Движется относительно какой-либо системы отсчёта, а та, в свою очередь, движется относительно другой системы отсчёта. При этом возникает вопрос о связи движений точки в этих двух СО.
Обычно выбирают одну из СО за базовую («абсолютную»), другую называют «подвижной» и вводят следующие термины:
- абсолютное движение - это движение точки/тела в базовой СО.
- относительное движение - это движение точки/тела относительно подвижной системы отсчёта.
- переносное движение - это движение второй СО относительно первой.
Также вводятся понятия соответствующих скоростей и ускорений . Например, переносная скорость - это скорость точки, обусловленная движением подвижной системы отсчёта относительно абсолютной. Другими словами, это скорость точки подвижной системы отсчёта, в данный момент времени совпадающей с материальной точкой.
Оказывается, что при получении связи ускорений в разных системах отсчёта возникает необходимость ввести ещё одно ускорение, обусловленное вращением подвижной системы отсчёта:
В дальнейшем рассмотрении, базовая СО предполагается инерциальной , а на подвижную никаких ограничений не накладывается.
Классическая механика
Кинематика сложного движения точки
Скорость
.Основные задачи кинематики сложного движения заключаются в установлении зависимостей между кинематическими характеристиками абсолютного и относительного движений точки (или тела) и характеристиками движения подвижной системы отсчета, то есть переносного движения. Для точки эти зависимости являются следующими: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей, то есть
.Ускорение
Связь ускорений можно найти путём дифференцирования связи для скоростей, не забывая, что координатные векторы подвижной системы координат также могут зависеть от времени.
Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трёх ускорений - относительного, переносного и кориолисова , то есть
.Кинематика сложного движения тела
Для твёрдого тела, когда все составные (то есть относительные и переносные) движения являются поступательными , абсолютное движение также является поступательным со скоростью, равной геометрической сумме скоростей составных движений. Если составные движения тела являются вращательными вокруг осей, пересекающихся в одной точке (как, например, у гироскопа), то результирующее движение также является вращательным вокруг этой точки с мгновенной угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей составных движений. Если же составными движениями тела являются и поступательные, и вращательные, то результирующее движение в общем случае будет слагаться из серии мгновенных винтовых движений.
Рассчитать взаимосвязь скоростей разных точек твёрдого тела в разных системах отсчёта можно с помощью комбинирования формулы сложения скоростей и формулы Эйлера для связи скоростей точек твёрдого тела . Связь ускорений находится простым дифференцированием полученного векторного равенства по времени.
Динамика сложного движения точки
При рассмотрении движения в неинерциальной СО нарушаются первые 2 закона Ньютона. Чтобы обеспечить формальное их выполнение, обычно вводятся дополнительные, фиктивные (не существующие на самом деле), силы инерции: центробежная сила и сила Кориолиса . Выражения для этих сил получаются из связи ускорений (предыдущий раздел).
Релятивистская механика
Скорость
При скоростях, близких к скорости света, преобразования Галилея не являются точно инвариантными и классическая формула сложения скоростей перестаёт выполняться. Вместо этого, инвариантными являются преобразования Лоренца, а связь скоростей в двух инерциальных СО получается следующей:
в предположении, что скорость направлена вдоль оси х системы S. Легко убедиться, что в пределе нерелятивистских скоростей преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Галилея.
Однако вводится величина - быстрота - которая аддитивна при переходе от одной СО к другой.
Движется относительно какой-либо системы отсчёта, а та, в свою очередь, движется относительно другой системы отсчёта. При этом возникает вопрос о связи движений точки в этих двух СО.
Обычно выбирают одну из СО за базовую («абсолютную»), другую называют «подвижной» и вводят следующие термины:
- абсолютное движение - это движение точки/тела в базовой СО.
- относительное движение - это движение точки/тела относительно подвижной системы отсчёта.
- переносное движение - это движение второй СО относительно первой.
