DISUGUAGLIANZE LOGARITMICHE NELL'USO
Sechin Michail Aleksandrovich
Piccola Accademia delle Scienze per Studenti della Repubblica del Kazakistan “Iskatel”
MBOU "Sovetskaya Secondary School No. 1", 11a elementare, città. sovietico Distretto sovietico
Gunko Lyudmila Dmitrievna, insegnante dell'istituto scolastico comunale di bilancio “Scuola secondaria Sovetskaya n. 1”
Distretto sovietico
Scopo del lavoro: studio del meccanismo di soluzione disuguaglianze logaritmiche C3 utilizzando metodi non standard, identificando fatti interessanti logaritmo
Oggetto della ricerca:
3) Imparare a risolvere specifiche disuguaglianze logaritmiche C3 utilizzando metodi non standard.
Risultati:
Contenuto
Introduzione……………………………….4
Capitolo 1. Storia del problema……………………………...5
Capitolo 2. Raccolta di disuguaglianze logaritmiche …………… 7
2.1. Transizioni equivalenti e generalizzate metodo dell'intervallo…………… 7
2.2. Metodo di razionalizzazione................................................................ 15
2.3. Sostituzione non standard………………................................. ..... .....22
2.4. Compiti con trappole…………………27
Conclusione…………………..……………..………….. 30
Letteratura……………………………………………………………………. 31
Introduzione
Frequento la terza media e ho intenzione di entrare in un'università dove la materia principale è la matematica. Ecco perché lavoro molto con i problemi della parte C. Nel compito C3, devo risolvere una disuguaglianza o un sistema di diseguaglianze non standard, solitamente correlato ai logaritmi. Durante la preparazione per l'esame, mi sono trovato di fronte al problema della carenza di metodi e tecniche per risolvere le disuguaglianze logaritmiche dell'esame offerti in C3. Metodi studiati in curriculum scolastico su questo argomento, non fornire una base per risolvere i compiti C3. L'insegnante di matematica mi ha suggerito di lavorare sui compiti C3 in modo indipendente sotto la sua guida. Inoltre, mi interessava la domanda: incontriamo i logaritmi nelle nostre vite?
In quest’ottica è stato scelto l’argomento:
“Le disuguaglianze logaritmiche nell’Esame di Stato Unificato”
Scopo del lavoro: studio del meccanismo per risolvere i problemi C3 utilizzando metodi non standard, identificando fatti interessanti sul logaritmo.
Oggetto della ricerca:
1) Trovare le informazioni necessarie sui metodi non standard per risolvere le disuguaglianze logaritmiche.
2) Trova ulteriori informazioni sui logaritmi.
3) Impara a risolvere problemi C3 specifici utilizzando metodi non standard.
Risultati:
Il significato pratico risiede nell'espansione dell'apparato per risolvere i problemi C3. Questo materiale può essere utilizzato in alcune lezioni, per i club e per le lezioni facoltative di matematica.
Il prodotto del progetto sarà la raccolta “C3 Logarithmic Inequalities with Solutions”.
Capitolo 1. Contesto
Nel corso del XVI secolo il numero dei calcoli approssimativi aumentò rapidamente, soprattutto in astronomia. Il miglioramento degli strumenti, lo studio dei movimenti planetari e altri lavori hanno richiesto calcoli colossali, a volte pluriennali. L'astronomia correva il rischio reale di annegare in calcoli inadempiuti. In altri settori sono sorte difficoltà, ad esempio nel settore assicurativo erano necessarie tabelle di interessi composti per diversi tassi di interesse. La difficoltà principale era la moltiplicazione e la divisione di numeri a più cifre, in particolare di quantità trigonometriche.
La scoperta dei logaritmi si basò sulle proprietà delle progressioni ben note alla fine del XVI secolo. Sulla connessione tra i membri progressione geometrica q, q2, q3, ... e progressione aritmetica i loro indicatori sono 1, 2, 3,... Archimede ne parla nella sua “Salmite”. Un altro prerequisito era l'estensione del concetto di grado agli esponenti negativi e frazionari. Molti autori hanno sottolineato che moltiplicazione, divisione, esponenziazione ed estrazione della radice in progressione geometrica corrispondono in aritmetica - nello stesso ordine - addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.
Ecco l'idea del logaritmo come esponente.
Nella storia dello sviluppo della dottrina dei logaritmi sono passate diverse fasi.
