Niech zostanie podany szereg liczb dodatnich $ \sum_(n=1) ^\infty a_n $. Sformułujmy niezbędne kryterium zbieżności szeregu:
- Jeśli szereg jest zbieżny, to granica jego wspólnego wyrazu wynosi zero: $$ \lim _(n \to \infty) a_n = 0 $$
- Jeżeli granica wspólnego wyrazu szeregu nie jest równa zeru, to szereg jest rozbieżny: $$ \lim _(n \to \infty) a_n \neq 0 $$
Uogólniony szereg harmoniczny
Szereg ten zapisuje się następująco: $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n^p) $. Ponadto w zależności od $p$ szereg jest zbieżny lub rozbieżny:
- Jeśli $ p = 1 $, to szereg $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n) $ jest rozbieżny i nazywany jest harmonicznym, mimo że wspólny wyraz $ a_n = \frac(1 )( n) \do 0 $. Dlaczego? W uwadze wskazano, że kryterium konieczne nie daje odpowiedzi na temat zbieżności, a jedynie na temat rozbieżności szeregu. Dlatego też, jeśli zastosujemy kryterium wystarczające, takie jak całkowe kryterium Cauchy'ego, stanie się jasne, że szereg jest rozbieżny!
- Jeśli $ p \leqslant 1 $, to szereg jest rozbieżny. Przykład, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n)) $, gdzie $ p = \frac(1)(2) $
- Jeżeli $p > 1$, to szereg jest zbieżny. Przykład, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n^3)) $, gdzie $ p = \frac(3)(2) > 1 $
Przykłady rozwiązań
| Przykład 1 |
| Udowodnij rozbieżność szeregu $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(n)(6n+1) $ |
| Rozwiązanie |
|
Szereg jest dodatni, zapisujemy wspólny termin: $$ a_n = \frac(n)(6n+1) $$ Obliczamy limit przy $ n \to \infty $: $$ \lim _(n \to \infty) \frac(n)(6n+1) = \frac(\infty)(\infty) = $$ Wyjmujemy $ n $ z nawiasów w mianowniku, a następnie przeprowadzamy redukcję: $$ = \lim_(n \to \infty) \frac(n)(n(6+\frac(1)(n))) = \lim_(n \to \infty) \frac(1)(6 + \frac(1)(n)) = \frac(1)(6) $$ Ponieważ odkryliśmy, że $ \lim_(n\to \infty) a_n = \frac(1)(6) \neq 0 $, to niezbędny test Cauchy'ego nie jest spełniony i szereg jest rozbieżny. Jeśli nie możesz rozwiązać swojego problemu, wyślij go do nas. Dostarczymy szczegółowe rozwiązanie. Będziesz mógł zobaczyć postęp obliczeń i uzyskać informacje. Dzięki temu szybko otrzymasz ocenę od nauczyciela! |
| Odpowiedź |
| Szereg się różni |
$\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) $, którego elementy spełniają trzy warunki:
- $a_(n) >0,\, \, \, n\ge 1$, tj. oryginalna seria z terminami pozytywnymi;
- wyrazy szeregu maleją monotonicznie, tj. $a_(1) >a_(2) >\ldots >a_(n-1) >a_(n) >\ldots >0$;
- ogólny wyraz szeregu dąży do zera: $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) a_(n) =0$.
Niech istnieje ciągła, monotonicznie malejąca funkcja f(x) zdefiniowana w $x\ge 1$ taka, że $f\left(1\right)=a_(1) ,\, \, \, f\left(2 \ prawo)=a_(2) ,\, \, \, \ldots ;\, \, \, f\left(n\right)=a_(n) ,\, \, \, \ldots $, tj. $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )f(n) $. Następnie, jeśli całka niewłaściwa $\int \limits _(1)^(+\infty )f\left(x\right)(\rm d)x $ jest zbieżna, to szereg $\sum \limits _(n= 1) ^(\infty )a_(n) $ również jest zbieżny; jeśli wskazana całka jest rozbieżna, to szereg ten jest rozbieżny.
Notatka 1
Twierdzenie pozostaje prawdziwe nawet wtedy, gdy jego warunki są spełnione nie dla wszystkich wyrazów szeregu, ale dopiero począwszy od k-tego ($n\ge k$), w którym to przypadku całka $\int \limits _(k)^(+ \ infty )f\lewo(x\prawo)\, (\rm d)x $.
Uwaga 2
Test całkowy Cauchy'ego znacznie ułatwia badanie zbieżności szeregu, gdyż pozwala sprowadzić to pytanie do wyznaczenia zbieżności całki dobrze wybranej odpowiedniej funkcji $f(x)$, co można łatwo przeprowadzić metodami rachunku całkowego.
Twierdzenie 2 (radykalny test Cauchy'ego)
Niech będzie dany szereg z wyrazami dodatnimi $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) ,\, \, \, a_(n) >0$ i niech będzie skończona granica $ \mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) \sqrt[(n)](a_(n) ) =l.$Następnie:
- jeśli $1
- jeśli $l>1$, szereg jest rozbieżny,
- jeśli $l=1$, to radykalny test Cauchy'ego nie ma zastosowania do wyznaczania zbieżności szeregu.
