Prismi diversi sono diversi l'uno dall'altro. Allo stesso tempo, hanno molto in comune. Per trovare l'area della base del prisma dovrai capire di che tipologia è.

Teoria generale

Un prisma è un poliedro i cui lati hanno la forma di un parallelogramma. Inoltre, la sua base può essere qualsiasi poliedro, dal triangolo all'n-gon. Inoltre le basi del prisma sono sempre uguali tra loro. Ciò che non si applica alle facce laterali è che possono variare in modo significativo in termini di dimensioni.

Quando si risolvono i problemi, non si incontra solo l'area della base del prisma. Può richiedere la conoscenza della superficie laterale, cioè di tutte le facce che non sono basi. La superficie completa sarà l'unione di tutte le facce che compongono il prisma.

A volte i problemi riguardano l'altezza. È perpendicolare alle basi. La diagonale di un poliedro è un segmento che collega a coppie due vertici qualsiasi che non appartengono alla stessa faccia.

Va notato che l'area di base di un prisma diritto o inclinato non dipende dall'angolo tra loro e le facce laterali. Se hanno le stesse figure sulle facce superiore e inferiore, le loro aree saranno uguali.

Prisma triangolare

Ha alla base una figura con tre vertici, cioè un triangolo. Come sai, può essere diverso. Se è così, basta ricordare che la sua area è determinata dalla metà del prodotto delle zampe.

La notazione matematica è questa: S = ½ av.

Per conoscere l'area della base in generale sono utili le formule: Airone e quella in cui metà del lato è presa dall'altezza disegnata ad esso.

La prima formula dovrebbe essere scritta come segue: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Questa notazione contiene un semiperimetro (p), cioè la somma di tre lati divisa per due.

Secondo: S = ½ n a * a.

Se hai bisogno di conoscere l'area della base prisma triangolare, che è regolare, allora il triangolo risulta essere equilatero. Esiste una formula per questo: S = ¼ a 2 * √3.

Prisma quadrangolare

La sua base è uno qualsiasi dei quadrangoli conosciuti. Può essere un rettangolo o un quadrato, un parallelepipedo o un rombo. In ogni caso, per calcolare l'area della base del prisma, avrai bisogno della tua formula.

Se la base è un rettangolo, la sua area è determinata come segue: S = ab, dove a, b sono i lati del rettangolo.

Quando stiamo parlando circa un prisma quadrangolare, poi l'area della base prisma corretto calcolato utilizzando la formula del quadrato. Perché è Lui che sta alla base. S = un 2.

Nel caso in cui la base sia un parallelepipedo sarà necessaria la seguente uguaglianza: S = a * n a. Accade che siano dati il ​​lato di un parallelepipedo e uno degli angoli. Quindi, per calcolare l'altezza, dovrai utilizzare una formula aggiuntiva: n a = b * sin A. Inoltre, l'angolo A è adiacente al lato “b” e l'altezza n è opposta a questo angolo.

Se alla base del prisma c'è un rombo, per determinarne l'area avrai bisogno della stessa formula del parallelogramma (poiché è un caso speciale). Ma puoi anche usare questo: S = ½ d 1 d 2. Qui d 1 e d 2 sono due diagonali del rombo.

Prisma pentagonale regolare

In questo caso si tratta di dividere il poligono in triangoli, le cui aree sono più facili da individuare. Anche se succede che le figure possano avere un numero diverso di vertici.

Poiché la base del prisma è un pentagono regolare, può essere diviso in cinque triangoli equilateri. Quindi l'area della base del prisma è uguale all'area di uno di questi triangoli (la formula può essere vista sopra), moltiplicata per cinque.

Prisma esagonale regolare

Secondo il principio descritto per un prisma pentagonale è possibile dividere l'esagono di base in 6 triangoli equilateri. La formula per l'area di base di un tale prisma è simile alla precedente. Solo che dovrebbe essere moltiplicato per sei.

La formula sarà simile a questa: S = 3/2 a 2 * √3.

Compiti

N. 1. Data una retta regolare, la sua diagonale è 22 cm, l'altezza del poliedro è 14 cm Calcola l'area della base del prisma e dell'intera superficie.

Soluzione. La base del prisma è quadrata, ma il suo lato è sconosciuto. Puoi trovare il suo valore dalla diagonale del quadrato (x), che è correlata alla diagonale del prisma (d) e alla sua altezza (h). x2 = d2 - n2. D'altra parte, questo segmento “x” è l'ipotenusa di un triangolo i cui cateti sono uguali al lato del quadrato. Cioè x 2 = a 2 + a 2. Risulta quindi che a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Sostituisci il numero 22 invece di d e sostituisci "n" con il suo valore - 14, risulta che il lato del quadrato è 12 cm Ora scopri solo l'area della base: 12 * 12 = 144 cm 2.

Per scoprire l'area dell'intera superficie, è necessario aggiungere doppio valore area di base e area laterale quadrupla. Quest'ultimo si trova facilmente utilizzando la formula del rettangolo: moltiplica l'altezza del poliedro per il lato della base. Cioè, 14 e 12, questo numero sarà pari a 168 cm 2. La superficie totale del prisma risulta essere 960 cm 2.

