Hur man hittar omkretsen av en triangel om inte alla sidor är kända. Omkrets och area av en triangel Hur man beräknar omkretsen av en triangel

Triangel Definition

Triangelär en geometrisk figur som består av tre punkter kopplade i serie.

En triangel har tre sidor och tre vinklar.

Det finns många typer av trianglar, och de har alla olika egenskaper. Vi listar huvudtyperna av trianglar:

1. Mångsidig(alla sidor är olika långa);
2. Likbent(två sidor är lika, två vinklar vid basen är lika);
3. Liksidig(alla sidor och alla vinklar är lika).

Men för alla typer av trianglar finns det en universell formel för att hitta omkretsen av en triangel - detta är summan av längderna på alla sidor av triangeln.

Kalkylator online

Formel för triangelomkrets

P = a + b + c P = a + b + c P=a+b+c

A, b, c a, b, c a, b, c- längderna på triangelns sidor.

Låt oss titta på problem för att hitta omkretsen av en triangel.

Uppgift

Triangeln har sidor: a = 28 cm, b = 46 cm, c = 51 cm Vad är omkretsen av triangeln?

Lösning
Låt oss använda formeln för att hitta omkretsen av en triangel och ersätta a a a, b b b Och c c c deras numeriska värden:
P = a + b + c P = a + b + c P=a+b+c
P = 28 + 46 + 51 = 125 cm P = 28 + 46 + 51 = 125\text( cm)P=2 8 + 4 6 + 5 1 = 1 2 5 cm

Svar:
P = 125 cm P = 125 \text( cm.)P=1 2 5 cm .

Uppgift

Triangeln är liksidig med en sida på 23 cm. Vad är omkretsen av triangeln?

Lösning

P = a + b + c P = a + b + c P=a+b+c

Men enligt villkoret har vi en liksidig triangel, det vill säga alla dess sidor är lika. I det här fallet kommer formeln att ha följande form:

P = a + a + a = 3 a P = a + a + a = 3aP=a+a+a =3a

Vi ersätter det numeriska värdet i formeln och hittar omkretsen av triangeln:

P = 3 ⋅ 23 = 69 cm P = 3\cdot23 = 69\text( cm)P=3 ⋅ 2 3 = 6 9 cm

Svar
P = 69 cm P = 69 \text( cm.)P=6 9 cm .

Uppgift

I en likbent triangel är sidan b 14 cm och basen a 9 cm. Hitta triangelns omkrets.

Lösning
Låt oss använda formeln för att hitta omkretsen av en triangel:

P = a + b + c P = a + b + c P=a+b+c

Men enligt villkoret har vi en likbent triangel, det vill säga dess sidor är lika. I det här fallet kommer formeln att ha följande form:

P = a + b + b = 2 b + a P = a + b + b = 2b + aP=a+b+b =2 b+a

Vi ersätter numeriska värden i formeln och hittar omkretsen av triangeln:

P = 2 ⋅ 14 + 9 = 28 + 9 = 37 cm P = 2 \cdot 14 + 9 = 28 + 9 = 37 \text( cm)P=2 ⋅ 1 4 + 9 = 2 8 + 9 = 3 7 cm

Svar
P = 37 cm P = 37\text( cm.)P=3 7 cm .

Hur hittar man omkretsen av en triangel? Var och en av oss ställde den här frågan när vi studerade i skolan. Låt oss försöka komma ihåg allt vi vet om denna fantastiska figur och även svara på frågan.

Svaret på frågan om hur man hittar omkretsen av en triangel är vanligtvis ganska enkelt - du behöver bara utföra proceduren för att lägga till längderna på alla dess sidor. Det finns dock flera enklare metoder för att hitta det önskade värdet.

