Hur multiplicerar man potenser? Vilka potenser kan multipliceras och vilka kan inte? Hur multiplicerar man ett tal med en potens?
I algebra kan du hitta en produkt av potenser i två fall:
1) om graderna har samma baser;
2) om graderna har samma indikatorer.
När du multiplicerar potenser med samma baser måste basen lämnas densamma och exponenterna måste adderas:
När du multiplicerar grader med samma indikatorer kan den övergripande indikatorn tas ur parentes:
Låt oss titta på hur man multiplicerar potenser med hjälp av specifika exempel.
Enheten skrivs inte i exponenten, men när man multiplicerar potenser tar de hänsyn till:
När du multiplicerar kan det finnas hur många potenser som helst. Det bör komma ihåg att du inte behöver skriva multiplikationstecknet före bokstaven:
I uttryck görs exponentiering först.
Om du behöver multiplicera ett tal med en potens, bör du först utföra exponentieringen och först därefter multiplikationen:
www.algebraclass.ru
Addition, subtraktion, multiplikation och division av potenser
Addition och subtraktion av potenser
Det är uppenbart att tal med potenser kan adderas som andra storheter , genom att lägga till dem en efter en med sina tecken.
Så summan av a 3 och b 2 är a 3 + b 2.
Summan av a 3 - b n och h 5 -d 4 är a 3 - b n + h 5 - d 4.
Odds lika potenser av lika variabler kan läggas till eller subtraheras.
Så summan av 2a 2 och 3a 2 är lika med 5a 2.
Det är också uppenbart att om du tar två rutor a, eller tre rutor a, eller fem rutor a.
Men grader olika variabler Och olika grader identiska variabler, måste komponeras genom att lägga till dem med sina tecken.
Så summan av en 2 och en 3 är summan av en 2 + en 3.
Det är uppenbart att kvadraten av a, och kuben av a, inte är lika med två gånger kvadraten av a, utan två gånger kuben av a.
Summan av a 3 b n och 3a 5 b 6 är a 3 b n + 3a 5 b 6.
Subtraktion befogenheter utförs på samma sätt som addition, förutom att subtrahendernas tecken måste ändras i enlighet med detta.
Eller:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Multiplicera makter
Tal med potenser kan multipliceras som andra storheter genom att skriva dem efter varandra, med eller utan ett multiplikationstecken mellan dem.
Resultatet av att multiplicera a 3 med b 2 är alltså a 3 b 2 eller aaabb.
Eller:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Resultatet i det sista exemplet kan beställas genom att lägga till identiska variabler.
Uttrycket kommer att ha formen: a 5 b 5 y 3.
Genom att jämföra flera tal (variabler) med potenser kan vi se att om två av dem multipliceras så blir resultatet ett tal (variabel) med en potens lika med belopp grader av termer.
Så, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = en 5 .
Här är 5 potensen av multiplikationsresultatet, vilket är lika med 2 + 3, summan av termernas potenser.
Så, a n.am = a m+n.
För ett n tas a som en faktor lika många gånger som potensen av n;
Och ett m tas som en faktor lika många gånger som graden m är lika med;
Det är därför, potenser med samma baser kan multipliceras genom att addera potensernas exponenter.
Så, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Och x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Eller:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Multiplicera (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Svar: x 4 - y 4.
Multiplicera (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Denna regel gäller även för tal vars exponenter är negativ.
1. Så, a -2 .a -3 = a -5 . Detta kan skrivas som (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n.y-m = y-n-m.
3. a -n .a m = a m-n .
Om a + b multipliceras med a - b, blir resultatet a 2 - b 2: det vill säga
Resultatet av att multiplicera summan eller skillnaden mellan två tal är lika med summan eller skillnaden av deras kvadrater.
Om summan och skillnaden mellan två tal höjs till fyrkant, blir resultatet lika med summan eller skillnaden av dessa siffror i fjärde grader.
Så, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Indelning av examina
Tal med potenser kan delas som andra tal, genom att subtrahera från utdelningen, eller genom att placera dem i bråkform.
Således är a 3 b 2 dividerat med b 2 lika med a 3.
Att skriva 5 dividerat med 3 ser ut som $\frac $. Men detta är lika med en 2 . I en serie siffror
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
vilket tal som helst kan delas med ett annat, och exponenten blir lika med skillnad indikatorer för delbara tal.
När man dividerar grader med samma bas, subtraheras deras exponenter..
