Нормальное распределение непрерывных случайных величин. Законы распределения случайной величины Вероятность того что нормально распределенная случайная величина

Подставив a = 28, b = 38, m = 32, σ= 4, получим

Р (28< Х< 38)= Ф(1,5) Ф(1)

По таблице значений функции Ф(х ) находим Ф(1,5) = 0,4332, Ф(1) = 0,3413.

Итак, искомая вероятность:

P (28

Задачи

6.1. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-3;5). Найдите:

а) плотность распределения f (x );

б) функции распределения F (x );

в) числовые характеристики;

г) вероятность Р (4<х <6).

6.2. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке . Найдите:

а) плотность распределения f (x );

б) функцию распределения F (x );

в) числовые характеристики;

г) вероятность Р (3≤х ≤6).

6.3. На шоссе установлен автоматический светофор, в котором 2 минуты для транспорта горит зеленый свет, 3 секунды - желтый и 30 секунд - красный и т.д. Машина проезжает по шоссе в случайный момент времени. Найти вероятность того, что машина проедет мимо светофора, не останавливаясь.

6.4. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать поезд пассажиру придется больше 50 секунд. Найти математическое ожидание случайной величины Х - время ожидания поезда.

6.5. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного функцией распределения:

6.6. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:

а) Назовите закон распределения рассматриваемой случайной величины.

б) Найдите функцию распределения F (x ) и числовые характеристики случайной величины Х .

6.7. Случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью распределения вероятностей:

Х примет значение из интервала (2,5;5).

6.8. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка .

6.9. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 8 и 2. Найдите:

а) плотность распределения f (x );

б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (10;14).

6.10. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 3,5 и дисперсией 0,04. Найдите:

а) плотность распределения f (x );

б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка .

6.11. Случайная величина Х распределена нормально с M (X ) = 0 и D (X )= 1. Какое из событий: |Х |≤0,6 или |Х |≥0,6 имеет большую вероятность?

6.12. Случайная величина Х распределена нормально с M (X ) = 0 и D (X )= 1.Из какого интервала (-0,5; -0,1) или (1; 2) при одном испытании она примет значение с большей вероятностью?

6.13. Текущая цена за одну акцию может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с M (X )= 10 ден. ед. и σ(Х ) = 0,3 ден. ед. Найти:

а) вероятность того, что текущая цена акции будет от 9,8 ден. ед. до 10,4 ден. ед.;

б) с помощью "правила трех сигм" найти границы, в которых будет находиться текущая цена акции.

6.14. Производится взвешивание вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ= 5г. Найти вероятность того, что в четырех независимых опытах ошибка при трех взвешиваниях не превзойдет по абсолютной величине 3 г.

6.15. Случайная величина Х распределена нормально с M (X)= 12,6. Вероятность попадания случайной величины в интервал (11,4; 13,8) равна 0,6826. Найдите среднее квадратическое отклонение σ.

6.16. Случайная величина Х распределена нормально с M (X ) = 12 и D (X ) = 36. Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадет в результате испытания случайная величина Х .

6.17. Деталь, изготовленная автоматом, считается бракованной, если отклонение Х ее контролируемого параметра от номинала превышает по модулю 2 единицы измерения. Предполагается, что случайная величина Х распределена нормально с M (X ) = 0 и σ(Х ) = 0,7. Сколько процентов бракованных деталей выдает автомат?

3.18. Параметр Х детали распределен нормально с математическим ожиданием 2, равным номиналу, и средним квадратическим отклонением 0,014. Найти вероятность того, что отклонение Х от номинала по модулю не превысит 1 % номинала.

Ответы

в) M (X )=1, D (X )=16/3, σ(Х )= 4/ , г)1/8.

в) M (X )=4,5, D (X ) =2 , σ (Х )= , г)3/5.

6.3. 40/51.

6.4. 7/12, M (X )=1.

6.5. D (X ) = 1/64, σ (Х )=1/8

6.6. M (X )=1 , D (X ) =2 , σ (Х )= 1 .

6.7. Р(2,5<Х <5)=е -1 е -2 ≈0,2325 6.8. Р(2≤Х ≤5)=0,252.

б) Р (10 < Х < 14) ≈ 0,1574.

б) Р (3,1 ≤ Х ≤ 3,7) ≈ 0,8185.

6.11. |x |≥0,6.

6.12. (-0,5; -0,1).

6.13. а) Р(9,8 ≤ Х ≤ 10,4) ≈ 0,6562 6.14. 0,111.

б) (9,1; 10,9).

6.15. σ = 1,2.

6.16. (-6; 30).

6.17. 0,4 %.

Случайная величина Х имеет нормальное распределение (или распределение по закону Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид:
,
где параметры а – любое действительное число и σ >0.
График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Нормальная кривая (рис. 2.12) симметрична относительно прямой х =а , имеет максимальную ординату , а в точках х = а ± σ – перегиб.

