FEDERAL UTBILDNINGSMYNDIGHET

STERLITAMAK GREEN

STATLIG UTBILDNINGSINSTITUT

HÖGRE YRKESUTBILDNING

"BASKIR STATE UNIVERSITY"

Ekonomiska fakulteten

Institutionen för matematik och informatik

Kursarbete

på ämnet:

Bessel fungerar

Slutförd av en 2:a årsstudent

grupp PMII-08

Alexandrova A.Yu._______

"___"___________2010

Vetenskaplig chef

Ph.D., Art. etc.

Sidorenko O.G.______

"___"___________2010

Sterlitamak 2010

Introduktion

1 Bessel fungerar med positivt heltal

2 Bessel-funktioner med godtycklig ikon

3 Allmän presentation av cylindriska funktioner. Bessel-funktioner av det andra slaget

4-seriens expansion av Bessel-funktionen av det andra slaget med heltalstecken

5 Besselfunktioner av det tredje slaget

6 Besselfunktioner av ett imaginärt argument

7 Cylindriska funktioner med index lika med hälften av ett udda heltal

8 Asymptotiska representationer av cylindriska funktioner för stora värden av argumentet

9 Nollor av cylindriska funktioner

Slutsats

Bibliografi

Introduktion

Cylindriska funktioner är lösningar på en linjär differentialekvation av andra ordningen

var är en komplex variabel,

Termen "cylindriska funktioner" har sitt ursprung till det faktum att ekvation (1) uppstår när man överväger gränsvärdesproblem för potentiell teori för en cylindrisk domän.

Särskilda klasser av cylindriska funktioner är kända i litteraturen som Bessel-funktioner, och ibland tilldelas detta namn till hela klassen av cylindriska funktioner.

Den välutvecklade teorin om de aktuella funktionerna, tillgången på detaljerade tabeller och ett brett utbud av tillämpningar ger tillräcklig anledning att klassificera cylindriska funktioner som en av de viktigaste specialfunktionerna.

Bessel-ekvationen uppstår när man hittar lösningar på Laplace-ekvationen och Helmholtz-ekvationen i cylindriska och sfäriska koordinater. Därför används Bessel-funktioner för att lösa många problem om vågutbredning, statiska potentialer etc., till exempel:

1) elektromagnetiska vågor i en cylindrisk vågledare;

2) värmeledningsförmåga i cylindriska föremål;

3) vibrationslägen för ett tunt runt membran;

4) hastigheten för partiklar i en cylinder fylld med vätska och roterar runt sin axel.

Bessel-funktioner används också för att lösa andra problem, till exempel vid signalbehandling.

Cylindriska Bessel-funktioner är den vanligaste av alla specialfunktioner. De har många tillämpningar inom alla natur- och tekniska vetenskaper (särskilt astronomi, mekanik och fysik). I ett antal problem inom matematisk fysik finns det cylindriska funktioner där argumentet eller indexet (ibland båda) tar komplexa värden. För att lösa sådana problem numeriskt är det nödvändigt att utveckla algoritmer som gör att man kan beräkna Bessel-funktioner med hög noggrannhet.

Syfte med kursarbetet: studie av Bessel-funktioner och tillämpning av deras egenskaper vid lösning av differentialekvationer.

Uppgifter:

1) Studera Bessel-ekvationen och den modifierade Bessel-ekvationen.

2) Betrakta de grundläggande egenskaperna hos Bessel-funktioner, asymptotiska representationer.

3) Lös differentialekvationen med Bessel-funktionen.

1 Bessel fungerar med positivt heltal

För att överväga många problem förknippade med användningen av cylindriska funktioner räcker det att begränsa oss till att studera en speciell klass av dessa funktioner, vilket motsvarar fallet när parametern i ekvation (1) är lika med noll eller ett positivt heltal.

Studiet av denna klass är mer elementärt än teorin om godtyckliga värden, och kan fungera som en bra introduktion till denna allmänna teori.

Låt oss visa att en av lösningarna till ekvationen

0, 1, 2, …, (1.1)

är Bessel-funktionen av den första typen av ordning, som för alla värden definieras som summan av serien

(1.2)

Med hjälp av d'Alemberts test är det lätt att verifiera att serien i fråga konvergerar på hela planet för den komplexa variabeln och därför representerar en hel funktion av .

Om vi ​​betecknar den vänstra sidan av ekvation (1.1) med och inför en förkortad notation för koefficienterna för serien (1.2), sätter vi

då som ett resultat av substitution får vi

av vilket det följer att uttrycket inom parentes är lika med noll. Funktionen uppfyller således ekvation (1.1), dvs. den är en cylindrisk funktion.

De enklaste funktionerna i den aktuella klassen är Bessel-funktionerna av ordningen noll och ett:

(1.3)

Låt oss visa att Bessel-funktioner av andra ordningar kan uttryckas i termer av dessa två funktioner. För att bevisa detta, antag att a är ett positivt heltal, multiplicera serien (1.2) med och differentiera med avseende på . Vi får det då

(1.4)

På liknande sätt, multiplicera serien med vi finner

(1.5)

Efter att ha differentierat i likheter (1,4 – 1,1) och dividerat med faktorn kommer vi fram till formlerna:

(1.6)

som direkt följer:

(1.7)

De resulterande formlerna är kända som återkommande relationer för Bessel-funktioner.

Den första av relationerna gör det möjligt att uttrycka en funktion av en godtycklig ordning genom funktioner av order noll och ett, vilket avsevärt minskar arbetet med att kompilera tabeller av Bessel-funktioner.

Den andra relationen tillåter att man representerar derivator av Bessel-funktioner genom Bessel-funktioner. För att denna relation ska ersättas av formeln

(1.9)

direkt följer av definitionen av dessa funktioner.

Besselfunktioner av det första slaget är helt enkelt relaterade till funktionsexpansionens koefficienter i Laurent-serien):

(1.10)

Koefficienterna för denna expansion kan beräknas genom att multiplicera potensserier:

och sammanslutningar av medlemmar som innehåller samma examina. Efter att ha gjort detta får vi:

(1.11)

därav följer att den aktuella utbyggnaden kan skrivas i formen

Funktionen kallas genereringsfunktionen för Bessel-funktioner med ett heltalstecken; den funna relationen (1.12) spelar en viktig roll i teorin om dessa funktioner.

För att erhålla den allmänna integralen av ekvation (1.1), som ger ett uttryck för en godtycklig cylindrisk funktion med ett heltalstecken , är det nödvändigt att konstruera en andra lösning till ekvationen, linjärt oberoende med . Som en sådan lösning kan Bessel-funktionen av det andra slaget tas, baserat på vars definition det är lätt att få ett analytiskt uttryck för den i form av en serie

Var

(är Eulers konstant) och, i fallet med , bör den första av summorna sättas lika med noll.