Также вводятся понятия соответствующих скоростей и ускорений . Например, переносная скорость - это скорость точки, обусловленная движением подвижной системы отсчёта относительно абсолютной. Другими словами, это скорость точки подвижной системы отсчёта, в данный момент времени совпадающей с материальной точкой.
Оказывается, что при получении связи ускорений в разных системах отсчёта возникает необходимость ввести ещё одно ускорение, обусловленное вращением подвижной системы отсчёта:
В дальнейшем рассмотрении, базовая СО предполагается инерциальной , а на подвижную никаких ограничений не накладывается.
Классическая механика
Кинематика сложного движения точки
Скорость
.Основные задачи кинематики сложного движения заключаются в установлении зависимостей между кинематическими характеристиками абсолютного и относительного движений точки (или тела) и характеристиками движения подвижной системы отсчета, то есть переносного движения. Для точки эти зависимости являются следующими: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей, то есть
.Ускорение
Связь ускорений можно найти путём дифференцирования связи для скоростей, не забывая, что координатные векторы подвижной системы координат также могут зависеть от времени.
Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трёх ускорений - относительного, переносного и кориолисова , то есть
.Кинематика сложного движения тела
Для твёрдого тела, когда все составные (то есть относительные и переносные) движения являются поступательными , абсолютное движение также является поступательным со скоростью, равной геометрической сумме скоростей составных движений. Если составные движения тела являются вращательными вокруг осей, пересекающихся в одной точке (как, например, у гироскопа), то результирующее движение также является вращательным вокруг этой точки с мгновенной угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей составных движений. Если же составными движениями тела являются и поступательные, и вращательные, то результирующее движение в общем случае будет слагаться из серии мгновенных винтовых движений.
Рассчитать взаимосвязь скоростей разных точек твёрдого тела в разных системах отсчёта можно с помощью комбинирования формулы сложения скоростей и формулы Эйлера для связи скоростей точек твёрдого тела . Связь ускорений находится простым дифференцированием полученного векторного равенства по времени.
Динамика сложного движения точки
При рассмотрении движения в неинерциальной СО нарушаются первые 2 закона Ньютона. Чтобы обеспечить формальное их выполнение, обычно вводятся дополнительные, фиктивные (не существующие на самом деле), силы инерции: центробежная сила и сила Кориолиса . Выражения для этих сил получаются из связи ускорений (предыдущий раздел).
Релятивистская механика
Скорость
При скоростях, близких к скорости света, преобразования Галилея не являются точно инвариантными и классическая формула сложения скоростей перестаёт выполняться. Вместо этого, инвариантными являются преобразования Лоренца, а связь скоростей в двух инерциальных СО получается следующей:
в предположении, что скорость направлена вдоль оси х системы S. Легко убедиться, что в пределе нерелятивистских скоростей преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Галилея.
Литература
- Н. Г. Четаев . «Теоретическая механика». М.: Наука. 1987. 368 с.
До сих пор мы изучали движение точки или тела по отношению к одной заданной системе отсчета. Однако в ряде случаев при решении задач механики оказывается целесообразным (а иногда и необходимым) рассматривать движение точки (или тела) одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается основной или условно неподвижной, а другая определенным образом движется по отношению к первой. Движение, совершаемое при этом точкой (или телом), называют составным или сложным . Например, шар, катящийся по палубе движущегося парохода, можно считать совершающим по отношению к берегу сложное движение, состоящее из качения по отношению к палубе (подвижная система отсчета), и движение вместе с палубой парохода по отношению к берегу (неподвижная система отсчета). Таким путем сложное движение шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых.
Рис.48
Рассмотрим точку М , движущуюся по отношению к подвижно системе отсчета Oxyz , которая в свою очередь как-то движется относительно другой системы отсчета , которую называем основной или условно неподвижной (рис. 48). Каждая из этих систем отсчета связана, конечно, с определенным телом, на чертеже не показанным. Введем следующие определения.
1. Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвижной системе отсчета (к осям Oxyz ), называется относительным движением (такое движение будет видеть наблюдатель, связанный с этими осями и перемещающийся вместе с ними). Траектория АВ , описываемая точкой в относительном движении, называется относительной траекторией. Скорость точки М по отношению к осям Oxyz называется относительной скоростью (обозначается ), a ускорение - относительным ускорением (обозначается ). Из определения следует, что при вычислении и можно движение осей Oxyz во внимание не принимать (рассматривать их как неподвижные).
2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Oxyz (и всеми неизменно связанными с нею точками пространства) по отношению к неподвижной системе , является для точки М переносным движением .
Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Oxyz точки m , с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М , называется переносной скоростью точки М в этот момент (обозначается ), а ускорение этой точки m - переносным ускорением точки М (обозначается ). Таким образом,
Если представить себе, что относительное движение точки происходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связаны подвижные оси Oxyz , то переносной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент времени будет скорость (или ускорение) той точки т тела, с которой в этот момент совпадает точка М .
3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета , называется абсолютным или сложным. Траектория CD этого движения называется абсолютной траекторией, скорость - абсолютной скоростью (обозначается ) и ускорение - абсолютным ускорением (обозначается ).
В приведенном выше примере движение шара относительно палубы парохода будет относительным, а скорость - относительной скоростью шара; движение парохода по отношению к берегу будет для шара переносным движением, а скорость той точки палубы, которой в данный момент времени касается шар будет в этот момент его переносной скоростью; наконец, движение шара по отношению к берегу будет его абсолютным движением, а скорость - абсолютной скоростью шара.
При исследовании сложного движения точки полезно применять «Правило остановки». Для того, чтобы неподвижный наблюдатель увидел относительное движение точки, надо остановить переносное движение.
Тогда будет происходить только относительное движение. Относительное движение станет абсолютным. И наоборот, если остановить относительное движение, переносное станет абсолютным и неподвижный наблюдатель увидит только это переносное движение.
В последнем случае, при определении переносного движения точки, обнаруживается одно очень важное обстоятельство. Переносное движение точки зависит от того в какой момент будет остановлено относительное движение, от того, где точка находится на среде в этот момент. Так как, вообще говоря, все точки среды движутся по-разному. Поэтому логичнее определять переносное движение точки как абсолютное движение той точки среды, с которой совпадает в данный момент движущаяся точка.
Сложное движение точки-это такое движение, при котором точка одновременно участвует в двух или нескольких движениях.
Рассмотрим сложное движение точки М, перемещающейся по отношению к подвижной системе отсчета Оxyz, которая в свою очередь движется относительно другой системы отсчета О 1 х 1 у 1 z 1 , которую условно будем называть неподвижной (рис. 10.1).
Движение точки М по отношению к подвижным осям координат называется относительным движением. Скорость и ускорение точки по отношению к подвижным осям называются относительной скоростью и относительным ускорением. Эти величины будем обозначать и .
Переносным называется движение относительно неподвижной системы отсчета той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М. Следовательно, переносной скоростью и переносным ускорением будем считать скорость и ускорение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М. Переносную скорость и переносное ускорение обозначаем и .
Движение точки М относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным движением. Скорость и ускорение точки в этом движении называется абсолютной скоростью и абсолютным ускорением. Эти величины обозначаются и .
Если точка одновременно участвует в относительном и переносном движениях, то ее абсолютное движение называют сложным, а ее относительное и переносное движения называются составляющими движениями.
10.2. Скорость точки в абсолютном, относительном и переносном движениях
Если точка М участвует в сложном движении, то справедлива теорема, согласно которой абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скорости этой точки:
Для определения переносной скорости мысленно останавливается относительное движение и переносная скорость вычисляется по правилам кинематики твердого тела, т. е. как скорость той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент совпала движущаяся точка.