Råd

Om radien (r) för cirkeln inskriven i triangeln och dess area (S) är känd, är det ganska enkelt att svara på frågan om hur man hittar triangelns omkrets. För att göra detta måste du använda den vanliga formeln:

Om två vinklar är kända, säg α och β, som ligger intill sidan, och längden på själva sidan, så kan omkretsen hittas med hjälp av en mycket, mycket populär formel, som ser ut som:

sinβ∙а/(sin(180° - β - α)) + sinα∙а/(sin(180° - β - α)) + а

Om du känner till längden på intilliggande sidor och vinkeln β mellan dem, måste du använda omkretsen för att hitta omkretsen: Omkretsen beräknas med formeln:

P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙а∙cosβ),

där b2 och a2 är kvadraterna på längderna av intilliggande sidor. Det radikala uttrycket är längden på den tredje sidan som är okänd, uttryckt med hjälp av cosinussatsen.

Om du inte vet hur man hittar omkretsen, så är det faktiskt inget komplicerat här. Beräkna det med formeln:

där b är basen av triangeln, a är dess sidor.

För att hitta omkretsen av en vanlig triangel, använd den enklaste formeln:

där a är sidans längd.

Hur hittar man omkretsen av en triangel om bara radierna för cirklarna som är omskrivna runt den eller inskrivna i den är kända? Om triangeln är liksidig, bör formeln tillämpas:

P = 3R√3 = 6r√3,

där R och r är radierna för den omslutna cirkeln respektive den inskrivna cirkeln.

Om triangeln är likbent, gäller formeln för den:

P=2R (sinβ + 2sinα),

där α är vinkeln som ligger vid basen och β är vinkeln som är motsatt till basen.

Att lösa matematiska problem kräver ofta en djupgående analys och en specifik förmåga att hitta och härleda de formler som krävs, och detta är, som många vet, ett ganska svårt jobb. Även om vissa problem kan lösas med bara en formel.

Låt oss titta på formlerna som är grundläggande för att svara på frågan om hur man hittar omkretsen av en triangel, i förhållande till en mängd olika typer av trianglar.

Naturligtvis är huvudregeln för att hitta omkretsen av en triangel detta uttalande: för att hitta omkretsen av en triangel måste du lägga till längderna på alla dess sidor med hjälp av lämplig formel:

där b, a och c är längderna på triangelns sidor och P är triangelns omkrets.

Det finns flera specialfall av denna formel. Låt oss säga att ditt problem är formulerat enligt följande: "hur man hittar omkretsen av en rätvinklig triangel?" I det här fallet bör du använda följande formel:

P = b + a + √(b2 + a2)

I denna formel är b och a de omedelbara längderna på benen i den räta triangeln. Det är lätt att gissa att istället för sidan med (hypotenus) används ett uttryck, hämtat från satsen från antikens store vetenskapsman - Pythagoras.

Om du behöver lösa ett problem där trianglarna är lika, skulle det vara logiskt att använda detta påstående: förhållandet mellan omkretsarna motsvarar likhetskoefficienten. Låt oss säga att du har två liknande trianglar - ΔABC och ΔA1B1C1. Sedan, för att hitta likhetskoefficienten, är det nödvändigt att dividera omkretsen ΔABC med omkretsen ΔA1B1C1.

Sammanfattningsvis kan det noteras att omkretsen av en triangel kan hittas med en mängd olika tekniker, beroende på de initiala data som du har. Det bör tilläggas att det finns några specialfall för rätvinkliga trianglar.

Omkretsen av en triangel är längden på linjen som avgränsar figuren. För att beräkna det måste du ta reda på summan av alla sidor av denna polygon.

Beräkning från givna sidlängder

När deras betydelser väl är kända är detta lätt att göra. Genom att beteckna dessa parametrar med bokstäverna m, n, k och omkretsen med bokstaven P, får vi formeln för beräkning: P = m+n+k. Uppgift: Det är känt att en triangel har sidlängder på 13,5 decimeter, 12,1 decimeter och 4,2 decimeter. Ta reda på omkretsen. Vi löser: Om sidorna av denna polygon är a = 13,5 dm, b = 12,1 dm, c = 4,2 dm, så är P = 29,8 dm. Svar: P = 29,8 dm.