Så, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Det vill säga $\frac = y$.
Och a n+1:a = a n+1-1 = a n . Det vill säga $\frac = a^n$.
Eller:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Regeln gäller även för siffror med negativ värden på grader.
Resultatet av att dividera en -5 med en -3 är en -2.
Dessutom, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 eller $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Det är nödvändigt att behärska multiplikation och division av potenser mycket väl, eftersom sådana operationer används mycket i algebra.
Exempel på att lösa exempel med bråk som innehåller tal med potenser
1. Minska exponenterna med $\frac $ Svar: $\frac $.
2. Minska exponenter med $\frac$. Svar: $\frac$ eller 2x.
3. Minska exponenterna a 2 /a 3 och a -3 /a -4 och ta till en gemensam nämnare.
a 2 .a -4 är a -2 den första täljaren.
a 3 .a -3 är a 0 = 1, den andra täljaren.
a 3 .a -4 är a -1 , den gemensamma täljaren.
Efter förenkling: a -2 /a -1 och 1/a -1 .
4. Minska exponenterna 2a 4 /5a 3 och 2 /a 4 och ta till en gemensam nämnare.
Svar: 2a 3 /5a 7 och 5a 5 /5a 7 eller 2a 3 /5a 2 och 5/5a 2.
5. Multiplicera (a 3 + b)/b 4 med (a - b)/3.
6. Multiplicera (a 5 + 1)/x 2 med (b 2 - 1)/(x + a).
7. Multiplicera b4/a-2 med h-3/x och a n/y-3.
8. Dividera a 4 /y 3 med a 3 /y 2 . Svar: a/y.
Gradens egenskaper
Vi påminner dig om att i den här lektionen kommer vi att förstå egenskaper hos grader med naturliga indikatorer och noll. Krafter med rationella exponenter och deras egenskaper kommer att diskuteras i lektioner för 8:e klass.
En potens med naturlig exponent har flera viktiga egenskaper som gör att vi kan förenkla beräkningar i exempel med potenser.
Fastighet nr 1
Produkt av makter
När potenser multipliceras med samma baser förblir basen oförändrad och exponenterna adderas.
a m · a n = a m + n, där "a" är valfritt tal och "m", "n" är alla naturliga tal.
Denna egenskap hos makter gäller även produkten av tre eller flera potenser.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Observera att i den angivna egenskapen talade vi bara om multiplikation av potenser med samma baser. Det gäller inte deras tillägg.
Du kan inte ersätta summan (3 3 + 3 2) med 3 5. Detta är förståeligt om
antal (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 och 3 5 = 243
Fastighet nr 2
Partiella examina
När man dividerar potenser med samma bas förblir basen oförändrad, och divisorns exponent subtraheras från exponenten för utdelningen.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Exempel. Lös ekvationen. Vi använder egenskapen kvotbefogenheter.
3 8: t = 3 4
Svar: t = 3 4 = 81
Med hjälp av egenskaper nr 1 och nr 2 kan du enkelt förenkla uttryck och utföra beräkningar.
- Exempel. Förenkla uttrycket.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Exempel. Hitta värdet på ett uttryck med hjälp av egenskaperna hos exponenter.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Observera att vi i fastighet 2 bara pratade om att dela potenser med samma baser.
Du kan inte ersätta skillnaden (4 3 −4 2) med 4 1. Detta är förståeligt om du beräknar (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, och 4 1 = 4
Fastighet nr 3
Att höja en grad till en makt
När man höjer en grad till en potens förblir gradens bas oförändrad och exponenterna multipliceras.
(a n) m = a n · m, där "a" är valfritt tal och "m", "n" är alla naturliga tal.
Observera att egenskap nr 4, liksom andra egenskaper för grader, också tillämpas i omvänd ordning.
(a n b n)= (a b) n
Det vill säga, för att multiplicera potenser med samma exponenter kan du multiplicera baserna, men lämna exponenten oförändrad.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
I mer komplexa exempel kan det finnas fall där multiplikation och division måste utföras över potenser med olika baser och olika exponenter. I det här fallet rekommenderar vi att du gör följande.
Till exempel, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Ett exempel på att höja en decimal till en potens.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Egenskaper 5
Kraften i en kvot (bråkdel)
För att höja en kvot till en potens kan du höja utdelningen och divisorn separat till denna potens och dividera det första resultatet med det andra.
