Vad består sidoytan av en kon av? Kon som en geometrisk figur

Lektionens ämne: Kotten och dess element

Lektionens mål:introducera begreppen kon, generatris, höjd och bas; introducera konceptet med området för den laterala ytan av en kon som området för dess utveckling; utveckla färdigheten att lösa problem för att hitta elementen i en kon.

Lektionstyp:kombinerad.

Utrustning:PC, multimediaprojektor, interaktiv whiteboard, konmodeller.

Under lektionerna:

Kollar läxor på tavlan.
Självständigt arbete (bilaga 1.)
Förklaring av nytt material.

Koncept för en kon, dess element (topp, axel, generatorer, bas, sidoyta). Kon bild.

Kon(närmare bestämt en cirkulär kon) är en kropp som består av en cirkel - konens bas, en punkt som inte ligger i denna cirkels plan - toppen av konen och alla segment som förbinder konens topp med basens punkter (fig. 1).

De segment som förbinder konens spets med bascirkelns punkter kallas formning kon Konens yta består av en bas och en sidoyta.

Kotten kallas direkt, om den raka linjen som förbinder toppen av konen med mitten av basen är vinkelrät mot basens plan. I det följande kommer vi bara att överväga den raka konen, och kalla den helt enkelt en kon för korthetens skull. Visuellt kan en rak cirkulär kon föreställas som en kropp som erhålls genom att rotera en rätvinklig triangel runt benet som en axel (Fig. 2).

Höjd av en kon kallas vinkelrät nedstigande från dess spets till basens plan. För en rak kon sammanfaller basen av höjden med mitten av basen. Axeln för en rät cirkulär kon är den räta linjen som innehåller dess höjd.

^ Sektion av en kon efter olika plan.
Sektionen av en kon av ett plan som går genom dess vertex är en likbent triangel, vars sidor bildar konen (fig. 3). I synnerhet är en likbent triangel den axiella sektionen av en kon. Detta är en sektion som går genom konens axel (fig. 4).

Sats. Ett plan parallellt med planet för konens bas skär konen i en cirkel, och sidoytan - i en cirkel med mitten på konens axel.

Bevis. Låta - ett plan parallellt med planet för konens bas och som skär konen (fig. 5). Homotetisk transformation med avseende på spetsen av en kon, kombinerar planet

En kon (mer exakt, en cirkulär kon) är en kropp som består av en cirkel - konens bas, en punkt som inte ligger i denna cirkels plan - toppen av konen och alla segment som förbinder toppen av konen med basens punkter (Fig. 1) Linjesegment som förbinder toppen av konen med bascirkelns punkter kallas kongeneratorer. Alla generatorer av konen är lika med varandra. Konens yta består av en bas och en sidoyta.
Ris. 1
En kon kallas rak om den raka linjen som förbinder toppen av konen med mitten av basen är vinkelrät mot basens plan. Visuellt kan en rak cirkulär kon föreställas som en kropp som erhålls genom att rotera en rätvinklig triangel runt benet som en axel (Fig. 2).
Ris. 2
Höjden på en kon är den vinkelräta som går ner från dess topp till basens plan. För en rak kon sammanfaller basen av höjden med mitten av basen. Axeln för en rät cirkulär kon är den räta linjen som innehåller dess höjd.
Sektionen av en kon av ett plan som går genom dess vertex är en likbent triangel, vars sidor bildar konen (fig. 3). I synnerhet är en likbent triangel den axiella sektionen av en kon. Detta är en sektion som går genom konens axel (fig. 4).
Ris. 3 Fig. 4

Konens yta
Konens sidoyta, liksom cylinderns sidoyta, kan vändas mot ett plan genom att skära den längs en av generatriserna (fig. 2, a, b). Utvecklingen av konens laterala yta är en cirkulär sektor (Fig. 2.6), vars radie är lika med konens generatris, och sektorns båglängd är omkretsen av konens bas.
Arean av konens laterala yta anses vara området för dess utveckling. Låt oss uttrycka arean S av konens laterala yta i termer av dess generatris l och radien för basen r.
Arean av den cirkulära sektorn - utvecklingen av könens laterala yta (fig. 2) - är lika med (Pl2a)/360, där a är gradmåttet för bågen ABA", därför
Sida = (Pl2a)/360. (*)
Låt oss uttrycka a i termer av l och r. Eftersom längden på bågen ABA" är lika med 2Pr (omkretsen av konens bas), då är 2Pr = Pla/180, varav a=360r/l. Genom att ersätta detta uttryck med formel (*) får vi:
Sida = Prl. (**)
Således är arean av konens laterala yta lika med produkten av halva omkretsen av basen och generatrisen.
Den totala ytan av en kon är summan av ytorna på den laterala ytan och basen. För att beräkna arean Scon av konens totala yta erhålls formeln: Scon = Pr (l + r). (***)

Frustum
Låt oss ta en godtycklig kon och rita ett skärplan vinkelrätt mot dess axel. Detta plan skär konen i en cirkel och delar upp konen i två delar. En av delarna är en kon, och den andra kallas en stympad kon. Basen av den ursprungliga konen och cirkeln som erhålls genom att skära denna kon med ett plan kallas baserna för den stympade konen, och segmentet som förbinder deras centra kallas höjden på den stympade konen.

