Exempel:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416...\)

Argument och mening

Cosinus av en spetsig vinkel

Cosinus av en spetsig vinkel kan bestämmas med hjälp av en rätvinklig triangel - det är lika med förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan.

Exempel :

1) Låt en vinkel ges och vi måste bestämma cosinus för denna vinkel.

2) Låt oss komplettera vilken rätvinklig triangel som helst på denna vinkel.

3) Efter att ha mätt de nödvändiga sidorna kan vi beräkna cosinus.

Cosinus för en spetsig vinkel är större än \(0\) och mindre än \(1\)

Om, när man löser ett problem, cosinus för en spetsig vinkel visar sig vara större än 1 eller negativ, så finns det ett fel någonstans i lösningen.

Cosinus av ett nummer

Talcirkeln låter dig bestämma cosinus för vilket tal som helst, men vanligtvis hittar du cosinus för tal på något sätt relaterat till: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Till exempel, för talet \(\frac(π)(6)\) - kommer cosinus att vara lika med \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Och för talet \(-\)\(\frac(3π)(4)\) blir det lika med \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (ungefär \ (-0,71\)).

För cosinus för andra nummer som ofta påträffas i praktiken, se.

Cosinusvärdet ligger alltid i intervallet från \(-1\) till \(1\). I det här fallet kan cosinus beräknas för absolut vilken vinkel och antal som helst.

Cosinus av valfri vinkel

Tack vare talcirkeln kan du bestämma cosinus för inte bara en spetsig vinkel, utan också en trubbig, negativ och till och med större än \(360°\) (fullt varv). Hur man gör detta är lättare att se en gång än att höra \(100\) gånger, så titta på bilden.

Nu en förklaring: anta att vi måste bestämma cosinus för vinkeln KOA med gradmått i \(150°\). Att kombinera poängen HANDLA OM med mitten av cirkeln och sidan OK– med \(x\)-axeln. Efter detta, ställ åt sidan \(150°\) moturs. Sedan ordinatan för punkten A kommer att visa oss cosinus för denna vinkel.

Om vi ​​är intresserade av en vinkel med ett gradmått, till exempel i \(-60°\) (vinkel KOV), gör vi samma sak, men vi ställer in \(60°\) medurs.

Och slutligen är vinkeln större än \(360°\) (vinkel CBS) - allt liknar den dumma, först efter att ha gått medurs en hel varv går vi till den andra cirkeln och "får bristen på grader". Specifikt, i vårt fall är vinkeln \(405°\) plottad som \(360° + 45°\).

Det är lätt att gissa att för att rita en vinkel, till exempel i \(960°\), måste du göra två varv (\(360°+360°+240°\)), och för en vinkel i \(2640 °\) - hela sju.

Det är värt att komma ihåg att:

Cosinus för en rät vinkel är noll. Cosinus för en trubbig vinkel är negativ.

Cosinus-tecken efter kvartal

Med hjälp av cosinusaxeln (det vill säga abskissaxeln, markerad i rött i figuren), är det lätt att bestämma tecknen på cosinus längs den numeriska (trigonometriska) cirkeln:

Där värdena på axeln är från \(0\) till \(1\), kommer cosinus att ha ett plustecken (I och IV fjärdedelar - grönt område),
- där värdena på axeln är från \(0\) till \(-1\), kommer cosinus att ha ett minustecken (II och III fjärdedelar - lila område).

Exempel. Bestäm tecknet för \(\cos 1\).
Lösning: Låt oss hitta \(1\) på den trigonometriska cirkeln. Vi kommer att utgå från det faktum att \(π=3.14\). Det betyder att man är ungefär tre gånger närmare noll (”startpunkten”).

Om du ritar en vinkelrät mot cosinusaxeln blir det uppenbart att \(\cos⁡1\) är positivt.
Svar: plus.

Relation till andra trigonometriska funktioner:

- samma vinkel (eller nummer): den grundläggande trigonometriska identiteten \(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- samma vinkel (eller tal): med formeln \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- och sinus för samma vinkel (eller tal): formeln \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
För andra vanligaste formler, se.

Funktion \(y=\cos(x)\)

Om vi ​​plottar vinklarna i radianer längs \(x\)-axeln, och cosinusvärdena som motsvarar dessa vinklar längs \(y\)-axeln, får vi följande graf:

Denna graf kallas och har följande egenskaper:

Definitionsdomänen är valfritt värde på x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- värdeintervall – från \(-1\) till \(1\) inklusive: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- jämnt: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- periodisk med punkt \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- skärningspunkter med koordinataxlar:
abskissaxel: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), där \(n ϵ Z\)
Y-axel: \((0;1)\)
- intervall för tecknets konstans:
funktionen är positiv på intervallen: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), där \(n ϵ Z\)
funktionen är negativ på intervallen: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), där \(n ϵ Z\)
- intervall för ökning och minskning:
funktionen ökar med intervallen: \((π+2πn;2π+2πn)\), där \(n ϵ Z\)
funktionen minskar med intervallen: \((2πn;π+2πn)\), där \(n ϵ Z\)
- max och minimum för funktionen:
funktionen har ett maximalt värde \(y=1\) vid punkterna \(x=2πn\), där \(n ϵ Z\)
funktionen har ett minimivärde \(y=-1\) i punkterna \(x=π+2πn\), där \(n ϵ Z\).

Cosinus är en välkänd trigonometrisk funktion, som också är en av trigonometrins huvudfunktioner. Cosinus för en vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan triangelns intilliggande sida och triangelns hypotenusa. Oftast är definitionen av cosinus associerad med en triangel av rektangulär typ. Men det händer också att vinkeln för vilken det är nödvändigt att beräkna cosinus i en rektangulär triangel inte ligger i denna mycket rektangulära triangel. Vad ska man göra då? Hur hittar man cosinus för en vinkel i en triangel?

