5. Параметрическое уравнение циклоиды и уравнение в декартовых координатах

Допустим, что у нас дана циклоида, образованная окружностью радиуса а с центром в точке А.

Если выбрать в качестве параметра, определяющего положение точки, угол t=∟NDM на который успел повернуться радиус, имевший в начале качения вертикально е положение АО, то координаты х и у точки М выразятся следующим образом:

х= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,

y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t

Итак параметрические уравнения циклоиды имеют вид:

При изменении t от -∞ до +∞ получится кривая, состоящая из бесчисленного множества таких ветвей, какая изображена на данном рисунке.

Так же, помимо параметрического уравнения циклоиды, существует и ее уравнение в декартовых координатах:

Где r – радиус окружности, образующей циклоиду.

6. Задачи на нахождение частей циклоиды и фигур, образованных циклоидой

Задача №1. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой задано параметрически

и осью Ох.

Решение. Для решения данной задачи, воспользуемся известными нам фактами из теории интегралов, а именно:

Площадь криволинейного сектора.

Рассмотрим некоторую функцию r = r(ϕ), определенную на [α, β].

ϕ 0 ∈ [α, β] соответствует r 0 = r(ϕ 0) и, значит, точка M 0 (ϕ 0 , r 0), где ϕ 0 ,

r 0 - полярные координаты точки. Если ϕ будет меняться, «пробегая» весь[α, β], то переменная точка M опишет некоторую кривую AB, заданную

уравнением r = r(ϕ).

Определение 7.4. Криволинейным сектором называется фигура, ограниченная двумя лучами ϕ = α, ϕ = β и кривой AB, заданной в полярных

координатах уравнением r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

Справедлива следующая

Теорема. Если функция r(ϕ) > 0 и непрерывна на [α, β], то площадь

криволинейного сектора вычисляется по формуле:

Эта теорема была доказана ранее в теме определенного интеграла.

Исходя из приведенной выше теоремы, наша задача о нахождении площади фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой задано параметрические x= a (t – sin t) , y= a (1 – cos t) , и осью Ох, сводится к следующему решению.

Решение. Из уравнения кривой dx = a(1−cos t) dt. Первая арка циклоиды соответствует изменению параметра t от 0 до 2π. Следовательно,

Задача №2. Найти длину одной арки циклоиды

Так же в интегральном исчислении изучалась следующая теорема и следствие из нее.

Теорема. Если кривая AB задана уравнением y = f(x), где f(x) и f ’ (x) непрерывны на , то AB является спрямляемой и

Следствие. Пусть AB задана параметрически

L AB = (1)

Пусть функции x(t), y(t) непрерывно-дифференцируемые на [α, β]. Тогда

формулу (1) можно записать так

Сделаем замену переменных в этом интеграле x = x(t), тогда y’(x)= ;

dx= x’(t)dt и, следовательно:

А теперь вернемся к решении нашей задачи.

Решение. Имеем , а поэтому

Задача №3. Надо найти площадь поверхности S, образованной от вращения одной арки циклоиды

L={(x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – cost), 0≤ t ≤ 2π}

В интегральном исчислении существует следующая формула для нахождения площади поверхности тела вращения вокруг оси х кривой, заданной на отрезке параметрически: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤t ≤t 1)

Применяя эту формулу для нашего уравнения циклоиды получаем:

Задача №4. Найти объем тела, полученного при вращении арки циклоиды

Вдоль оси Ох.

В интегральном исчислении при изучении объемов есть следующее замечание:

Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию задана параметрическими уравнениями и функции в этих уравнениях удовлетворяют условиям теоремы о замене переменной в определенном интеграле, то объем тела вращения трапеции вокруг оси Ох, будет вычисляться по формуле

Воспользуемся этой формулой для нахождения нужного нам объема.

Задача решена.

Заключение

Итак, в ходе выполнения данной работы были выяснены основные свойства циклоиды. Так же научились строить циклоиду, выяснила геометрический смысл циклоиды. Как оказалось циклоида имеет огромное практическое применение не только в математике, но и в технологических расчетах, в физике. Но у циклоиды есть и другие заслуги. Ею пользовались ученые XVII века при разработке приемов исследования кривых линий, - тех приемов, которые привели в конце концов к изобретению дифференциального и интегрального исчислений. Она же была одним из «пробных камней», на которых Ньютон, Лейбниц и их первые исследователи испытывали силу новых мощных математических методов. Наконец, задача о брахистохроне привела к изобретению вариационного исчисления, столь нужного физикам сегодняшнего дня. Таким образом, циклоида оказалась неразрывно связанной с одним из самых интересных периодов в истории математики.

Литература

1. Берман Г.Н. Циклоида. – М., 1980

2. Веров С.Г. Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды // Квант. – 1975. - №5

3. Веров С.Г. Тайны циклоиды// Квант. – 1975. - №8.

4. Гаврилова Р.М., Говорухина А.А., Карташева Л.В., Костецкая Г.С.,Радченко Т.Н. Приложения определенного интеграла. Методические указания и индивидуальные задания для студентов 1 курса физического факультета. - Ростов н/Д: УПЛ РГУ, 1994.

5. Гиндикин С.Г. Звездный век циклоиды // Квант. – 1985. - №6.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. – М.,1969

Такая линия и называется «огибающей». Всякая кривая линия есть огибающая своих касательных.

