Teorema. Se e sono soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione (2.3), allora la loro combinazione lineare , dove e sono costanti arbitrarie, sarà una soluzione generale a questa equazione.

Prova. Il fatto che esista una soluzione dell'equazione (2.3) segue dal teorema sulle proprietà delle soluzioni di Lodo del 2° ordine. Dobbiamo solo dimostrare che la soluzione ci sarà generale, cioè. è necessario mostrare che per qualsiasi condizione iniziale si possono scegliere costanti arbitrarie in modo tale da soddisfare tali condizioni. Scriviamo le condizioni iniziali nella forma:

Le costanti e da questo sistema di equazioni algebriche lineari sono determinate in modo univoco, poiché il determinante di questo sistema è il valore del determinante di Wronski per soluzioni linearmente indipendenti di Lodu a: ,

e tale determinante, come abbiamo visto nel paragrafo precedente, è diverso da zero. Il teorema è stato dimostrato.

Costruzione di una soluzione generale ad un LODE del secondo ordine a coefficienti costanti nel caso

13. radici semplici dell'equazione caratteristica (caso D>0) (con documentazione).

14. radici multiple dell'equazione caratteristica (caso D=0) (con documento).

15. radici complesse coniugate dell'equazione caratteristica (caso D<0) (c док-вом).

Dato un filone del 2° ordine a coefficienti costanti (5.1), dove , . Secondo il paragrafo precedente, la soluzione generale di un lode del 2° ordine è facilmente determinata se si conoscono due soluzioni parziali linearmente indipendenti di questa equazione. Un metodo semplice per trovare soluzioni parziali a un'equazione a coefficienti costanti è stato proposto da L. Euler. Questo metodo, che prende il nome di metodo di Eulero, consiste nel fatto che si cercano soluzioni parziali nella forma.

Sostituendo questa funzione nell'equazione (5.1), dopo aver ridotto di , otteniamo un'equazione algebrica, che viene chiamata caratteristica: (5.2)

La funzione sarà una soluzione dell'equazione (5.1) solo per quei valori di k che sono le radici dell'equazione caratteristica (5.2). A seconda del valore del discriminante sono possibili tre casi.

1. . Allora le radici dell'equazione caratteristica sono diverse: . Le soluzioni saranno linearmente indipendenti, perché e la soluzione generale (5.1) può essere scritta come .

2. . In questo caso e . Come seconda soluzione linearmente indipendente possiamo assumere la funzione . Verifichiamo che questa funzione soddisfa l'equazione (5.1). Veramente, , . Sostituendo queste espressioni nell'equazione (5.1), otteniamo

Oppure perché E .

Le soluzioni particolari sono linearmente indipendenti, perché . Pertanto la soluzione generale (5.1) ha la forma:

3. . In questo caso, le radici dell'equazione caratteristica sono complesse coniugate: , dove , . Si può verificare che soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione (5.1) saranno le funzioni e . Assicuriamoci che l'equazione (5.1) sia soddisfatta, ad esempio, dalla funzione y 1 . Veramente, , . Sostituendo queste espressioni nell'equazione (5.1), otteniamo

Entrambe le parentesi sul lato sinistro di questa uguaglianza sono identicamente uguali a zero. Veramente, ,

Pertanto, la funzione soddisfa l'equazione (5.1). Allo stesso modo, non è difficile verificare che esista una soluzione dell’equazione (5.1). Da , la soluzione generale sarà simile a: .

16. Teorema sulla struttura della soluzione generale degli LNDDE del secondo ordine (con dimostrazione).

Teorema 1. La soluzione generale dell'lndu f(x) del 2° ordine (6.1) è rappresentata come la somma della soluzione generale della corrispondente equazione omogenea (6.2) e di un'eventuale soluzione particolare dell'lndu (6.1).

Prova. Dimostriamo innanzitutto quale sarà la soluzione dell'equazione (6.1). Per fare ciò, sostituiamo f(x) nell’equazione (6.1). Questa uguaglianza è un'identità, perché ef(x). Di conseguenza, esiste una soluzione all'equazione (6.1).