Для определения относительной скорости точки следует мысленно остановить переносное движение и вычислить относительную скорость по правилам кинематики точки.
|
С помощью уравнения (10.1) величину абсолютной скорости можно определить геометрически и аналитически. Для геометрического метода решения данной задачи можно построить замкнутый треугольник скоростей (рис. 10.2, а) или параллелограмм скоростей (рис. 10.2, б).
Тогда абсолютная скорость определяется формулами
(10.2)
или 
, (10.3)
где β и γ- углы, образуемые вектором с векторами и .
При применении метода проекций достаточно выбрать оси координат и спроектировать равенство (10.1) на эти оси.
СЛОЖНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения точки
В ряде случаев приходится рассматривать движение точки по отношению к системе координат О 1 ξηζ, которая, в свою очередь, движется по отношению к другой системе координат Охуz условно принятой в качестве неподвижной. В механике каждую из указанных систем координат связывают с некоторым телом. Например, рассмотрим качение без скольжения колеса вагона по рельсу. С рельсом свяжем неподвижную систему координат Аху, а подвижную систему Oξη свяжем с центром колеса и предположим, что она движется поступательно. Движение точки на ободе колеса является составным или сложным.
Введем следующие определения:
1. Движение точки относительно системы координат Охуz (рис. 53) называется абсолютным.
2. Движение точки относительно подвижной системы координат O 1 ξηζ называется населенным.
3. Переносным движением точки называют движение той точки тела, связанного с подвижной системой координат О 1 ξηζ , относительно неподвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает рассматриваемая движущаяся точка.
Таким образом, переносное движение вызвано движением подвижной системы координат по отношению к неподвижной. В приведенном примере с колесом переносное движение точки обода колеса обусловлено поступательным движением системы координат О 1 ξηζ по отношению к неподвижной системе координат Аху.
Уравнения абсолютного движения точки получим, выразив координаты точки х, у,z как функции времени:
х=х(t ), у = у(t ), z = z (t ).
Уравнения относительного движения точки имеют вид
ξ = ξ (t ), η = η (t), ζ = ζ (t ).
В параметрической форме уравнения (11.76) выражают уравнения абсолютной траектории, а уравнения (11.77) - соответственно уравнения относительной траектории.
Различают также абсолютную, переносную и относительную скорость и соответственно абсолютное, переносное и относительное ускорения точки. Абсолютную скорость обозначают υ a , относительную - υ r , переносную - υ е Соответственно ускорения обозначают: ω а , ω r и ω е .
Основной задачей кинематики сложного движения точки является установление зависимости между скоростями и ускорениями точки в двух системах координат: неподвижной и подвижной.
Для доказательства теорем о сложении скоростей и ускорений в сложном движении точки введем понятие о локальной или относительной производной.
Теорема о сложении скоростей
Теорема . При сложном (составном) движении точки ее абсолютная скорость υ a равна векторной сумме относительной υ r и переносной υ е скоростей.
Пусть точка М совершает одновременные движения по отношению к неподвижной и подвижной системам координат (рис. 56). Обозначим угловую скорость поворота системы координат Оξηζ через ω . Положение точки М определяется радиусом-вектором r .
Установим соотношение между скоростями точки М по отношению к двум системам координат - неподвижной и подвижной. На основании доказанной в предыдущем параграфе теоремы
Из кинематики точки известно, что первая производная от радиуса-вектора движущейся точки по времени выражает скорость этой точки. Поэтому = r = υ а - абсолютная скорость, =υ r - относительная скорость,
а ω xr = υ е - переносная скорость точки М. Следовательно,
υ а = υ r + υ е
Формула (11.79) выражает правило параллелограмма скоростей. Модуль абсолютной скорости найдем по теореме косинусов:
В некоторых задачах кинематики требуется определить относительную скорость υ r . Из (11.79) следует
υ r = υ а +(- υ е) .
Таким образом, чтобы построить вектор относительной скорости, нужно геометрически сложить абсолютную скорость с вектором, равным по абсолютной величине, но противоположно направленным переносной скорости.