Dowód
- Niech $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \sqrt[(n)](a_(n) ) =l0$ istnieje, a następnie $l\ge 0$. Rozważmy liczbę q taką, że $l 0$ istnieje $N=N((\rm \varepsilon ))\in $N, zaczynając od $\forall n \ge N$ nierówności $\left|\sqrt[( n )](a_(n) ) -l\prawo|
$\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\, a_(1) +\, a_(2) +\ldots +\, a_(N) +\, a_(N +1) +a_(N+2) +...$ . (1)
Stwórzmy nowy rząd
$\sum \limits _(k=0)^(\infty )q^(N+k) =q^(N) +\, q^(N+1) +q^(N+2) +\ldots $(2)
Szereg (2) jest ciągiem postępu geometrycznego o mianowniku $q$: $0\le q
- Niech istnieje $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \sqrt[(n)](a_(n) ) =l>1$. Zaczynając od $N=N((\rm \varepsilon ))\in (\rm N)$ $\forall n\ge N$, $\, \, \sqrt[(n)](a_(n) ) >1\, \, \, \Strzałka w prawo \, \, \, \, a_(n) >1$, tj. $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) a_(n) \ne 0$, wówczas pierwotny szereg jest rozbieżny zgodnie z niezbędnym kryterium zbieżności.
- Jeśli $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \sqrt[(n)](a_(n) ) =l=1$ (lub nie istnieje), to aby wyznaczyć zbieżność szeregu , radykalny test Cauchy'ego nie ma zastosowania.
Twierdzenie zostało udowodnione.
Twierdzenie 3 (test D'Alemberta)
Niech będzie podany szereg z wyrazami dodatnimi $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) \, \, \, (a_(n) >0) $ i będzie skończona granica $\mathop( \lim )\limits_(n\to \infty ) \frac(a_(n+1) )(a_(n) ) =l$, wtedy:
- szereg $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) $ jest zbieżny, jeśli $l
- szereg $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) $ jest rozbieżny, jeśli $l>1$,
- jeśli $l=1$, to testu d’Alemberta nie można zastosować do określenia zbieżności szeregu.
Dowód
- Niech granica $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \frac(a_(n+1) )(a_(n) ) =l$ istnieje i $0\le l 0$ istnieje $N( ( \rm \varepsilon ))\in $N, zaczynając od $\forall n\ge N=N((\rm \varepsilon ))$ nierówność $\left|\frac(a_(n+1)) ( a_n )-l\prawo|
Zapiszmy oryginalny szereg $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) \, \, \, (a_(n) >0) $ w postaci: $\sum \limits _(n= 1)^(\infty )a_(n) =a_(1) +a_(2) +\ldots +a_(N) +a_(N+1) +a_(N+2) \, + ...$. Rozważmy nowy szereg $\sum \limits _(k=0)^(\infty )a_(N) \cdot q^(k) =a_(N) +qa_(N) +q^(2) a_(N ) +\ldots $ . Ten szereg jest ciągiem postępu geometrycznego z $b_(1) =a_(N) $ i $0
- Niech $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \frac(a_(n+1) )(a_(n) ) =l>1$. Rozważmy liczbę q taką, że $l>q>1$. $(\rm \varepsilon )=l-q>0$, z definicji granicy wynika:$-(\rm \varepsilon ) q > 1.$Zatem $a_(n+1) >a_n > 0$ oraz dla $n \to \infty $ wspólny wyraz szeregu $a_(n) $ nie dąży do 0, tj. szereg $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_n $ jest rozbieżny, ponieważ nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu. Druga część twierdzenia została udowodniona.
- Jeśli $l=1$,$\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \frac(a_(n+1) )(a_(n) ) $ jest równe jeden lub nie istnieje, w w tym przypadku Do określenia zbieżności szeregu nie można zastosować testu D'Alemberta.
Przykład 1
Zbadaj szereg $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(n)(2^(n) ) $ pod kątem zbieżności.
Rozwiązanie. Oznaczmy $\frac(n)(2^(n) ) =a_(n) $, $a_(n) >0$; znajdźmy $a_(n+1) =\frac(n+1)(2^(n+1) ) $. Stwórzmy limit $l=\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \frac(a_(n+1) )(a_(n) ) =\mathop(\lim )\limits_(n\ to \ infty ) \frac((n+1)\cdot 2^(n) )(2^(n) \cdot 2\cdot n) =\frac(1)(2) \mathop(\lim )\limits_ (n \to \infty ) \frac(n+1)(n) =\frac(1)(2)
Odpowiedź: szereg $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(n)(2^(n) ) $jest zbieżny.
Przykład 2
Zbadaj szereg $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(n) pod kątem zbieżności{5^{n} } $.!}
Rozwiązanie. Oznaczmy $\frac(n{5^{n} } =a_{n} ,a_{n} >0$; найдём $a_{n+1} =\frac{(n+1)!}{5^{n+1} } $. Составим предел!}
te. Według kryterium d'Alemberta szereg jest rozbieżny.