Dimostriamo ora che questa soluzione è generale, cioè è possibile scegliere le costanti arbitrarie incluse in esso in modo tale che qualsiasi condizione iniziale della forma: , (6.3) sia soddisfatta. Secondo il teorema sulla struttura della soluzione generale di un'equazione differenziale omogenea lineare (Lod), la soluzione generale dell'equazione (6.2) può essere rappresentata nella forma , dove e sono soluzioni linearmente indipendenti di questa equazione. Quindi: e, quindi, le condizioni iniziali (6.3) possono essere scritte come: oppure (6.4)

Costanti arbitrarie e sono determinate da questo sistema di equazioni algebriche lineari unicamente per qualsiasi membro di destra, perché il determinante di questo sistema = è il valore del determinante di Wronski per soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione (6.2) per , e tale determinante, come abbiamo visto sopra, è diverso da zero. Determinando le costanti e dal sistema di equazioni (6.4) e sostituendole nell'espressione , otteniamo una soluzione particolare dell'equazione (6.1) che soddisfa le condizioni iniziali date. Il teorema è stato dimostrato.

17. Costruzione di una soluzione particolare di un LNDDE del secondo ordine nel caso del lato destro della forma

Lasciamo che i coefficienti nell'equazione (6.1) siano costanti, cioè l'equazione ha la forma: f(x) (7.1) dove .

Consideriamo un metodo per trovare una particolare soluzione dell'equazione (7.1) nel caso in cui il membro di destra f(x) abbia una forma speciale. Questo metodo è chiamato metodo dei coefficienti indefiniti e consiste nel selezionare una soluzione particolare a seconda del tipo del secondo membro di destra f(x). Consideriamo i lati destri del seguente modulo:

1. f(x) , dove è un polinomio di grado , e alcuni coefficienti, eccetto , possono essere uguali a zero. Indichiamo la forma in cui deve essere presa una particolare soluzione in questo caso.

a) Se il numero non è la radice dell'equazione caratteristica dell'equazione (5.1), allora scriviamo la soluzione parziale nella forma: , dove sono i coefficienti indeterminati, che devono essere determinati con il metodo dei coefficienti indefiniti.

b) Se è la radice della molteplicità della corrispondente equazione caratteristica, allora cerchiamo una soluzione particolare nella forma: , dove sono i coefficienti indeterminati.

18.f(x) , dove e sono polinomi di grado e, rispettivamente, e uno di questi polinomi può essere uguale a zero. Indichiamo il tipo di soluzione particolare in questo caso generale.

A) Se il numero non è la radice dell'equazione caratteristica dell'equazione (5.1), allora la forma della soluzione particolare sarà: , (7.2) dove sono i coefficienti indeterminati, e .

B) Se il numero è la radice dell'equazione caratteristica dell'equazione (5.1) della molteplicità , allora una soluzione particolare di lndu avrà la forma: , (7.3) cioè una soluzione particolare della forma (7.2) deve essere moltiplicata per . Nell'espressione (7.3) - polinomi con coefficienti indeterminati e loro grado .

19. Metodo di variazione per la risoluzione di LDDE del secondo ordine (metodo di Lagrange).

Trovare direttamente una soluzione particolare ad un'equazione, tranne nel caso di un'equazione a coefficienti costanti e con termini liberi speciali, è molto difficile. Pertanto, per trovare una soluzione generale dell'equazione, si utilizza solitamente il metodo della variazione delle costanti arbitrarie, che consente sempre di trovare la soluzione generale dell'equazione in quadrature se è noto il sistema fondamentale delle soluzioni della corrispondente equazione omogenea . Questo metodo è il seguente.

