Exponentialfunktionen för en reell variabel (med en positiv bas) bestäms i flera steg. Först, för naturvärden - som en produkt av lika faktorer. Definitionen sträcker sig sedan till negativa heltal och icke-nollvärden enligt reglerna. Därefter överväger vi bråkexponenter där värdet på exponentialfunktionen bestäms med hjälp av rötter: . För irrationella värden är definitionen redan kopplad till det grundläggande begreppet matematisk analys - med passagen till gränsen, av kontinuitetsskäl. Alla dessa överväganden är inte på något sätt tillämpliga på försök att utöka den exponentiella funktionen till komplexa värden av indikatorn, och vad det är, till exempel, är helt oklart.

För första gången introducerade Euler en potens med en komplex exponent med en naturlig bas baserat på en analys av ett antal konstruktioner av integralkalkyl. Ibland ger mycket liknande algebraiska uttryck helt olika svar när de integreras:

Samtidigt erhålls här den andra integralen formellt från den första när den ersätts av

Av detta kan vi dra slutsatsen att med den korrekta definitionen av en exponentialfunktion med en komplex exponent, är inversa trigonometriska funktioner relaterade till logaritmer och därmed är den exponentiala funktionen relaterad till trigonometriska.

Euler hade modet och fantasin att ge en rimlig definition av en exponentiell funktion med en bas, nämligen

Detta är en definition, och därför kan denna formel inte bevisas, man kan bara leta efter argument som talar för rimligheten och ändamålsenligheten med en sådan definition. Matematisk analys ger många argument av detta slag. Vi kommer att begränsa oss till bara en.

Det är känt att det på riktigt finns ett begränsande förhållande: . På höger sida finns ett polynom som också är vettigt för komplexa värden för . Gränsen för en sekvens av komplexa tal bestäms naturligt. En sekvens anses konvergent om sekvenserna av verkliga och imaginära delar konvergerar och accepteras

Låt oss hitta det. För att göra detta, låt oss vända oss till den trigonometriska formen och för argumentet kommer vi att välja värden från intervallet. Med detta val är det tydligt att för . Ytterligare,

För att gå till gränsen måste du verifiera att det finns gränser för och och hitta dessa gränser. Det är tydligt att

Alltså i uttrycket

den verkliga delen tenderar att , den imaginära delen tenderar till det

Detta enkla argument ger ett av argumenten till förmån för Eulers definition av exponentialfunktionen.

Låt oss nu fastställa att när man multiplicerar värdena för en exponentiell funktion, adderas exponenterna. Verkligen:

2. Eulers formler.

Låt oss lägga in definitionen av exponentialfunktionen. Vi får:

Om vi ​​ersätter b med -b får vi

Genom att addera och subtrahera dessa likheter term för term, hittar vi formlerna

kallas Eulers formler. De upprättar ett samband mellan trigonometriska funktioner och exponentialfunktioner med imaginära exponenter.

3. Naturlig logaritm av ett komplext tal.

Ett komplext tal som anges i trigonometrisk form kan skrivas i formen Denna form av att skriva ett komplext tal kallas exponentiellt. Den behåller alla goda egenskaper hos trigonometrisk form, men är ännu mer koncis. Vidare, Därför är det naturligt att anta att den reella delen av logaritmen för ett komplext tal är logaritmen för dess modul, och den imaginära delen är dess argument. Detta förklarar till viss del argumentets "logaritmiska" egenskap - produktens argument är lika med summan av faktorernas argument.

Planen:

Introduktion

• 1 Verklig logaritm
  • 1.1 Egenskaper
  • 1.2 Logaritmisk funktion
  • 1.3 Naturliga logaritmer
  • 1.4 Decimallogaritmer
• 2 Komplex logaritm
  • 2.1 Definition och egenskaper
  • 2.2 Exempel
  • 2.3 Analytisk fortsättning
  • 2.4 Riemann yta
• 3 Historisk skiss
  • 3.1 Verklig logaritm
  • 3.2 Komplex logaritm
• 4 Logaritmiska tabeller
• 5 Applikationer
Litteratur
Anteckningar

Introduktion

Ris. 1. Grafer över logaritmiska funktioner

Logaritm av ett tal b baserat på a (från grekiska λόγος - "ord", "attityd" och ἀριθμός - "nummer") definieras som en indikator på den effekt till vilken basen måste höjas a för att få numret b. Beteckning: . Av definitionen följer att posterna och är likvärdiga.

Till exempel eftersom.

