Linjär funktion och dess. Linjär funktion, dess egenskaper och graf

Att upprätthålla din integritet är viktigt för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs igenom vår sekretesspraxis och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Nedan finns några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information samlar vi in:

• När du skickar in en begäran på webbplatsen kan vi samla in olika information, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress osv.

Hur vi använder din personliga information:

• Samlas av oss personlig information tillåter oss att kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
• Vi kan även använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
• Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande kampanj kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande av information till tredje part

Vi lämnar inte ut informationen från dig till tredje part.

Undantag:

• Om nödvändigt - i enlighet med lagen, rättsliga förfaranden, i rättsliga förfaranden och/eller på grundval av offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga myndigheter på Ryska federationens territorium - att avslöja din personliga information. Vi kan också komma att avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhets-, brottsbekämpande eller andra offentliga ändamål.
• I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra den personliga information vi samlar in till tillämplig efterträdande tredje part.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Respektera din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker kommunicerar vi sekretess- och säkerhetsstandarder till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

>>Matematik: Linjär funktion och dess graf

Linjär funktion och dess graf

Algoritmen för att konstruera en graf av ekvationen ax + by + c = 0, som vi formulerade i § 28, för all dess tydlighet och säkerhet, gillar matematiker inte riktigt. De gör vanligtvis påståenden om de två första stegen i algoritmen. Varför, säger de, lösa ekvationen två gånger för variabeln y: först ax1 + by + c = O, sedan ax1 + by + c = O? Är det inte bättre att omedelbart uttrycka y från ekvationen axe + by + c = 0, då blir det lättare att utföra beräkningar (och viktigast av allt, snabbare)? Låt oss kolla. Låt oss överväga först ekvationen 3x - 2y + 6 = 0 (se exempel 2 från § 28).

Genom att ge x specifika värden är det enkelt att beräkna motsvarande y-värden. Till exempel, när x = 0 får vi y = 3; vid x = -2 har vi y = 0; för x = 2 har vi y = 6; för x = 4 får vi: y = 9.

Du ser hur enkelt och snabbt punkterna (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) och (4; 9) hittades, som markerats i exempel 2 från 28 §.

På samma sätt skulle ekvationen bx - 2y = 0 (se exempel 4 från § 28) kunna transformeras till formen 2y = 16 -3x. vidare y = 2,5x; det är inte svårt att hitta punkter (0; 0) och (2; 5) som uppfyller denna ekvation.

Slutligen kan ekvationen 3x + 2y - 16 = 0 från samma exempel transformeras till formen 2y = 16 -3x och då är det inte svårt att hitta punkter (0; 0) och (2; 5) som uppfyller den.

Låt oss nu betrakta dessa transformationer i allmän form.

Således kan linjär ekvation (1) med två variabler x och y alltid transformeras till formen
y = kx + m,(2) där k,m är tal (koefficienter), och .

Vi kommer att kalla denna speciella typ av linjär ekvation för en linjär funktion.

Med hjälp av likhet (2) är det enkelt att ange ett specifikt x-värde och beräkna motsvarande y-värde. Låt t.ex.

y = 2x + 3. Sedan:
om x = 0, då är y = 3;
om x = 1, då är y = 5;
om x = -1, då är y = 1;
om x = 3, då y = 9, osv.

Vanligtvis presenteras dessa resultat i formuläret tabeller :

Värdena på y från den andra raden i tabellen kallas värdena för den linjära funktionen y = 2x + 3, respektive, vid punkterna x = 0, x = 1, x = -1, x = - 3.

I ekvation (1) är variablerna hnu lika, men i ekvation (2) är de inte det: vi tilldelar specifika värden till en av dem - variabel x, medan värdet för variabel y beror på det valda värdet av variabel x. Därför brukar vi säga att x är den oberoende variabeln (eller argumentet), y är den beroende variabeln.

Observera att en linjär funktion är en speciell typ av linjär ekvation med två variabler. Ekvationsgraf y - kx + m, som alla linjära ekvationer med två variabler, är en rät linje - det kallas också grafen för den linjära funktionen y = kx + m. Följande teorem är alltså giltig.

Exempel 1. Konstruera en graf av den linjära funktionen y = 2x + 3.