Den del av den koniska ytan som begränsar den stympade konen kallas dess laterala yta, och segmenten av generatriserna för den koniska ytan som är inneslutna mellan baserna kallas generatorerna för den stympade konen. Alla generatorer av en trunkerad kon är lika med varandra (bevisa detta själv).
Arean av den laterala ytan av en stympad kon är lika med produkten av halva summan av längderna av cirklarna för baserna och generatorn: Sside = П (r + r1) l.

Ytterligare information om konen
1. Inom geologin finns begreppet "fläkt". Detta är en landform som bildas av ackumulering av klastiska stenar (stenar, grus, sand) som bärs av bergsfloder till en slätt vid foten eller in i en plattare, bredare dal.
2. Inom biologin finns begreppet "tillväxtkon". Detta är spetsen av skottet och roten av växter, bestående av celler av utbildningsvävnad.
3. "Koner" är en familj av marina blötdjur av underklassen prosobranch. Skalet är koniskt (2–16 cm), ljust färgat. Det finns över 500 typer av kottar. De lever i tropikerna och subtroperna, är rovdjur och har en giftig körtel. Betet av kottarna är mycket smärtsamt. Dödsfall är kända. Skal används som dekorationer och souvenirer.
4. Enligt statistik dör 6 personer per 1 miljon invånare av blixtnedslag på jorden varje år (oftare i södra länder). Detta skulle inte hända om det fanns blixtledare överallt, eftersom en säkerhetskon bildas. Ju högre blixtstången är, desto större volym har en sådan kon. Vissa människor försöker gömma sig från urladdningar under ett träd, men ett träd är inte en ledare, laddningar samlas på det och ett träd kan vara en spänningskälla.
5. I fysiken stöter man på begreppet "solid vinkel". Detta är en konformad vinkel skuren till en boll. Enheten för rymdvinkel är 1 steradian. 1 steradian är en hel vinkel vars kvadratiska radie är lika med arean av den del av sfären den skär ut. Om vi placerar en ljuskälla på 1 candela (1 ljus) i detta hörn får vi ett ljusflöde på 1 lumen. Ljuset från en filmkamera eller spotlight sprider sig i form av en kon.

Inom maskinteknik, tillsammans med cylindriska sådana, används i stor utsträckning delar med koniska ytor i form av externa koner eller i form av koniska hål. Till exempel har mitten av en svarv två yttre koner, varav en tjänar till att installera och säkra den i spindelns koniska hål; en borr, försänkning, brotsch etc. har även en yttre kon för montering och infästning Adapterhylsan för att fästa borrar med koniskt skaft har en yttre kon och ett koniskt hål

1. Konceptet med en kon och dess element

Element av en kon. Om man vrider den högra triangeln ABC runt benet AB (bild 202, a) så bildas en kropps-ABG som kallas full kon. Linje AB kallas axeln eller konens höjd, linje AB - könens generatris. Punkt A är toppen av konen.

När benet BV roterar runt axeln AB bildas en cirkelyta, kallad konens bas.

Vinkeln VAG mellan sidosidorna AB och AG kallas konvinkel och betecknas med 2a. Hälften av denna vinkel som bildas av den laterala sidan AG och axeln AB kallas konvinkel och betecknas med α. Vinklar uttrycks i grader, minuter och sekunder.

Om vi skär av dess övre del från en komplett kon med ett plan parallellt med dess bas (bild 202, b) får vi en kropp som kallas stympad kon. Den har två baser, övre och nedre. Avståndet OO 1 längs axeln mellan baserna kallas stympad kon höjd. Eftersom vi inom maskintekniken mest har att göra med delar av koner, d.v.s. stympade kottar, brukar de helt enkelt kallas kottar; Från och med nu kommer vi att kalla alla koniska ytor för koner.

Kopplingen mellan elementen i konen. Ritningen anger vanligtvis tre huvuddimensioner på konen: den större diametern D, den mindre diametern d och höjden på konen l (bild 203).

Ibland anger ritningen endast en av kondiametrarna, till exempel den större D, konhöjden l och den så kallade avsmalningen. Taper är förhållandet mellan skillnaden mellan en kons diametrar och dess längd. Låt oss då beteckna avsmalningen med bokstaven K

Om konen har dimensioner: D = 80 mm, d = 70 mm och l = 100 mm, då enligt formel (10):

Detta innebär att över en längd av 10 mm minskar konens diameter med 1 mm eller för varje millimeter av konens längd ändras skillnaden mellan dess diametrar med

Ibland på ritningen, istället för konens vinkel, anges det kon lutning. Konens lutning visar i vilken utsträckning konens generatris avviker från sin axel.
Lutningen på konen bestäms av formeln

där tan α är konens lutning;

l är höjden på konen i mm.

Med formeln (11) kan du använda trigonometriska tabeller för att bestämma konens vinkel a.

