Первый закон Ньютона говорит нам о том, что в инерциальных системах отсчета тела могут изменять скорость только, если на них оказывают воздействие другие тела. При помощи силы ($\overline{F}$) выражают взаимное действие тел друг на друга. Сила способна изменить величину и направление скорости тела. $\overline{F}$ - это векторная величина, то есть она обладает модулем (величиной) и направлением.
Определение и формула равнодействующей всех сил
В классической динамике основным законом, с помощью которого находят направление и модуль равнодействующей силы является второй закон Ньютона:
\[\overline{F}=m\overline{a}\ \left(1\right),\]
где $m$ - масса тела, на которое действует сила $\overline{F}$; $\overline{a}$ - ускорение, которое сила $\overline{F}$ сообщает рассматриваемому телу. Смысл второго закона Ньютона заключается в том, что силы, которые действуют на тело, определяют изменение скорости тела, а не просто его скорость. Следует знать, что второй закон Ньютона выполняется для инерциальных систем отсчета.
На тело могут действовать не одна, а некоторая совокупность сил. Суммарное действие этих сил характеризуют, используя понятие равнодействующей силы. Пусть на тело оказывают действие в один и тот же момент времени несколько сил. Ускорение тела при этом равно сумме векторов ускорений, которые возникли бы при наличии каждой силы отдельно. Силы, которые оказывают действие на тело, следует суммировать в соответствии с правилом сложения векторов. Равнодействующей силой ($\overline{F}$) называют векторную сумму всех сил, которые оказывают действие на тело в рассматриваемый момент времени:
\[\overline{F}={\overline{F}}_1+{\overline{F}}_2+\dots +{\overline{F}}_N=\sum\limits^N_{i=1}{{\overline{F}}_i}\ \left(2\right).\]
Формула (2) - это формула равнодействующей всех сил, приложенных к телу. Равнодействующая сила является искусственной величиной, которую вводят для удобства проведения вычислений. Равнодействующая сила направлена как вектор ускорения тела.
Основной закон динамики поступательного движения при наличии нескольких сил
Если на тело действуют несколько сил, тогда второй закон Ньютона записывают как:
\[\sum\limits^N_{i=1}{{\overline{F}}_i}=m\overline{a}\left(3\right).\]
$\overline{F}=0$, если силы, приложенные к телу, взаимно компенсируют друг друга. Тогда в инерциальной системе отсчета скорость движения тела постоянна.
При изображении сил, действующих на тело, на рисунке, в случае равноускоренного движения, равнодействующую силу, изображают длиннее, чем сумму сил, которые противоположно ей направлены. Если тело перемещается с постоянной скоростью или покоится, длины векторов сил (равнодействующей и сумме остальных сил), одинаковы и направлены они в противоположные стороны.
Когда находят равнодействующую сил, на рисунке изображают все учитываемые в задаче силы. Суммируют эти силы в соответствии с правилами сложения векторов.
Примеры задач на равнодействующую сил
Пример 1
Задание. На материальную точку действуют две силы, направленные под углом $\alpha =60{}^\circ $ друг к другу. Чему равна равнодействующая этих сил, если $F_1=20\ $Н; $F_2=10\ $Н?
Решение. Сделаем рисунок.
Силы на рис. 1 складываем по правилу параллелограмма. Длину равнодействующей силы $\overline{F}$ можно найти, используя теорему косинусов:
Вычислим модуль равнодействующей силы:
Ответ. $F=26,5$ Н
Пример 2
Задание. На материальную точку действуют силы (рис.2). Какова равнодействующая этих сил?
Решение. Равнодействующая сил, приложенных к точке (рис.2) равна:
\[\overline{F}={\overline{F}}_1+{\overline{F}}_2+{\overline{F}}_3+{\overline{F}}_4\left(2.1\right).\]
Найдем равнодействующую сил ${\overline{F}}_1$ и ${\overline{F}}_2$. Эти силы направлены вдоль одной прямой, но в противоположные стороны, следовательно:
Так как $F_1>F_2$, то сила ${\overline{F}}_{12}$ направлена в туже сторону, что и сила ${\overline{F}}_1$.
Найдем равнодействующую сил ${\overline{F}}_3$ и ${\overline{F}}_4$. Данные силы направлены вдоль одной вертикальной прямой (рис.1), значит:
Направление силы ${\overline{F}}_{34}$ совпадает с направлением вектора ${\overline{F}}_3$, так как ${\overline{F}}_3>{\overline{F}}_4$.