Материя и движение, и тот метод, который они составляют, дают возможность каждому реализовать свои потенциальные возможности в познании истины. Разработка методики развития диалектико-материалистической формы мышления и овладение аналогичным ему методом познания является вторым шагом на пути решения проблемы развития и реализации возможностей Человека. Фрагмент XX Возможности...

Обстановке могут заболеть неврастенией – неврозом, основу клинической картины которого составляет астеническое состояние. И в случае неврастении, и в случае декомпенсации неврастенической психопатии существо душевной (психологической) защиты сказывается уходом от трудностей в раздражительную слабость с вегетативными дисфункциями: либо от нападения человек бессознательно «отбивается»больше...

Различных видах деятельности; развитии пространственного воображения и пространственных представлений, образного, пространственного, логического, абстрактного мышления школьников; формировании умений применять геометро-графические знания и умения для решения различных прикладных задач; ознакомлении с содержанием и последовательностью этапов проектной деятельности в области технического и...

Дуги. Спиралями являются также эвольвенты замкнутых кривых, например эвольвента окружности. Названия некоторым спиралям даны по сходству их полярных уравнений с уравнениями кривых в декартовых координатах, например: · параболическая спираль (а - r)2 = bj, · гиперболическая спираль: r = а/j. · Жезл: r2 = a/j · si-ci-cпираль, параметрические уравнения которой имеют вид: , = , путями .

Иногда кривая определяется с точностью до , то есть с точностью до минимального отношения эквивалентности такого что параметрические кривые

эквивалентны, если существует непрерывная (иногда неубывающая) h из отрезка [a 1 ,b 1 ] на отрезок [a 2 ,b 2 ], такая что

Определяемые этим отношением называются или просто кривыми.

Аналитические определения

В курсах аналитической геометрии доказывается, что среди линий, записываемых в декартовых прямоугольных (или даже в общих аффинных) координатах общим уравнением второй степени

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

(где хотя бы один из коэффициентов A, B, C отличен от нуля) встречаются лишь следующие восемь типов линий:

а) эллипс;

б) гипербола;

в) парабола (невырожденные кривые второго порядка);

г) пара пересекающихся прямых;

д) пара параллельных прямых;

е) пара совпавших прямых (одна прямая);

ж) одна точка (вырожденные линии второго порядка);

з) "линия", совсем не содержащая точек.

Обратно, любая линия каждого из указанных восьми типов записывается в декартовых прямоугольных координатах некоторым уравнением второго порядка. (В курсах аналитической геометрии обычно говорят о девяти (а не о восьми) типах конических сечений, поскольку там различают "мнимый эллипс" и "пару мнимых параллельных прямых", - геометрически эти "линии" одинаковы, поскольку обе не содержат ни одной точки, но аналитически они записываются разными уравнениями.) Поэтому (вырожденные и невырожденные) конические сечения можно определить также как линии второго порядка.

В кривая на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F ( x , y ) = 0 . При этом на функцию F накладываются ограничения, которые гарантируют, что это уравнение имеет бесконечное множество несовпадающих решений и

это множество решений не заполняет «куска плоскости».

Алгебраические кривые

Важный класс кривых составляют те, для которых функция F ( x , y ) есть от двух переменных. В этом случае кривая, определяемая уравнением F ( x , y ) = 0 , называется .

Алгебраические кривые, задаваемые уравнением 1-й степени, суть .

Уравнение 2-й степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет , то есть вырожденные и невырожденные .

Примеры кривых, задаваемых уравнениями 3-ей степени: , .

Примеры кривых 4-ой степени: и .

Пример кривой 6-ой степени: .

Пример кривой, определяемой уравнением чётной степени: (многофокусная) .

Алгебраические кривые, определяемые уравнениями высших степеней, рассматриваются в . При этом большую стройность приобретает их теория, если рассмотрение ведется на . В этом случае алгебраическая кривая определяется уравнением вида

F ( z 1 , z 2 , z 3 ) = 0 ,

где F - многочлен трех переменных, являющихся точек.

Типы кривых

Плоская кривая - кривая, все точки которой лежат в одной плоскости.

(простая линия или жорданова дуга, также контур) - множество точек плоскости или пространства, находящихся во взаимно однозначном и взаимно непрерывном соответствии с отрезками прямой.

Путь - отрезка в .

аналитические кривые, не являющиеся алгебраическими. Более точно - кривые, которые можно задать через линию уровня аналитической функции (или, в многомерном случае, системы функций).

Синусоида,

Циклоида,

Спираль Архимеда,

Трактриса,

Цепная линия,

Гиперболическая спираль и др.

1. Способы задания кривых:

аналитический – кривая задана математическим уравнением;

графический – кривая задана визуально на носителе графической информации;

табличный – кривая задана координатами последовательного ряда точек.

параметрический (наиболее общий способ задать уравнение кривой) :

где - гладкие функции параметра t , причем

(x ") 2 + (y ") 2 + (z ") 2 > 0 (условие регулярности).

Часто удобно использовать инвариантную и компактную запись уравнения кривой с помощью :

где в левой части стоит точек кривой, а правая определяет его зависимость от некоторого параметра t . Раскрыв эту запись в координатах, мы получаем формулу (1).

1. Циклоида.

История исследования циклоиды связана с именами таких великих учёных, философов, математиков и физиков, как Аристотель, Птолемей, Галилей, Гюйгенс, Торричелли и др.