Omkretsen av en triangel som har två lika sidor

En sådan triangel kallas likbent. Om dessa lika sidor har en längd på en centimeter och den tredje sidan har en längd på b centimeter, är omkretsen lätt att ta reda på: P = b + 2a. Uppgift: en triangel har två sidor på 10 decimeter, en bas på 12 decimeter. Hitta P. Lösning: Låt sidan a = c = 10 dm, basen b = 12 dm. Summan av sidorna P = 10 dm + 12 dm + 10 dm = 32 dm. Svar: P = 32 decimeter.

Omkretsen av en liksidig triangel

Om alla tre sidor i en triangel har lika många måttenheter kallas det liksidigt. Ett annat namn är korrekt. Omkretsen av en regelbunden triangel hittas med formeln: P = a+a+a = 3·a. Problem: Vi har en liksidig triangulär tomt. Ena sidan är 6 meter. Hitta längden på staketet som kan användas för att omsluta detta område. Lösning: Om sidan av denna polygon är a = 6 m, är längden på staketet P = 3 6 = 18 (m). Svar: P = 18 m.

En triangel som har en vinkel på 90°

Det kallas rektangulärt. Närvaron av en rät vinkel gör det möjligt att hitta okända sidor med hjälp av definitionen av trigonometriska funktioner och Pythagoras sats. Den längsta sidan kallas hypotenusan och betecknas c. Det finns ytterligare två sidor, a och b. Efter satsen uppkallad efter Pythagoras har vi c 2 = a 2 + b 2 . Benen a = √ (c 2 - b 2) och b = √ (c 2 - a 2). Genom att veta längden på två ben a och b, beräknar vi hypotenusan. Sedan hittar vi summan av figurens sidor genom att addera dessa värden. Uppgift: Benen i en rätvinklig triangel har längderna 8,3 centimeter och 6,2 centimeter. Omkretsen av triangeln måste beräknas. Lös: Låt oss beteckna benen a = 8,3 cm, b = 6,2 cm Efter Pythagoras sats är hypotenusan c = √ (8,3 2 + 6,2 2) = √ (68,89 + 38,44) = √107 ,33 = √10,43 = √10,43 = √. ). P = 24,9 (cm). Eller P = 8,3 + 6,2 + √ (8,3 2 + 6,2 2) = 24,9 (cm). Svar: P = 24,9 cm Värdena på rötterna togs med en noggrannhet på tiondelar. Om vi ​​känner till värdena på hypotenusan och benet, får vi värdet på P genom att beräkna P = √ (c 2 - b 2) + b + c. Uppgift 2: En del av marken som ligger mitt emot en vinkel på 90 grader, 12 km, ett av benen är 8 km. Hur lång tid tar det att gå runt i hela området om du rör dig i en hastighet av 4 kilometer i timmen? Lösning: om det största segmentet är 12 km, det mindre är b = 8 km, då blir längden på hela banan P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2) = 20 + √80 = 20 + 8,9 = 28,9 (km). Vi hittar tiden genom att dividera banan med hastigheten. 