nalità (∂ f ∂ ϕ ) 2 . Ciò dimostra che il coefficiente di inerzia dell'oggetto dipende

setaccio dalla scelta della coordinata generalizzata e può essere ricalcolato.

L'FE di un sistema olonomico di un grado non stazionario ha una struttura

giro del polinomio quadratico rispetto al coefficiente di velocità generalizzato q & ,

i cui valori dipendono generalmente da q e t:

2T = aq & 2 + 2a 1 q & + 2a 0 , con a = a (q ,t ), a 1 = a 1 (q ,t ), a 0 = a 0 (q ,t ) (5.10)

La dimensione dei coefficienti a , a 0 , a 1 è determinata dal principio di L. Eulero: tutti i termini nelle espressioni devono avere la stessa dimensione.

5.3. Potenza

Viene chiamata la regione dello spazio in cui viene applicata una forza ad un oggetto materiale campo di forza vettoriale. Quest'area può essere tridimensionale (ad esempio sferica), oppure bidimensionale, oppure rappresentare un segmento di linea retta o curva. Di solito si ritiene che la forza dipenda solo dalle coordinate (x, y, z) del punto di applicazione della forza, oppure da una o due coordinate, oppure sia costante in grandezza e direzione. Sono ammessi anche casi in cui le forze dipendono sia dalla velocità del punto che dal tempo, ad es. la forza è specificata nell'area dello spazio di coordinate, velocità e tempo. Ci sono casi in cui

dove la forza dipende dall'accelerazione.

all'istante t nel sistema di riferimento viene chiamato Oxyz

Potenza potenza F

scalare uguale al prodotto scalare della forza

applicato alla velocità del punto

forza v in questo sistema:

m/s=W)

Fv cos(F ,v )

Zz, (N

Secondo questa definizione, la potenza di una forza è uno scalare positivo se l’angolo tra forza e velocità è acuto (in questo caso la forza favorisce il movimento, un aumento dell’energia cinetica) e negativo se l’angolo è ottuso (quando la forza rallenta il movimento). La potenza della forza è nulla se la forza è perpendicolare alla velocità del punto di applicazione della forza, oppure se il punto di applicazione della forza non ha velocità.

Le potenze nei due sistemi di riferimento sono diverse se i sistemi si muovono l'uno rispetto all'altro, per cui va indicato il sistema di riferimento in cui viene calcolata la potenza delle forze.

Il potere delle forze di attrito, così come di altre forze dissipative dirette contro il movimento, è negativo.

La potenza della forza di adesione tra la ruota e la strada (se non c'è slittamento delle ruote) è nulla, poiché il punto di applicazione della forza non ha velocità.

Consideriamo il caso in cui le forze dipendono solo dalla posizione del punto di

U (x, y, z) è una funzione della posizione del punto di applicazione della forza, cioè – funzione delle coordinate cartesiane (o generalizzate). In questo caso la forza F (x, y, z) è detta potenziale, e la “funzione forza” U di segno opposto è detta

energia potenziale: P (x, y, z) = − U (x, y, z) . La regione dello spazio in cui

come viene chiamata la forza potenziale che agisce su un corpo potenziale campo di forza. Sotto il segno della derivata è possibile aggiungere qualsiasi costante, quindi la funzione forza e l'energia potenziale vengono determinate fino ad una costante che determina il livello di riferimento. In generale, l'energia potenziale può essere definita come una funzione P (q 1,..., q n) ottenuta

trasformando la potenza nella forma: P = − П & (q 1 ,..., q n ) , dove q s è una generalizzata

nuove coordinate.

Lascia che il corpo si muova arbitrariamente nello spazio, ad es. si muove insieme al polo O con velocità v O e ruota con velocità angolare ω.

La potenza di una coppia di forze applicate ad un corpo rigido non dipende dalla velocità del palo. È uguale al prodotto scalare del momento di una coppia di forze per la velocità angolare.

P = M			Mω cos(M ,ω			) = M xω x + M yω y + M zω z ,

dove M è il momento di una coppia di forze, ω è la velocità angolare di un corpo rigido, che, come noto, non dipende dalla scelta del polo. Il potere delle coppie di forze dissipative è negativo. La potenza di una coppia di forze non dipende dal luogo in cui viene applicata al corpo. La potenza di una coppia di forze di attrito nel cuscinetto è negativa, poiché la coppia di attrito e la velocità angolare di rotazione hanno direzioni opposte.