Циклоида (от κυκλοειδής - круглый) - , которую можно определить как траекторию точки, лежащей на границе круга, катящегося без скольжения по прямой. Эту окружность называют порождающей.

Одним из древнейших способов образования кривых является кинематический способ, при котором кривая получается как траектория движения точки. Кривая, которая получается как траектория движения точки, закрепленной на окружности, катящейся без скольжения по прямой, по окруж­ности или другой кривой, называется циклоидальной, что в переводе с греческого языка означает кругообразная, напоминающая о круге.

Рассмотрим сначала случай, когда окружность катится по прямой. Кривая, которую описывает точка, закрепленная на окружности, катящейся без скольжения по прямой линии, называется циклоидой.

Пусть окружность радиуса R катится по прямой а. С – точка, закрепленная на окружности, в начальный момент времени находящаяся в по­ложении А (рис. 1). Отложим на прямой а отрезок АВ, равный длине окружности, т.е. АВ = 2 π R. Разделим этот отрезок на 8 равных частей точками А1, А2, ..., А8 = В.

Ясно, что когда окружность, катясь по прямой а, сделает один оборот, т.е. повернется на 360, то она займет положение (8), а точка С переместится из положения А в положение В.

Если окружность сделает половину полного оборота, т.е. повернется на 180, то она займет положение (4), а точка С переместится в самое верхнее положение С4.

Если окружность повернется на угол 45, то окружность переместится в положение (1), а точка С переместится в положение С1.

На рисунке 1 показаны также другие точки циклоиды, соответствующие оставшимся углам поворота окружности, кратным 45.

Соединяя плавной кривой построенные точки, получим участок циклоиды, соответствующий одному полному обороту окружности. При следующих оборотах будут получаться такие же участки, т.е. циклоида будет состоять из периодически повторяющегося участка, называемого аркой циклоиды.

Обратим внимание на положение касательной к циклоиде (рис. 2). Если велосипедист едет по мокрой дороге, то оторвавшиеся от колеса капли будут лететь по касательной к циклоиде и при отсутствии щитков могут забрызгать спину велосипедиста.

Первым, кто стал изучать циклоиду, был Галилео Галилей (1564 – 1642). Он же придумал и ее название.

Свойства циклоиды:

Циклоида обладает целым рядом замечательных свойств. Упомянем о некоторых из них.

Свойство 1. (Ледяная гора.) В 1696 году И.Бернулли поставил задачу о нахождении кривой наискорейшего спуска, или, иначе говоря, задачу о том, какова должна быть форма ледяной горки, чтобы, скатываясь по ней, совершить путь из начальной точки А в конечную точку В за кратчайшее время (рис. 3, а). Искомую кривую назвали "брахистохроной", т.е. кривой кратчайшего времени.

Ясно, что кратчайшим путем из точки A в точку B является отрезок AB. Однако при таком прямолинейном движении скорость набирается медленно и затраченное на спуск время оказывается большим (рис. 3, б).

Скорость набирается тем быстрее, чем круче спуск. Однако при крутом спуске удлиняется путь по кривой и тем самым увеличивается время его прохождения.

Среди математиков, решавших эту задачу, были: Г.Лейбниц, И.Ньютон, Г.Лопиталь и Я.Бернулли. Они доказали, что искомой кривой является перевернутая циклоида (рис. 3, а). Методы, развитые этими учеными при решении задачи о брахистохроне, положили начало новому направлению математики - вариационному исчислению.

Свойство 2. (Часы с маятником.) Часы с обычным маятником не могут идти точно, поскольку период колебаний маятника зависит от его амплитуды: чем больше амплитуда, тем больше период. Голландский ученый Христиан Гюйгенс (1629 – 1695) задался вопросом, по какой кривой должен двигаться шарик на нитке маятника, чтобы период его колебаний не зависел от амплитуды. Заметим, что в обычном маятнике кривой, по которой движется шарик, является окружность (рис. 4).

Искомой кривой оказалась перевернутая циклоида. Если, например, в форме перевернутой циклоиды изготовить желоб и пустить по нему шарик, то период движения шарика под действием силы тяжести не будет зависеть от начального его положения и от амплитуды (рис. 5). За это свойство циклоиду называют также "таутохрона" – кривая равных времен.

Гюйгенс изготовил две деревянные дощечки с краями в форме циклоиды, ограничивающие движение нити слева и справа (рис. 6). При этом сам шарик будет двигаться по перевернутой циклоиде и, таким образом, период его колебаний не будет зависеть от амплитуды.

Из этого свойства циклоиды, в частности следует, что независимо от того, с какого места ледяной горки в форме перевернутой циклоиды мы начнем спуск, на весь путь до конечной точки мы затратим одно и то же время.

Уравнение циклоиды

1.Уравнение циклоиды удобно записывать через α – угол поворота окружности, выраженный в радианах, заметим, что α также равняется пути, пройденному производящей окружностью по прямой.

x=rα – r sin α

y=r – r cos α

2.Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса r .

Циклоида описывается параметрическими уравнениями

x = rt – r sin t ,

y = r – r cos t .

Уравнение в :

Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения:

Из истории о циклоиде

Первым из учёных обратил внимание на циклоиду в , но серьёзное исследование этой кривой началось только в .