Secondo quanto sopra, la soluzione generale di un’equazione lineare omogenea è:

dove sono soluzioni di Lodu linearmente indipendenti su un certo intervallo X e sono costanti arbitrarie. Cercheremo una soluzione particolare da trovare nella forma (8.1), assumendo che non siano costanti, ma alcune, ancora sconosciute, funzioni di : . (8.2) Differenziamo l'uguaglianza (8.2): . (8.3)

Selezioniamo le funzioni in modo che valga l'uguaglianza: . Allora al posto della (8.3) avremo:

Differenziamo nuovamente questa espressione rispetto a . Di conseguenza otteniamo: . (8.5) Sostituiamo (8.2), (8.4), (8.5) nel 2° ordine lnd f(x):

Oppure f(x). (8.6)

Poiché - soluzioni di Lod, l'ultima uguaglianza (8.6) assume la forma: f(x).

Pertanto, la funzione (8.2) sarà una soluzione di lndu se le funzioni e soddisfano il sistema di equazioni:

(8.7)

Poiché il determinante di questo sistema è il determinante di Wronski per due soluzioni corrispondenti al lod linearmente indipendente su X, esso non si annulla in nessun punto dell'intervallo X. Pertanto, risolvendo il sistema (8.7), troviamo e : e . Integrando si ottiene , , dov'è il prod. veloce.

Ritornando all'uguaglianza (8.2), otteniamo una soluzione generale dell'equazione disomogenea: .

Righe

1. Serie di numeri. Concetti di base, proprietà delle serie convergenti. Segno necessario di convergenza (con dimostrazione).

Definizioni di base. Diamo una sequenza numerica infinita . Serie di numeriè chiamato un record composto dai membri di questa sequenza. Oppure .Numeri chiamato membri della serie;, è detto termine comune della serie. Come risultato del calcolo dei valori di questa funzione a N =1, N =2,N =3, ... si dovrebbero ottenere i termini della serie.

Sia data la serie (18.1.1). Compiliamo dai suoi membri le somme finite chiamate somme parziali di una serie:

Definizione. Se esiste un limite finito S successioni di somme parziali della serie (18.1.1) per , allora la serie si dice convergente; numero S chiamata somma della serie e scritta o .

Se non esiste (compreso infinito), viene chiamata la serie divergente.

Proprietà delle serie convergenti. Un segno necessario di convergenza di una serie. Termine comune di una serie convergente tende a zero come : Dimostrazione. Se, allora e, ma, quindi .

Dobbiamo iniziare a risolvere qualsiasi problema per studiare la convergenza di una serie verificando l'adempimento della condizione: se questa condizione non è soddisfatta, allora la serie ovviamente diverge. Questa condizione è necessaria, ma non sufficiente per la convergenza della serie: il termine generale della serie armonica è (18.1.2), ma questa serie diverge.

Definizione. Il resto della riga dopo N l'esimo termine è detto serie .

Istituzione educativa "Stato bielorusso

Accademia Agraria"

Dipartimento di Matematica Superiore

Linee guida

studiare l'argomento "Equazioni differenziali lineari del secondo ordine" da parte degli studenti della facoltà di contabilità di educazione per corrispondenza (NISPO)

Gorki, 2013

Equazioni differenziali lineari

secondo ordine con costanticoefficienti

1. Equazioni differenziali omogenee lineari

Equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti chiamata equazione della forma

quelli. un'equazione che contiene la funzione desiderata e le sue derivate solo al primo grado e non contiene i loro prodotti. In questa equazione E
- alcuni numeri e una funzione
dato in un certo intervallo
.

Se
sull'intervallo
, allora l'equazione (1) assumerà la forma

, (2)

e viene chiamato lineare omogeneo . Altrimenti, viene chiamata l'equazione (1). lineare disomogeneo .

Consideriamo la funzione complessa

, (3)

Dove
E
- funzioni reali. Se la funzione (3) è una soluzione complessa dell'equazione (2), allora la parte reale
e la parte immaginaria
soluzioni
separatamente sono soluzioni della stessa equazione omogenea. Pertanto, qualsiasi soluzione complessa all'equazione (2) genera due soluzioni reali a questa equazione.