Om du behöver beräkna cosinus för en vinkel i en rektangulär triangel, så är allt väldigt enkelt. Du behöver bara komma ihåg definitionen av cosinus, som innehåller lösningen på detta problem. Du behöver bara hitta samma förhållande mellan den intilliggande sidan, liksom triangelns hypotenusa. Det är faktiskt inte svårt att uttrycka vinkelns cosinus här. Formeln är följande: - cosα = a/c, här är "a" längden på benet och sidan "c" är längden på hypotenusan. Till exempel kan cosinus för en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel hittas med denna formel.

Om du är intresserad av vad cosinus för en vinkel i en godtycklig triangel är lika med, så kommer cosinussatsen till undsättning, som bör användas i sådana fall. Cosinussatsen säger att kvadraten på en sida i en triangel är a priori lika med summan av kvadraterna på de återstående sidorna i samma triangel, men utan att dubbla produkten av dessa sidor med cosinus för vinkeln mellan dem.

1. Om du behöver hitta cosinus för en spetsig vinkel i en triangel, måste du använda följande formel: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
2. Om du behöver hitta cosinus för en trubbig vinkel i en triangel, måste du använda följande formel: cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). Beteckningarna i formeln - a och b - är längderna på sidorna som ligger intill den önskade vinkeln, c - är längden på sidan som är motsatt den önskade vinkeln.

Cosinus för en vinkel kan också beräknas med sinussatsen. Den säger att alla sidor i en triangel är proportionella mot sinusen i de motstående vinklarna. Med hjälp av sinussatsen kan du beräkna de återstående elementen i en triangel, med information endast om två sidor och en vinkel som är motsatt en sida, eller från två vinklar och en sida. Tänk på detta med ett exempel. Problemförhållanden: a=1; b=2; c=3. Vinkeln som är motsatt sida "A" betecknas med α, då har vi, enligt formlerna: cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²) /(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Svar: 1.

Om cosinus för en vinkel inte behöver beräknas i en triangel, utan i någon annan godtycklig geometrisk figur, blir allt lite mer komplicerat. Vinkelns storlek måste först bestämmas i radianer eller grader, och först då måste cosinus beräknas från detta värde. Cosinus genom numeriskt värde bestäms med hjälp av Bradis-tabeller, tekniska miniräknare eller speciella matematiska tillämpningar.

Särskilda matematiska tillämpningar kan ha funktioner som att automatiskt beräkna cosinus för vinklar i en viss figur. Det fina med sådana applikationer är att de ger rätt svar, och användaren slösar inte bort sin tid på att lösa ibland ganska komplexa problem. Å andra sidan, med konstant användning uteslutande av applikationer för att lösa problem, förloras alla färdigheter i att arbeta med att lösa matematiska problem med att hitta cosinus för vinklar i trianglar, såväl som andra godtyckliga figurer.

Cosinus– en av de grundläggande trigonometriska funktionerna. Cosinus ohm kryddig vinkel i en rätvinklig triangel kallas förhållandet mellan den intilliggande sidan och hypotenusan. Definitionen av cosinus är knuten till en rätvinklig triangel, men ofta är den vinkel vars cosinus behöver bestämmas inte placerad i den räta triangeln. Hur man tar reda på värdet av cosinus av någon vinkel ?

Instruktioner

1. vinkel i en rätvinklig triangel måste du använda definitionen av cosinus och hitta förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan: cos? = a/c, där a är längden på benet, c är längden på hypotenusan.

2. Om du behöver upptäcka cosinus vinkel i en godtycklig triangel måste du använda cosinussatsen: om vinkeln är spetsig: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab om vinkeln är trubbig: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), där a, b är längden på sidorna som gränsar till hörnet, c är längden på sidan mittemot hörnet.

3. Om du behöver upptäcka cosinus vinkel i en godtycklig geometrisk figur måste du bestämma värdet vinkel i grader eller radianer och cosinus vinkel upptäck genom dess värde med stöd av en teknisk kalkylator, Bradis-tabeller eller någon annan matematisk tillämpning.

Cosinusär en grundläggande trigonometrisk funktion av vinkel. Att veta hur man bestämmer cosinus kommer att vara praktiskt i vektoralgebra när man bestämmer projektioner av vektorer på olika axlar.

Instruktioner

1. Cosinus Ohm för en vinkel är förhållandet mellan benet intill vinkeln och hypotenusan. Det betyder att i en rätvinklig ABC (ABC är en rät vinkel) är cosinus för vinkel BAC lika med förhållandet AB till AC. För vinkel ACB: cos ACB = BC/AC.

2. Men en vinkel tillhör inte alltid en triangel dessutom finns det trubbiga vinklar som uppenbarligen inte kan vara en del av en rätvinklig triangel. Låt oss överväga fallet när vinkeln specificeras av strålar. För att beräkna cosinus för vinkeln i detta fall, fortsätt enligt följande. Ett koordinatsystem är fäst vid hörnet, koordinaterna beräknas från hörnets spets, X-axeln går längs ena sidan av hörnet, Y-axeln är byggd vinkelrätt mot X-axeln. Efter detta, en cirkel med enhetsradie är byggd med mitten i hörnets spets. Den andra sidan av vinkeln skär cirkeln i punkt A. Släpp en vinkelrät från punkt A till X-axeln, markera skärningspunkten för vinkelrät med axelaxeln. Då får du en rätvinklig triangel AAxO, och cosinus för vinkeln är AAx/AO. Eftersom cirkeln har enhetsradie är AO = 1 och vinkelns cosinus är primitivt lika med AAx.

3. Vid trubbig vinkel utförs samma konstruktioner. Cosinus Den trubbiga vinkeln är negativ, men den är också lika med Axe.

Video om ämnet

Notera!
Cosinuserna för vissa vinklar presenteras i Bradis-tabellerna.

Begrepp som sinus, cosinus, tangent är osannolikt att påträffa ofta i vardagen. Men om du satte dig ner för att lösa matematiska problem med din gymnasieson, skulle det vara bra att komma ihåg vad dessa representationer är och hur man upptäcker, säg, en cosinus.

