di rotazione, possono essere trascurate.
1. Un punto materiale ruota in un cerchio.
2. Se un corpo puntiforme si muove in una direzione arbitraria rispetto all'asse di rotazione.
|
|
Dove |
,
- la distanza dalla linea diretta lungo la velocità del corpo all'asse.Momenti d'inerzia di un corpo rispetto ad assi paralleli. Il teorema di Huygens.
I momenti di inerzia di un dato corpo rispetto a diversi assi saranno, in generale, diversi. Mostriamo come, conoscendo il momento d'inerzia attorno a un asse qualsiasi disegnato nel corpo, trovare il momento d'inerzia attorno a qualsiasi altro asse parallelo ad esso.
Fig.35
Disegniamo attraverso il centro di massa CON corpi assi arbitrari Cx"y"z", e attraverso qualsiasi punto DI sull'asse Cx"- assi Oxyz tale che OH½½ Sì", Oz½½ Cz"(Fig. 35). Distanza tra gli assi Cz" E Oz denotare con D. Poi
ma, come si vede dalla figura, per qualsiasi punto del corpo o, a. Sostituendo questi valori , nell’espressione ed eliminando i fattori comuni D 2 e 2d oltre le parentesi, otteniamo
Sul lato destro dell'uguaglianza la prima somma è uguale a Io cz ", e il secondo: il peso corporeo M. Troviamo il valore della terza somma. Basato su formule per le coordinate del centro di massa Poiché nel nostro caso il punto CONè quindi l'origine delle coordinate X C = 0 e quindi . Infine otteniamo:
La formula esprime quanto segue Teorema di Huygens:
Il momento d'inerzia di un corpo attorno ad un dato asse è uguale al momento d'inerzia attorno ad un asse ad esso parallelo, passante per il centro di massa del corpo, sommato al prodotto della massa dell'intero corpo per il quadrato di la distanza tra gli assi.
Troviamo il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse tu, passando per un certo punto DI(Fig. 36).
Fig.36
Per definizione, momento di inerzia.
Mettiamolo al punto DI origine degli assi coordinati x, y, z. Da un triangolo rettangolo OAM i segue dove. E poiché il raggio vettore di un punto, quindi, proietta questa uguaglianza sull'asse tu, otteniamo (, - angoli tra l'asse tu e assi x, y, z).
|
Come è noto dalla trigonometria
E, raggruppando termini simili contenenti coseni di angoli identici, otteniamo:
Ma - distanze dal punto M io agli assi x, y, z, rispettivamente. Ecco perché
Dove Io x, io y, io z– momenti di inerzia del corpo rispetto agli assi coordinati; Ixy, Jyz, Jxz - Momenti d'inerzia centrifughi rispetto agli assi indicati negli indici.
Se due momenti d'inerzia centrifughi, contenenti entrambi i nomi di un asse nei loro indici, sono uguali a zero, allora questo asse è chiamato asse principale di inerzia. Ad esempio, se Jyz = 0e Jxz= 0, quindi l'asse z– asse di inerzia principale.
Poiché tutti i momenti di inerzia dipendono da dove si trova il punto DI, dalla scelta dell'origine delle coordinate, occorre poi indicare per quale punto vengono determinati tali momenti di inerzia. Se l'origine delle coordinate è presa nel centro di massa CON, quindi vengono chiamati tutti gli assi principali di inerzia principali assi centrali di inerzia.
Se in un dato punto gli assi delle coordinate sono gli assi principali di inerzia (i momenti di inerzia centrifughi relativi ad essi sono pari a zero), la formula (2) è semplificata:
A volte, sulla base di alcuni segni, non è difficile trovare i principali assi di inerzia del corpo.
1. Se un corpo omogeneo ha un asse di simmetria, allora questo asse è il principale asse centrale di inerzia.
Veramente. Dirigiamo l'asse delle coordinate z lungo l'asse di simmetria. Quindi per ogni punto del corpo con coordinate ( x io, y io, z io) puoi trovare un punto con coordinate ( -x io, -y io, -z io) e quindi i momenti d'inerzia centrifughi e. Quindi l'asse z– l’asse d’inerzia principale, e l’asse centrale, perché il centro di massa, come è noto, si trova sull'asse di simmetria. Inoltre, questo asse sarà quello principale per qualsiasi punto situato sull'asse di simmetria.
2. Se un corpo omogeneo ha un piano di simmetria, allora qualsiasi asse perpendicolare ad esso sarà l'asse di inerzia principale per tutti i punti di questo piano.