Funktionen är regelbunden i planet med ett snitt. En väsentlig egenskap hos den övervägda lösningen är att den går till oändlighet när . Det allmänna uttrycket för den cylindriska funktionen för representerar en linjär kombination av de konstruerade lösningarna

var och är godtyckliga konstanter,

2 Bessel-funktioner med godtycklig ikon

Bessel cylindrisk funktion

Bessel-funktionerna som diskuteras i punkt 1 utgör ett specialfall av cylindriska funktioner av en mer allmän form, kända som Bessel-funktioner av det första slaget med ett godtyckligt tecken. För att bestämma dessa funktioner, överväg serien

där är en komplex variabel som hör till planet med ett snitt

– en parameter som kan ta alla verkliga eller komplexa värden.

Det är lätt att se att denna serie konvergerar för alla och , och i regionen , (är godtyckligt stora fasta tal) är konvergensen enhetlig med avseende på var och en av variablerna.

Faktum är att från en tillräckligt stor , är förhållandet mellan modulerna i den efterföljande medlemmen av serien till den föregående lika med värdet

kommer inte att överstiga någon korrekt positiv bråkdel oberoende av och . Härifrån följer, enligt det välkända konvergenskriteriet, att serien i fråga konvergerar enhetligt i det angivna området.

Eftersom termerna för serien är reguljära funktioner i ett plan med ett snitt, bestämmer summan av serien någon funktion av en komplex variabel som är regelbunden i snittplanet som övervägs. Denna funktion kallas Bessel-funktionen av det första slaget med index och betecknas med symbolen. Således,

(2.1)

Det är inte svårt att visa att funktionen som definieras på detta sätt är en speciell lösning av ekvationen

(2.2)

I själva verket, betecknar den vänstra sidan av denna ekvation och inställning, finner vi, precis som i punkt 1,

var är koefficienterna för serier (2.1),

varifrån följer det

Eftersom termerna i serien (2.1) för en fast , som tillhör ett plan med ett snitt, representerar hela funktioner av variabeln , så följer av enhetlig konvergens med avseende på denna variabel att Bessel-funktionen av det första slaget, betraktad som en funktion av dess tecken, är en hel funktion . För ett heltal och serien (2.1) går in i serien (1.2), därför är funktionerna som definieras i detta avsnitt en generalisering av Bessel-funktionerna med ett positivt heltal, studerade i stycke 2. För ett lika negativt heltal, de första termerna av serien (2.1) förvandlas till noll, och formeln i fråga kan skrivas som

varifrån följer

(2.3)

Således skiljer sig Bessel-funktioner med ett negativt heltalstecken från motsvarande funktioner med ett positivt tecken endast med en konstant faktor.

Den resulterande relationen tillsammans med formler (1.10 – 1.11) visar att expansion (1.12) kan skrivas i formen

(2.4)

Många likheter etablerade tidigare för Bessel-funktioner med ett positivt heltalstecken överförs till funktioner med ett godtyckligt index utan några förändringar. Så till exempel gäller följande relationer:

(2.5)

(2.6)

(2.7)

representerar en generalisering av motsvarande formler i punkt 2. Beviset för formler (2.5 – 2.6) upprepar resonemanget i detta avsnitt och ges därför inte. Formler (2.7) erhålls genom upprepad tillämpning av likheter (2.6).

3 Allmän presentation av cylindriska funktioner. Bessel-funktioner av det andra slaget

Per definition är en cylindrisk funktion en godtycklig lösning på en andra ordningens differentialekvation

(3.1)

därför finns dess allmänna uttryck i formen

där och är alla linjärt oberoende lösningar av ekvationen i fråga, och är konstanter, som generellt sett är godtyckliga funktioner av parametern . Det är lätt att få ett allmänt uttryck för den cylindriska funktionen för fallet när den skiljer sig från ett heltal. Genom att välja , var är Bessel-funktionen definierad i punkt 2, kan vi ta som en funktion , vilket också är en lösning på ekvation (3.1), eftersom den senare inte ändras när den ersätts med .

Om det inte är lika med ett heltal, kommer det asymptotiska beteendet hos lösningarna i fråga att vara

(3.3)

därför är dessa lösningar linjärt oberoende av varandra och det önskade uttrycket för den cylindriska funktionen kan ges i formen

(3.4)

Om är ett heltal, så är, på grund av relation (2.3), de konstruerade partiella lösningarna linjärt beroende av varandra och det hittade uttrycket (3.4) är inte en allmän integral av Bessel-ekvationen (3.1). För att få en representation av en godtycklig cylindrisk funktion, lämplig för alla värden på parametern, tar vi hänsyn till Bessel-funktionen av det andra slaget, som för godtyckliga sådana som tillhör ett plan med ett snitt, definierar vi med hjälp av likheten

(3.5)

När talet är lika med ett heltal, tar den högra sidan av uttrycket i fråga den obestämda formen (2.3), och vi är överens om att förstå värdet av funktionen i detta fall som gränsen

(3.6)

Eftersom täljaren och nämnaren i (3.5) enligt vad som är bevisat är hela funktioner, existerar gränsen i fråga och kan beräknas med hjälp av L'Hopitals regel, vars tillämpning ger

(3.7)

Av definitionen av funktionen följer att denna funktion är regelbunden i planet med ett snitt, och när den är fixerad är den en hel funktion av parametern. Låt oss nu bevisa att den uppfyller ekvation (3.1), och därför är en cylindrisk funktion. För , till skillnad från ett heltal, följer det erforderliga resultatet direkt från formeln (3.4), så det är tillräckligt att utföra beviset endast för fallet

Det enklaste sättet att göra detta är att använda principen om analytisk fortsättning. Eftersom det är en hel funktion, följer det av jämlikheten

Lösningarna och är linjärt oberoende av varandra. För detta resultat är en konsekvens av det linjära oberoendet av lösningarna och . Linjärt oberoende för följer av en jämförelse av beteendet hos de funktioner som övervägs för [formler (3.3) och (3.4)]. Således kommer det allmänna uttrycket för den cylindriska funktionen, lämplig för alla värden på , att vara

Bessel-funktioner av det andra slaget uppfyller samma återkommande relationer som funktioner av det första slaget, nämligen:

(3.9)

För , till skillnad från ett heltal, följer giltigheten av dessa formler från definitionen av Bessel-funktionen av det andra slaget och motsvarande formler för funktioner av det första slaget. För ett heltal följer det erforderliga resultatet av kontinuiteten hos de funktioner som övervägs med avseende på tecknet , vilket gör att vi kan genomföra passagen till gränsen i relationer (3.9)

Låt oss också notera formeln

(3.10)

vilket är en konsekvens av (3.7) och låter oss reducera beräkningen av funktioner med ett negativt heltal till beräkningen av funktioner vars index är positivt.

Genom att ändra variabler i ekvation (3.1) är det lätt att få fram ett antal andra differentialekvationer, vars allmänna integral kan uttryckas i termer av cylindriska funktioner. De mest intressanta ekvationerna av denna typ för tillämpningar är olika specialfall av differentialekvationer

(3.11)

vars allmänna integraler följaktligen kommer att vara:

(3.12)

där betecknar en godtycklig cylindrisk funktion.