La potenza di un sistema di forze applicate ad un corpo rigido è pari al prodotto scalare del vettore principale R del sistema e della velocità di un polo qualsiasi del corpo, sommato con il prodotto scalare del momento principale M 0 delle forze relative a questo polo e la velocità angolare del corpo:

vO+M

Oω

per R = ∑ F io , M O = ∑ r io × F io .

5.4. Lavoro ed energia potenziale

Il lavoro elementare di una forza nel sistema di coordinate selezionato Oxyz (fisso o mobile) è una quantità infinitesima pari al prodotto scalare della forza per lo spostamento elementare del punto di applicazione della forza in questo sistema:

d′A = F		dr = Xdx + Ydy + Zdz = F | dr | cos(F ,d r ), (N m=J)

Qui d ΄A indica il lavoro infinitesimo compiuto da una forza in un intervallo di tempo infinitesimo, d r è lo spostamento elementare co-diretto con la velocità del punto. Il primo indica che d ΄A non è sempre un differenziale completo di qualche funzione.

Ovviamente il prodotto Pdt è uguale al lavoro elementare d ΄A:

La potenza moltiplicata per un piccolo intervallo di tempo ∆t è un valore approssimativo del lavoro ∆A della forza durante questo intervallo, la potenza è approssimativamente uguale al lavoro della forza in 1 secondo. Il lavoro compiuto da una forza in un intervallo di tempo finito è detto integrale definito della potenza nel tempo:

A12 = ∫ Pdt = ∫			v dt per v = r & = dr / dt .

Per calcolare il lavoro utilizzando questa formula generale è necessario conoscere la potenza in funzione del tempo oppure la forza e la velocità in funzione del solo tempo t. Ma in alcuni casi particolari (il caso della forza potenziale, il caso della forza di attrito costante con direzione di movimento costante), è possibile calcolare il lavoro senza utilizzare le equazioni cinematiche del moto del punto di applicazione della forza; è sufficiente conoscere solo la posizione iniziale e finale del punto.

Consideriamo lo spostamento del punto di applicazione della forza rispetto a due sistemi di riferimento in movimento l'uno rispetto all'altro. La velocità del punto nei due sistemi è diversa, quindi la potenza della forza sarà diversa. Pertanto, i concetti di potere e lavoro sono formulati in relazione a un sistema di riferimento specifico, principalmente in relazione a ISO o PSO (sistemi di riferimento inerziali o traslazionali).

Definizione La forza F è chiamata potenziale e il suo campo di forza lo è

potenziale campo di forza, se sono soddisfatte due condizioni:

1) La forza soddisfa una delle seguenti condizioni: la forza è costante in intensità e direzione F = cost oppure dipende solo dalle coordinate del punto (tutti e tre o parte) della sua applicazione, cioè F = F(x, y, z).

2) Il lavoro elementare d ′ A di una forza è il differenziale totale di qualche funzione di coordinate, oppure la potenza della forza in qualsiasi momento è uguale alla derivata temporale totale di qualche funzione Π (x, y, z)

La funzione P(x,y,z), ottenuta trasformando l'espressione di lavoro elementare, oppure dall'espressione di potenza, si chiama

energia potenziale del campo di forza potenziale nel punto M(x, y, z).

Pertanto, è associato il campo di forza vettoriale della forza F (x, y, z).

un campo matematicamente più semplice di una funzione scalare di tre variabili P(x, y, z), una funzione di due variabili P(x,y) o una funzione di una variabile P(x)

L'energia potenziale può essere rappresentata non solo nel sistema di coordinate cartesiane, ma anche nei sistemi di coordinate cilindriche e sferiche in generale, è funzione di alcune coordinate generalizzate;

nat P(q1, q2, q3).

Le superfici definite dall'equazione P(q 1, q 2, q 3) = C, dove C è un parametro costante assegnato arbitrariamente, sono chiamate superfici equipotenziali.