Dirigiamo l'asse z perpendicolare al piano di simmetria da qualsiasi punto di esso DI, assegnando lì l'origine delle coordinate. Quindi per ogni punto del corpo con coordinate ( x io, y io, z io) puoi trovare un punto ad esso simmetrico di coordinate ( x io, y io, - z io). Pertanto i momenti d'inerzia centrifughi Io xz E Io sì sarà uguale a zero. Quindi l'asse z– asse di inerzia principale.
Esempio 9. Determiniamo il momento di inerzia del disco rispetto all'asse tu, situato ad angolo rispetto all'asse di simmetria del disco z(Fig. 37).
Fig.37
Assi x, y E z– i principali assi centrali di inerzia, perché sono assi di simmetria.
Allora, dov'è l'angolo tra gli assi? tu E z; angolo - l'angolo tra gli assi tu E sì, uguale; angolo - l'angolo tra gli assi tu E X, pari a 90°. Ecco perché
Differenziale equazioni del moto del sistema.
Consideriamo un sistema composto da N punti materiali. Selezioniamo un punto del sistema con massa. Indichiamo la risultante di tutte le forze esterne applicate a un punto (sia legami attivi che di reazione) con , e la risultante di tutte le forze interne - attraverso . Se il punto ha un'accelerazione , quindi secondo la legge fondamentale della dinamica
Otteniamo un risultato simile per qualsiasi punto. Pertanto per l’intero sistema ci saranno:
Queste equazioni, dalle quali è possibile determinare la legge del moto di ciascun punto del sistema, vengono chiamate equazioni differenziali del moto dei sistemi in forma vettoriale. Le equazioni sono differenziali perché; Le forze incluse nei membri di destra delle equazioni dipenderanno, nel caso generale, dal tempo, dalle coordinate dei punti del sistema e dalle loro velocità.
Proiettando su alcuni assi coordinati, possiamo ottenere equazioni differenziali del moto del sistema in proiezioni su questi assi.
Una soluzione completa al problema principale della dinamica di un sistema consisterebbe nel conoscere le forze date, integrare le corrispondenti equazioni differenziali e determinare in questo modo separatamente la legge del moto di ciascuno dei punti del sistema.
Tuttavia questa soluzione solitamente non viene utilizzata per due motivi. Innanzitutto, questo percorso è troppo complicato ed è quasi sempre associato a difficoltà matematiche insormontabili. In secondo luogo, nella maggior parte dei casi, quando si risolvono problemi di meccanica, è sufficiente conoscere alcune caratteristiche riassuntive del movimento del sistema nel suo insieme e non il movimento di ciascuno dei suoi punti separatamente. Queste caratteristiche riassuntive sono determinate utilizzando teoremi generali dinamica del sistema, allo studio del quale procederemo.
Il ruolo principale delle equazioni è che esse, o le conseguenze che ne derivano, sono il punto di partenza per ottenere i corrispondenti teoremi generali.
Teoremi generali della dinamica di un sistema meccanico: teoremi sul movimento del centro di massa di un sistema meccanico e sulla variazione della quantità di moto, teoremi sulla variazione della quantità di moto e dell'energia cinetica, sono una conseguenza dell'equazione di base della dinamica. Questi teoremi non considerano il movimento dei singoli punti e corpi compresi in un sistema meccanico, ma alcune caratteristiche integrali, come il movimento del centro di massa di un sistema meccanico, la sua quantità di moto, il momento cinetico e l'energia cinetica. Di conseguenza, le forze interne sconosciute e, in alcuni casi, le reazioni di accoppiamento vengono escluse dalla considerazione, il che semplifica notevolmente la soluzione del problema.
MOMENTO D'INERZIA I di un corpo rispetto a un punto, asse o piano è chiamata la somma dei prodotti della massa dei punti del corpo m i per i quadrati delle loro distanze r i dal punto, asse o piano:
Il momento d'inerzia di un corpo attorno ad un asse è una misura dell'inerzia di un corpo in movimento rotatorio attorno a quell'asse.
Il momento d'inerzia di un corpo può anche essere espresso in termini di massa M del corpo e del suo raggio di rotazione r:
MOMENTI D'INERZIA RELATIVI AGLI ASSI, AI PIANI E ORIGINE DELLE COORDINATE CARTESIANE.
Momento d'inerzia rispetto all'origine (momento d'inerzia polare):
RAPPORTO TRA MOMENTI D'INERZIA ASSIALI, PIANO E POLARI:
I valori dei momenti d'inerzia assiali di alcuni corpi geometrici sono riportati in Tabella. 1.