4-seriens expansion av Bessel-funktionen av det andra slaget med heltalstecken

För att få en serieexpansion av funktionen räcker det att använda formeln (3.7) och beräkna derivatorna med avseende på tecknet baserat på expansionen (2.1), och med tanke på relationen (3.10) kan vi begränsa oss själva att överväga fallet med positiva heltal

Eftersom serie (2.1), som bevisat, konvergerar enhetligt med avseende på , kan vi differentiera den term för term och sedan erhålla

var är den logaritmiska derivatan av gammafunktionen.

På samma sätt har vi

På Och därför tar de första termerna i serien en obestämd form. Använda de välkända formlerna för teorin om gammafunktionen

;

vi får för sådant

där den nya summeringsikonen introduceras

Av formel (3.7) följer att den önskade expansionen av Bessel-funktionen av det andra slaget med ett positivt heltalstecken har formen

där i fallet den första summan måste sättas lika med noll.

Värdena för den logaritmiska derivatan av gammafunktionen kan beräknas med hjälp av formlerna:

(4.2)

var är Eulers konstant,

Med hänsyn till jämställdhet (1.2) kan vi presentera expansion (4.1) i en något annorlunda form, nämligen:

(4.3)

Av (4.1) följer att för de asymptotiska formlerna är giltiga

(4.4)

visar att när

5 Besselfunktioner av det tredje slaget

Cylindriska funktioner inkluderar även Bessel-funktioner av det tredje slaget eller Hankel-funktioner och , som för ett godtyckligt och tillhörande ett plan med ett snitt längs halvaxeln bestäms med hjälp av formlerna

var finns Bessel-funktionerna av det första och andra slaget.

Lämpligheten att införa dessa funktioner beror på det faktum att de övervägda linjära kombinationerna av och har de enklaste asymptotiska expansionerna för stora värden (punkt 8) och ofta påträffas i applikationer.

Av definitionen av Hankel-funktioner följer att dessa funktioner är vanliga funktioner i planet med ett snitt och hela funktioner. Det är uppenbart att funktionerna i fråga är linjärt oberoende av varandra och med avseende på , så att den allmänna integralen av Bessel-ekvationen (3.1) kan presenteras tillsammans med (3.8) i någon av följande former:

där finns godtyckliga konstanter.

Eftersom Hankel-funktionerna är linjära kombinationer av funktionerna och uppfyller samma återkommande relationer som dessa funktioner, till exempel,

(5.3)

Om vi ​​exkluderar Bessel-funktionen av det andra slaget från (5.1) med (3.5), får vi

(5.4)

varav viktiga relationer följer:

6 Bessel-funktioner av ett imaginärt argument

Nära besläktade med Bessel-funktionerna är två funktioner som ofta påträffas i applikationer och , som för , tillhörande ett plan med ett snitt längs den negativa halvaxeln och godtyckligt , kan bestämmas med formlerna:

(6.1)

(6.2)

och i allmänhet

(6.3)

Genom att upprepa resonemanget i punkt 2 finner vi att och är vanliga funktioner i planet med ett snitt och hela funktioner.

Funktionerna i fråga är helt enkelt relaterade till argumentets Bessel-funktioner.

Sannerligen, anta det . Sedan och av (2.1) följer det

(6.4)

för alla

På liknande sätt får vi från formel (5.4) för detsamma

(6.5)

För värden funktioner och kan uttryckas i termer av argumentets Bessel-funktioner. Vi har

(6.6)

för alla .

Baserat på de erhållna relationerna kallas funktionerna och Bessel-funktionerna för det imaginära argumentet. Funktionen är också känd i litteraturen som Macdonald-funktionen.

Av de härledda formlerna följer omedelbart att funktionerna i fråga är linjärt oberoende lösningar av differentialekvationen

(6.7)

som skiljer sig från Bessel-ekvationen endast i en terms tecken och omvandlas till den vid substitution.

Ekvation (6.7) finns ofta i matematisk fysik. Den allmänna integralen av denna ekvation för godtycklig kan skrivas i formen

Funktionerna och uppfyller enkla återkommande relationer:

(6.9)

Återkommande formler som innehåller funktioner bevisas genom att ersätta serier (6.1) i dem. Motsvarande formler för funktioner för annat än ett heltal kontrolleras genom att ersätta uttryck (6.2) i dem och använda formler från den första gruppen. Giltigheten av de sista relationerna för helheten följer av kontinuiteten hos de funktioner som är under övervägande med avseende på tecknet.

Låt oss ange ytterligare två användbara formler:

(6.10)

den första följer av (6.1), om vi tar med i beräkningen att vid de första termerna av expansionen försvinner, medan den andra är en direkt följd av definitionen av Macdonald-funktionen (6.2).

Utvidgningen av funktionen vid kan erhållas från (6.3) med hjälp av metoden i punkt 5. Vi presenterar slutresultatet av beräkningen:

Här är den logaritmiska derivatan av gammafunktionen, vars värden kan hittas med formler (4.2). För fallet bör den första av summorna anses lika med noll.

Av (6.11) följer att det asymptotiska beteendet för funktionen vid bestäms av formlerna

(6.12)

7 Cylindriska funktioner med index lika med hälften av ett udda heltal

En speciell klass av cylindriska funktioner bildas av cylindriska funktioner med ett index lika med hälften av ett udda heltal. I det aktuella fallet kan cylindriska funktioner uttryckas i termer av elementära funktioner. För att visa detta, låt oss först hitta värdena för funktionerna , för vilka vi lägger in (2.1) och använder formeln för att fördubbla gammafunktionen för att transformera serien

Vi får det då

(7.1)

och liknande

(7.2)

Möjligheten att uttrycka Bessel-funktionen av det första slaget med valfri halvheltalssymbol i termer av elementära funktioner följer nu av den återkommande formeln (2.5)

med hjälp av vilken du successivt kan få:

Det allmänna uttrycket för i termer av elementära funktioner erhålls från formler (2.7). Till exempel, om vi lägger in den andra av dem och använder resultatet (7.1), hittar vi:

(7.3)

Motsvarande formler för Bessel-funktioner av det andra och tredje slaget kan härledas från de relationer som finns om vi använder uttrycken för dessa funktioner genom Bessel-funktionerna av det första slaget (3.5 och 5.4). Till exempel har vi:

(7.4)

Avslutningsvis, låt oss peka ut formlerna:

(7.5)

som följer av definitionerna av de aktuella funktionerna (6.1 – 6.2).

Formler för andra halvheltalsindexvärden erhålls från dessa formler med hjälp av återkommande relationer (6.9). Liouville bevisade att fallet med ett halvheltalsindex är det enda när cylindriska funktioner reduceras till elementära.

8 Asymptotiska representationer av cylindriska funktioner för stora värden av argumentet

Cylindriska funktioner har enkla asymptotiska representationer som är bekväma för att approximera dessa funktioner för stora modulvärden och ett fast indexvärde. De huvudsakliga termerna för dessa formler kan erhållas baserat på de differentialekvationer som är uppfyllda av de aktuella funktionerna.

Av de cylindriska funktionerna har funktioner av det tredje slaget de enklaste asymptotiska representationerna.