Nota che sotto il segno differenziale puoi sempre aggiungere o sottrarre qualsiasi costante, in modo che la funzione Π nella formula (5.18) sia determinata fino a una costante. La costante viene assegnata arbitrariamente, ad esempio posta uguale a zero, scegliendo così il livello di riferimento della famiglia delle superfici equipotenziali.

La potenza della forza potenziale è uguale al prodotto preso con il segno meno

acqua nel tempo dall'energia potenziale P = −Π & . Sostituiamo questa espressione nell'integrale definito (5.17). Otteniamo un'espressione per il lavoro della forza potenziale sullo spostamento finale del punto di applicazione della forza, effettuato in un periodo di tempo finito:

A 12 = P(x 1, y 1, z 1) – P(x 2, y 2, z 2) = P1 – P2.

Pertanto, il lavoro di una forza potenziale quando si muove dietro un interno

l'intervallo dal punto M 1 (x 1, y 1, z 1) al punto M 2 (x 2, y 2, z 2) lungo qualsiasi traiettoria è uguale alla perdita di energia potenziale durante questo movimento, ad es. uguale a diverso

legami di energie potenziali al primo e al secondo punto del campo potenziale. Il lavoro compiuto da una forza potenziale non dipende dalla forma della traiettoria che collega due punti. In particolare, il lavoro di una forza potenziale su una qualsiasi traiettoria chiusa è pari a zero, e il lavoro quando il punto di applicazione della forza passa dalla superficie equipotenziale P=C1 alla superficie P=C2 è pari a

costanti sti: A12 = C1 - C2.

Caso speciale Come punto iniziale M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) prendiamo un punto qualsiasi M (x , y , z ) del campo potenziale, e come M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) prendiamo prendi un campo puntiforme M (x O, y O, z O), in cui l'energia potenziale è considerata uguale a

Otteniamo la seguente interpretazione fisica. L'energia potenziale in qualsiasi punto M del campo potenziale è uguale al lavoro della forza applicata quando si sposta il suo punto di applicazione dalla posizione M lungo qualsiasi traiettoria regolare o non regolare fino a una posizione in cui l'energia potenziale è considerata uguale a zero , ed è pari anche al lavoro della forza presa con segno meno sullo spostamento nella posizione M (x,y,z) dalla posizione “zero”, in cui l'energia potenziale è presa pari a zero.

Esempio 1 Troviamo l'energia potenziale della gravità G = − Gk, pro-

diretto in senso opposto con l'unità k dell'asse verticale Oz del sistema Oxyz. Utilizzando il metodo elementare otteniamo:

d ΄A = G x dx + G y dy + G z dz = –Gdz = – d (Gz) => П = Gz.

Usando il metodo delle potenze otteniamo

P = G x x & +G y y & +G z z & = −Gz & = −(Gz ) Π = Gz .

Pertanto, l'energia potenziale della gravità è uguale al prodotto del peso del punto materiale e dell'altezza della posizione del punto M sopra il piano Oxy, soddisfacendo la condizione z = 0. Qui viene assegnato il piano Oxy

piano equipotenziale nullo. L'energia potenziale di gravità è negativa nei punti situati sotto il piano Oxy, in z< 0. На любых горизонтальных плоскостях данная потенциальная энергия одинакова во всех точках, т.е. горизонтальные плоскости являются эквипотенциальными поверхностями. Работа силы тяжести на перемещении с плоскости уровня z = z 1 на плоскость z = z 2 определяется по формуле:

A 12 = P1 – P2 = G (z 1 – z 2 ) = ± Gh in h = |z 1 –z 2 |.

Questo lavoro è proporzionale alla differenza (perdita) dei livelli; è negativo se il primo livello è inferiore al secondo.

Nota. Se l'asse Oz è diretto verso il basso otteniamo una formula con segno opposto: P = –Gz.

