Shamshurin A.V. 1
Gagarina N.A. 1
1 Kommunal budgetläroinrättning ”Grundskola nr 31”
Verkets text läggs upp utan bilder och formler.
Den fullständiga versionen av verket finns på fliken "Arbetsfiler" i PDF-format
Introduktion
Jag började med att titta på en massa matteämnen på Internet och valde detta ämne för att jag tror att vikten av att hitta DL spelar en enorm roll för att lösa ekvationer och problem. I mitt forskningsarbete undersökte jag ekvationer där det räcker att bara hitta ODZ, fara, valfrihet, begränsad ODZ och några förbud i matematik. Det viktigaste för mig är att klara Unified State Exam i matematik väl, och för detta behöver jag veta: när, varför och hur man hittar DL. Detta fick mig att undersöka ämnet, vars syfte var att visa att att bemästra detta ämne kommer att hjälpa eleverna att utföra uppgifter på Unified State Exam korrekt. För att uppnå detta mål undersökte jag ytterligare litteratur och andra källor. Jag undrade om eleverna på vår skola vet: när, varför och hur man hittar ODZ. Därför genomförde jag ett test på ämnet "När, varför och hur hittar man ODZ?" (10 ekvationer gavs). Antal elever - 28. klarade av det - 14%, fara för DD (med hänsyn tagen) - 68%, valbarhet (med hänsyn tagen) - 36%.
Mål: identifiering: när, varför och hur man hittar ODZ.
Problem: ekvationer och ojämlikheter där det är nödvändigt att hitta ODZ har inte hittat en plats i algebrakursen för systematisk presentation, vilket förmodligen är anledningen till att mina kamrater och jag ofta gör misstag när vi löser sådana exempel, spenderar mycket tid på att lösa dem, samtidigt som vi glömmer bort dem. om ODZ.
Uppgifter:
- Visa betydelsen av ODZ vid lösning av ekvationer och ojämlikheter.
- Utför praktiskt arbete med detta ämne och sammanfatta dess resultat.
Jag tror att de kunskaper och färdigheter jag har förvärvat kommer att hjälpa mig att lösa frågan: är det nödvändigt att leta efter DZ eller inte? Jag kommer att sluta göra misstag genom att lära mig hur man gör ODZ korrekt. Om jag kan göra detta kommer tiden, eller snarare Unified State Examination, att utvisa.
Kapitel 1
Vad är ODZ?
ODZ är intervall av acceptabla värden, det vill säga dessa är alla värden för variabeln som uttrycket är vettigt för.
Viktig. För att hitta ODZ löser vi inte ett exempel! Vi löser delar av exemplet för att hitta förbjudna platser.
Några förbud i matematik. Det finns väldigt få sådana förbjudna handlingar i matematik. Men alla kommer inte ihåg dem...
- Uttryck som består av ett jämnt multiplicitetstecken eller måste vara>0 eller lika med noll, ODZ:f(x)
- Uttrycket i bråkets nämnare kan inte vara lika med noll, ODZ:f(x)
- |f(x)|=g(x), ODZ: g(x) 0
Hur spelar man in ODZ? Väldigt enkelt. Skriv alltid ODZ bredvid exemplet. Under dessa kända bokstäver, när vi tittar på den ursprungliga ekvationen, skriver vi ner värdena på x som är tillåtna för det ursprungliga exemplet. Att transformera exemplet kan ändra OD och följaktligen svaret.
Algoritm för att hitta ODZ:
- Bestäm typen av förbud.
- Hitta värden där uttrycket inte är meningsfullt.
- Eliminera dessa värden från uppsättningen av reella tal R.
Lös ekvationen: =
|
Utan DZ |
Med ODZ |
|
Svar: x=5 |
ODZ: => => Svar: inga rötter |
Utbudet av acceptabla värden skyddar oss från sådana allvarliga fel. För att vara ärlig så är det just på grund av ODZ som många "chockstudenter" förvandlas till "C"-studenter. Med tanke på att söka efter och ta hänsyn till DL är ett obetydligt steg i beslutet, hoppar de över det och undrar sedan: "varför gav läraren det en 2?" Ja, det är därför jag säger det för att svaret är fel! Detta är inte en lärares "nit-plockning", utan ett mycket specifikt misstag, precis som en felaktig beräkning eller ett förlorat tecken.