Fase 1
I logaritmi furono inventati non più tardi del 1594 indipendentemente dal barone scozzese Napier (1550-1617) e dieci anni dopo dal meccanico svizzero Bürgi (1552-1632). Entrambi volevano dare un nuovo mezzo conveniente calcoli aritmetici, sebbene abbiano affrontato questo compito in modo diverso. Napier espresse cinematicamente la funzione logaritmica e quindi entrò in essa nuova zona teoria della funzione. Bürgi si è mantenuto sulla base della considerazione delle progressioni discrete. Tuttavia, la definizione del logaritmo per entrambi non è simile a quella moderna. Il termine "logaritmo" (logarithmus) appartiene a Napier. Nasce da una combinazione di parole greche: logos - "relazione" e ariqmo - "numero", che significava "numero di relazioni". Inizialmente, Napier usò un termine diverso: numeri artificiales - "numeri artificiali", in contrapposizione a numeri naturalts - "numeri naturali".
Nel 1615, in una conversazione con Henry Briggs (1561-1631), professore di matematica al Gresh College di Londra, Napier suggerì di prendere zero come logaritmo di uno e 100 come logaritmo di dieci, o, il che equivale allo stesso cosa, solo 1. Ecco come furono stampati i logaritmi decimali e le prime tavole logaritmiche. Successivamente, le tavole di Briggs furono integrate dal libraio olandese e appassionato di matematica Adrian Flaccus (1600-1667). Napier e Briggs, sebbene arrivassero ai logaritmi prima di tutti gli altri, pubblicarono le loro tavole più tardi degli altri, nel 1620. I segni log e Log furono introdotti nel 1624 da I. Keplero. Il termine “logaritmo naturale” fu introdotto da Mengoli nel 1659 e seguito da N. Mercator nel 1668, e l'insegnante londinese John Speidel pubblicò tavole di logaritmi naturali dei numeri da 1 a 1000 sotto il nome di “Nuovi Logaritmi”.
Le prime tavole logaritmiche furono pubblicate in russo nel 1703. Ma in tutte le tavole logaritmiche c'erano errori di calcolo. Le prime tabelle prive di errori furono pubblicate nel 1857 a Berlino, elaborate dal matematico tedesco K. Bremiker (1804-1877).
Fase 2
L'ulteriore sviluppo della teoria dei logaritmi è associato ad una più ampia applicazione della geometria analitica e del calcolo infinitesimale. A quel punto era stata stabilita la connessione tra la quadratura di un'iperbole equilatera e il logaritmo naturale. La teoria dei logaritmi di questo periodo è associata ai nomi di numerosi matematici.
Il matematico, astronomo e ingegnere tedesco Nikolaus Mercator in un saggio
"Logarithmotechnics" (1668) fornisce una serie che fornisce lo sviluppo di ln(x+1) in
potenze di x:
Questa espressione corrisponde esattamente al corso del suo pensiero, anche se, ovviamente, non ha usato i segni d, ..., ma un simbolismo più ingombrante. Con la scoperta delle serie logaritmiche cambiò la tecnica per calcolare i logaritmi: si cominciò a determinarli utilizzando serie infinite. Nelle sue lezioni “Matematica elementare da un punto di vista più elevato”, tenute nel 1907-1908, F. Klein propose di utilizzare la formula come punto di partenza costruzione della teoria dei logaritmi.
Fase 3
Definizione funzione logaritmica come funzione inversa
esponenziale, logaritmo come esponente di una data base
non è stato formulato immediatamente. Saggio di Leonhard Eulero (1707-1783)
"Un'introduzione all'analisi degli infinitesimi" (1748) servì ulteriormente
sviluppo della teoria delle funzioni logaritmiche. Così,
Sono passati 134 anni da quando furono introdotti per la prima volta i logaritmi
(contando dal 1614), prima che i matematici arrivassero alla definizione
il concetto di logaritmo, che oggi è alla base del percorso scolastico.
Capitolo 2. Raccolta di disuguaglianze logaritmiche
2.1. Transizioni equivalenti e metodo generalizzato degli intervalli.
Transizioni equivalenti
, se a > 1
, se 0 <
а <
1
Metodo degli intervalli generalizzati
Questo metodo è il più universale per risolvere disuguaglianze di quasi tutti i tipi. Il diagramma della soluzione è simile al seguente:
1. Porta la disuguaglianza in una forma in cui si trova la funzione sul lato sinistro 
e a destra 0.
