Dipendenza lineare e indipendenza lineare dei vettori.
Base dei vettori. Sistema di coordinate affini

C'è un carretto con cioccolatini nell'auditorium e ogni visitatore oggi riceverà una dolce coppia: geometria analitica con algebra lineare. Questo articolo toccherà due sezioni della matematica superiore contemporaneamente e vedremo come coesistono in un unico involucro. Prenditi una pausa, mangia un Twix! ...cavolo, che sciocchezze. Anche se, okay, non segnerò, alla fine dovresti avere un atteggiamento positivo nei confronti dello studio.

Dipendenza lineare dei vettori, indipendenza dal vettore lineare, base di vettori e altri termini non hanno solo un'interpretazione geometrica, ma soprattutto un significato algebrico. Il concetto stesso di “vettore” dal punto di vista dell'algebra lineare non è sempre il vettore “ordinario” che possiamo rappresentare su un piano o nello spazio. Non è necessario cercare lontano le prove, prova a disegnare un vettore dello spazio a cinque dimensioni . Oppure il vettore meteorologico, per il quale sono appena andato su Gismeteo: rispettivamente temperatura e pressione atmosferica. L'esempio, ovviamente, non è corretto dal punto di vista delle proprietà dello spazio vettoriale, ma tuttavia nessuno vieta di formalizzare questi parametri come vettore. Respiro d'autunno...

No, non ti annoierò con la teoria, spazi vettoriali lineari, il compito è quello capire definizioni e teoremi. I nuovi termini (dipendenza lineare, indipendenza, combinazione lineare, base, ecc.) si applicano a tutti i vettori da un punto di vista algebrico, ma verranno forniti esempi geometrici. Quindi tutto è semplice, accessibile e chiaro. Oltre ai problemi di geometria analitica, prenderemo in considerazione anche alcuni problemi tipici dell'algebra. Per padroneggiare il materiale, è consigliabile familiarizzare con le lezioni Vettori per manichini E Come calcolare il determinante?

Dipendenza e indipendenza lineare dei vettori piani.
Base piana e sistema di coordinate affini

Consideriamo il piano della scrivania del tuo computer (solo un tavolo, un comodino, il pavimento, il soffitto, qualunque cosa tu voglia). L'attività consisterà nelle seguenti azioni:

1) Seleziona la base dell'aereo. In parole povere, il piano di un tavolo ha una lunghezza e una larghezza, quindi è intuitivo che saranno necessari due vettori per costruire la base. Un vettore chiaramente non è sufficiente, tre vettori sono troppi.

2) In base alla base selezionata impostare il sistema di coordinate(griglia di coordinate) per assegnare le coordinate a tutti gli oggetti sul tavolo.

Non sorprenderti, all'inizio le spiegazioni saranno sulle dita. Inoltre, sul tuo. Per favore, posizionalo indice sinistro sul bordo del tavolo in modo da poter guardare il monitor. Questo sarà un vettore. Adesso posto mignolo destro sul bordo del tavolo allo stesso modo, in modo che sia rivolto verso lo schermo del monitor. Questo sarà un vettore. Sorridi, stai benissimo! Cosa possiamo dire dei vettori? Vettori di dati collineare, che significa lineare espressi l'uno attraverso l'altro:
, beh, o viceversa: , dove è un numero diverso da zero.

Puoi vedere un'immagine di questa azione in classe. Vettori per manichini, dove ho spiegato la regola per moltiplicare un vettore per un numero.

Le tue dita poseranno la base sul piano della scrivania del computer? Ovviamente no. I vettori collineari viaggiano avanti e indietro solo direzione e un piano ha lunghezza e larghezza.

Tali vettori sono chiamati linearmente dipendente.

Riferimento: Le parole "lineare", "linearmente" denotano il fatto che nelle equazioni ed espressioni matematiche non ci sono quadrati, cubi, altre potenze, logaritmi, seni, ecc. Esistono solo espressioni e dipendenze lineari (1° grado).

Due vettori piani linearmente dipendente se e solo se sono collineari.

Incrocia le dita sul tavolo in modo che tra loro vi sia un angolo diverso da 0 o 180 gradi. Due vettori pianilineare Non dipendenti se e solo se non sono collineari. Quindi, la base è ottenuta. Non c'è bisogno di vergognarsi del fatto che la base si sia rivelata "distorta" con vettori non perpendicolari di diversa lunghezza. Molto presto vedremo che non solo un angolo di 90 gradi è adatto alla sua costruzione, e non solo vettori unitari di uguale lunghezza

Qualunque vettore aereo l'unico modo viene ampliato secondo la base:
, dove sono i numeri reali. I numeri vengono chiamati coordinate vettoriali su questa base.

Si dice anche così vettorepresentato come combinazione lineare vettori di base. Cioè, l'espressione si chiama decomposizione vettorialeper base O combinazione lineare vettori di base.

Ad esempio possiamo dire che il vettore è scomposto lungo una base ortonormale del piano, oppure possiamo dire che è rappresentato come una combinazione lineare di vettori.

Formuliamo definizione di base formalmente: La base dell'aereoè chiamata una coppia di vettori linearmente indipendenti (non collineari), , in cui Qualunque un vettore piano è una combinazione lineare di vettori base.