För att få en asymptotisk representation av funktionen använder vi likheten

(8.1)

och omvandla det med hjälp av substitution. Då får vi

(8.2)

Ersätter multiplikatorn med en binomial expansion med en restterm

och att integrera term för term, finner vi

(8.3)

Var

Låt oss låtsas som det ( är ett godtyckligt litet positivt tal) och vi kommer tillfälligt att anta att det är valt så att Uppskattning av modulotermen för resten ger då

vid fast

Alltså för stora

(8.4)

Låt oss visa att villkoret som ställs på kan förkastas. Ja, om , då kan vi välja sådant . Representerar det med formeln (8.4), där det ersätts med , och noterar det

vi kommer återigen till samma resultat.

Också lätt att använda förhållandet befria dig från den begränsning som läggs på parametern.

Slutligen, om vi istället för (8.1) använder en integrerad representation av en något mer allmän form, kan vi visa att den hittade asymptotiska formeln förblir giltig i en bredare sektor .

Alltså äntligen för de stora

(8.5)

Den asymptotiska representationen för funktionen erhålls på liknande sätt från formeln

(8.6)

och har följande form:

(8.7)

Asymptotiska representationer för cylindriska funktioner av det första och andra slaget följer av de härledda formlerna (8.5) och (8.7) och relationerna (5.1). Vi hittar

(8.8)

(8.9)

Asymptotiska formler för modifierade cylindriska funktioner kan erhållas med hjälp av relationerna i punkt 6.

De slutliga formlerna är följande:

(8.10)

tecken motsvarar

Förutsatt att , kommer den andra termen i (8.10) att vara liten, och denna formel kan skrivas i formen

Av (8.5) och (8.7 – 8.12) följer att de divergerande serierna som erhålls om vi formellt sätter , är asymptotiska för funktionerna på vänster sida av de övervägda likheterna.

Metoden med vilken formlerna i fråga härleds ger endast storleksordningen för den återstående termen, men tillåter inte mer exakta slutsatser. Under speciella antaganden om och det är möjligt att genom att ändra resonemanget något få fram betydligt mer exakta resultat. Så, till exempel, kan det visas att om och är reella positiva tal och talet tas så stort att då resten av de asymptotiska expansionerna för och kommer att vara numeriskt mindre än de första termerna förkastade. I den asymptotiska representationen för inträffar samma resultat för .

9 Nollor av cylindriska funktioner

När man löser många tillämpade problem är det nödvändigt att ha en uppfattning om fördelningen av nollor av cylindriska funktioner på planet för en komplex variabel och att ungefär kunna beräkna deras värden.

Fördelning av nollor av Bessel-funktioner med ett positivt heltalstecken, d.v.s. lösningar av ekvationen

fastställs av följande teorem.

Sats 4. Funktionen har inte komplexa nollor och har ett oändligt antal reella nollor placerade symmetriskt med avseende på punkten, som i fallet hör till deras antal. Alla nollor i funktionen är enkla, med undantag av punkten , som på motsvarande sätt är en nolla av multiplicitet .

Fördelning av nollor av Bessel-funktioner med ett godtyckligt reellt index, d.v.s. lösningar av ekvationen

– verklig, (9.2)

ges av den mer allmänna sats 5.

Sats 5. En funktion är vilket reellt tal som helst) har ett oändligt antal reella positiva nollor och ett ändligt antal komplexa konjugerade nollor, där, beroende på parameterns värde,

(1) om eller

(2) kl

Om det bland de komplexa nollorna finns ett par rent imaginära.

Alla nollor i funktionen är enkla, förutom kanske poängen.

I matematisk fysik stöter man ofta på ekvationen

(där och ges reella tal, ), vilket kan betraktas som en generalisering av ekvation (9.2). Med den angivna parameterbegränsningen har ekvationen i fråga ett oändligt antal positiva rötter och har inga komplexa rötter, förutom i fallet då denna ekvation har två rent imaginära rötter.

Fördelningen av nollor för en funktion kan härledas från sats 5 med hjälp av relationerna i stycke 6. Vi noterar särskilt det viktiga resultatet att för alla nollor i funktionen är rent imaginära. Macdonald-funktionen för en riktig har inga nollor i regionen. Nollorna för funktionen som ligger i resten av skärplanet är komplexa konjugat och deras antal är ändligt.

För att ungefär beräkna rötterna till ekvationer som innehåller cylindriska funktioner används metoden för successiva approximationer, och i många fall kan rötterna till ekvationerna som erhållits från de ursprungliga när de cylindriska funktionerna ersätts med deras asymptotiska representationer tas som en bra initial approximation .

10 Exempel

Lös differentialekvationen:

I denna ekvation kommer vi att göra substitutionen

Var

Därav,

Genom att ersätta de hittade derivatorna i den ursprungliga ekvationen får vi:

Multiplicera med:

Låta , då får vi:

Dela med:

Baserat på den allmänna formen av Bessel-ekvationen (1), följer att .

Det allmänna uttrycket för den cylindriska funktionen för baserat på formel (1.14) representerar en linjär kombination av de konstruerade lösningarna:

var och är godtyckliga konstanter.

Sålunda har lösningen till den ursprungliga ekvationen formen:

Slutsats

I detta kursarbete studerades Bessel-funktioner (Bessel-ekvation och modifierad Bessel-ekvation), de grundläggande egenskaperna för ovanstående funktioner och en differentialekvation löstes med Bessel-funktioner.

Bibliografi

1. Lebedev N.N. Specialfunktioner och deras tillämpningar (2:a upplagan). – M.-L.: GIFML, 1963. – 359s.

2. Romanovsky P.I. Fourier-serier. Fältteori. Analytiska och specialfunktioner. Laplace transform, lärobok för universitet. – M.: Nauka, 1983. – 336s.

3. Bateman G., Erdelyi A. Högre transcendentala funktioner. T. 2. Besselfunktioner, funktioner hos en parabolcylinder, ortogonala polynom. – M.: Nauka, 1966. – 296s.

4. Piskunov N.S. Differential- och integralkalkyl, lärobok för universitet. – M.: Nauka, 1985. – 560-tal.

5. G.N. Watson En avhandling om teorin om Bessel funktioner. 1945. (Översättning tillgänglig: Watson G.N. Theory of Bessel functions: Translation from the 2nd English edition / Author's preface. V.S. Berman. - M.: IL, 1949 - 798 pp.)

6. Sabitov K.V. Funktionella, differentialekvationer och integralekvationer. – M.: Högre skola, 2005. – 671s.

7. Kuznetsov D.S. Specialfunktioner. – M.: Högre skola, 1962. – 249s.

8. Morse F.M., Feshbach G. Metoder för teoretisk fysik. T.2. – M.: IL, 1960. – 897:or.

9. Korenev B.G. Introduktion till teorin om Besselfunktioner. – M.: Nauka, 1971. – 287:or.

10. Kuzmin R.O. Bessel fungerar. – L.-M.: GTTI, 1933. – 152 s.

BESSEL FUNKTIONER, cylindriska funktioner av 1:a slaget; används i studien av fysikaliska processer (värmeledningsförmåga, diffusion, vibrationer, etc.) övervägda i områden med cirkulär och cylindrisk symmetri. Bessel-funktioner är lösningar av Bessel-ekvationen.