28,9:4 = 7,225 (h). Svar: du kan komma runt det på 7,3 timmar. Vi tar värdet av kvadratrötterna och svaret exakt till tiondelar. Du kan hitta summan av sidorna i en rätvinklig triangel om en av sidorna och värdet av en av de spetsiga vinklarna anges. Genom att känna till längden på benet b och värdet på vinkeln β mittemot det, finner vi den okända sidan a = b/ tan β. Hitta hypotenusan c = a: sinα. Vi hittar omkretsen av en sådan figur genom att lägga till de resulterande värdena. P = a + a/sinα + a/tan α, eller P = a(1 / sin α+ 1+1 / tan α). Uppgift: I en rektangulär Δ ABC med rät vinkel C har ben BC en längd på 10 m, vinkel A är 29 grader. Vi måste hitta summan av sidorna Δ ABC. Lösning: Låt oss beteckna den kända sidan BC = a = 10 m, vinkeln mittemot den, ∟A = α = 30°, sedan sidan AC = b = 10: 0,58 = 17,2 (m), hypotenusa AB = c = 10: 0,5 = 20 (m). P = 10 + 17,2 + 20 = 47,2 (m). Eller P = 10 · (1 + 1,72 + 2) = 47,2 m Vi har: P = 47,2 m Vi tar värdet av trigonometriska funktioner exakt till hundradelar, avrunda längden på sidorna och omkretsen till tiondelar. Med värdet av benet α och den intilliggande vinkeln β, tar vi reda på vad det andra benet är lika med: b = a tan β. Hypotenusan i detta fall kommer att vara lika med benet dividerat med cosinus för vinkeln β. Vi tar reda på omkretsen med formeln P = a + a tan β + a: cos β = (tg β + 1+1: cos β)·a. Uppgift: Benet i en triangel med en vinkel på 90 grader är 18 cm, den intilliggande vinkeln är 40 grader. Hitta P. Lösning: Låt oss beteckna den kända sidan BC = 18 cm, ∟β = 40°. Då den okända sidan AC = b = 18 · 0,83 = 14,9 (cm), hypotenusa AB = c = 18: 0,77 = 23,4 (cm). Summan av figurens sidor är P = 56,3 (cm). Eller P = (1 + 1,3 + 0,83) * 18 = 56,3 cm Svar: P = 56,3 cm Om längden på hypotenusan c och någon vinkel α är lika med produkten av hypotenusan för. den första - av sinus och för den andra - av cosinus för denna vinkel. Omkretsen av denna figur är P = (sin α + 1+ cos α)*c. Uppgift: Hypotenusan för en rätvinklig triangel AB = 9,1 centimeter och vinkeln är 50 grader. Hitta summan av sidorna i denna figur. Lösning: Låt oss beteckna hypotenusan: AB = c = 9,1 cm, ∟A= α = 50°, då har ett av benen BC en längd a = 9,1 · 0,77 = 7 (cm), ben AC = b = 9 . 1 · 0,64 = 5,8 (cm). Detta betyder att omkretsen av denna polygon är P = 9,1 + 7 + 5,8 = 21,9 (cm). Eller P = 9,1·(1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (cm). Svar: P = 21,9 centimeter.

En godtycklig triangel, vars ena sidor är okänd

Om vi ​​har värdena för två sidor a och c, och vinkeln mellan dessa sidor γ, hittar vi den tredje genom cosinussatsen: b 2 = c 2 + a 2 - 2 ac cos β, där β är vinkeln ligger mellan sidorna a och c. Sedan hittar vi omkretsen. Uppgift: Δ ABC har ett segment AB med en längd på 15 dm och ett segment AC med en längd på 30,5 dm. Vinkeln mellan dessa sidor är 35 grader. Beräkna summan av sidorna Δ ABC. Lösning: Med hjälp av cosinussatsen beräknar vi längden på den tredje sidan. BC 2 = 30,5 2 + 15 2 - 2 30,5 15 0,82 = 930,25 + 225 - 750,3 = 404,95. BC = 20,1 cm P = 30,5 + 15 + 20,1 = 65,6 (dm).