Un punto essenziale della definizione è il fatto che i vettori siano presi in un certo ordine. Basi – queste sono due basi completamente diverse! Come si suol dire, non puoi sostituire il mignolo della mano sinistra al posto del mignolo della mano destra.

Abbiamo individuato le basi, ma non è sufficiente impostare una griglia di coordinate e assegnare le coordinate a ciascun oggetto sulla scrivania del computer. Perché non è abbastanza? I vettori sono liberi e vagano per tutto il piano. Allora come si assegnano le coordinate a quei piccoli punti sporchi sul tavolo rimasti da un fine settimana selvaggio? Serve un punto di partenza. E un punto del genere è un punto familiare a tutti: l'origine delle coordinate. Comprendiamo il sistema di coordinate:

Inizierò con il sistema “scuola”. Già nella lezione introduttiva Vettori per manichini Ho evidenziato alcune differenze tra il sistema di coordinate rettangolari e la base ortonormale. Ecco l'immagine standard:

Quando ne parlano sistema di coordinate rettangolari, quindi molto spesso significano l'origine, gli assi delle coordinate e la scala lungo gli assi. Prova a digitare "sistema di coordinate rettangolari" in un motore di ricerca e vedrai che molte fonti ti parleranno degli assi di coordinate familiari dalla 5a alla 6a elementare e come tracciare i punti su un piano.

D'altra parte, sembra che un sistema di coordinate rettangolari possa essere completamente definito in termini di base ortonormale. E questo è quasi vero. La dicitura è la seguente:

origine, E Ortonormale la base è fissata Sistema di coordinate del piano cartesiano rettangolare . Cioè, il sistema di coordinate rettangolari decisamenteè definito da un singolo punto e due vettori unitari ortogonali. Ecco perché vedi il disegno che ho fornito sopra: nei problemi geometrici, sia i vettori che gli assi delle coordinate vengono spesso (ma non sempre) disegnati.

Penso che tutti lo capiscano usando un punto (origine) e una base ortonormale QUALSIASI PUNTO sull'aereo e QUALSIASI VETTORE sull'aereoè possibile assegnare le coordinate. In senso figurato, “tutto su un aereo può essere numerato”.

I vettori di coordinate devono essere unità? No, possono avere una lunghezza arbitraria diversa da zero. Consideriamo un punto e due vettori ortogonali di lunghezza arbitraria diversa da zero:

Tale base è chiamata ortogonale. L'origine delle coordinate con i vettori è definita da una griglia di coordinate e qualsiasi punto del piano, qualsiasi vettore ha le sue coordinate in una data base. Ad esempio, o. L'ovvio inconveniente è che i vettori delle coordinate generalmente hanno lunghezze diverse diverse dall'unità. Se le lunghezze sono uguali all'unità, si ottiene la consueta base ortonormale.

! Nota : nella base ortogonale, così come di seguito nelle basi affini del piano e dello spazio, si considerano le unità lungo gli assi CONDIZIONALE. Ad esempio, un'unità lungo l'asse X contiene 4 cm e un'unità lungo l'asse delle ordinate contiene 2 cm: queste informazioni sono sufficienti per convertire, se necessario, le coordinate "non standard" nei "nostri soliti centimetri".

E la seconda domanda, alla quale in realtà è già stata data risposta, è se l'angolo tra i vettori base deve essere uguale a 90 gradi? NO! Come afferma la definizione, i vettori base devono essere solo non collineare. Di conseguenza, l'angolo può essere qualsiasi cosa tranne 0 e 180 gradi.

Un punto sull'aereo chiamato origine, E non collineare vettori, , impostato sistema di coordinate del piano affine :

A volte viene chiamato un tale sistema di coordinate obliquo sistema. Ad esempio, il disegno mostra punti e vettori:

Come hai capito, il sistema di coordinate affini è ancora meno conveniente; le formule per le lunghezze di vettori e segmenti, di cui abbiamo discusso nella seconda parte della lezione, non funzionano al suo interno Vettori per manichini, tante deliziose formule legate a prodotto scalare di vettori. Ma sono valide le regole per aggiungere vettori e moltiplicare un vettore per un numero, le formule per dividere un segmento in questa relazione, così come alcuni altri tipi di problemi che considereremo presto.

E la conclusione è che il caso speciale più conveniente di un sistema di coordinate affine è il sistema rettangolare cartesiano. Ecco perché devi vederla molto spesso, mia cara. ...Tuttavia, tutto in questa vita è relativo: ci sono molte situazioni in cui un angolo obliquo (o qualche altro, ad esempio, polare) sistema di coordinate. E agli umanoidi potrebbero piacere tali sistemi =)

Passiamo alla parte pratica. Tutti i problemi di questa lezione sono validi sia per il sistema di coordinate rettangolari che per il caso affine generale. Non c'è niente di complicato qui, tutto il materiale è accessibile anche a uno scolaro.

Come determinare la collinearità dei vettori piani?

Cosa tipica. In ordine per due vettori piani fossero collineari, è necessario e sufficiente che le loro coordinate corrispondenti siano proporzionali Essenzialmente, questo è un dettaglio, coordinata per coordinata, della relazione ovvia.

Esempio 1

a) Controlla se i vettori sono collineari .
b) I vettori formano una base? ?

