Hur man faktorisera en kvadratisk trinomial: formel. "Faktorering av ett kvadratiskt trinomium Andragradstrinomial faktoriserat 2x 2

Kvadratisk trinomial kallas ett polynom av formen yxa 2+bx +c, Var x– variabel, a,b,c– några siffror och en ≠ 0.

Koefficient A kallad seniorkoefficient, c – gratis medlem kvadratisk trinomium.

Exempel på kvadratiska trinomialer:

2 x 2 + 5x+4(Här a = 2, b = 5, c = 4)

x 2 – 7x + 5(Här a = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x – 9(Här a = 9, b = 9, c = -9)

Koefficient b eller koefficient c eller båda koefficienterna kan vara lika med noll samtidigt. Till exempel:

5 x 2 + 3x(Hära = 5,b = 3,c = 0, så det finns inget värde för c i ekvationen).

6x2 – 8 (Hära = 6, b = 0, c = -8)

2x2(Hära = 2, b = 0, c = 0)

Värdet på variabeln där polynomet försvinner kallas roten av polynomet.

Att hitta rötterna till ett kvadratiskt trinomiumyxa 2+ bx + c, vi måste likställa det med noll -
det vill säga lösa andragradsekvationenyxa 2+ bx + c = 0 (se avsnittet "Av andragradsekvation").

Faktorering av ett kvadratiskt trinomium

Exempel:

Låt oss faktorisera trinomial 2 x 2 + 7x – 4.

Vi ser: koefficient A = 2.

Låt oss nu hitta rötterna till trinomialet. För att göra detta likställer vi det till noll och löser ekvationen

2x 2 + 7x – 4 = 0.

Hur man löser en sådan ekvation - se i avsnittet "Formler för rötterna till en andragradsekvation. Diskriminerande." Här kommer vi omedelbart att ange resultatet av beräkningarna. Vårt trinomium har två rötter:

x 1 = 1/2, x 2 = –4.

Låt oss ersätta rötternas värden i vår formel och ta värdet på koefficienten utanför parentes A, och vi får:

2x 2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

Det erhållna resultatet kan skrivas annorlunda genom att multiplicera koefficienten 2 med binomialen x – 1/2:

2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

Problemet är löst: trinomialet faktoriseras.

En sådan expansion kan erhållas för vilket kvadratiskt trinomium som helst som har rötter.

UPPMÄRKSAMHET!

Om diskriminanten för ett kvadratiskt trinomium är noll, så har detta trinomial en rot, men vid nedbrytning av trinomialet tas denna rot som värdet av två rötter - det vill säga som samma värde x 1 ochx 2 .

Till exempel har ett trinomium en rot lika med 3. Då är x 1 = 3, x 2 = 3.

Att faktorisera kvadratiska trinomial är en av skoluppgifterna som alla står inför förr eller senare. Hur man gör det? Vad är formeln för att faktorisera ett kvadratiskt trinomium? Låt oss ta reda på det steg för steg med hjälp av exempel.

Allmän formel

Kvadratiska trinomial faktoriseras genom att lösa en andragradsekvation. Detta är ett enkelt problem som kan lösas med flera metoder - genom att hitta diskriminanten, med hjälp av Vietas sats, finns det också en grafisk lösning. De två första metoderna studeras på gymnasiet.

Den allmänna formeln ser ut så här:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritm för att slutföra uppgiften

För att faktorisera kvadratiska trinomialer behöver du känna till Vitas sats, ha ett lösningsprogram till hands, kunna hitta en lösning grafiskt eller leta efter rötter till en andragradsekvation med hjälp av diskriminantformeln. Om ett kvadratiskt trinomium ges och det måste faktoriseras, är algoritmen följande:

1) Jämställ det ursprungliga uttrycket med noll för att få en ekvation.

2) Ge liknande termer (om nödvändigt).

3) Hitta rötterna med någon känd metod. Den grafiska metoden används bäst om man i förväg vet att rötterna är heltal och små tal. Man måste komma ihåg att antalet rötter är lika med den maximala graden av ekvationen, det vill säga att andragradsekvationen har två rötter.

4) Ersätt värdet X till uttryck (1).

5) Skriv ner faktoriseringen av kvadratiska trinomial.