Exempel 6. Givet D = 80 mm; d=70 mm; l= 100 mm. Med formeln (11) har vi. Från tangenttabellen hittar vi värdet närmast tan α = 0,05, dvs. tan α = 0,049, vilket motsvarar konlutningsvinkeln α = 2°50". = 2 ·2°50" = 5°40".

Konlutning och avsmalning uttrycks vanligtvis som en enkel bråkdel, till exempel: 1:10; 1:50, eller ett decimaltal, till exempel 0,1; 0,05; 0,02 osv.

2. Metoder för framställning av koniska ytor på en svarv

På en svarv bearbetas koniska ytor på något av följande sätt:
a) vridning av den övre delen av bromsoket;
b) tvärgående förskjutning av bakkroppen;
c) använda en kon linjal;
d) med en bred skärare.

3. Bearbeta koniska ytor genom att vrida den övre delen av bromsoket

När du gör korta yttre och inre koniska ytor med stor lutningsvinkel på en svarv måste du rotera den övre delen av stödet i förhållande till maskinens axel i en vinkel α av konens lutning (se bild 204). Med denna funktionsmetod kan matning endast göras för hand, rotera handtaget på ledskruven på den övre delen av stödet, och endast de mest moderna svarvarna har en mekanisk matning av den övre delen av stödet.

För att ställa in den övre delen av bromsoket 1 till önskad vinkel, kan du använda indelningarna markerade på flänsen 2 på den roterande delen av bromsoket (bild 204). Om konens lutningsvinkel α anges enligt ritningen, roteras den övre delen av bromsoket tillsammans med dess roterande del med det erforderliga antalet delningar som indikerar grader. Antalet delningar räknas i förhållande till markeringen som är markerad på botten av bromsoket.

Om vinkeln α inte anges på ritningen, men de större och mindre diametrarna på konen och längden på dess koniska del anges, så bestäms värdet på bromsokets rotationsvinkel av formel (11)

Exempel 7. De givna kondiametrarna är D = 80 mm, d = 66 mm, konlängden l = 112 mm. Vi har: Med hjälp av tangenttabellen finner vi ungefär: a = 3°35". Därför måste den övre delen av skjutmåttet roteras 3°35".

Metoden att vrida koniska ytor genom att vrida den övre delen av bromsoket har följande nackdelar: det tillåter vanligtvis användningen av endast manuell matning, vilket påverkar arbetsproduktiviteten och renheten hos den bearbetade ytan; låter dig slipa relativt korta koniska ytor begränsade av slaglängden på den övre delen av bromsoket.

4. Bearbetning av koniska ytor med hjälp av metoden för tvärgående förskjutning av bakkroppen

För att få en konisk yta på en svarv, när du roterar arbetsstycket, är det nödvändigt att flytta spetsen på skäraren inte parallellt, men i en viss vinkel mot centrumaxeln. Denna vinkel måste vara lika med konens lutningsvinkel α. Det enklaste sättet att erhålla vinkeln mellan centrumaxeln och matningsriktningen är att förskjuta mittlinjen genom att flytta den bakre mitten i tvärriktningen. Genom att förskjuta den bakre mitten mot fräsen (mot sig själv) som ett resultat av slipning erhålls en kon, vars större bas är riktad mot huvudstocken; när den bakre mitten förskjuts i motsatt riktning, d.v.s. bort från fräsen (bort från dig), kommer den större basen av konen att vara på sidan av ändstocken (Fig. 205).

Förskjutningen av bakkroppen bestäms av formeln

där S är förskjutningen av ändstockskroppen från axeln för axeln på axeln i mm;
D är diametern på konens stora bas i mm;
d är diametern på konens lilla bas i mm;
L är längden på hela delen eller avståndet mellan centrum i mm;
l är längden på delens koniska del i mm.

Exempel 8. Bestäm förskjutningen av mittstocken för att vrida en stympad kon om D = 100 mm, d = 80 mm, L = 300 mm och l = 200 mm. Med formel (12) finner vi:

Stoppstockshuset förskjuts med hjälp av avdelningarna 1 (bild 206) markerade på änden av basplattan, och markeringen 2 på änden av tailstockhuset.

Om det inte finns några uppdelningar i änden av plattan, flytta sedan bakkroppen med hjälp av en mätlinjal, som visas i Fig. 207.

Fördelen med att bearbeta koniska ytor genom att förskjuta stjärtkroppen är att denna metod kan användas för att svarva långa koner och slipa med mekanisk matning.

Nackdelar med denna metod: oförmåga att borra koniska hål; förlust av tid för omarrangering av ändstocken; förmågan att endast bearbeta grunda kottar; felinriktning av mittpunkterna i mitthålen, vilket leder till snabbt och ojämnt slitage av mittpunkterna och mitthålen och orsakar defekter under den sekundära installationen av delen i samma mitthål.

Ojämnt slitage på mitthålen kan undvikas om ett speciellt kulcentrum används istället för det vanliga (bild 208). Sådana centra används främst vid bearbetning av precisionskoner.

5. Bearbetning av koniska ytor med en konisk linjal

För att bearbeta koniska ytor med en lutningsvinkel på upp till 10-12° har moderna svarvar vanligtvis en speciell anordning som kallas en kon linjal. Schemat för att bearbeta en kon med hjälp av en kon linjal visas i fig. 209.