Soluzione:
a) Scopriamo se esiste per i vettori coefficiente di proporzionalità, tale che le uguaglianze siano soddisfatte:

Ti parlerò sicuramente della versione “stupida” dell’applicazione di questa regola, che funziona abbastanza bene nella pratica. L'idea è di fare subito la proporzione e vedere se è corretta:

Facciamo una proporzione dai rapporti delle coordinate corrispondenti dei vettori:

Accorciamo:
, quindi le coordinate corrispondenti sono proporzionali, quindi,

La relazione potrebbe essere fatta al contrario; questa è un'opzione equivalente:

Per l'autotest, è possibile utilizzare il fatto che i vettori collineari sono espressi linearmente l'uno attraverso l'altro. In questo caso si realizzano le uguaglianze . La loro validità può essere facilmente verificata attraverso operazioni elementari con i vettori:

b) Due vettori piani formano una base se non sono collineari (linearmente indipendenti). Esaminiamo i vettori per la collinearità . Creiamo un sistema:

Dalla prima equazione segue che , dalla seconda equazione segue che , che significa il sistema è incoerente(nessuna soluzione). Pertanto, le coordinate corrispondenti dei vettori non sono proporzionali.

Conclusione: i vettori sono linearmente indipendenti e formano una base.

Una versione semplificata della soluzione è simile alla seguente:

Facciamo una proporzione dalle coordinate corrispondenti dei vettori :
, il che significa che questi vettori sono linearmente indipendenti e formano una base.

Di solito questa opzione non viene rifiutata dai revisori, ma sorge un problema nei casi in cui alcune coordinate sono uguali a zero. Come questo: . O così: . O così: . Come lavorare attraverso la proporzione qui? (in effetti, non puoi dividere per zero). È per questo motivo che ho definito “stupida” la soluzione semplificata.

Risposta: a) , b) forma.

Un piccolo esempio creativo per la tua soluzione:

Esempio 2

A quale valore del parametro sono i vettori saranno collineari?

Nella soluzione campione il parametro si trova attraverso la proporzione.

Esiste un modo algebrico elegante per verificare la collinearità dei vettori. Sistematizziamo le nostre conoscenze e aggiungiamole come quinto punto:

Per due vettori piani le seguenti affermazioni sono equivalenti:

2) i vettori formano una base;
3) i vettori non sono collineari;

+ 5) il determinante composto dalle coordinate di questi vettori è diverso da zero.

Rispettivamente, le seguenti affermazioni opposte sono equivalenti:
1) i vettori sono linearmente dipendenti;
2) i vettori non costituiscono una base;
3) i vettori sono collineari;
4) i vettori possono essere espressi linearmente l'uno attraverso l'altro;
+ 5) il determinante composto dalle coordinate di questi vettori è uguale a zero.

Spero davvero, davvero che a questo punto tu abbia già compreso tutti i termini e le affermazioni che hai incontrato.

Vediamo più da vicino il nuovo, quinto punto: due vettori piani sono collineari se e solo se il determinante composto dalle coordinate dei vettori dati è uguale a zero:. Per applicare questa funzionalità, ovviamente, devi essere in grado di farlo trovare determinanti.

Decidiamo Esempio 1 nel secondo modo:

a) Calcoliamo il determinante formato dalle coordinate dei vettori :
, il che significa che questi vettori sono collineari.

b) Due vettori piani formano una base se non sono collineari (linearmente indipendenti). Calcoliamo il determinante formato dalle coordinate vettoriali :
, il che significa che i vettori sono linearmente indipendenti e formano una base.

Risposta: a) , b) forma.

Sembra molto più compatto e più carino di una soluzione con proporzioni.

Con l'aiuto del materiale considerato è possibile stabilire non solo la collinearità dei vettori, ma anche dimostrare il parallelismo dei segmenti e delle rette. Consideriamo un paio di problemi con forme geometriche specifiche.

Esempio 3

Sono dati i vertici di un quadrilatero. Dimostrare che un quadrilatero è un parallelogramma.

Prova: Non è necessario creare un disegno del problema, poiché la soluzione sarà puramente analitica. Ricordiamo la definizione di parallelogramma:
Parallelogramma Si chiama quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli a coppie.

Occorre quindi dimostrare:
1) parallelismo dei lati opposti e;
2) parallelismo dei lati opposti e.

Dimostriamo:

1) Trova i vettori:

2) Trova i vettori:

Il risultato è lo stesso vettore (“secondo la scuola” – vettori uguali). La collinearità è abbastanza evidente, ma è meglio formalizzare la decisione in modo chiaro, con accordo. Calcoliamo il determinante formato dalle coordinate vettoriali:
, il che significa che questi vettori sono collineari e .

Conclusione: I lati opposti di un quadrilatero sono paralleli a coppie, il che significa che è un parallelogramma per definizione. Q.E.D.

Figure più buone e diverse:

Esempio 4

Sono dati i vertici di un quadrilatero. Dimostrare che un quadrilatero è un trapezio.

Per una formulazione più rigorosa della dimostrazione, ovviamente, è meglio ottenere la definizione di trapezio, ma è sufficiente ricordare semplicemente come appare.

Questo è un compito che devi risolvere da solo. Soluzione completa alla fine della lezione.

E ora è il momento di spostarsi lentamente dall’aereo allo spazio:

Come determinare la collinearità dei vettori spaziali?