Esempio 2. Energia potenziale della forza elastica di una molla. Il campo di forza di una molla orizzontale ha la forma di un bue ad asse orizzontale. L'origine dell'asse è compatibile con l'estremità libera della molla indeformata, x è la deformazione a trazione della molla in x > 0, oppure la deformazione a compressione della molla in x< 0. Упругая сила пружины F = − cxi , где i - орт оси x . Она всегда направлена противоположно деформации. Методом мощности находим потенциальную энергию силы упругости

P = Fx x = − c x x = − (c x					Π = cx

Immaginiamo che la molla venga allungata molto lentamente da una forza esterna,

aumentando lentamente da zero al valore F in = cxi. Assumiamo che in ogni momento la forza elastica della molla equilibri la forza esterna.

Il valore medio della forza F ext nell'intervallo è pari a: F cр = cx / 2.

La forza elastica della molla, mentre fa lavoro negativo per resistere allo stiramento, immagazzina potenziale positivo nella molla

energia pari a Π = F x = cx 2/2.
Lavoro della forza elastica sulla deformazione				X 2 − x 1 è uguale a A 12 = (x 2 2 – x 1 2 )c /2.
Ovviamente A 12< 0 при x1 < x2 и A 12 >0 per x1 > x2
	3. La gravità terrestre			secondo la legge dell’inverso del quadrato:
F = γ m m / r2 ,			= − γ m m r / r 3 , dove r è il raggio vettore del punto materiale in

sistema di riferimento geocentrico, γ = 6.672 10–11 (m3 /(kg s2) - gravità costante

geteny, r / r = e - ort del raggio vettore del corpo (punto materiale) tracciato dal centro della Terra, m 1 = 6 1024 (kg) - massa della Terra, m - massa del corpo, γm 1 =

3986·1011 (m3/s2) - costante gravitazionale geocentrica. Considerando

identità r r = r 2 ,

γ m1 m

γ m1 m

γ m1 m

γ m1 m

dA = −

r dr = −

dr = d (-

Π(r) = −

Notiamo che P(r)→0 come r →∞, quindi, l'energia potenziale

all'infinito è considerato uguale a zero.

"

Il lavoro elementare di una forza sullo spostamento (Fig. 3.22) è il prodotto scalare di una forza per lo spostamento elementare del punto della sua applicazione:

dove a è l'angolo tra le direzioni dei vettori e

Perché allora possiamo scrivere un'altra espressione per il lavoro elementare:

Per il lavoro elementare, puoi scrivere qualche altra espressione:

Dalle formule dei lavori elementari risulta che tale quantità può essere positiva (l'angolo a è acuto), negativa (l'angolo a è ottuso) o uguale a zero (l'angolo a è diritto).

Lavoro completo delle forze. Determinare il lavoro totale compiuto da una forza nello spostamento da un punto M 0 a M Analizziamo questo movimento in N spostamenti, ognuno dei quali nel limite diventa elementare. Poi il lavoro della forza UN:

Dove dA k- lavorare per k-esimo movimento elementare.

La somma scritta è intera e può essere sostituita da un integrale lineare preso lungo la curva in corrispondenza dello spostamento M 0 M. Poi

O

dov'è il momento nel tempo T=0 corrisponde a un punto M 0 e il momento nel tempo T- punto M.

Dalla definizione di opera elementare e completa segue:

1) il lavoro della forza risultante su qualsiasi spostamento è uguale alla somma algebrica del lavoro delle forze componenti su questo spostamento;

2) il lavoro compiuto dalle forze su uno spostamento completo è pari alla somma del lavoro compiuto dalla stessa forza sugli spostamenti componenti in cui è comunque suddiviso l'intero spostamento.

Potere della forza. La potenza di una forza è il lavoro compiuto nell'unità di tempo:

o considerandolo

Potenzaè una quantità pari al prodotto scalare tra la forza e la velocità del punto di sua applicazione.

Pertanto, a potenza costante, un aumento della velocità porta ad una diminuzione della forza e viceversa. L'unità di potenza è Watt: 1W=1J/s.

Se una forza viene applicata a un corpo che ruota attorno a un asse fisso, la sua potenza è uguale a

La potenza di una coppia di forze è determinata in modo simile.

3.3.4.3. Esempi di calcolo del lavoro della forza

Lavoro totale della forza -

Dove H– l'altezza alla quale è scesa la punta.

Pertanto il lavoro compiuto dalla gravità è positivo quando un punto scende e negativo quando un punto sale. Il lavoro compiuto dalla gravità non dipende dalla forma della traiettoria tra i punti M 0 e M 1 .