Первым, кто стал изучать циклоиду, был Галилео Галилей (1564-1642) – знаменитый итальянский астроном, физик и просветитель. Он же придумал название «циклоида», что значит: «напоминающая о круге». Сам Галилей о циклоиде ничего не писал, но о его работах в этом направлении упоминают ученики и последователи Галилея: Вивиани, Торичелли и другие. Торичелли – известный физик, изобретатель барометра – уделял немало времени и математике. В эпоху Возрождения не было узких ученых-специалистов. Талантливый человек занимался и философией, и физикой, и математикой и всюду получал интересные результаты и делал крупные открытия. Немного позже итальянцев за циклоиду принялись французы, назвавшие её «рулеттой» или «трохоидой». В 1634 году Роберваль – изобретатель известной системы весов системы весов – вычислил площадь, ограниченную аркой циклоиды и её основанием. Содержательное исследование циклоиды провёл современник Галилея . Среди , то есть кривых, уравнение которых не может быть записано в виде от x , y , циклоида - первая из исследуемых.

Писал о циклоиде:

Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели её древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздём колеса.

Новая кривая быстро завоевала популярность и подверглась глубокому анализу, в котором участвовали , , Ньютон, , братья Бернулли и другие корифеи науки XVII-XVIII веков. На циклоиде активно оттачивались методы появившегося в те годы . Тот факт, что аналитическое исследование циклоиды оказалось столь же успешным, как и анализ алгебраических кривых, произвёл большое впечатление и стал важным аргументом в пользу «уравнения в правах» алгебраических и трансцендентных кривых. Эпициклоида

Некоторые виды циклоид

Эпициклоида - траектория точки А, лежащей на окружности диаметра D, которая катится без скольжения по направляющей окружности радиуса R (касание внешнее).

Построение эпициклоиды выполняется в следующей последовательности:

Из центра 0 проводят вспомогательную дугу радиусом равным 000=R+r;

Из точек 01, 02, ...012, как из центров, проводят окружности радиуса r до пересечения с вспомогательными дугами в точках А1, А2, ... А12, которые принадлежат эпициклоиде.

Гипоциклоида

Гипоциклоида - траектория точки А, лежащей на окружности диаметра D, которая катится без скольжения по направляющей окружности радиуса R (касание внутреннее).

Построение гипоциклоиды выполняется в следующей последовательности:

Производящую окружность радиуса r и направляющую окружность радиуса R проводят так, чтобы они касались в точке А;

Производящую окружность делят на 12 равных частей, получают точки 1, 2, ... 12;

Из центра 0 проводят вспомогательную дугу радиусом равным 000=R-r;

Центральный угол a определяют по формуле a =360r/R.

Делят дугу направляющей окружности, ограниченную углом a, на 12 равных частей, получают точки 11, 21, ...121;

Из центра 0 через точки 11, 21, ...121 проводят прямые до пересечения с вспомогательной дугой в точках 01, 02, ...012;

Из центра 0 проводят вспомогательные дуги через точки деления 1, 2, ... 12 производящей окружности;

Из точек 01, 02, ...012, как из центров, проводят окружности радиуса r до пересечения с вспомогательными дугами в точках А1, А2, ... А12, которые принадлежат гипоциклоиде.

1. Кардиоида.

Кардиоида ( καρδία - сердце, Кардиоида является частным случаем Термин «кардиоида» введен Кастиллоном в 1741 году.

Если взять окружность и в качестве полюса точку на ней, то кардиоиду получим только в том случае, если откладывать отрезки, равные диаметру окружности. При других величинах откладываемых отрезков конхоидами будут удлиненные или укороченные кардиоиды. Эти удлиненные и укороченные кардиоиды называются иначе улитками Паскаля.

Кардиоида имеет различные применения в технике. В форме кардиоиды делают эксцентрики, кулачки у машин. Ею пользуются иногда при вычерчивании зубчатых колес. Кроме того, она применяется в оптической технике.

Свойства кардиоиды

Кардиоида - В М на подвижной окружности будет описывать замкнутую траекторию. Эта плоская кривая называется кардиоидой.

2)Кардиоиду можно получить и другим способом. Отметим на окружности точку О и проведем из нее луч. Если от точки А пересечения этого луча с окружностью отложить отрезок АМ, по длине равный диаметру окружности, и луч вращать вокруг точки О , то точка М будет двигаться по кардиоиде.

3)Кардиоида может быть также представлена как кривая, касающаяся всех окружностей, имеющих центры на данной окружности и проходящих через ее фиксированную точку. Когда построены несколько окружностей, кардиоида оказывается построенной как бы сама собой.

4)Есть еще столь же изящный, сколь, неожиданный способ увидеть кардиоиду. На рисунке можно увидеть точечный источник света на окружности. После того как лучи света отразятся в первый раз от окружности, они идут по касательной к кардиоиде. Представьте себе теперь, что окружность – это края чашки, в одной точке ее отражается яркая лампочка. В чашку налит черный кофе, позволяющий увидеть яркие отраженные лучи. Кардиоида в результате оказывается выделенной лучами света.

1. Астроида.

Астроида (от греч. astron - звезда и eidos - вид), плоская кривая, описываемая точкой окружности, которая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без скольжения. Принадлежит к гипоциклоидам. Астроида - алгебраическая кривая 6-го порядка.

Астроида.

Длина всей астроиды равна шести радиусам неподвижного круга, а площадь, ею ограниченная,- трем восьмым неподвижного круга.

Отрезок касательной к астроиде, заключенный между двумя взаимно перпендикулярными радиусами неподвижного круга, проведенными в острия астроиды, равен радиусу неподвижного круга, независимо от того, как была выбрана точка.