Summan av sidorna i en godtycklig triangel där längden på två sidor är okänd

När vi vet längden på endast ett segment och värdet av två vinklar, kan vi ta reda på längden på två okända sidor med hjälp av sinussatsen: "i en triangel är sidorna alltid proportionella mot värdena på sinusen på motsatta vinklar." Var är b = (a* sin β)/ sin a. På samma sätt c = (a sin γ): sin a. Omkretsen i detta fall blir P = a + (a sin β)/ sin a + (a sin γ)/ sin a. Uppgift: Vi har Δ ABC. I den är längden på sidan BC 8,5 mm, värdet på vinkeln C är 47° och vinkeln B är 35 grader. Hitta summan av sidorna i denna figur. Lösning: Låt oss beteckna längderna på sidorna BC = a = 8,5 mm, AC = b, AB = c, ∟ A = α= 47°, ∟B = β = 35°, ∟ C = γ = 180° - ( 47° + 35°) = 180° - 82° = 98°. Från de relationer som erhålls från sinussatsen finner vi benen AC = b = (8,5 0,57): 0,73 = 6,7 (mm), AB = c = (7 0,99): 0,73 = 9,5 (mm). Därför är summan av sidorna av denna polygon P = 8,5 mm + 5,5 mm + 9,5 mm = 23,5 mm. Svar: P = 23,5 mm. I fallet där det bara finns längden på ett segment och värdena för två intilliggande vinklar, beräknar vi först vinkeln motsatt den kända sidan. Alla vinklar i denna figur summerar till 180 grader. Därför ∟A = 180° - (∟B + ∟C). Därefter hittar vi de okända segmenten med hjälp av sinussatsen. Uppgift: Vi har Δ ABC. Den har ett segment BC lika med 10 cm. Värdet på vinkeln B är 48 grader, vinkeln C är 56 grader. Hitta summan av sidorna Δ ABC. Lösning: Låt oss först hitta värdet på vinkel A på motsatt sida BC. ∟A = 180° - (48° + 56°) = 76°. Nu, med hjälp av sinussatsen, beräknar vi längden på sidan AC = 10·0,74: 0,97 = 7,6 (cm). AB = BC* sin C/ sin A = 8,6. Triangelns omkrets är P = 10 + 8,6 + 7,6 = 26,2 (cm). Resultat: P = 26,2 cm.

Beräkna omkretsen av en triangel med hjälp av radien på cirkeln inskriven i den

Ibland är ingen av sidan av problemet känd. Men det finns ett värde för arean av triangeln och radien på cirkeln inskriven i den. Dessa kvantiteter är relaterade: S = r p. Genom att känna till värdet på triangelns area och radie r kan vi hitta halvperimetern p. Vi finner p = S: r. Problem: Tomten har en yta på 24 m 2, radien r är 3 m Hitta antalet träd som behöver planteras jämnt längs linjen som omger denna tomt, om det skulle vara ett avstånd på 2 meter mellan två. angränsande. Lösning: Vi hittar summan av sidorna i denna figur enligt följande: P = 2 · 24: 3 = 16 (m). Dela sedan med två. 16:2= 8. Totalt: 8 träd.

Summan av sidorna i en triangel i kartesiska koordinater

Topparna av Δ ABC har koordinater: A (x 1 ; y 1), B (x 2 ; y 2), C(x 3 ; y 3). Låt oss hitta kvadraterna på varje sida AB 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 ; BC2 = (x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2; AC 2 = (x 1 - x 3) 2 + (y 1 - y 3) 2. För att hitta omkretsen lägger du bara ihop alla segment. Uppgift: Koordinater för hörnen Δ ABC: B (3; 0), A (1; -3), C (2; 5). Hitta summan av sidorna i denna figur. Lösning: genom att lägga in värdena för motsvarande koordinater i omkretsformeln får vi P = √(4 + 9) + √(1 + 25) + √(1 + 64) = √13 + √26 + √65 = 3,6 + 5,1 + 8,0 = 16,6. Vi har: P = 16,6. Om figuren inte är på ett plan, utan i rymden, har var och en av hörnen tre koordinater. Därför kommer formeln för summan av sidorna att ha ytterligare en term.