La regola è molto simile. Affinché due vettori spaziali siano collineari è necessario e sufficiente che le loro coordinate corrispondenti siano proporzionali.

Esempio 5

Scopri se i seguenti vettori spaziali sono collineari:

UN) ;
B)
V)

Soluzione:
a) Controlliamo se esiste un coefficiente di proporzionalità per le corrispondenti coordinate dei vettori:

Il sistema non ha soluzione, il che significa che i vettori non sono collineari.

Il “semplificato” viene formalizzato verificando la proporzione. In questo caso:
– le coordinate corrispondenti non sono proporzionali, cioè i vettori non sono collineari.

Risposta: i vettori non sono collineari.

b-c) Questi sono punti per una decisione indipendente. Provalo in due modi.

Esiste un metodo per verificare la collinearità dei vettori spaziali tramite un determinante del terzo ordine; questo metodo è trattato nell'articolo Prodotto vettoriale di vettori.

Analogamente al caso del piano, gli strumenti considerati possono essere utilizzati per studiare il parallelismo di segmenti spaziali e linee rette.

Benvenuti nella seconda sezione:

Dipendenza e indipendenza lineare dei vettori nello spazio tridimensionale.
Base spaziale e sistema di coordinate affini

Molti dei modelli che abbiamo esaminato sull’aereo saranno validi per lo spazio. Ho cercato di ridurre al minimo gli appunti teorici, visto che la parte del leone delle informazioni è già stata masticata. Ti consiglio però di leggere attentamente la parte introduttiva, poiché appariranno nuovi termini e concetti.

Ora, invece del piano della scrivania del computer, esploriamo lo spazio tridimensionale. Per prima cosa, creiamo le sue basi. Qualcuno ora è in casa, qualcuno è fuori, ma in ogni caso non possiamo sfuggire alle tre dimensioni: larghezza, lunghezza e altezza. Pertanto, per costruire una base, saranno necessari tre vettori spaziali. Uno o due vettori non bastano, il quarto è superfluo.

E ancora ci riscaldiamo sulle dita. Per favore alza la mano e allargala in diverse direzioni pollice, indice e medio. Questi saranno vettori, guardano in direzioni diverse, hanno lunghezze diverse e hanno angoli diversi tra loro. Congratulazioni, la base dello spazio tridimensionale è pronta! A proposito, non è necessario dimostrarlo agli insegnanti, non importa quanto forte giri le dita, ma non c'è scampo dalle definizioni =)

Poniamoci poi una domanda importante: tre vettori qualsiasi formano una base dello spazio tridimensionale? Premere saldamente tre dita sulla parte superiore della scrivania del computer. Quello che è successo? Tre vettori si trovano sullo stesso piano e, grosso modo, abbiamo perso una delle dimensioni: l'altezza. Tali vettori sono Complanare ed è abbastanza ovvio che la base dello spazio tridimensionale non è stata creata.

Va notato che i vettori complanari non devono necessariamente giacere sullo stesso piano, possono essere su piani paralleli (basta non farlo con le dita, solo Salvador Dalì lo ha fatto =)).

Definizione: vengono chiamati i vettori Complanare, se esiste un piano al quale sono paralleli. È logico aggiungere qui che se tale piano non esiste, i vettori non saranno complanari.

Tre vettori complanari sono sempre linearmente dipendenti, cioè sono espressi linearmente l'uno attraverso l'altro. Per semplicità, immaginiamo ancora una volta che si trovino sullo stesso piano. Innanzitutto i vettori non solo sono complanari, ma possono anche essere collineari, quindi qualsiasi vettore può essere espresso attraverso qualsiasi vettore. Nel secondo caso, se ad esempio i vettori non sono collineari, allora il terzo vettore si esprime attraverso di essi in modo unico: (e perché è facile intuirlo dai materiali della sezione precedente).

È vero anche il contrario: tre vettori non complanari sono sempre linearmente indipendenti, cioè, non si esprimono in alcun modo l'uno attraverso l'altro. E, ovviamente, solo tali vettori possono costituire la base dello spazio tridimensionale.

Definizione: La base dello spazio tridimensionaleè chiamata tripla di vettori linearmente indipendenti (non complanari), presi in un certo ordine e qualsiasi vettore dello spazio l'unico modo viene scomposto su una data base, dove sono le coordinate del vettore in questa base

Ti ricordo che possiamo anche dire che il vettore è rappresentato nella forma combinazione lineare vettori di base.

Il concetto di sistema di coordinate viene introdotto esattamente nello stesso modo del caso piano; sono sufficienti un punto e tre vettori linearmente indipendenti qualsiasi:

origine, E non complanare vettori, presi in un certo ordine, impostato sistema di coordinate affini dello spazio tridimensionale :

Naturalmente, la griglia di coordinate è “obliqua” e scomoda, ma, tuttavia, il sistema di coordinate costruito ce lo consente decisamente determinare le coordinate di qualsiasi vettore e le coordinate di qualsiasi punto nello spazio. Similmente ad un piano, alcune formule che ho già menzionato non funzioneranno nel sistema di coordinate affini dello spazio.

