Faktorisering. Separation av irreducerbara multipler av ett polynom Multipler av ett polynom online

Definition 14.1. Låta F- fält. Polynom f(x)=a 0 x n +a 1 x n - 1 +…+a n - 1 x+a n F[x]kallas normaliserats eller given, Om A 0 = 1.

Följd 14.1.1. Varje polynom f med positiv grad över ett fält F kan representeras i formen: f=a 0 ·p 1 (x) · … ·p r (x), där a 0 F #, p 1,...,p r är normaliserade polynom oreducerbar över F.

Anmärkning 14.1. Låta f(x) F[x], F - fält, degf(x)>0. Sedan av följd 14.1.1 f(x)=a 0 · … ·p 1 (x)· … ·p r (x)(1), var a 0 F #, p 1 (x),...,p r (x) - oreducerbar över F normaliserade polynom. Det är möjligt att bland polynomen p 1,...,p r det finns lika . Genom att multiplicera lika faktorer i (1) får vi en likhet i formen f(x)=а 0 ·p 1 k 1 · … ·p s k s .

Definition 14.2. Låta f(x) F[x],F- fält, grader f(x)>0. Polynomrepresentation f(x) som f(x)=a 0 · p 1 k 1 · … · p s k s (2), Var a 0 F # , p 1, …, p s- parvis distinkta irreducibles över ett fält F normaliserade polynom, k i ≥1, i=,kallad kanonisk representation polynom f, siffra k i kallad multipliciteten av faktorn pi, i=. Om k i = 1, då p i kallas en enkel irreducerbar faktor av polynomet f.

Följd 14.2.Låt f(x), g(x) F[x], F-fält, f(x)=a 0 p 1 k 1 · … ·p s k s , g(x)=b 0 ·p 1 l 1 · … ·p s l s , där a 0 ,b 0 F # , p 1 , …,p s – parvis distinkta normaliserade polynom irreducerbara över F, k i 0,l jag 0, i= . Då (f,g)=p 1 γ 1 · p 2 γ 2 · … · p s γ s , där γ i = min{k i, l i} , jag= ,[f,g]= p 1 5 1 · p 2 δ 2 · … · p s δ s, där δ i = max(ki, li), i=.

Definition 14.3. Låta f(x) F[x], F- associativ-kommutativ ring med identitet, Med- rot f(x). siffra k kallad mångfald rot c polynom f(x), Om

f (x-s) k, Men f (x-c) k+ 1 .

I det här fallet skriver de (x-c) k ┬ f(x) - denna post betyder det (x-c) k– det här är den högsta graden (x-s), som delar f(x).

Anmärkning 14.2. Om k = 1, då Med kallas en enkel rot av ett polynom f(x).

Låta f(x) F[x],F- fält. Låt oss sätta oss på uppgiften att separera alla de multipla irreducerbara faktorerna i polynomet f(x). För att göra detta bevisar vi följande teorem. Polynom f(x) F[x], där F är ett fält, har inga multipla irreducerbara faktorer av multiplicitet k > 1(f,f ")= 1.

Följd 14.2.3.Flera irreducerbara faktorer för polynomet f F[x] är exakt de irreducerbara faktorerna för polynomet d(x)=(f,f ").

Slutsats: Alltså problemet med att separera flera irreducerbara faktorer i ett polynom f(x) kommer till att hitta d=(f,f ") och utvidgning av polynomet d genom multiplikatorer. Separera i sin tur de multipla irreducerbara faktorerna för polynomet d(x) möjligt genom att hitta d 1 =(d,d ") etc.

Definition 1. Om polynomet f(x) försvinner när talet c ersätts med det okända, kallas c roten till polynomet f(x) (eller ekvationen f(x)=0).

Exempel 1. f(x)=x5 +2x3-3x.

Talet 1 är roten av f(x), och talet 2 är inte roten av f(x), eftersom f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0, och f(2) )=2 5 + 2∙2 3 -3∙2=42≠0.

Det visar sig att rötterna till ett polynom är relaterade till dess divisorer.

Ett tal c är en rot av polynomet f(x) om och endast om f(x) är delbart med x-c.

Definition 2. Om c är roten till polynomet f(x), så divideras f(x) med x-c. Sedan finns det ett naturligt tal k så att f(x) är delbart med (x-c) k, men inte delbart med (x-c) k+1. Detta tal k kallas multipliciteten av roten c av polynomet f(x), och själva roten c är den k-faldiga roten av detta polynom. Om k=1, så kallas roten c enkel.