Lösning. Låt oss göra en tabell:

I den andra situationen kan den oberoende variabeln x, som, precis som i den första situationen, anger antalet dagar, endast ta värdena 1, 2, 3, ..., 16. Om x = 16, genom att använda formeln y = 500 - 30x finner vi : y = 500 - 30 16 = 20. Detta betyder att det redan den 17:e dagen inte kommer att vara möjligt att ta bort 30 ton kol från lagret, eftersom det vid denna dag endast är 20 ton kommer att finnas kvar på lagret och processen med att avlägsna kol måste stoppas. Därför ser den förfinade matematiska modellen av den andra situationen ut så här:

y = 500 - ZOD:, där x = 1, 2, 3, .... 16.

I den tredje situationen, oberoende variabel x kan teoretiskt anta vilket icke-negativt värde som helst (till exempel x-värde = 0, x-värde = 2, x-värde = 3,5, etc.), men praktiskt taget kan en turist inte gå med konstant hastighet utan sömn och vila hur mycket som helst av tid . Så vi behövde göra rimliga begränsningar för x, säg 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Kom ihåg att den geometriska modellen av den icke-strikta dubbla ojämlikheten 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Låt oss komma överens om att skriva i stället för frasen "x tillhör mängden X" (läs: "element x tillhör mängden X", e är tecknet på medlemskap). Som ni ser är vår bekantskap med matematiskt språk ständigt pågående.

Om den linjära funktionen y = kx + m inte ska beaktas för alla värden på x, utan bara för värden på x från ett visst numeriskt intervall X, skriver de:

Exempel 2. Rita en linjär funktion:

Lösning, a) Låt oss göra en tabell för den linjära funktionen y = 2x + 1

Låt oss bygga vidare koordinatplan xОу punkter (-3; 7) och (2; -3) och dra en rak linje genom dem. Detta är en graf av ekvationen y = -2x: + 1. Välj sedan ett segment som förbinder de konstruerade punkterna (fig. 38). Detta segment är grafen för den linjära funktionen y = -2x+1, därxe [-3, 2].

De brukar säga så här: vi har ritat en linjär funktion y = - 2x + 1 på segmentet [- 3, 2].

b) Hur skiljer sig detta exempel från det föregående? Den linjära funktionen är densamma (y = -2x + 1), vilket betyder att samma räta linje fungerar som dess graf. Men var försiktig! - denna gång x e ​​(-3, 2), dvs värdena x = -3 och x = 2 beaktas inte, de tillhör inte intervallet (- 3, 2). Hur markerade vi ändarna av ett intervall på en koordinatlinje? Ljuscirklar (fig. 39), vi talade om detta i § 26. Likaså punkterna (- 3; 7) och B; - 3) måste markeras på ritningen med ljusa cirklar. Detta kommer att påminna oss om att endast de punkter på linjen y = - 2x + 1 tas som ligger mellan punkterna markerade med cirklar (Fig. 40). Men ibland använder de i sådana fall pilar snarare än ljusa cirklar (Fig. 41). Detta är inte grundläggande, huvudsaken är att förstå vad som sägs.

Exempel 3. Hitta de största och minsta värdena för en linjär funktion på segmentet.
Lösning. Låt oss göra en tabell för en linjär funktion

Låt oss konstruera punkter (0; 4) och (6; 7) på xOy-koordinatplanet och rita en rät linje genom dem - en graf över den linjära x-funktionen (Fig. 42).

Vi måste betrakta denna linjära funktion inte som en helhet, utan på ett segment, d.v.s. för x e.

Motsvarande segment av grafen är markerat i ritningen. Vi noterar att den största ordinatan av punkterna som hör till den valda delen är lika med 7 - detta är det största värdet på den linjära funktionen på segmentet. Vanligtvis används följande notation: y max =7.

Vi noterar att den minsta ordinatan av punkterna som hör till den del av linjen som markeras i figur 42 är lika med 4 - detta är det minsta värdet av den linjära funktionen på segmentet.
Vanligtvis används följande notation: y namn. = 4.

Exempel 4. Hitta y naib och y naim. för en linjär funktion y = -1,5x + 3,5

a) på segmentet; b) på intervallet (1,5);
c) på ett halvt intervall.