1. Verklig logaritm

Logaritm för en logaritm med reella tal a b vettigt när . Som bekant, exponentialfunktionen y = a x är monotont och varje värde tar bara en gång, och intervallet för dess värden innehåller alla positiva reella tal. Det följer att värdet av den reella logaritmen för ett positivt tal alltid existerar och är unikt bestämt.

De mest använda typerna av logaritmer är:

1.1. Egenskaper

Bevis

Låt oss bevisa det.

(eftersom av villkor bc > 0). ■

Bevis

Låt oss bevisa det

(sedan av villkor ■

Bevis

Vi använder identiteten för att bevisa det. Låt oss logaritma båda sidor av identiteten till bas c. Vi får:

Bevis

Låt oss bevisa det.

(därför att b sid> 0 efter tillstånd). ■

Bevis

Låt oss bevisa det

Bevis

Logaritma vänster och höger sida till basen c :

Vänster sida: Höger sida:

Jämställdheten i uttryck är uppenbar. Eftersom logaritmer är lika, på grund av den logaritmiska funktionens monotoni, är själva uttrycken lika. ■

1.2. Logaritmisk funktion

Om vi ​​betraktar det logaritmiska talet som en variabel får vi logaritmisk funktion y=logg a x (se fig. 1). Det definieras vid . Värdeintervall: .

Funktionen ökar strikt kl a> 1 och minskar strikt vid 0< a < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Hetero x= 0 är en vänster vertikal asymptot, eftersom at a> 1 och vid 0< a < 1 .

Derivatan av den logaritmiska funktionen är lika med:

Bevis

I. Låt oss bevisa det

Låt oss skriva ner identiteten e ln x = x och skilja på dess vänstra och högra sida

Vi får det, varav det följer att

II. Låt oss bevisa det

Den logaritmiska funktionen utför en isomorfism mellan den multiplikativa gruppen av positiva reella tal och den additiva gruppen av alla reella tal.

1.3. Naturliga logaritmer

Samband med decimallogaritmen: .

Som nämnts ovan har derivatan av den naturliga logaritmen en enkel formel:

Av denna anledning används naturliga logaritmer främst inom matematisk forskning. De dyker ofta upp när man löser differentialekvationer, studerar statistiska beroenden (till exempel fördelningen av primtal) etc.

Den obestämda integralen av den naturliga logaritmen kan lätt hittas genom att integrera med delar:

Taylor-seriens expansion kan representeras enligt följande:
när jämställdheten är sann

(1)

Särskilt,

Denna serie konvergerar snabbare, och dessutom kan den vänstra sidan av formeln nu uttrycka logaritmen för ett positivt tal.

1.4. Decimallogaritmer

Ris. 2a. Logaritmisk skala

Ris. 2b. Logaritmisk skala med symboler

Logaritmer till bas 10 (symbol: lg a) före uppfinningen av miniräknare användes i stor utsträckning för beräkningar. Den ojämna skalan för decimallogaritmer används vanligtvis på diaregler. En liknande skala används inom många vetenskapsområden, till exempel:

• Fysik - ljudintensitet (decibel).
• Astronomi - skala för stjärnans ljusstyrka.
• Kemi - vätejonaktivitet (pH).
• Seismologi - Richterskalan.
• Musikteori - en skala av noter, i förhållande till frekvenserna för musiknoter.
• Historia är en logaritmisk tidsskala.

Den logaritmiska skalan används också flitigt för att identifiera exponenten i maktrelationer och koefficienten i exponenten. I det här fallet tar en graf konstruerad på en logaritmisk skala längs en eller två axlar formen av en rät linje, vilket är lättare att studera.

2. Komplex logaritm

2.1. Definition och egenskaper

För komplexa tal definieras logaritmen på samma sätt som ett verkligt tal. I praktiken används den naturliga komplexa logaritmen nästan uteslutande, som vi betecknar och definierar som mängden av alla komplexa tal z Så att e z = w . Den komplexa logaritmen finns för alla , och dess reella del bestäms unikt, medan den imaginära delen har ett oändligt antal värden. Av denna anledning kallas det en funktion med flera värden. Om du föreställer dig w i demonstrationsform:

,

då hittas logaritmen av formeln:

Här är den verkliga logaritmen, r = | w | , k- godtyckligt heltal. Värdet som erhålls när k= 0, anropad huvudvikt komplex naturlig logaritm; det är vanligt att ta värdet av argumentet i det i intervallet (− π,π]. Motsvarande (redan enkelvärdig) funktion kallas huvudgren logaritm och betecknas med . Ibland betecknar de också ett logaritmvärde som inte finns på huvudgrenen.