Ytterligare ekvationer:
a) = ; b) -42=14x+; c) =0; d) |x-5|=2x-2
kapitel 2
ODZ. För vad? När? Hur?
Utbud av acceptabla värden - det finns en lösning
- ODZ är en tom uppsättning, vilket betyder att det ursprungliga exemplet inte har några lösningar
- = ODZ:
Svar: inga rötter.
- = ODZ:
Svar: inga rötter.
0, ekvationen har inga rötter
Svar: inga rötter.
Ytterligare exempel:
a) +=5; b) + =23x-18; c) =0.
- ODZ innehåller ett eller flera nummer, och en enkel substitution bestämmer snabbt rötterna.
ODZ: x=2, x=3
Kontrollera: x=2, + , 0<1, верно
Kontrollera: x=3, + , 0<1, верно.
Svar: x=2, x=3.
- > ODZ: x=1,x=0
Kontrollera: x=0, > , 0>0, felaktig
Kontrollera: x=1, > , 1>0, sant
Svar: x=1.
- + =x ODZ: x=3
Kontrollera: + =3, 0=3, felaktig.
Svar: inga rötter.
Ytterligare exempel:
a) = ; b) +=0; c) + =x-1
Fara för DD
Observera att identitetstransformationer kan:
- påverka inte DL;
- leda till utökad DL;
- leda till en minskning av ODZ.
Det är också känt att som ett resultat av vissa transformationer som ändrar den ursprungliga ODZ, kan det leda till felaktiga beslut.
Låt oss illustrera varje fall med ett exempel.
1) Betrakta uttrycket x + 4x + 7x, ODZ för variabeln x för detta är mängden R. Låt oss presentera liknande termer. Som ett resultat kommer det att ha formen x 2 +11x. Uppenbarligen är ODZ för variabeln x i detta uttryck också en uppsättning R. Den utförda transformationen ändrade således inte ODZ.
2) Ta ekvationen x+ - =0. I detta fall, ODZ: x≠0. Detta uttryck innehåller också liknande termer, efter reducering kommer vi fram till uttrycket x, för vilket ODZ är R. Vad vi ser: som ett resultat av transformationen expanderades ODZ (talet noll lades till ODZ för variabel x för det ursprungliga uttrycket).
3) Låt oss ta uttrycket. VA för variabel x bestäms av olikheten (x−5)·(x−2)≥0, VA: (−∞, 2]∪∪/Åtkomstläge: Material från webbplatser www.fipi.ru, www.eg
Bilaga 1
Praktiskt arbete "ODZ: när, varför och hur?"
|
Alternativ 1 |
Alternativ 2 |
|
│x+14│= 2 - 2x |
|
|
│3x│=1 - 3x |
Bilaga 2
Svar på uppgifterna för praktiskt arbete "ODZ: när, varför och hur?"
|
Alternativ 1 |
Alternativ 2 |
|
Svar: inga rötter |
Svar: x-valfritt tal utom x=5 |
|
9x+ = +27 ODZ: x≠3 Svar: inga rötter |
ODZ: x=-3, x=5. Svar: -3;5. |
|
y= -minskar, y= -ökar Det betyder att ekvationen har högst en rot. Svar: x=6. |
ODZ: → →х≥5 Svar: x≥5, x≤-6. |
|
│x+14│=2-2x ODZ:2-2x≥0, x≤1 x=-4, x=16, 16 tillhör inte ODZ |
Minskar, ökar Ekvationen har högst en rot. Svar: inga rötter. |
|
0, ODZ: x≥3, x≤2 Svar: x≥3, x≤2 |
8x+ = -32, ODZ: x≠-4. Svar: inga rötter. |
|
x=7, x=1. Svar: inga lösningar |
Ökar - minskar Svar: x=2. |
|
0 ODZ: x≠15 Svar: x är vilket tal som helst utom x=15. |
│3-х│=1-3х, ODZ: 1-3х≥0, x≤ x=-1, x=1 tillhör inte ODZ. Svar: x=-1. |
Bråkekvationer. ODZ.
Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som är väldigt "inte särskilt..."
Och för dem som "mycket...")
Vi fortsätter att bemästra ekvationerna. Vi vet redan hur man arbetar med linjära och andragradsekvationer. Den sista vyn kvar - bråkekvationer. Eller de kallas också mycket mer respektfullt - rationella bråkekvationer. Det är samma.
Bråkekvationer.
Som namnet antyder innehåller dessa ekvationer nödvändigtvis bråk. Men inte bara bråk, utan bråk som har okänd i nämnaren. Åtminstone i en. Till exempel:
Låt mig påminna dig om att om nämnare bara är tal, dessa är linjära ekvationer.
Hur man bestämmer sig bråkekvationer? Först och främst, bli av med bråk! Efter detta övergår ekvationen oftast till linjär eller kvadratisk. Och då vet vi vad vi ska göra... I vissa fall kan det bli en identitet, som 5=5 eller ett felaktigt uttryck, som 7=2. Men detta händer sällan. Jag kommer att nämna detta nedan.
Men hur blir man av med bråk!? Väldigt enkelt. Att tillämpa samma identiska transformationer.
Vi måste multiplicera hela ekvationen med samma uttryck. Så att alla nämnare reduceras! Allt kommer genast att bli lättare. Låt mig förklara med ett exempel. Låt oss lösa ekvationen:
Hur undervisades du i grundskolan? Vi flyttar allt åt sidan, tar det till en gemensam nämnare osv. Glöm det som en ond dröm! Detta är vad du behöver göra när du adderar eller subtraherar bråk. Eller så jobbar du med ojämlikheter. Och i ekvationer multiplicerar vi omedelbart båda sidor med ett uttryck som ger oss möjlighet att reducera alla nämnare (dvs. i huvudsak med en gemensam nämnare). Och vad är detta uttryck?
På vänster sida, för att minska nämnaren måste du multiplicera med x+2. Och till höger krävs multiplikation med 2. Det betyder att ekvationen måste multipliceras med 2(x+2). Multiplicera:
Detta är en vanlig multiplikation av bråk, men jag kommer att beskriva det i detalj:
Observera att jag inte öppnar fästet ännu (x + 2)! Så i sin helhet skriver jag det:
På vänster sida drar den ihop sig helt (x+2), och till höger 2. Vilket är vad som krävdes! Efter reducering får vi linjär ekvationen:
Och alla kan lösa denna ekvation! x = 2.
Låt oss lösa ett annat exempel, lite mer komplicerat:
Om vi kommer ihåg att 3 = 3/1, och 2x = 2x/ 1 kan vi skriva:
Och återigen blir vi av med det vi egentligen inte gillar - bråkdelar.
Vi ser att för att minska nämnaren med X måste vi multiplicera bråket med (x – 2). Och några är inte ett hinder för oss. Nåväl, låt oss föröka oss. Allt vänster sida och Allt höger sida:
Parentes igen (x – 2) Jag avslöjar inte. Jag arbetar med fästet som en helhet som om det vore ett nummer! Detta måste alltid göras, annars kommer ingenting att minska.
Med en känsla av djup tillfredsställelse reducerar vi (x – 2) och vi får en ekvation utan bråk, med en linjal!
Låt oss nu öppna parenteserna:
Vi tar med liknande, flyttar allt till vänster sida och får:
Men innan dess ska vi lära oss att lösa andra problem. På ränta. Det är en rake, förresten!
Om du gillar den här sidan...
Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)
Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Låt oss lära oss - med intresse!)
Du kan bekanta dig med funktioner och derivator.
Arbetstyp: 13
Skick
A) Lös ekvation 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.
b) \vänster[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \höger].
Visa lösningLösning
A) Genom att öppna parenteserna och flytta alla termer till vänster, får vi ekvationen 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Med tanke på att \cos x \neq 0, termen 2 \sin x kan ersättas med 2 tan x \cos x, får vi ekvationen 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0, som genom gruppering kan reduceras till formen (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.