Le soluzioni di un'equazione lineare omogenea hanno le seguenti proprietà:

Se è una soluzione dell'equazione (2), quindi la funzione
, Dove CON– una costante arbitraria sarà anche una soluzione dell’equazione (2);

Se E ci sono soluzioni all'equazione (2), quindi la funzione
sarà anche una soluzione dell'equazione (2);

Se E ci sono soluzioni dell'equazione (2), quindi la loro combinazione lineare
sarà anche una soluzione dell'equazione (2), dove E
– costanti arbitrarie.

Funzioni
E
sono chiamati linearmente dipendente sull'intervallo
, se tali numeri esistono E
, non uguale a zero allo stesso tempo, che su questo intervallo l'uguaglianza

Se l'uguaglianza (4) si verifica solo quando
E
, quindi le funzioni
E
sono chiamati linearmente indipendenti sull'intervallo
.

Esempio 1 . Funzioni
E
sono linearmente dipendenti, poiché
su tutta la linea numerica. In questo esempio
.

Esempio 2 . Funzioni
E
sono linearmente indipendenti su qualsiasi intervallo, poiché l'uguaglianza
è possibile solo nel caso in cui
, E
.

1. Costruzione di una soluzione generale ad un lineare omogeneo

equazioni

Per trovare una soluzione generale all'equazione (2), è necessario trovarne due soluzioni linearmente indipendenti E . Combinazione lineare di queste soluzioni
, Dove E
sono costanti arbitrarie e forniranno una soluzione generale a un'equazione lineare omogenea.

Cercheremo soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione (2) nella forma

, (5)

Dove – un certo numero. Poi
,
. Sostituiamo queste espressioni nell'equazione (2):

O
.

Perché
, Quello
. Quindi la funzione
sarà una soluzione all'equazione (2) se soddisferà l'equazione

. (6)

Viene chiamata l'equazione (6). equazione caratteristica per l'equazione (2). Questa equazione è un'equazione quadratica algebrica.

Permettere E ci sono radici di questa equazione. Possono essere reali e diversi, oppure complessi, oppure reali e uguali. Consideriamo questi casi.

Lascia che le radici E le equazioni caratteristiche sono reali e distinte. Quindi le soluzioni dell'equazione (2) saranno le funzioni
E
. Queste soluzioni sono linearmente indipendenti, essendo l'uguaglianza
può essere effettuato solo quando
, E
. Pertanto, la soluzione generale dell'equazione (2) ha la forma

,

Dove E
- costanti arbitrarie.

Esempio 3
.

Soluzione . L'equazione caratteristica per questo differenziale sarà
. Dopo aver risolto questa equazione quadratica, troviamo le sue radici
E
. Funzioni
E
sono soluzioni dell'equazione differenziale. La soluzione generale di questa equazione è
.

Numero complesso chiamata espressione della forma
, Dove E sono numeri reali e
chiamata unità immaginaria. Se
, quindi il numero
si chiama puramente immaginario. Se
, quindi il numero
è identificato con un numero reale .

Numero è chiamata parte reale di un numero complesso e - parte immaginaria. Se due numeri complessi differiscono tra loro solo per il segno della parte immaginaria, allora si dicono coniugati:
,
.

Esempio 4 . Risolvere l'equazione quadratica
.

Soluzione . Equazione discriminante
. Poi . Allo stesso modo,
. Pertanto, questa equazione quadratica ha radici complesse coniugate.

Lascia che le radici dell'equazione caratteristica siano complesse, cioè
,
, Dove
.
,
Le soluzioni dell'equazione (2) possono essere scritte nella forma
,
O

,
.

.
E
Secondo le formule di Eulero

Poi , . Come è noto, se una funzione complessa è la soluzione di un'equazione lineare omogenea, le soluzioni di questa equazione sono sia la parte reale che quella immaginaria di questa funzione. Pertanto, le soluzioni dell'equazione (2) saranno le funzioni
E
. Dall'uguaglianza

Dove E
- costanti arbitrarie.

può essere eseguito solo se , allora queste soluzioni sono linearmente indipendenti. Pertanto, la soluzione generale dell'equazione (2) ha la forma
.