Равнодействующую, которая действует на материальную точку, найдем как:
\[\overline{F}={\overline{F}}_{12}+{\overline{F}}_{34}\left(2.2\right).\]
Силы ${\overline{F}}_{12}$ и ${\overline{F}}_{34}$ взаимно перпендикулярны. Найдем длину вектора $\overline{F}$ по теореме Пифагора:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Сила – это векторная величина, являющаяся мерой действия на данное тело других тел или полей, в результате которого происходит изменение состояния данного тела. Под изменением состояния в данном случае понимают изменение или деформацию.
Понятие силы относится к двум телам. Всегда можно указать тело, на которое действует сила, и тело, со стороны которого она действует.
Сила характеризуется:
- модулем;
- направлением;
- точкой приложения.
Модуль и направление силы не зависят от выбора .
Единица измерения силы в системе Си – 1 Ньютон .
В природе нет материальных тел, находящихся вне воздействия на них других тел, а, следовательно, все тела находятся под воздействием внешних или внутренних сил.
На тело одновременно может действовать несколько сил. В этом случае справедлив принцип независимости действия: действие каждой силы не зависит от присутствия или отсутствия других сил; совместное действие нескольких сил равно сумме независимых действий отдельных сил.
Равнодействующая сила
Для описания движения тела в этом случае пользуются понятием равнодействующей силы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Равнодействующая сила – это сила, действие которой заменяет действие всех сил, приложенных к телу. Или, другими словами, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна векторной сумме этих сил (рис.1).
Рис.1. Определение равнодействующей сил
Так как движение тела всегда рассматривается в какой-либо системе координат, удобно рассматривать не саму силу, а ее проекции на координатные оси (рис.2, а). В зависимости от направления силы ее проекции могут быть как положительными (рис.2,б), так и отрицательными (рис.2,в).
Рис.2. Проекции силы на координатные оси: а) на плоскости; б) на прямой (проекция положительна);
в) на прямой (проекция отрицательна)
Рис.3. Примеры, иллюстрирующие векторное сложение сил
Мы часто наблюдаем примеры, иллюстрирующие векторное сложение сил: лампа висит на двух тросах (рис.3, а) – в этом случае равновесие достигается за счет того, что равнодействующая сил натяжения компенсируется весом лампы; брусок соскальзывает по наклонной плоскости (рис.3, б) – движение возникает за счет равнодействующей сил трения, тяжести и реакции опоры. Знаменитые строки из басни И.А. Крылова «а воз и ныне там!» — также иллюстрация равенства нулю равнодействующей трех сил (рис.3, в).
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | На тело действуют две силы и . Определить модуль и направление равнодействующей этих сил, если: а) силы направлены в одну сторону; б) силы направлены в противоположные стороны; в) силы направлены перпендикулярно друг к другу. |
| Решение | а) силы направлены в одну сторону;
Равнодействующая сил:
б) силы направлены в противоположные стороны;
Равнодействующая сил:
Спроектируем это равенство на координатную ось : в) силы направлены перпендикулярно друг к другу;
Равнодействующая сил:
|
Когда говорят о равнодействующей, то имеют в виду силу, которая равна действию двух или более сил, одновременно приложенных к телу .
Когда на тело действует несколько сил, то их совместный эффект может быть различным, он зависит как от направления разных сил, так и от их числовых значений. В любом случае всегда можно найти одну равнодействующую им силу.
Например, на батут положили кирпич. На кирпич действуют две силы - сила тяжести и сила упругости батута. В момент, когда кирпич только положили, сила тяжести была больше, чем сила упругости, и кирпич двигался вниз. Как только силы сравнялись, кирпич остановился.
Если бы кирпич не клали на батут, а бросили со всей силы сверху, то он бы двигался вниз не только под действием силы тяжести, но и переданной ему силы броска. Под действием этих двух сил батут бы прогнулся сильнее, так как сила упругости, которая уравновесит эти силы, должна быть больше.
Когда равновесие сил будет достигнуто, и движение остановится, то равновесие снова нарушится, так как на кирпич уже не будет действовать сила броска, а только силы тяжести и упругости. Но ведь сила упругости была достигнута не только за счет веса кирпича, но за счет силы броска. Поэтому сила упругости будет больше силы тяжести, и кирпич подпрыгнет, то есть начнет двигаться вверх.
В самых простых случаях рассматривают равнодействующую сил, направленных либо в одну сторону, либо противоположно.
Если две силы, действующие на тело, направлены в одну сторону, то равнодействующая им будет равна их сумме: F 1 + F 2 . Например, если тело толкают в одну сторону две силы в 10 Н и 20 Н, то равнодействующая сила этим двум будет равна 30 Н.