Vector metod

Om en siffra ges av koordinaterna för dess hörn, kan omkretsen beräknas med hjälp av vektormetoden. En vektor är ett segment som har en riktning. Dess modul (längd) indikeras av symbolen ǀᾱǀ. Avståndet mellan punkter är längden på motsvarande vektor, eller vektorns absoluta värde. Tänk på en triangel som ligger på ett plan. Om hörnen har koordinaterna A (x 1; y 1), M(x 2; y 2), T (x 3; y 3), så hittas längden på varje sida med formlerna: ǀAMǀ = √ ((x) 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2) 2), ǀMTǀ = √ ((x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2), ǀATǀ = √ ((x 1 - x 3) ) 2+ (y 1 - y 3) 2). Vi får omkretsen av triangeln genom att addera längderna på vektorerna. Hitta på samma sätt summan av sidorna i en triangel i rymden.

Innehåll:

Omkretsen är den totala längden av gränserna för en tvådimensionell form. Om du vill hitta omkretsen av en triangel, måste du lägga till längderna på alla dess sidor; Om du inte vet längden på minst en sida av triangeln måste du hitta den. Den här artikeln kommer att berätta för dig (a) hur du hittar omkretsen av en triangel givet tre kända sidor; (b) hur man hittar omkretsen av en rätvinklig triangel när endast två sidor är kända; (c) hur man hittar omkretsen av en triangel när de ges två sidor och vinkeln mellan dem (med hjälp av cosinussatsen).

Steg

1 Enligt dessa tre sidor

1. 1 För att hitta omkretsen använd formeln: P = a + b + c, där a, b, c är längden på de tre sidorna, P är omkretsen.
2. 2 Hitta längden på alla tre sidorna. I vårt exempel: a = 5, b = 5, c = 5.
   • Det är en liksidig triangel eftersom alla tre sidorna är lika långa. Men formeln ovan gäller för vilken triangel som helst.
3. 3 Lägg till längderna på alla tre sidorna för att hitta omkretsen. I vårt exempel: 5 + 5 + 5 = 15, det vill säga P = 15.
   • Ett annat exempel: a = 4, b = 3, c = 5. P = 3 + 4 + 5 = 12.
4. 4 Glöm inte att ange måttenheten i ditt svar. I vårt exempel mäts sidorna i centimeter, så ditt slutliga svar bör även innehålla centimeter (eller de enheter som anges i problemformuleringen).
   • I vårt exempel är varje sida 5 cm, så det slutliga svaret är P = 15 cm.

2 För två givna sidor i en rätvinklig triangel

1. 1 Kom ihåg Pythagoras sats. Denna sats beskriver förhållandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel och är en av de mest kända och tillämpade satserna inom matematik. Satsen säger att i vilken rätvinklig triangel som helst är sidorna relaterade av följande samband: a 2 + b 2 = c 2, där a, b är benen, c är hypotenusan.
2. 2 Rita en triangel och märk sidorna som a, b, c. Den längsta sidan av en rätvinklig triangel är hypotenusan. Den ligger mitt emot en rät vinkel. Märk hypotenusan som "c". Märk benen (sidorna intill rät vinkel) som "a" och "b".
3. 3 Ersätt värdena på de kända sidorna i Pythagoras sats (a 2 + b 2 = c 2). Byt ut siffrorna i problemformuleringen istället för bokstäver.
   • Till exempel, a = 3 och b = 4. Ersätt dessa värden i Pythagoras sats: 3 2 + 4 2 = c 2.
   • Ett annat exempel: a = 6 och c = 10. Sedan: 6 2 + b 2 = 10 2
4. 4 Lös den resulterande ekvationen för att hitta den okända sidan. För att göra detta, kvadrat först de kända längderna på sidorna (multiplicera helt enkelt talet som du fått med sig själv). Om du letar efter hypotenusan, addera kvadraterna på de två sidorna och ta kvadratroten av den resulterande summan. Om du letar efter ett ben, subtrahera kvadraten på det kända benet från kvadraten på hypotenusan och ta kvadratroten av den resulterande kvoten.
   • I det första exemplet: 3 2 + 4 2 = c 2 ; 9 + 16 = c2; 25= c2; √25 = s. Så c = 25.
   • I det andra exemplet: 6 2 + b 2 = 10 2 ; 36 + b 2 = 100. Flytta 36 till höger sida av ekvationen och få: b 2 = 64; b = √64. Så b = 8.
5. 5
   • I vårt första exempel: P = 3 + 4 + 5 = 12.
   • I vårt andra exempel: P = 6 + 8 + 10 = 24.

