Nel linguaggio matematico, una frazione è un numero rappresentato come parte di uno. Le frazioni sono ampiamente utilizzate nella vita umana: le usiamo per indicare le proporzioni nelle ricette culinarie, diamo punteggi decimali nelle competizioni o le usiamo per calcolare gli sconti nei negozi.
Rappresentazione delle frazioni
Esistono almeno due forme per scrivere un numero frazionario: in forma decimale o sotto forma di frazione ordinaria. In forma decimale, i numeri appaiono come 0,5; 0,25 o 1,375. Possiamo rappresentare uno qualsiasi di questi valori come una frazione ordinaria:
- 0,5 = 1/2;
- 0,25 = 1/4;
- 1,375 = 11/8.
E se convertiamo facilmente 0,5 e 0,25 da una frazione ordinaria a un decimale e viceversa, nel caso del numero 1.375 tutto non è ovvio. Come convertire rapidamente qualsiasi numero decimale in una frazione? Ci sono tre semplici modi.
Eliminare la virgola
L'algoritmo più semplice consiste nel moltiplicare un numero per 10 finché la virgola non scompare dal numeratore. Questa trasformazione viene effettuata in tre fasi:
Passaggio 1: Per cominciare, scriviamo il numero decimale come una frazione “numero/1”, ovvero otteniamo 0,5/1; 0,25/1 e 1,375/1.
Passaggio 2: Successivamente, moltiplica il numeratore e il denominatore delle nuove frazioni finché la virgola non scompare dai numeratori:
- 0,5/1 = 5/10;
- 0,25/1 = 2,5/10 = 25/100;
- 1,375/1 = 13,75/10 = 137,5/100 = 1375/1000.
Passaggio 3: Riduciamo le frazioni risultanti in una forma digeribile:
- 5/10 = 1 × 5 / 2 × 5 = 1/2;
- 25/100 = 1 × 25 / 4 × 25 = 1/4;
- 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8.
Il numero 1.375 doveva essere moltiplicato per 10 tre volte, il che non è più molto conveniente, ma cosa dobbiamo fare se dobbiamo convertire il numero 0.000625? In questa situazione, utilizziamo il seguente metodo per convertire le frazioni.
Sbarazzarsi delle virgole ancora più facilmente
Il primo metodo descrive in dettaglio l'algoritmo per “rimuovere” una virgola da un decimale, ma possiamo semplificare questo processo. Ancora una volta, seguiamo tre passaggi.
Passaggio 1: Contiamo quante cifre ci sono dopo la virgola. Ad esempio, il numero 1.375 ha tre di queste cifre e 0.000625 ne ha sei. Indicheremo questa quantità con la lettera n.
Passaggio 2: Ora dobbiamo solo rappresentare la frazione nella forma C/10 n, dove C sono le cifre significative della frazione (senza zeri, se presenti), e n è il numero di cifre dopo la virgola. Per esempio:
- per il numero 1.375 C = 1375, n = 3, la frazione finale secondo la formula 1375/10 3 = 1375/1000;
- per il numero 0.000625 C = 625, n = 6, la frazione finale secondo la formula 625/10 6 = 625/1000000.
Essenzialmente, 10n è un 1 con n zeri, quindi non devi preoccuparti di elevare il dieci alla potenza: basta 1 con n zeri. Successivamente è opportuno ridurre una frazione così ricca di zeri.
Passaggio 3: Riduciamo gli zeri e otteniamo il risultato finale:
- 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8;
- 625/1000000 = 1 × 625/ 1600 × 625 = 1/1600.
La frazione 11/8 è una frazione impropria perché il suo numeratore è maggiore del denominatore, il che significa che possiamo isolare l'intera parte. In questa situazione, sottraiamo l'intera parte di 8/8 da 11/8 e otteniamo il resto 3/8, quindi la frazione apparirà come 1 e 3/8.
Conversione a orecchio
Per coloro che sanno leggere correttamente i decimali, il modo più semplice per convertirli è ascoltarli. Se leggi 0,025 non come “zero, zero, venticinque” ma come “25 millesimi”, non avrai problemi a convertire i decimali in frazioni.
0,025 = 25/1000 = 1/40
Pertanto, leggere correttamente un numero decimale consente di trascriverlo immediatamente come frazione e di ridurlo se necessario.
Esempi di utilizzo delle frazioni nella vita di tutti i giorni
A prima vista, le frazioni ordinarie non vengono praticamente utilizzate nella vita di tutti i giorni o al lavoro, ed è difficile immaginare una situazione in cui è necessario convertire una frazione decimale in una frazione regolare al di fuori dei compiti scolastici. Diamo un'occhiata ad un paio di esempi.
Lavoro
Quindi lavori in un negozio di dolciumi e vendi halva a peso. Per rendere il prodotto più facile da vendere, dividi l'halva in bricchette da un chilogrammo, ma pochi acquirenti sono disposti ad acquistare un chilogrammo intero. Pertanto, devi dividere il dolcetto in pezzi ogni volta. E se il prossimo acquirente ti chiede 0,4 kg di halva, gli venderai la porzione richiesta senza problemi.