En platta 11 är fäst vid maskinbädden, på vilken är monterad en konisk linjal 9. Linjalen kan vridas runt tappen 8 i erforderlig vinkel a mot arbetsstyckets axel. För att säkra linjalen i önskat läge används två bultar 4 och 10. En glidare 7 glider fritt längs linjalen och ansluter till den nedre tvärgående delen 12 av bromsoket med hjälp av en stång 5 och en klämma 6. Så att denna del av bromsoket kan glida fritt längs styrningarna, det kopplas bort från vagnen 3 genom att skruva loss tvärskruven eller lossa dess mutter från bromsoket.

Om du ger vagnen en längsgående matning, kommer skjutreglaget 7, som fångas av stången 5, att börja röra sig längs linjalen 9. Eftersom skjutreglaget är fäst vid bromsokets tvärgående slid kommer de, tillsammans med skäret, att flytta parallellt med linjalen 9. Tack vare detta kommer skäraren att bearbeta en konisk yta med en lutningsvinkel , lika med den koniska linjalens rotationsvinkel α.

Efter varje passage ställs kniven in på skärdjupet med hjälp av handtaget 1 på den övre delen 2 av bromsoket. Denna del av bromsoket måste vridas 90° i förhållande till det normala läget, dvs. som visas i fig. 209.

Om diametrarna för baserna på konen D och d och dess längd l anges, kan linjalens rotationsvinkel hittas med formeln (11).

Efter att ha beräknat värdet på tan α är det lätt att bestämma värdet på vinkeln α med hjälp av tangenttabellen.
Användningen av en kon linjal har ett antal fördelar:
1) att ställa in linjalen är bekvämt och snabbt;
2) när du byter till bearbetningskoner finns det inget behov av att störa maskinens normala inställning, det vill säga det finns inget behov av att flytta bakkroppen; maskinens centrum förblir i det normala läget, d.v.s. på samma axel, på grund av vilket mitthålen i delen och maskinens mitt inte fungerar;
3) med en konisk linjal kan du inte bara slipa de yttre koniska ytorna, utan också borra koniska hål;
4) det är möjligt att arbeta med en längsgående självgående maskin, vilket ökar arbetsproduktiviteten och förbättrar kvaliteten på bearbetningen.

Nackdelen med en avsmalnande linjal är behovet av att koppla loss bromsoksliden från korsmatningsskruven. Denna nackdel elimineras i utformningen av vissa svarvar, där skruven inte är styvt ansluten till sitt handhjul och kugghjulen på den tvärgående självgående maskinen.

6. Bearbetning av koniska ytor med bred fräs

Bearbetning av koniska ytor (extern och invändig) med kort konlängd kan göras med en bred fräs med en planvinkel som motsvarar konens lutningsvinkel α (bild 210). Skärmatningen kan vara längsgående eller tvärgående.

Användningen av en bred fräs på konventionella maskiner är dock endast möjlig med en konlängd som inte överstiger cirka 20 mm. Bredare fräsar kan endast användas på särskilt styva maskiner och delar om detta inte orsakar vibrationer av fräsen och arbetsstycket.

7. Borrning och brotschning av avsmalnande hål

Att bearbeta avsmalnande hål är ett av de svåraste svarvjobben; det är mycket svårare än att bearbeta externa koner.

Bearbetningen av koniska hål på svarvar utförs i de flesta fall genom borrning med en fräs med vridning av den övre delen av stödet och, mindre ofta, med en avsmalnande linjal. Alla beräkningar förknippade med att vrida den övre delen av bromsoket eller den avsmalnande linjalen utförs på samma sätt som vid vridning av de yttre koniska ytorna.

Om hålet måste vara i fast material, så borras först ett cylindriskt hål, som sedan borras in i en kon med en fräs eller bearbetas med koniska försänkningar och brotschar.

För att påskynda borrning eller brotschning bör du först borra ett hål med en borr, diameter d, som är 1-2 mm mindre än diametern på den lilla basen av konen (bild 211, a). Efter detta borras hålet med en (Fig. 211, b) eller två (Fig. 211, c) borr för att erhålla steg.

Efter avslutad borrning av konen, brotschas den med en konisk brotsch med lämplig avsmalning. För koner med en liten avsmalning är det mer lönsamt att bearbeta de koniska hålen omedelbart efter borrning med en uppsättning speciella brotschar, som visas i fig. 212.

8. Kapningslägen vid bearbetning av hål med koniska brotschar

Koniska brotschar arbetar under svårare förhållanden än cylindriska brotschar: medan cylindriska brotschar tar bort ett litet utrymme med små skäreggar, skär koniska brotschar hela längden av sina skäreggar som ligger på konens generatris. Därför, när man arbetar med koniska brotschar, används matningar och skärhastigheter mindre än när man arbetar med cylindriska brotschar.

Vid bearbetning av hål med koniska brotschar görs matningen manuellt genom att vrida på bakstyckets handratt. Det är nödvändigt att se till att stjärtfjädern rör sig jämnt.