Bessel fungerar J p av ordningen (index) p, -∞<р<∞, представляется сходящимся при всех Х рядом

där G är gammafunktionen. Grafen för J p (x) för x > 0 är en kurva med dämpade svängningar; Jp(x) har ett oändligt antal nollor; de första termerna i serien ger det asymptotiska uttrycket av J p (x) för liten |x|; för stor x>0 är den asymptotiska representationen giltig

Besselfunktioner av ordningen p = n + 1/2, där n är ett heltal, uttrycks genom elementära funktioner; särskilt,

µn p - positiva rötter av ekvationen J p (x) = 0, p > - 1/2, l - något positivt tal, bildar ett ortogonalt system med vikten x på intervallet (0, l).

J 0-funktionen studerades först av D. Bernoulli i ett arbete som ägnas åt vibrationer av tunga kedjor (1732). L. Euler, med tanke på problemet med oscillationer av ett cirkulärt membran (1738), kom till Bessel-ekvationen med heltalsvärden p = n och fann uttrycket J n (x) i form av en serie i potenser av x; senare utvidgade han detta uttryck till fallet med godtyckliga värden av sid. F. Bessel studerade i samband med studiet av planeternas rörelse runt solen (1824) funktionerna J p (x) och sammanställde de första tabellerna för J 0 (x), J 1 (x).

Lit.: Watson G. N. Theory of Bessel functions. M., 1949. Delarna 1-2; Lebedev N. N. Specialfunktioner och deras tillämpningar. 2:a uppl. M.; L., 1963; Bateman G., Erdelyi A. Högre transcendentala funktioner. Besselfunktioner, paraboliska cylinderfunktioner, ortogonala polynom. M., 1974.

I teorin om fel kännetecknas mätnoggrannheten av medelkvadratfelet, som introducerades av den berömda tyska matematikern och lantmätaren K. F. Gauss (1777–1855) och betecknas med m:

______________________ ______

m = ± √ (Δ 1 2 + Δ 2 2 + .. + Δ n 2) / n = ± √ [Δ 2 ] / n, (4,5)

där Δ 1, Δ 2, …, Δ n – slumpmässiga fel;

n – antal mätningar.

Rotmedelkvadratfelet är ett tillförlitligt kriterium för att bedöma mätningarnas noggrannhet. Även med ett litet antal mätningar är det ganska stabilt och återspeglar väl förekomsten av stora slumpmässiga fel, som i huvudsak bestämmer kvaliteten på mätningarna.

Formel (4.5) används för att beräkna medelkvadratfelet när det verkliga värdet av det uppmätta värdet är känt. Dessa fall är mycket sällsynta i praktiken. Som regel är det sanna värdet av det uppmätta värdet okänt, men från mätningar kan det mest tillförlitliga resultatet erhållas - det aritmetiska medelvärdet. Låt oss få en formel för att beräkna medelkvadratfelet med avvikelsen mellan individuella resultat från det aritmetiska medelvärdet med de så kallade mest sannolika felen V.

Låt l 1, l 2, ..., l n vara resultatet av ekvivalenta mätningar av samma kvantitet, vars sanna värde är X, och det aritmetiska medelvärdet är L. Sedan kan n slumpmässiga eller sanna fel beräknas

Δ i = l i – X (4,6)

och n mest troliga fel

V i = l i – L. (4,7)

Summa n till jämlikhet (4,7)

[V] = [l] – nL. (4,8)

Men enligt likhet (4.4) nL = [l], alltså

det vill säga summan av de mest sannolika felen ska alltid vara lika med noll.

Om vi ​​subtraherar jämlikhet (4.7) från likhet (4.6), får vi

Δ i – V i = L – X. (4,10)

På höger sida av likheten (4.10) har vi ett slumpmässigt fel i det aritmetiska medelvärdet. Låt oss beteckna det med ε. Sedan

Δi = Vi + e. (4,11)

Låt oss kvadrera likheten (4.11), ta deras summa och dividera den med n:

[A2] / n = / n + n 2 / n + 2 e [V] / n. (4,12)

Den vänstra sidan av denna jämlikhet är inget mer än m 2 . På grund av likhet (4.9) är den sista termen på höger sida lika med noll.

m 2 = / n + e 2. (4,13)

Låt oss ersätta det slumpmässiga felet ε med dess medelvärde, det vill säga medelkvadratfelet för det aritmetiska medelvärdet. Det kommer att bevisas nedan medelkvadratfel för det aritmetiska medelvärdet

M2 = e2 = m2/n. (4,14)

m 2 – m 2 / n = / n eller m 2 (n – 1) / n = / n,

var ___________

m 2 = / (n – 1), eller m = √ / (n – 1). (4,15)

Formel (4.15) kallas Bessels formel och är av stor praktisk betydelse. Det låter dig beräkna rotmedelvärdet för felet baserat på de mest sannolika avvikelserna av mätresultaten från det aritmetiska medelvärdet.

Utöver medelkvadratfelet finns det också medelvärde, sannolika och relativa fel.

Medelfelet (Θ) är det aritmetiska medelvärdet av de absoluta värdena av slumpmässiga fel, dvs.

Θ = (|Δ 1 | + |Δ 2 | + … + |Δ n |) / n = [|Δ|] / n. (4,16)

I felteorin är det bevisat att när n → ∞ Θ = 0,8 m eller m = 1,25Θ.

Ibland använder de i tillämpade frågor troligt fel r. Sannolikt fel är värdet av ett slumpmässigt fel i en serie mätningar med lika precision, i förhållande till vilket ett fel är lika möjligt både större och mindre än detta värde, i absolut värde. För att hitta r ordnas alla fel i en given serie i stigande ordning i absolut värde och värdet som upptar mittpositionen väljs, dvs det finns lika många fel mindre än det som det finns fler. Det sannolika felet är relaterat till medelkvadratfelet med förhållandet r = 2/3 m = 0,67 m eller m = 1,5 r.

Som man kan se, m > Θ och m > r, vilket visar att medelkvadratfelet bättre karakteriserar mätnoggrannheten än de genomsnittliga och sannolika felen.

Noggrannheten hos uppmätta storheter som linjer, ytor och volymer bedöms ofta med hjälp av relativt fel. Relativt fel är förhållandet mellan det absoluta felet och värdet av den uppmätta storheten. Det relativa felet skrivs som ett bråk, vars täljare är ett, och nämnaren är ett tal som anger vilken andel av det uppmätta värdet som ska vara det tillåtna felet. Till exempel mäts längden på en sida D = 150 m med ett absolut fel på m d = 0,05 m. Då blir det relativa felet för mätresultatet m d / D = 0,05 m / 150 m = 1 / 3000.

Värdet 1/3000 betyder att vid 3000 m avstånd kan ett fel på 1 m tillåtas Ju större nämnaren för det relativa felet, desto högre noggrannhet i mätningarna. Noggrannheten för alla linjära mätningar inom geodesi specificeras alltid av det relativa felet, vilket anges i relevanta instruktioner och manualer för framställning av denna typ av geodetiskt arbete.