Tabella 1. Momento di inerzia di alcuni corpi
Figura o corpo |
|
|
A c→0 si ottiene una piastra rettangolare |
|
VARIAZIONE DEI MOMENTI D'INERZIA QUANDO SI CAMBIA ASSI
Momento di inerzia I u 1 relativo all'asse u 1 parallelo all'asse u dato (Fig. 1):
dove I u è il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse u; l(l 1) - distanza dall'asse u (dall'asse u 1) all'asse u c parallelo ad essi, passante per il centro di massa del corpo; a è la distanza tra gli assi u e u 1.
Figura 1.
Se l'asse u è centrale (l=0), allora
cioè, per qualsiasi gruppo di assi paralleli, il momento di inerzia attorno all'asse centrale è il più piccolo.
Momento d'inerzia I u relativo all'asse u che forma gli angoli α, β, γ con gli assi delle coordinate cartesiane x, y, z (Fig. 2):
Figura 2.
Gli assi x, y, z sono principali
Momento d'inerzia relativo all'asse u che forma gli angoli α, β, γ con gli assi d'inerzia principali x, y, z:
VARIAZIONE DEI MOMENTI DI INERZIA CENTRIFUGHI DURANTE IL TRASFERIMENTO PARALLELO DEGLI ASSI:
dove è il momento d'inerzia centrifugo relativo agli assi centrali x c, y c, paralleli agli assi x, y; M - peso corporeo; x с, y с - coordinate del centro di massa nel sistema di assi x, y.
VARIAZIONE DEL MOMENTO D'INERZIA CENTRIFUGO QUANDO GLI ASSI x, y RUOTA INTORNO ALL'ASSE z PER L'ANGOLO α RISPETTO ALLA POSIZIONE x 1 y 1(figura 3):
Figura 3.
DETERMINAZIONE DELLA POSIZIONE DEGLI ASSI PRINCIPALI D'INERZIA. L'asse di simmetria materiale del corpo è l'asse principale di inerzia del corpo.
Se il piano xOz è il piano di simmetria materiale del corpo, allora uno qualsiasi degli assi y è l'asse principale di inerzia del corpo.
Se la posizione di uno degli assi principali z principale è nota, la posizione degli altri due assi x principale e y principale viene determinata ruotando gli assi xey attorno all'asse principale z di un angolo φ (Fig. 3) :
ELLISSOIDE E PARALLELEPIDE D'INERZIA. Un ellissoide d'inerzia è un ellissoide i cui assi di simmetria coincidono con gli assi principali centrali del corpo x principale, y principale, z principale, e i semiassi a x, a y, a z sono uguali rispettivamente:
dove r уО z, r x Oz, r xOy sono i raggi di inerzia del corpo rispetto ai principali piani di inerzia.
Un parallelepipedo d'inerzia è un parallelepipedo che si sviluppa attorno all'ellissoide d'inerzia e ha con esso assi di simmetria comuni (Fig. 4).
Figura 4.
RIDUZIONE (SOSTITUZIONE PER SEMPLIFICARE I CALCOLI) DI UN CORPO SOLIDO A MASSE CONCENTRATE. Nel calcolo dei momenti d'inerzia assiale, planare, centrifugo e polare, un corpo di massa M può essere ridotto di otto masse concentrate M/8 poste ai vertici del parallelepipedo d'inerzia. I momenti di inerzia relativi a qualsiasi asse, piano, polo si calcolano dalle coordinate dei vertici del parallelepipedo d'inerzia x i, y i, z i (i=1, 2, ..., 8) utilizzando le formule:
DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DEI MOMENTI D'INERZIA
1. Determinazione dei momenti di inerzia dei corpi di rivoluzione utilizzando l'equazione differenziale della rotazione - vedere le formule ("Movimento di rotazione di un corpo rigido").
Il corpo in studio viene fissato sull'asse orizzontale x, coincidente con il suo asse di simmetria, e viene portato in rotazione attorno ad esso mediante un carico P fissato ad un filo flessibile avvolto sul corpo in studio (Fig. 5), mentre il tempo Viene misurata la t di abbassamento del carico ad un'altezza h . Per eliminare l'influenza dell'attrito nei punti di fissaggio del corpo sull'asse x, l'esperimento viene eseguito più volte con valori diversi del peso del carico P.
Figura 5.
In due esperimenti con carichi P 1 e P 2
2. Determinazione sperimentale dei momenti d'inerzia dei corpi mediante studio delle oscillazioni di un pendolo fisico (vedi 2.8.3) .
Il corpo in esame è fissato sull'asse orizzontale x (non centrale) e viene misurato il periodo di piccole oscillazioni attorno a questo asse T. Il momento di inerzia attorno all'asse x è determinato dalla formula
dove P è il peso corporeo; l 0 - distanza dall'asse di rotazione al centro di massa C del corpo.
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