Instruktioner

Video om ämnet

Ofta i geometriska (trigonometriska) problem krävs det att man hittar cosinus vinkel in triangel, därför att cosinus vinkel låter dig entydigt bestämma storleken på själva vinkeln.

Instruktioner

1. För att upptäcka cosinus vinkel in triangel, längderna på sidorna är kända, kan vi använda satsen cosinus ov. Enligt denna sats är kvadraten på längden av en sida i en godtycklig triangel lika med summan av kvadraterna på dess 2 andra sidor utan två gånger produkten av längderna på dessa sidor med cosinus vinkel mellan dem: a?=b?+c?-2*b*c*cos?, där: a, b, c är triangelns sidor (eller snarare deras längder),? – vinkeln motsatt sida a (dess värde Från ovanstående likhet är det lätt att hitta сos?:сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c) Exempel 1. Det finns). en triangel med sidorna a, b , med lika med 3, 4, 5 mm, respektive cosinus vinkeln innesluten mellan de stora sidorna Lösning: Enligt villkoren för problemet har vi: a = 3, b = 4, c = 5. Låt oss beteckna vinkeln motsatt sida a med ?. formeln härledd ovan har vi: cos? = (b? + c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16) +25-9)/40=32/40=0, 8Svar: 0,8.

2. Om triangeln är rätvinklig, då för att hitta cosinus och det räcker för en vinkel att veta längden på vardera två sidor ( cosinus rät vinkel är 0). Låt det finnas en rät triangel med sidorna a, b, c, där c är hypotenusan: Exempel 2. Hitta cos om längderna på sidorna a och b (benen). av triangeln) är kända. Låt oss dessutom använda Pythagoras sats: c?=b?+a?,c=v(b?+a?)cos?=(b?+c?-a?)/(2* b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?))=(2*b?)/(2*b*v(b?) +a?))=b/v(b?+a ?)För att kontrollera riktigheten av den resulterande formeln, ersätter vi värdena från exempel 1 i den, dvs a = 3, b = 4. Efter att ha gjort grundläggande beräkningar får vi: cos = 0,8.

3. Liknande finns cosinus i en rektangulär triangel i andra fall: Exempel 3. Kända a och c (hypotenusa och motsatt ben), hitta сos?b?=с?-а?,b=v(c?-а?)сos?=(b?+c?- a?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?))=(2*с?-2*а ?)/(2*c*v(c?-a?))=v(c?-a?)/c Genom att ersätta värdena a=3 och c=5 från det första exemplet får vi: cos ?=0,8 .

4. Exempel 4. Vestims b och c (hypotenusa och angränsande ben) Efter att ha utfört liknande reformer (visas i exempel 2 och 3), finner vi att i detta fall cosinus V triangel beräknas med hjälp av en mycket enkel formel: cos = b/c. Enkelheten i den härledda formeln förklaras enkelt: verkligen intill hörnet? benet är en projektion av hypotenusan, därför är dess längd lika med hypotenusans längd multiplicerat med cos?. Om vi ​​ersätter värdena b = 4 och c = 5 från det första exemplet, får vi: cos = 0,8 betyder att alla våra formler är korrekta.

Tips 5: Hur man upptäcker en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel

Direkt kolsyra triangeln är tydligen en av de mest kända, ur en historisk synvinkel, geometriska figurer. Pythagoras "byxor" kan bara konkurrera med "Eureka!" Arkimedes.

Du kommer behöva

• – ritning av en triangel;
• - linjal;
• – gradskiva

Instruktioner

1. Som vanligt betecknas hörnen i en triangel med stora latinska bokstäver (A, B, C) och de motsatta sidorna med små latinska bokstäver (a, b, c) eller med namnen på triangelns hörn bildar denna sida (AC, BC, AB).

2. Summan av vinklarna i en triangel är 180 grader. I en rektangulär triangel en vinkel (rak) kommer alltid att vara 90 grader, och resten spetsig, dvs. mindre än 90 grader hela vägen. För att bestämma vilken vinkel i en rektangulär triangelär rak, mät triangelns sidor med stöd av en linjal och bestäm den största. Den kallas hypotenusan (AB) och ligger mittemot den räta vinkeln (C). De återstående två sidorna bildar en rät vinkel och kallas ben (AC, BC).

3. När du har bestämt vilken vinkel som är spetsig kan du antingen mäta vinkeln med en gradskiva eller beräkna den med matematiska formler.

4. För att bestämma storleken på vinkeln med hjälp av en gradskiva, rikta in dess vertex (betecknad med bokstaven A) med ett speciellt märke på linjalen i mitten av gradskivan bör benet AC sammanfalla med dess övre kant. Markera på den halvcirkelformade delen av gradskivan den punkt genom vilken hypotenusan AB passerar. Värdet vid denna punkt motsvarar vinkeln i grader. Om det finns 2 värden indikerade på gradskivan, måste du för en spetsig vinkel välja den mindre, för en trubbig vinkel - den större.

6. Hitta det resulterande värdet i Bradis referenstabeller och bestäm vilken vinkel det resulterande numeriska värdet motsvarar. Våra mormödrar använde denna metod.

7. Numera räcker det med att ta en miniräknare med en funktion för att beräkna trigonometriska formler. Låt oss säga den inbyggda Windows-kalkylatorn. Starta applikationen "Kalkylator", i menyalternativet "Visa", välj alternativet "Engineering". Beräkna sinus för önskad vinkel, säg sin(A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

8. Växla räknaren till omvänt funktionsläge genom att klicka på INV-knappen på räknarens display, klicka sedan på knappen för att beräkna bågfunktionen (indikeras på displayen som sin till minus första potens). Ytterligare en inskription kommer att visas i beräkningsfönstret: asind (0,5) = 30. Dvs. önskad vinkel är 30 grader.

Cosinussatsen i matematik används oftast i det fall man behöver detektera en tredje sida från en vinkel och två sidor. Men ibland är problemets tillstånd motsatt: det krävs att hitta en vinkel med givna 3 sidor.