Lösning. Låt oss göra en tabell för den linjära funktionen y = -l.5x + 3.5:

Låt oss konstruera punkterna (1; 2) och (5; - 4) på ​​xOy-koordinatplanet och dra en rak linje genom dem (bild 43-47). Låt oss på den konstruerade räta linjen välja den del som motsvarar x-värdena från segmentet (fig. 43), från intervallet A, 5) (fig. 44), från halvintervallet (fig. 47).

a) Med hjälp av figur 43 är det lätt att dra slutsatsen att y max = 2 (den linjära funktionen når detta värde vid x = 1), och y min. = - 4 (den linjära funktionen når detta värde vid x = 5).

b) Med hjälp av figur 44 drar vi slutsatsen: denna linjära funktion har varken de största eller de minsta värdena på ett givet intervall. Varför? Faktum är att, till skillnad från det tidigare fallet, är båda ändarna av segmentet, där de största och minsta värdena uppnåddes, uteslutna från övervägande.

c) Med hjälp av figur 45 drar vi slutsatsen att y max. = 2 (som i det första fallet), och den linjära funktionen har inget minimivärde (som i det andra fallet).

d) Med hjälp av figur 46 drar vi slutsatsen: y max = 3,5 (den linjära funktionen når detta värde vid x = 0), och y max. existerar inte.

e) Med hjälp av figur 47 drar vi slutsatsen: y max = -1 (den linjära funktionen når detta värde vid x = 3), och y max existerar inte.

Exempel 5. Rita en linjär funktion

y = 2x - 6. Använd grafen för att svara på följande frågor:

a) vid vilket värde av x kommer y = 0?
b) för vilka värden på x kommer y > 0?
c) vid vilka värden av x kommer y< 0?

Lösning. Låt oss göra en tabell för den linjära funktionen y = 2x-6:

Genom punkterna (0; - 6) och (3; 0) ritar vi en rät linje - grafen för funktionen y = 2x - 6 (Fig. 48).

a) y = 0 vid x = 3. Grafen skär x-axeln i punkten x = 3, detta är punkten med ordinatan y = 0.
b) y > 0 för x > 3. I själva verket, om x > 3, så är den räta linjen belägen ovanför x-axeln, vilket betyder att ordinaterna för motsvarande punkter på den räta linjen är positiva.

katt< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Observera att i det här exemplet använde vi grafen för att lösa:

a) ekvation 2x - 6 = 0 (vi fick x = 3);
b) olikhet 2x - 6 > 0 (vi fick x > 3);
c) ojämlikhet 2x - 6< 0 (получили х < 3).

Kommentar. På ryska kallas samma objekt ofta annorlunda, till exempel: "hus", "byggnad", "struktur", "stuga", "herrgård", "barack", "shack", "koja". I matematiskt språk är situationen ungefär densamma. Säg, likheten med två variabler y = kx + m, där k, m är specifika tal, kan kallas en linjär funktion, kan kallas linjär ekvation med två variabler x och y (eller med två okända x och y), kan kallas en formel, kan kallas en relation som förbinder x och y, kan slutligen kallas ett beroende mellan x och y. Detta spelar ingen roll, det viktigaste är att förstå att vi i alla fall talar om den matematiska modellen y = kx + m

.

Betrakta grafen för den linjära funktionen som visas i figur 49, a. Om vi ​​rör oss längs den här grafen från vänster till höger, ökar ordinaterna för punkterna på grafen hela tiden, som om vi "klättrar uppför en kulle". I sådana fall använder matematiker termen ökning och säger så här: om k>0, så ökar den linjära funktionen y = kx + m.

Betrakta grafen för den linjära funktionen som visas i figur 49, b. Om vi ​​rör oss längs denna graf från vänster till höger, minskar ordinaterna för punkterna på grafen hela tiden, som om vi "går nerför en kulle". I sådana fall använder matematiker termen minskning och säger så här: om k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Linjär funktion i livet

Låt oss nu sammanfatta detta ämne. Vi har redan blivit bekanta med ett sådant koncept som en linjär funktion, vi känner till dess egenskaper och lärt oss hur man bygger grafer. Du övervägde också speciella fall av linjära funktioner och lärde dig vad den relativa positionen för grafer för linjära funktioner beror på. Men det visar sig att i vår Vardagsliv vi korsar oss också hela tiden med denna matematiska modell.

Låt oss fundera över vilka verkliga situationer som är förknippade med ett sådant koncept som linjära funktioner? Och även, mellan vilka mängder eller livssituationer kanske upprätta ett linjärt samband?

Många av er förstår förmodligen inte riktigt varför de behöver studera linjära funktioner, eftersom det är osannolikt att det är användbart i senare i livet. Men här har du djupt fel, eftersom vi stöter på funktioner hela tiden och överallt. För även en vanlig månadshyra är också en funktion som beror på många variabler. Och dessa variabler inkluderar kvadratmeter, antal invånare, taxor, elanvändning, etc.