Il caso speciale più familiare e conveniente di un sistema di coordinate affine, come tutti immaginano, è sistema di coordinate spaziali rettangolari:

Un punto nello spazio chiamato origine, E Ortonormale la base è fissata Sistema di coordinate spaziali cartesiane rettangolari . Immagine familiare:

Prima di passare ai compiti pratici, sistemizziamo nuovamente le informazioni:

Per tre vettori spaziali le seguenti affermazioni sono equivalenti:
1) i vettori sono linearmente indipendenti;
2) i vettori formano una base;
3) i vettori non sono complanari;
4) i vettori non possono essere espressi linearmente l'uno attraverso l'altro;
5) il determinante, composto dalle coordinate di questi vettori, è diverso da zero.

Penso che le affermazioni opposte siano comprensibili.

La dipendenza/indipendenza lineare dei vettori spaziali viene tradizionalmente verificata utilizzando un determinante (punto 5). I restanti compiti pratici saranno di marcata natura algebrica. È ora di appendere al chiodo il bastone della geometria e impugnare la mazza da baseball dell'algebra lineare:

Tre vettori dello spazio sono complanari se e solo se il determinante composto dalle coordinate dei vettori dati è uguale a zero: .

Vorrei attirare la vostra attenzione su una piccola sfumatura tecnica: le coordinate dei vettori possono essere scritte non solo in colonne, ma anche in righe (il valore del determinante non cambierà per questo motivo - vedere proprietà dei determinanti). Ma è molto meglio in colonne, poiché è più utile per risolvere alcuni problemi pratici.

Per quei lettori che hanno un po' dimenticato i metodi di calcolo dei determinanti, o forse li capiscono poco, consiglio una delle mie lezioni più antiche: Come calcolare il determinante?

Esempio 6

Controlla se i seguenti vettori costituiscono la base dello spazio tridimensionale:

Soluzione: In effetti, l'intera soluzione si riduce al calcolo del determinante.

a) Calcoliamo il determinante formato dalle coordinate vettoriali (il determinante si rivela nella prima riga):

, il che significa che i vettori sono linearmente indipendenti (non complanari) e costituiscono la base dello spazio tridimensionale.

Risposta: questi vettori costituiscono una base

b) Questo è un punto per una decisione indipendente. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Ci sono anche compiti creativi:

Esempio 7

Per quale valore del parametro i vettori saranno complanari?

Soluzione: I vettori sono complanari se e solo se il determinante composto dalle coordinate di questi vettori è uguale a zero:

In sostanza, devi risolvere un'equazione con un determinante. Piombiamo sugli zeri come gli aquiloni sui jerboa: è meglio aprire il determinante nella seconda riga e sbarazzarci immediatamente degli svantaggi:

Effettuiamo ulteriori semplificazioni e riduciamo la questione alla più semplice equazione lineare:

Risposta: A

È facile controllare qui; per fare ciò, devi sostituire il valore risultante nel determinante originale e assicurarti che , riaprendolo.

In conclusione, prenderemo in considerazione un altro problema tipico, di natura più algebrica e tradizionalmente incluso in un corso di algebra lineare. È così comune che merita un argomento a parte:

Dimostrare che 3 vettori costituiscono la base dello spazio tridimensionale
e trova in questa base le coordinate del 4° vettore

Esempio 8

Sono dati i vettori. Mostra che i vettori formano una base nello spazio tridimensionale e trova le coordinate del vettore in questa base.

Soluzione: Per prima cosa, affrontiamo la condizione. Per condizione, vengono forniti quattro vettori e, come puoi vedere, hanno già delle coordinate in qualche base. Quale sia questa base non ci interessa. Ed è interessante la cosa seguente: tre vettori potrebbero benissimo formare una nuova base. E la prima fase coincide completamente con la soluzione dell’Esempio 6; occorre verificare se i vettori sono veramente linearmente indipendenti:

Calcoliamo il determinante formato dalle coordinate vettoriali:

, il che significa che i vettori sono linearmente indipendenti e costituiscono la base dello spazio tridimensionale.

! Importante : coordinate vettoriali Necessariamente scrivere in colonne determinante, non nelle stringhe. Altrimenti si creerà confusione nell'ulteriore algoritmo risolutivo.

In questo articolo tratteremo:

• cosa sono i vettori collineari;
• quali sono le condizioni per la collinearità dei vettori;
• quali proprietà esistono dei vettori collineari;
• qual è la dipendenza lineare dei vettori collineari.

Definizione 1

I vettori collineari sono vettori paralleli a una linea o che giacciono su una linea.

Esempio 1

Condizioni di collinearità dei vettori

Due vettori sono collineari se è vera una delle seguenti condizioni:

• condizione 1 . I vettori aeb sono collineari se esiste un numero λ tale che a = λ b;
• condizione 2 . I vettori a e b sono collineari con rapporti di coordinate uguali:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• condizione 3 . I vettori a e b sono collineari a condizione che il prodotto vettoriale e il vettore zero siano uguali:

un ∥ b ⇔ un, b = 0

Nota 1

Condizione 2 non applicabile se una delle coordinate del vettore è zero.

Nota 2

Condizione 3 si applica solo a quei vettori specificati nello spazio.

Esempi di problemi per studiare la collinearità dei vettori

Esempio 1

Esaminiamo i vettori a = (1; 3) e b = (2; 1) per la collinearità.

Come risolvere?

In questo caso è necessario utilizzare la 2a condizione di collinearità. Per dati vettori assomiglia a questo:

L'uguaglianza è falsa. Da ciò possiamo concludere che i vettori a e b non sono collineari.