2. Trova il dominio della funzione .
3. Trova gli zeri della funzione , cioè risolvere l'equazione 
(e risolvere un'equazione è solitamente più facile che risolvere una disuguaglianza).
4. Disegna il dominio della definizione e gli zeri della funzione sulla linea numerica.
5. Determinare i segni della funzione sugli intervalli ottenuti.
6. Seleziona gli intervalli in cui la funzione assume i valori richiesti e annota la risposta.
Esempio 1.
Soluzione:
Applichiamo il metodo dell'intervallo
Dove
Per questi valori tutte le espressioni sotto i segni logaritmici sono positive.
Risposta:
Esempio 2.
Soluzione:
1° modo . L’ADL è determinata dalla disuguaglianza X> 3. Prendendo i logaritmi per tali X in base 10, otteniamo
L’ultima disuguaglianza potrebbe essere risolta applicando regole di espansione, cioè confrontando i fattori con lo zero. Tuttavia in questo caso è facile determinare gli intervalli di segno costante della funzione
pertanto è possibile applicare il metodo dell'intervallo.
Funzione F(X) = 2X(X- 3.5)lgĀ X- 3ǀ è continuo a X> 3 e svanisce nei punti X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Pertanto, determiniamo gli intervalli di segno costante della funzione F(X):
Risposta:
2° metodo . Applichiamo direttamente le idee del metodo degli intervalli alla disuguaglianza originale.
Per fare ciò, ricorda che le espressioni UN B- UN c e ( UN - 1)(B- 1) avere un segno. Allora la nostra disuguaglianza è pari a X> 3 equivale a disuguaglianza
O
L'ultima disuguaglianza viene risolta utilizzando il metodo dell'intervallo
Risposta:
Esempio 3.
Soluzione:
Applichiamo il metodo dell'intervallo
Risposta:
Esempio 4.
Soluzione:
Dal 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 per tutto reale X, Quello
Per risolvere la seconda disuguaglianza utilizziamo il metodo degli intervalli
Nella prima disuguaglianza effettuiamo la sostituzione
poi arriviamo alla disuguaglianza 2y 2 - sì - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те sì, che soddisfano la disuguaglianza -0,5< sì < 1.
Da dove, da allora
otteniamo la disuguaglianza
che viene eseguito quando X, per cui 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Ora, tenendo conto della soluzione della seconda disuguaglianza del sistema, otteniamo finalmente
Risposta:
Esempio 5.
Soluzione:
La disuguaglianza equivale a un insieme di sistemi
O
Usiamo il metodo dell'intervallo o
Risposta:
Esempio 6.
Soluzione:
La disuguaglianza è uguale al sistema
Permettere
Poi sì > 0,
e la prima disuguaglianza
il sistema prende forma
o, svolgersi
trinomio quadratico da fattori,
Applicando il metodo dell'intervallo all'ultima disuguaglianza,
vediamo che le sue soluzioni soddisfano la condizione sì> 0 sarà tutto sì > 4.
Pertanto, la disuguaglianza originaria è equivalente al sistema:
Quindi, le soluzioni alla disuguaglianza ci sono tutte
2.2. Metodo di razionalizzazione.
In precedenza, la disuguaglianza non veniva risolta utilizzando il metodo della razionalizzazione; Questo è il "nuovo moderno" metodo efficace soluzioni alle disuguaglianze esponenziali e logaritmiche" (citazione dal libro di S.I. Kolesnikova)
E anche se l'insegnante lo conosceva, c'era la paura: lo conosceva? Esperto dell'Esame di Stato Unificato, perché non lo danno a scuola? Ci sono state situazioni in cui l'insegnante ha detto allo studente: "Dove l'hai preso - 2."
Ora il metodo viene promosso ovunque. E per gli esperti c'è linee guida, associato a questo metodo, e nella sezione "Edizioni più complete opzioni tipiche..." La soluzione C3 utilizza questo metodo.
METODO MERAVIGLIOSO!
"Tavolo Magico"
In altre fonti
Se a >1 e b >1, quindi log a b >0 e (a -1)(b -1)>0;
Se a >1 e 0 se 0<UN<1 и b
>1, quindi registrare un b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
se 0<UN<1 и 00 e (a -1)(b -1)>0. Il ragionamento svolto è semplice, ma semplifica notevolmente la soluzione delle disuguaglianze logaritmiche. Esempio 4.
ceppo x (x 2 -3)<0
Soluzione:
Esempio 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Soluzione: Esempio 6.