Introduktion

Cylindriska funktioner är lösningar på en linjär differentialekvation av andra ordningen

var är en komplex variabel,

En parameter som kan ta alla verkliga eller komplexa värden.

Termen "cylindriska funktioner" har sitt ursprung till det faktum att ekvation (1) uppstår när man överväger gränsvärdesproblem för potentiell teori för en cylindrisk domän.

Särskilda klasser av cylindriska funktioner är kända i litteraturen som Bessel-funktioner, och ibland tilldelas detta namn till hela klassen av cylindriska funktioner.

Den välutvecklade teorin om de aktuella funktionerna, tillgången på detaljerade tabeller och ett brett utbud av tillämpningar ger tillräcklig anledning att klassificera cylindriska funktioner som en av de viktigaste specialfunktionerna.

Bessel-ekvationen uppstår när man hittar lösningar på Laplace-ekvationen och Helmholtz-ekvationen i cylindriska och sfäriska koordinater. Därför används Bessel-funktioner för att lösa många problem om vågutbredning, statiska potentialer etc., till exempel:

1) elektromagnetiska vågor i en cylindrisk vågledare;

2) värmeledningsförmåga i cylindriska föremål;

3) vibrationslägen för ett tunt runt membran;

4) hastigheten för partiklar i en cylinder fylld med vätska och roterar runt sin axel.

Bessel-funktioner används också för att lösa andra problem, till exempel vid signalbehandling.

Cylindriska Bessel-funktioner är den vanligaste av alla specialfunktioner. De har många tillämpningar inom alla natur- och tekniska vetenskaper (särskilt astronomi, mekanik och fysik). I ett antal problem inom matematisk fysik finns det cylindriska funktioner där argumentet eller indexet (ibland båda) tar komplexa värden. För att lösa sådana problem numeriskt är det nödvändigt att utveckla algoritmer som gör att man kan beräkna Bessel-funktioner med hög noggrannhet.

Syfte med kursarbetet: studie av Bessel-funktioner och tillämpning av deras egenskaper vid lösning av differentialekvationer.

1) Studera Bessel-ekvationen och den modifierade Bessel-ekvationen.

2) Betrakta de grundläggande egenskaperna hos Bessel-funktioner, asymptotiska representationer.

3) Lös differentialekvationen med Bessel-funktionen.

Bessel fungerar med positivt heltalstecken

För att överväga många problem förknippade med användningen av cylindriska funktioner räcker det att begränsa oss till att studera en speciell klass av dessa funktioner, vilket motsvarar fallet när parametern i ekvation (1) är lika med noll eller ett positivt heltal.

Studiet av denna klass är mer elementärt än teorin om godtyckliga värden, och kan fungera som en bra introduktion till denna allmänna teori.

Låt oss visa att en av lösningarna till ekvationen

0, 1, 2, …, (1.1)

är Bessel-funktionen av den första typen av ordning, som för alla värden definieras som summan av serien

Med hjälp av d'Alemberts test är det lätt att verifiera att serien i fråga konvergerar på hela planet för en komplex variabel och därför representerar en hel funktion av.

Om vi ​​betecknar den vänstra sidan av ekvation (1.1) med och inför en förkortad notation för koefficienterna för serien (1.2), sätter vi

då som ett resultat av substitution får vi

av vilket det följer att uttrycket inom parentes är lika med noll. Funktionen uppfyller således ekvation (1.1), dvs. den är en cylindrisk funktion.

De enklaste funktionerna i den aktuella klassen är Bessel-funktionerna av ordningen noll och ett:

Låt oss visa att Bessel-funktioner av andra ordningar kan uttryckas i termer av dessa två funktioner. För att bevisa detta, antag att a är ett positivt heltal, multiplicera serien (1.2) med och differentiera med. Vi får det då

På liknande sätt, multiplicera serien med vi finner

Efter att ha differentierat i likheter (1,4 - 1,1) och dividerat med en faktor kommer vi fram till formlerna:

som direkt följer:

De resulterande formlerna är kända som återkommande relationer för Bessel-funktioner.

Den första av relationerna gör det möjligt att uttrycka en funktion av en godtycklig ordning genom funktioner av order noll och ett, vilket avsevärt minskar arbetet med att kompilera tabeller av Bessel-funktioner.

Den andra relationen tillåter att man representerar derivator av Bessel-funktioner genom Bessel-funktioner. För att denna relation ska ersättas av formeln

direkt följer av definitionen av dessa funktioner.

Bessel-funktioner av det första slaget är helt enkelt relaterade till koefficienterna för Laurent-seriens expansion av funktionen):

Koefficienterna för denna expansion kan beräknas genom att multiplicera potensserier:

och sammanslutningar av medlemmar som innehåller samma examina. Efter att ha gjort detta får vi:

därav följer att den aktuella utbyggnaden kan skrivas i formen

Funktionen kallas genereringsfunktionen för Bessel-funktioner med ett heltalstecken; den funna relationen (1.12) spelar en viktig roll i teorin om dessa funktioner.

För att erhålla den allmänna integralen av ekvation (1.1), som ger ett uttryck för en godtycklig cylindrisk funktion med ett heltalstecken, är det nödvändigt att konstruera en andra lösning till ekvationen, linjärt oberoende av c. Som en sådan lösning kan Bessel-funktionen av det andra slaget tas, baserat på vars definition det är lätt att få ett analytiskt uttryck för den i form av en serie

(- Eulers konstant) och i fallet bör den första av summorna sättas lika med noll.

Funktionen är regelbunden i planet med ett snitt. En väsentlig egenskap hos den övervägda lösningen är att den går till oändlighet när. Det allmänna uttrycket för den cylindriska funktionen för representerar en linjär kombination av de konstruerade lösningarna

var och är godtyckliga konstanter,

Order.

Fastän $\backslash alfa$ Och $(-\backslash alfa)$ genererar identiska ekvationer, de brukar vara överens om att olika funktioner motsvarar dem (detta görs t.ex. så att Bessel-funktionen är jämn i $\backslash alfa$).

Bessel funktioner definierades först av den schweiziska matematikern Daniel Bernoulli, och uppkallade efter Friedrich Bessel.

Ansökningar

Bessel-ekvationen uppstår när man hittar lösningar på Laplace-ekvationen och Helmholtz-ekvationen i cylindriska och sfäriska koordinater. Därför används Bessel-funktioner för att lösa många problem om vågutbredning, statiska potentialer etc., till exempel:

• elektromagnetiska vågor i en cylindrisk vågledare;
• värmeledningsförmåga i cylindriska föremål;
• vibrationslägen av ett tunt runt membran;
• intensitetsfördelning av ljus diffrakterat av ett cirkulärt hål;
• hastigheten för partiklar i en cylinder fylld med vätska och roterar runt sin axel;
• vågfunktioner i en sfäriskt symmetrisk potentiallåda.

Bessel-funktioner används också för att lösa andra problem, till exempel vid signalbehandling.