0,4 = 4/10 = 2/5
Vita
Ad esempio, devi preparare una soluzione al 12% per dipingere un modello nella tonalità che desideri. Per fare questo, devi mescolare vernice e solvente, ma come farlo correttamente? 12% è una frazione decimale di 0,12. Converti il numero in una frazione comune e ottieni:
0,12 = 12/100 = 3/25
Conoscere le frazioni ti aiuterà a mescolare correttamente gli ingredienti e a ottenere il colore che desideri.
Conclusione
Le frazioni sono comunemente usate nella vita di tutti i giorni, quindi se hai spesso bisogno di convertire i decimali in frazioni, ti consigliamo di utilizzare un calcolatore online in grado di ottenere immediatamente il risultato come frazione ridotta.
Numeri decimali come 0,2; 1,05; 3.017, ecc. come vengono ascoltati, così vengono scritti. Zero punto due, otteniamo una frazione. Uno virgola cinquecentesimo, otteniamo una frazione. Tre virgola diciassettesimi, otteniamo la frazione. I numeri prima della virgola rappresentano la parte intera della frazione. Il numero dopo la virgola decimale è il numeratore della frazione futura. Se c'è un numero a una cifra dopo il punto decimale, il denominatore sarà 10, se c'è un numero a due cifre - 100, un numero a tre cifre - 1000, ecc. Alcune frazioni risultanti possono essere ridotte. Nei nostri esempi 
Convertire una frazione in un numero decimale
Questo è l'inverso della trasformazione precedente. Qual è la caratteristica di una frazione decimale? Il suo denominatore è sempre 10, o 100, o 1000, o 10000, e così via. Se la tua frazione comune ha un denominatore come questo, non c'è problema. Ad esempio, o
Se la frazione è, ad esempio . In questo caso è necessario utilizzare la proprietà di base di una frazione e convertire il denominatore in 10, 100 o 1000... Nel nostro esempio, se moltiplichiamo numeratore e denominatore per 4, otteniamo una frazione che può essere scritto come numero decimale 0,12.
Alcune frazioni sono più facili da dividere che convertire il denominatore. Per esempio,
Alcune frazioni non possono essere convertite in decimali!
Per esempio,
Trasformare una frazione mista in una frazione impropria
Una frazione mista, ad esempio, può essere facilmente convertita in una frazione impropria. Per fare ciò, moltiplicare l'intera parte per il denominatore (in basso) e aggiungerla con il numeratore (in alto), lasciando invariato il denominatore (in basso). Questo è
Quando converti una frazione mista in una frazione impropria, ricorda che puoi utilizzare l'addizione di frazioni
Conversione di una frazione impropria in frazione mista (evidenziando l'intera parte)
Una frazione impropria può essere convertita in frazione mista evidenziando l'intera parte. Diamo un'occhiata a un esempio. Determiniamo quanti tempi interi “3” rientrano in “23”. Oppure dividi 23 per 3 su una calcolatrice, il numero intero fino alla virgola è quello desiderato. Questo è "7". Successivamente, determiniamo il numeratore della frazione futura: moltiplichiamo il risultante “7” per il denominatore “3” e sottraiamo il risultato dal numeratore “23”. 
È come se trovassimo l’extra che rimane del numeratore “23” se togliamo la quantità massima di “3”. Lasciamo invariato il denominatore. Tutto è fatto, scrivi il risultato
Inserisci la frazione:
Consideriamo il problema di convertire una frazione decimale in una frazione ordinaria con la precisione richiesta. Per esempio,
0,3333333 = 1/3
Si presuppone che la frazione decimale inserita non contenga parte intera.
Per risolvere il problema utilizzeremo due variabili, che rappresentano il numeratore e il denominatore della frazione.
La ricerca di una soluzione si articolerà in due fasi:
- Cerca una soluzione approssimativa
- Affinare la soluzione fino ad ottenere la precisione richiesta
Nella prima fase, prendiamo i valori iniziali del numeratore e del denominatore pari a 1. Ad ogni passaggio aumentiamo il valore del denominatore di 1 e troviamo la frazione
Numeratore/Denominatore
Alla prima iterazione, il denominatore è 1 e 1/1=1 e questo valore è maggiore della frazione decimale immessa. Aumentiamo il denominatore di 1 finché non otteniamo
Numeratore/Denominatore - Frazione immessa< 0
Abbiamo quindi trovato la prima approssimazione. Sappiamo che la frazione inserita corrisponde a una frazione ordinaria tra
Numeratore / (Denominatore - 1) E Numeratore/Denominatore
Nella seconda fase moltiplichiamo il numeratore e il denominatore della prima approssimazione ottenuta per un fattore che assumerà valori sequenziali 2, 3, 4, ecc.