För att hitta multipliciteten k av roten av polynomet f(x), använd satsen:

Om talet c är k-faldsroten av polynomet f(x), så kommer det för k>1 att vara (k-1)-faldsroten av den första derivatan av detta polynom; om k=1, kommer c inte att fungera som en rot för f "(x).

Följd. För första gången kommer den k-faldiga roten av polynomet f(x) inte att fungera som en rot för den k:te derivatan.

Exempel 2. Se till att talet 2 är roten till polynomet f(x)=x 4 -4x 3 +16x-16. Bestäm dess mångfald.

Lösning. Talet 2 är roten till f(x), eftersom 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.

f "(x)=4x3 -12x2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;

f ""(x)=12x2 -24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;

f """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.

Talet 2 är inte roten av f"""(x) för första gången, så talet 2 är en trippelrot av polynomet f(x).

Låt ett polynom f(x) av grad n≥1 med den ledande koefficienten 1 ges: f(x)=x n +a 1 x n -1 +...+a n -1 x+a n och α 1 ,... ,α n är dess rötter. Rötterna till ett polynom och dess koefficienter är relaterade till formler som kallas Vieta-formler:

a 1 = -(α 1 +...+α n),

a2 =a 1 α 2 +...+α n-1 α n,

a3 = -(a 1 a 2 α 3 +...+α n-2 α n-1 α n),

...........................

an=(-1)na1a2 ...an.

Vietas formler gör det lättare att skriva ett polynom med tanke på dess rötter.

Exempel 3. Hitta ett polynom med enkla rötter 2; 3 och dubbelroten –1.

Lösning. Låt oss hitta koefficienterna för polynomet:

och 1 =– (2+3–1–1) = -3,

a 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,

a 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7 ,

och 4 =3·2·(–1)·(–1)=6.

Det obligatoriska polynomet är x 4 –3x​3 –3x 2 –7x+6.

Definition 3. Ett polynom f(x)ÌP[x] av grad n är reducerbart över ett fält P om det kan dekomponeras i produkten av två faktorer φ(x) och ψ(x) från P[x], vars grader är mindre än n:

f(x)=φ(x)ψ(x). (1)

f(x)ОP[x] kallas irreducerbar över fältet P om i någon av dess faktoriseringar från P[x] en av faktorerna har grad 0, den andra har grad n.

Följande satser gäller:

Vilket polynom som helst av grad f(x) som inte är noll från ringen P[x] kan dekomponeras till en produkt av irreducerbara faktorer från P[x] unikt upp till faktorer av grad noll.

Det följer lätt av detta att för varje polynom f(х)ОР[x] av grad n, n≥1, finns följande nedbrytning till irreducerbara faktorer:

där är irreducerbara polynom i P[x] med inledande koefficienter lika med en. Denna expansion för ett polynom är unik.

De irreducerbara faktorerna som ingår i en sådan expansion behöver inte alla vara olika. Om ett irreducerbart polynom uppträder exakt k gånger i expansion (2), så kallas det en k-faldig faktor av polynomet f(x) Om faktorn P(x) endast förekommer i denna expansion, kallas den a enkel faktor för f(x) .

Om i expansion (2) identiska faktorer sätts samman, kan denna expansion skrivas i följande form:

, (3)

där faktorerna Р 1 (x),..., Р r (x) redan är olika. Indikatorerna k 1 ,...,k r här är lika med multipliciteten av motsvarande faktorer. Expansion (3) kan skrivas som:

där F 1 (x) är produkten av alla enkla irreducerbara faktorer, är produkten av alla dubbla irreducerbara faktorer osv. i expansion (3). Om det inte finns några m-faldiga faktorer i expansion (3), så anses faktorn vara lika med en.

Polynomen F 1 (x),..., F s (x) för polynomet f(x) över talfält kan hittas med hjälp av begreppet derivata, den euklidiska algoritmen från den tidigare formulerade satsen (om sambandet med derivatan) som följer:

Därför får vi

För polynomet f(x) kan vi alltså hitta faktorerna .

Om det för ett polynom f(x) är nödvändigt att hitta faktorerna F 1 (x),...,F s (x) för dess expansion (4), så säger de att det är nödvändigt att separera dess multipla faktorer.

Exempel 4. Separera flera faktorer f(x)=x 5 -x 4 -5x 3 +x 2 +8x+4.