Exempel

Övning låter dig äntligen förstå hur denna uppgift utförs. Följande exempel illustrerar faktoriseringen av ett kvadratiskt trinomial:

det är nödvändigt att utöka uttrycket:

Låt oss ta till vår algoritm:

1) x 2 -17x+32=0

2) liknande villkor reduceras

3) med Vietas formel är det svårt att hitta rötter till detta exempel, så det är bättre att använda uttrycket för diskriminanten:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Låt oss ersätta rötterna vi hittade i den grundläggande formeln för nedbrytning:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Då blir svaret så här:

x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

Låt oss kontrollera om lösningarna som hittas av diskriminanten motsvarar Vieta-formlerna:

14,845 . 2,155=32

För dessa rötter tillämpas Vietas sats, de hittades korrekt, vilket betyder att faktoriseringen vi fick också är korrekt.

Låt oss expandera på samma sätt 12x 2 + 7x-6.

x 1 = -7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337)1/2

I det tidigare fallet var lösningarna icke-heltal, utan reella tal, som är lätta att hitta om du har en miniräknare framför dig. Låt oss nu titta på ett mer komplext exempel, där rötterna kommer att vara komplexa: faktor x 2 + 4x + 9. Med Vietas formel kan rötterna inte hittas, och diskriminanten är negativ. Rötterna kommer att ligga på det komplexa planet.

D=-20

Utifrån detta får vi de rötter som intresserar oss -4+2i*5 1/2 och -4-2i * 5 1/2 sedan (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Vi får den önskade nedbrytningen genom att ersätta rötterna i den allmänna formeln.

Ett annat exempel: du måste faktorisera uttrycket 23x 2 -14x+7.

Vi har ekvationen 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Detta betyder att rötterna är 14+21.166i och 14-21.166i. Svaret blir:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Låt oss ge ett exempel som kan lösas utan hjälp av en diskriminant.

Låt oss säga att vi behöver expandera andragradsekvationen x 2 -32x+255. Självklart kan det också lösas med en diskriminant, men i det här fallet går det snabbare att hitta rötterna.

x 1 =15

x 2 =17

Betyder x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).

För att faktorisera är det nödvändigt att förenkla uttrycken. Detta är nödvändigt för att det ska kunna reduceras ytterligare. Utvidgningen av ett polynom är meningsfullt när dess grad inte är lägre än två. Ett polynom med första graden kallas linjärt.

Artikeln kommer att täcka alla begrepp om nedbrytning, teoretiska grunder och metoder för att faktorisera ett polynom.

Teori

Sats 1

När något polynom med grad n, med formen P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, representeras som en produkt med en konstant faktor med den högsta graden a n och n linjära faktorer (x - x i), i = 1, 2, ..., n, sedan P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , där x i, i = 1, 2, …, n är rötterna till polynomet.

Satsen är avsedd för rötter av komplex typ x i, i = 1, 2, …, n och för komplexa koefficienter a k, k = 0, 1, 2, …, n. Detta är grunden för all nedbrytning.

När koefficienter av formen a k, k = 0, 1, 2, …, n är reella tal, kommer de komplexa rötterna att förekomma i konjugerade par. Till exempel, rötter x 1 och x 2 relaterade till ett polynom av formen P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 betraktas som komplext konjugat, då är de andra rötterna reella, varav vi får fram att polynomet har formen P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, där x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Kommentar

Rötterna till ett polynom kan upprepas. Låt oss betrakta beviset för algebrasatsen, en konsekvens av Bezouts sats.

Grundsats för algebra

Sats 2

Varje polynom med grad n har minst en rot.

Bezouts teorem

Efter att ha dividerat ett polynom av formen P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 på (x - s), då får vi resten, som är lika med polynomet i punkten s, då får vi

Pnx = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , där Q n - 1 (x) är ett polynom med grad n - 1.

En konsekvens av Bezouts teorem

När roten av polynomet P n (x) anses vara s, då P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Qn - 1 (x) . Denna följd är tillräcklig när den används för att beskriva lösningen.

Faktorering av ett kvadratiskt trinomium

Ett kvadratiskt trinomium av formen a x 2 + b x + c kan faktoriseras till linjära faktorer. då får vi att a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , där x 1 och x 2 är rötter (komplexa eller reella).

Detta visar att expansionen i sig minskar till att lösa andragradsekvationen i efterhand.