Soluzione Esempio 5
. Trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale
,
. Funzioni
E
sono soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione differenziale. La soluzione generale di questa equazione ha la forma .

Lascia che le radici dell'equazione caratteristica siano reali e uguali, cioè
. Allora le soluzioni dell'equazione (2) sono le funzioni
E
. Queste soluzioni sono linearmente indipendenti, poiché l'espressione può essere identicamente uguale a zero solo quando
E
. Pertanto, la soluzione generale dell'equazione (2) ha la forma
.

Esempio 6 , allora queste soluzioni sono linearmente indipendenti. Pertanto, la soluzione generale dell'equazione (2) ha la forma
.

Soluzione . Equazione caratteristica
ha radici uguali
. In questo caso, le soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione differenziale sono le funzioni
E
. La soluzione generale ha la forma
.

Equazione differenziale lineare del secondo ordine chiamata equazione della forma

sì"" + P(X)sì" + Q(X)sì = F(X) ,

Dove sìè la funzione da trovare, e P(X) , Q(X) E F(X) - funzioni continue su un certo intervallo ( un, b) .

Se il lato destro dell'equazione è zero ( F(X) = 0), allora l'equazione viene chiamata equazione lineare omogenea . La parte pratica di questa lezione sarà principalmente dedicata a tali equazioni. Se il lato destro dell'equazione non è uguale a zero ( F(X) ≠ 0), allora l'equazione si chiama .

Nei problemi per cui dobbiamo risolvere l'equazione sì"" :

sì"" = −P(X)sì" − Q(X)sì + F(X) .

Le equazioni differenziali lineari del secondo ordine hanno un'unica soluzione Problemi di Cauchy .

Equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine e sua soluzione

Consideriamo un'equazione differenziale omogenea lineare del secondo ordine:

sì"" + P(X)sì" + Q(X)sì = 0 .

Se sì1 (X) E sì2 (X) sono soluzioni particolari di questa equazione, allora sono vere le seguenti affermazioni:

1) sì1 (X) + sì 2 (X) - è anche una soluzione a questa equazione;

2) Ci1 (X) , Dove C- Anche una costante arbitraria (costante) è una soluzione a questa equazione.

Da queste due affermazioni segue che la funzione

C1 sì 1 (X) + C 2 sì 2 (X)

è anche una soluzione a questa equazione.

Sorge una domanda giusta: è questa la soluzione Soluzione generale di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine , cioè una soluzione tale in cui, per valori diversi C1 E C2 È possibile ottenere tutte le possibili soluzioni dell’equazione?

La risposta a questa domanda è: forse, ma a determinate condizioni. Questo condizione su quali proprietà dovrebbero avere particolari soluzioni sì1 (X) E sì2 (X) .

E questa condizione è chiamata condizione di indipendenza lineare delle soluzioni parziali.

Teorema. Funzione C1 sì 1 (X) + C 2 sì 2 (X) è una soluzione generale a un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine se le funzioni sì1 (X) E sì2 (X) linearmente indipendenti.

Definizione. Funzioni sì1 (X) E sì2 (X) sono detti linearmente indipendenti se il loro rapporto è una costante diversa da zero:

sì1 (X)/sì 2 (X) = k ; k = cost ; k ≠ 0 .

Tuttavia, determinare per definizione se queste funzioni sono linearmente indipendenti è spesso molto laborioso. Esiste un modo per stabilire l'indipendenza lineare utilizzando il determinante di Wronski W(X) :

Se il determinante di Wronski è diverso da zero, allora le soluzioni sono linearmente indipendenti . Se il determinante di Wronski è zero, allora le soluzioni sono linearmente dipendenti.

Esempio 1. Trovare la soluzione generale di un'equazione differenziale omogenea lineare.

Soluzione. Integriamo due volte e, come è facile vedere, affinché la differenza tra la derivata seconda di una funzione e la funzione stessa sia uguale a zero, le soluzioni devono essere associate ad un esponenziale la cui derivata è uguale a se stessa. Cioè, le soluzioni parziali sono e .