Definitioner

Eftersom ovanstående ekvation är en linjär differentialekvation av andra ordningen måste den ha två linjärt oberoende lösningar. Men beroende på omständigheterna väljs olika definitioner av dessa beslut. Nedan är några av dem.

Besselfunktioner av det första slaget

Besselfunktioner av det första slaget, betecknade $J\_\backslash alfa(x)$, är lösningar ändliga vid punkten $x=0$ för heltal eller icke-negativ $\backslash alfa$. Valet av en specifik funktion och dess normalisering bestäms av dess egenskaper. Vi kan definiera dessa funktioner med hjälp av en Taylor-serieexpansion runt noll (eller en mer generell potensserie för icke-heltal $\backslash alfa$):

$J\_\backslash alpha(x)\; =\; \backslash sum\_(m=0)^\backslash infty\; \backslash frac((-1)^m)(m!\backslash ,\; \backslash Gamma(m+\backslash alpha+1))\; (\backslash left((\backslash frac(\; x)(2))\backslash höger))^(2m+\backslash alfa)$

Neumann-funktioner kallas även Bessel-funktioner av det andra slaget. En linjär kombination av Bessel-funktioner av det första och andra slaget är en komplett lösning av Bessel-ekvationen:

$y(x)\; =\; C\_1\; J\_\backslash alfa(x)\; +\; C\_2\; Y\_\backslash alfa(x).$

Nedan är grafen $Y\_\backslash alfa\; (x)$ För $\backslash alfa\; =\; 0$, 1 och 2:

Egenskaper

Ortogonalitet

Låta $\backslash mu\_1$ Och $\backslash mu\_2$- nollor för Bessel-funktionen $J\_(\backslash alpha)(x)$. Sedan:

$\backslash int\_(0)^(1)(x\; J\_(\backslash alpha)(\backslash mu\_1\; x)\; J\_(\backslash alpha)(\backslash mu\_2\; x)\; dx)\; =\; \backslash left\backslash (\; \backslash begin(matris)$

0 & \mbox(;)\quad\mu_1\ne\mu_2 \\ \\ \frac(1)(2)(J"_(\alpha)(\mu_1))^2 & \mbox(;)\quad \mu_1=\mu_2

\end(matris) \right. .

Asymptotika

Asymptotiska formler är kända för Bessel-funktioner av det första och andra slaget. För små argument och icke-negativa $\backslash alfa$ de ser ut så här:

$J\_\backslash alpha(x)\; \backslash rightarrow\; \backslash frac(1)(\backslash Gamma(\backslash alpha+1))\; \backslash left(\backslash frac(x)(2)\; \backslash right)\; ^\backslash alpha\; ,$

\end(matris) \right. ,

$J\_\backslash alpha(z)=\backslash frac((z/2)^\backslash alpha)(\backslash Gamma(\backslash alpha+1))\; ()\_0F\_1\; (\backslash alpha+1;\; -z^2/4).$

Alltså för heltal $\backslash alfa$ Bessel funktion entydig analytisk, och för icke-heltal - flervärdig analytisk.

Genererande funktion

Det finns en representation för Bessel-funktioner av det första slaget och heltalsordningen genom koefficienterna i Laurent-serien av en funktion av en viss typ, nämligen:

$e^(\backslash frac(z)(2)\backslash left(w-\backslash frac(1)(w)\backslash right))=\backslash sum\_(n=-\backslash infty)^(+\backslash infty)J\_n(z)w^\; n.$

Förhållanden

Jacobi-Ilska formel och relaterade

Vi får uttryck för den genererande faktorn vid $a=1$, $t=e^(i\backslash phi)$:

$e^(iz\backslash sin\backslash phi)=J\_0(z)+2\backslash sum\_(n=1)^\backslash infty\; J\_(2n)(z)\backslash cos(2n\backslash phi)+2i\backslash sum\_(n=1)^\; \backslash infty\; J\_(2n-1)(z)\backslash sin(2n-1)\backslash phi.$

På $a=1$, $t=ie^(i\backslash phi)$:

$e^(iz\backslash cos\backslash phi)=J\_0(z)+2\backslash sum\_(n=1)^\backslash infty\; i^nJ\_n(z)\backslash cos(n\backslash phi).$

Additionssats

För vilken helhet som helst $n$ och komplex $z\_1$ Och $z\_2$ genomförde

$J\_n(z\_1+z\_2)\; =\; \backslash sum\_(k=-\backslash infty)^\backslash infty\; J\_k(z\_1)\; J\_(n-k)(z\_2).$

Integral uttryck

För alla $a$ Och $b$(inklusive komplex) utförs

$\backslash int\_0^\backslash infty\; e^(-at)J\_n(bt)\backslash mathrm\; dt\; =\; \backslash frac(b^n)(\backslash sqrt(a^2+b^2)(\backslash sqrt(a^2+b^2)\; +a)^n).$

Ett specialfall av den sista formeln är uttrycket

$\backslash int\_0^\backslash infty\; e^(-at)J\_0(bt)\backslash mathrm\; dt\; =\; \backslash frac(1)(\backslash sqrt(a^2+b^2)).$

se även

Skriv en recension om artikeln "Bessel funktioner"

Anteckningar

Litteratur

• Watson G. Teori om Bessel funktioner. - M.: IL, 1949.
• Bateman G., Erdelyi A. Besselfunktioner, paraboliska cylinderfunktioner, ortogonala polynom // Högre transcendentala funktioner. T. 2. 2:a uppl. från engelska N. Ya. - M.: Nauka, 1974. - 296 sid.
• Lavrentiev M.A., Shabat B.V. Metoder för teorin om funktioner för en komplex variabel. - M.: Nauka, 1973. - 736 sid.