1) 1-tg x=0, brun x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \i \mathbb Z;
2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \i \mathbb Z.
b) Använd siffercirkeln och välj rötterna som hör till intervallet \vänster[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \höger].
x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,
x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
Svar
A) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \i \mathbb Z;
b) \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi )4.
Arbetstyp: 13
Ämne: Tillåtet värdeintervall (APV)
Skick
A) Lös ekvationen (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.
b) Ange rötterna till denna ekvation som hör till intervallet \left(0;\,\frac(3\pi )2\höger] ;
Visa lösningLösning
A) ODZ: \begin(cases) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(cases)
Den ursprungliga ekvationen på ODZ är ekvivalent med en uppsättning ekvationer
\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(array)\right.
Låt oss lösa den första ekvationen. För att göra detta kommer vi att göra en ersättare \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. Sedan \sin^24x=1-t^2. Vi får:
2(1-t^2)-3t=0,
2t^2+3t-2=0,
t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].
\cos 4x=\frac12,
4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,
x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \i \mathbb Z.
Låt oss lösa den andra ekvationen.
tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.
Med hjälp av enhetscirkeln hittar vi lösningar som uppfyller ODZ.
"+"-tecknet markerar 1:a och 3:e kvartalet, där tg x>0.
Vi får: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \i \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.
b) Låt oss hitta rötterna som hör till intervallet \left(0;\,\frac(3\pi )2\höger].
.png)
x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi)(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).
Svar
A) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \i \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.
b) \pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).
Källa: ”Matematik. Förberedelse för Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Arbetstyp: 13
Ämne: Tillåtet värdeintervall (APV)
Skick
A) Lös ekvationen: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;
b) Lista alla rötter som hör till intervallet \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\höger].
Visa lösningLösning
A) Därför att \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, Den där \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, Det betyder att den givna ekvationen är ekvivalent med ekvationen \cos^2x=\cos ^22x, som i sin tur är ekvivalent med ekvationen \cos^2x-\cos ^2 2x=0.
Men \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) Och
\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, så ekvationen blir
(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,
(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.
Sedan antingen 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, eller 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.
När vi löser den första ekvationen som en andragradsekvation för \cos x får vi:
(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4. Därför antingen \cos x=1 eller \cos x=-\frac12. Om \cos x=1, då x=2k\pi , k \in \mathbb Z. If \cos x=-\frac12, Den där x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z.
På liknande sätt, när vi löser den andra ekvationen, får vi antingen \cos x=-1 eller \cos x=\frac12. Om \cos x=-1, då rötterna x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Om \cos x=\frac12, Den där x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.
Låt oss kombinera de erhållna lösningarna:
x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.
b) Låt oss välja de rötter som faller inom ett givet intervall med hjälp av en talcirkel.
Vi får: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.
Svar
A) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;
b) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi )3.
Källa: ”Matematik. Förberedelse för Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Arbetstyp: 13
Ämne: Tillåtet värdeintervall (APV)
Skick
A) Lös ekvationen 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).
b) Ange rötterna till denna ekvation som hör till intervallet \left(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\höger).
Visa lösningLösning
A) 1. Enligt reduktionsformeln, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx. Definitionsdomänen för ekvationen kommer att vara sådana värden på x så att \cos x \neq 0 och tan x \neq -1. Låt oss transformera ekvationen med hjälp av den dubbla vinkelns cosinusformel 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Vi får ekvationen: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).
Lägg märke till att \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), så ekvationen blir: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). Härifrån \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cos x+\sin x =\frac65.
2. Transformera \sin x+\cos x med hjälp av reduktionsformeln och summan av cosinusformeln: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.
Härifrån \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5. Betyder att, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,
eller x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.
Det är därför x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,
eller x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.
De hittade värdena för x tillhör definitionsdomänen.
b) Låt oss först ta reda på var rötterna till ekvationen faller vid k=0 och t=0. Dessa kommer att vara siffror i enlighet med detta a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5 Och b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.
1. Låt oss bevisa den extra ojämlikheten:
\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.