Свойства астроиды

Имеются четыре каспа .

Длина дуги от точки с 0 до огибающей

семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.

Астроида является 6-го порядка.

Уравнения астроиды

Уравнение в декартовых прямоугольных координатах: | x | 2 / 3 + | y | 2 / 3 = R 2 / 3 параметрическое уравнение: x = Rcos 3 t y = Rsin 3 t

Способ построения астроиды

Чертим две взаимно перпендикулярные прямые и проводим ряд отрезков длиною R , концы которых лежат на этих прямых. На рисунке изображено 12 таких отрезков (включая отрезки самих взаимно перпендикулярных прямых). Чем больше проведем отрезков, тем точнее получим кривую. Построим теперь огибающую всех этих отрезков. Этой огибающей будет астроида.

1. Заключение

В работе приведены примеры задач с различными видами кривых, определяемых различными уравнениями или удовлетворяющих некоторому математическому условию. В частности циклоидальные кривые, способы их задания, различные способы построения, свойства этих кривых.

Свойства циклоидальных кривых очень часто используется в механике в зубчатых передачах, что существенно повышает прочность деталей в механизмах.

Для начала необходимо выяснить, какая же кривая называется циклоидой.

Рассмотрим круг радиуса a с центром в точке А. Пусть рассматриваемый круг катится без скольжения вдоль оси ОХ. Кривая, описываемая при этом любой точкой окружности, называется циклоидой .

Это определение циклоиды никогда не удовлетворяло ученых: ведь оно опирается на механические понятия -- скорости, сложения движений и т. д. Поэтому геометры всегда стремились дать циклоиде «чисто геометрическое определение» Но для того, чтобы дать такое определение, нужно прежде всего изучить основные свойства циклоиды, пользуясь ее механическим определением. Выбрав наиболее простое и характерное из этих свойств, можно положить его в основу геометрического определения.

Начнем с изучения касательной и нормали к циклоиде. Что такое касательная к кривой линии, каждый представляет себе достаточно ясно; поэтому его приводить здесь не будем. Нормалью называется перпендикуляр к касательной, восставленный в точке касания. На рис. 1.1 изображена касательная и нормаль к кривой АВ в ее точке М.

Рассмотрим циклоиду (рис.1.2). Круг катится по прямой АВ. Допустим, что вертикальный радиус круга, проходивший в начальный момент через нижнюю точку циклоиды, успел повернуться на угол ц и занял положение ОМ. Иными словами, мы считаем, что отрезок М о Т составляет такую долю отрезка М о М 1 , какую угол ц составляет от полного оборота. При этом точка М 0 пришла в точку М.

Точка М и есть интересующая нас точка циклоиды.

Стрелочка OH изображает скорость движения центра катящегося круга. Такой же горизонтальной скоростью обладают все точки круга, в том числе и точка М. Но, кроме того, точка М принимает участие во вращении круга. Скорость МС, которую точка М на окружности получает при этом вращении, направлена по касательной МС 1 к окружности, т. е. перпендикулярно к радиусу ОМ. А т.к. в этом случае скорость МС по величине равна скорости MP (т. е. скорости ОН). Поэтому параллелограмм скоростей в случае нашего движения будет ромбом (ромб МСКР на рис. 1.2). Диагональ МК этого ромба как раз и даст нам касательную к циклоиде.

Все сказанное дает возможность решить следующую задачу на построение: дана направляющая прямая АВ циклоиды, радиус r производящего круга и точка М, принадлежащая циклоиде (рис. 1.2). Требуется построить касательную МК к циклоиде.

Имея точку М, мы без труда строим производящий круг, в том его положении, когда точка на окружности попадает в М. Для этого предварительно найдем центр О при помощи радиуса МО=r (точка О должка лежать на прямой, параллельной АВ, на расстоянии r от нее). Затем строим отрезок MP произвольной длины, параллельный направляющей прямой. Далее строим прямую МС 1 , перпендикулярную к ОМ. На этой прямой откладываем от точки М отрезок МС, равный MP. На МС и MP, как на сторонах, строим ромб. Диагональ этого ромба и будет касательной к циклоиде в точке М.

Это построение -- чисто геометрическое, хотя получили мы его, используя понятия механики. Теперь мы можем проститься с механикой и дальнейшие следствия получать без ее помощи. Начнем с простой теоремы.

Теорема 1 . Угол между касательной к циклоиде (в произвольной точке) и направляющей прямой равен дополнению до 90° половины угла поворота радиуса производящего круга.

Иными словами, на рис. 1.2

? KLT равен или

Это равенство мы теперь докажем. Для сокращения речи условимся угол ц поворота радиуса производящего круга называть «основным углом». Значит, угол МОТ на рис. 1.2 -- основной угол. Будем считать основной угол острым. Для случая, когда катящийся круг сделает больше четверти полного оборота, доказательство будет аналогично.

Рассмотрим угол СМР. Сторона СМ перпендикулярна ОМ (касательная к окружности перпендикулярна радиусу). Сторона MP (горизонталь) перпендикулярна к ОТ (к вертикали). Но угол МОP, по условию, острый, а угол СМР -- тупой. Значит, углы МОТ и СМР составляют в сумме 180° (углы со взаимно перпендикулярными сторонами, из которых один острый, а другой -- тупой).