Instruktioner

1. Föreställ dig att du får en triangel vars längder på 2 sidor och värdet på en vinkel är kända. Alla vinklarna i denna triangel är inte lika med varandra, och dess sidor är också olika i storlek. Hörn? ligger mittemot sidan av triangeln, betecknad AB, som är basen för denna figur. Genom denna vinkel, såväl som genom de återstående sidorna AC och BC, är det möjligt att detektera den sida av triangeln som är okänd, med hjälp av cosinussatsen, som härleder på sin basis formeln som presenteras nedan: a^2=b^2 +c^2-2bc*cos?, där a=BC, b=AB, c=ACCosinussatsen, tvärtom, kallas den generaliserade Pythagoras sats.

2. Föreställ dig nu att alla tre sidorna av figuren är givna, men samtidigt dess vinkel? okänd Om du vet att formeln har formen a^2=b^2+c^2-2bc*cos?, transformera detta uttryck så att det önskade värdet blir vinkeln?: b^2+c^2=2bc*cos?+ a ^2. Efter detta, bringa ovanstående ekvation till en något annorlunda form: b^2+c^2-a^2=2bc*cos?. Efter detta bör detta uttryck konverteras till det nedan: cos?= ?b^2+c ^2-a^2/2bc Allt som återstår är att ersätta talen i formeln och utföra beräkningarna.

3. För att hitta cosinus för vinkeln för en triangel, betecknad som ?, måste den uttryckas genom den inversa trigonometriska funktionen som kallas bågcosinus. Bågcosinus för talet m är värdet av vinkeln för vilken cosinus för vinkeln? är lika med m. Funktionen y=arccos m minskar. Föreställ dig, säg, vad är cosinus för vinkeln? lika med en 2:a. Då vinkeln? kan definieras genom bågekosinus enligt följande:? = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, där m = 1/2 På liknande sätt är det möjligt att detektera de återstående vinklarna i en triangel med 2 andra okända sidor.

4. Om vinklarna presenteras i radianer, omvandla dem till grader med följande förhållande:? radian = 180 grader Kom ihåg att de allra flesta tekniska miniräknare är utrustade med möjligheten att byta vinkelenheter.

Sinus och cosinus är två trigonometriska funktioner som kallas "direkt". Det är de som måste beräknas oftare än andra, och för att lösa detta problem idag har var och en av oss ett stort urval av alternativ. Nedan finns några särskilt primitiva metoder.

Instruktioner

1. Använd en gradskiva, en penna och ett papper om inga andra beräkningsmetoder finns tillgängliga. En av definitionerna av cosinus ges i termer av spetsiga vinklar i en rätvinklig triangel - dess värde är lika med förhållandet mellan längden på benet mitt emot denna vinkel och längden på hypotenusan. Rita en triangel där en av vinklarna är rät (90°), och den andra är lika med den vinkel vars cosinus du vill beräkna. Längden på sidorna spelar ingen roll - rita dem som du känner dig mest bekväm med att mäta. Mät längden på det nödvändiga benet och hypotenusan och dela det första med det andra med valfri metod.

2. Dra nytta av möjligheten att bestämma värdena för trigonometriska funktioner med stöd av kalkylatorn inbyggd i Nigmas sökmotor, om du har tillgång till Internet. Låt oss säga att om du behöver beräkna cosinus för en vinkel på 20°, genom att ladda huvudtjänstsidan http://nigma.ru, skriv "cosinus 20 grader" i sökfrågefältet och klicka på "Detektera!" knapp. Du kan utelämna ordet "grader" och ersätta ordet "cosinus" med cos - i vilket fall som helst kommer sökmotorn att visa resultatet korrekt till 15 decimaler (0,939692620785908).

3. Öppna standardkalkylatorprogrammet installerat med Windows operativsystem om du inte har tillgång till Internet. Detta kan göras, säg, genom att trycka på win- och r-tangenterna samtidigt, sedan ange kommandot calc och klicka på OK-knappen. För att beräkna trigonometriska funktioner finns det ett fördesignat gränssnitt som kallas "ingenjör" eller "vetenskapsman" (beroende på OS-versionen) - välj önskat objekt i avsnittet "Visa" på räknarens meny. Ange senare vinkelvärdet i grader och klicka på cos-knappen i programgränssnittet.

Video om ämnet

Tips 8: Hur man bestämmer vinklar i en rät triangel

En rätvinklig triangel kännetecknas av vissa samband mellan vinklar och sidor. Genom att känna till värdena för några av dem är det möjligt att beräkna andra. För detta ändamål används formler som i sin tur bygger på geometrins axiom och satser.

Instruktioner

1. Av själva namnet på en rätvinklig triangel är det tydligt att en av dess vinklar är rät. Oavsett om en rätvinklig triangel är likbent eller inte, har den alltid en vinkel lika med 90 grader. Om du får en rätvinklig triangel som är samtidigt och likbent, så, baserat på det faktum att det finns en rät vinkel i figuren, hitta två vinklar vid dess bas. Dessa vinklar är lika med varandra, därför har var och en av dem ett värde lika med:? = 180° - 90°/2 = 45°

2. Utöver det som diskuterats ovan tillåter vi även ett annat fall när triangeln är rätvinklig, men inte likbent. I många problem är vinkeln för en triangel 30°, och i andra är den 60°, så summan av alla vinklar i en triangel måste vara lika med 180°. Om hypotenusan för en rätvinklig triangel och dess ben anges, så kan vinkeln hittas från överensstämmelsen mellan dessa två sidor: sin ?=a/c, där a är benet mitt emot triangelns hypotenusa, c är triangelns hypotenusa Följaktligen kan ?=arcsin(a/c )Angle också bestämmas med hjälp av formeln för att hitta cosinus: cos ?=b/c, där b är det angränsande benet till triangelns hypotenusa.

3. Om bara två ben är kända, då vinkeln? kan hittas med tangentformeln. Tangensen för denna vinkel är lika med förhållandet mellan den motsatta sidan och den intilliggande: tg ? = a/b Av detta följer att = arctg (a/b) När en rät vinkel och en av vinklarna hittas av? ovanstående metod anges, den 2:a hittas enligt följande:? = 180°-(90°+?)