Ancora una volta, aumentando il denominatore di 1, otteniamo la seguente approssimazione e, se ci va bene in termini di precisione, assumeremo che sia stata trovata la frazione ordinaria richiesta.
Implementazione in C++
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62
#includere
utilizzando lo spazio dei nomi std;
funzione vuota( fai doppio numero, fai doppio eps, int &ch, int &zn)
{
int a = 1; int b = 1;
int mn = 2; // moltiplicatore per l'approssimazione iniziale
iter intero = 0;
ch = un; zn = b;
// Cerca l'approssimazione iniziale
fai doppio c = 1;
Fare (
b++;
c = ( fai doppio)a/b;
) mentre ((num - c)< 0);
se ((num - c)< eps)
{
ch = un; zn = b;
ritorno ;
}
B-;
c = ( fai doppio)a/b;
se ((num - c) > -eps)
{
ch = un; zn = b;
ritorno ;
}
// Chiarimento
mentre (it< 20000)
{
int cc = a*mn, zz = b*mn;
iter++;
Fare (
zz++;
c = ( fai doppio)cc/zz;
) mentre ((num - c)< 0);
se ((num - c)< eps)
{
ch = cc; zn = z;
ritorno ;
}
zz—;
c = ( fai doppio)cc/zz;
se ((num - c) > -eps)
{
ch = cc; zn = z;
ritorno ;
}
mn++;
}
}
int principale()
{
fai doppio ingresso;
intch, zn;
fai doppio eps = 0,0000001;
cout<<
"num="
;
cin >> inp;
funz(inp, eps, ch, zn);
cout<<
ch <<
" / "
<<
zn <<
endl;
cin.get(); cin.get();
ritorno 1;
}
Risultato dell'esecuzione
Se dobbiamo dividere 497 per 4, durante la divisione vedremo che 497 non è equamente divisibile per 4, ad es. rimane il resto della divisione. In questi casi si dice che è completata divisione con resto, e la soluzione si scrive così:
497: 4 = 124 (1 resto).
I componenti della divisione sul lato sinistro dell'uguaglianza hanno lo stesso nome della divisione senza resto: 497 - dividendo, 4 - divisore. Viene chiamato il risultato della divisione quando viene diviso con un resto privato incompleto. Nel nostro caso, questo è il numero 124. E infine, l'ultimo componente, che non è nella divisione ordinaria, è resto. Nei casi in cui non c'è resto si dice che un numero è diviso per un altro senza lasciare traccia, o completamente. Si ritiene che con tale divisione il resto sia zero. Nel nostro caso il resto è 1.
Il resto è sempre minore del divisore.
La divisione può essere controllata mediante moltiplicazione. Se, ad esempio, esiste un'uguaglianza 64: 32 = 2, la verifica può essere eseguita in questo modo: 64 = 32 * 2.
Spesso nei casi in cui viene eseguita la divisione con resto, è conveniente utilizzare l'uguaglianza
a = b * n + r,
dove a è il dividendo, b è il divisore, n è il quoziente parziale, r è il resto.
Il quoziente dei numeri naturali può essere scritto come frazione.
Il numeratore di una frazione è il dividendo e il denominatore è il divisore.
Poiché il numeratore di una frazione è il dividendo e il denominatore è il divisore, credere che la linea di una frazione significhi l'azione di divisione. A volte è conveniente scrivere la divisione come frazione senza utilizzare il segno ":".
Il quoziente della divisione dei numeri naturali m e n può essere scritto come una frazione \(\frac(m)(n) \), dove il numeratore m è il dividendo e il denominatore n è il divisore:
\(m:n = \frac(m)(n) \)
Sono vere le seguenti regole:
Per ottenere la frazione \(\frac(m)(n)\), devi dividere l'unità in n parti uguali (azioni) e prendere m di tali parti.
Per ottenere la frazione \(\frac(m)(n)\), devi dividere il numero m per il numero n.
Per trovare una parte del tutto, devi dividere il numero corrispondente al tutto per il denominatore e moltiplicare il risultato per il numeratore della frazione che esprime questa parte.
Per trovare un intero dalla sua parte, devi dividere il numero corrispondente a questa parte per il numeratore e moltiplicare il risultato per il denominatore della frazione che esprime questa parte.
Se sia il numeratore che il denominatore di una frazione vengono moltiplicati per lo stesso numero (eccetto zero), il valore della frazione non cambierà:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Se sia il numeratore che il denominatore di una frazione sono divisi per lo stesso numero (eccetto zero), il valore della frazione non cambierà:
\(\grande \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Questa proprietà si chiama proprietà principale di una frazione.
Vengono chiamate le ultime due trasformazioni riducendo una frazione.
Se le frazioni devono essere rappresentate come frazioni con lo stesso denominatore, viene chiamata questa azione ridurre le frazioni a un denominatore comune.