Lösning. Hitta gcd f(x) och f "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8.

dl (x)=[f(x), f"(x)]=x3-3x-2.

Nu hittar vi d 2 (x)=(d 1 (x), d 1 " (x)).

Vi uttrycker v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x).

(vi gör division).

v1(x)=x2-x-2.

(vi gör division).

Därför får vi F 3 (x)=v 3 (x)=x+1,

Således har polynomet f(x) expansionen f(x)=(x-2) 2 (x+1) 3. I expansion (3) av polynomet f(x) finns inga primtalsfaktorer, en dubbelfaktor är x-2 och en trefaldig faktor är x+1.

Anteckning 1. Denna metod ger ingenting om alla irreducerbara faktorer för polynomet f(x) är enkla (vi får identiteten f(x) = F 1 (x)).

Anteckning 2. Denna metod låter dig bestämma multipliciteten av alla rötter i ett godtyckligt polynom.

LABORATORIEARBETSALTERNATIV

Alternativ 1

1. Se till att polynomet 3x 4 -5x 3 +3x 2 +4x-2 har en rot 1+i. Hitta de återstående rötterna av polynomet.

2. Separera multiplerna av x 5 +5x 4 -5x 3 -45x 2 +108.

3. Hitta polynomet av den minsta graden vars rötter är: 5, i, i+3.

Alternativ 2

1. Vad är multipliciteten av roten x 0 = 2 för polynomet f(x) = x 5 -7x 4 +12x 3 +16x 2 -64x+48? Hitta resten av dess rötter.

2. Separera multiplar av x 5 -6x 4 +16x 3 -24x 2 +20x-8.

3. Bestäm sambandet mellan koefficienterna för ekvationen x 3 +px+q=0, om dess rötter x 1, x 2, x 3 uppfyller sambandet.

Alternativ 3

1. Vad är multipliciteten av roten x 0 = 4 för polynomet x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16? Hitta de återstående rötterna.

2. Separera multiplerna x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4.

3. Bestäm λ så att en av rötterna i ekvationen är lika med två gånger den andra: x 3 -7x+λ=0.

Alternativ 4

1. Visa att x=3 är roten till polynomet f(x)=x 4 -6x 3 +10x 2 -6x+9. Bestäm dess mångfald och hitta de återstående rötterna.

2. Separera multipelfaktorerna för polynomet x 5 +6x 4 +13x 3 +14x 2 +12x+8.

3. Summan av två rötter i ekvationen 2x 3 - x 2 -7x+λ=0 är lika med 1. Hitta λ.

Alternativ 5

1. Visa att x 0 = -2 är roten till polynomet x 4 + x 3 -18x 2 -52x-40. Bestäm dess mångfald och hitta de återstående rötterna.

2. Separera de multipla faktorerna för polynomet f(x) = x 5 -5x 4 -5x 3 +45x 2 -108.

3. Hitta polynomet för den minsta graden givet rötterna 1, 2, 3, 1+i.

Alternativ 6

1. Hitta villkoret under vilket polynomet x 5 + ax 4 + b har en dubbelrot som skiljer sig från noll.

2. Separera multipelfaktorerna för polynomet x 6 +15x 4 -8x 3 +51x 2 -72x+27.

3. Polynomet a 0 x n +a 1 x n -1 +...+a n har rötter x 1, x 2,..., x n. Vilka rötter har polynomen: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +...+(-1) n a n ;

2) a n x n + a n-1 x n-1 +...+a 0 ?

Alternativ 7

1. Visa att x=-2 är roten till polynomet 4x 5 +24x 4 +47x 3 +26x 2 -12x-8. Hitta multipliciteten av roten och hitta de återstående rötterna av polynomet.

3. Hitta summan av kvadraterna av rötterna i ekvationen 2x 3 -2x 2 -4x-1.

Alternativ 8

1. Bevisa att x=1 är roten till polynomet x 6 -x 5 -4x 4 +6x 3 +x 2 -5x+2. Bestäm dess mångfald. Hitta de återstående rötterna av polynomet.