Итак, угол CMP равен 180° -ц. Но, как известно, диагональ ромба делит угол при вершине пополам. Следовательно, уго

КМР = 90° -,

что и требовалось доказать.

Обратим теперь внимание на нормаль к циклоиде. Изобразим левую часть рис. 1.2 крупнее, причем проведем нормаль ME (ME ? МК; рис. 1.3).

Из рис. 1.3 следует, что угол ЕМР равен разности углов КМЕ и КМР , т.е. равен 90° - ? KMP.

Но мы только что доказали, что сам угол КМР равен 90° -

Таким образом, получаем:

? РМЕ = 90° - ? КМР = 90° - (90° -) =

Мы доказали простую, но полезную теорему. Дадим ее формулировку:

Теорема 2. Угол между нормалью к циклоиде (в любой ее точке) и направляющей прямой равен половине «основного угла».

Соединим» точкой (Т) производящего круга теперь точку М («текущую» точку циклоиды) с «нижней (с точкой касания производящего круга и направляющей прямой -- рис. 1.3). Треугольник МОТ, очевидно, равнобедренный (ОМ и ОТ -- радиусы производящего круга). Сумма углов при основании этого треугольника равна 180° - ц, а каждый из углов при основании -- половике этой суммы. Итак, ? OMT = 90° - .

Обратим внимание на угол РМТ. Он равен разности углов ОМТ и ОМР . Мы видели сейчас, что ? OMT равен 90° - ; что касается угла ОМР, то нетрудно выяснить, чему он равен. Ведь угол ОМР равен углу DOM (внутренние накрестлежащие углы при параллельных).

Непосредственно очевидно, что ? DOM равен 90°- ц. Значит, ? OMP= = 90° - ц. Таким образом, получаем:

РМТ = ? ОМТ - ? ОМР = 90° - - (90° - ц) = .

Получается замечательный результат: угол РМТ оказывается равным углу РМЕ (по теореме 2). Следовательно, прямые ME и МТ сольются! Наш рис. 1.3 сделан не совсем правильно! Правильное расположение линий дано на рис. 1.4.

Сформулируем полученный результат в виде теоремы 3.

Теорема 3 (первое основное свойство циклоиды). Нормаль к циклоиде проходит через «нижнюю» точку производящего круга.

Из этой теоремы получается простое следствие. Угол между касательной и нормалью, по определению, -- прямой. Это угол, вписанный в окружность производящего круга. Поэтому он должен опираться на диаметр круга. Итак, ТТ 1 -- диаметр, и T 1 -- «верхняя» точка производящего круга. Сформулируем полученный результат.

Следствие (второе основное свойство циклоиды). Касательная к циклоиде проходит через «верхнюю» точку производящего круга.

Чтобы объяснить это свойство нам необходимо построить циклоиду.

Построение циклоиды производится в следующей последовательности:

• 1. На направляющей горизонтальной прямой откладывают отрезок АА 12 , равный длине производящей окружности радиуса r, (2рr);
• 2. Строят производящую окружность радиуса r, так чтобы направляющая прямая была касательной к неё в точке А;
• 3. Окружность и отрезок АА 12 делят на несколько равных частей, например на 12;
• 4. Из точек делений 1 1 , 2 1 , ...12 1 восстанавливают перпендикуляры до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности в точках 0 1 , 0 2 , ...0 12 ;
• 5. Из точек деления окружности 1, 2, ...12 проводят горизонтальные прямые, на которых делают засечки дугами окружности радиуса r;
• 6. Полученные точки А 1 , А 2 , ...А 12 принадлежат циклоиде.

На рис. 1.6 основание циклоиды разделено на 6 равных частей;

Чем число делений будет больше, тем, чертеж получится точнее. В каждой точке циклоиды, построенной нами, проведем касательную, соединяя точку кривой с «верхней» точкой производящего круга. На нашем чертеже получилось семь касательных (из них две -- вертикальные). Проводя теперь циклоиду от руки, будем заботиться, чтобы она действительно касалась каждой из этих касательных: это значительно увеличит точность чертежа. При этом сама циклоида будет огибать все эти касательные).

Проведем на том же рис. 1.6 нормали во всех найденных точках циклоиды. Всего будет, не считая направляющей, пять нормалей. Можно построить от руки огибающую этих нормалей. Если бы мы вместо шести взяли 12 или 16 точек деления, то нормалей на чертеже было бы больше, и огибающая наметилась бы ясней. Такая огибающая всех нормалей играет важную роль при изучении свойств любой кривой линии. В случае циклоиды обнаруживается любопытный факт: огибающей нормалей циклоиды служит точно такая же циклоида, только сдвинутая на 2a вниз и на ра вправо. Этот факт характерен именно для циклоиды.

«На второе был подан пирог в форме циклоиды..»

Дж. Свифт Путешествия Гулливера

Касательная и нормаль к циклоиде

Наиболее естественным определением окружности будет, пожалуй, следующее: «окружностью называется путь частицы твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси». Это определение наглядно, из него легко вывести все свойства окружности, а главное, оно сразу рисует нам окружность, как непрерывную кривую, чего вовсе не видно из классического определения окружности, как геометрического места точек плоскости, равноудаленных от одной точки.

Почему же в школе мы определяем окружность, к? к геометрическое место точек? Чем плохо определение окружности с помощью движения (вращения)? Подумаем об этом.