Matning vid brotschning av stål är 0,1-0,2 mm/varv, vid brotschning av gjutjärn 0,2-0,4 mm/varv.

Skärhastigheten vid brotschning av koniska hål med höghastighetstålbrottschar är 6-10 m/min.

Kylning bör användas för att underlätta driften av koniska brotschar och för att få en ren, slät yta. Vid bearbetning av stål och gjutjärn används en emulsion eller sulfofresol.

9. Mätning av koniska ytor

Ytorna på konerna kontrolleras med mallar och mätare; mätning och samtidigt kontroll av konens vinklar utförs med hjälp av gradskivor. I fig. 213 visar en metod för att kontrollera en kon med användning av en mall.

De yttre och inre hörnen av olika delar kan mätas med en universell goniometer (bild 214). Den består av en bas 1, på vilken huvudskalan är markerad på en båge 130. En linjal 5 är styvt fäst vid basen 1. Sektor 4 rör sig längs med basens båge, bärande en vernier 3. En fyrkant 2 kan fästas vid sektorn 4 med hjälp av en hållare 7, i vilken i sin tur en löstagbar linjal 5 är fixerad. Fyrkanten 2 och den löstagbara linjalen 5 har möjlighet att röra sig längs kanten av sektor 4.

Genom olika kombinationer i installationen av gradskivans mätdelar är det möjligt att mäta vinklar från 0 till 320°. Avläsningsvärdet på nocken är 2". Avläsningen som erhålls vid mätning av vinklar görs med hjälp av skalan och nocken (fig. 215) enligt följande: nollslagets nollslag visar antalet grader, och nockenslaget sammanfaller med basskalans slag, visar antalet minuter. I fig. 215 sammanfaller det 11:e slaget på nocken med basskalans slag, vilket betyder 2"X 11 = 22". Därför är vinkeln i detta fall är 76°22".

I fig. 216 visar kombinationer av mätdelar av en universal gradskiva, som tillåter mätning av olika vinklar från 0 till 320°.

För mer exakt testning av koner i massproduktion används speciella mätare. I fig. 217, och visar en konisk bussningsmätare för kontroll av yttre koner, och i fig. 217, b-konisk pluggmätare för kontroll av koniska hål.

På mätarna är avsatser 1 och 2 gjorda i ändarna eller markeringar 3 anbringas, som tjänar till att bestämma noggrannheten hos de ytor som kontrolleras.

På. ris. 218 ger ett exempel på kontroll av ett koniskt hål med en pluggmätare.

För att kontrollera hålet sätts en mätare (se fig. 218), som har en avsats 1 på ett visst avstånd från änden 2 och två markeringar 3, med lätt tryck i hålet och kontrolleras för att se om mätaren svänger in hålet. Ingen vingling indikerar att konvinkeln är korrekt. När du är säker på att konens vinkel är korrekt, fortsätt att kontrollera dess storlek. För att göra detta, observera till vilken punkt mätaren kommer in i delen som testas. Om änden av delens kon sammanfaller med den vänstra änden av avsats 1 eller med en av markeringarna 3 eller är mellan märkena, så är konens dimensioner korrekta. Men det kan hända att mätaren går så djupt in i delen att båda markeringarna 3 går in i hålet eller så kommer båda ändarna av kanten 1 ut ur den. Detta indikerar att hålets diameter är större än vad som anges. Om tvärtom båda riskerna är utanför hålet eller om ingen av ändarna på kanten kommer ut ur det, är hålets diameter mindre än den som krävs.

För att noggrant kontrollera avsmalningen, använd följande metod. På ytan av delen eller mätaren som ska mätas, rita två eller tre linjer med krita eller en penna längs konens generatrix, sätt sedan in eller sätt mätaren på delen och vrid den en del av varvet. Om linjerna raderas ojämnt betyder det att delens kon inte bearbetas exakt och måste korrigeras. Raderingen av linjer i ändarna av mätaren indikerar en felaktig avsmalning; raderingen av linjerna i mitten av kalibern visar att avsmalningen har en liten konkavitet, vilket vanligtvis orsakas av den felaktiga placeringen av knivens spets längs höjden av mitten. Istället för kritlinjer kan du applicera ett tunt lager specialfärg (blått) på hela den koniska ytan av delen eller mätaren. Denna metod ger större mätnoggrannhet.

10. Defekter i bearbetningen av koniska ytor och åtgärder för att förhindra dem

Vid bearbetning av koniska ytor, förutom de nämnda typerna av defekter för cylindriska ytor, är följande typer av defekter dessutom möjliga:
1) felaktig avsmalning;
2) avvikelser i konens dimensioner;
3) avvikelser i basernas diametrar med rätt avsmalning;
4) icke-rakhet hos generatrisen av den koniska ytan.

1. Felaktig avsmalning beror främst på felaktig inställning av baksäckshuset, felaktig rotation av den övre delen av bromsoket, felaktig installation av linjalen, felaktig skärpning eller installation av bredskäraren. Därför kan defekter förhindras genom att noggrant placera ändstockshuset, den övre delen av bromsoket eller konlinjalen innan bearbetning påbörjas. Denna typ av defekt kan korrigeras endast om felet längs hela längden av konen riktas in i delens kropp, det vill säga alla diametrar på bussningen är mindre och de för den koniska stången är större än vad som krävs.