Frazioni proprie e improprie. Numeri misti
Sai già che una frazione può essere ottenuta dividendo un intero in parti uguali e prendendo diverse parti di questo tipo. Ad esempio, la frazione \(\frac(3)(4)\) significa tre quarti di uno. In molti dei problemi del paragrafo precedente, le frazioni venivano usate per rappresentare parti di un tutto. Il buon senso impone che la parte sia sempre inferiore all'intero, ma che dire delle frazioni come \(\frac(5)(5)\) o \(\frac(8)(5)\)? È chiaro che questo non fa più parte dell'unità. Questo è probabilmente il motivo per cui vengono chiamate frazioni il cui numeratore è maggiore o uguale al denominatore frazioni improprie. Vengono chiamate le restanti frazioni, cioè le frazioni il cui numeratore è inferiore al denominatore frazioni corrette.
Come sai, qualsiasi frazione comune, sia propria che impropria, può essere pensata come il risultato della divisione del numeratore per il denominatore. Pertanto in matematica, a differenza del linguaggio comune, il termine “frazione impropria” non significa che abbiamo fatto qualcosa di sbagliato, ma solo che il numeratore di questa frazione è maggiore o uguale al denominatore.
Se un numero è composto da una parte intera e da una frazione, allora le frazioni si dicono miste.
Per esempio:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 è la parte intera e \(\frac(2)(3) \) è la parte frazionaria.
Se il numeratore della frazione \(\frac(a)(b) \) è divisibile per un numero naturale n, allora per dividere questa frazione per n, il suo numeratore deve essere diviso per questo numero:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Se il numeratore della frazione \(\frac(a)(b)\) non è divisibile per un numero naturale n, per dividere questa frazione per n, devi moltiplicare il suo denominatore per questo numero:
\(\grande \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Si noti che la seconda regola è vera anche quando il numeratore è divisibile per n. Pertanto possiamo usarlo quando è difficile determinare a prima vista se il numeratore di una frazione è divisibile per n oppure no.
Azioni con frazioni. Aggiunta di frazioni.
Puoi eseguire operazioni aritmetiche con numeri frazionari, proprio come con i numeri naturali. Consideriamo prima l'addizione delle frazioni. È facile sommare frazioni con denominatori simili. Troviamo, ad esempio, la somma di \(\frac(2)(7)\) e \(\frac(3)(7)\). È facile capire che \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Per sommare frazioni con gli stessi denominatori, devi sommare i loro numeratori e lasciare lo stesso denominatore.
Usando le lettere, la regola per sommare frazioni con denominatori simili può essere scritta come segue:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Se devi sommare frazioni con denominatori diversi, devi prima ridurle a un denominatore comune. Per esempio:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Per le frazioni, come per i numeri naturali, valgono le proprietà commutative e associative dell'addizione.
Aggiunta di frazioni miste
Vengono chiamate notazioni come \(2\frac(2)(3)\). frazioni miste. In questo caso viene chiamato il numero 2 intera parte frazione mista e il numero \(\frac(2)(3)\) è suo parte frazionaria. La voce \(2\frac(2)(3)\) si legge così: “due e due terzi”.
Dividendo il numero 8 per il numero 3, puoi ottenere due risposte: \(\frac(8)(3)\) e \(2\frac(2)(3)\). Esprimono lo stesso numero frazionario, ovvero \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Pertanto, la frazione impropria \(\frac(8)(3)\) è rappresentata come frazione mista \(2\frac(2)(3)\). In questi casi lo dicono da una frazione impropria evidenziata tutta la parte.
Sottrazione di frazioni (numeri frazionari)
La sottrazione dei numeri frazionari, come i numeri naturali, è determinata sulla base dell'azione dell'addizione: sottrarne un altro da un numero significa trovare un numero che, sommato al secondo, dà il primo. Per esempio:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) poiché \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)
La regola per sottrarre frazioni con denominatori simili è simile alla regola per aggiungere tali frazioni:
Per trovare la differenza tra frazioni con lo stesso denominatore, devi sottrarre il numeratore della seconda dal numeratore della prima frazione e lasciare lo stesso denominatore.
Usando le lettere, questa regola è scritta in questo modo:
\(\grande \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Moltiplicazione delle frazioni
Per moltiplicare una frazione per una frazione, devi moltiplicare i loro numeratori e denominatori e scrivere il primo prodotto come numeratore e il secondo come denominatore.
Usando le lettere, la regola per moltiplicare le frazioni può essere scritta come segue:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Usando la regola formulata, puoi moltiplicare una frazione per un numero naturale, per una frazione mista e anche moltiplicare le frazioni miste. Per fare ciò, devi scrivere un numero naturale come una frazione con un denominatore 1, una frazione mista - come una frazione impropria.
Il risultato della moltiplicazione va semplificato (se possibile) riducendo la frazione e isolando tutta la parte impropria.
Per le frazioni, come per i numeri naturali, valgono le proprietà commutative e combinatorie della moltiplicazione, nonché la proprietà distributiva della moltiplicazione relativa all'addizione.