Dal determinante di Wronski

non è uguale a zero, allora queste soluzioni sono linearmente indipendenti. Pertanto, la soluzione generale di questa equazione può essere scritta come:

.

Equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti: teoria e pratica

Equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti chiamata equazione della forma

sì"" + pi" + qy = 0 ,

Dove P E Q- valori costanti.

Il fatto che si tratti di un'equazione del secondo ordine è indicato dalla presenza della derivata seconda della funzione desiderata, e la sua omogeneità è indicata dallo zero a destra. I valori già menzionati sopra sono detti coefficienti costanti.

A risolvere un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti , bisogna prima risolvere la cosiddetta equazione caratteristica della forma

k² + pq + Q = 0 ,

che, come si può vedere, è un'equazione quadratica ordinaria.

A seconda della soluzione dell'equazione caratteristica, sono possibili tre diverse opzioni soluzioni di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti , che ora analizzeremo. Per completezza, assumeremo che tutte le soluzioni particolari siano state testate dal determinante di Wronski e che esso non sia uguale a zero in tutti i casi. Gli scettici, tuttavia, possono verificarlo da soli.

Le radici dell'equazione caratteristica sono reali e distinte

In altre parole, . In questo caso, la soluzione di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti ha la forma

.

Esempio 2. Risolvere un'equazione differenziale omogenea lineare

.

Esempio 3. Risolvere un'equazione differenziale omogenea lineare

.

Soluzione. L'equazione caratteristica ha la forma, le sue radici e sono reali e distinte. Le corrispondenti soluzioni parziali dell'equazione sono: e . La soluzione generale di questa equazione differenziale ha la forma

.

Le radici dell'equazione caratteristica sono reali e uguali

Questo è, . In questo caso, la soluzione di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti ha la forma

.

Esempio 4. Risolvere un'equazione differenziale omogenea lineare

.

Soluzione. Equazione caratteristica ha radici uguali. Le corrispondenti soluzioni parziali dell'equazione sono: e . La soluzione generale di questa equazione differenziale ha la forma

Esempio 5. Risolvere un'equazione differenziale omogenea lineare

.

Soluzione. L'equazione caratteristica ha radici uguali. Le corrispondenti soluzioni parziali dell'equazione sono: e . La soluzione generale di questa equazione differenziale ha la forma

Hanno la forma le equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti

dove p e q sono numeri reali. Diamo un'occhiata ad esempi di come vengono risolte equazioni differenziali omogenee del secondo ordine con coefficienti costanti.

La soluzione di un'equazione differenziale omogenea lineare del secondo ordine dipende dalle radici dell'equazione caratteristica. L'equazione caratteristica è l'equazione k²+pk+q=0.

1) Se le radici dell'equazione caratteristica sono numeri reali diversi:

allora la soluzione generale di un'equazione differenziale omogenea lineare del secondo ordine a coefficienti costanti ha la forma

2) Se le radici dell'equazione caratteristica sono numeri reali uguali

(ad esempio, con discriminante uguale a zero), allora la soluzione generale di un'equazione differenziale omogenea del secondo ordine è

3) Se le radici dell'equazione caratteristica sono numeri complessi

(ad esempio, con discriminante uguale a un numero negativo), allora la soluzione generale di un'equazione differenziale omogenea del secondo ordine viene scritta nella forma

Esempi di risoluzione di equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti

Trova soluzioni generali di equazioni differenziali omogenee del secondo ordine:

Compiliamo l'equazione caratteristica: k²-7k+12=0. Il suo discriminante è D=b²-4ac=1>0, quindi le radici sono numeri reali diversi.

Quindi, la soluzione generale di questo DE omogeneo del 2° ordine è

Componiamo e risolviamo l'equazione caratteristica:

Le radici sono reali e distinte. Quindi abbiamo una soluzione generale a questa equazione differenziale omogenea:

In questo caso, l'equazione caratteristica

Le radici sono diverse e valide. Pertanto, la soluzione generale per un'equazione differenziale omogenea del 2° ordine è qui

Equazione caratteristica

Poiché le radici sono reali e uguali, per questa equazione differenziale scriviamo la soluzione generale come

L'equazione caratteristica è qui

Poiché il discriminante è un numero negativo, le radici dell'equazione caratteristica sono numeri complessi.