(a: b) n = a n: b n, där "a", "b" är alla rationella tal, b ≠ 0, n - vilket naturligt tal som helst.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Vi påminner om att en kvot kan representeras som en bråkdel. Därför kommer vi att uppehålla oss vid ämnet att höja en bråkdel till en makt mer detaljerat på nästa sida.
Krafter och rötter
Verksamhet med befogenheter och rötter. Grad med negativ ,
noll och bråk indikator. Om uttryck som inte har någon mening.
Verksamhet med examina.
1. När potenser multipliceras med samma bas, adderas deras exponenter:
en m · a n = a m + n .
2. Vid division av grader med samma bas, deras exponenter dras av .
3. Graden av produkten av två eller flera faktorer är lika med produkten av graderna av dessa faktorer.
4. Graden av ett förhållande (bråk) är lika med förhållandet mellan graderna av utdelningen (täljaren) och divisorn (nämnaren):
(a/b) n = a n/b n .
5. När man höjer en potens till en potens multipliceras deras exponenter:
Alla ovanstående formler läses och exekveras i båda riktningarna från vänster till höger och vice versa.
EXEMPEL (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Verksamhet med rötter. I alla formlerna nedan betyder symbolen aritmetisk rot(det radikala uttrycket är positivt).
1. Roten av produkten av flera faktorer är lika med produkten av rötterna av dessa faktorer:
2. Roten av ett förhållande är lika med förhållandet mellan utdelningens rötter och divisorn:
3. När man höjer en rot till en makt räcker det att höja till denna makt radikalt nummer:
4. Om du ökar graden av roten med m gånger och samtidigt höjer det radikala talet till m:te potensen, kommer rotens värde inte att ändras:
5. Om du minskar graden av roten med m gånger och samtidigt extraherar den mth roten av radikaltalet, kommer rotens värde inte att ändras:
Utvidgar begreppet grad. Hittills har vi bara betraktat grader med naturliga exponenter; men operationer med befogenheter och rötter kan också leda till negativ, noll Och fraktionerad indikatorer. Alla dessa exponenter kräver ytterligare definition.
En grad med negativ exponent. Potensen för ett visst tal med en negativ (heltals) exponent definieras som en dividerad med potensen av samma tal med en exponent lika med det absoluta värdet av den negativa exponenten:
Nu formeln en m : en = a m - n kan användas inte bara för m, mer än n, men också med m, mindre än n .
EXEMPEL a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .
Om vi vill ha formeln en m : en = en m — n var rättvist när m = n, vi behöver en definition av grad noll.
En grad med nollindex. Potensen för ett tal som inte är noll med exponent noll är 1.
EXEMPEL. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Grad med bråkexponent. För att höja ett reellt tal a till potensen m/n, måste du extrahera den n:te roten av den m:te potensen av detta tal a:
Om uttryck som inte har någon mening. Det finns flera sådana uttryck.
Var a ≠ 0 , existerar inte.
Faktum är att om vi antar det xär ett visst antal, så har vi i enlighet med definitionen av divisionsoperationen: a = 0· x, dvs. a= 0, vilket motsäger villkoret: a ≠ 0
— vilket nummer som helst.
Faktum är att om vi antar att detta uttryck är lika med något tal x, då har vi enligt definitionen av divisionsoperationen: 0 = 0 · x. Men denna jämlikhet uppstår när valfritt nummer x, vilket var det som behövde bevisas.
0 0 — vilket nummer som helst.
Lösning Låt oss överväga tre huvudfall:
1) x = 0 – detta värde uppfyller inte denna ekvation
2) när x> 0 får vi: x/x= 1, dvs. 1 = 1, vilket betyder
Vad x- vilket nummer som helst; men med hänsyn till det i
i vårat fall x> 0, är svaret x > 0 ;
Regler för att multiplicera potenser med olika baser
EXAMEN MED RATIONELL INDIKATOR,
STRÖMFUNKTION IV
§ 69. Multiplikation och division av potenser med samma grunder
Sats 1. För att multiplicera potenser med samma baser räcker det att addera exponenterna och låta basen vara densamma, dvs.
Bevis. Per definition av examen
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
Vi tittade på produkten av två krafter. Faktum är att den beprövade egenskapen gäller för valfritt antal krafter med samma baser.