3. En av polynomets rötter är dubbelt så stor som den andra. Hitta rötterna till polynomet f(x)=x 3 -7x 2 +14x+λ.

Alternativ 9

1. Hitta villkoret under vilket polynomet x 5 +10ax 3 +5bx+c har en trippelrot som skiljer sig från noll.

2. Separera multipelfaktorerna för polynomet x 7 -3x 6 +5x 5 -7x 4 +7x 3 -5x 2 +3x-1.

3. Lös ekvationen x 3 -6x 2 +qx+2=0, om det är känt att dess rötter bildar en aritmetisk progression.

Alternativ 10

1. Visa att x=3 är roten till polynomet f(x)=x 4 -12x 3 +53x 2 -102x+72. Bestäm multipliciteten av roten, hitta andra rötter av polynomet.

2. Separera de multipla faktorerna för polynomet x 6 -4x 4 -16x 2 +16.

3. Hitta ett polynom med reella koefficienter av minsta grad givet rötterna 1, 2+i, 3.

Alternativ 11

1. Visa att x=2 är roten till polynomet x 5 -6x 4 +13x 3 -14x 2 +12x-8. Hitta dess mångfald och andra rötter.

2. Separera de multipla faktorerna för polynomet x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2.

3. Konstruera ett polynom av minsta grad om dess rötter x 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3 är kända.

Alternativ 12

1. Visa att x = -1 är roten till polynomet x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2. Hitta dess multiplicitet och de återstående rötterna av polynomet.

2. Separera de multipla faktorerna för polynomet x 5 -3x 4 +4x 3 -4x 2 +3x-1.

3. Konstruera ett polynom av minsta grad om dess rötter x 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2 är kända.

Alternativ 13

1. Vad är multipliciteten av roten x 0 = 4 för polynomet x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16? Hitta de återstående rötterna av polynomet.

2. Separera multipelfaktorerna för polynomet x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4.

3. Bestäm λ så att en av rötterna till ekvationen x 3 -7x+λ=0 är lika med två gånger den andra.

Relaterad information.

Den största gemensamma divisorn av flera polynom är deras gemensamma divisor som är en multipel av någon av deras gemensamma divisorer. Om

d= GCD(f 1 , … ,f n), så finns det sådana polynom u 1 , … ,u n, Vad

d = u 1 f 1 +… + u n f n .

Detta uttryck kallas den linjära GCD-representationen.

För att hitta gcd( f, g) och dess linjära representation används den euklidiska algoritmen. Den består av sekventiell division med resten av det första polynomet med det andra, sedan det andra med resten, etc. Den sista resten som inte är noll är GCD( f, g). Med hjälp av den resulterande kedjan av divisioner hittas en linjär representation.

Exempel 2.1. Hitta GCD( f, g

f=X 4 + 2X 3 –X 2 +x + 1;

g= 2X 3 –X – 1.

Lösning. Vi genomför en kedja av divisioner med resten:

R Divisionsresultaten skrivs i följande form:

f = g  (1/2 x+ 1) – ½ r 1 , r 1 = x 2 – 5x + 4;

g = r 1  (2x + 10) + 41r 2 , r 2 = x – 1; (*)

r 1 = r 2  (x – 4).

Sista återstoden som inte är noll r 2 =x– 1 är gcd( f, g). Vi hittar dess linjära representation med formler (*):

r 1 = 2f– 2g  (1/2 x + 1) = 2f – g  (x + 2);

41r 2 = g – r 1  (2x + 10) = g – (2f – g  (x + 2))  (2x + 10) =

= g– 2(2x+ 10)f+ (x+ 2)(2x+ 10)g= (4x+ 20)f+ (2x 2 + 14x+ 21)g;

GCD( f, g) = x – 1= r 2 =
f +
g.

Anmärkning: Om du inte behöver hitta en linjär representation av GCD behöver du inte ta hänsyn till de numeriska koefficienterna för de resulterande resterna under beräkningar, och de kan kasseras. För att undvika uppkomsten av bråk i beräkningar kan du multiplicera utdelningen med ett lämpligt heltal innan du utför divisionen.

Övning 2.1. Hitta GCD( f, g) och dess linjära representation:

A) f=X 6 – 4X 5 + 11X 4 – 27X 3 + 37X 2 – 35x + 35;

g=X 5 – 3X 4 + 7X 3 – 20X 2 + 10x – 25.

b) f = 4X 4 – 2X 3 – 16X 2 + 5x + 9;

g= 2X 3 –X 2 – 5X + 4.

3. Multiplar

Formell derivata av ett polynom f = a 0 + a 1 x + … + a n x növer fältet kallas F ett polynom f  = a 1 + 2a 2 x 2 + … + na n x n-1 , var för kN,aVi har
.