Divisione di frazioni
Prendiamo la frazione \(\frac(2)(3)\) e “capovolgiamola”, scambiando numeratore e denominatore. Otteniamo la frazione \(\frac(3)(2)\). Questa frazione si chiama inversione frazioni \(\frac(2)(3)\).
Se ora “invertiamo” la frazione \(\frac(3)(2)\), otterremo la frazione originale \(\frac(2)(3)\). Pertanto, le frazioni come \(\frac(2)(3)\) e \(\frac(3)(2)\) sono chiamate reciprocamente inverso.
Ad esempio, le frazioni \(\frac(6)(5) \) e \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) e \(\frac (18 )(7)\).
Utilizzando le lettere, le frazioni reciproche possono essere scritte come segue: \(\frac(a)(b) \) e \(\frac(b)(a) \)
Questo è chiaro il prodotto delle frazioni reciproche è uguale a 1. Ad esempio: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Utilizzando le frazioni reciproche, puoi ridurre la divisione delle frazioni alla moltiplicazione.
La regola per dividere una frazione per una frazione è:
Per dividere una frazione per un'altra è necessario moltiplicare il dividendo per il reciproco del divisore.
Usando le lettere, la regola per dividere le frazioni può essere scritta come segue:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Se il dividendo o il divisore è un numero naturale o una frazione mista, per poter utilizzare la regola per dividere le frazioni è necessario prima rappresentarlo come frazione impropria.
In questo articolo vedremo come convertire le frazioni in decimali e considera anche il processo inverso: convertire le frazioni decimali in frazioni ordinarie. Qui delineeremo le regole per la conversione delle frazioni e forniremo soluzioni dettagliate ad esempi tipici.
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Conversione delle frazioni in decimali
Indichiamo la sequenza in cui ci occuperemo convertire le frazioni in decimali.
Per prima cosa vedremo come rappresentare le frazioni con denominatori 10, 100, 1.000, ... come decimali. Ciò è spiegato dal fatto che le frazioni decimali sono essenzialmente una forma compatta di scrittura delle frazioni ordinarie con denominatori 10, 100, ....
Successivamente andremo oltre e mostreremo come scrivere qualsiasi frazione ordinaria (non solo quelle con denominatore 10, 100, ...) come frazione decimale. Quando le frazioni ordinarie vengono trattate in questo modo, si ottengono sia frazioni decimali finite che frazioni decimali periodiche infinite.
Ora parliamo di tutto in ordine.
Conversione di frazioni comuni con denominatori 10, 100, ... in decimali
Alcune frazioni proprie richiedono una "preparazione preliminare" prima di essere convertite in decimali. Questo vale per le frazioni ordinarie, il cui numero di cifre nel numeratore è inferiore al numero di zeri nel denominatore. Ad esempio, la frazione comune 2/100 deve prima essere preparata per la conversione in frazione decimale, ma la frazione 9/10 non necessita di alcuna preparazione.
La “preparazione preliminare” delle frazioni ordinarie proprie per la conversione in frazioni decimali consiste nell'aggiungere così tanti zeri a sinistra nel numeratore che il numero totale di cifre diventa uguale al numero di zeri nel denominatore. Ad esempio, una frazione dopo aver aggiunto gli zeri sarà simile a .
Una volta preparata la frazione corretta, puoi iniziare a convertirla in un numero decimale.
Diamo regola per convertire una frazione comune propria con denominatore 10, o 100, o 1.000, ... in una frazione decimale. Si compone di tre passaggi:
- scrivi 0;
- dopo di esso inseriamo un punto decimale;
- Annotiamo il numero dal numeratore (insieme agli zeri aggiunti, se li abbiamo aggiunti).
Consideriamo l'applicazione di questa regola durante la risoluzione degli esempi.
Esempio.
Converti la frazione propria 37/100 in un decimale.
Soluzione.
Il denominatore contiene il numero 100, che ha due zeri. Il numeratore contiene il numero 37, la sua notazione ha due cifre, pertanto non è necessario preparare questa frazione per la conversione in una frazione decimale.
Ora scriviamo 0, mettiamo un punto decimale e scriviamo il numero 37 dal numeratore e otteniamo la frazione decimale 0,37.
Risposta:
0,37 .
Per rafforzare le capacità di convertire le frazioni ordinarie proprie con numeratori 10, 100, ... in frazioni decimali, analizzeremo la soluzione con un altro esempio.
Esempio.
Scrivi la frazione propria 107/10.000.000 come decimale.
Soluzione.
Il numero di cifre nel numeratore è 3 e il numero di zeri nel denominatore è 7, quindi questa frazione comune deve essere preparata per la conversione in un decimale. Dobbiamo aggiungere 7-3=4 zeri a sinistra nel numeratore in modo che il numero totale di cifre diventi uguale al numero di zeri nel denominatore. Otteniamo.