Когда мы изучаем механику, мы не занимаемся доказательством геометрических теорем: мы считаем, что уже знаем их - мы просто ссылаемся на геометрию, как на нечто уже известное.

Если и при доказательстве геометрических теорем мы будем ссылаться на механику, как на нечто уже известное, то сделаем ошибку, которая называется «логический (порочный) круг»: при доказательстве предложения мы ссылаемся на предложение В, а само предложение В обосновываем с помощью предложения А. Грубо говоря, Иван кивает на Петра, а Петр на Ивана. Такое положение при изложении научных дисциплин недопустимо. Поэтому стараются, излагая арифметику, не ссылаться на геометрию, излагая геометрию, не ссылаться на механику и т. д. При этом можно при изложении геометрии безбоязненно пользоваться арифметикой, а при изложении механики и арифметикой, и геометрией, логического круга не получится.

Определение циклоиды, с которым мы успели познакомиться, никогда не удовлетворяло ученых: ведь оно опирается на механические понятия - скорости, сложения движений и т. д. Поэтому геометры всегда стремились дать циклоиде чисто геометрическое определение. Но для того, чтобы дать такое определение, нужно прежде всего изучить основные свойства циклоиды, пользуясь ее механическим определением. Выбрав наиболее простое и характерное из этих свойств, можно положить его в основ) геометрического определения.

Начнем с изучения касательной и нормали к циклоиде. Что такое касательная к кривой линии, каждый представляет себе достаточно ясно; точно определение касательной дается в курсах высшей математики, и мы его приводить здесь не будем.

Рис. 16. Касательная и нормаль к кривой.

Нормалью называется перпендикуляр к касательной, восставленный в точке касания. На рис. 16 изображена касательная и нормаль к кривой АВ в ее точке Рассмотрим циклоиду (рис. 17). Кружок катится по прямой АВ.

Допустим, что вертикальный радиус круга, проходивший в начальный момент через нижнюю точку циклоиды, успел повернуться на угол (греческая буква «фи») и занял положение ОМ. Иными словами, мы считаем, что отрезок МСТ составляет такую долю отрезка какую угол составляет от 360° (от полного оборота). При этом точка пришла в точку М.

Рис. 17. Касательная к циклоиде.

Точка М и есть интересующая нас точка циклоиды.

Стрелочка ОН изображает скорость движения центра катящегося круга. Такой же горизонтальной скоростью обладают все точки круга, в том числе и точка М. Но, кроме того, точка М принимает участие во вращении круга. Скорость МС, которую точка М на окружности получает при этом вращении, направлена по касательной к окружности, т. е. перпендикулярно к радиусу ОМ. Мы уже знаем из «разговора двух веюсипедистов» (см. стр. 6), что скорость МС по величине равна скорости МР (т. е. скорости ОН). Поэтому параллелограмм скоростей в случае нашего движения будет ромбом (ромб МСКР на рис. 17). Диагональ МК этого ромба как раз и даст нам касательную к циклоиде.

Теперь мы можем ответить на вопрос, поставленный в конце беседы Сергея и Васи (стр. 7). Комок грязи, оторвавшийся от велосипедного колеса, движется по касательной к траектории той частицы колеса, от которой он отделился. Но траекторией будет не окружность, а циклоида, потому что колесо не просто вращается, а катится, т. е. совершает движение, состоящее из поступательного движения и вращения.

Все сказанное дает возможность решить следующую «задачу на построение»: дана направляющая прямая АВ циклоиды, радиус производящего круга и точка М, принадлежащая циклоиде (рис. 17).

Требуется построить касательную МК к циклоиде.

Имея точку М, мы без труда строим производящий круг, в том его положении, когда точка на окружности попадает в М, Для этого предварительно найдем центр О при помощи радиуса (точка О должна лежать на прямой, параллельной АВ на расстоянии от нее). Затем строим отрезок МР произвольной длины, параллельный направляющей прямой. Далее строим прямую перпендикулярную к ОМ На этой прямой откладываем от точки М отрезок МС, равный МР. На МС и МР, как на сторонах, строим ромб. Диагональ этого ромба и будет касательной к циклоиде в точке М.

Это построение - чисто геометрическое, хотя получили мы его, используя понятия механики. Теперь мы можем проститься с механикой и дальнейшие следствия получать без ее помощи. Начнем с простой теоремы.

Теорема 1. Угол между касательной к циклоиде (в произвольной точке) и направляющей прямой равен дополнению до 90° половины угла поворота радиуса производящего круга.

Иными словами, на нашем рис. 17 угол KLT равен или . Это равенство мы теперь докажем. Для сокращения речи условимся угол поворота радиуса производящего круга называть «основным углом». Значит, угол МОТ на рис. 17 - основной угол. Будем считать основной угол острым. Читатель сам видоизменит рассуждения для случая тупого угла, т. е. для случая, когда катящийся круг сделает больше четверти полного оборота.

Рассмотрим угол СМР. Сторона СМ перпендикулярна к ОМ (касательная к окружности перпендикулярна к радиусу). Сторона МР (горизонталь) перпендикулярна к ОТ (к вертикали). Но угол МОТ, по условию, острый (мы условились рассматривать первую четверть оборота), а угол СМР - тупой (почему?). Значит, углы МОТ и СМР составляют в сумме 180° (углы со взаимно перпендикулярными сторонами, из которых один острый, а другой - тупой).

Итак, угол СМР равен Но, как известно, диагональ ромба делит угол при вершине пополам.