2. Fel storlek på konen vid rätt vinkel, dvs. fel storlek på diametrarna längs hela längden av konen, uppstår om inte tillräckligt med eller för mycket material avlägsnas. Defekter kan endast förhindras genom att noggrant ställa in skärdjupet längs ratten vid avslutande pass. Vi kommer att rätta till defekten om inte tillräckligt med material filmades.

3. Det kan visa sig att med rätt avsmalning och exakta dimensioner på ena änden av konen är diametern på den andra änden felaktig. Den enda anledningen är underlåtenhet att följa den erforderliga längden på hela den koniska delen av delen. Vi åtgärdar defekten om delen är för lång. För att undvika denna typ av defekt är det nödvändigt att noggrant kontrollera dess längd innan du bearbetar konen.

4. Orätheten hos generatrisen för den kon som bearbetas erhålls när fräsen är installerad ovanför (fig. 219, b) eller under (fig. 219, c) mitten (i dessa figurer, för större tydlighet, förvrängningar av konens generatris visas i en mycket överdriven form). Således är denna typ av defekt resultatet av vändarens ouppmärksamma arbete.

Kontrollfrågor 1. På vilka sätt kan koniska ytor bearbetas på svarvar?
2. I vilka fall rekommenderas det att rotera den övre delen av bromsoket?
3. Hur beräknas rotationsvinkeln för den övre delen av stödet för att vrida en kon?
4. Hur kontrollerar man att toppen av bromsoket är rätt roterat?
5. Hur kontrollerar man förskjutningen av tailstockhuset?. Hur beräknar man storleken på förskjutningen?
6. Vilka är huvuddelarna i en kon linjal? Hur sätter man upp en avsmalnande linjal för den här delen?
7. Ställ in följande vinklar på den universella gradskivan: 50°25"; 45°50"; 75°35".
8. Vilka verktyg används för att mäta koniska ytor?
9. Varför finns det avsatser eller risker på koniska mätare och hur man använder dem?
10. Lista typer av defekter vid bearbetning av koniska ytor. Hur undviker man dem?

) - en kropp i det euklidiska rymden som erhålls genom att kombinera alla strålar som emanerar från en punkt ( toppar kon) och passerar genom en plan yta. Ibland är en kon en del av en sådan kropp som har en begränsad volym och erhålls genom att kombinera alla segment som förbinder spetsen och punkterna på en plan yta (den senare kallas i detta fall grund kon, och konen kallas lutande utifrån detta). Om basen av en kon är en polygon, är en sådan kon en pyramid.

Encyklopedisk YouTube

1 / 4

✪ Hur man gör en kon av papper.

undertexter

Relaterade definitioner

Segmentet som förbinder vertexet och basens gräns kallas könens generatris.
Föreningen av en kons generatorer kallas generatris(eller sida) kon yta. Konens formningsyta är en konisk yta.
Ett segment som faller vinkelrätt från vertex till basens plan (liksom längden på ett sådant segment) kallas konens höjd.
Konvinkel- vinkeln mellan två motsatta generatriser (vinkeln vid konens spets, inuti konen).
Om basen av en kon har ett symmetricentrum (det är till exempel en cirkel eller en ellips) och den ortogonala projektionen av konens vertex på basens plan sammanfaller med detta centrum, så kallas konen direkt. I det här fallet kallas den raka linjen som förbinder toppen och mitten av basen kon axel.
Sned (lutande) kon - en kon vars ortogonala projektion av vertexet på basen inte sammanfaller med dess symmetricentrum.
Cirkulär kon- en kon vars bas är en cirkel.
Rak cirkulär kon(ofta helt enkelt kallad en kon) kan erhållas genom att rotera en rätvinklig triangel runt en linje som innehåller benet (denna linje representerar konens axel).
En kon som vilar på en ellips, parabel eller hyperbel kallas respektive elliptisk, parabolisk Och hyperbolisk kon(de två sista har oändlig volym).
Den del av konen som ligger mellan basen och ett plan parallellt med basen och som ligger mellan toppen och basen kallas stympad kon, eller koniskt lager.

Egenskaper

Om basens yta är ändlig, är konens volym också ändlig och lika med en tredjedel av produkten av höjden och basens yta.

V = 1 3 S H , (\displaystyle V=(1 \över 3)SH,)

Var S- basarea, H- höjd. Således har alla koner som vilar på en given bas (med ändlig area) och har en vertex placerad på ett givet plan parallellt med basen lika volym, eftersom deras höjder är lika.

Tyngdpunkten för varje kon med en ändlig volym ligger på en fjärdedel av höjden från basen.
Rymdvinkeln vid spetsen av en rät cirkulär kon är lika med

2 π (1 − cos ⁡ α 2) , (\displaystyle 2\pi \left(1-\cos (\alpha \over 2)\right),) där α är konens öppningsvinkel.