Från formeln följer:

• Den reella delen av logaritmen bestäms av formeln:

• Logaritmen för ett negativt tal hittas av formeln:

Eftersom komplexa trigonometriska funktioner är relaterade till exponenten (Eulers formel), är den komplexa logaritmen, som exponentialens inversa funktion, relaterad till de inversa trigonometriska funktionerna. Ett exempel på en sådan koppling:

2.2. Exempel

Låt oss ge logaritmens huvudvärde för några argument:

Du bör vara försiktig när du konverterar komplexa logaritmer, med hänsyn till att de har flera värden, och därför innebär inte likheten mellan logaritmerna för alla uttryck att dessa uttryck är lika. Exempel på felaktigt resonemang:

iπ = ln(− 1) = ln((− i) 2) = 2ln(− i) = 2(− iπ / 2) = − iπ - ren absurditet.

Observera att till vänster finns huvudvärdet för logaritmen, och till höger är värdet från den underliggande grenen ( k= − 1). Orsaken till felet är den vårdslösa användningen av egenskapen, vilket generellt sett innebär i det komplexa fallet hela den oändliga uppsättningen av logaritmvärden, och inte bara huvudvärdet.

2.3. Analytisk fortsättning

Ris. 3. Komplex logaritm (imaginär del)

Logaritmen för ett komplext tal kan också definieras som den analytiska utvidgningen av den reella logaritmen till hela det komplexa planet. Låt kurvan Γ börja vid enhet, inte passera genom noll och inte skära den negativa delen av den reella axeln. Sedan logaritmens huvudvärde vid slutpunkten w kurvan Γ kan bestämmas med formeln:

Om Γ är en enkel kurva (utan självkorsningar), kan logaritmiska identiteter användas utan rädsla för siffrorna som ligger på den, till exempel

Om kurvan Γ tillåts skära den negativa delen av den reella axeln, överför den första sådan skärningspunkten resultatet från huvudvärdegrenen till den intilliggande grenen, och varje efterföljande skärning orsakar en liknande förskjutning längs grenarna av den logaritmiska funktionen ( se figur).

Av den analytiska fortsättningsformeln följer det på vilken gren av logaritmen som helst

För vilken cirkel som helst S, täckande punkt 0:

Integralen tas i positiv riktning (moturs). Denna identitet ligger till grund för teorin om rester.

Du kan också definiera den analytiska fortsättningen av den komplexa logaritmen med hjälp av ovanstående serie (1), generaliserad till fallet med ett komplext argument. Men av typen av expansion följer det att den vid enhet är lika med noll, det vill säga serien relaterar endast till huvudgrenen av den flervärdiga funktionen av den komplexa logaritmen.

2.4. Riemann yta

En komplex logaritmisk funktion är ett exempel på en Riemann-yta; dess imaginära del (fig. 3) består av ett oändligt antal grenar vridna i form av en spiral. Denna yta är helt enkelt ansluten; dess enda noll (av första ordningen) erhålls vid z= 1, singular punkter: z= 0 och (grenpunkter av oändlig ordning).

Riemannytan på logaritmen är den universella täckningen för det komplexa planet utan punkten 0.

3. Historisk skiss

3.1. Verklig logaritm

Behovet av komplexa beräkningar växte snabbt under 1500-talet och mycket av svårigheten handlade om att multiplicera och dividera flersiffriga tal och slå rötter. I slutet av århundradet kom flera matematiker, nästan samtidigt, på idén: att ersätta arbetsintensiv multiplikation med enkel addition, med hjälp av speciella tabeller för att jämföra de geometriska och aritmetiska progressionerna, där den geometriska är den ursprungliga. Då ersätts division automatiskt av den omätligt enklare och mer tillförlitliga subtraktionen och extrahera roten till graden n handlar om att dividera logaritmen för det radikala uttrycket med n. Han var den första att publicera denna idé i sin bok " Aritmetica integra"Michael Stiefel, som dock inte gjorde några seriösa ansträngningar för att genomföra sin idé.

År 1614 publicerade den skotske amatörmatematikern John Napier en uppsats på latin med titeln " Beskrivning av den fantastiska tabellen med logaritmer"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Den innehöll en kort beskrivning av logaritmer och deras egenskaper, samt 8-siffriga tabeller över logaritmer för sinus, cosinus och tangenter, med steget 1". Term logaritm, föreslagit av Napier, har etablerat sig inom vetenskapen. Napier beskrev teorin om logaritmer i sin andra bok " Bygga en fantastisk logaritmtabell"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), publicerad postumt 1619 av hans son.

