Fattorizzazione di un trinomio quadratico utilizzando il teorema di Vieta. Fattorizzazione Trinomio quadrato scomposto

Classe: 9

Tipo di lezione: una lezione sul consolidamento e la sistematizzazione della conoscenza.

Tipo di lezione: Controllare, valutare e correggere conoscenze e metodi di azione.

Obiettivi:

• Educativo:

– sviluppare negli studenti la capacità di fattorizzare un trinomio quadratico;
– consolidamento delle conoscenze nel processo di risoluzione di vari compiti sull’argomento specificato;
– formazione del pensiero matematico;
– aumentare l’interesse per l’argomento nel processo di ripetizione del materiale trattato.

Educativo:

– favorire l’organizzazione e la concentrazione;
– promuovere un atteggiamento positivo nei confronti dell’apprendimento;
- coltivare la curiosità.

Educativo:

– sviluppare la capacità di esercitare l’autocontrollo;
– sviluppare la capacità di pianificare razionalmente il lavoro;
– sviluppo dell’indipendenza e dell’attenzione.

Attrezzatura: materiale didattico per lavoro orale, lavoro indipendente, compiti di prova per testare le conoscenze, carte con compiti a casa, libro di testo di algebra Yu.N. Makarycheva.

Piano di lezione.

Passi della lezione	Tempo, min	Tecniche e metodi
I. Fase di aggiornamento delle conoscenze. Motivazione per un problema di apprendimento	2	Conversazione dell'insegnante
II. Il contenuto principale della lezione. Formazione e consolidamento della comprensione da parte degli studenti della formula per fattorizzare un trinomio quadratico.	10	La spiegazione dell'insegnante. Conversazione euristica
III. Formazione di competenze e abilità. Rafforzare il materiale appreso	25	Risoluzione dei problemi. Risposte alle domande degli studenti
IV. Testare l'acquisizione della conoscenza. Riflessione	5	Il messaggio dell'insegnante. Messaggio dello studente
V. Compiti a casa	3	Compito sulle carte

Avanzamento della lezione

I. Fase di aggiornamento delle conoscenze. Motivazione del problema educativo.

Momento organizzativo.

Oggi nella lezione generalizzeremo e sistematizzeremo le conoscenze sull'argomento: "Fattorizzazione di un trinomio quadratico". Mentre esegui vari esercizi, dovresti annotare tu stesso i punti a cui devi prestare particolare attenzione quando risolvi equazioni e problemi pratici. Questo è molto importante quando si prepara l'esame.
Annota l'argomento della lezione: “Fattorizzare un trinomio quadratico. Risolvere esempi.

II. Il contenuto principale della lezione. Formazione e consolidamento della comprensione da parte degli studenti della formula per fattorizzare un trinomio quadratico.

Lavoro orale.

– Per fattorizzare con successo un trinomio quadratico, è necessario ricordare sia la formula per trovare il discriminante sia la formula per trovare le radici di un'equazione quadratica, la formula per fattorizzare un trinomio quadratico e applicarle nella pratica.

1. Guarda le carte “Continua o amplia l'estratto conto”.

2. Guarda la lavagna.

1. Quale dei polinomi proposti non è quadratico?

1) X 2 – 4x+ 3 = 0;
2) – 2X 2 +X– 3 = 0;
3) X 4 – 2X 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2X 2 + 2 = 0;

Fornire la definizione di trinomio quadratico. Definisci la radice di un trinomio quadrato.

2. Quale formula non è una formula per calcolare le radici di un'equazione quadratica?

1) X 1,2 = ;
2) X 1,2 = – B+ ;
3) X 1,2 = .

3. Trova i coefficienti a, b, c del trinomio quadratico – 2 X 2 + 5x+ 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. Quale delle formule è la formula per calcolare le radici di un'equazione quadratica

x2 +px+q= 0 per il teorema di Vieta?

1) X 1 +X 2 = p,
X 1 · X 2 = q.

2) X 1 +X 2 = –P,
X 1 · X 2 = q.

3)X 1 +X 2 = –P,
X 1 · X 2 = – q.