Tutto ciò che resta da fare è creare la frazione decimale richiesta. Per fare questo, in primo luogo, scriviamo 0, in secondo luogo, inseriamo una virgola, in terzo luogo, scriviamo il numero dal numeratore insieme agli zeri 0000107, di conseguenza otteniamo una frazione decimale 0,0000107.
Risposta:
0,0000107 .
Le frazioni improprie non richiedono alcuna preparazione durante la conversione in decimali. È necessario attenersi a quanto segue regole per convertire le frazioni improprie con denominatori 10, 100, ... in decimali:
- annotare il numero dal numeratore;
- Usiamo un punto decimale per separare tante cifre a destra quanti sono gli zeri nel denominatore della frazione originale.
Diamo un'occhiata all'applicazione di questa regola quando risolviamo un esempio.
Esempio.
Converti la frazione impropria 56.888.038.009/100.000 in un numero decimale.
Soluzione.
Innanzitutto scriviamo il numero dal numeratore 56888038009 e, in secondo luogo, separiamo le 5 cifre a destra con un punto decimale, poiché il denominatore della frazione originale ha 5 zeri. Di conseguenza, abbiamo la frazione decimale 568880.38009.
Risposta:
568 880,38009 .
Per convertire un numero misto in una frazione decimale, il cui denominatore della parte frazionaria è il numero 10, o 100, o 1.000, ..., è possibile convertire il numero misto in una frazione ordinaria impropria, e quindi convertire il risultato frazione in una frazione decimale. Ma puoi anche usare quanto segue la regola per convertire i numeri misti con denominatore frazionario di 10, o 100, o 1.000, ... in frazioni decimali:
- se necessario, eseguiamo la “preparazione preliminare” della parte frazionaria del numero misto originale aggiungendo il numero richiesto di zeri a sinistra nel numeratore;
- annotare la parte intera del numero misto originale;
- metti un punto decimale;
- Annotiamo il numero dal numeratore insieme agli zeri aggiunti.
Consideriamo un esempio in cui completiamo tutti i passaggi necessari per rappresentare un numero misto come frazione decimale.
Esempio.
Converti il numero misto in un decimale.
Soluzione.
Il denominatore della parte frazionaria ha 4 zeri e il numeratore contiene il numero 17, composto da 2 cifre, quindi dobbiamo aggiungere due zeri a sinistra nel numeratore in modo che il numero di cifre diventi uguale al numero di zeri al denominatore. Fatto ciò il numeratore sarà 0017.
Ora scriviamo l'intera parte del numero originale, cioè il numero 23, mettiamo un punto decimale, dopodiché scriviamo il numero dal numeratore insieme agli zeri aggiunti, cioè 0017, e otteniamo il decimale desiderato frazione 23.0017.
Scriviamo brevemente tutta la soluzione: 
.
Naturalmente era possibile prima rappresentare il numero misto come frazione impropria e poi convertirlo in frazione decimale. Con questo approccio, la soluzione è simile alla seguente: .
Risposta:
23,0017 .
Conversione delle frazioni in decimali periodici finiti e infiniti
Puoi convertire non solo le frazioni ordinarie con denominatori 10, 100, ... in una frazione decimale, ma anche le frazioni ordinarie con altri denominatori. Ora scopriremo come è fatto.
In alcuni casi, la frazione ordinaria originaria si riduce facilmente a uno dei denominatori 10, o 100, o 1.000, ... (vedi portare una frazione ordinaria a un nuovo denominatore), dopodiché non è difficile rappresentare la frazione risultante come frazione decimale. Ad esempio, è ovvio che la frazione 2/5 può essere ridotta a una frazione con denominatore 10, per questo è necessario moltiplicare numeratore e denominatore per 2, che darà la frazione 4/10, che, secondo la regole discusse nel paragrafo precedente, si converte facilmente nella frazione decimale 0, 4.
In altri casi, per convertire una frazione ordinaria in un decimale è necessario utilizzare un altro metodo, che ora esamineremo.
Per convertire una frazione ordinaria in una frazione decimale, il numeratore della frazione viene diviso per il denominatore, il numeratore viene prima sostituito da una frazione decimale uguale con un numero qualsiasi di zeri dopo la virgola decimale (ne abbiamo parlato nella sezione uguale e frazioni decimali disuguali). In questo caso, la divisione viene eseguita allo stesso modo della divisione per una colonna di numeri naturali, e nel quoziente viene inserito un punto decimale quando termina la divisione dell'intera parte del dividendo. Tutto ciò risulterà chiaro dalle soluzioni agli esempi riportati di seguito.
Esempio.
Converti la frazione 621/4 in un decimale.
Soluzione.
Rappresentiamo il numero al numeratore 621 come una frazione decimale, aggiungendo un punto decimale e diversi zeri dopo di esso. Per prima cosa aggiungiamo 2 cifre 0, poi, se necessario, possiamo sempre aggiungere più zeri. Quindi, abbiamo 621,00.