Funktionsbegreppet existerade ännu inte, och Napier definierade logaritmen kinematiskt och jämförde enhetlig och logaritmiskt långsam rörelse; till exempel definierade han logaritmen för sinus enligt följande:

Logaritmen för en given sinus är ett tal som alltid ökade aritmetiskt i samma takt som den totala sinusen började minska geometriskt.

I modern notation kan Napiers kinematiska modell representeras av differentialekvationen: dx/x = -dy/M, där M är en skalfaktor införd för att säkerställa att värdet visar sig vara ett heltal med det erforderliga antalet siffror (decimalbråk användes ännu inte i stor utsträckning). Napier tog M = 10000000.

Strängt taget tabellerade Napier fel funktion, som nu kallas logaritmen. Om vi ​​betecknar dess funktion LogNap(x), så är den relaterad till den naturliga logaritmen enligt följande:

Uppenbarligen är LogNap(M) = 0, det vill säga logaritmen för "full sinus" är noll - detta är vad Napier uppnådde med sin definition. .

Den huvudsakliga egenskapen hos Napier-logaritmen: om kvantiteter bildar en geometrisk progression, bildar deras logaritmer en aritmetisk progression. Logaritmreglerna för neper-funktionen skilde sig dock från reglerna för den moderna logaritmen.

Till exempel, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Tyvärr innehöll alla värden i Napiers tabell ett beräkningsfel efter den sjätte siffran. Detta hindrade dock inte den nya beräkningsmetoden från att vinna stor popularitet, och många europeiska matematiker, inklusive Kepler, började sammanställa logaritmiska tabeller. Bara 5 år senare, 1619, Londons matematiklärare John Spidell ( John Speidell) återutgav Napiers tabeller, transformerade så att de i praktiken blev tabeller med naturliga logaritmer (även om Spidell behöll skalningen till heltal). Termen "naturlig logaritm" föreslogs av den italienske matematikern Pietro Mengoli ( Pietro Mengoli)) i mitten av 1500-talet.

På 1620-talet uppfann Edmund Wingate och William Oughtred den första linjalen, före tillkomsten av fickräknare - ett oumbärligt ingenjörsverktyg.

En nära modern förståelse av logaritmisering - som den omvända operationen av att höja till en makt - dök först upp hos Wallis och Johann Bernoulli, och legitimerades slutligen av Euler på 1700-talet. I boken "Introduction to the Analysis of Infinites" (1748) gav Euler moderna definitioner av både exponentiella och logaritmiska funktioner, utökade dem till potensserier och noterade särskilt den naturliga logaritmens roll.

Euler är också krediterad för att utöka den logaritmiska funktionen till den komplexa domänen.

3.2. Komplex logaritm

De första försöken att utvidga logaritmer till komplexa tal gjordes vid sekelskiftet 1600- och 1700-talet av Leibniz och Johann Bernoulli, men de misslyckades med att skapa en holistisk teori, främst för att själva begreppet logaritm ännu inte var klart definierat. Diskussionen om denna fråga ägde rum först mellan Leibniz och Bernoulli, och i mitten av 1700-talet - mellan d'Alembert och Euler. Bernoulli och d'Alembert ansåg att det borde bestämmas log(-x) = log(x). Den fullständiga teorin om logaritmer för negativa och komplexa tal publicerades av Euler 1747-1751 och skiljer sig i huvudsak inte från den moderna.

Även om tvisten fortsatte (D'Alembert försvarade sin åsikt och argumenterade i detalj i en artikel i hans Encyclopedia och i andra verk), fick Eulers synvinkel snabbt allmänt erkännande.

4. Logaritmiska tabeller

Logaritmiska tabeller

Av logaritmens egenskaper följer att istället för arbetsintensiv multiplikation av flersiffriga tal, räcker det att hitta (från tabeller) och addera deras logaritmer, och sedan använda samma tabeller för att utföra potentiering, det vill säga hitta värdet av resultatet från dess logaritm. Att göra division skiljer sig bara genom att logaritmer subtraheras. Laplace sa att uppfinningen av logaritmer "förlängde livet för astronomer" genom att kraftigt påskynda beräkningsprocessen.

När du flyttar decimaltecknet i ett tal till n siffror ändras värdet på decimallogaritmen för detta tal till n. Till exempel log8314.63 = log8.31463 + 3. Av detta följer att det räcker med att sammanställa en tabell med decimallogaritmer för tal i intervallet 1 till 10.