Sats 2. För att dela potenser med samma baser, när indexet för utdelningen är större än indexet för divisorn, räcker det att subtrahera divisorns index från indexet för utdelningen och lämna basen densamma, dvs. på t > sid
(a =/= 0)
Bevis. Kom ihåg att kvoten för att dividera ett tal med ett annat är det tal som, multiplicerat med divisorn, ger utdelningen. Bevisa därför formeln var a =/= 0, det är samma sak som att bevisa formeln
Om t > sid , sedan numret t - sid kommer att vara naturligt; därför genom sats 1
Sats 2 är bevisat.
Det bör noteras att formeln
vi har bevisat det endast under antagandet att t > sid . Av det som har bevisats är det därför ännu inte möjligt att dra till exempel följande slutsatser:
Dessutom har vi ännu inte övervägt grader med negativa exponenter och vi vet ännu inte vilken innebörd som kan ges till uttryck 3 - 2 .
Sats 3. För att höja en grad till en potens räcker det att multiplicera exponenterna och lämna gradens bas densamma, det är
Bevis. Med hjälp av definitionen av grad och sats 1 i detta avsnitt får vi:
Q.E.D.
Till exempel, (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (Oral) Bestäm X från ekvationerna:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .
519. (Set nr.) Förenkla:
520. (Set nr.) Förenkla:
521. Presentera dessa uttryck i form av grader med samma baser:
1) 32 och 64; 3) 8 5 och 16 3; 5) 4 100 och 32 50;
2) -1000 och 100; 4) -27 och -243; 6) 81 75 8 200 och 3 600 4 150.
I den tidigare artikeln förklarade vi vad monomialer är. I detta material kommer vi att titta på hur man löser exempel och problem där de används. Här kommer vi att överväga sådana åtgärder som subtraktion, addition, multiplikation, division av monomialer och höja dem till en potens med en naturlig exponent. Vi kommer att visa hur sådana operationer definieras, beskriva de grundläggande reglerna för deras genomförande och vad som bör bli resultatet. Alla teoretiska begrepp kommer som vanligt att illustreras med exempel på problem med beskrivningar av lösningar.
Det är mest bekvämt att arbeta med standardnotationen för monomialer, så vi presenterar alla uttryck som kommer att användas i artikeln i standardform. Om de ursprungligen specificerades annorlunda, rekommenderas att först ta dem till en allmänt accepterad form.
Regler för att addera och subtrahera monomialer
De enklaste operationerna som kan utföras med monomialer är subtraktion och addition. I allmänhet kommer resultatet av dessa åtgärder att vara ett polynom (en monom är möjlig i vissa speciella fall).
När vi adderar eller subtraherar monomer skriver vi först ner motsvarande summa och skillnad i den allmänt accepterade formen och förenklar sedan det resulterande uttrycket. Om det finns liknande termer måste de citeras, och parenteserna ska öppnas. Låt oss förklara med ett exempel.
Exempel 1
Skick: utför tillägget av monomialerna − 3 x och 2, 72 x 3 y 5 z.
Lösning
Låt oss skriva ner summan av de ursprungliga uttrycken. Låt oss lägga till parenteser och sätta ett plustecken mellan dem. Vi kommer att få följande:
(− 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z)
När vi gör parentesexpansionen får vi - 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z. Detta är ett polynom, skrivet i standardform, som kommer att vara resultatet av att lägga till dessa monomer.
Svar:(− 3 x) + (2,72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2,72 x 3 y 5 z.
Om vi har tre, fyra eller fler termer utför vi denna åtgärd på exakt samma sätt.
Exempel 2
Skick: utför de angivna operationerna med polynom i rätt ordning
3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Lösning
Låt oss börja med att öppna parenteserna.
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Vi ser att det resulterande uttrycket kan förenklas genom att lägga till liknande termer:
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9
Vi har ett polynom som kommer att bli resultatet av denna åtgärd.
Svar: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9
I princip kan vi addera och subtrahera två monomialer, med vissa begränsningar, så att vi slutar med en monomial. För att göra detta måste du uppfylla vissa villkor för addends och subtraherade monomialer. Vi kommer att berätta hur detta går till i en separat artikel.
Regler för att multiplicera monomer
Multiplikationsåtgärden lägger inga begränsningar på faktorerna. Monomialerna som multipliceras behöver inte uppfylla några ytterligare villkor för att resultatet ska bli ett monomial.
För att utföra multiplikation av monomialer måste du följa dessa steg:
- Skriv ner stycket korrekt.
- Expandera parenteserna i det resulterande uttrycket.