Ordet "cosinus" syftar på en av de trigonometriska funktionerna, som när den skrivs betecknas som cos. Det är särskilt vanligt att ta itu med det när man löser problem med att hitta parametrarna för korrekta figurer i geometri. I sådana problem anges värdena på vinklarna vid hörn av polygoner, som vanligt, med versaler i det grekiska alfabetet. Om vi ​​talar om en rätvinklig triangel, så kan du från denna bokstav ibland ta reda på vilket av hörnen som avses.

Instruktioner

1. Om värdet på vinkeln, indikerat med bokstaven ?, är känt från villkoren för problemet, kan du använda en vanlig Windows OS-kalkylator för att hitta värdet som motsvarar cosinus alfa. Det startas via huvudmenyn i operativsystemet - tryck på Win-knappen, expandera avsnittet "Alla program" i menyn, gå till undersektionen "Typiskt" och sedan till avsnittet "Verktyg". Där hittar du raden "Kalkylator" - klicka på den för att starta applikationen.

2. Tryck på tangentkombinationen Alt + 2 för att växla applikationsgränssnittet till alternativet "teknik" (i andra versioner av operativsystemet - "vetenskapsman"). Efter det, ange vinkelvärdet? och klicka på knappen markerad med bokstäverna cos med muspekaren - räknaren kommer att beräkna funktionen och visa resultatet.

3. Om du räknar ut cosinus för en vinkel? nödvändigt i en rätvinklig triangel, då är det förmodligen en av de 2 spetsiga vinklarna. Om sidorna i en sådan triangel är korrekt betecknade, betecknas hypotenusan (den längsta sidan) med bokstaven c, och den räta vinkeln som ligger mittemot den betecknas med den grekiska bokstaven ?. De andra två sidorna (benen) betecknas med bokstäverna a och b, och de spetsiga vinklarna som ligger mittemot dem betecknas med ? Och?. För värdena för de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel finns det relationer som gör att du kan beräkna cosinus, även utan att veta värdet på själva vinkeln.

4. Om i en rätvinklig triangel är längden på sidorna b (benet intill vinkeln?) och c (hypotenusan) kända, för att då beräkna cosinus? dividera längden på detta ben med längden på hypotenusan: cos(?)=b/c.

5. Vad är cosinusvärdet för vinkeln i en godtycklig triangel? En okänd mängd kan beräknas om längden på alla sidor anges i förhållandena. För att göra detta, kvadrera först längderna på alla sidor, sedan de resulterande värdena för 2 sidor intill hörnet? addera och subtrahera det resulterande värdet för den motsatta sidan från summan. Efter detta, dividera det resulterande värdet med två gånger produkten av längderna intill hörnet? sidor - detta kommer att vara den önskade cosinus för vinkeln?: cos(?)=(b?+c?-a?)/(2*b*c). Denna lösning följer av cosinussatsen.

Användbara råd
Den matematiska notationen för cosinus är cos. Cosinusvärdet får inte vara större än 1 och mindre än -1.

Som du kan se är denna cirkel konstruerad i det kartesiska koordinatsystemet. Cirkelns radie är lika med en, medan cirkelns centrum ligger vid koordinaternas ursprung, radievektorns initiala position är fixerad längs axelns positiva riktning (i vårt exempel är detta radien).

Varje punkt på cirkeln motsvarar två siffror: axelkoordinaten och axelkoordinaten. Vilka är dessa koordinatnummer? Och i allmänhet, vad har de att göra med det aktuella ämnet? För att göra detta måste vi komma ihåg om den betraktade räta triangeln. I figuren ovan kan du se två hela räta trianglar. Tänk på en triangel. Den är rektangulär eftersom den är vinkelrät mot axeln.

Vad är triangeln lika med? Det är rätt. Dessutom vet vi att det är radien för enhetscirkeln, vilket betyder . Låt oss ersätta detta värde i vår formel för cosinus. Så här händer:

Vad är triangeln lika med? Jo, självklart! Ersätt radievärdet i denna formel och få:

Så, kan du säga vilka koordinater en punkt som hör till en cirkel har? Nåväl, inget sätt? Tänk om du inser det och bara är siffror? Vilken koordinat motsvarar den? Jo, naturligtvis, koordinaterna! Och vilken koordinat motsvarar det? Just det, koordinater! Alltså punkt.

Vad är då och lika med? Det stämmer, låt oss använda motsvarande definitioner av tangent och cotangens och få det, a.

Vad händer om vinkeln är större? Till exempel, som på den här bilden:

Vad har förändrats i detta exempel? Låt oss ta reda på det. För att göra detta, låt oss vända igen till en rätvinklig triangel. Betrakta en rätvinklig triangel: vinkel (som intill en vinkel). Vilka är värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens för en vinkel? Det stämmer, vi följer motsvarande definitioner av trigonometriska funktioner:

Tja, som du kan se, motsvarar värdet på vinkelns sinus fortfarande koordinaten; värdet på vinkelns cosinus - koordinaten; och värdena för tangent och cotangens till motsvarande förhållanden. Således gäller dessa relationer för varje rotation av radievektorn.

Det har redan nämnts att startpositionen för radievektorn är längs axelns positiva riktning. Hittills har vi roterat denna vektor moturs, men vad händer om vi roterar den medurs? Inget extraordinärt, du kommer också att få en vinkel med ett visst värde, men bara den blir negativ. Sålunda, när vi roterar radievektorn moturs, får vi positiva vinklar, och när du roterar medurs - negativ.

Så vi vet att ett helt varv av radievektorn runt en cirkel är eller. Är det möjligt att rotera radievektorn till eller till? Jo, självklart kan du det! I det första fallet kommer därför radievektorn att göra ett helt varv och stanna vid position eller.

I det andra fallet, det vill säga, kommer radievektorn att göra tre hela varv och stanna vid position eller.