Exempel 1

Faktorisera det kvadratiska trinomialet.

Lösning

Det är nödvändigt att hitta rötterna till ekvationen 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. För att göra detta måste du hitta värdet på diskriminanten med hjälp av formeln, då får vi D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Härifrån har vi det

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Av detta får vi att 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

För att utföra kontrollen måste du öppna parenteserna. Då får vi ett uttryck av formen:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Efter kontroll kommer vi fram till det ursprungliga uttrycket. Det vill säga, vi kan dra slutsatsen att nedbrytningen utfördes korrekt.

Exempel 2

Faktorisera det kvadratiska trinomialet av formen 3 x 2 - 7 x - 11 .

Lösning

Vi finner att det är nödvändigt att beräkna den resulterande andragradsekvationen av formen 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

För att hitta rötterna måste du bestämma värdet på diskriminanten. Det förstår vi

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

Av detta får vi att 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

Exempel 3

Faktorisera polynomet 2 x 2 + 1.

Lösning

Nu måste vi lösa andragradsekvationen 2 x 2 + 1 = 0 och hitta dess rötter. Det förstår vi

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Dessa rötter kallas komplext konjugat, vilket innebär att själva expansionen kan avbildas som 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Exempel 4

Bryt ner det kvadratiska trinomiet x 2 + 1 3 x + 1 .

Lösning

Först måste du lösa en andragradsekvation av formen x 2 + 1 3 x + 1 = 0 och hitta dess rötter.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

Efter att ha fått rötterna skriver vi

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Kommentar

Om diskriminantvärdet är negativt kommer polynomen att förbli andra ordningens polynom. Av detta följer att vi inte kommer att utöka dem till linjära faktorer.

Metoder för att faktorisera ett polynom med högre grad än två

Vid nedbrytning antas en universell metod. De flesta av alla fall är baserade på en följd av Bezouts sats. För att göra detta måste du välja värdet på roten x 1 och minska dess grad genom att dividera med ett polynom med 1 genom att dividera med (x - x 1). Det resulterande polynomet måste hitta roten x 2, och sökprocessen är cyklisk tills vi får en fullständig expansion.

Om roten inte hittas, används andra metoder för faktorisering: gruppering, ytterligare termer. Det här ämnet handlar om att lösa ekvationer med högre potenser och heltalskoefficienter.

Att ta den gemensamma faktorn ur parentes

Betrakta fallet när den fria termen är lika med noll, då blir formen av polynomet P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .

Det kan ses att roten till ett sådant polynom kommer att vara lika med x 1 = 0, då kan polynomet representeras som uttrycket P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Denna metod anses ta den gemensamma faktorn ur parentes.

Exempel 5

Faktorisera tredjegradspolynomet 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Lösning

Vi ser att x 1 = 0 är roten till det givna polynomet, då kan vi ta bort x från parenteserna i hela uttrycket. Vi får:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Låt oss gå vidare till att hitta rötterna till kvadrattrinomialet 4 x 2 + 8 x - 1. Låt oss hitta diskriminanten och rötterna:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Sedan följer det

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Till att börja med, låt oss ta hänsyn till en nedbrytningsmetod som innehåller heltalskoefficienter av formen P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, där koefficienten för högsta graden är 1.

När ett polynom har heltalsrötter betraktas de som divisorer av den fria termen.

Exempel 6

Dekomponera uttrycket f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Lösning

Låt oss överväga om det finns fullständiga rötter. Det är nödvändigt att skriva ner divisorerna för numret - 18. Vi får det ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Det följer att detta polynom har heltalsrötter. Du kan kontrollera med Horners schema. Det är mycket bekvämt och låter dig snabbt få expansionskoefficienterna för ett polynom:

Det följer att x = 2 och x = - 3 är rötterna till det ursprungliga polynomet, som kan representeras som en produkt av formen:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Vi fortsätter till expansionen av ett kvadratiskt trinomium av formen x 2 + 2 x + 3.

Eftersom diskriminanten är negativ betyder det att det inte finns några riktiga rötter.

Svar: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Kommentar

Det är tillåtet att använda rotval och division av ett polynom med ett polynom istället för Horners schema. Låt oss gå vidare till att överväga expansionen av ett polynom som innehåller heltalskoefficienter av formen P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , varav den högsta är lika med en.