Lavoro della forza elastica lineare. La forza elastica lineare è la forza che agisce secondo la legge di Hooke (Fig. 3.24):

dove è il raggio vettore tracciato dal punto di equilibrio, dove la forza è zero, al punto in questione M; Con– coefficiente di rigidezza costante.

Lavoro compiuto da una forza nello spostamento da un punto M 0 al punto M 1 è determinato dalla formula

Eseguendo l'integrazione, otteniamo

(3.27)

Riso. 3.25

Utilizzando la formula (3.27), si calcola il lavoro della forza elastica lineare delle molle quando si spostano lungo qualsiasi percorso dal punto M 0, in cui la sua deformazione iniziale è pari a al punto M 1, dove la deformazione è rispettivamente pari a Nella nuova notazione, la formula (3.27) assume la forma

Lavoro compiuto da una forza applicata ad un corpo rigido rotante. Quando un corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso, la velocità del punto M può essere calcolato utilizzando la formula di Eulero, vedere fig. 3:25:

Quindi determiniamo il lavoro elementare della forza con la formula

Utilizzando la proprietà del prodotto incrociato misto
otteniamo

Perché – momento della forza rispetto ad un punto DI. Considerando questo – momento di forza rispetto all'asse di rotazione Oz e ω dt=Dφ, otteniamo infine:

dA=Mzdφ.

Il lavoro elementare di una forza applicata ad un punto qualsiasi di un corpo rotante attorno ad un asse fisso è uguale al prodotto del momento della forza relativo all'asse di rotazione e al differenziale dell'angolo di rotazione del corpo.

Opera completa:

Nel caso speciale quando , il lavoro è determinato dalla formula

dove j è l'angolo di rotazione del corpo al quale viene calcolato il lavoro della forza.

Riso. 3.26

Lavoro delle forze interne di un corpo rigido. Dimostriamo che il lavoro compiuto dalle forze interne di un corpo rigido è zero per qualsiasi movimento. Basta dimostrare che la somma dei lavori elementari di tutte le forze interne è pari a zero. Considera due punti qualsiasi del corpo M 1 e M 2 (figura 3.26). Poiché le forze interne sono forze di interazione tra punti del corpo, allora:

Introduciamo un vettore unitario diretto lungo la forza

La somma dei lavori elementari delle forze ed è uguale a

Espandendo i prodotti scalari dei vettori tra parentesi, otteniamo

Poiché in cinematica è stato dimostrato che le proiezioni delle velocità di due punti qualsiasi di un corpo rigido sulla direzione della retta che collega questi punti sono uguali tra loro per qualsiasi movimento del corpo rigido, allora nell'espressione risultante la differenza di valori identici è tra parentesi, ad es. valore pari a zero.

3.3.4.4. Teorema sulla variazione di energia cinetica di un punto

Per un punto materiale con massa M, muovendosi sotto l'influenza di una forza, la legge fondamentale della dinamica può essere rappresentata come

Moltiplicando scalarmente entrambi i lati di questa relazione per il differenziale del raggio vettore del punto che abbiamo

O

Considerando questo – lavoro di forza elementare,

(3.28)

La formula (3.28) esprime il teorema sulla variazione di energia cinetica per un punto in forma differenziale.

Il differenziale dell'energia cinetica di un punto è uguale al lavoro elementare della forza agente sul punto.

Se entrambi i membri dell'uguaglianza (3.28) sono integrati dal punto M 0 al punto M(vedi Fig. 3.22), otteniamo un teorema sulla variazione dell'energia cinetica di un punto nella forma finale:

La variazione dell'energia cinetica di un punto a qualsiasi spostamento è uguale al lavoro della forza che agisce sul punto allo stesso spostamento.

3.4.4.5. Teorema sulla variazione di energia cinetica di un sistema

Per ogni punto del sistema, il teorema sulla variazione di energia cinetica può essere espresso nella forma:

Sommando le parti destra e sinistra di queste relazioni su tutti i punti del sistema e spostando il segno differenziale oltre il segno di somma, otteniamo:

O

Dove – energia cinetica del sistema; – lavoro elementare rispettivamente delle forze esterne e interne.