Ett utdrag som kännetecknar Bessel-funktionerna

"Vera", sa grevinnan och tilltalade sin äldsta dotter, uppenbarligen oälskad. – Hur kommer det sig att du inte har någon aning om någonting? Känner du inte att du är malplacerad här? Gå till dina systrar, eller...
Vackra Vera log föraktfullt och kände tydligen inte den minsta förolämpning.
"Om du hade berättat för mig för länge sedan, mamma, så hade jag gått direkt," sa hon och gick till sitt rum.
Men när hon gick förbi soffan märkte hon att det satt två par symmetriskt vid två fönster. Hon stannade och log föraktfullt. Sonya satt nära Nikolai, som kopierade ut dikter åt henne som han hade skrivit för första gången. Boris och Natasha satt vid ett annat fönster och tystnade när Vera kom in. Sonya och Natasha tittade på Vera med skyldiga och glada miner.
Det var roligt och rörande att titta på dessa förälskade tjejer, men åsynen av dem väckte uppenbarligen ingen behaglig känsla hos Vera.
"Hur många gånger har jag bett dig," sa hon, "att inte ta mina saker, du har ett eget rum."
Hon tog bläckhuset från Nikolai.
"Nu, nu," sa han och blötte pennan.
"Du vet hur man gör allt vid fel tidpunkt," sa Vera. "Sedan sprang de in i vardagsrummet, så alla skämdes över dig."
Trots att, eller just för att, det hon sa var helt rättvist var det ingen som svarade henne, och alla fyra bara tittade på varandra. Hon dröjde kvar i rummet med bläckhuset i handen.
- Och vilka hemligheter kan det finnas i din ålder mellan Natasha och Boris och mellan er - de är alla bara nonsens!
- Ja, vad bryr du dig om, Vera? – sa Natasha förbön med en tyst röst.
Hon var tydligen ännu mer snäll och tillgiven mot alla än alltid den dagen.
"Väldigt dumt," sa Vera, "jag skäms över dig." Vilka är hemligheterna?...
– Alla har sina egna hemligheter. Vi rör inte dig och Berg, sa Natasha och blev upprymd.
"Jag tror att du inte kommer att röra mig," sa Vera, "för det kan aldrig vara något dåligt i mina handlingar." Men jag ska berätta för mamma hur du behandlar Boris.
"Natalya Ilyinishna behandlar mig väldigt bra", sa Boris. "Jag kan inte klaga", sa han.
- Lämna det, Boris, du är en sådan diplomat (ordet diplomat var i stor användning bland barn i den speciella betydelse som de fäste vid detta ord); Det är till och med tråkigt”, sa Natasha med en kränkt, darrande röst. - Varför tjatar hon på mig? Du kommer aldrig att förstå detta”, sa hon och vände sig mot Vera, “eftersom du aldrig har älskat någon; du har inget hjärta, du är bara madame de Genlis [Madame Genlis] (detta smeknamn, ansett som mycket stötande, gavs till Vera av Nikolai), och ditt första nöje är att orsaka problem för andra. "Du flirtar med Berg hur mycket du vill," sa hon snabbt.
– Ja, jag kommer absolut inte att börja jaga en ung man inför gäster...
"Tja, hon uppnådde sitt mål," ingrep Nikolai, "hon sa obehagliga saker till alla, gjorde alla upprörda." Låt oss gå till barnkammaren.
Alla fyra reste sig som en rädd flock fåglar och lämnade rummet.
"De berättade för mig några problem, men jag betydde ingenting för någon", sa Vera.
- Madame de Genlis! Madame de Genlis! – Skrattande röster sa bakom dörren.
Vackra Vera, som hade en så irriterande, obehaglig effekt på alla, log och, uppenbarligen opåverkad av vad som sades till henne, gick hon till spegeln och rätade ut sin halsduk och frisyr. När hon tittade på sitt vackra ansikte blev hon tydligen ännu kallare och lugnare.

Samtalet fortsatte i vardagsrummet.
- Ah! chere,” sade grevinnan, “och i mitt liv tout n”est pas rose varar länge för oss. Och allt detta är en snällhet. Vi bor i byn, slappnar vi av , Annette Du, i din ålder, åker ensam i vagn, till Moskva, till S:t Petersburg, till alla ministrar, till hela adeln, du vet hur man kommer överens med alla, jag är förvånad, hur gick det här. träna? Jag vet inte hur man gör något av det här.
- Åh, min själ! - svarade prinsessan Anna Mikhailovna. "Gud förbjude att du vet hur svårt det är att förbli änka utan stöd och med en son som du älskar till den grad av tillbedjan." "Du kommer att lära dig allt", fortsatte hon med viss stolthet. – Min process lärde mig. Om jag behöver se ett av dessa ess, skriver jag en lapp: "prinsessan une telle [prinsessan så och så] vill se si och så," och jag kör själv i en taxi åtminstone två, åtminstone tre gånger, minst fyra gånger, tills jag uppnår det jag behöver. Jag bryr mig inte om vad någon tycker om mig.
- Jaha, vem frågade du om Borenka? frågade grevinnan. – Din är trots allt redan vaktofficer, och Nikolushka är kadett. Det finns ingen att störa sig på. Vem frågade du?
- Prins Vasily. Han var väldigt trevlig. Nu gick jag med på allt, rapporterade till suveränen”, sa prinsessan Anna Mikhailovna med förtjusning och glömde helt all förnedring hon gick igenom för att nå sitt mål.
- Att han har åldrats, prins Vasily? frågade grevinnan. – Jag har inte sett honom sedan våra teatrar på Rumyantsevs. Och jag tror att han glömde bort mig. "Il me faisait la cour, [han släpade efter mig", mindes grevinnan med ett leende.
"Fortfarande densamma," svarade Anna Mikhailovna, "snäll, sönderfallande." Les grandeurs ne lui ont pas touriene la tete du tout. [Den höga positionen vände inte alls på huvudet.] "Jag beklagar att jag kan göra för lite för dig, kära prinsessa," säger han till mig, "order." Nej, han är en trevlig man och en underbar familjemedlem. Men du vet, Nathalieie, min kärlek till min son. Jag vet inte vad jag inte skulle göra för att göra honom lycklig. "Och mina omständigheter är så dåliga", fortsatte Anna Mikhailovna med sorg och sänkte rösten, "så dåliga att jag nu är i den mest fruktansvärda situationen. Min eländiga process äter upp allt jag har och rör sig inte. Jag har inte, kan ni föreställa er, a la lettre [bokstavligen], jag har inte en krona pengar, och jag vet inte vad jag ska utrusta Boris med. ”Hon tog fram en näsduk och började gråta. "Jag behöver femhundra rubel, men jag har en sedel på tjugofem rubel." Jag är i den här positionen... Mitt enda hopp nu är greve Kirill Vladimirovich Bezukhov. Om han inte vill försörja sin gudson - trots allt döpte han Borya - och tilldela honom något för hans underhåll, då kommer alla mina besvär att gå förlorade: jag kommer inte ha något att utrusta honom med.
Grevinnan fällde tårar och tänkte tyst på något.
"Jag tänker ofta, det här är kanske en synd," sa prinsessan, "och jag tänker ofta: Greve Kirill Vladimirovich Bezukhoy bor ensam... det här är en enorm förmögenhet... och vad lever han för? Livet är en börda för honom, men Borya har precis börjat leva.
"Han kommer förmodligen att lämna något åt ​​Boris," sa grevinnan.
- Gud vet, kära vän! [kära vän!] Dessa rika människor och adelsmän är så själviska. Men jag ska ändå gå till honom nu med Boris och berätta rakt ut för honom vad som händer. Låt dem tycka vad de vill om mig, jag bryr mig verkligen inte när min sons öde beror på det. – Prinsessan ställde sig upp. – Nu är klockan två, och klockan fyra äter du lunch. Jag har tid att gå.
Och med teknikerna hos en affärskvinna i St. Petersburg som vet hur man använder tiden, skickade Anna Mikhailovna efter sin son och gick ut i hallen med honom.
”Farväl, min själ”, sa hon till grevinnan, som följde med henne till dörren, ”önska mig framgång”, tillade hon med en viskning från sin son.
– Besöker du greve Kirill Vladimirovich, ma chere? - sa greven från matsalen och gick också ut i korridoren. – Om han mår bättre, bjud Pierre på middag med mig. Han besökte mig trots allt och dansade med barnen. Ring mig för all del, ma chere. Nåväl, låt oss se hur Taras utmärker sig idag. Han säger att greve Orlov aldrig hade en sådan middag som vi kommer att ha.