De första logaritmtabellerna publicerades av John Napier (1614), och de innehöll endast logaritmer av trigonometriska funktioner och med fel. Oberoende av honom publicerade Joost Burgi, en vän till Kepler, sina tabeller (1620). År 1617 publicerade Oxford matematikprofessor Henry Briggs tabeller som redan inkluderade decimallogaritmer för själva talen, från 1 till 1000, med 8 (senare 14) siffror. Men det fanns också fel i Briggs tabeller. Den första felfria utgåvan baserad på Vega-tabellerna (1783) kom först 1857 i Berlin (Bremiwer-tabeller).

I Ryssland publicerades de första logaritmtabellerna 1703 med deltagande av L. F. Magnitsky. Flera samlingar av logaritmtabeller publicerades i Sovjetunionen.

• Bradis V.M. Fyrsiffriga matematiska tabeller. 44:e upplagan, M., 1973.

Bradis-tabeller (1921) användes i läroanstalter och i tekniska beräkningar som inte krävde stor noggrannhet. De innehöll mantissor av decimallogaritmer av tal och trigonometriska funktioner, naturliga logaritmer och några andra användbara beräkningsverktyg.

• Vega G. Tabeller över sjusiffriga logaritmer, 4:e upplagan, M., 1971.

Professionell samling för exakta beräkningar.

• Femsiffriga tabeller över naturliga värden för trigonometriska storheter, deras logaritmer och logaritmer för tal, 6:e upplagan, M.: Nauka, 1972.
• Tabeller över naturliga logaritmer, 2:a upplagan, i 2 volymer, M.: Nauka, 1971.

Nuförtiden, med spridningen av miniräknare, har behovet av att använda logaritmtabeller försvunnit.

M, Feature (komplex analys).

De grundläggande egenskaperna för logaritmen, logaritmgraf, definitionsdomän, värdeuppsättning, grundläggande formler, ökande och minskande anges. Att hitta derivatan av en logaritm övervägs. Samt integral, potensserieexpansion och representation med hjälp av komplexa tal.

Innehåll

Domän, uppsättning värden, ökande, minskande

Logaritmen är en monoton funktion, så den har inga extrema. De huvudsakliga egenskaperna för logaritmen presenteras i tabellen.

Domän	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Värdeintervall	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monoton	monotont ökar	monotont minskar
Nollor, y = 0	x = 1	x = 1
Skär punkter med ordinataaxeln, x = 0	Nej	Nej
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Privata värderingar

Logaritmen till bas 10 kallas decimallogaritm och betecknas enligt följande:

Logaritm till bas e kallad naturlig logaritm:

Grundformler för logaritmer

Egenskaper för logaritmen som härrör från definitionen av den inversa funktionen:

Den huvudsakliga egenskapen hos logaritmer och dess konsekvenser

Formel för basersättning

Logaritm är den matematiska operationen att ta en logaritm. När man tar logaritmer omvandlas produkter av faktorer till summor av termer.
Potentiering är den matematiska operationen invers till logaritm. Under potentiering höjs en given bas till den uttrycksgrad över vilken potentiering utförs. I detta fall omvandlas termernas summor till produkter av faktorer.

Bevis på grundläggande formler för logaritmer

Formler relaterade till logaritmer följer av formler för exponentialfunktioner och från definitionen av en invers funktion.

Betrakta egenskapen för exponentialfunktionen
.
Sedan
.
Låt oss tillämpa egenskapen för exponentialfunktionen
:
.

Låt oss bevisa basersättningsformeln.
;
.
Om vi ​​antar att c = b har vi:

Omvänd funktion

Inversen av en logaritm till basen a är en exponentiell funktion med exponent a.

Om då

Om då

Derivat av logaritm

Derivata av logaritmen av modul x:
.
Derivata av n:e ordningen:
.
Härleda formler > > >

För att hitta derivatan av en logaritm måste den reduceras till basen e.
;
.

Väsentlig

Integralen av logaritmen beräknas genom att integrera med delar: .
Så,

Uttryck som använder komplexa tal

Tänk på den komplexa talfunktionen z:
.
Låt oss uttrycka ett komplext tal z via modul r och argument φ :
.
Sedan, med hjälp av egenskaperna hos logaritmen, har vi:
.
Eller

Men argumentet φ inte unikt definierad. Om du sätter
, där n är ett heltal,
då blir det samma nummer för olika n.

Därför är logaritmen, som funktion av en komplex variabel, inte en funktion med ett värde.

Power serie expansion

När utbyggnaden sker:

Referenser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbok i matematik för ingenjörer och studenter, "Lan", 2009.

Se även:

Naturliga logaritmer

För derivatan av den naturliga logaritmen är en enkel formel giltig:

Av denna anledning används naturliga logaritmer främst inom matematisk forskning. De dyker ofta upp när man löser differentialekvationer ekvationer, studie av statistiska beroenden (till exempel distributioner av enkla siffror) osv.