Рис. 2.12
Доказано, что параметр а является математическим ожиданием (также модой и медианой), а σ – средним квадратическим отклонением. Коэффициенты асимметрии и эксцесса для нормального распределения равны нулю:As = Ex = 0.
Установим теперь, как влияет изменение параметров а и σ на вид нормальной кривой. При изменении параметра а форма нормальной кривой не изменяется. В этом случае, если математическое ожидание (параметр а ) уменьшилось или увеличилось, график нормальной кривой сдвигается влево или вправо (рис. 2.13).
При изменении параметра σ изменяется форма нормальной кривой. Если этот параметр увеличивается, то максимальное значение функции убывает, и наоборот. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох , должна быть постоянной и равной 1, то с увеличением параметра σ кривая приближается к оси Ох и растягивается вдоль нее, а с уменьшением σ кривая стягивается к прямой х = а (рис. 2.14).

Рис. 2.13 Рис. 2.14
Функция плотности нормального распределения φ(х ) с параметрами а = 0, σ = 1 называется плотностью стандартной нормальной случайной величины , а ее график – стандартной кривой Гаусса.
Функция плотности нормальной стандартной величины определяется формулой , а ее график изображен на рис. 2.15.
Из свойств математического ожидания и дисперсии следует, что для величины , D(U )=1, M (U ) = 0. Поэтому стандартную нор мальную кривую можно рассматривать как кривую распределения случайной величины , где Х – случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения с параметрами а и σ.
Нормальный закон распределения случайной величины в интегральной форме имеет вид
(2.10)
Полагая в интеграле (3.10) , получим
,
где . Первое слагаемое равно 1/2 (половине площади криволинейной трапеции, изображенной на рис. 3.15). Второе слагаемое
(2.11)
называется функцией Лапласа , а также интегралом вероятности.
Поскольку интеграл в формуле (2.11) не выражается через элементарные функции, для удобства расчетов составлена для z ≥ 0 таблица функции Лапласа. Чтобы вычислить функцию Лапласа для отрицательных значений z , необходимо воспользоваться нечетностью функции Лапласа: Ф(–z ) = – Ф(z ). Окончательно получаем расчетную формулу

Отсюда получаем, что для случайной величины Х , подчиняющейся нормальному закону, вероятность ее попадания на отрезок [ α, β] есть
(2.12)
С помощью формулы (2.12) найдем вероятность того, что модуль отклонения нормального распределения величины Х от ее центра распределения а меньше 3σ. Имеем
Р(|x – a | < 3 s) =P(а –3 s< X < а +3 s)= Ф(3) – Ф(–3) = 2Ф(3) »0,9973.
Значение Ф(3) получено по таблице функции Лапласа.
Принято считать событие практически достоверным , если его вероятность близка к единице, и практически невозможным, если его вероятность близка к нулю.
Мы получили так называемое правило трех сигм : для нормального распределения событие (|x –a | < 3σ) практически достоверно.
Правило трех сигм можно сформулировать иначе: хотя нормальная случайная величина распределена на всей оси х , интервал ее практически возможных значений есть (a –3σ, a +3σ) .
Нормальное распределение имеет ряд свойств, делающих его одним из самых употребительных в статистике распределений.
Если предоставляется возможность рассматривать некоторую случайную величину как сумму достаточно большого числа других случайных величин, то данная случайная величина обычно подчиняется нормальному закону распределения. Суммируемые случайные величины могут подчиняться каким угодно распределениям, но при этом должно выполняться условие их независимости (или слабой независимости). Также ни одна из суммируемых случайных величин не должна резко отличаться от других, т.е. каждая из них должна играть в общей сумме примерно одинаковую роль и не иметь исключительно большую по сравнению с другими величинами дисперсию.
Этим и объясняется широкая распространенность нормального распределения. Оно возникает во всех явлениях, процессах, где рассеяния случайной изучаемой величины вызывается большим количеством случайных причин, влияние каждой из которых в отдельности на рассеяние ничтожно мало.
Большинство встречающихся на практике случайных величин (таких, например, как количества продаж некоторого товара, ошибка измерения; отклонение снарядов от цели по дальности или по направлению; отклонение действительных размеров деталей, обработанных на станке, от номинальных размеров и т.д.) может быть представлено как сумма большого числа независимых случайных величин, оказывающих равномерно малое влияние на рассеяние суммы. Такие случайные величины принято считать нормально распределенными. Гипотеза о нормальности подобных величин находит свое теоретическое обоснование в центральной предельной теореме и получила многочисленные практические подтверждения.
Представим себе, что некоторый товар реализуется в нескольких торговых точках. Из–за случайного влияния различных факторов количества продаж товара в каждой точке будут несколько различаться, но среднее всех значений будет приближаться к истинному среднему числу продаж.
Отклонения числа продаж в каждой торговой точке от среднего образуют симметричную кривую распределения, близкую к кривой нормального распределения. Любое систематическое влияние какого-либо фактора проявится в асимметрии распределения.
Задача . Случайная величина распределена нормально с параметрами а = 8, σ = 3.Найти вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение, заключенной в интервале (12,5; 14).
Решение . Воспользуемся формулой (2.12). Имеем