Odpowiedź: seria $\suma \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(n{5^{n} } $ расходится.!}
Przykład 3
Zbadaj zbieżność szeregu $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \left(\frac(n)(2n+1) \right)^(n) $
Rozwiązanie. Oznaczmy $\left(\frac(n)(2n+1) \right)^(n) =a_(n) ,^() a_(n) >0$. Stwórzmy limit:
$l=\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \sqrt[(n)](a_(n) ) =\mathop(\lim )\limits_(n\to ) \frac(n) (2n+1) =\frac(1)(2)
Odpowiedź: szereg $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \left(\frac(n)(2n+1) \right)^(n) $zbiega się.
Definicja. Seria liczb(1.1)nazywa się dodatnim, jeśli wszystkie jego warunkiJakiś– liczby dodatnie. Częściowa kwota sen= a1+ a2 + …+ aN taki szereg dla dowolnej wartości N jest również, oczywiście, dodatnie i rośnie ich liczba N rośnie monotonicznie. Dlatego są tylko dwie możliwości:
2) gdzie S– jakaś liczba dodatnia.
W pierwszym przypadku szereg jest rozbieżny, w drugim zbieżny. To, która z tych dwóch możliwości zostanie zrealizowana, zależy oczywiście od zachowania wyrazów szeregu w N® ∞. Jeśli wyrazy te dążą do zera i robią to wystarczająco szybko, wówczas szereg będzie zbieżny. A jeśli nie dążą do zera lub zmierzają do niego, ale nie wystarczająco szybko, wówczas szereg będzie się rozchodził.
Na przykład w szeregu harmonicznym (1.16) mimo że wyrazy maleją, dążąc do zera, robią to raczej powoli. Zatem szereg harmoniczny okazał się rozbieżny. Ale w szeregu dodatnim (1.6) wyrazy mają tendencję do zerowania znacznie szybciej, więc okazało się, że są zbieżne.
Inny przykład. Zobacz serię
(1.18)
Zwany Uogólniony szereg harmoniczny(będzie to zwykły szereg harmoniczny). Jeśli zbadasz to pod kątem zbieżności - rozbieżności w taki sam sposób, w jaki badano szereg harmoniczny (1.16) (używając rysunku podobnego do rysunku 7.1), możesz ustalić (spróbuj tego sam), że uogólniony szereg harmoniczny jest rozbieżny przy (jej sumie ) i zbiega się przy (jej wartości S– skończona liczba dodatnia). I jest to zrozumiałe: gdy wyrazy uogólnionego szeregu harmonicznego maleją wolniej niż wyrazy szeregu harmonicznego. A ponieważ szereg harmoniczny jest rozbieżny (tempo zmniejszania się jego wyrazów jest niewystarczające do zbieżności), to uogólniony szereg harmoniczny (1.18) również będzie się jeszcze bardziej różnić. A kiedy wyrazy szeregu (1.18) oczywiście będą się zmniejszać szybciej niż wyrazy szeregu harmonicznego (1.16). I ta zwiększona stopa spadku okazuje się wystarczająca do zbieżności szeregu (1.18).
Rozważania te można ująć ściślej, w postaci tzw Znak porównania szeregów liczb dodatnich.
Jego istota jest następująca. Pozwalać
(1.19)
(1.20)
Dwie dowolne serie liczb dodatnich. I niech tak będzie dla każdego N=1,2,… . Oznacza to, że (1.20) jest szeregiem o większych wyrazach niż szereg (1.19). Wtedy oczywiste jest, że:
1) Jeśli szereg z większymi wyrazami jest zbieżny, to szereg z mniejszymi wyrazami jest zbieżny.
2) Jeżeli szereg o wyrazach mniejszych jest rozbieżny (jego suma jest równa +∞), to szereg o wyrazach większych również jest rozbieżny (jego suma jest jeszcze większa o +∞).
3) Jeżeli szereg z większymi wyrazami jest zbieżny (jego suma wynosi +∞), to nic nie można powiedzieć o szeregu z mniejszymi wyrazami.
4) Jeżeli szereg o mniejszych wyrazach jest zbieżny (jego suma jest liczbą), to o szeregu o większych wyrazach nie można nic powiedzieć.
Notatka 1. Formułując wszystkie cztery punkty kryterium porównania, można zastosować warunek, za pomocą którego porównywane są szeregi, który musi być spełniony dla wszystkich N=1,2,3,…, zamień na ten sam warunek, który nie dotyczy wszystkich N, ale tylko od określonej liczby N, czyli dla N> N, ponieważ odrzucenie skończonej liczby wyrazów szeregu nie wpływa na jego zbieżność.
Uwaga 2. Kryterium porównywania szeregów liczb dodatnich pozwala na uogólnienie. Mianowicie, jeśli istnieje granica skończona i niezerowa
, (1.21)
To znaczy, jeśli
(Bn równowartość Lan dla ), to dodatnie szeregi liczbowe (1.19) i (1.20) zbiegają się lub rozchodzą jednocześnie. Pozostawiamy tę uwagę bez dowodu.