Från exemplen ovan kan vi alltså dra slutsatsen att vinklar som skiljer sig åt med eller (där är vilket heltal som helst) motsvarar samma position för radievektorn.

Bilden nedan visar en vinkel. Samma bild motsvarar hörnet osv. Denna lista kan fortsätta på obestämd tid. Alla dessa vinklar kan skrivas med den allmänna formeln eller (där är vilket heltal som helst)

Nu, genom att känna till definitionerna av de grundläggande trigonometriska funktionerna och använda enhetscirkeln, försök att svara på vad värdena är:

Här är en enhetscirkel som hjälper dig:

Har du svårigheter? Låt oss sedan ta reda på det. Så vi vet att:

Härifrån bestämmer vi koordinaterna för punkterna som motsvarar vissa vinkelmått. Tja, låt oss börja i ordning: vinkeln vid motsvarar en punkt med koordinater, därför:

Existerar inte;

Vidare, med samma logik, får vi reda på att hörnen i motsvarar punkter med koordinater. Genom att veta detta är det lätt att bestämma värdena för trigonometriska funktioner vid motsvarande punkter. Prova själv först och kontrollera sedan svaren.

Svar:

Existerar inte

Existerar inte

Existerar inte

Existerar inte

Därför kan vi göra följande tabell:

Det finns ingen anledning att komma ihåg alla dessa värden. Det räcker med att komma ihåg överensstämmelsen mellan koordinaterna för punkterna på enhetscirkeln och värdena för trigonometriska funktioner:

Men värdena för vinklarnas trigonometriska funktioner i och, angivna i tabellen nedan, måste komma ihåg:

Var inte rädd, nu ska vi visa dig ett exempel ganska enkelt att komma ihåg motsvarande värden:

För att använda denna metod är det viktigt att komma ihåg värdena på sinus för alla tre vinkelmåtten (), såväl som värdet på vinkelns tangent. Genom att känna till dessa värden är det ganska enkelt att återställa hela tabellen - cosinusvärdena överförs i enlighet med pilarna, det vill säga:

Genom att veta detta kan du återställa värdena för. Täljaren " " kommer att matcha och nämnaren " " kommer att matcha. Kotangensvärden överförs i enlighet med pilarna som anges i figuren. Om du förstår detta och kommer ihåg diagrammet med pilarna, räcker det med att komma ihåg alla värden från tabellen.

Koordinater för en punkt på en cirkel

Är det möjligt att hitta en punkt (dess koordinater) på en cirkel, känna till koordinaterna för cirkelns centrum, dess radie och rotationsvinkel?

Jo, självklart kan du det! Låt oss få ut det generell formel för att hitta koordinaterna för en punkt.

Till exempel, här är en cirkel framför oss:

Vi får att punkten är cirkelns mittpunkt. Cirkelns radie är lika. Det är nödvändigt att hitta koordinaterna för en punkt som erhålls genom att rotera punkten i grader.

Som framgår av figuren motsvarar punktens koordinat segmentets längd. Längden på segmentet motsvarar koordinaten för cirkelns mittpunkt, det vill säga den är lika. Längden på ett segment kan uttryckas med definitionen av cosinus:

Sedan har vi det för punktkoordinaten.

Med samma logik hittar vi y-koordinatvärdet för punkten. Således,

Så i allmänhet bestäms punktkoordinaterna av formlerna:

Koordinater för cirkelns mittpunkt,

Cirkelradie,

Rotationsvinkeln för vektorradien.

Som du kan se, för enhetscirkeln vi överväger, reduceras dessa formler avsevärt, eftersom koordinaterna för mitten är lika med noll och radien är lika med en:

Nåväl, låt oss prova dessa formler genom att öva på att hitta punkter på en cirkel?

1. Hitta koordinaterna för en punkt på enhetscirkeln som erhålls genom att rotera punkten vidare.

2. Hitta koordinaterna för en punkt på enhetscirkeln som erhålls genom att rotera punkten vidare.

3. Hitta koordinaterna för en punkt på enhetscirkeln som erhålls genom att rotera punkten vidare.

4. Punkten är cirkelns mittpunkt. Cirkelns radie är lika. Det är nödvändigt att hitta koordinaterna för punkten som erhålls genom att rotera den initiala radievektorn med.

5. Punkten är cirkelns mittpunkt. Cirkelns radie är lika. Det är nödvändigt att hitta koordinaterna för punkten som erhålls genom att rotera den initiala radievektorn med.

Har du problem med att hitta koordinaterna för en punkt på en cirkel?

Lös dessa fem exempel (eller bli bra på att lösa dem) så lär du dig hitta dem!

1.

Det kan man märka. Men vi vet vad som motsvarar en fullständig revolution av utgångspunkten. Därmed kommer den önskade punkten att vara i samma läge som när man vänder sig till. Genom att veta detta hittar vi de nödvändiga koordinaterna för punkten:

2. Enhetscirkeln är centrerad i en punkt, vilket betyder att vi kan använda förenklade formler:

Det kan man märka. Vi vet vad som motsvarar två hela varv av utgångspunkten. Därmed kommer den önskade punkten att vara i samma läge som när man vänder sig till. Genom att veta detta hittar vi de nödvändiga koordinaterna för punkten:

Sinus och cosinus är tabellvärden. Vi minns deras betydelser och får:

Således har den önskade punkten koordinater.

3. Enhetscirkeln är centrerad i en punkt, vilket betyder att vi kan använda förenklade formler:

Det kan man märka. Låt oss avbilda exemplet i fråga i figuren:

Radien gör vinklar lika med och med axeln. Genom att veta att tabellvärdena för cosinus och sinus är lika, och efter att ha bestämt att cosinus här tar ett negativt värde och sinus tar ett positivt värde, har vi:

Sådana exempel diskuteras mer i detalj när man studerar formlerna för att reducera trigonometriska funktioner i ämnet.

Således har den önskade punkten koordinater.

4.