När jämställdheten är sann

Denna serie konvergerar snabbare, och dessutom kan den vänstra sidan av formeln nu uttrycka logaritmen för ett positivt tal.

Samband med decimallogaritmen: .

Decimallogaritmer

Ris. 2. Logaritmisk skala

Logaritmer till bas 10 (symbol: lg a) före uppfinningen miniräknare används ofta för datoranvändning. Ojämn skala Decimallogaritmer ritas vanligtvis på glidregler. En liknande skala används ofta inom olika vetenskapsområden, till exempel:

Fysik- ljudintensitet ( decibel).

Astronomi- skala stjärnans ljusstyrka.

Kemi- aktivitet väte joner (pH).

Seismologi - Richterskalan.

Musikteori- tonskala, i förhållande till tonljuds frekvenser.

Berättelse - logaritmisk tidsskala.

Den logaritmiska skalan används också flitigt för att identifiera exponenten i maktrelationer och koefficienten i exponenten. I det här fallet tar en graf konstruerad på en logaritmisk skala längs en eller två axlar formen av en rät linje, vilket är lättare att studera.

Logaritmisk funktion

En logaritmisk funktion är en funktion av formen f(x) = log a x, definierad vid

Utforska den logaritmiska funktionen

Domän:

Omfattning:

Grafen för en logaritmisk funktion går genom punkten (1;0)

Derivatan av den logaritmiska funktionen är lika med:

Bevis [show]

I. Låt oss bevisa det

Låt oss skriva ner identiteten e ln x = x och skilja på dess vänstra och högra sida

Det förstår vi , varav det följer att

II. Låt oss bevisa det

Funktionen ökar strikt kl a> 1 och strikt minskande vid 0 a

Hetero x= 0 är kvar vertikal asymptot, eftersom kl a> 1 och vid 0 a

Komplex logaritm

Flervärdig funktion

För komplexa tal Logaritmen definieras på samma sätt som en verklig. Låt oss börja med den naturliga logaritmen, som vi betecknar och definierar som mängden av alla komplexa tal z Så att e z = w. Den komplexa logaritmen finns för alla , och dess reella del bestäms unikt, medan den imaginära delen har ett oändligt antal värden. Av denna anledning kallas det en funktion med flera värden. Om du föreställer dig w i demonstrationsform:

då hittas logaritmen av formeln:

Här är den verkliga logaritmen, r = | w | , k- slumpmässig heltal. Värdet som erhålls när k= 0, anropad huvudvikt komplex naturlig logaritm; det är vanligt att ta värdet av argumentet i intervallet (− π,π]. Motsvarande (redan enkelvärdig) funktion kallas huvudgren logaritm och betecknas med . Ibland betecknar de också ett logaritmvärde som inte finns på huvudgrenen.

Från formeln följer:

Den reella delen av logaritmen bestäms av formeln:

Logaritmen för ett negativt tal hittas av formeln:

Exempel (huvudvärdet för logaritmen anges):

Komplexa logaritmer med en annan bas behandlas på liknande sätt. Man bör dock vara försiktig när man konverterar komplexa logaritmer, med hänsyn till att de har flera värden, och därför innebär inte likheten mellan logaritmerna för alla uttryck att dessa uttryck är lika. Exempel på felaktigt resonemang:

iπ = ln(− 1) = ln((− i) 2) = 2ln(− i) = 2(− iπ / 2) = − iπ är en uppenbar absurditet.

Observera att till vänster finns huvudvärdet för logaritmen, och till höger är värdet från den underliggande grenen ( k= − 1). Orsaken till felet är den vårdslösa användningen av egenskapen, vilket generellt sett innebär i det komplexa fallet hela den oändliga uppsättningen av logaritmvärden, och inte bara huvudvärdet.

Riemann yta

Komplex logaritmisk funktion - exempel Riemann yta; dess imaginära del (fig. 3) består av ett oändligt antal grenar, vridna som en spiral. Denna yta helt enkelt ansluten; dess enda noll (av första ordningen) erhålls vid z= 1, singular punkter: z= 0 och (grenpunkter av oändlig ordning).

Riemannytan av en logaritm är universell täckning för det komplexa planet utan punkt 0.