Risposta : un | | B

Esempio 2

Quale valore m del vettore a = (1; 2) e b = (- 1; m) è necessario affinché i vettori siano collineari?

Come risolvere?

Utilizzando la seconda condizione di collinearità, i vettori saranno collineari se le loro coordinate sono proporzionali:

Ciò dimostra che m = - 2.

Risposta: m = - 2 .

Criteri di dipendenza lineare e indipendenza lineare di sistemi vettoriali

Teorema

Un sistema di vettori in uno spazio vettoriale è linearmente dipendente solo se uno dei vettori del sistema può essere espresso in termini dei restanti vettori di questo sistema.

Prova

Sia il sistema e 1 , e 2 , . . . , e n è linearmente dipendente. Scriviamo una combinazione lineare di questo sistema uguale al vettore zero:

un 1 e 1 + un 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

in cui almeno uno dei coefficienti di combinazione non è uguale a zero.

Sia a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , N.

Dividiamo entrambi i membri dell'uguaglianza per un coefficiente diverso da zero:

a k - 1 (ak - 1 a 1) e 1 + (ak - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Indichiamo:

A k - 1 am , dove m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

In questo caso:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

oppure e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Ne consegue che uno dei vettori del sistema si esprime attraverso tutti gli altri vettori del sistema. Che è ciò che doveva essere dimostrato (ecc.).

Adeguatezza

Sia uno dei vettori espresso linearmente attraverso tutti gli altri vettori del sistema:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Spostiamo il vettore ek a destra di questa uguaglianza:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Poiché il coefficiente del vettore e k è uguale a - 1 ≠ 0, otteniamo una rappresentazione non banale dello zero mediante un sistema di vettori e 1, e 2, . . . , e n , e questo, a sua volta, significa che questo sistema di vettori è linearmente dipendente. Che è ciò che doveva essere dimostrato (ecc.).

Conseguenza:

• Un sistema di vettori è linearmente indipendente quando nessuno dei suoi vettori può essere espresso in termini di tutti gli altri vettori del sistema.
• Un sistema di vettori che contiene un vettore zero o due vettori uguali è linearmente dipendente.

Proprietà dei vettori linearmente dipendenti

1. Per i vettori bidimensionali e tridimensionali è soddisfatta la seguente condizione: due vettori linearmente dipendenti sono collineari. Due vettori collineari sono linearmente dipendenti.
2. Per i vettori tridimensionali è soddisfatta la seguente condizione: tre vettori linearmente dipendenti sono complanari. (3 vettori complanari sono linearmente dipendenti).
3. Per i vettori n-dimensionali è soddisfatta la seguente condizione: n+1 vettori sono sempre linearmente dipendenti.

Esempi di risoluzione di problemi che coinvolgono la dipendenza lineare o l'indipendenza lineare dei vettori

Esempio 3

Controlliamo l'indipendenza lineare dei vettori a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0.

Soluzione. I vettori sono linearmente dipendenti perché la dimensione dei vettori è inferiore al numero di vettori.

Esempio 4

Controlliamo l'indipendenza lineare dei vettori a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1.

Soluzione. Troviamo i valori dei coefficienti ai quali la combinazione lineare sarà uguale al vettore zero:

x1a + x2b + x3c1 = 0

Scriviamo l'equazione vettoriale in forma lineare:

x1 + x2 = 0 x1 + 2 x2 - x3 = 0 x1 + x3 = 0

Risolviamo questo sistema utilizzando il metodo di Gauss:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Dalla 2a riga sottraiamo la 1a, dalla 3a alla 1a:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Dalla 1a riga sottraiamo la 2a, alla 3a aggiungiamo la 2a:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Dalla soluzione segue che il sistema ha molte soluzioni. Ciò significa che esiste una combinazione diversa da zero di valori di tali numeri x 1, x 2, x 3 per la quale la combinazione lineare di a, b, c è uguale al vettore zero. Pertanto, i vettori a, b, c lo sono linearmente dipendente. ​​​​​​​

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Spazi lineari (vettoriali).

Definizione: Un mucchio di l chiamato spazio lineare (vettoriale). , se su di esso vengono inserite due operazioni:

1) aggiunta: per qualsiasi x, y Ä L somma ( x + y) Ä L,

2) moltiplicazione per un numero: per qualsiasi x À L e qualsiasi numero λ il prodotto

λх Є L,

che soddisfano 8 assiomi:

1) x + y = y + x, Dove x,y Ä L;

2) (x + y)+z = x+(y + z), Dove x,y,z Ä L;

3) esiste un elemento zero ̨ tale che ̨ + x = x, Dove x À L;

4) per chiunque x À L c'è solo un elemento opposto

(-X) tale che x + (-x)= ̨;

5) 1 x = x, Dove x À L;

6) α(βх) = (αβ)х, Dove x À L, numeri α e β;

7) α(x + y) = αx + αy, Dove x,y Ä L, numero α;

8) (α + β) x = αx + βx, Dove x À L, numeri α e β.

Commento: Vengono chiamati gli elementi dello spazio lineare (vettoriale). vettori .

Esempi:

L'insieme dei numeri reali è uno spazio lineare.

Gli insiemi di tutti i vettori sul piano e nello spazio sono spazi lineari.

L'insieme di tutte le matrici della stessa dimensione è uno spazio lineare.