Задача . Число проданного за неделю товара определенного вида Х можно считать распределенной нормально. Математическое ожидание числа продаж тыс. шт. Среднее квадратическое отклонение этой случайной величины σ = 0,8 тыс. шт. Найти вероятность того, что за неделю будет продано от 15 до 17 тыс. шт. товара.
Решение. Случайная величина Х распределена нормально с параметрами а = М(Х ) = 15,7; σ = 0,8. Требуется вычислить вероятность неравенства 15 ≤ X ≤ 17. По формуле (2.12) получаем

На практике большинство случайных величин, на которых воздействует большое количество случайных факторов, подчиняются нормальному закону распределения вероятностей. Поэтому в различных приложениях теории вероятностей этот закон имеет особое значение.

Случайная величина $X$ подчиняется нормальному закону распределения вероятностей, если ее плотность распределения вероятностей имеет следующий вид

$$f\left(x\right)={{1}\over {\sigma \sqrt{2\pi }}}e^{-{{{\left(x-a\right)}^2}\over {2{\sigma }^2}}}$$

Схематически график функции $f\left(x\right)$ представлен на рисунке и имеет название «Гауссова кривая». Справа от этого графика изображена банкнота в 10 марок ФРГ, которая использовалась еще до появления евро. Если хорошо приглядеться, то на этой банкноте можно заметить гауссову кривую и ее первооткрывателя величайшего математика Карла Фридриха Гаусса.

Вернемся к нашей функции плотности $f\left(x\right)$ и дадим кое-какие пояснения относительно параметров распределения $a,\ {\sigma }^2$. Параметр $a$ характеризует центр рассеивания значений случайной величины, то есть имеет смысл математического ожидания. При изменении параметра $a$ и неизмененном параметре ${\sigma }^2$ мы можем наблюдать смещение графика функции $f\left(x\right)$ вдоль оси абсцисс, при этом сам график плотности не меняет своей формы.

Параметр ${\sigma }^2$ является дисперсией и характеризует форму кривой графика плотности $f\left(x\right)$. При изменении параметра ${\sigma }^2$ при неизмененном параметре $a$ мы можем наблюдать, как график плотности меняет свою форму, сжимаясь или растягиваясь, при этом не сдвигаясь вдоль оси абсцисс.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал

Как известно, вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ можно вычислять $P\left(\alpha < X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Здесь функция $\Phi \left(x\right)={{1}\over {\sqrt{2\pi }}}\int^x_0{e^{-t^2/2}dt}$ - функция Лапласа. Значения этой функции берутся из . Можно отметить следующие свойства функции $\Phi \left(x\right)$.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, то есть функция $\Phi \left(x\right)$ является нечетной.

2 . $\Phi \left(x\right)$ - монотонно возрастающая функция.

3 . ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } \Phi \left(x\right)\ }=0,5$, ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } \Phi \left(x\right)\ }=-0,5$.

Для вычисления значений функции $\Phi \left(x\right)$ можно также воспользоваться мастером функция $f_x$ пакета Excel: $\Phi \left(x\right)=НОРМРАСП\left(x;0;1;1\right)-0,5$. Например, вычислим значений функции $\Phi \left(x\right)$ при $x=2$.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины $X\in N\left(a;\ {\sigma }^2\right)$ в интервал, симметричный относительно математического ожидания $a$, может быть вычислена по формуле

$$P\left(\left|X-a\right| < \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Правило трех сигм . Практически достоверно, что нормально распределенная случайная величина $X$ попадет в интервал $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

Пример 1 . Случайная величина $X$ подчинена нормальному закону распределения вероятностей с параметрами $a=2,\ \sigma =3$. Найти вероятность попадания $X$ в интервал $\left(0,5;1\right)$ и вероятность выполнения неравенства $\left|X-a\right| < 0,2$.

Используя формулу

$$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

находим $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left({{1-2}\over {3}}\right)-\Phi \left({{0,5-2}\over {3}}\right)=\Phi \left(-0,33\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,5\right)-\Phi \left(0,33\right)=0,191-0,129=0,062$.

$$P\left(\left|X-a\right| < 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

Пример 2 . Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 50 условным денежным единицам, и стандартным отклонением, равным 10. Чему равна вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию будет:

а) более 70 условных денежных единиц?

б) ниже 50 за акцию?

в) между 45 и 58 условными денежными единицами за акцию?

Пусть случайная величина $X$ - цена на акции некоторой компании. По условию $X$ подчинена нормальному закону распределению с параметрами $a=50$ - математическое ожидание, $\sigma =10$ - стандартное отклонение. Вероятность $P\left(\alpha < X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left({{\infty -50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{70-50}\over {10}}\right)=0,5-\Phi \left(2\right)=0,5-0,4772=0,0228.$$

$$б)\ P\left(X < 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$в)\ P\left(45 < X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$