Verkligen, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.
Notera också det \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, Betyder \frac(3\sqrt 2)5<1.
2. Från ojämlikheter (1) Av egenskapen bågkosinus får vi:
arccos 1 0 Härifrån \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,
0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,
0 Likaså, -\frac\pi 4 0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5<
0 För k=-1 och t=-1 får vi rötterna till ekvationen a-2\pi och b-2\pi. \Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg). Vart i -2\pi 2\pi För andra värden på k och t hör inte ekvationens rötter till det givna intervallet. Om k\geqslant 1 och t\geqslant 1, så är rötterna större än 2\pi. Om k\leqslant -2 och t\leqslant -2, så är rötterna mindre -\frac(7\pi )2. A) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z; b) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5. Källa: ”Matematik. Förberedelse för Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova. Arbetstyp: 13 A) Lös ekvationen \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x). b) Hitta alla rötter till denna ekvation som hör till intervallet ; A) Låt oss omvandla ekvationen: \cos x =-\sin 2x, \cos x+2 \sin x \cos x=0, \cos x(1+2 \sin x)=0, \cos x=0, x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z; 1+2 \sin x=0, \sin x=-\frac12, x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z. b) Vi hittar rötterna som hör till segmentet med hjälp av enhetscirkeln. Det angivna intervallet innehåller ett enda nummer \frac\pi 2. A) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z; b) \frac\pi 2. Källa: ”Matematik. Förberedelse för Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova. Arbetstyp: 13 A) Lös ekvationen \frac(\sin x-1)(1+\cos 2x)=\frac(\sin x-1)(1+\cos (\pi +x)). b) Hitta alla rötter till denna ekvation som hör till segmentet \vänster[ -\frac(3\pi )(2); -\frac(\pi )2 \right]. A) Låt oss hitta ODZ-ekvationen: \cos 2x \neq -1, \cos (\pi +x) \neq -1; Härifrån ODZ: x \neq \frac \pi 2+\pi k, k \in \mathbb Z, Den resulterande uppsättningen av x-värden ingår inte i ODZ. Betyder att, \sin x \neq 1. Dividera båda sidor av ekvationen med en faktor (\sin x-1), skiljer sig från noll. Vi får ekvationen \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)), eller ekvation 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Genom att tillämpa reduktionsformeln på vänster sida och reduktionsformeln till höger får vi ekvationen 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Denna ekvation är genom substitution \cos x=t, Var -1 \leqslant t \leqslant 1 reducera det till kvadrat: 2t^2+t-1=0, vars rötter t_1=-1 Och t_2=\frac12. Om vi återgår till variabeln x får vi \cos x = \frac12 eller \cos x=-1, var x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \i \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z. b) Låt oss lösa ojämlikheter 1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , 2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,) 3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z. 1)
-\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqslant -\frac56 , -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12). \vänster [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\höger]. 2)
-\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12). Det finns inga heltal i intervallet \vänster[ -\frac7(12) ; -\frac1(12)\höger]. 3)
-\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34. Denna olikhet uppfylls av k=-1, sedan x=-\pi. A) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z; b) -\pi . Källa: ”Matematik. Förberedelse för Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova. (\sin x-\cos 2x)\cdot (\sin x+\cos 2x) och \cos 2x=1-2 \sin ^2 x, så ekvationen kommer att ha formen (\sin x-(1-2 \sin ^2 x))\,\cdot(\sin x+(1-2 \sin ^2 x))=0, (2 \sin ^2 x+\sin x-1)\,\cdot (2 \sin ^2 x-\sin x-1)=0. Sedan antingen 2 \sin ^2 x+\sin x-1=0, eller 2 \sin ^2 x-\sin x-1=0. Låt oss lösa den första ekvationen som en andragradsekvation med avseende på \sin x, (\sin x)_(1,2)=\frac(-1 \pm \sqrt 9)4=\frac(-1 \pm 3)4. Därför antingen \sin x=-1 eller \sin x=\frac12. Om \sin x=-1, då x=\frac(3\pi )2+ 2k\pi , k \in \mathbb Z. Om \sin x=\frac12, antingen x=\frac\pi 6 +2s\pi , s \in \mathbb Z, eller x=\frac(5\pi )6+2t\pi , t \in \mathbb Z. På liknande sätt, när vi löser den andra ekvationen, får vi antingen \sin x=1 eller \sin x=-\frac12. Sedan x =\frac\pi 2+2m\pi , m\in \mathbb Z, eller x=\frac(-\pi )6 +2n\pi , n \in \mathbb Z, eller x=\frac(-5\pi )6+2p\pi , p \in \mathbb Z. Låt oss kombinera de erhållna lösningarna: x=\frac\pi 2+m\pi,m\in\mathbb Z; x=\pm\frac\pi 6+s\pi,s \in \mathbb Z. b) Låt oss välja de rötter som faller inom ett givet intervall med hjälp av en talcirkel. Vi får: x_1 =\frac(7\pi )2, x_2 =\frac(23\pi )6, x_3 =\frac(25\pi )6. A) \frac\pi 2+ m\pi , m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 6 +s\pi , s \in \mathbb Z; b) \frac(7\pi )2;\,\,\frac(23\pi )6;\,\,\frac(25\pi )6. Alla uttryck med en variabel har sitt eget intervall av giltiga värden, där det finns. ODZ måste alltid beaktas vid beslut. Om den saknas kan du få ett felaktigt resultat. Den här artikeln kommer att visa hur du korrekt hittar ODZ och använder exempel. Vikten av att ange DZ vid beslut kommer också att diskuteras. Denna definition är relaterad till de tillåtna värdena för variabeln. När vi introducerar definitionen, låt oss se vilket resultat det kommer att leda till. Med start i 7:an börjar vi arbeta med siffror och numeriska uttryck. Initiala definitioner med variabler går vidare till betydelsen av uttryck med valda variabler. När det finns uttryck med valda variabler kanske vissa av dem inte uppfyller. Till exempel ett uttryck av formen 1: a, om a = 0, så är det inte vettigt, eftersom det är omöjligt att dividera med noll. Det vill säga uttrycket måste ha värden som är lämpliga i alla fall och kommer att ge ett svar. Med andra ord är de vettiga med de befintliga variablerna. Definition 1 Om det finns ett uttryck med variabler, är det vettigt bara om värdet kan beräknas genom att ersätta dem. Definition 2 Om det finns ett uttryck med variabler är det inte meningsfullt när värdet inte kan beräknas när man ersätter dem. Det vill säga, detta innebär en fullständig definition Definition 3 Befintliga tillåtna variabler är de värden för vilka uttrycket är vettigt. Och om det inte är vettigt, anses de vara oacceptabla. För att förtydliga ovanstående: om det finns mer än en variabel kan det finnas ett par lämpliga värden. Exempel 1 Tänk till exempel på ett uttryck av formen 1 x - y + z, där det finns tre variabler. Annars kan du skriva det som x = 0, y = 1, z = 2, medan en annan post har formen (0, 1, 2). Dessa värden kallas valid, vilket betyder att värdet på uttrycket kan hittas. Vi får att 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. Av detta ser vi att (1, 1, 2) är oacceptabla. Substitutionen resulterar i division med noll, det vill säga 1 1 - 2 + 1 = 1 0. Omfånget av acceptabla värden är ett viktigt element vid utvärdering av algebraiska uttryck. Därför är det värt att uppmärksamma detta när du gör beräkningar. Definition 4 ODZ-områdetär uppsättningen värden som är tillåtna för ett givet uttryck. Låt oss titta på ett exempeluttryck. Exempel 2 Om vi har ett uttryck av formen 5 z - 3, så har ODZ formen (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) . Detta är intervallet av giltiga värden som uppfyller variabeln z för ett givet uttryck. Om det finns uttryck av formen z x - y, så är det tydligt att x ≠ y, z har vilket värde som helst. Detta kallas ODZ-uttryck. Det måste beaktas för att inte få division med noll vid byte. Området för tillåtna värden och definitionsintervallet har samma betydelse. Endast den andra av dem används för uttryck, och den första används för ekvationer eller olikheter. Med hjälp av DL blir uttrycket eller ojämlikheten vettigt. Definitionsdomänen för funktionen sammanfaller med intervallet för tillåtna värden för variabeln x för uttrycket f (x). Att hitta ODZ innebär att hitta alla giltiga värden som passar en given funktion eller olikhet. Underlåtenhet att uppfylla dessa villkor kan resultera i felaktiga resultat. För att hitta ODZ är det ofta nödvändigt att gå igenom transformationer i ett givet uttryck. Det finns uttryck där deras beräkning är omöjlig: Allt detta visar hur viktigt det är att ha ODZ. Exempel 3 Hitta ODZ-uttrycket x 3 + 2 x y − 4 .