Naturligtvis de vanligaste exemplen på funktioner linjärt beroende, som vi har stött på är matematiklektioner.

Du och jag löste problem där vi hittade de sträckor som bilar, tåg eller fotgängare tillryggalagt med en viss hastighet. Dessa är linjära funktioner av rörelsetiden. Men dessa exempel är tillämpliga inte bara i matematik, de är närvarande i vår vardag.

Kaloriinnehållet i mejeriprodukter beror på fetthalten, och ett sådant beroende är vanligtvis en linjär funktion. Till exempel, när andelen fett i gräddfil ökar, ökar också kaloriinnehållet i produkten.

Nu ska vi räkna ut och låt oss hitta värdena k och b, lösa ekvationssystemet:

Låt oss nu härleda beroendeformeln:

Som ett resultat fick vi ett linjärt samband.

För att veta hastigheten för ljudutbredning beroende på temperatur går det att ta reda på det genom att använda formeln: v = 331 +0,6t, där v är hastigheten (i m/s), t är temperaturen. Om vi ​​ritar en graf över detta förhållande kommer vi att se att det blir linjärt, det vill säga att det representerar en rak linje.

Och sådana praktiska användningar av kunskap vid tillämpningen av linjärt funktionellt beroende kan listas under lång tid. Från telefonavgifter, hårlängd och hårväxt, och till och med ordspråk i litteraturen. Och den här listan fortsätter och fortsätter.

Kalendertematisk planering i matematik, video matematik uppkopplad, Matematik i skolan ladda ner

A. V. Pogorelov, Geometri för årskurserna 7-11, Lärobok för utbildningsinstitutioner

Linjär funktion kallas en funktion av formen y = kx + b, definierad på mängden av alla reella tal. Här k– lutning (reellt tal), b – fri sikt (reellt tal), x- oberoende variabel.

I det speciella fallet, om k = 0, får vi en konstant funktion y = b, vars graf är en rät linje parallell med Ox-axeln som går genom punkten med koordinater (0; b).

Om b = 0, då får vi funktionen y = kx, vilket är direkt proportionalitet.

b – segmentets längd, som är avskuren av en rät linje längs Oy-axeln, räknat från origo.

Koefficientens geometriska betydelse k – lutningsvinkel rakt till den positiva riktningen av Ox-axeln, betraktad moturs.

Egenskaper för en linjär funktion:

1) Definitionsdomänen för en linjär funktion är hela den reella axeln;

2) Om k ≠ 0, då är värdeintervallet för den linjära funktionen hela den reella axeln. Om k = 0, då består värdeintervallet för den linjära funktionen av talet b;

3) Jämnhet och uddahet för en linjär funktion beror på koefficienternas värden k Och b.

a) b ≠ 0, k = 0, därav, y = b – jämnt;

b) b = 0, k ≠ 0, därav y = kx – udda;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, därav y = kx + b – funktion av allmän form;

d) b = 0, k = 0, därav y = 0 – både jämna och udda funktioner.

4) En linjär funktion har inte egenskapen periodicitet;

5) Skärningspunkter med koordinataxlar:

Oxe: y = kx + b = 0, x = -b/k, därav (-b/k; 0)– skärningspunkt med abskissaxeln.

Oj: y = 0k + b = b, därav (0; b)– skärningspunkt med ordinataaxeln.

Obs: Om b = 0 Och k = 0, sedan funktionen y = 0 går till noll för valfritt värde på variabeln X. Om b ≠ 0 Och k = 0, sedan funktionen y = b försvinner inte för något värde av variabeln X.

6) Tecknets konstansintervall beror på koefficienten k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– positivt när x från (-b/k; +∞),

y = kx + b– negativt när x från (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– positivt när x från (-∞; -b/k),

y = kx + b– negativt när x från (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b positiv över hela definitionsområdet,

k = 0, b< 0; y = kx + b negativ genom hela definitionsområdet.

7) Monotonicitetsintervallen för en linjär funktion beror på koefficienten k.

k > 0, därav y = kx + bökar över hela definitionsområdet,

k< 0 , därav y = kx + b minskar över hela definitionsområdet.

8) Grafen för en linjär funktion är en rät linje. För att konstruera en rak linje räcker det att känna till två punkter. Den räta linjens position på koordinatplanet beror på koefficienternas värden k Och b. Nedan finns en tabell som tydligt illustrerar detta.