La formula (3.29) esprime il teorema sulla variazione dell'energia cinetica del sistema in forma differenziale.

Il differenziale dall'energia cinetica del sistema è uguale alla somma dei lavori elementari di tutte le forze esterne ed interne che agiscono sul sistema.

Se entrambi i membri della (3.29) sono integrati tra due posizioni del sistema - iniziale e finale, in cui l'energia cinetica è uguale a T 0 e T, quindi, cambiando l’ordine di somma e integrazione, abbiamo:

O

Dove – lavoro di una forza esterna per un punto del sistema M k quando si sposta dalla posizione iniziale a quella finale M k; – lavoro della forza interna che agisce su un punto M k.

La formula (3.30) esprime il teorema sulla variazione dell'energia cinetica del sistema in forma finita o integrale.

La variazione dell'energia cinetica di un sistema quando si sposta da una posizione a un'altra è uguale alla somma del lavoro compiuto da tutte le forze esterne ed interne che agiscono sul sistema sui corrispondenti movimenti dei punti del sistema durante lo stesso movimento di il sistema.

Il lavoro delle forze viene calcolato utilizzando le formule ottenute nei § 87 e 88. Consideriamo inoltre i seguenti casi.

1. Il lavoro delle forze di gravità agenti sul sistema. Il lavoro di gravità che agisce su una particella dotata di peso sarà uguale a dove sono le coordinate che determinano le posizioni iniziale e finale della particella (vedi § 88). Quindi, tenendo conto che (vedi § 32), troviamo per la somma del lavoro di tutte le forze di gravità agenti sul sistema, il valore

Questo risultato può anche essere rappresentato nella forma

dove P è il peso del sistema, è lo spostamento verticale del baricentro (o baricentro). Di conseguenza, il lavoro delle forze di gravità agenti sul sistema si calcola come il lavoro del loro vettore principale (nel caso di un corpo rigido, la risultante) P sullo spostamento del baricentro del sistema (o del baricentro del corpo).

2. Lavoro delle forze applicate ad un corpo rotante. Il lavoro elementare della forza F applicata al corpo (Fig. 307) sarà pari a (vedi § 87)

da , dov'è l'angolo elementare di rotazione del corpo.

Ma, come è facile vedere,

Chiameremo la quantità coppia. Allora otteniamo

Di conseguenza, nel caso in esame, il lavoro elementare è pari al prodotto della coppia e dell'angolo elementare di rotazione. La formula (46) è valida anche sotto l'azione di più forze, se assumiamo

Quando si gira verso l'angolo finale, lavorare

e nel caso di coppia costante

Se su un corpo agisce una coppia di forze giacenti su un piano perpendicolare all'asse Oz, nelle formule (46)-(47) indicherà ovviamente il momento di questa coppia.

Indichiamo anche come viene determinato il potere in questo caso (vedi § 87). Usando l'uguaglianza (46), troviamo

Di conseguenza, quando su un corpo rotante agiscono delle forze, la potenza è pari al prodotto della coppia e della velocità angolare del corpo. A parità di potenza, maggiore è la coppia, minore è la velocità angolare.

3. Lavoro delle forze di attrito agenti su un corpo rotolante. Una ruota di raggio R (Fig. 308), che rotola lungo un certo piano (superficie) senza strisciare, è sollecitata da una forza di attrito applicata nel punto B, che impedisce al punto di scivolare lungo il piano. Il lavoro elementare di questa forza. Ma il punto B in questo caso coincide con il centro istantaneo delle velocità (vedi § 56) e

Da allora per ogni movimento elementare.

Di conseguenza, rotolando senza scivolare, il lavoro compiuto dalla forza di attrito che impedisce lo scivolamento durante qualsiasi movimento del corpo è nullo. Per lo stesso motivo, anche in questo caso il lavoro della reazione normale N è nullo, se consideriamo i corpi indeformabili a causa della forza N applicata nel punto B (come in Fig. 308, a).

Consideriamo le formule per determinare il lavoro e la potenza di una forza applicata in qualsiasi punto di un corpo rigido sottoposto a movimento di traslazione o rotazione.