Rotationsvinkel för vektorns radie (efter tillstånd)

För att bestämma motsvarande tecken på sinus och cosinus konstruerar vi en enhetscirkel och vinkel:

Som du kan se är värdet, det vill säga, positivt, och värdet, det vill säga, är negativt. Genom att känna till tabellvärdena för motsvarande trigonometriska funktioner får vi att:

Låt oss ersätta de erhållna värdena i vår formel och hitta koordinaterna:

Således har den önskade punkten koordinater.

5. För att lösa detta problem använder vi formler i allmän form, där

Koordinater för cirkelns mittpunkt (i vårt exempel,

Cirkelradie (efter tillstånd)

Rotationsvinkel för vektorns radie (efter villkor).

Låt oss ersätta alla värden i formeln och få:

och - tabellvärden. Låt oss komma ihåg och ersätta dem med formeln:

Således har den önskade punkten koordinater.

SAMMANFATTNING OCH GRUNDFORMLER

En vinkels sinus är förhållandet mellan det motsatta (fjärr) benet och hypotenusan.

Cosinus för en vinkel är förhållandet mellan det intilliggande (nära) benet och hypotenusan.

Tangens för en vinkel är förhållandet mellan den motsatta (fjärr) sidan och den intilliggande (nära) sidan.

Cotangensen för en vinkel är förhållandet mellan den intilliggande (nära) sidan och den motsatta (fjärr) sidan.

Ett av de områden inom matematiken som eleverna kämpar mest med är trigonometri. Det är inte förvånande: för att fritt bemästra detta kunskapsområde behöver du rumsligt tänkande, förmågan att hitta sinus, cosinus, tangenter, cotangenter med hjälp av formler, förenkla uttryck och kunna använda talet pi i beräkningar. Dessutom måste du kunna använda trigonometri när du bevisar satser, och detta kräver antingen ett utvecklat matematiskt minne eller förmåga att härleda komplexa logiska kedjor.

Ursprunget till trigonometri

Att bekanta sig med denna vetenskap bör börja med definitionen av sinus, cosinus och tangens för en vinkel, men först måste du förstå vad trigonometri gör i allmänhet.

Historiskt sett var det huvudsakliga studieobjektet i denna gren av matematisk vetenskap räta trianglar. Närvaron av en vinkel på 90 grader gör det möjligt att utföra olika operationer som gör att man kan bestämma värdena för alla parametrar i figuren i fråga med hjälp av två sidor och en vinkel eller två vinklar och en sida. Tidigare märkte människor detta mönster och började aktivt använda det i byggandet av byggnader, navigering, astronomi och till och med i konst.

Första stadiet

Inledningsvis talade man om förhållandet mellan vinklar och sidor uteslutande med hjälp av exemplet med räta trianglar. Sedan upptäcktes speciella formler som gjorde det möjligt att utvidga gränserna för användning i vardagen för denna gren av matematik.

Studiet av trigonometri i skolan i dag börjar med räta trianglar, varefter eleverna använder de inhämtade kunskaperna i fysik och löser abstrakta trigonometriska ekvationer, som börjar i gymnasiet.

Sfärisk trigonometri

Senare, när vetenskapen nådde nästa utvecklingsnivå, började formler med sinus, cosinus, tangent och cotangens användas i sfärisk geometri, där olika regler gäller, och summan av vinklarna i en triangel är alltid mer än 180 grader. Det här avsnittet studeras inte i skolan, men det är nödvändigt att veta om dess existens åtminstone eftersom jordens yta, och ytan på vilken annan planet som helst, är konvex, vilket betyder att varje ytmarkering kommer att vara "bågformad" i tre -dimensionellt utrymme.

Ta jordklotet och tråden. Fäst tråden på två valfria punkter på jordklotet så att den är spänd. Observera - den har antagit formen av en båge. Sfärisk geometri behandlar sådana former, som används inom geodesi, astronomi och andra teoretiska och tillämpade områden.

Rätt triangel

Efter att ha lärt oss lite om sätten att använda trigonometri, låt oss återgå till grundläggande trigonometri för att ytterligare förstå vad sinus, cosinus, tangent är, vilka beräkningar som kan utföras med deras hjälp och vilka formler som ska användas.

Det första steget är att förstå begreppen relaterade till en rätvinklig triangel. För det första är hypotenusan den sida som är motsatt 90 graders vinkeln. Det är längst. Vi minns att enligt Pythagoras sats är dess numeriska värde lika med roten av summan av kvadraterna på de andra två sidorna.

Till exempel, om de två sidorna är 3 respektive 4 centimeter, blir hypotenusans längd 5 centimeter. Förresten, de gamla egyptierna visste om detta för cirka fyra och ett halvt tusen år sedan.

De två återstående sidorna, som bildar en rät vinkel, kallas ben. Dessutom måste vi komma ihåg att summan av vinklarna i en triangel i ett rektangulärt koordinatsystem är lika med 180 grader.

Definition

Slutligen, med en fast förståelse av den geometriska grunden, kan man vända sig till definitionen av sinus, cosinus och tangens för en vinkel.

En vinkels sinus är förhållandet mellan det motsatta benet (dvs sidan som är motsatt den önskade vinkeln) och hypotenusan. Cosinus för en vinkel är förhållandet mellan den intilliggande sidan och hypotenusan.

Kom ihåg att varken sinus eller cosinus kan vara större än en! Varför? Eftersom hypotenusan som standard är den längsta Oavsett hur lång benet är, kommer den att vara kortare än hypotenusan, vilket betyder att deras förhållande alltid kommer att vara mindre än ett. Så om du i ditt svar på ett problem får en sinus eller cosinus med ett värde större än 1, leta efter ett fel i beräkningarna eller resonemanget. Detta svar är uppenbart felaktigt.

Slutligen är tangenten för en vinkel förhållandet mellan den motsatta sidan och den intilliggande sidan. Att dividera sinus med cosinus ger samma resultat. Titta: enligt formeln dividerar vi längden på sidan med hypotenusan, dividerar sedan med längden på den andra sidan och multiplicerar med hypotenusan. Därmed får vi samma samband som i definitionen av tangent.