Ora dividiamo il numero 621.000 per 4 con una colonna. I primi tre passaggi non sono diversi dalla divisione dei numeri naturali per una colonna, dopodiché arriviamo alla seguente immagine: 
In questo modo arriviamo alla virgola decimale del dividendo e il resto è diverso da zero. In questo caso inseriamo la virgola nel quoziente e continuiamo a dividere in colonna, senza prestare attenzione alle virgole: 
Ciò completa la divisione e di conseguenza otteniamo la frazione decimale 155,25, che corrisponde alla frazione ordinaria originale.
Risposta:
155,25 .
Per consolidare il materiale, considera la soluzione ad un altro esempio.
Esempio.
Converti la frazione 21/800 in un decimale.
Soluzione.
Per convertire questa frazione comune in un decimale, dividiamo con una colonna della frazione decimale 21.000... per 800. Dopo il primo passaggio, dovremo mettere la virgola decimale nel quoziente, e poi continuare la divisione: 
Alla fine abbiamo ottenuto il resto 0, questo completa la conversione della frazione comune 21/400 in frazione decimale e siamo arrivati alla frazione decimale 0,02625.
Risposta:
0,02625 .
Può succedere che dividendo il numeratore per il denominatore di una frazione ordinaria non si ottenga comunque il resto di 0. In questi casi la divisione può essere continuata indefinitamente. Tuttavia, a partire da un certo passo, i resti cominciano a ripetersi periodicamente e anche i numeri del quoziente si ripetono. Ciò significa che la frazione originale viene convertita in una frazione decimale infinitamente periodica. Mostriamolo con un esempio.
Esempio.
Scrivi la frazione 19/44 come decimale.
Soluzione.
Per convertire una frazione comune in un decimale, esegui la divisione per colonna: 
È già chiaro che durante la divisione cominciarono a ripetersi i residui 8 e 36, mentre nel quoziente si ripetono i numeri 1 e 8. Pertanto, la frazione comune originale 19/44 viene convertita in una frazione decimale periodica 0,43181818...=0,43(18).
Risposta:
0,43(18) .
Per concludere questo punto, scopriremo quali frazioni ordinarie possono essere convertite in frazioni decimali finite e quali possono essere convertite solo in frazioni periodiche.
Abbiamo una frazione ordinaria irriducibile davanti a noi (se la frazione è riducibile, allora riduciamo prima la frazione) e dobbiamo scoprire in quale frazione decimale può essere convertita: finita o periodica.
È chiaro che se una frazione ordinaria può essere ridotta a uno dei denominatori 10, 100, 1.000, ..., allora la frazione risultante può essere facilmente convertita in una frazione decimale finale secondo le regole discusse nel paragrafo precedente. Ma ai denominatori 10, 100, 1.000, ecc. Non tutte le frazioni ordinarie sono indicate. Solo le frazioni i cui denominatori sono almeno uno dei numeri 10, 100, ... possono essere ridotte a tali denominatori. E quali numeri possono essere divisori di 10, 100, ...? I numeri 10, 100, ... ci permetteranno di rispondere a questa domanda, e sono i seguenti: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1.000 = 2 2 2 5 5 5, .... Ne consegue che i divisori sono 10, 100, 1.000, ecc. Possono esserci solo numeri la cui scomposizione in fattori primi contenga solo i numeri 2 e (o) 5.
Ora possiamo trarre una conclusione generale sulla conversione delle frazioni ordinarie in decimali:
- se nella scomposizione del denominatore in fattori primi sono presenti solo i numeri 2 e (o) 5, allora questa frazione può essere convertita in una frazione decimale finale;
- se, oltre ai due e ai cinque, sono presenti altri numeri primi nell'espansione del denominatore, allora questa frazione viene convertita in una frazione periodica decimale infinita.
Esempio.
Senza convertire le frazioni ordinarie in decimali, dimmi quale delle frazioni 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 può essere convertita in una frazione decimale finale e quali possono essere convertite solo in una frazione periodica.
Soluzione.
Il denominatore della frazione 47/20 viene scomposto in fattori primi come 20=2·2·5. Questa espansione contiene solo due e cinque, quindi questa frazione può essere ridotta a uno dei denominatori 10, 100, 1.000, ... (in questo esempio, al denominatore 100), quindi può essere convertita in una frazione decimale finale.
La scomposizione del denominatore della frazione 7/12 in fattori primi ha la forma 12=2·2·3. Poiché contiene un fattore primo pari a 3, diverso da 2 e 5, questa frazione non può essere rappresentata come un decimale finito, ma può essere convertita in un decimale periodico.
Frazione 21/56 – contrattile, dopo la contrazione assume la forma 3/8. La fattorizzazione del denominatore in fattori primi contiene tre fattori pari a 2, pertanto la frazione comune 3/8, e quindi la frazione uguale 21/56, può essere convertita in una frazione decimale finale.
Infine, l'espansione del denominatore della frazione 31/17 è essa stessa 17, quindi questa frazione non può essere convertita in una frazione decimale finita, ma può essere convertita in una frazione periodica infinita.