Detta fall inträffar för rationella bråk.

Exempel 7

Faktorisera f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Lösning

Det är nödvändigt att ersätta variabeln y = 2 x, du bör gå vidare till ett polynom med koefficienter lika med 1 i högsta grad. Du måste börja med att multiplicera uttrycket med 4. Det förstår vi

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

När den resulterande funktionen av formen g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 har heltalsrötter, är deras placering bland divisorerna för den fria termen. Inlägget kommer att se ut så här:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Låt oss gå vidare till att beräkna funktionen g (y) vid dessa punkter för att få noll som resultat. Det förstår vi

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2) ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Vi finner att y = - 5 är roten till en ekvation av formen y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, vilket betyder att x = y 2 = - 5 2 är roten till den ursprungliga funktionen.

Exempel 8

Det är nödvändigt att dela med en kolumn 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 med x + 5 2.

Lösning

Låt oss skriva ner det och få:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Att kontrollera divisorerna kommer att ta mycket tid, så det är mer lönsamt att faktorisera den resulterande kvadratiska trinomialen av formen x 2 + 7 x + 3. Genom att likställa med noll finner vi diskriminanten.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Det följer att

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Konstgjorda tekniker för att faktorisera ett polynom

Rationella rötter är inte inneboende i alla polynom. För att göra detta måste du använda speciella metoder för att hitta faktorer. Men alla polynom kan inte expanderas eller representeras som en produkt.

Grupperingsmetod

Det finns fall då du kan gruppera termerna för ett polynom för att hitta en gemensam faktor och placera den inom parentes.

Exempel 9

Faktorisera polynomet x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Lösning

Eftersom koefficienterna är heltal, då kan rötterna förmodligen också vara heltal. För att kontrollera, ta värdena 1, - 1, 2 och - 2 för att beräkna värdet på polynomet vid dessa punkter. Det förstår vi

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Detta visar att det inte finns några rötter, det är nödvändigt att använda en annan metod för expansion och lösning.

Det är nödvändigt att gruppera:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Efter att ha grupperat det ursprungliga polynomet måste du representera det som produkten av två kvadratiska trinomial. För att göra detta måste vi faktorisera. det får vi

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Kommentar

Enkelheten med att gruppera betyder inte att det är lätt att välja termer. Det finns ingen specifik lösningsmetod, så det är nödvändigt att använda speciella satser och regler.

Exempel 10

Faktorisera polynomet x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

Lösning

Det givna polynomet har inga heltalsrötter. Termerna bör grupperas. Det förstår vi

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Efter faktorisering får vi det

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Använda förkortade multiplikationsformler och Newtons binomial för att faktorisera ett polynom

Utseendet gör ofta inte alltid klart vilken metod som ska användas vid nedbrytning. Efter att transformationerna är gjorda kan man bygga en linje som består av Pascals triangel, annars kallas de för Newtons binomial.

Exempel 11

Faktorisera polynomet x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Lösning

Det är nödvändigt att konvertera uttrycket till formen

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Sekvensen av koefficienter för summan inom parentes indikeras av uttrycket x + 1 4 .

Det betyder att vi har x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

Efter att ha tillämpat skillnaden av kvadrater får vi

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Låt oss titta på uttrycket som står i den andra parentesen. Det är tydligt att det inte finns några riddare där, så vi bör tillämpa formeln för skillnaden mellan kvadrater igen. Vi får ett uttryck för formen

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Exempel 12

Faktorisera x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Lösning

Låt oss börja omvandla uttrycket. Det förstår vi

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Det är nödvändigt att tillämpa formeln för förkortad multiplikation av skillnaden mellan kuber. Vi får:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

En metod för att ersätta en variabel vid faktorisering av ett polynom

När en variabel ersätts reduceras graden och polynomet faktoriseras.

Exempel 13

Faktorisera polynomet av formen x 6 + 5 x 3 + 6 .

Lösning

Enligt villkoret är det klart att det är nödvändigt att byta ut y = x 3. Vi får:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Rötterna till den resulterande andragradsekvationen är y = - 2 och y = - 3, då

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Det är nödvändigt att tillämpa formeln för förkortad multiplikation av summan av kuber. Vi får uttryck av formen:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Det vill säga, vi fick den önskade nedbrytningen.