Cotangens är följaktligen förhållandet mellan sidan som gränsar till hörnet och den motsatta sidan. Vi får samma resultat genom att dividera en med tangenten.

Så vi har tittat på definitionerna av vad sinus, cosinus, tangent och cotangens är, och vi kan gå vidare till formler.

De enklaste formlerna

I trigonometri klarar man sig inte utan formler - hur hittar man sinus, cosinus, tangent, cotangens utan dem? Men det är precis vad som krävs när man löser problem.

Den första formeln du behöver veta när du börjar studera trigonometri säger att summan av kvadraterna på sinus och cosinus i en vinkel är lika med ett. Denna formel är en direkt följd av Pythagoras sats, men det sparar tid om du behöver veta storleken på vinkeln snarare än sidan.

Många elever kommer inte ihåg den andra formeln, som också är mycket populär när man löser skolproblem: summan av ett och kvadraten på tangenten till en vinkel är lika med en dividerad med kvadraten på vinkelns cosinus. Ta en närmare titt: detta är samma uttalande som i den första formeln, bara båda sidorna av identiteten var dividerade med kvadraten på cosinus. Det visar sig att en enkel matematisk operation gör den trigonometriska formeln helt oigenkännlig. Kom ihåg: genom att veta vad sinus, cosinus, tangent och cotangens är, transformationsregler och flera grundläggande formler, kan du när som helst härleda de nödvändiga mer komplexa formlerna på ett pappersark.

Formler för dubbla vinklar och addition av argument

Ytterligare två formler som du behöver lära dig är relaterade till värdena för sinus och cosinus för summan och skillnaden av vinklar. De presenteras i figuren nedan. Observera att i det första fallet multipliceras sinus och cosinus båda gångerna, och i det andra läggs den parvisa produkten av sinus och cosinus till.

Det finns också formler förknippade med dubbelvinkelargument. De är helt härledda från de tidigare - som en övning, försök att få dem själv genom att ta alfavinkeln lika med betavinkeln.

Slutligen, notera att dubbelvinkelformler kan ordnas om för att minska styrkan av sinus, cosinus, tangent alfa.

Satser

De två huvudsatserna i grundläggande trigonometri är sinussatsen och cosinussatsen. Med hjälp av dessa satser kan du enkelt förstå hur man hittar sinus, cosinus och tangent, och därför arean av figuren, och storleken på varje sida, etc.

Sinussatsen säger att om man dividerar längden på varje sida av en triangel med den motsatta vinkeln får man samma tal. Dessutom kommer detta tal att vara lika med två radier i den omskrivna cirkeln, det vill säga cirkeln som innehåller alla punkter i en given triangel.

Cosinussatsen generaliserar Pythagoras sats och projicerar den på alla trianglar. Det visar sig att från summan av kvadraterna på de två sidorna, subtrahera deras produkt multiplicerat med den dubbla cosinus för den intilliggande vinkeln - det resulterande värdet kommer att vara lika med kvadraten på den tredje sidan. Pythagoras sats visar sig alltså vara ett specialfall av cosinussatsen.

Slarva misstag

Även om man vet vad sinus, cosinus och tangent är, är det lätt att göra ett misstag på grund av frånvaro eller ett fel i de enklaste beräkningarna. För att undvika sådana misstag, låt oss ta en titt på de mest populära.

För det första ska du inte konvertera bråk till decimaler förrän du får slutresultatet – du kan lämna svaret som bråk om inget annat anges i villkoren. En sådan omvandling kan inte kallas ett misstag, men man bör komma ihåg att i varje skede av problemet kan nya rötter dyka upp, som enligt författarens idé bör reduceras. I det här fallet kommer du att slösa din tid på onödiga matematiska operationer. Detta gäller särskilt för värden som roten av tre eller roten av två, eftersom de finns i problem vid varje steg. Detsamma gäller för avrundning av "fula" siffror.

Observera vidare att cosinussatsen gäller för vilken triangel som helst, men inte Pythagoras sats! Om du av misstag glömmer att subtrahera två gånger produkten av sidorna multiplicerat med cosinus för vinkeln mellan dem kommer du inte bara att få ett helt fel resultat, utan du kommer också att visa en fullständig brist på förståelse för ämnet. Detta är värre än ett slarvigt misstag.

För det tredje, blanda inte ihop värdena för vinklar på 30 och 60 grader för sinus, cosinus, tangenter, cotangenter. Kom ihåg dessa värden, eftersom sinus på 30 grader är lika med cosinus på 60 och vice versa. Det är lätt att förvirra dem, som ett resultat av vilket du oundvikligen kommer att få ett felaktigt resultat.

Ansökan

Många studenter har inte bråttom att börja studera trigonometri eftersom de inte förstår dess praktiska innebörd. Vad är sinus, cosinus, tangent för en ingenjör eller astronom? Det här är begrepp med vilka du kan beräkna avståndet till avlägsna stjärnor, förutsäga en meteorits fall eller skicka en forskningssond till en annan planet. Utan dem är det omöjligt att bygga en byggnad, designa en bil, beräkna belastningen på en yta eller ett objekts bana. Och det här är bara de mest uppenbara exemplen! Trots allt används trigonometri i en eller annan form överallt, från musik till medicin.

Till sist

Så du är sinus, cosinus, tangent. Du kan använda dem i beräkningar och framgångsrikt lösa skolproblem.

Hela poängen med trigonometri kommer ner till det faktum att du måste använda de kända parametrarna för en triangel för att beräkna de okända. Det finns sex parametrar totalt: längden på tre sidor och storleken på tre vinklar. Den enda skillnaden i uppgifterna ligger i att olika indata ges.

Du vet nu hur man hittar sinus, cosinus, tangent baserat på de kända längderna på benen eller hypotenusan. Eftersom dessa termer inte betyder något mer än ett förhållande, och ett förhållande är en bråkdel, är huvudmålet med ett trigonometriproblem att hitta rötterna till en vanlig ekvation eller ekvationssystem. Och här kommer vanlig skolmatematik att hjälpa dig.