5. Espandi il trinomio quadratico X 2 – 11x+ 18 per i moltiplicatori.

Risposta: ( X – 2)(X – 9)

6. Espandi il trinomio quadratico A 2 – 9sì+ 20 per i moltiplicatori

Risposta: ( X – 4)(X – 5)

III. Formazione di competenze e abilità. Consolidamento del materiale studiato.

1. Fattorizzare il trinomio quadratico:
a) 3 X 2 – 8X + 2;
b)6 X 2 – 5X + 1;
c) 3 X 2 + 5X – 2;
d) -5 X 2 + 6X – 1.

2. La fattorizzazione ci aiuta quando riduciamo le frazioni.

3. Senza utilizzare la formula della radice, trova le radici del trinomio quadratico:
UN) X 2 + 3X + 2 = 0;
B) X 2 – 9X + 20 = 0.

4. Comporre un trinomio quadratico le cui radici sono i numeri:
UN) X 1 = 4; X 2 = 2;
B) X 1 = 3; X 2 = -6;

Lavoro indipendente.

Completa l'attività in modo indipendente utilizzando le opzioni e quindi controlla. Le prime due attività richiedono una risposta "Sì" o "No". Viene chiamato uno studente per ciascuna opzione (lavorano sui lembi della lavagna). Dopo aver completato il lavoro indipendente sul tabellone, viene effettuato un controllo congiunto della soluzione. Gli studenti valutano il loro lavoro.

1a opzione:

1.D<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. Il numero 2 è la radice dell'equazione x 2 + 3x – 10 = 0.

3. Fattorizzare il trinomio quadratico 6 X 2 – 5X + 1;

2a opzione:

1. D>0. L'equazione ha 2 radici.

2.Il numero 3 è la radice dell'equazione quadratica x 2 – x – 12 = 0.

3. Fattorizzare il trinomio quadratico 2 X 2 – 5x+ 3

IV. Testare l'acquisizione della conoscenza. Riflessione.

– La lezione ha dimostrato che conosci il materiale teorico di base di questo argomento. Abbiamo riassunto le conoscenze

Troviamo la somma e il prodotto delle radici dell'equazione quadratica. Usando le formule (59.8) per le radici dell'equazione precedente, otteniamo

(la prima uguaglianza è ovvia, la seconda si ottiene dopo un semplice calcolo, che il lettore effettuerà autonomamente; conviene utilizzare la formula per moltiplicare la somma di due numeri per la loro differenza).

È stato dimostrato quanto segue

Il teorema di Vieta. La somma delle radici dell'equazione quadratica sopra è uguale al secondo coefficiente con il segno opposto e il loro prodotto è uguale al termine libero.

Nel caso di un'equazione quadratica non ridotta, si dovrebbero sostituire le espressioni della formula (60.1) nelle formule (60.1) e assumere la forma

Esempio 1. Comporre un'equazione quadratica utilizzando le sue radici:

Soluzione, a) Trovare l'equazione ha la forma

Esempio 2. Trova la somma dei quadrati delle radici dell'equazione senza risolvere l'equazione stessa.

Soluzione. La somma e il prodotto delle radici sono noti. Rappresentiamo la somma delle radici quadrate nella forma

e otteniamo

Dalle formule di Vieta è facile ricavare la formula

che esprime la regola per fattorizzare un trinomio quadratico.

Scriviamo infatti le formule (60.2) nella forma

Ora abbiamo

che è ciò che dovevamo ottenere.

La suddetta derivazione delle formule di Vieta è familiare al lettore da un corso di algebra delle scuole superiori. Un’altra conclusione può essere data utilizzando il teorema di Bezout e la fattorizzazione del polinomio (paragrafi 51, 52).

Consideriamo quindi le radici dell'equazione, secondo la regola generale (52.2), il trinomio a sinistra dell'equazione viene fattorizzato:

Aprendo le parentesi a destra di questa identica uguaglianza, otteniamo

e confrontando i coefficienti alle stesse potenze otterremo la formula Vieta (60.1).

Il vantaggio di questa derivazione è che può essere applicata ad equazioni di grado superiore per ottenere espressioni dei coefficienti dell'equazione in termini delle sue radici (senza trovare le radici stesse!). Ad esempio, se le radici dell'equazione cubica data

l'essenza è che secondo l'uguaglianza (52.2) troviamo

(nel nostro caso, aprendo le parentesi a destra dell'uguaglianza e raccogliendo i coefficienti a vario grado, si ottiene

L'espansione dei polinomi per ottenere un prodotto a volte può creare confusione. Ma non è così difficile se capisci il processo passo dopo passo. L'articolo descrive in dettaglio come fattorizzare un trinomio quadratico.

Molte persone non capiscono come fattorizzare un trinomio quadrato e perché ciò viene fatto. All’inizio può sembrare un esercizio inutile. Ma in matematica non si fa niente per niente. La trasformazione è necessaria per semplificare l'espressione e facilitare il calcolo.