Если две силы, действующие на тело, направлены в противоположные стороны, то равнодействующая им равна модулю разности между силами и направлена в сторону большей: |F 1 – F 2 |. Например, если одна сила в 10 Н толкает тело влево, а другая сила в 15 Н - вправо, то тело будет двигаться вправо под действием силы в 5 Н (|10 – 15| = 5).
Когда силы направлены противоположно, но равны по численному значению, то равнодействующая им будет равна нулю. Это значит, что равнодействующая сила не оказывает никакого влияния на тело. Если тело находилось в покое, оно в нем и останется. Если тело двигалось прямолинейно и равномерно, оно так и продолжит двигаться. Таким образом, хотя две новые силы подействовали на тело, они «взаимно уничтожились».
Допустим, на тело действуют три силы, две из которых направлены в одну сторону, а третья в другую. В этом случае сначала надо найти равнодействующую двух сил, направленных в одну сторону, сложив их. Потом сравнить ее с третьей силой, чтобы определить в какую сторону будет направлена равнодействующая трех сил. И найти модуль разности между суммой первых двух и третьей: |F 1 + F 2 – F 3 |.
Часто на тело действует одновременно не одна, а несколько сил. Рассмотрим случай, когда на тело оказывают воздействие две силы ( и ). Например, на тело, покоящееся на горизонтальной поверхности действуют сила тяжести () и реакция опоры поверхности () (рис.1).
Эти две силы можно заменить одной, которую называют равнодействующей силой (). Находят ее как векторную сумму сил и :
Определение равнодействующей двух сил
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Равнодействующей двух сил называют силу, которая производит на тело действие аналогичное, действию двух отдельных сил.
Отметим, что действие каждой силы не зависит от того, есть ли другие силы или их нет.
Второй закон Ньютона для равнодействующей двух сил
Если на тело действуют две силы, то второй закон Ньютона запишем как:
Направление равнодействующей всегда совпадает по направлению с направлением ускорения движения тела.
Это означает, что, если на тело оказывают воздействие две силы () в один и тот же момент времени, то ускорение () этого тела будет прямо пропорционально векторной сумме этих сил (или пропорционально равнодействующей сил):
M - масса, рассматриваемого тела. Суть второго закона Ньютона заключается в том, что силы, действующие на тело, определяют как изменяется скорость тела, а не просто величину скорости тела. Отмети, что второй закон Ньютона выполняется исключительно в инерциальных системах отсчета.
Равнодействующая двух сил может быть равна нулю, если силы, действующие на тело направлены в разные стороны и равны по модулю.
Нахождение величины равнодействующей двух сил
Для нахождения равнодействующей, следует изобразить на чертеже все силы, которые необходимо учитывать в задаче, действующие на тело. Складывать силы следует по правилам сложения векторов.
Допустим, что на тело действуют две силы, которые направлены по одной прямой (рис.1). Из рисунка видно, что они направлены в разные стороны.
Равнодействующая сил (), приложенных к телу, будет равна:
Для нахождения модуля равнодействующей сил выберем ось, обозначим ее X, направим вдоль направления действия сил. Тогда проектируя выражение (4) на ось X мы получим, что величина (модуль) равнодействующей (F) равен:
где - модули соответствующих сил.
Представим, что на тело действуют две силы и , направленные под некоторым углом друг к другу (рис.2). Равнодействующую этих сил находим по правилу параллелограмма. Величина равнодействующей будет равен длине диагонали этого параллелограмма.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Тело массой 2 кг перемещают вертикально за нить вверх, при этом его ускорение равно 1 Какова величина и направление равнодействующей силы? Какие силы приложены к телу? |
| Решение | К телу (рис.3) приложены сила тяжести () и сила реакции нити ().
Равнодействующую указанных выше сил можно найти используя второй закон Ньютона: В проекции на ось X уравнение (1.1) принимает форму: Вычислим величину равнодействующей силы: |
| Ответ | Н, равнодействующая сила направлена так же как ускорение движения тела, то есть вертикально вверх. На тело действует две силы и . |
Сила выступает в качестве количественной меры взаимодействия тел. Это важная физическая величина, так как в инерциальной системе отсчета любое изменение скорости тела может происходить только при взаимодействии с другими телами. Иначе говоря, при действии на тело силы.
Взаимодействия тел могут иметь разную природу, например, существуют электрические, магнитные, гравитационные и другие взаимодействия. Но при исследовании механического движения тела природа сил, вызывающих у тела ускорение значения не имеет. Проблемой происхождения взаимодействия механика не занимается. Для любого взаимодействия численной мерой становится сила. Силы разной природы измеряют в одних единицах (в Международной системе единиц в ньютонах), при этом используют одни и те же эталоны. В виду такой универсальности механика занимается исследованием и описанием движения тел, которые испытывают воздействия сил любой природы.