Historisk skiss

Verklig logaritm

Behovet av komplexa beräkningar i XVI-talet växte snabbt, och mycket av svårigheten var förknippad med att multiplicera och dividera flersiffriga tal. I slutet av århundradet kom flera matematiker, nästan samtidigt, på en idé: att ersätta arbetsintensiv multiplikation med enkel addition, jämföra med hjälp av speciella tabeller geometrisk Och aritmetisk progression, medan den geometriska kommer att vara den ursprungliga. Då ersätts division automatiskt av den omätligt enklare och mer pålitliga subtraktionen. Han var den första att publicera denna idé i sin bok " Aritmetica integra» Michael Stiefel, som dock inte gjorde seriösa ansträngningar för att genomföra sin idé.

I 1614 Skotsk amatörmatematiker John Napier publicerade en uppsats på latin med titeln " Beskrivning av den fantastiska tabellen med logaritmer" Den innehöll en kort beskrivning av logaritmer och deras egenskaper, samt 8-siffriga tabeller med logaritmer bihålor, cosinus Och tangenter, i steg om 1". Term logaritm, föreslagit av Napier, har etablerat sig inom vetenskapen.

Konceptet med en funktion existerade ännu inte, och Napier definierade logaritmen kinematiskt, jämför enhetlig och logaritmiskt långsam rörelse. I modern notation kan Napiers modell representeras av differentialekvationen: dx/x = -dy/M, där M är en skalfaktor införd för att säkerställa att värdet visar sig vara ett heltal med det erforderliga antalet siffror (decimalbråk användes ännu inte i stor utsträckning). Napier tog M = 10000000.

Strängt taget tabellerade Napier fel funktion, som nu kallas logaritmen. Om vi ​​betecknar dess funktion LogNap(x), så är den relaterad till den naturliga logaritmen enligt följande:

Uppenbarligen är LogNap(M) = 0, det vill säga logaritmen för "full sinus" är noll - detta är vad Napier uppnådde med sin definition. LogNap(0) = ∞.

Huvudegenskapen för Napier-logaritmen: om kvantiteterna bildas geometrisk progression, sedan bildar deras logaritmer en progression aritmetisk. Logaritmreglerna för neper-funktionen skilde sig dock från reglerna för den moderna logaritmen.

Till exempel, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Tyvärr innehöll alla värden i Napiers tabell ett beräkningsfel efter den sjätte siffran. Detta hindrade dock inte den nya beräkningsmetoden från att vinna stor popularitet, och många europeiska matematiker, bl.a. Kepler.

På 1620-talet Edmund Wingate och William Oughtred uppfann den första räknesticka, före tillkomsten av fickräknare, ett oumbärligt ingenjörsverktyg.

Nära den moderna förståelsen av logaritm - som en invers operation exponentiering- dök först upp i Wallis Och Johann Bernoulli, och blev slutligen legaliserad Euler V XVIII-talet. I boken "Introduction to the Analysis of Infinite" ( 1748 ) Euler gav moderna definitioner som indikativ, och logaritmiska funktioner, förde deras expansion till potensserier och noterade särskilt den naturliga logaritmens roll.

Euler är också krediterad för att utöka den logaritmiska funktionen till den komplexa domänen.

Komplex logaritm

De första försöken att utvidga logaritmer till komplexa tal gjordes vid sekelskiftet 1600- och 1700-talet Leibniz Och Johann Bernoulli, men de misslyckades med att skapa en fullständig teori - främst av den anledningen att själva begreppet logaritm ännu inte var klart definierat. Diskussionen i denna fråga ägde först rum mellan Leibniz och Bernoulli, och i mitten av 1700-talet - mellan kl. d'Alembert och Euler. Bernoulli och d'Alembert ansåg att det borde bestämmas log(-x) = log(x). Den fullständiga teorin om logaritmer för negativa och komplexa tal publicerades av Euler 1747-1751 och skiljer sig i huvudsak inte från den moderna.

Även om tvisten fortsatte (D'Alembert försvarade sin åsikt och argumenterade i detalj i en artikel i hans Encyclopedia och i andra verk), fick Eulers synvinkel snabbt allmänt erkännande.

Logaritmiska tabeller

Logaritmiska tabeller

Av logaritmens egenskaper följer att istället för arbetskrävande multiplikation av flersiffriga tal räcker det att hitta (från tabeller) och lägga till deras logaritmer och sedan använda samma tabeller för att utföra potentiering, det vill säga hitta värdet på resultatet genom dess logaritm. Att göra division skiljer sig bara genom att logaritmer subtraheras. Laplace sade att uppfinningen av logaritmer "förlängde livet för astronomer", vilket påskyndade beräkningsprocessen många gånger om.

När du flyttar decimaltecknet i ett tal till n siffror ändras värdet på decimallogaritmen för detta tal till n. Till exempel log8314.63 = log8.31463 + 3. Det följer att det räcker att skapa en tabell med decimallogaritmer för tal i intervallet 1 till 10.