Przykład 5 . Wiersz
(1.23)
Rozbiega się (jego suma wynosi +∞). Rzeczywiście, porównując ten szereg z harmoniczną (1.16), której wyrazy są mniejsze niż wyrazy szeregu (1.23) dla wszystkich N>1, od razu dochodzimy do tego wniosku na podstawie punktu 2 kryterium porównania. Jej rozbieżność wynika także z faktu, że jest to uogólniony szereg harmoniczny (1.18) dla .
Przykład 6. Wiersz
(1.24)
To pozytywna seria, w której mniej dla każdego N> 1 wyrazy niż seria
(1.25)
Ale szereg (1,25) jest sumą nieskończonego postępu geometrycznego z mianownikiem . Szereg taki, zgodnie z (1.15), jest zbieżny i ma sumę S=1. Ale wtedy mniejszy szereg (1,24) również jest zbieżny i jego suma wynosi .
Przykład 7 . Szereg - dodatni szereg liczbowy, którego wyrazy są
Na .
Ale liczba 
różni się na mocy (1.17). Oznacza to, że zgodnie z (1.22) ten szereg z wyrazami również jest rozbieżny Jakiś.
Objaw D'Alemberta . Ten znak jest następujący. Niech będzie dodatnim szeregiem liczbowym. Znajdźmy granicę Q związek kolejnego członka szeregu z poprzednim:
(1.26)
Udowodnił to XIX-wieczny francuski matematyk i mechanik D'Alembert Q<1 ряд Сходится; при Q>1 jest rozbieżny; Na Q=1 kwestia zbieżności - rozbieżność szeregu pozostaje otwarta. Pomijamy dowód kryterium d'Alemberta.
Przykład 8. Badanie zbieżności - rozbieżności dodatniego szeregu liczbowego.
. Zastosujmy do tego szeregu test d'Alemberta. Aby to zrobić, korzystając ze wzoru (1.26) obliczamy Q:
Od , następnie ten szereg jest zbieżny.
Całkowy test Cauchy’ego . Ten znak jest następujący. Jeśli członkowie Jakiś szereg dodatni maleje monotonicznie, to szereg ten i całka niewłaściwa są zbieżne lub rozbieżne jednocześnie. Oto ciągła, monotonicznie malejąca funkcja, przyjmująca at X = N wartości Jakiś członkowie serii.
Przed rozpoczęciem pracy z tym tematem radzę zapoznać się z sekcją z terminologią dotyczącą szeregów liczbowych. Szczególnie warto zwrócić uwagę na koncepcję wspólnego członka serii. Jeżeli masz wątpliwości co do prawidłowego wyboru kryterium zbieżności, radzę zapoznać się z tematem „Wybór kryterium zbieżności dla szeregów liczbowych”.
Niezbędny znak zbieżności szereg liczbowy ma proste sformułowanie: wspólny wyraz szeregu zbieżnego dąży do zera. Cechę tę można zapisać bardziej formalnie:
Jeśli szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ jest zbieżny, to $\lim_(n\to\infty)u_n=0$.
Często w literaturze zamiast sformułowania „konieczny znak zbieżności” pisze się „konieczny warunek zbieżności”. Przejdźmy jednak do sedna: co oznacza ten znak? A to oznacza, że: jeśli $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, to szereg Może skupiać. Jeśli $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ (lub granica po prostu nie istnieje), to szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ jest rozbieżny.
Warto zauważyć, że równość $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ nie oznacza zbieżności szeregu. Szereg może być zbieżny lub rozbieżny. Ale jeśli $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, to szereg jest rozbieżny. Jeśli te niuanse wymagają szczegółowych wyjaśnień, otwórz notatkę.
Co oznacza wyrażenie „warunek konieczny”? Pokaż ukryj
Wyjaśnijmy pojęcie warunku koniecznego na przykładzie. Kupię długopis dla ucznia niezbędny mieć 10 rubli. Można to zapisać w ten sposób: jeśli uczeń kupi długopis, to ma 10 rubli. Warunkiem koniecznym zakupu pióra jest posiadanie dziesięciu rubli.
Niech ten warunek będzie spełniony, tj. Uczeń ma dziesiątkę. Czy to oznacza, że kupi długopis? Zupełnie nie. Może kupić długopis lub odłożyć pieniądze na później. Albo kup coś innego. Lub podaruj je komuś - możliwości jest wiele :) Innymi słowy, spełnienie warunku niezbędnego do zakupu długopisu (czyli posiadanie pieniędzy) wcale nie gwarantuje zakupu tego pióra.
Podobnie warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ wcale nie gwarantuje zbieżności tego właśnie szeregu. Prosta analogia: jeśli są pieniądze, student może kupić długopis lub nie. Jeśli $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, szereg może być zbieżny lub rozbieżny.
Co się jednak stanie, jeśli nie zostanie spełniony warunek konieczny zakupu długopisu, tj. nie ma już pieniędzy? Wtedy student na pewno nie kupi długopisu. To samo dotyczy szeregów: jeśli nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności, tj. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, to szereg na pewno będzie rozbieżny.
Krótko mówiąc: jeśli spełniony zostanie warunek konieczny, konsekwencja może wystąpić lub nie. Jeśli jednak warunek konieczny nie zostanie spełniony, konsekwencja na pewno nie wystąpi.