Per risolvere questa disuguaglianza, al posto del denominatore scriviamo (x-1-1)(x-1) e al posto del numeratore scriviamo il prodotto (x-1)(x-3-9 + x). Esempio 7.
Esempio 8.
2.3. Sostituzione non standard. Esempio 1.
Esempio 2.
Esempio 3.
Esempio 4.
Esempio 5.
Esempio 6.
Esempio 7.
log 4 (3 x -1) log 0,25 Facciamo la sostituzione y=3 x -1; allora questa disuguaglianza assumerà la forma Ceppo 4 ceppo 0,25 Perché logaritmo 0,25 Facciamo la sostituzione t =log 4 y e otteniamo la disuguaglianza t 2 -2t +≥0, la cui soluzione sono gli intervalli - Pertanto, per trovare i valori di y abbiamo un insieme di due semplici disuguaglianze Pertanto, la disuguaglianza originaria è equivalente all'insieme di due disuguaglianze esponenziali, La soluzione alla prima disuguaglianza di questo insieme è l'intervallo 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Esempio 8.
Soluzione:
La disuguaglianza è uguale al sistema La soluzione alla seconda disuguaglianza che definisce l'ODZ sarà l'insieme di quelle X,
per cui X > 0.
Per risolvere la prima disuguaglianza facciamo la sostituzione Quindi otteniamo la disuguaglianza O L'insieme delle soluzioni dell'ultima disuguaglianza si trova con il metodo intervalli: -1< T < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, otteniamo O Molti di quelli X, che soddisfano l'ultima disuguaglianza appartiene all'ODZ ( X> 0), quindi, è una soluzione del sistema, e quindi la disuguaglianza originaria. Risposta: 2.4. Compiti con trappole. Esempio 1.
Soluzione. L'ODZ della disuguaglianza è tutto x che soddisfa la condizione 0 Esempio 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Risposta. (0; 0,5)U.
Risposta :
(3;6)
.
= -log4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , quindi riscriviamo l'ultima disuguaglianza come 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
La soluzione di questo insieme sono gli intervalli 0<у≤2 и 8≤у<+.
cioè aggregati 
. Pertanto, la disuguaglianza originale è soddisfatta per tutti i valori di x dagli intervalli 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Pertanto tutti gli x appartengono all'intervallo 0
Conclusione
Non è stato facile trovare metodi specifici per risolvere i problemi C3 da una grande abbondanza di diverse fonti educative. Nel corso del lavoro svolto, ho potuto studiare metodi non standard per risolvere disuguaglianze logaritmiche complesse. Questi sono: transizioni equivalenti e metodo generalizzato degli intervalli, metodo di razionalizzazione , sostituzione non standard , compiti con trappole su ODZ. Questi metodi non sono inclusi nel curriculum scolastico.
Utilizzando diversi metodi, ho risolto 27 disuguaglianze proposte all'Esame di Stato Unificato nella parte C, ovvero C3. Queste disuguaglianze con soluzioni metodiche hanno costituito la base della raccolta “Disuguaglianze logaritmiche C3 con soluzioni”, che è diventata il prodotto progettuale della mia attività. L'ipotesi che avevo proposto all'inizio del progetto è stata confermata: i problemi C3 possono essere risolti efficacemente se si conoscono questi metodi.
Inoltre, ho scoperto fatti interessanti sui logaritmi. È stato interessante per me farlo. I prodotti del mio progetto saranno utili sia per gli studenti che per gli insegnanti.
Conclusioni:
Pertanto, l’obiettivo del progetto è stato raggiunto e il problema è stato risolto. E ho ricevuto l'esperienza più completa e diversificata delle attività progettuali in tutte le fasi del lavoro. Mentre lavoravo al progetto, il mio principale impatto sullo sviluppo è stato sulla competenza mentale, sulle attività legate alle operazioni mentali logiche, sullo sviluppo della competenza creativa, sull'iniziativa personale, sulla responsabilità, sulla perseveranza e sull'attività.
Una garanzia di successo nella creazione di un progetto di ricerca per Ho acquisito: esperienza scolastica significativa, capacità di ottenere informazioni da varie fonti, verificarne l'affidabilità e classificarle in base all'importanza.
Oltre alla conoscenza diretta della materia in matematica, ho ampliato le mie capacità pratiche nel campo dell'informatica, ho acquisito nuove conoscenze ed esperienze nel campo della psicologia, ho stabilito contatti con i compagni di classe e ho imparato a collaborare con gli adulti. Durante le attività del progetto sono state sviluppate competenze formative generali organizzative, intellettuali e comunicative.