Risposta:
47/20 e 21/56 possono essere convertiti in una frazione decimale finita, ma 7/12 e 31/17 possono essere convertiti solo in una frazione periodica.
Le frazioni ordinarie non si convertono in infiniti decimali non periodici
Le informazioni del paragrafo precedente fanno sorgere la domanda: “Dividendo il numeratore di una frazione per il denominatore si può ottenere una frazione infinita non periodica?”
Risposta: no. Quando si converte una frazione comune, il risultato può essere una frazione decimale finita o una frazione decimale periodica infinita. Spieghiamo perché è così.
Dal teorema sulla divisibilità con resto, è chiaro che il resto è sempre minore del divisore, cioè se dividiamo un intero per un intero q, allora il resto può essere solo uno dei numeri 0, 1, 2 , ..., q−1. Ne consegue che dopo che la colonna ha completato la divisione della parte intera del numeratore di una frazione ordinaria per il denominatore q, in non più di q passi si presenterà una delle due situazioni seguenti:
- oppure otterremo un resto pari a 0, questo porrà fine alla divisione, e otterremo la frazione decimale finale;
- oppure otterremo un resto che è già apparso prima, dopodiché i resti inizieranno a ripetersi come nell'esempio precedente (poiché dividendo numeri uguali per q si ottengono resti uguali, che segue dal già citato teorema di divisibilità), questo risulterà in una frazione decimale periodica infinita.
Non possono esserci altre opzioni, quindi, quando si converte una frazione ordinaria in una frazione decimale, non è possibile ottenere una frazione decimale non periodica infinita.
Dal ragionamento fatto in questo paragrafo consegue anche che la lunghezza del periodo di una frazione decimale è sempre inferiore al valore del denominatore della corrispondente frazione ordinaria.
Conversione dei decimali in frazioni
Ora scopriamo come convertire una frazione decimale in una frazione ordinaria. Iniziamo convertendo le frazioni decimali finali in frazioni ordinarie. Successivamente, considereremo un metodo per invertire infinite frazioni decimali periodiche. In conclusione, diciamo dell'impossibilità di convertire infinite frazioni decimali non periodiche in frazioni ordinarie.
Conversione dei decimali finali in frazioni
Ottenere una frazione scritta come decimale finale è abbastanza semplice. La regola per convertire una frazione decimale finale in una frazione comune consiste di tre passaggi:
- per prima cosa scrivere al numeratore la frazione decimale data, avendo precedentemente scartato il punto decimale e tutti gli zeri a sinistra, se presenti;
- in secondo luogo, scrivi uno al denominatore e aggiungi tanti zeri quante sono le cifre dopo la virgola nella frazione decimale originale;
- in terzo luogo, se necessario, ridurre la frazione risultante.
Vediamo le soluzioni degli esempi.
Esempio.
Converti il decimale 3.025 in una frazione.
Soluzione.
Se rimuoviamo il punto decimale dalla frazione decimale originale, otteniamo il numero 3.025. Non ci sono zeri a sinistra che vorremmo scartare. Quindi scriviamo 3.025 al numeratore della frazione desiderata.
Scriviamo il numero 1 al denominatore e aggiungiamo 3 zeri alla sua destra, poiché nella frazione decimale originale ci sono 3 cifre dopo la virgola.
Quindi abbiamo ottenuto la frazione comune 3.025/1.000. Questa frazione può essere ridotta di 25, otteniamo 
.
Risposta:
.
Esempio.
Converti la frazione decimale 0,0017 in una frazione.
Soluzione.
Senza punto decimale la frazione decimale originale appare come 00017, scartando gli zeri a sinistra otteniamo il numero 17, che è il numeratore della frazione ordinaria desiderata.
Scriviamo uno con quattro zeri al denominatore, poiché la frazione decimale originale ha 4 cifre dopo la virgola.
Di conseguenza, abbiamo una frazione ordinaria 17/10.000. Questa frazione è irriducibile e la conversione di una frazione decimale in una frazione ordinaria è completa.
Risposta:
.
Quando la parte intera della frazione decimale finale originale è diversa da zero, può essere immediatamente convertita in un numero misto, ignorando la frazione comune. Diamo regola per convertire una frazione decimale finale in un numero misto:
- il numero prima della virgola deve essere scritto come parte intera del numero misto desiderato;
- nel numeratore della parte frazionaria bisogna scrivere il numero ottenuto dalla parte frazionaria della frazione decimale originale dopo aver scartato tutti gli zeri a sinistra;
- al denominatore della parte frazionaria bisogna scrivere il numero 1, a cui aggiungere tanti zeri a destra quante sono le cifre dopo la virgola nella frazione decimale originale;
- se necessario, riduci la parte frazionaria del numero misto risultante.
Diamo un'occhiata ad un esempio di conversione di una frazione decimale in un numero misto.
Esempio.
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