1. Lavoro e potenza di una forza applicata ad un corpo rigido sottoposto a moto traslatorio.

Consideriamo un corpo rigido sottoposto a movimento di traslazione rispetto a un sistema di riferimento inerziale sotto l'influenza di una forza applicata in un punto arbitrario (Fig. 24).

Nel caso del moto traslatorio di un corpo rigido, tutti i suoi punti si muovono con velocità uguali in grandezza e direzione. Indichiamo la velocità del corpo.

Usando la formula (4.31), otteniamo

dove è il differenziale del raggio vettore di un punto arbitrario di un corpo rigido.

Riso. 24. Movimento di traslazione di un corpo rigido sotto l'influenza di una forza

Dividendo (4.49) per dt, otteniamo un'espressione per determinare la potenza della forza che agisce su un corpo sottoposto a movimento traslatorio:

dove è l'angolo tra i vettori forza velocità.

Cioè, la potenza di una forza durante il movimento traslatorio di un corpo rigido è definita come il prodotto scalare del vettore forza e del vettore velocità del corpo rigido.

Integrando la (4.49) su qualsiasi spostamento finito del punto M dalla posizione di partenza M 0 in posizione M 1, si ottiene il lavoro totale compiuto dalla forza che agisce sul corpo in questo spostamento

2. Lavoro e potenza di una forza applicata ad un corpo rigido sottoposto a moto rotatorio.

Consideriamo la rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse verticale fisso Oz sotto l'influenza di una forza applicata in un punto arbitrario di questo corpo M(Fig. 25).

Riso. 25. Rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso

Posizione del punto M negli assi Oxyz determinato dal raggio vettore. Velocità del punto M diretto tangenzialmente alla traiettoria del moto (cerchio con centro sull'asse di rotazione). Il vettore di questa velocità può essere determinato utilizzando la formula del vettore di Eulero, nota nel corso della cinematica del corpo rigido

dove è il vettore della velocità angolare di rotazione di un corpo rigido.

Usando la formula (4.32), otteniamo

Cambiando i fattori nel prodotto vettoriale misto in ordine circolare, otteniamo

dove è il momento della forza vettoriale rispetto al centro O.

L'angolo tra i vettori della coppia e della velocità angolare.

Considerando che:

1. - momento di forza, relativo all'asse di rotazione Oz.

2. e quindi

finalmente lo otterremo

Così, il lavoro elementare di una forza applicata in un punto qualsiasi di un corpo rigido rotante attorno ad un asse fisso è uguale al prodotto del momento di questa forza rispetto all'asse di rotazione e al differenziale dell'angolo di rotazione del corpo.

Per determinare il lavoro totale compiuto da una forza quando ruota un corpo di un angolo φ, integrando l'espressione (4.53), otteniamo

Nel caso in cui , il lavoro totale può essere determinato dalla formula

dove φ è l'angolo di rotazione del corpo al quale viene determinato il lavoro della forza.

Se la direzione del momento e la velocità angolare coincidono, il lavoro svolto dalla forza è considerato positivo, altrimenti negativo.

Determiniamo la potenza della forza quando un corpo rigido ruota attorno ad un asse. Usando la formula (4.40), otteniamo

Questo è la potenza della forza applicata ad un corpo solido rotante è definita come il prodotto del momento della forza relativo all'asse di rotazione e della velocità angolare del corpo . Il segno del potere è determinato in modo simile al segno del lavoro.

Teorema: il lavoro compiuto dalla gravità non dipende dal tipo di traiettoria ed è pari al prodotto del modulo di forza e dello spostamento verticale del punto di applicazione .

Lasciamo che sia il punto materiale M si muove sotto l'influenza della gravità G e in un certo periodo di tempo si sposta dalla posizione M1 posizionare M2 , dopo aver percorso il sentiero S (Fig. 4).
Sulla traiettoria di un punto M seleziona un'area infinitesima ds , che può essere considerato rettilineo, e dalle sue estremità si tracciano linee rette parallele agli assi coordinati, di cui una verticale e l'altra orizzontale.
Dal triangolo ombreggiato lo otteniamo

dy = ds cos α.

Lavoro di forza elementare G sulla strada ds è uguale a:

dW = F ds cos α.