Letteratura
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistemi di disuguaglianze con una variabile (compiti standard C3).
2. Malkova A. G. Preparazione per l'esame di stato unificato in matematica.
3. Samarova S. S. Risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche.
4. Matematica. Raccolta di opere di formazione a cura di A.L. Semenov e I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-
L'articolo è dedicato all'analisi dei compiti 15 del profilo Esame di Stato unificato in matematica per il 2017. In questo compito, agli scolari viene chiesto di risolvere le disuguaglianze, molto spesso logaritmiche. Anche se potrebbero essercene di indicativi. Questo articolo fornisce un'analisi di esempi di disuguaglianze logaritmiche, comprese quelle contenenti una variabile nella base del logaritmo. Tutti gli esempi sono presi dalla banca aperta dei compiti dell'Esame di Stato Unificato in matematica (profilo), quindi è molto probabile che tali disuguaglianze si riscontrino nell'esame come compito 15. Ideale per coloro che vogliono imparare come risolvere il compito 15 dal secondo parte del profilo Esame di Stato Unificato in un breve periodo di tempo in matematica per ottenere più voti nell'esame.
Analisi dei compiti 15 dal profilo Esame di Stato unificato in matematica
| Esempio 1. Risolvi la disuguaglianza: |
Nei compiti 15 dell'Esame di Stato Unificato in matematica (profilo), si incontrano spesso disuguaglianze logaritmiche. La risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche inizia con la determinazione dell'intervallo di valori accettabili. In questo caso non c'è alcuna variabile alla base di entrambi i logaritmi, c'è solo il numero 11, il che semplifica enormemente il problema. Quindi l'unica limitazione che abbiamo qui è che entrambe le espressioni sotto il segno del logaritmo sono positive:
Titolo="Renderizzato da QuickLaTeX.com">!}
La prima disuguaglianza nel sistema è la disuguaglianza quadratica. Per risolverlo, vorremmo davvero fattorizzare il membro sinistro. Penso che tu sappia che qualsiasi trinomio quadratico della forma 
è fattorizzato come segue:
dove e sono le radici dell'equazione. In questo caso, il coefficiente è 1 (questo è il coefficiente numerico davanti a ). Anche il coefficiente è uguale a 1 e il coefficiente è il termine fittizio, è uguale a -20. Le radici di un trinomio si determinano più facilmente utilizzando il teorema di Vieta. L'equazione che abbiamo dato significa che la somma delle radici sarà uguale al coefficiente di segno opposto, cioè -1, e il prodotto di queste radici sarà uguale al coefficiente, cioè -20. È facile intuire che le radici saranno -5 e 4.
Ora il lato sinistro della disuguaglianza può essere fattorizzato: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X nei punti -5 e 4. Ciò significa che la soluzione richiesta alla disuguaglianza è l'intervallo . Per chi non capisse cosa c'è scritto qui, potete guardare i dettagli nel video, a partire da questo momento. Lì troverai anche una spiegazione dettagliata di come viene risolta la seconda disuguaglianza del sistema. È in fase di risoluzione. Inoltre, la risposta è esattamente la stessa della prima disuguaglianza del sistema. Cioè, l'insieme scritto sopra è la regione dei valori ammissibili della disuguaglianza.
Quindi, tenendo conto della fattorizzazione, la disuguaglianza originaria assume la forma:
Usando la formula, aggiungiamo 11 alla potenza dell'espressione sotto il segno del primo logaritmo e spostiamo il secondo logaritmo a sinistra della disuguaglianza, cambiando il suo segno nel contrario:
Dopo la riduzione otteniamo:
L'ultima disuguaglianza, dovuta all'aumento della funzione, è equivalente alla disuguaglianza 
, la cui soluzione è l'intervallo 
. Non resta che intersecarlo con la regione dei valori accettabili della disuguaglianza, e questa sarà la risposta all’intero compito.