Un polinomio della forma – ax²+bx+c, chiamato trinomio quadratico. Il termine "a" deve essere negativo o positivo. In pratica, questa espressione è chiamata equazione quadratica. Pertanto, a volte lo dicono diversamente: come espandere un'equazione quadratica.

Interessante! Un polinomio è chiamato quadrato a causa del suo grado più grande, il quadrato. E un trinomio - a causa dei 3 componenti.

Alcuni altri tipi di polinomi:

• binomio lineare (6x+8);
• quadrinomio cubico (x³+4x²-2x+9).

Fattorizzazione di un trinomio quadratico

Innanzitutto, l'espressione è uguale a zero, quindi è necessario trovare i valori delle radici x1 e x2. Potrebbero non esserci radici, potrebbero esserci una o due radici. La presenza di radici è determinata dal discriminante. Devi conoscere la sua formula a memoria: D=b²-4ac.

Se il risultato D è negativo, non ci sono radici. Se positivo, ci sono due radici. Se il risultato è zero, la radice è uno. Anche le radici vengono calcolate utilizzando la formula.

Se, quando si calcola il discriminante, il risultato è zero, è possibile utilizzare una qualsiasi delle formule. In pratica la formula si abbrevia semplicemente: -b/2a.

Le formule per i diversi valori discriminanti sono diverse.

Se D è positivo:

Se D è zero:

Calcolatori online

C'è un calcolatore online su Internet. Può essere utilizzato per eseguire la fattorizzazione. Alcune risorse offrono l'opportunità di visualizzare la soluzione passo dopo passo. Tali servizi aiutano a comprendere meglio l'argomento, ma bisogna cercare di capirlo bene.

Video utile: Fattorizzazione di un trinomio quadratico

Esempi

Suggeriamo di guardare semplici esempi su come fattorizzare un'equazione quadratica.

Esempio 1

Ciò mostra chiaramente che il risultato è due x perché D è positivo. Devono essere sostituiti nella formula. Se le radici risultano negative, il segno nella formula cambia al contrario.

Conosciamo la formula per fattorizzare un trinomio quadratico: a(x-x1)(x-x2). Mettiamo i valori tra parentesi: (x+3)(x+2/3). Non c'è alcun numero prima di un termine in una potenza. Ciò significa che ce n'è uno lì, va giù.

Esempio 2

Questo esempio mostra chiaramente come risolvere un'equazione che ha una radice.

Sostituiamo il valore risultante:

Esempio 3

Dato: 5x²+3x+7

Per prima cosa calcoliamo il discriminante, come nei casi precedenti.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Il discriminante è negativo, il che significa che non ci sono radici.

Dopo aver ricevuto il risultato, dovresti aprire le parentesi e controllare il risultato. Dovrebbe apparire il trinomio originale.

Soluzione alternativa

Alcune persone non sono mai riuscite a fare amicizia con il discriminatore. Esiste un altro modo per fattorizzare un trinomio quadratico. Per comodità, il metodo viene mostrato con un esempio.

Dato: x²+3x-10

Sappiamo che dovremmo ottenere 2 parentesi: (_)(_). Quando l'espressione appare così: x²+bx+c, all'inizio di ogni parentesi mettiamo x: (x_)(x_). I restanti due numeri sono il prodotto che dà "c", cioè in questo caso -10. L'unico modo per scoprire quali sono questi numeri è tramite selezione. I numeri sostituiti devono corrispondere al termine rimanente.

Ad esempio, moltiplicando i seguenti numeri si ottiene -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. NO.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. NO.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. NO.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Adatto.

Ciò significa che la trasformazione dell'espressione x2+3x-10 assomiglia a questa: (x-2)(x+5).

Importante! Dovresti fare attenzione a non confondere i segni.

Espansione di un trinomio complesso

Se “a” è maggiore di uno iniziano le difficoltà. Ma tutto non è così difficile come sembra.

Per fattorizzare, devi prima vedere se è possibile fattorizzare qualcosa.