Dato un sistema di vettori nello spazio lineare a 1, a 2, a 3, ... a n Є L.

Definizione: Vettore α 1 a 1 + α 2 a 2 +…+ α n a n Ä L, Dove αi(i = 1,…,n) - numeri, chiamati combinazione lineare (LC) vettori a 1, a 2, a 3, ... a n.

Definizione: Sistema vettoriale spaziale lineare a 1, a 2, a 3, ... a n Є L chiamato linearmente indipendente (LNI) , se combinazione lineare

α 1 a 1 + α 2 a 2 +α 3 a 3 +…+ α n un n =0 se e solo se i coefficienti

α1 =α2 =α3 =…=αn =0.

Definizione: Sistema vettoriale a 1, a 2, a 3, ... a n Є L chiamato linearmente dipendente (LD) , se è presente un insieme di numeri α 1, α 2 ,α 3 … α n, non tutti uguali a 0, tale che la combinazione lineare α 1 a 1 + α 2 a 2 +…+ α n un n = 0.

Esempi:

I due vettori vengono chiamati collineare, se sono paralleli ad una retta o giacciono su una retta.

1) Consideriamo due vettori diversi da zero e non collineari sul piano. Diagonale =0.

un 2

Una combinazione lineare è uguale a zero, esiste un coefficiente diverso da zero, quindi due vettori collineari sul piano sono linearmente dipendenti.

Teorema 1. Condizione necessaria e sufficiente per la dipendenza lineare.

Affinché un sistema di vettori in uno spazio lineare sia linearmente dipendente, è necessario e sufficiente che qualche vettore di questo sistema sia una combinazione lineare di tutti gli altri.

Documento: Necessità ().

Dato il sistema LZ. È necessario dimostrare che un vettore è il LC di tutti gli altri.

un 1, un 2, un 3, ... un n– Sistema di vettori LZ, ovvero tra α 1, α 2,α 3 … α n esiste un numero diverso da zero tale che LC α 1 a 1 + α 2 a 2 +α 3 a 3 +…+ α n un n = 0.

Per determinarlo, assumiamo che il coefficiente α1 ≠ 0. Dividiamo entrambi i membri dell'ultima uguaglianza per α1 ≠ 0:

Ne consegue che un 1- LC dei rimanenti vettori.

La necessità è stata dimostrata.

Adeguatezza ().

Sia un vettore una combinazione lineare degli altri. È necessario dimostrare che il sistema di vettori è LZ.

Permettere α n = α 1 a 1 + α 2 a 2 +α 3 a 3 +…+ α n -1 a n -1.

α 1 a 1 + α 2 a 2 +α 3 a 3 +…+ α n -1 a n -1 - 1α n = 0.

Poiché esiste un coefficiente diverso da zero, il sistema di vettori un 1, un 2, un 3, ... un n- linearmente dipendente.

Teorema 2. Un sistema contenente un vettore nullo è linearmente dipendente.

Documento: Consideriamo un sistema di vettori contenente un vettore nullo. a 1, a 2, a 3, … a n ,̨, Dove Ө - vettore nullo. Ovviamente vale la seguente uguaglianza 0 a 1 + 0 a 2 +0 a 3 +…+ 5 ̨ = 0.

Esiste un coefficiente diverso da zero pari a 5 e una combinazione lineare è pari a 0, ne consegue che il sistema di vettori è LZ.

Teorema 3. Un sistema contenente un sottosistema linearmente dipendente sarà anche linearmente dipendente.

Documento: Considera il sistema di vettori a 1, a 2, ..., a k, a k+1 ... a n, Dove un 1, un 2,…, un k- pezzo linearmente dipendente. α 1 a 1 + α 2 a 2 + … +α k a k = 0. C'è un coefficiente diverso da zero.

Ovviamente con questi stessi coefficienti l'uguaglianza sarà soddisfatta

α 1 a 1 + α 2 a 2 +…+α k a k +…+0· a k+1 +…+ 0·α n = 0.

Ne consegue che il sistema di vettori è LZ.

Di seguito vengono forniti diversi criteri per la dipendenza lineare e, di conseguenza, l'indipendenza lineare dei sistemi vettoriali.

Teorema. (Condizione necessaria e sufficiente per la dipendenza lineare dei vettori.)

Un sistema di vettori è dipendente se e solo se uno dei vettori del sistema è espresso linearmente attraverso gli altri di questo sistema.

Prova. Necessità. Sia il sistema linearmente dipendente. Quindi, per definizione, rappresenta il vettore zero in modo non banale, cioè esiste una combinazione non banale di questo sistema di vettori uguale al vettore zero:

dove almeno uno dei coefficienti di questa combinazione lineare non è uguale a zero. Permettere , .

Dividiamo entrambi i membri dell'uguaglianza precedente per questo coefficiente diverso da zero (ovvero moltiplichiamo per:

Indichiamo: , dove .

quelli. uno dei vettori del sistema è espresso linearmente attraverso gli altri di questo sistema, ecc.

Adeguatezza. Sia espresso linearmente uno dei vettori del sistema attraverso altri vettori di questo sistema:

Spostiamo il vettore a destra di questa uguaglianza:

Poiché il coefficiente del vettore è uguale a , allora abbiamo una rappresentazione non banale dello zero mediante un sistema di vettori, il che significa che questo sistema di vettori è linearmente dipendente, ecc.