De första logaritmtabellerna publicerades av John Napier ( 1614 ), och de innehöll endast logaritmer av trigonometriska funktioner och med fel. Oberoende av honom publicerade Joost Bürgi, en vän, sina tabeller Kepler (1620 ). I 1617 Oxford matematik professor Henry Briggs publicerade tabeller som redan inkluderade decimallogaritmer för själva talen, från 1 till 1000, med 8 (senare 14) siffror. Men det fanns också fel i Briggs tabeller. Första felfria utgåvan baserad på Vega-tabellerna ( 1783 ) dök endast upp i 1857 i Berlin (Bremiwer-bord).

I Ryssland publicerades de första logaritmtabellerna i 1703 huvudrollen L. F. Magnitsky. Flera samlingar av logaritmtabeller publicerades i Sovjetunionen.

Bradis V.M. Fyrsiffriga matematiska tabeller. 44:e upplagan, M., 1973.

Bradis bord ( 1921 ) användes i utbildningsinstitutioner och i tekniska beräkningar som inte kräver stor noggrannhet. De innehöll mantissa decimallogaritmer av tal och trigonometriska funktioner, naturliga logaritmer och några andra användbara beräkningsverktyg.

Litteratur

Uspensky Ya. V. Essä om logaritmernas historia. Petrograd, 1923. −78 sid.

Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6

History of Mathematics, redigerad av A. P. Jusjkevitj i tre band, M.: Nauka.

Volym 1 Från antiken till början av modern tid. (1970) psykologi som en oberoende vetenskap (2) Sammanfattning >> Psykologi

Huvudmål för ämnet berättelser psykologi 1. Analys uppkomst och vidareutveckling... sensationer är proportionella logaritm stimulansintensitet: för... att utföra en handling, betingad uppkomst behovet av att lösa ett problem; -mål...

• Berättelse psykologi (10)

  Sammanfattning >> Psykologi

  Blev ursprunget till psykofysiken. Tabell logaritmer visade sig vara applicerbar på mentala fenomen... som instinkternas rötter går till historia arter, utan dem, vid liv... trasiga”, motsvarande vilket smärtsamt fenomen som helst. Uppkomst nya riktningar inom psykologi, sociologi...

• Berättelse psykologi som en oberoende vetenskap (1)

  Fuskblad >> Psykologi

  Aktiviteter: Huvudmål med ämnet berättelser psykologi 1. Dialys uppkomst och vidareutveckling av vetenskaplig kunskap... är att känslans intensitet är proportionell logaritm stimulansintensitet: för att...

• Berättelse socialpsykologi (2)

  Fuskblad >> Psykologi

  Att sensationens storlek är proportionell logaritm intensiteten av den nuvarande stimulansen (... XX-talet för första gången i berättelser psykologer försökte experimentellt undersöka... identifiera orsaker och specifika tillstånd uppkomst neuroser, separation i en speciell...

Logaritmisk funktion

En logaritmisk funktion är en funktion av formen f(x) = logax, definierad vid

Domän: . Värdeintervall: . Funktionen ökar strikt för a > 1 och strängt minskande för 0< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Den räta linjen x = 0 är en vänster vertikal asymptot, eftersom för a > 1 och för 0< a < 1.

Derivatan av den logaritmiska funktionen är lika med:

Den logaritmiska funktionen utför en isomorfism mellan den multiplikativa gruppen av positiva reella tal och den additiva gruppen av alla reella tal.

Komplex logaritm

Definition och egenskaper

För komplexa tal definieras logaritmen på samma sätt som ett verkligt tal. I praktiken används den naturliga komplexa logaritmen nästan uteslutande, som vi betecknar och definierar som mängden av alla komplexa tal z så att ez = w. Den komplexa logaritmen finns för vem som helst, och dess verkliga del är unikt bestämd, medan den imaginära delen har ett oändligt antal värden. Av denna anledning kallas det en funktion med flera värden. Om vi ​​representerar w i exponentiell form:

då hittas logaritmen av formeln:

Här är en verklig logaritm, r = | w | , k är ett godtyckligt heltal. Värdet som erhålls när k = 0 kallas huvudvärdet för den komplexa naturliga logaritmen; Det är vanligt att ta värdet på argumentet i intervallet (? р,р]. Motsvarande (redan enkelvärdig) funktion kallas logaritmens huvudgren och betecknas. Ibland värdet på logaritmen som inte gör det ligga på huvudgrenen betecknas också med.

Från formeln följer:

Den reella delen av logaritmen bestäms av formeln:

Logaritmen för ett negativt tal hittas med formeln.