Den laterala ytan av en sådan kon är lika med

S = π R l , (\displaystyle S=\pi Rl,)

och den totala ytan (det vill säga summan av ytorna på sidoytan och basen)

S = π R (l + R), (\displaystyle S=\pi R(l+R),) Var R- basradie, l = R 2 + H 2 (\displaystyle l=(\sqrt (R^(2)+H^(2))))- generatrisens längd.

Volymen av en cirkulär (inte nödvändigtvis rak) kon är lika med

V = 13 πR2H. (\displaystyle V=(1 \över 3)\pi R^(2)H.)

För en stympad kon (inte nödvändigtvis rak och cirkulär) är volymen lika med:

V = 1 3 (H S 2 − h S 1) , (\displaystyle V=(1 \över 3)(HS_(2)-hS_(1)),)

där S 1 och S 2 är områdena för den övre (närmast toppen) respektive nedre basen, h Och H- avstånd från planet för den övre respektive nedre basen till toppen.

Skärningen av ett plan med en rätt cirkulär kon är en av de koniska sektionerna (i icke-degenererade fall - en ellips, parabel eller hyperbel, beroende på skärplanets position).

Kon ekvation

Ekvationer som definierar den laterala ytan av en rät cirkulär kon med en öppningsvinkel på 2Θ, en vertex vid origo och en axel som sammanfaller med axeln Uns :

I ett sfäriskt koordinatsystem med koordinater ( r, φ, θ) :

θ = Θ. (\displaystyle \theta =\Theta.)

I ett cylindriskt koordinatsystem med koordinater ( r, φ, z) :

z = r ⋅ ctg ⁡ Θ (\displaystyle z=r\cdot \operatörsnamn (ctg) \Theta ) eller r = z ⋅ tan ⁡ Θ . (\displaystyle r=z\cdot \operatörsnamn (tg) \Theta .)

I ett kartesiskt koordinatsystem med koordinater (x, y, z) :

z = ± x 2 + y 2 ⋅ barnsäng ⁡ Θ . (\displaystyle z=\pm (\sqrt (x^(2)+y^(2)))\cdot \operatörsnamn (ctg) \Theta .) Denna ekvation i kanonisk form skrivs som

var är konstanterna a, Med bestäms av proportion c / a = cos ⁡ Θ / sin ⁡ Θ . (\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .) Detta visar att den laterala ytan av en rät cirkulär kon är en yta av andra ordningen (det kallas konisk yta). I allmänhet vilar en andra ordningens konisk yta på en ellips; i ett lämpligt kartesiskt koordinatsystem (axel Åh Och OU parallellt med ellipsens axlar, konens spets sammanfaller med origo, ellipsens centrum ligger på axeln Uns) dess ekvation har formen

x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 , (\displaystyle (\frac (x^(2))(a^(2)))+(\frac (y^(2))( b^(2)))-(\frac (z^(2))(c^(2)))=0,)

och a/c Och före Kristus lika med ellipsens halvaxlar. I det mest allmänna fallet, när en kon vilar på en godtycklig plan yta, kan det visas att ekvationen för konens laterala yta (med dess vertex i origo) ges av ekvationen f (x , y , z) = 0 , (\displaystyle f(x,y,z)=0,) var är funktionen f (x , y , z) (\displaystyle f(x,y,z))är homogen, det vill säga uppfyller villkoret f (α x , α y , α z) = α n f (x , y , z) (\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^(n)f(x,y ,z)) för valfritt reellt tal α.

Skanna

En rät cirkulär kon som en rotationskropp bildas av en rätvinklig triangel som roterar runt ett av benen, där h- höjden på konen från mitten av basen till toppen - är benet på en rätvinklig triangel runt vilken rotation sker. Andra benet i en rätvinklig triangel r- radie vid basen av konen. Hypotenusan i en rätvinklig triangel är l- bildar en kon.

Endast två kvantiteter kan användas för att skapa en konskanning r Och l. Basradie r definierar cirkeln för konens bas i utvecklingen, och sektorn för konens laterala yta bestäms av generatrisen för den laterala ytan l, vilket är radien för sektorn av sidoytan. Sektorvinkel φ (\displaystyle \varphi ) i utvecklingen av konens laterala yta bestäms av formeln:

φ = 360° ( r/l) .

I den här lektionen kommer vi att bekanta oss med en sådan figur som en kon. Låt oss studera elementen i en kon och typerna av dess sektioner. Och vi kommer att ta reda på vilken figur konen har många egenskaper gemensamma med.

Figur 1. Konformade föremål

I världen är ett stort antal saker formade som en kon. Ofta lägger vi inte ens märke till dem. Vägstrutar som varnar för vägarbeten, tak på slott och hus, glassstrutar - alla dessa föremål är formade som en kon (se fig. 1).

Ris. 2. Rätt triangel

Betrakta en godtycklig rät triangel med ben och (se fig. 2).

Ris. 3. Rak cirkulär kon

Genom att rotera en given triangel runt ett av benen (utan förlust av allmänhet, låt det vara ett ben), kommer hypotenusan att beskriva ytan, och benet kommer att beskriva cirkeln. Således kommer en kropp att erhållas som kallas en rät cirkulär kon (se fig. 3).