Dla jasności podam przykład dwóch szeregów: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ i $\sum\limits_(n=1)^(\ infty)\frac( 1)(n^2)$. Wspólny wyraz pierwszego szeregu $u_n=\frac(1)(n)$ i wspólny wyraz drugiego szeregu $v_n=\frac(1)(n^2)$ dążą do zera, tj.
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n)=0;\; \lim_(n\to\infty)v_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n^2)=0. $$
Jednakże szereg harmoniczny $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ jest rozbieżny, a szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ frac(1 )(n^2)$ jest zbieżny. Spełnienie koniecznego warunku zbieżności wcale nie gwarantuje zbieżności szeregu.
Na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregu możemy sformułować wystarczający dowód rozbieżności seria liczb:
Jeśli $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, to szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ jest rozbieżny.
Najczęściej w standardowych przykładach niezbędny znak zbieżności sprawdza się, jeśli wspólny wyraz szeregu jest reprezentowany przez ułamek, którego licznikiem i mianownikiem są określone wielomiany. Na przykład $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ (patrz przykład nr 1). Mogą też istnieć pierwiastki z wielomianów (patrz przykład nr 2). Istnieją przykłady, które nieco odbiegają od tego schematu, ale jest to rzadkie w przypadku standardowych testów (patrz przykłady w drugiej części tego tematu). Podkreślę najważniejsze: stosując niezbędne kryterium, nie da się udowodnić zbieżności szeregu. Znaku tego używamy, gdy chcemy udowodnić, że szereg jest rozbieżny.
Przykład nr 1
Zbadaj zbieżność szeregu $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$.
Ponieważ dolna granica sumowania wynosi 1, wyraz ogólny szeregu zapisuje się pod znakiem sumy: $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Znajdźmy granicę ogólnego wyrazu szeregu:
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)=\left|\frac(\infty) (\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n^2)(n^2)+\frac(2n)(n^2)-\frac(1)( n^2))(\frac(5n^2)(n^2)+\frac(7)(n^2))= \lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(2) (n)-\frac(1)(n^2))(5+\frac(7)(n^2))=\frac(3+0-0)(5+0)=\frac(3) (5). $$
„Granica stosunku dwóch wielomianów”. Ponieważ granica ogólnego wyrazu szeregu nie jest równa zeru, tj. $\lim_(n\to\infty)u_n=\frac(3)(5)\neq 0$, to niezbędne kryterium zbieżności nie jest spełnione. Zatem szereg jest rozbieżny.
Rozwiązanie jest kompletne, jednak sądzę, że czytelnik będzie miał całkowicie uzasadnione pytanie: jak w ogóle zauważyliśmy, że konieczne jest sprawdzenie spełnienia warunku koniecznego zbieżności? Istnieje wiele oznak zbieżności szeregów liczbowych, więc dlaczego wybrałeś ten? To pytanie wcale nie jest bezczynne. Ponieważ jednak odpowiedź na to pytanie może nie być interesująca dla wszystkich czytelników, ukryłem ją pod notatką.
Dlaczego zaczęliśmy stosować dokładnie niezbędne kryterium zbieżności? Pokaż ukryj
Delikatnie mówiąc, kwestia zbieżności tego szeregu jest rozwiązana jeszcze przed formalnym badaniem. Nie będę poruszał takiego tematu jak kolejność wzrostu, podam po prostu pewne ogólne rozumowanie. Przyjrzyjmy się bliżej wspólnemu wyrazowi szeregu $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Najpierw spójrzmy na licznik. Liczbę (-1) znajdującą się w liczniku można od razu odrzucić: jeśli $n\to\infty$, to liczba ta będzie zaniedbywalnie mała w porównaniu z pozostałymi wyrazami.
Przyjrzyjmy się potęgom $n^2$ i $n$ obecnym w liczniku. Pytanie: Który element ($n^2$ lub $n$) będzie rósł szybciej niż inne?
Odpowiedź tutaj jest prosta: $n^2$ najszybciej zwiększy swoje wartości. Na przykład, gdy $n=100$, to $n^2=10\;000$. A ta różnica pomiędzy $n$ i $n^2$ będzie coraz większa. Dlatego mentalnie odrzucamy wszystkie terminy z wyjątkiem tych zawierających $n^2$. Po tym „odrzuceniu” w liczniku pozostanie 3n^2$. A po przeprowadzeniu podobnej procedury dla mianownika pozostanie 5n^2$. A ułamek $\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ będzie teraz wynosić: $\frac(3n^2)(5n^2)=\frac(3)(5)$ . Te. w nieskończoności wyraz ogólny wyraźnie nie będzie dążył do zera. Pozostaje tylko pokazać to formalnie, co zostało zrobione powyżej.