- Gruppera om möjligt faktorer med samma variabler och numeriska faktorer separat.
- Utför de nödvändiga operationerna med siffror och använd egenskapen multiplikation av potenser med samma baser på de återstående faktorerna.
Låt oss se hur detta går till i praktiken.
Exempel 3
Skick: multiplicera monomialerna 2 x 4 y z och - 7 16 t 2 x 2 z 11.
Lösning
Låt oss börja med att komponera verket.
Vi öppnar fästena i den och får följande:
2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11
Allt vi behöver göra är att multiplicera siffrorna inom de första parenteserna och tillämpa egenskapen potenser för den andra. Som ett resultat får vi följande:
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14
Svar: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .
Om vårt villkor innehåller tre eller fler polynom multiplicerar vi dem med exakt samma algoritm. Vi kommer att överväga frågan om att multiplicera monomer mer i detalj i ett separat material.
Regler för att höja en monomial till en makt
Vi vet att en potens med en naturlig exponent är produkten av ett visst antal identiska faktorer. Deras nummer indikeras av siffran i indikatorn. Enligt denna definition är att höja en monomial till en potens lika med att multiplicera det specificerade antalet identiska monomialer. Låt oss se hur det går till.
Exempel 4
Skick: höj monomialen − 2 · a · b 4 till potensen 3 .
Lösning
Vi kan ersätta exponentiering med multiplikation av 3 monomialer − 2 · a · b 4 . Låt oss skriva ner det och få det önskade svaret:
(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) = = ((− 2) · (− 2) · (− 2)) · (a · a · a) · (b 4 · b 4 · b 4) = − 8 · a 3 · b 12
Svar:(− 2 · a · b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 12 .
Men vad händer om graden har en stor indikator? Det är obekvämt att registrera ett stort antal faktorer. Sedan, för att lösa ett sådant problem, måste vi tillämpa egenskaperna hos en examen, nämligen egenskapen hos en produktexamen och egenskapen hos en examen i en examen.
Låt oss lösa problemet vi presenterade ovan med den angivna metoden.
Exempel 5
Skick: höja − 2 · a · b 4 till tredje potens.
Lösning
Genom att känna till egenskapen power-to-degree kan vi gå vidare till ett uttryck av följande form:
(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2) 3 · a 3 · (b 4) 3 .
Efter detta höjer vi till makten - 2 och tillämpar maktens egenskap på makter:
(− 2) 3 · (a) 3 · (b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 4 · 3 = − 8 · a 3 · b 12 .
Svar:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .
Vi ägnade också en separat artikel åt att höja en monomial till en makt.
Regler för att dela monomer
Den sista operationen med monomialer som vi kommer att undersöka i detta material är att dividera ett monomial med ett monomial. Som ett resultat bör vi erhålla en rationell (algebraisk) bråkdel (i vissa fall är det möjligt att få en monomial). Låt oss omedelbart klargöra att division med noll monomial inte är definierad, eftersom division med 0 inte är definierad.
För att utföra division måste vi skriva ner de angivna monomialerna i form av en bråkdel och minska den om möjligt.
Exempel 6
Skick: dividera monomialen − 9 · x 4 · y 3 · z 7 med − 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 .
Lösning
Låt oss börja med att skriva monomer i bråkform.
9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2
Denna fraktion kan reduceras. Efter att ha utfört denna åtgärd får vi:
3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5
Svar:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .
De förhållanden under vilka vi, som ett resultat av att dela monomialer, får en monomial, ges i en separat artikel.
Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter
Om du behöver höja ett specifikt nummer till en potens kan du använda . Nu ska vi titta närmare på egenskaper hos grader.
Exponentiella talöppnar upp för stora möjligheter, de tillåter oss att omvandla multiplikation till addition, och addering är mycket lättare än att multiplicera.
Till exempel måste vi multiplicera 16 med 64. Produkten av att multiplicera dessa två tal är 1024. Men 16 är 4x4 och 64 är 4x4x4. Det vill säga 16 gånger 64 = 4x4x4x4x4, vilket också är lika med 1024.
Talet 16 kan också representeras som 2x2x2x2 och 64 som 2x2x2x2x2x2, och om vi multiplicerar får vi 1024 igen.
Låt oss nu använda regeln. 16=4 2, eller 2 4, 64=4 3 eller 2 6, samtidigt 1024=6 4 =4 5, eller 2 10.