Ris. 4. Typer av kottar

Eftersom vi pratar om en rak cirkulär kon, finns det tydligen både en indirekt och en icke-cirkulär? Om basen av en kon är en cirkel, men vertexet inte projiceras in i mitten av denna cirkel, kallas en sådan kon lutande. Om basen inte är en cirkel, utan en godtycklig figur, kallas en sådan kropp också ibland en kon, men naturligtvis inte cirkulär (se fig. 4).

Således kommer vi återigen till den analogi som vi redan känner till från att arbeta med cylindrar. Faktum är att en kon är något som en pyramid, det är bara att pyramiden har en polygon vid basen, och konen (som vi kommer att överväga) har en cirkel (se fig. 5).

Segmentet av rotationsaxeln (i vårt fall är detta benet) som är inneslutet inuti konen kallas konens axel (se fig. 6).

Ris. 5. Kotte och pyramid

Ris. 6. - konaxel

Ris. 7. Konens bas

Cirkeln som bildas av det andra benets () rotation kallas konens bas (se fig. 7).

Och längden på detta ben är radien för konens bas (eller, enklare, radien på konen) (se fig. 8).

Ris. 8. - konradie

Ris. 9. - toppen av konen

Toppen av en spetsig vinkel på en roterande triangel som ligger på rotationsaxeln kallas för en kons spets (se fig. 9).

Ris. 10. - konhöjd

Höjden på en kon är ett segment som dras från toppen av konen vinkelrätt mot dess bas (se fig. 10).

Här kanske du har en fråga: hur skiljer sig då rotationsaxelns segment från konens höjd? I själva verket sammanfaller de bara i fallet med en rak kon, om du tittar på en lutande kon kommer du att märka att det är två helt olika segment (se bild 11).

Ris. 11. Höjd i en lutande kon

Låt oss gå tillbaka till den raka konen.

Ris. 12. Generatorer av konen

De segment som förbinder konens spets med punkterna i cirkelns bas kallas kongeneratorer. Förresten, alla generatriser för en höger kon är lika med varandra (se fig. 12).

Ris. 13. Naturliga konliknande föremål

Översatt från grekiska betyder konos "kotte". I naturen finns det tillräckligt med föremål som har formen av en kotte: gran, berg, myrstack etc. (se fig. 13).

Men vi är vana vid att konen är rak. Den har lika generatriser och dess höjd sammanfaller med axeln. Vi kallade en sådan kon för en rak kon. I skolans geometrikurser betraktas vanligtvis raka koner, och som standard anses alla koner vara rätt cirkulära. Men vi har redan sagt att det inte bara finns raka koner, utan också lutande.

Ris. 14. Vinkelrät sektion

Låt oss återgå till raka koner. "Skär" konen med ett plan vinkelrätt mot axeln (se bild 14).

Vilken siffra kommer att finnas på snittet? Självklart är det en cirkel! Låt oss komma ihåg att planet löper vinkelrätt mot axeln och därför parallellt med basen, som är en cirkel.

Ris. 15. Lutande sektion

Låt oss nu gradvis luta sektionsplanet. Då börjar vår cirkel gradvis förvandlas till en allt mer långsträckt oval. Men bara tills snittplanet kolliderar med bascirkeln (se fig. 15).

Ris. 16. Typer av sektioner med exemplet med en morot

De som gillar att utforska världen experimentellt kan verifiera detta med hjälp av en morot och en kniv (prova att skära skivor från en morot i olika vinklar) (se fig. 16).

Ris. 17. Axiella snitt av konen

Sektionen av en kon av ett plan som passerar genom dess axel kallas konens axiella sektion (se fig. 17).

Ris. 18. Likbent triangel - tvärsnittsfigur

Här får vi en helt annan tvärsnittsfigur: en triangel. Denna triangel är likbent (se fig. 18).

I den här lektionen lärde vi oss om den cylindriska ytan, typer av cylinder, element i en cylinder och likheten mellan en cylinder och ett prisma.

Konens generatris är 12 cm och lutar mot basens plan i en vinkel på 30 grader. Hitta konens axiella tvärsnittsarea.

Lösning

Låt oss överväga den erforderliga axiella sektionen. Detta är en likbent triangel där sidorna är 12 grader och basvinkeln är 30 grader. Sedan kan man gå vidare på olika sätt. Eller så kan du rita höjden, hitta den (hälften av hypotenusan, 6), sedan basen (med Pythagoras sats) och sedan arean.

Ris. 19. Illustration för problemet

Eller omedelbart hitta vinkeln i spetsen - 120 grader - och beräkna arean som halvprodukten av sidorna och sinus för vinkeln mellan dem (svaret blir detsamma).

Geometri. Lärobok för årskurs 10-11. Atanasyan L.S. och andra 18:e uppl. - M.: Utbildning, 2009. - 255 sid.
Geometri 11:e klass, A.V. Pogorelov, M.: Utbildning, 2002
Arbetsbok om geometri 11:e klass, V.F. Butuzov, Yu.A. Glazkov