Często przy pisaniu ogólnego terminu szeregu używane są elementy takie jak na przykład $\sin\alpha$ lub $\arctg\alpha$ i tym podobne. Trzeba tylko pamiętać, że wartości takich wielkości nie mogą przekraczać pewnych granic liczbowych. Na przykład, niezależnie od wartości $\alpha$, wartość $\sin\alpha$ pozostanie w granicach $-1≤\sin\alpha≤ 1$. Oznacza to, że możemy na przykład napisać, że $-1≤\sin(n!e^n)≤ 1$. Wyobraźmy sobie teraz, że w zapisie wyrazu ogólnego szeregu znajduje się wyrażenie takie jak $5n+\sin(n!e^n)$. Czy sinus, który może jedynie „wahać się” od -1 do 1, odegra jakąś znaczącą rolę? Przecież wartości $n$ dążą do nieskończoności, a sinus nie może nawet przekroczyć jednego! Dlatego po wstępnym rozważeniu wyrażenia $5n+\sin(n!e^n)$ sinus można po prostu odrzucić.
Lub, na przykład, weźmy arcustangens. Niezależnie od wartości argumentu $\alpha$, wartości $\arctg\alpha$ spełnią nierówność $-\frac(\pi)(2)<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.
Określenie, które elementy można „odrzucić”, a które nie, wymaga pewnych umiejętności. Najczęściej kwestię zbieżności szeregu można rozwiązać jeszcze przed formalnymi badaniami. A formalne badania na standardowych przykładach służą jedynie potwierdzeniu intuicyjnie uzyskanego wyniku.
Odpowiedź: szereg jest rozbieżny.
Przykład nr 2
Zbadaj szereg $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)$ pod kątem zbieżności.
Ponieważ dolna granica sumowania wynosi 1, wyraz ogólny szeregu zapisuje się pod znakiem sumy: $u_n=\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12 )$. Znajdźmy granicę ogólnego wyrazu szeregu:
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)=\ lewo|\frac(\infty)(\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(\frac(4n^7)(n^7)+\frac(5n^3 )(n^7)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9n^2)(n^(\frac(7)(3)))-\frac(n)(n^ (\frac(7)(3)))+\frac(12)(n^(\frac(7)(3))))= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4+ \frac(5)(n^4)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9)(n^\frac(1)(3))-\frac(1)(n^ \frac(4)(3))+\frac(12)(n^\frac(7)(3)))=+\infty. $$
Jeśli metoda rozwiązania tej granicy rodzi pytania, radzę przejść do tematu „Granice z irracjonalnością, trzecia część” (przykład nr 7). Ponieważ granica ogólnego wyrazu szeregu nie jest równa zeru, tj. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, to niezbędne kryterium zbieżności nie jest spełnione. Zatem szereg jest rozbieżny.
Porozmawiajmy trochę z pozycji intuicyjnego rozumowania. W zasadzie wszystko, co zostało powiedziane w uwadze do rozwiązania przykładu nr 1, jest tutaj prawdą. Jeśli w myślach „odrzucisz” wszystkie „nieistotne” wyrazy w liczniku i mianowniku wspólnego wyrazu szeregu, wówczas ułamek $\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2 -n+12)$ przyjmie postać : $\frac(\sqrt(4n^7))(9n^2)=\frac(n^2\sqrt(4n))(9n^2)=\frac( \sqrt(4n))(9)$ . Te. Jeszcze przed formalnym badaniem staje się jasne, że dla $n\to\infty$ ogólny wyraz szeregu nie będzie dążył do zera. W kierunku nieskończoności tak będzie, ale do zera nie. Dlatego pozostaje tylko pokazać to ściśle, co zrobiono powyżej.
Odpowiedź: szereg jest rozbieżny.
Przykład nr 3
Zbadaj zbieżność szeregu $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)$.
Ponieważ dolna granica sumowania wynosi 1, wyraz ogólny szeregu zapisuje się pod znakiem sumy: $u_n=5^n\sin\frac(8)(3^n)$. Znajdźmy granicę ogólnego wyrazu szeregu:
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)=\lim_(n\to \infty)\frac(\sin\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left| \begin(aligned)&\frac(8)(3^n)\to 0;\\&\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)(3^n). \end(aligned)\right|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=8\cdot\lim_ (n\to\infty)\left(\frac(5)(3)\right)^n=+\infty. $$
Ponieważ granica ogólnego wyrazu szeregu nie jest równa zeru, tj. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, to niezbędne kryterium zbieżności nie jest spełnione. Zatem szereg jest rozbieżny.
Kilka słów o przekształceniach jakie zostały przeprowadzone przy obliczaniu granicy. W liczniku umieszczono wyrażenie $5^n$, aby zarówno licznik, jak i mianownik były nieskończenie małe. Te. dla $n\to\infty$ mamy: $\sin\frac(8)(3^n)\to 0$ i $\frac(1)(5^n)\to 0$. A jeśli mamy stosunek nieskończenie małych, to możemy bezpiecznie zastosować wzory wskazane w dokumencie „Równoważne funkcje nieskończenie małe” (patrz tabela na końcu dokumentu). Zgodnie z jednym z tych wzorów, jeśli $x\to 0$, to $\sin x\sim x$. I mamy właśnie taki przypadek: skoro $\frac(8)(3^n)\do 0$, to $\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)( 3^n )$. Innymi słowy, po prostu zastępujemy wyrażenie $\sin\frac(8)(3^n)$ wyrażeniem $\frac(8)(3^n)$.