Lösning
Vilket nummer som helst kan kuberas. Detta uttryck har inte en bråkdel, så värdena för x och y kan vara vilka som helst. Det vill säga, ODZ är vilket nummer som helst. Svar: x och y – alla värden. Exempel 4 Hitta ODZ för uttrycket 1 3 - x + 1 0. Lösning
Det kan ses att det finns ett bråk där nämnaren är noll. Det betyder att för alla värden på x kommer vi att få division med noll. Det betyder att vi kan dra slutsatsen att detta uttryck anses odefinierat, det vill säga att det inte har något ytterligare ansvar. Svar: ∅ . Exempel 5 Hitta ODZ för det givna uttrycket x + 2 · y + 3 - 5 · x. Lösning
Närvaron av en kvadratrot betyder att detta uttryck måste vara större än eller lika med noll. Om det är negativt har det ingen mening. Detta betyder att det är nödvändigt att skriva en olikhet av formen x + 2 · y + 3 ≥ 0. Det vill säga, detta är det önskade intervallet av acceptabla värden. Svar: uppsättning av x och y, där x + 2 y + 3 ≥ 0. Exempel 6 Bestäm ODZ-uttrycket av formen 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) . Lösning
Tillstånd har vi ett bråk, så dess nämnare bör inte vara lika med noll. Vi får att x + 1 - 1 ≠ 0. Det radikala uttrycket är alltid vettigt när det är större än eller lika med noll, det vill säga x + 1 ≥ 0. Eftersom den har en logaritm måste dess uttryck vara strikt positivt, det vill säga x 2 + 3 > 0. Basen för logaritmen måste också ha ett positivt värde och skilja sig från 1, då adderar vi villkoren x + 8 > 0 och x + 8 ≠ 1. Det följer att den önskade ODZ kommer att ha formen: x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1 Med andra ord kallas det ett system av ojämlikheter med en variabel. Lösningen kommer att leda till följande ODZ-notation [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) . Svar: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞) Under identitetstransformationer är det viktigt att hitta ODZ. Det finns fall då förekomsten av ODZ inte förekommer. För att förstå om ett givet uttryck har en lösning måste du jämföra VA för variablerna för det ursprungliga uttrycket och VA för det resulterande. Identitetstransformationer: Låt oss titta på ett exempel. Exempel 7 Om vi har ett uttryck av formen x 2 + x + 3 · x, så är dess ODZ definierad över hela definitionsdomänen. Även när man tar med liknande termer och förenklar uttrycket ändras inte ODZ. Exempel 8 Om vi tar exemplet med uttrycket x + 3 x − 3 x, så är det annorlunda. Vi har ett fraktionerat uttryck. Och vi vet att division med noll är oacceptabelt. Då har ODZ formen (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . Det kan ses att noll inte är en lösning, så vi lägger till det med en parentes. Låt oss överväga ett exempel med närvaron av ett radikalt uttryck. Exempel 9 Om det finns x - 1 · x - 3, bör du vara uppmärksam på ODZ, eftersom den måste skrivas som olikheten (x − 1) · (x − 3) ≥ 0. Det är möjligt att lösa med intervallmetoden, då finner vi att ODZ kommer att ha formen (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . Efter att ha transformerat x - 1 · x - 3 och tillämpat egenskapen för rötter, har vi att ODZ kan kompletteras och allt kan skrivas i form av ett system av olikheter av formen x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ 0. När vi löser det finner vi att [ 3 , + ∞) . Detta betyder att ODZ är helt skrivet enligt följande: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . Transformationer som gör DZ smalare måste undvikas. Exempel 10 Låt oss betrakta ett exempel på uttrycket