Результатом действия силы на тело является ускорение тела (изменение скорости его движения) или (и) его деформация.
Сложение сил
Сила - это векторная величина. Кроме модуля она имеет направление и точку приложения. Независимо от природы все силы складываются как векторы.
Пусть, металлический шарик удерживается упругой пружиной и его притягивает магнит(рис.1). Тогда на него действуют две силы: сила упругости со стороны пружины (${\overline{F}}_u$) и магнитная сила (${\overline{F}}_m$) со стороны магнита. Считаем, что их величины известны. При совместном действии данных, сил шарик будет находиться в состоянии покоя, если на него воздействовать третьей силой ($\overline{F}$), которая удовлетворяет равенству:
\[\overline{F}=-\left({\overline{F}}_u+{\overline{F}}_m\right)\left(1\right).\]
Этот опыт дает возможность сделать вывод о том, что несколько сил, действующих на одно тело можно заменить одной равнодействующей, при этом не важна природа сил. Равнодействующая получается как результат векторного суммирования сил, действующих на тело.
Определение и формула равнодействующей силы
И так, векторная сумма всех сил, оказывающих действие на тело в один и тот же момент времени, называют равнодействующей силой ($\overline{F}$):
\[\overline{F}={\overline{F}}_1+{\overline{F}}_2+\dots +{\overline{F}}_N=\sum\limits^N_{i=1}{{\overline{F}}_i}\ \left(2\right).\]
Иногда равнодействующую силу обозначают $\overline{R}$, чтобы выделить, но это не обязательно.
Суммирование сил можно проводить графически. При этом используют правила многоугольника, параллелограмм и треугольника. Если при таком сложении сил многоугольник получился замкнутым, то равнодействующая равна нулю. При равенстве нулю равнодействующей систему называют уравновешенной.
Запись второго закона Ньютона с использованием равнодействующей силы
Второй закон Ньютона является основным законом в классической динамике. Он связывает силы, оказывающие воздействие на тело и его ускорение и позволяет решать основную задачу динамики. Если тело оказывается под воздействием нескольких сил, то второй закон Ньютона записываю так:
\[\overline{R}=\sum\limits^N_{i=1}{{\overline{F}}_i}=m\overline{a}\left(3\right).\]
Формула (3) означает, что равнодействующая всех сил, приложенных к телу, может быть равна нулю, в том случае, если происходит взаимная компенсация сил. Тогда тело перемещается с постоянной скоростью или находится в состоянии покоя в инерциальной системе отсчета. Можно сказать обратное, если тело движется равномерно и прямолинейно в инерциальной системе отсчета, то на него не действуют силы или их равнодействующая равна нулю.
При решении задач и указании на схемах сил, действующих на тело, при движении тела с постоянным ускорением, равнодействующую силу направляют по ускорению и изображают длиннее, чем противоположно ей направленную силу (сумму сил). При равномерном движении (или если тело находится в состоянии покоя) длина векторов сил, имеющих противоположные направления одинакова (равнодействующая равна нулю).
Исследуя условия задачи, необходимо определить, какие силы оказывают действие на тело, будут учитываться в равнодействующей, какие силы не оказывают существенного влияния на движение тела и их можно отбросить. Значимые силы изображают на рисунке. Складывают силы по правилам сложения векторов.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Под каким углом должны быть расположены силы на рис. 2, чтобы их равнодействующая была равна по модулю каждой из составляющих ее сил?
Решение. Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов:
Так как по условию задачи:
то выражение (1.1) преобразуем к виду:$\ $
Решением полученного тригонометрического уравнения являются углы:
\[\alpha =\frac{2\pi }{3}+\pi n\ ;;\ \alpha =\frac{4\pi }{3}+\pi n\ \left(где\ n-целое\ число\right).\ \]
Исходя из рисунка (рис.2) нам подходит ответ $\alpha =\frac{2\pi }{3}$.
Ответ. $\alpha =\frac{2\pi }{3}$
Пример 2
Задание. Чему равна равнодействующая сила, если на тело действуют силы, представленные на рис.3.
Решение. Равнодействующую силу найдем векторным суммирование используя правило многоугольника. Последовательно каждый следующий вектор силы отложим от конца предыдущего. В результате вектор равнодействующей всех сил будет иметь началом точку, из которой выходит первый вектор (у нас вектор ${\overline{F}}_1$), ее конец будет приходить в точку, где заканчивается последний вектор (${\overline{F}}_4$). В результате получим рис.4.
В результате построения получен замкнутый многоугольник, это означает, что равнодействующая сил, приложенных к телу равна нулю.
Ответ. $\overline{R}=0$