Risposta. L'area della base del prisma è 144 cm 2. L'intera superficie è di 960 cm 2.

N. 2. Dato Alla base c'è un triangolo con il lato di 6 cm. In questo caso la diagonale della faccia laterale è di 10 cm. Calcola le aree: la base e la superficie laterale.

Soluzione. Poiché il prisma è regolare, la sua base è un triangolo equilatero. La sua area risulta quindi pari a 6 quadrati, moltiplicata per ¼ e per la radice quadrata di 3. Un semplice calcolo porta al risultato: 9√3 cm 2. Questa è l'area di una base del prisma.

Tutte le facce laterali sono uguali e sono rettangoli con lati di 6 e 10 cm. Per calcolare le loro aree basta moltiplicare questi numeri. Poi moltiplicateli per tre, perché il prisma ha esattamente altrettante facce laterali. Quindi l'area della superficie laterale della ferita risulta essere 180 cm 2.

Risposta. Aree: base - 9√3 cm 2, superficie laterale del prisma - 180 cm 2.

Definizione.

Questo è un esagono, le cui basi sono due quadrati uguali e le facce laterali lo sono rettangoli uguali

Costola laterale- è il lato comune di due facce laterali adiacenti

Altezza del prisma- questo è un segmento perpendicolare alle basi del prisma

Diagonale del prisma- un segmento che collega due vertici delle basi che non appartengono alla stessa faccia

Piano diagonale- un piano che passa per la diagonale del prisma e i suoi bordi laterali

Sezione diagonale- i confini dell'intersezione del prisma e del piano diagonale. La sezione trasversale diagonale di un prisma quadrangolare regolare è un rettangolo

Sezione perpendicolare (sezione ortogonale)- questa è l'intersezione di un prisma e di un piano tracciato perpendicolare ai suoi bordi laterali

Elementi di un prisma quadrangolare regolare

La figura mostra due prismi quadrangolari regolari, indicati dalle lettere corrispondenti:

• Le basi ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 sono uguali e parallele tra loro
• Facce laterali AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C e CC 1 D 1 D, ciascuna delle quali è un rettangolo
• Superficie laterale- la somma delle aree di tutte le facce laterali del prisma
• Superficie totale: la somma delle aree di tutte le basi e delle facce laterali (somma dell'area della superficie laterale e delle basi)
• Nervature laterali AA 1, BB 1, CC 1 e DD 1.
• Diagonale B1D
• Diagonale di base BD
• Sezione diagonale BB 1 D 1 D
• Sezione perpendicolare A 2 B 2 C 2 D 2.

Proprietà di un prisma quadrangolare regolare

• Le basi sono due quadrati uguali
• Le basi sono parallele tra loro
• Le facce laterali sono rettangoli
• I bordi laterali sono uguali tra loro
• Le facce laterali sono perpendicolari alle basi
• Le nervature laterali sono parallele tra loro e uguali
• Sezione perpendicolare perpendicolare a tutte le nervature laterali e parallela alle basi
• Angoli di sezione perpendicolare - rettilinei
• La sezione trasversale diagonale di un prisma quadrangolare regolare è un rettangolo
• Perpendicolare (sezione ortogonale) parallela alle basi

Formule per un prisma quadrangolare regolare

Istruzioni per la risoluzione dei problemi

Quando si risolvono problemi sull'argomento " prisma quadrangolare regolare" significa che:

Prisma corretto- un prisma alla cui base si trova un poligono regolare, e i bordi laterali sono perpendicolari ai piani della base. Cioè, alla sua base contiene un prisma quadrangolare regolare piazza. (vedi proprietà di un prisma quadrangolare regolare sopra) Nota. Questo fa parte di una lezione con problemi di geometria (sezione stereometria - prisma). Qui ci sono problemi difficili da risolvere. Se hai bisogno di risolvere un problema di geometria che non è qui, scrivilo nel forum. Per indicare l'azione del recupero radice quadrata il simbolo viene utilizzato per risolvere i problemi√ .

Compito.

In un prisma quadrangolare regolare, l'area di base è 144 cm 2 e l'altezza è 14 cm. Trova la diagonale del prisma e la superficie totale.

Soluzione.
Un quadrilatero regolare è un quadrato.
Di conseguenza, il lato della base sarà uguale

√144 = 12cm.
Da dove sarà uguale la diagonale della base di un prisma rettangolare regolare
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

La diagonale di un prisma regolare si forma con la diagonale della base e l'altezza del prisma triangolo rettangolo. Pertanto, secondo il teorema di Pitagora, la diagonale di un dato prisma quadrangolare regolare sarà uguale a:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Risposta: 22cm

Compito

Determina la superficie totale di un prisma quadrangolare regolare se la sua diagonale è 5 cm e la diagonale della sua faccia laterale è 4 cm.