Ad esempio, data l'espressione: 3x²+9x-30. Qui il numero 3 è tolto tra parentesi:

3(x²+3x-10). Il risultato è il già noto trinomio. La risposta è questa: 3(x-2)(x+5)

Come decomporsi se il termine che si trova nel quadrato è negativo? In questo caso il numero -1 viene tolto dalle parentesi. Ad esempio: -x²-10x-8. L'espressione sarà quindi simile a questa:

Lo schema differisce poco dal precedente. Ci sono solo alcune cose nuove. Diciamo che l'espressione è data: 2x²+7x+3. La risposta è scritta anche tra 2 parentesi da riempire (_)(_). Nella 2a parentesi è scritto x, e nella 1a cosa rimane. Il suo aspetto è questo: (2x_)(x_). Altrimenti si ripete lo schema precedente.

Il numero 3 è dato dai numeri:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Risolviamo le equazioni sostituendo questi numeri. L'ultima opzione è adatta. Ciò significa che la trasformazione dell'espressione 2x²+7x+3 si presenta così: (2x+1)(x+3).

Altri casi

Non è sempre possibile convertire un'espressione. Con il secondo metodo non è necessaria la risoluzione dell'equazione. Ma la possibilità di trasformare i termini in un prodotto viene verificata solo attraverso il discriminante.

Vale la pena esercitarsi a risolvere equazioni quadratiche in modo che quando si utilizzano le formule non ci siano difficoltà.

Video utile: fattorizzazione di un trinomio

Conclusione

Puoi usarlo in qualsiasi modo. Ma è meglio esercitarsi su entrambi finché non diventano automatici. Inoltre, imparare a risolvere bene le equazioni quadratiche e a fattorizzare i polinomi è necessario per coloro che intendono collegare la propria vita con la matematica. Tutti i seguenti argomenti matematici si basano su questo.

Questo calcolatore online è progettato per fattorizzare una funzione.

Ad esempio, fattorizza: x 2 /3-3x+12. Scriviamolo come x^2/3-3*x+12. Puoi anche utilizzare questo servizio, dove tutti i calcoli vengono salvati in formato Word.

Ad esempio, scomporre in termini. Scriviamolo come (1-x^2)/(x^3+x) . Per vedere lo stato di avanzamento della soluzione, fare clic su Mostra passaggi. Se hai bisogno di ottenere il risultato in formato Word, utilizza questo servizio.

Nota: il numero "pi" (π) si scrive pi; radice quadrata come sqrt , ad esempio sqrt(3) , la tangente tg è scritta tan . Per visualizzare la risposta, vedere Alternativa.

1. Se viene data un'espressione semplice, ad esempio 8*d+12*c*d, fattorizzare l'espressione significa rappresentare l'espressione sotto forma di fattori. Per fare ciò, è necessario trovare fattori comuni. Scriviamo questa espressione come: 4*d*(2+3*c) .
2. Presenta il prodotto sotto forma di due binomi: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Qui devi già trovare diversi fattori comuni: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Togliamo (x+7z) e otteniamo: (x+7z)(x + 3y) .

vedi anche Divisione di polinomi con un angolo (vengono mostrati tutti i passaggi della divisione con una colonna)

Sarà utile quando si studiano le regole della fattorizzazione formule di moltiplicazione abbreviate, con l'aiuto del quale sarà chiaro come aprire le parentesi quadre:

1. (a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2 +2ab+b2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a2 - b2
4. a3+b3 = (a+b)(a2 -ab+b2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Metodi di fattorizzazione

Dopo aver imparato alcuni trucchi fattorizzazione Si può fare la seguente classificazione delle soluzioni:

1. Utilizzo di formule di moltiplicazione abbreviate.
2. Trovare un fattore comune.

In questa lezione impareremo come scomporre i trinomi quadratici in fattori lineari. Per fare questo dobbiamo ricordare il teorema di Vieta e il suo viceversa. Questa abilità ci aiuterà a espandere rapidamente e comodamente i trinomi quadratici in fattori lineari e semplificherà anche la riduzione delle frazioni costituite da espressioni.

Quindi torniamo all'equazione quadratica, dove .

Quello che abbiamo sul lato sinistro è chiamato trinomio quadratico.

Il teorema è vero: Se sono le radici di un trinomio quadratico, allora l'identità vale

Dov'è il coefficiente principale, sono le radici dell'equazione.

Quindi, abbiamo un'equazione quadratica - un trinomio quadratico, dove le radici dell'equazione quadratica sono anche chiamate radici del trinomio quadratico. Pertanto, se abbiamo le radici di un trinomio quadrato, allora questo trinomio può essere scomposto in fattori lineari.

Prova:

La dimostrazione di questo fatto si effettua utilizzando il teorema di Vieta, di cui abbiamo parlato nelle lezioni precedenti.