La soluzione generale di questa equazione differenziale omogenea del secondo ordine ha la forma

Equazione caratteristica

Da qui troviamo la soluzione generale a questo differenziale. equazioni:

Esempi di autotest.

§ 9. Equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti

Definizione di LODE del secondo ordine a coefficienti costanti

Equazione caratteristica:

Caso 1. Discriminante maggiore di zero

Caso 2. Il discriminante è zero

Caso 3. Discriminante inferiore a zero

Algoritmo per trovare una soluzione generale ad un LODE del secondo ordine a coefficienti costanti

§ 10. Equazioni differenziali lineari disomogenee del secondo ordine a coefficienti costanti

Determinazione degli LPDE del secondo ordine a coefficienti costanti

Metodo di variazione delle costanti

Metodo per risolvere LNDDE con un secondo membro destro speciale

Teorema sulla struttura della soluzione generale della LNDE

1. Funzione R (X) – polinomio di grado T

2. Funzione R (X) – prodotto di un numero e di una funzione esponenziale

3. Funzione R (X) – somma di funzioni trigonometriche

Algoritmo per trovare una soluzione generale ad un LPDE con un membro destro speciale

Applicazione

§ 9. Equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti

Viene chiamata l'equazione differenziale del secondo ordine Equazione differenziale omogenea lineare (LODE) a coefficienti costanti, se assomiglia a:

Dove P E Q

Per trovare una soluzione generale ad un LODE è sufficiente trovare le sue due diverse soluzioni parziali e . Allora la soluzione generale del LODE avrà la forma

Dove CON 1 e CON

Leonard Euler ha proposto di cercare soluzioni particolari dell'LDE nella forma

Dove k– un certo numero.

Differenziando questa funzione due volte e sostituendo le espressioni con A, sì" E sì" nell'equazione, otteniamo:

L'equazione risultante viene chiamata equazione caratteristica LODU. Per compilarlo è sufficiente sostituire nell'equazione originale sì", sì" E A di conseguenza a k 2 , k e 1:

Avendo risolto l'equazione caratteristica, cioè trovare le radici k 1 e k 2, troveremo anche soluzioni particolari all'originale LODE.

L'equazione caratteristica è un'equazione quadratica, le sue radici si trovano attraverso il discriminante

In questo caso sono possibili i tre casi seguenti.

Caso 1. Discriminante maggiore di zero , quindi, le radici k 1 e k 2 validi e distinti:

k 1¹ k 2

Dove CON 1 e CON 2 – costanti arbitrarie indipendenti.

Caso 2. Il discriminante è zero , quindi, le radici k 1 e k 2 reali e uguali:

k 1 = k 2 = k

In questo caso la soluzione generale del LODE ha la forma:

Dove CON 1 e CON 2 – costanti arbitrarie indipendenti.

Caso 3. Discriminante inferiore a zero . In questo caso l’equazione non ha radici reali:

Non ci sono radici.

In questo caso la soluzione generale del LODE ha la forma:

Dove CON 1 e CON 2 – costanti indipendenti arbitrarie,

Pertanto, trovare una soluzione generale a un LODE del secondo ordine con coefficienti costanti si riduce a trovare le radici dell'equazione caratteristica e utilizzare formule per la soluzione generale dell'equazione (senza ricorrere al calcolo degli integrali).

Algoritmo per trovare una soluzione generale ad un LODE del secondo ordine a coefficienti costanti:

1. Riduci l'equazione alla forma dove P E Q– alcuni numeri reali.

2. Crea un'equazione caratteristica.

3. Trova il discriminante dell'equazione caratteristica.

4. Usando le formule (vedi Tabella 1), a seconda del segno del discriminante, scrivi la soluzione generale.

Tabella 1

Tabella delle possibili soluzioni generali