Следовательно, угол что и требовалось доказать.

Обратим теперь внимание на нормаль к циклоиде. Мы говорили уже, что нормалью к кривой называется перпендикуляр к касательной, проведенный в точке касания (рис. 16). Изобразим левую часть рис. 17 крупнее, причем проведем нормаль (см. рис. 18).

Из рис. 18 следует, что угол ЕМР равен разности углов КМЕ и КМР, т. е. равен 90° - к. КМР.

Рис. 18. К теореме 2.

Но мы только что доказали, что сам угол КМР равен . Таким образом, получаем:

Мы доказали простую, но полезную теорему. Дадим ее формулировку:

Теорема 2. Угол между нормалью к циклоиде (в любой ее точке) и направляющей прямой равен половине «основного угла».

(Вспомним, что «основным углом» называется угол поворота радиуса катящегося круга)

Соединим теперь точку М («текущую» точку циклоиды) с «нижней» точкой (Т) производящего круга (с точкой касания производящего круга и направляющей прямой - см. рис. 18).

Треугольник МОТ, очевидно, равнобедренный (ОМ и ОТ - радиусы производящего круга). Сумма углов при основании этого треугольника равна , а каждый из углов при основании - половине этой суммы. Итак,

Обратим внимание на угол РМТ. Он равен разности углов ОМТ и ОМР. Мы видели сейчас, что равен 90° - что касается угла ОМР, то нетрудно выяснить, чему он равен. Ведь угол ОМР равен углу DOM (внутренние накрест лежащие углы при параллельных).

Рис. 19. Основные свойства касательной и нормали к циклоиде.

Непосредственно очевидно, что равен . Значит, . Таким образом, получаем:

Получается замечательный результат: угол РМТ оказывается равным углу РМЕ (см. теорему 2). Следовательно, прямые ME и МТ сольются! Наш рис. 18 сделан не совсем правильно! Правильное расположение линий дано на рис. 19.

Как же сформулировать полученный результат? Мы сформулируем его в виде теоремы 3.

Теорема 3 (первое основное свойство циклоиды). Нормаль к циклоиде проходит через «нижнюю» точку производящего круга.

Из этой теоремы получается простое следствие. Угол между касательной и нормалью, по определению, - прямой. Это угол, вписанный в окружность

Поэтому он должен опираться на диаметр круга. Итак, - диаметр, и - «верхняя» точка производящего круга. Сформулируем полученный результат.

Следствие (второе основное свойство циклоиды). Касательная к циклоиде проходит через «верхнюю» точку производящего круга.

Воспроизведем теперь построение циклоиды по точкам, как мы это делали на рис. 6.

Рис. 20. Циклоида - огибающая своих касательных.

На рис. 20 основание циклоиды разделено на 6 равных частей; чем число делений будет больше, тем, как мы знаем, чертеж получится точнее. В каждой точке циклоиды, построенной нами, проведем касательную, соединяя точку кривой с «верхней» точкой производящего круга. На нашем чертеже получилось семь касательных (из них две - вертикальные). Проводя теперь циклоиду от руки, будем заботиться, чтобы она действительно касалась каждой из этих касательных: это значительно увеличит точность чертежа. При этом сама циклоида будет огибать все эти касательные

Проведем на том же рис. 20 нормали во всех найденных точках циклоиды. Всего будет, не считая направляющей, пять нормалей. Можно построить от руки сгибающую этих нормалей.

Если бы мы вместо шести взяли 12 или 16 точек деления, то нормалей на чертеже было бы больше, и огибающая наметилась бы ясней. Такая огибающая всех нормалей играет важную роль при изучении свойств любой кривой линии. В случае циклоиды обнаруживается любопытный факт: огибающей нормалей циклоиды служит точно такая же циклоида, только сдвинутая на 2а вниз и на на вправо. С этим любопытным результатом, характерным именно для циклоиды, нам еще придется иметь дело.

Свойства касательной и нормали к циклоиде были впервые изложены Торичелли (1608-1647) в его книге «Геометрические работы» (1644 год). Торичелли использовал при этом сложение движений. Несколько позже, но полнее, разобрал эти вопросы Роберваль (псевдоним французского математика Жилля Персонна, 1602-1672). Свойства касательной к циклоиде изучал также Декарт; он изложил свои результаты, не прибегая к помощи механики.

Цикломида (от греч.кхклпейдЮт -- круглый) -- плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса r, катящейся без скольжения по прямой.

Уравнения

Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса r.

· Циклоида описывается параметрическими уравнениями

Уравнение в декартовых координатах:

· Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения:

Свойства

• · Циклоида -- периодическая функция по оси абсцисс, с периодом 2рr. За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида t = 2рk, где k -- произвольное целое число.
• · Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке A достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив A с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.
• · Длина арки циклоиды равна 8r. Это свойство открыл Кристофер Рен (1658).
• · Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. Торричелли уверяет, что этот факт был открыт Галилеем.
• · Радиус кривизны у первой арки циклоиды равен.

• · «Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной). Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.
• · Период колебанийматериальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды, этот факт был использован Гюйгенсом для создания точных механических часов.
• · Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной, а именно -- параллельно сдвинутой так, что вершины переходят в «острия».
• · Детали машин, которые совершают одновременно равномерное вращательное и поступательное движение, описывают циклоидальные кривые (циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, астроида) (ср. построение лемнискаты Бернулли).