Il teorema è stato dimostrato.

Conseguenza.

1. Un sistema di vettori in uno spazio vettoriale è linearmente indipendente se e solo se nessuno dei vettori del sistema è espresso linearmente in termini di altri vettori di questo sistema.

2. Un sistema di vettori contenente un vettore zero o due vettori uguali è linearmente dipendente.

Prova.

1) Necessità. Sia il sistema linearmente indipendente. Supponiamo il contrario e che esista un vettore del sistema che si esprime linearmente attraverso altri vettori di questo sistema. Allora, secondo il teorema, il sistema è linearmente dipendente e si arriva ad una contraddizione.

Adeguatezza. Nessuno dei vettori del sistema sia espresso in termini degli altri. Supponiamo il contrario. Lasciamo che il sistema sia linearmente dipendente, ma dal teorema segue che esiste un vettore del sistema che è espresso linearmente attraverso altri vettori di questo sistema, e arriviamo di nuovo a una contraddizione.

2a) Sia il sistema a contenere un vettore nullo. Assumiamo per certezza che il vettore :. Allora l'uguaglianza è ovvia

quelli. uno dei vettori del sistema è espresso linearmente attraverso gli altri vettori di questo sistema. Dal teorema segue che un tale sistema di vettori è linearmente dipendente, ecc.

Si noti che questo fatto può essere dimostrato direttamente da un sistema di vettori linearmente dipendenti.

Poiché , risulta ovvia la seguente uguaglianza

Questa è una rappresentazione non banale del vettore zero, il che significa che il sistema è linearmente dipendente.

2b) Sia il sistema composto da due vettori uguali. Facciamo per . Allora l'uguaglianza è ovvia

Quelli. il primo vettore è espresso linearmente attraverso i restanti vettori dello stesso sistema. Dal teorema segue che questo sistema è linearmente dipendente, ecc.

Similmente alla precedente, questa affermazione può essere dimostrata direttamente definendo un sistema linearmente dipendente, che rappresenta quindi il vettore zero in modo non banale

da cui segue la dipendenza lineare del sistema.

Il teorema è stato dimostrato.

Conseguenza. Un sistema costituito da un vettore è linearmente indipendente se e solo se questo vettore è diverso da zero.

Supponiamo che le funzioni abbiano derivate del limite (n-1).

Consideriamo il determinante: (1)

W(x) è detto determinante di Wronski per le funzioni.

Teorema 1. Se le funzioni sono linearmente dipendenti nell'intervallo (a, b), allora la loro W(x) Wronskiana è identicamente uguale a zero in questo intervallo.

Prova. Secondo le condizioni del teorema la relazione è soddisfatta

, (2) dove non tutti sono uguali a zero. Permettere . Poi

(3). Differenziamo questa identità n-1 volte e,

Sostituendo invece i valori ottenuti nel determinante di Wronsky,

noi abbiamo:

(4).

Nel determinante di Wronski, l'ultima colonna è una combinazione lineare delle precedenti n-1 colonne ed è quindi uguale a zero in tutti i punti dell'intervallo (a, b).

Teorema 2. Se le funzioni y1,…,yn sono soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione L[y] = 0, i cui coefficienti sono tutti continui nell’intervallo (a, b), allora il Wronskiano di queste soluzioni è diverso da zero in ogni punto dell’equazione intervallo (a, b).

Prova. Supponiamo il contrario. C'è X0, dove W(X0)=0. Creiamo un sistema di n equazioni

(5).

Ovviamente il sistema (5) ha soluzione diversa da zero. Sia (6).

Realizziamo una combinazione lineare delle soluzioni y1,…, yn.

Y(x) è una soluzione dell'equazione L[y] = 0. Inoltre, . In virtù del teorema di unicità, la soluzione dell'equazione L[y] = 0 con condizioni iniziali nulle può essere solo zero, cioè .

Otteniamo l'identità dove non tutti sono uguali a zero, il che significa che y1,..., yn sono linearmente dipendenti, il che contraddice le condizioni del teorema. Di conseguenza, non esiste un punto in cui W(X0)=0.

Sulla base del Teorema 1 e del Teorema 2 si può formulare la seguente affermazione. Affinché n soluzioni dell'equazione L[y] = 0 siano linearmente indipendenti nell'intervallo (a, b), è necessario e sufficiente che il loro Wronskiano non si annulli in nessun punto di tale intervallo.

Dai teoremi dimostrati derivano anche le seguenti ovvie proprietà del Wronskiano.

1. Se il Wronskiano di n soluzioni dell'equazione L[y] = 0 è uguale a zero in un punto x = x0 dell'intervallo (a, b), in cui tutti i coefficienti pi(x) sono continui, allora è uguale a zero in tutti i punti di questo intervallo.
2. Se il Wronskiano di n soluzioni dell'equazione L[y] = 0 è diverso da zero in un punto x = x0 dell'intervallo (a, b), allora è diverso da zero in tutti i punti di questo intervallo.

Pertanto, per la linearità di n soluzioni indipendenti dell’equazione L[y] = 0 nell’intervallo (a, b), in cui i coefficienti dell’equazione рi(x) sono continui, è necessario e sufficiente che il loro Wronskiano sia diverso da zero almeno in un punto di questo intervallo .