Ricordiamo cosa ci dice il teorema di Vieta:

Se sono le radici di un trinomio quadratico per il quale , allora .

Da questo teorema segue la seguente affermazione:

Vediamo che, secondo il teorema di Vieta, cioè sostituendo questi valori nella formula sopra, otteniamo la seguente espressione

Q.E.D.

Ricordiamo che abbiamo dimostrato il teorema secondo cui se ci sono le radici di un trinomio quadrato, allora l'espansione è valida.

Ora ricordiamo un esempio di un'equazione quadratica, per la quale abbiamo selezionato le radici usando il teorema di Vieta. Da questo fatto possiamo ottenere la seguente uguaglianza grazie al teorema dimostrato:

Ora controlliamo la correttezza di questo fatto semplicemente aprendo le parentesi:

Vediamo che abbiamo fattorizzato correttamente e qualsiasi trinomio, se ha radici, può essere fattorizzato secondo questo teorema in fattori lineari secondo la formula

Tuttavia, controlliamo se tale fattorizzazione è possibile per qualsiasi equazione:

Prendiamo ad esempio l'equazione. Per prima cosa controlliamo il segno discriminante

E ricordiamo che per soddisfare il teorema appreso, D deve essere maggiore di 0, quindi in questo caso la fattorizzazione secondo il teorema appreso è impossibile.

Pertanto formuliamo un nuovo teorema: se un trinomio quadrato non ha radici, non può essere scomposto in fattori lineari.

Quindi, abbiamo esaminato il teorema di Vieta, la possibilità di scomporre un trinomio quadratico in fattori lineari, e ora risolveremo diversi problemi.

Compito n. 1

In questo gruppo risolveremo effettivamente il problema inverso a quello posto. Avevamo un'equazione e ne abbiamo trovato le radici fattorizzandola. Qui faremo il contrario. Diciamo che abbiamo le radici di un'equazione quadratica

Il problema inverso è questo: scrivere un'equazione quadratica utilizzando le sue radici.

Ci sono 2 modi per risolvere questo problema.

Poiché sono le radici dell'equazione, quindi è un'equazione quadratica le cui radici sono date da numeri. Ora apriamo le parentesi e controlliamo:

Questo è stato il primo modo in cui abbiamo creato un'equazione quadratica con radici date, che non ha altre radici, poiché qualsiasi equazione quadratica ha al massimo due radici.

Questo metodo prevede l'uso del teorema di Vieta inverso.

Se sono le radici dell'equazione, allora soddisfano la condizione che .

Per l'equazione quadratica ridotta , , cioè in questo caso, e .

Pertanto, abbiamo creato un'equazione quadratica che ha le radici indicate.

Compito n. 2

È necessario ridurre la frazione.

Abbiamo un trinomio al numeratore e un trinomio al denominatore, e i trinomi possono essere fattorizzati o meno. Se vengono fattorizzati sia il numeratore che il denominatore, tra loro potrebbero esserci fattori uguali che possono essere ridotti.

Prima di tutto, devi fattorizzare il numeratore.

Per prima cosa devi verificare se questa equazione può essere fattorizzata, troviamo il discriminante. Poiché , il segno dipende dal prodotto (deve essere inferiore a 0), in questo esempio, ovvero l'equazione data ha radici.

Per risolvere usiamo il teorema di Vieta:

In questo caso, poiché si tratta di radici, sarà abbastanza difficile selezionare semplicemente le radici. Ma vediamo che i coefficienti sono equilibrati, cioè se assumiamo che , e sostituiamo questo valore nell'equazione, otteniamo il seguente sistema: , cioè 5-5=0. Pertanto, abbiamo selezionato una delle radici di questa equazione quadratica.

Cercheremo la seconda radice sostituendo ciò che è già noto nel sistema di equazioni, ad esempio , cioè .

Pertanto, abbiamo trovato entrambe le radici dell'equazione quadratica e possiamo sostituire i loro valori nell'equazione originale per fattorizzarla:

Ricordiamo il problema originale, dovevamo ridurre la frazione .

Proviamo a risolvere il problema sostituendo .

È necessario non dimenticare che in questo caso il denominatore non può essere uguale a 0, cioè .

Se queste condizioni sono soddisfatte, abbiamo ridotto la frazione originale alla forma .

Problema n. 3 (compito con un parametro)

A quali valori del parametro è la somma delle radici dell'equazione quadratica

Se esistono le radici di questa equazione, allora , domanda: quando.