3 Enligt två givna sidor och vinkeln mellan dem

1. 1 Vilken sida av en triangel som helst kan hittas med hjälp av cosinuslagen om du får två sidor och vinkeln mellan dem. Denna sats gäller vilken triangel som helst och är en mycket användbar formel. Cosinussats: c 2 = a 2 + b 2 - 2abcos(C), där a, b, c är triangelns sidor, A, B, C är vinklarna mitt emot motsvarande sidor i triangeln.
2. 2 Rita en triangel och märk sidorna som a, b, c; märk vinklarna mitt emot motsvarande sidor som A, B, C (det vill säga vinkeln motsatt sida "a", märk det "A" och så vidare).
   • Till exempel, givet en triangel med sidorna 10 och 12 och en vinkel mellan dem på 97°, det vill säga a = 10, b = 12, C = 97°.
3. 3 Ersätt värdena som du fått i formeln och hitta den okända sidan "c". Kvadra först längden på de kända sidorna och lägg till de resulterande värdena. Hitta sedan cosinus för vinkel C (med hjälp av en miniräknare eller online-räknare). Multiplicera längden på de kända sidorna med cosinus för den givna vinkeln och med 2 (2abcos(C)). Subtrahera det resulterande värdet från summan av kvadraterna på de två sidorna (a 2 + b 2), och du får c 2. Ta kvadratroten av detta värde för att hitta längden på den okända sidan "c". I vårt exempel:
   • c 2 = 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × cos(97)
   • c 2 = 100 + 144 – (240 × -0,12187)
   • c 2 = 244 – (-29,25)
   • c2 = 244 + 29,25
   • c2 = 273,25
   • c = 16,53
4. 4 Lägg till längderna på de tre sidorna för att hitta omkretsen. Kom ihåg att omkretsen beräknas med formeln: P = a + b + c.
   • I vårt exempel: P = 10 + 12 + 16,53 = 38,53.

Omkrets är en kvantitet som antyder längden på alla sidor av en platt (tvådimensionell) geometrisk figur. För olika geometriska former finns det olika sätt att hitta omkretsen.

I den här artikeln kommer du att lära dig hur du hittar en figurs omkrets på olika sätt, beroende på dess kända ansikten.

Möjliga metoder:

• alla tre sidorna av en likbent eller någon annan triangel är kända;
• hur man hittar omkretsen av en rätvinklig triangel givet dess två kända ytor;
• två ytor och vinkeln som ligger mellan dem (cosinusformel) utan mittlinje och höjd är känd.

Första metoden: alla sidor av figuren är kända

Hur man hittar omkretsen av en triangel när alla tre ytorna är kända, måste du använda följande formel: P = a + b + c, där a,b,c är de kända längderna på alla sidor av triangeln, P är figurens omkrets.

Till exempel är tre sidor av figuren kända: a = 24 cm, b = 24 cm, c = 24 cm. Detta är en vanlig likbent figur för att beräkna omkretsen använder vi formeln: P = 24 + 24 + 24 = 72 cm.

Denna formel fungerar för vilken triangel som helst., du behöver bara veta längden på alla dess sidor. Om minst en av dem är okänd måste du använda andra metoder, som vi kommer att diskutera nedan.