Därför kan vårt problem skrivas annorlunda: 4 2 x4 3 =4 5 eller 2 4 x2 6 =2 10, och varje gång får vi 1024.
Vi kan lösa ett antal liknande exempel och se att multiplicering av tal med potenser reducerar till lägga till exponenter, eller exponentiell, naturligtvis, förutsatt att baserna för faktorerna är lika.
Utan att utföra multiplikation kan vi alltså omedelbart säga att 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.
Denna regel gäller även när man dividerar tal med potenser, men i det här fallet divisorns exponent subtraheras från exponenten för utdelningen. Alltså 2 5:2 3 =2 2, vilket i vanliga tal är lika med 32:8 = 4, det vill säga 2 2. Låt oss sammanfatta:
a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, där m och n är heltal.
Vid första anblicken kan det tyckas att det är så multiplicera och dividera tal med potenser inte särskilt bekvämt, eftersom du först måste representera talet i exponentiell form. Det är inte svårt att representera siffrorna 8 och 16, det vill säga 2 3 och 2 4, i denna form, men hur gör man det med siffrorna 7 och 17? Eller vad man ska göra i de fall där ett tal kan representeras i exponentiell form, men grunderna för exponentiella uttryck av tal är mycket olika. Till exempel är 8x9 2 3 x 3 2, i vilket fall vi inte kan summera exponenterna. Varken 2 5 eller 3 5 är svaret, inte heller ligger svaret i intervallet mellan dessa två siffror.
Är det då värt att bry sig om den här metoden överhuvudtaget? Definitivt värt det. Det ger enorma fördelar, speciellt för komplexa och tidskrävande beräkningar.
Lektion om ämnet: "Regler för multiplikation och division av potenser med samma och olika exponenter. Exempel"
Ytterligare material
Kära användare, glöm inte att lämna dina kommentarer, recensioner, önskemål. Allt material har kontrollerats av ett antivirusprogram.
Läromedel och simulatorer i Integral webbutik för årskurs 7
Manual för läroboken Yu.N. Makarycheva Manual för läroboken av A.G. Mordkovich
Syftet med lektionen: lära dig att utföra operationer med siffror.
Låt oss först komma ihåg begreppet "talkraft". Ett uttryck av formen $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ kan representeras som $a^n$.
Det omvända är också sant: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Denna jämlikhet kallas "att registrera graden som en produkt." Det kommer att hjälpa oss att avgöra hur vi ska multiplicera och dividera potenser.
Kom ihåg:
a– grunden för examen.
n– exponent.
Om n=1, vilket betyder siffran A tog en gång och följaktligen: $a^n= a$.
Om n=0, sedan $a^0= 1$.
Vi kan ta reda på varför detta händer när vi bekantar oss med reglerna för multiplikation och maktdelning.
Multiplikationsregler
a) Om potenser med samma bas multipliceras.För att få $a^n * a^m$ skriver vi graderna som en produkt: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m )$.
Figuren visar att antalet A har tagit n+m gånger, då $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Exempel.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Den här egenskapen är bekväm att använda för att förenkla arbetet när man höjer ett nummer till en högre effekt.
Exempel.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Om grader med olika baser, men samma exponent multipliceras.
För att få $a^n * b^n$ skriver vi graderna som en produkt: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m )$.
Om vi byter faktorerna och räknar de resulterande paren får vi: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Så $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Exempel.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
Indelningsregler
a) Grunden för examen är densamma, indikatorerna är olika.Överväg att dividera en potens med en större exponent genom att dividera en potens med en mindre exponent.
Så vi behöver $\frac(a^n)(a^m)$, Var n>m.
Låt oss skriva graderna som en bråkdel:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
För enkelhetens skull skriver vi divisionen som ett enkelt bråk.Låt oss nu minska andelen.
Det visar sig: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Betyder att, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Den här egenskapen hjälper till att förklara situationen med att höja ett nummer till nollpotensen. Låt oss anta det n=m, sedan $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Exempel.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
b) Gradens grunder är olika, indikatorerna är desamma.
Låt oss säga att $\frac(a^n)( b^n)$ är nödvändigt. Låt oss skriva talpotenser som bråk:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
För enkelhetens skull, låt oss föreställa oss.
Med hjälp av egenskapen för bråk delar vi den stora bråkdelen i produkten av små, vi får.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Följaktligen: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Exempel.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
- I kontakt med 0
- Google+ 0
- OK 0
- Facebook 0