Soluzione.
Poiché la base di un prisma quadrangolare regolare è un quadrato, troviamo il lato della base (indicato come a) utilizzando il teorema di Pitagora:

A2 + a2 = 52
2a2 = 25
a = √12,5

L'altezza della faccia laterale (indicata con h) sarà quindi pari a:

H2 + 12,5 = 42
h2 + 12,5 = 16
h2 = 3,5
h = √3,5

La superficie totale sarà pari alla somma della superficie laterale e del doppio della superficie di base

S = 2a2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm2.

Risposta: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm2.

La stereometria è una parte importante corso generale geometria, che esamina le caratteristiche delle figure spaziali. Una di queste figure è un prisma quadrangolare. In questo articolo discuteremo più in dettaglio la questione su come calcolare il volume di un prisma quadrangolare.

Cos'è un prisma quadrangolare?

Ovviamente, prima di dare la formula del volume di un prisma quadrangolare, è necessario darne una definizione chiara figura geometrica. Con tale prisma intendiamo un poliedro tridimensionale, che è limitato da due quadrangoli identici arbitrari che giacciono su piani paralleli e quattro parallelogrammi.

I quadrilateri contrassegnati paralleli tra loro sono chiamati basi della figura, e i quattro parallelogrammi sono i lati. Va chiarito qui che i parallelogrammi sono anche quadrilateri, ma non sempre le basi sono parallelogrammi. Un esempio di quadrilatero irregolare, che potrebbe essere la base di un prisma, è mostrato nella figura seguente.

Qualsiasi prisma quadrangolare è costituito da 6 lati, 8 vertici e 12 bordi. Ci sono prismi quadrangolari diversi tipi. Ad esempio, una figura può essere obliqua o diritta, irregolare e regolare. Più avanti nell'articolo mostreremo come calcolare il volume di un prisma quadrangolare, tenendo conto della sua tipologia.

Prisma inclinato con base errata

Questo è il tipo più asimmetrico di prisma quadrangolare, quindi calcolarne il volume sarà relativamente difficile. La seguente espressione consente di determinare il volume di una figura:

Il simbolo Quindi qui indica l'area della base. Se questa base è un rombo, un parallelogramma o un rettangolo, calcolare il valore di So è facile. Quindi, per un rombo e un parallelogramma vale la formula:

dove a è il lato della base, ha è la lunghezza dell'altezza abbassata su questo lato dalla sommità della base.

Se la base è un poligono irregolare (vedi sopra), la sua area dovrebbe essere divisa in forme più semplici (ad esempio triangoli), calcola le loro aree e trova la loro somma.

Nella formula del volume, il simbolo h indica l'altezza del prisma. Rappresenta la lunghezza segmento perpendicolare tra due basi. Poiché il prisma è inclinato, l'altezza h va calcolata utilizzando la lunghezza del bordo laterale b e gli angoli diedro tra le facce laterali e la base.

La figura corretta e il suo volume

Se la base di un prisma quadrangolare è un quadrato e la figura stessa è diritta, si dice regolare. Va chiarito che un prisma si dice rettilineo quando tutti i suoi lati sono rettangoli e ciascuno di essi è perpendicolare alle basi. Figura corretta mostrato di seguito.

Il volume di un prisma quadrangolare regolare può essere calcolato utilizzando la stessa formula del volume di una figura irregolare. Poiché la base è un quadrato, la sua area si calcola semplicemente:

L'altezza del prisma h è uguale alla lunghezza del bordo laterale b (lato del rettangolo). Quindi il volume di un prisma quadrangolare regolare può essere calcolato utilizzando la seguente formula:

Si chiama prisma regolare a base quadrata parallelepipedo rettangolare. Se i lati a e b sono uguali, questo parallelepipedo diventa un cubo. Il volume di quest'ultimo è calcolato come segue:

Le formule scritte per il volume V indicano che maggiore è la simmetria della figura, minore è parametri lineari necessario per calcolare questo valore. Quindi, nel caso di un prisma regolare, il numero richiesto di parametri è due e nel caso di un cubo - uno.

Il problema con la figura corretta

Avendo considerato il problema della ricerca del volume di un prisma quadrangolare da un punto di vista teorico, applicheremo nella pratica le conoscenze acquisite.

È noto che un parallelepipedo regolare ha la diagonale di base lunga 12 cm. La lunghezza diagonale del suo lato è di 20 cm.

Indichiamo la diagonale della base con il simbolo da e la diagonale della faccia laterale con il simbolo db. Per la diagonale da valgono le seguenti espressioni:

Quanto al valore db, è la diagonale di un rettangolo di lati a e b. Per esso possiamo scrivere le seguenti uguaglianze:

db2 = a2 + b2 =>

b = √(db2 - a2)

Sostituendo a nell'ultima uguaglianza con l'espressione trovata, otteniamo:

b = √(db2 - da2/2)

Ora puoi sostituire le formule risultanti nell'espressione per il volume della figura regolare:

V = a2*b = da2/2*√(db2 - da2/2)

Sostituendo da e db con i numeri della formulazione del problema, arriviamo alla risposta: V ≈ 1304 cm3.

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