Ett annat exempel: a = 15 cm, b = 13 cm, c = 17 cm. Beräkna omkretsen: P = 15 + 13 + 17 = 45 cm.

Det är mycket viktigt att markera måttenheten i svaret du får. I våra exempel anges längderna på sidorna i centimeter (cm), men det finns olika uppgifter där andra måttenheter finns.

Andra metoden: rätvinklig triangel och dess två kända sidor

I det fall då uppgiften som måste lösas ges en rektangulär figur, vars längder på två ytor är kända, men den tredje inte är det, är det nödvändigt att använda Pythagoras sats.

Beskriver förhållandet mellan ytorna i en rätvinklig triangel. Formeln som beskrivs av denna sats är en av de mest kända och mest använda satserna inom geometri. Så själva satsen:

Sidorna i en rätvinklig triangel beskrivs med följande ekvation: a^2 + b^2 = c^2, där a och b är figurens ben och c är hypotenusan.

• Hypotenusa. Den är alltid placerad mittemot den räta vinkeln (90 grader), och är också den längsta kanten på triangeln. Inom matematiken är det vanligt att beteckna hypotenusan med bokstaven c.
• Ben- det här är kanterna på en rätvinklig triangel som hör till en rät vinkel och betecknas med bokstäverna a och b. Ett av benen är också höjden på figuren.

Således, om villkoren för problemet anger längden på två av de tre sidorna av en sådan geometrisk figur, med hjälp av Pythagoras sats är det nödvändigt att hitta dimensionen på den tredje ytan och sedan använda formeln från den första metoden.

Till exempel vet vi längden på 2 ben: a = 3 cm, b = 5 cm Ersätt värdena i satsen: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2. => 25 = c ^2 => c = 5 cm Så, hypotenusan för en sådan triangel är förresten, det här exemplet är det vanligaste och kallas. Med andra ord, om två ben i en figur är 3 cm och 4 cm, blir hypotenusan 5 cm respektive.

Om längden på ett av benen är okänd är det nödvändigt att transformera formeln enligt följande: c^2 - a^2 = b^2. Och vice versa för det andra benet.

Låt oss fortsätta med exemplet. Nu måste du vända dig till standardformeln för att hitta omkretsen av en figur: P = a + b + c. I vårt fall: P = 3 + 4 + 5 = 12 cm.

Tredje metoden: längs två ytor och vinkeln mellan dem

På gymnasiet, såväl som på universitetet, måste du oftast vända dig till denna metod för att hitta omkretsen. Om villkoren för problemet anger längden på två sidor, såväl som dimensionen på vinkeln mellan dem, du måste använda cosinussatsen.

Denna sats gäller absolut vilken triangel som helst, vilket gör den till en av de mest användbara inom geometri. Själva satsen ser ut så här: c^2 = a^2 + b^2 - (2 * a * b * cos(C)), där a,b,c är standardlängderna på ytorna, och A,B och C är vinklar som ligger mitt emot triangelns motsvarande ytor. Det vill säga, A är vinkeln motsatt sida a och så vidare.

Låt oss föreställa oss att en triangel beskrivs, vars sidor a och b är 100 cm respektive 120 cm, och vinkeln mellan dem är 97 grader. Det vill säga a = 100 cm, b = 120 cm, C = 97 grader.

Allt du behöver göra i det här fallet är att ersätta alla kända värden i cosinussatsen. Längden på de kända ytorna kvadratiseras, varefter de kända sidorna multipliceras mellan varandra och med två och multipliceras med cosinus för vinkeln mellan dem. Därefter måste du lägga till kvadraterna på ansikten och subtrahera det andra värdet som erhålls från dem. Kvadratroten tas från slutvärdet - detta kommer att vara den tredje, tidigare okända sidan.

Efter att alla tre sidor av figuren är kända, återstår det att använda standardformeln för att hitta omkretsen av den beskrivna figuren från den första metoden, som vi redan älskar.