Quindi, la risposta richiesta all'attività è simile a:
Ci siamo occupati di questo compito, ora passiamo al prossimo esempio del compito 15 dell'Esame di Stato Unificato di matematica (profilo).
| Esempio 2. Risolvi la disuguaglianza:
|
Iniziamo la soluzione determinando l'intervallo di valori accettabili di questa disuguaglianza. Alla base di ogni logaritmo deve esserci un numero positivo diverso da 1. Tutte le espressioni sotto il segno del logaritmo devono essere positive. Il denominatore della frazione non deve contenere zero. L'ultima condizione equivale al fatto che , poiché solo altrimenti entrambi i logaritmi al denominatore svaniscono. Tutte queste condizioni determinano l'intervallo di valori ammissibili di questa disuguaglianza, dato dal seguente sistema di disuguaglianze:
Titolo="Renderizzato da QuickLaTeX.com">!}
Nell'intervallo di valori accettabili, possiamo utilizzare formule di conversione dei logaritmi per semplificare il lato sinistro della disuguaglianza. Utilizzando la formula 
eliminiamo il denominatore:
Ora abbiamo solo logaritmi con base. Questo è già più conveniente. Successivamente, usiamo la formula, e anche la formula per portare l'espressione degna di gloria nella seguente forma:
Nei calcoli, abbiamo utilizzato ciò che rientra nell'intervallo di valori accettabili. Usando la sostituzione arriviamo all'espressione:
Usiamo un'altra sostituzione: . Di conseguenza, arriviamo al seguente risultato:
Quindi, gradualmente torniamo alle variabili originali. Prima alla variabile:
Sezioni: Matematica
Spesso, quando si risolvono le disuguaglianze logaritmiche, ci sono problemi con una base logaritmica variabile. Quindi, una disuguaglianza della forma
è una disuguaglianza scolastica standard. Di norma, per risolverlo, viene utilizzata una transizione a un insieme equivalente di sistemi:
Lo svantaggio di questo metodo è la necessità di risolvere sette disuguaglianze, senza contare due sistemi e una popolazione. Già con queste funzioni quadratiche, la risoluzione della popolazione può richiedere molto tempo.
È possibile proporre un modo alternativo, meno dispendioso in termini di manodopera, per risolvere questa disuguaglianza standard. Per fare ciò, prendiamo in considerazione il seguente teorema.
Teorema 1. Sia presente una funzione crescente continua su un insieme X. Allora su questo insieme il segno dell'incremento della funzione coinciderà con il segno dell'incremento dell'argomento, cioè , Dove 
.
Nota: se una funzione decrescente continua su un insieme X, allora .
Torniamo alla disuguaglianza. Passiamo al logaritmo decimale (puoi passare a qualsiasi logaritmo con base costante maggiore di uno).
Ora puoi usare il teorema, notando l'incremento delle funzioni nel numeratore 
e al denominatore. Quindi è vero
Di conseguenza, il numero di calcoli che portano alla risposta viene ridotto di circa la metà, il che non solo fa risparmiare tempo, ma consente anche di commettere potenzialmente meno errori aritmetici e disattenzioni.
Esempio 1.
Confrontando con (1) troviamo 
, 
, .
Passando alla (2) avremo:
Esempio 2.
Confrontando con (1) troviamo , , .
Passando alla (2) avremo:
Esempio 3.
Poiché il lato sinistro della disuguaglianza è una funzione crescente come e 
, allora la risposta sarà molte.
I numerosi esempi in cui può essere applicato il Tema 1 possono essere facilmente ampliati prendendo in considerazione il Tema 2.
Andiamo sul set X sono definite le funzioni , , , e su questa impostate i segni e coincidono, cioè , allora sarà giusto.
Esempio 4.
Esempio 5.
Con l'approccio standard l'esempio viene risolto secondo il seguente schema: il prodotto è minore di zero quando i fattori sono di segno diverso. Quelli. si considera un insieme di due sistemi di diseguaglianze in cui, come indicato all'inizio, ciascuna disuguaglianza si scompone in altre sette.
Se prendiamo in considerazione il teorema 2, allora ciascuno dei fattori, tenendo conto (2), può essere sostituito da un'altra funzione che ha lo stesso segno in questo esempio O.D.Z.
Il metodo di sostituire l'incremento di una funzione con un incremento di argomento, tenendo conto del Teorema 2, risulta essere molto conveniente quando si risolvono i tipici problemi dell'Unified State Examination C3.
Esempio 6.
Esempio 7.
. Indichiamo . Otteniamo
. Si tenga presente che la sostituzione implica: . Tornando all'equazione, otteniamo
.
Esempio 8.
Nei teoremi che usiamo non ci sono restrizioni sulle classi di funzioni. In questo articolo, ad esempio, i teoremi sono stati applicati alla risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche. I seguenti esempi dimostreranno la promessa del metodo per risolvere altri tipi di disuguaglianze.
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