Przypuszczam, że może pojawić się pytanie, dlaczego przekształciliśmy wyrażenie $5^n\sin\frac(8)(3^n)$ na postać ułamka zwykłego, skoro zamiany można było dokonać bez takiej konwersji. Odpowiedź jest następująca: można dokonać wymiany, ale czy będzie to legalne? Twierdzenie o równoważnych funkcjach nieskończenie małych daje jednoznaczne wskazanie, że takie podstawienia są możliwe tylko w wyrażeniach postaci $\frac(\alpha(x))(\beta(x))$ (w tym przypadku $\alpha(x)$ i $\beta (x)$ - nieskończenie), znajdujące się pod znakiem limitu. Przekształciliśmy więc nasze wyrażenie do postaci ułamka zwykłego, dostosowując je do wymagań twierdzenia.
Odpowiedź: szereg jest rozbieżny.
Przykład nr 4
Zbadaj zbieżność szeregu $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3^n)(n^2)$.
Ponieważ dolna granica sumowania wynosi 1, wyraz wspólny szeregu zapisuje się pod znakiem sumy: $u_n=\frac(3^n)(n^2)$. W rzeczywistości kwestię zbieżności tego szeregu można łatwo rozwiązać za pomocą testu D'Alemberta, można jednak zastosować również niezbędny test zbieżności.
Przyjrzyjmy się bliżej wspólnemu wyrazowi szeregu. Licznik zawiera wyrażenie $3^n$, które wraz ze wzrostem $n$ rośnie znacznie szybciej niż $n^2$ znajdujące się w mianowniku. Porównaj sam: na przykład, jeśli $n=10$, to $3^n=59049$ i $n^2=100$. Luka ta szybko rośnie wraz ze wzrostem $n$.
Całkiem logiczne jest założenie, że jeśli $n\to\infty$, to $u_n$ nie będzie dążyć do zera, tj. warunek konieczny zbieżności nie zostanie spełniony. Pozostaje tylko przetestować tę bardzo prawdopodobną hipotezę i obliczyć $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3^n)(n^2)$. Jednak przed obliczeniem tej granicy znajdziemy granicę pomocniczą funkcji $y=\frac(3^x)(x^2)$ dla $x\to +\infty$, czyli Obliczmy $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)$. Dlaczego to robimy: faktem jest, że w wyrażeniu $u_n=\frac(3^n)(n^2)$ parametr $n$ przyjmuje tylko wartości naturalne ($n=1,2,3, \ldots$) , a argument $x$ funkcji $y=\frac(3^x)(x^2)$ przyjmuje wartości rzeczywiste. Znajdując $\lim_(x\to+\infty)\frac(3^x)(x^2)$ możemy zastosować regułę L'Hopitala:
$$ \lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text (zastosuj L'Hopital reguła) |=\lim_(x\to +\infty)\frac(\left(3^x\right)")(\left(x^2\right)")=\lim_(x\to +\infty )\ frac(3^x\ln 3)(2x)=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x) =\ left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text(zastosuj regułę L'Hopitala)|=\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (\left(3^x\right)")(\left(x\right)")=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (3^x\ln 3)(1)=\frac(\ln^2 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)3^x=+\infty. $$
Ponieważ $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=+\infty$, to $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to \ infty)\frac(3^n)(n^2)=+\infty$. Ponieważ $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, to warunek konieczny zbieżności szeregu nie jest spełniony, tj. dany szereg jest rozbieżny.
Odpowiedź: szereg jest rozbieżny.
Inne przykłady szeregów, których zbieżność sprawdza się za pomocą niezbędnego testu zbieżności, znajdują się w drugiej części tego tematu.
W praktyce często nie tyle ważne jest znalezienie sumy szeregu, ile odpowiedź na pytanie o zbieżność szeregu. W tym celu stosuje się kryteria zbieżności bazujące na własnościach wspólnego wyrazu szeregu.
NIEZBĘDNY ZNAK ZBIEŻNOŚCI SZEREGOWEGO
TWIERDZENIE 1.
Jeśli szereg jest zbieżny, to jego wspólny wyraz A n dąży do zera jako, tj. .
W skrócie: jeśli szereg jest zbieżny, to jego wspólny wyraz dąży do zera.
Wniosek: jeśli , to szereg jest rozbieżny.
Przykład 15.
Rozwiązanie. W przypadku tej serii powszechnym terminem jest i .
Dlatego ten szereg jest rozbieżny.
Przykład 16. Zbadaj szereg pod kątem zbieżności .
Rozwiązanie. Jest oczywiste, że ogólny wyraz tego szeregu, którego formy nie jest wskazana ze względu na uciążliwość wyrażenia, dąży do zera, ponieważ n®¥, te. konieczne kryterium zbieżności szeregu jest spełnione, ale szereg ten jest rozbieżny, ponieważ jest jego sumą dąży do nieskończoności.
WYSTARCZAJĄCE OZNAKI KONWERGENCJI
SERIA ZNAK DODATNI
Nazywa się szereg liczbowy, w którym wszystkie wyrazy są dodatnie znak pozytywny.
TWIERDZENIE 2. (Pierwszy znak porównania).