x - 1 · x - 3, när x = - 1. När vi ersätter får vi att - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Om vi transformerar detta uttryck och tar det till formen x - 1 · x - 3, så finner vi vid beräkningen att 2 - 1 · 2 - 3 är uttrycket meningslöst, eftersom det radikala uttrycket inte bör vara negativt. Det är nödvändigt att följa identiska transformationer som ODZ inte kommer att förändras. Om det finns exempel som utökar det, bör det läggas till i DL. Exempel 11 Låt oss titta på exemplet på en bråkdel av formen x x 3 + x. Om vi avbryter med x får vi 1 x 2 + 1. Sedan expanderar ODZ och blir (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Vid beräkningen arbetar vi dessutom redan med den andra förenklade fraktionen. I närvaro av logaritmer är situationen något annorlunda. Exempel 12 Om det finns ett uttryck av formen ln x + ln (x + 3), ersätts det med ln (x · (x + 3)), baserat på egenskapen hos logaritmen. Av detta kan vi se att ODZ från (0 , + ∞) till (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . För att bestämma ODZ ln (x · (x + 3)) är det därför nödvändigt att utföra beräkningar på ODZ, det vill säga (0, + ∞) uppsättningen. Vid lösning är det alltid nödvändigt att vara uppmärksam på strukturen och typen av uttrycket som ges av villkoret. Om definitionsområdet hittas korrekt blir resultatet positivt. Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter När vi löser olika problem måste vi mycket ofta utföra identiska omvandlingar av uttryck. Men det händer att någon form av transformation är acceptabel i vissa fall, men inte i andra. Betydande hjälp när det gäller att övervaka tillåtligheten av pågående omvandlingar tillhandahålls av ODZ. Låt oss titta på detta mer i detalj. Kärnan i tillvägagångssättet är som följer: ODZ för variabler för det ursprungliga uttrycket jämförs med ODZ för variabler för uttrycket som erhålls som ett resultat av identiska transformationer, och baserat på jämförelseresultaten dras lämpliga slutsatser. I allmänhet kan identitetsförvandlingar Låt oss illustrera varje fall med ett exempel. Betrakta uttrycket x 2 +x+3·x, ODZ för variabeln x för detta uttryck är mängden R. Låt oss nu göra följande identiska transformation med detta uttryck - vi presenterar liknande termer, som ett resultat kommer det att ta formen x 2 +4·x. Uppenbarligen är variabeln x i detta uttryck också en mängd R. Den genomförda transformationen förändrade således inte DZ. Låt oss gå vidare. Låt oss ta uttrycket x+3/x−3/x. I detta fall bestäms ODZ av villkoret x≠0, vilket motsvarar mängden (−∞, 0)∪(0, +∞) . Detta uttryck innehåller också liknande termer, efter reducering kommer vi fram till uttrycket x, för vilket ODZ är R. Vad vi ser: som ett resultat av transformationen utökades ODZ (talet noll lades till ODZ för variabeln x för det ursprungliga uttrycket). Det återstår att överväga ett exempel på att begränsa intervallet för acceptabla värden efter transformationer. Låt oss ta uttrycket Svar
Ämne: Tillåtet värdeintervall (APV)Skick
Lösning
Svar
Ämne: Tillåtet värdeintervall (APV)Skick
Lösning
Svar
Svar
Giltiga och ogiltiga variabelvärden
Vad är ODZ?
Hur hittar man ODZ? Exempel, lösningar
Varför är det viktigt att tänka på DPD när man kör förändring?
. ODZ för variabeln x bestäms av olikheten (x−1)·(x−3)≥0, för dess lösning är den lämplig, till exempel, som ett resultat har vi (−∞, 1]∪∪; redigerad av S. A. Telyakovsky. - 17- uppl. - M.: Education, 2008. - 240 s.: ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