Lavoro totale compiuto dalla gravità G sulla strada S uguale a

W = ∫ Gds cos α = ∫ Gdy = G ∫ dy = Gh.

Quindi il lavoro compiuto dalla gravità è uguale al prodotto della forza per lo spostamento verticale del punto di applicazione:

Il teorema è stato dimostrato.

Un esempio di risoluzione del problema della determinazione del lavoro di gravità

Compito: Matrice rettangolare omogenea ABCD massa M = 4080 chilogrammi ha le dimensioni indicate su riso. 5.
Determinare il lavoro necessario per inclinare l'array attorno a un bordo D .

Soluzione.
Ovviamente il lavoro richiesto sarà pari al lavoro di resistenza compiuto dalla forza di gravità della schiera, mentre lo spostamento verticale del baricentro della schiera in caso di ribaltamento da uno spigolo D è il percorso che determina la quantità di lavoro compiuto dalla gravità.

Innanzitutto, determiniamo la gravità dell'array: G = mg = 4080×9,81 = 40.000 N = 40 kN.

Determinare il movimento verticale H baricentro di una matrice omogenea rettangolare (si trova nel punto di intersezione delle diagonali del rettangolo), utilizziamo il teorema di Pitagora, in base al quale:

KO 1 = ОD – КD = √(ОК 2 + КD 2) – КD = √(3 2 +4 2) - 4 = 1 m.

In base al teorema del lavoro di gravità determiniamo il lavoro necessario per ribaltare il massiccio:

W = G×KO 1 = 40.000×1 = 40.000 J = 40 kJ.

Il problema è risolto.

Lavoro compiuto da una forza costante applicata ad un corpo rotante

Immaginiamo un disco che ruota attorno ad un asse fisso sotto l'influenza di una forza costante F (Fig. 6), il cui punto di applicazione si sposta con il disco. Analizziamo il potere F in tre componenti reciprocamente perpendicolari: F1 – forza circonferenziale, F2 – forza assiale, F3 – forza radiale.

Quando si ruota il disco di un angolo infinitesimo dφ forza F eseguirà un lavoro elementare che, in base al teorema del lavoro risultante, sarà pari alla somma dei lavori dei componenti.

È ovvio che il lavoro dei componenti F2 E F3 sarà uguale a zero, poiché i vettori di queste forze sono perpendicolari allo spostamento infinitesimale ds punti di applicazione M , quindi il lavoro elementare della forza F uguale al lavoro del suo componente F1 :

dW = F 1 ds = F 1 Rdφ.

Quando si gira il disco nella sua angolazione finale φ lavoro di forza F uguale a

W = ∫ F 1 Rdφ = F 1 R ∫ dφ = F 1 Rφ,

dov'è l'angolo φ espresso in radianti.

Fin dai momenti dei componenti F2 E F3 rispetto all'asse z sono pari a zero quindi, in base al teorema di Varignon, il momento della forza F rispetto all'asse z pari a:

M z (F) = F 1 R.

Il momento della forza applicata al disco rispetto all'asse di rotazione è chiamato coppia e, secondo la norma ISO, indicato con la lettera T :

T = M z (F), quindi, W = Tφ .

Il lavoro compiuto da una forza costante applicata ad un corpo rotante è uguale al prodotto della coppia e dello spostamento angolare.

Esempio di soluzione del problema

Compito: un lavoratore ruota con forza la maniglia del verricello F = 200N, perpendicolare al raggio di rotazione.
Trova il lavoro speso nel tempo T = 25 secondi, se la lunghezza del manico R = 0,4 metri e la sua velocità angolare ω = π/3 rad/s.

Soluzione.
Innanzitutto determiniamo lo spostamento angolare φ maniglie del verricello per 25 secondi:

φ = ωt = (π/3)×25 = 26,18 rad.

W = Tφ = Frφ = 200×0,4×26,18 ≈ 2100 J ≈ 2,1 kJ.

Energia

Il lavoro compiuto da qualsiasi forza può essere compiuto in periodi di tempo diversi, cioè a velocità diverse. Per caratterizzare la rapidità con cui viene svolto il lavoro, in meccanica esiste un concetto energia , che di solito è indicato con la lettera P .