Niech zostaną dane dwa szeregi ze znakami dodatnimi:
1+ A 2 +A 3 +...+A n +...=(17)
b 1 + B 2 +B 3 +...+B n +...= ,(18)
i zaczynając od określonej liczby N, dla kazdego N>N nierówność zachodzi A n £ B N. Następnie:
1) ze zbieżności szeregu („większy”) wynika zbieżność szeregu („mniejszy”);
2) z rozbieżności szeregu („mniejsza”) wynika rozbieżność szeregu („większa”).
Schematyczne oznaczenie pierwszej cechy porównawczej:
A n £ B N
zejście.zbieranie
exp.®exp.
Aby zastosować tę funkcję, często stosuje się takie standardowe szeregi, których zbieżność lub rozbieżność jest znana z góry, na przykład:
1) ¾ geometryczny, (zbiega się i rozchodzi w );
2) - harmoniczny (rozbieżny);
3) - Szereg Dirichleta (zbiega się dla a>1 i rozbiega się dla £1).
Rozważmy na konkretnym przykładzie schemat badania szeregu dodatniego pod kątem zbieżności przy użyciu pierwszego kryterium porównania.
Przykład 17.
Rozwiązanie. Krok 1. Sprawdźmy znak dodatni szeregu: .
Krok 2. Sprawdźmy spełnienie niezbędnego kryterium zbieżności szeregu: . Od tego czasu.
(Jeśli obliczenie limitu jest trudne, możesz pominąć ten krok.)
Krok 3. Użyj pierwszej funkcji porównania. Wybierzmy serię standardową dla tej serii. Ponieważ możemy przyjąć szereg jako standard, tj. Seria Dirichleta. Szereg ten jest zbieżny, ponieważ wykładnik a= >1. W konsekwencji, zgodnie z pierwszym kryterium porównania, badany szereg jest również zbieżny.
Przykład 18. Zbadaj szereg pod kątem zbieżności.
Rozwiązanie. 1. Ten szereg jest dodatni, ponieważ dla N=1,2,3,... .
2. Niezbędne kryterium zbieżności szeregu jest spełnione, ponieważ
3. Wybierzmy standardowy wiersz. Ponieważ , możemy przyjąć szereg geometryczny () jako standard. Szereg ten jest zbieżny, zatem badany szereg jest zbieżny.
TWIERDZENIE 3. (Drugi znak porównania )
Jeśli dla szeregów dodatnich istnieje skończona granica różna od zera, to szeregi są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.
Jeśli A n ®0 dla n®¥ (konieczny znak zbieżności), to z warunku wynika, że A n i b n są nieskończenie małymi tego samego rzędu małości (odpowiednik l=1). Dlatego też, jeśli podano serię , Gdzie A n ®0 o godz N®0, wówczas dla tego szeregu możemy przyjąć szereg standardowy, w którym występuje wspólny termin b n ma ten sam rząd małości co wyraz ogólny danego szeregu.
Przykład 19. Zbadaj szereg pod kątem zbieżności
Rozwiązanie. Ten szereg ma znak dodatni, ponieważ dla dowolnego nÎN.
Ponieważ ~ ~ , szereg rozbieżny harmoniczny traktujemy jako szereg standardowy. Od granicy stosunku wspólnych terminów jakiś i jest skończony i różny od zera (jest równy 1), to na podstawie drugiego kryterium porównania szereg ten jest rozbieżny.
TWIERDZENIE 4.(Objaw D'Alemberta )
Jeśli szereg dodatni ma skończoną granicę, to szereg ten jest zbieżny w punkcie l<1 и расходится при l>1.
Uwagi:
1) Jeżeli l=1, Twierdzenie 4 nie odpowiada na pytanie o zbieżność szeregu i dlatego konieczne jest użycie innych znaków zbieżności.
2) Test D'Alemberta jest wygodny w praktyce, gdy wspólny wyraz szeregu zawiera funkcję wykładniczą lub silnię.
Przykład 20. Zbadaj szereg pod kątem zbieżności według znaku D'Alemberta.
Uwagi:
1) Jeżeli l=1, Twierdzenie 5 nie daje odpowiedzi na pytanie o zbieżność szeregu, zatem konieczne jest zastosowanie innych kryteriów porównania.
2) Jeżeli l=¥, to szereg jest rozbieżny.
Przykład 22. Zbadaj szereg pod kątem zbieżności.
Rozwiązanie. Ta seria jest pozytywna, ponieważ dla każdego nÎN. Pomijając weryfikację spełnialności niezbędnego kryterium zbieżności szeregu, od razu skorzystamy z Twierdzenia 5. Ponieważ , to zgodnie z kryterium Cauchy'ego szereg ten jest rozbieżny.
TWIERDZENIE 6. (Całkowy test Cauchy’ego)
Niech funkcja k(x) ciągła, nieujemna i nierosnąca dla każdego x³m, Gdzie M- jakaś liczba nieujemna. Następnie szereg liczbowy
jest zbieżny, jeśli całka niewłaściwa jest zbieżna
- W kontakcie z 0
- Google+ 0
- OK 0
- Facebook 0