Fallen som diskuterats ovan kommer att hjälpa till att överväga och faktorisera ett polynom på olika sätt.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Att expandera polynom för att få en produkt kan ibland verka förvirrande. Men det är inte så svårt om du förstår processen steg för steg. Artikeln beskriver i detalj hur man faktorisera ett kvadratiskt trinomium.

Många människor förstår inte hur man faktorisera ett kvadratiskt trinomium, och varför detta görs. Till en början kan det verka som en meningslös övning. Men i matematik görs ingenting för ingenting. Omvandlingen är nödvändig för att förenkla uttrycket och beräkningen.

Ett polynom av formen – ax²+bx+c, kallas ett kvadratiskt trinomium. Termen "a" måste vara negativ eller positiv. I praktiken kallas detta uttryck för en andragradsekvation. Därför säger de det ibland annorlunda: hur man utökar en andragradsekvation.

Intressant! Ett polynom kallas en kvadrat på grund av dess största grad, kvadraten. Och en trinomial - på grund av de 3 komponenterna.

Några andra typer av polynom:

• linjär binomial (6x+8);
• kubiskt kvadrinom (x³+4x²-2x+9).

Faktorering av ett kvadratiskt trinomium

Först är uttrycket lika med noll, sedan måste du hitta värdena för rötterna x1 och x2. Det kanske inte finns några rötter, det kan finnas en eller två rötter. Förekomsten av rötter bestäms av diskriminanten. Du måste kunna dess formel utantill: D=b²-4ac.

Om resultatet D är negativt finns det inga rötter. Om det är positivt, finns det två rötter. Om resultatet är noll är roten ett. Rötterna beräknas också med hjälp av formeln.

Om resultatet är noll vid beräkning av diskriminanten kan du använda någon av formlerna. I praktiken är formeln helt enkelt förkortad: -b / 2a.

Formlerna för olika diskriminerande värden är olika.

Om D är positivt:

Om D är noll:

Miniräknare online

Det finns en online-kalkylator på Internet. Den kan användas för att utföra faktorisering. Vissa resurser ger möjlighet att se lösningen steg för steg. Sådana tjänster hjälper till att bättre förstå ämnet, men du måste försöka förstå det väl.

Användbar video: Faktorisering av ett kvadratiskt trinomium

Exempel

Vi föreslår att du tittar på enkla exempel på hur man faktoriserar en andragradsekvation.

Exempel 1

Detta visar tydligt att resultatet är två x eftersom D är positivt. De måste ersättas i formeln. Om rötterna visar sig vara negativa ändras tecknet i formeln till det motsatta.

Vi känner till formeln för faktorisering av ett kvadratiskt trinomium: a(x-x1)(x-x2). Vi sätter värdena inom parentes: (x+3)(x+2/3). Det finns inget tal före en term i en potens. Det betyder att det finns en där, den går ner.

Exempel 2

Detta exempel visar tydligt hur man löser en ekvation som har en rot.

Vi ersätter det resulterande värdet:

Exempel 3

Givet: 5x²+3x+7

Låt oss först beräkna diskriminanten, som i tidigare fall.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminanten är negativ, vilket betyder att det inte finns några rötter.

Efter att ha mottagit resultatet bör du öppna fästena och kontrollera resultatet. Det ursprungliga trinomialet ska visas.

Alternativ lösning

Vissa människor kunde aldrig bli vänner med diskriminatorn. Det finns ett annat sätt att faktorisera ett kvadratiskt trinomium. För enkelhetens skull visas metoden med ett exempel.

Givet: x²+3x-10

Vi vet att vi borde få 2 parenteser: (_)(_). När uttrycket ser ut så här: x²+bx+c sätter vi i början av varje parentes x: (x_)(x_). De återstående två siffrorna är produkten som ger "c", dvs i detta fall -10. Det enda sättet att ta reda på vilka siffror det är är genom urval. De ersatta talen måste motsvara den återstående termen.

Till exempel, multiplicera följande tal ger -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nej.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nej.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nej.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Passar.

Det betyder att omvandlingen av uttrycket x2+3x-10 ser ut så här: (x-2)(x+5).

Viktig! Du bör vara försiktig så att du inte förväxlar tecknen.

Expansion av ett komplext trinomium

Om "a" är större än ett börjar svårigheterna. Men allt är inte så svårt som det verkar.

För att faktorisera måste du först se om något kan tas bort.

Till exempel, givet uttrycket: 3x²+9x-30. Här tas siffran 3 ur parentes:

3(x²+3x-10). Resultatet är det redan välkända trinomialet. Svaret ser ut så här: 3(x-2)(x+5)

Hur bryts ner om termen som finns i kvadraten är negativ? I det här fallet tas siffran -1 ut från parentes. Till exempel: -x²-10x-8. Uttrycket kommer då att se ut så här:

Systemet skiljer sig lite från det tidigare. Det finns bara några nya saker. Låt oss säga att uttrycket är givet: 2x²+7x+3. Svaret skrivs också inom 2 parenteser som måste fyllas i (_)(_). I 2:a parentes skrivs x, och i 1:a vad som är kvar. Det ser ut så här: (2x_)(x_). Annars upprepas det tidigare schemat.

Siffran 3 ges av siffrorna:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Vi löser ekvationer genom att ersätta dessa tal. Det sista alternativet är lämpligt. Det betyder att transformationen av uttrycket 2x²+7x+3 ser ut så här: (2x+1)(x+3).

Andra fall

Det är inte alltid möjligt att konvertera ett uttryck. Med den andra metoden krävs inte att lösa ekvationen. Men möjligheten att omvandla termer till en produkt kontrolleras endast genom diskriminanten.

Det är värt att öva på att lösa andragradsekvationer så att det inte finns några svårigheter när man använder formlerna.

Användbar video: faktorisering av ett trinomial

Slutsats

Du kan använda den på vilket sätt som helst. Men det är bättre att träna båda tills de blir automatiska. Det är också nödvändigt att lära sig hur man löser andragradsekvationer och faktorpolynom för dem som planerar att koppla ihop sina liv med matematik. Alla följande matematiska ämnen bygger på detta.

I kontakt med

Ett kvadrattrinomium är ett polynom av formen ax^2+bx+c, där x är en variabel, a, b och c är några tal och a inte är lika med noll.
Egentligen är det första vi behöver veta för att faktorisera det olyckliga trinomialet satsen. Det ser ut så här: "Om x1 och x2 är rötterna till den kvadratiska trinomialen ax^2+bx+c, då ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)." Naturligtvis finns det ett bevis för denna sats, men det kräver lite teoretisk kunskap (när vi tar ut faktorn a i polynomet ax^2+bx+c får vi ax^2+bx+c=a(x^2 +(b/a) x + c/a Enligt Viettes sats, x1+x2=-(b/a), x1*x2=c/a, därför b/a=-(x1+x2), c/). a=x1*x2 , x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1) -x2(x-x1 )= (x-x1)(x-x2) Detta betyder ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) Ibland tvingar lärare dig att lära dig beviset, men). om det inte krävs råder jag dig att bara memorera den slutliga formeln.

Steg 2

Låt oss ta trinomialet 3x^2-24x+21 som ett exempel. Det första vi behöver göra är att likställa trinomialet till noll: 3x^2-24x+21=0. Rötterna till den resulterande andragradsekvationen kommer att vara rötterna till trinomialet.

Steg 3

Låt oss lösa ekvationen 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Så, låt oss bestämma. För de som inte vet hur man löser andragradsekvationer, titta på mina instruktioner med 2 sätt att lösa dem med samma ekvation som ett exempel. De resulterande rötterna är x1=7, x2=1.

Steg 4

Nu när vi har trinomialets rötter kan vi säkert ersätta dem med formeln =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
vi får: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Du kan bli av med termen genom att sätta den inom parentes: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
som ett resultat får vi: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Notera: var och en av de resulterande faktorerna ((x-7), (3x-3) är polynom av första graden. Det är all expansion =) Om du tvivlar på svaret du fått kan du alltid kontrollera det genom att multiplicera parenteserna.

Steg 5

Kontrollerar lösningen. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Nu vet vi med säkerhet att vårt beslut är korrekt! Jag hoppas att mina instruktioner hjälper någon =) Lycka till med dina studier!

• I vårt fall, i ekvationen D > 0 och vi fick 2 rötter. Om det fanns ett D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
• Om ett kvadratiskt trinomium inte har några rötter, kan det inte faktoriseras, vilket är polynom av första graden.