Polynom f Och g kallas associerade om de är multiplar av varandra. Polynom föver en ring sägs K vara reducerbar över K om den inte är noll och kan representeras som produkten av två irreversibla polynom. Polynom f kallas irreducerbar över K om den är irreducerbar över K och någon divisor av den är associerad med f eller 1. Endast polynom med positiv grad är irreducerbara över ett fält. Ett polynom över ett fält sönderdelas till en produkt av irreducibles, och denna nedbrytning är unik upp till ordning och association.

Polynom f har en irreducerbar faktor sid mångfald k, Om fsid k ,fsid k+1. En multiplikator kallas en multipel om dess multipel är större än 1.

Sats 3.1. Om ett polynom f har en irreducerbar faktor över fältet sid mångfald k, Den där sid– oreducerbar multiplicitetsfaktor k–1 för f .

Detta teorem hjälper till att lösa problemet med att separera multipler av ett polynom f och faktorisering med detta polynom. För att göra detta hittar vi GCD( f, f ) =d. Polynom d består av multiplar av ett polynom f, som var och en ingår i d med en multiplicitet av 1 mindre än i f. Om du kan sönderdela d till faktorer, då bestäms alla multipla faktorer i polynomet f, och uppgiften att faktorisera det blir lättare. Annars kan vi betrakta polynomet
. Den består av alla primtalsfaktorer i polynomet f, taget med multipliciteten 1. Om detta polynom inte kan expanderas, kan du till exempel hitta gcd( f 1 , d), eller tillämpa den beskrivna algoritmen på polynomet d.

Exempel 3.1. Faktorera ett polynom

f = x 5 – 15x 3 – 10x 2 + 60x+ 72.

Lösning. Vi räknar f = 5x 4 – 45x 2 – 20x+ 60 = 5(x 4 – 9x 2 – 4x+ 12). Eftersom vi inte behöver leta efter en linjär representation av GCD, kan numeriska koefficienter som inte är noll som härleds från polynomets koefficienter förkastas. Därför istället för f låt oss ta g =x 4 – 9x 2 – 4x+ 12. Efter att ha genomfört en kedja av divisioner med en återstod f på g enligt den euklidiska algoritmen får vi

f = xg – 6r 1 , r 1 = x 3 + x 2 – 8x– 12;

g = (x– 1)r 1 .

Därav, d = GCD( f, f ) =r 1 = x 3 +x 2 – 8x – 12. Eftersom graden av gcd är större än 2 och det är ganska svårt att faktorisera den, betraktar vi polynomet
=x 2 –x – 6 = (x– 3)(x+ 2). Därför att f 1 har grad 2 och det var möjligt att faktorisera den, då bestäms alla irreducerbara faktorer i polynomet f, och allt som återstår är att bestämma deras mångfald. Låt oss göra detta med Horners schema.

Svar: f= (x+ 2) 3 (x– 3) 2 .

Kommentar. Eftersom vi i processen att lösa helt bestämde alla primfaktorer för polynomet f, bestäm sedan multipliciteten av faktorn ( x– 3) enligt Horners schema var det inte nödvändigt: eftersom graden av polynomet är 5 och multipliciteten av den första faktorn av den första graden är 3, då måste multipliciteten av den andra faktorn vara lika med 2.

Övningar.

3.1. Faktorera polynomet:

A) f = x 6 – 6x 4 – 4x 3 + 9x 2 + 12x + 4;

b) f = x 5 – 6x 4 + 16x 3 – 24x 2 + 20x – 4.

3.2. Bevisa att polynomet x 2 n – nx n +1 +nx n –1 – 1 har talet 1 som en trippelrot.

Denna online-kalkylator är utformad för att faktorisera en funktion.

Faktorisera till exempel: x 2 /3-3x+12. Låt oss skriva det som x^2/3-3*x+12. Du kan också använda denna tjänst, där alla beräkningar sparas i Word-format.

Till exempel, dekomponera i termer. Låt oss skriva det som (1-x^2)/(x^3+x) . Klicka på Visa steg för att se lösningens framsteg. Om du behöver få resultatet i Word-format, använd den här tjänsten.

Notera: talet "pi" (π) skrivs som pi; kvadratrot som sqrt , till exempel sqrt(3) , tangent tg skrivs tan . För att se svaret, se Alternativ.

1. Om ett enkelt uttryck ges, till exempel 8*d+12*c*d, betyder faktorisering av uttrycket att uttrycket representeras i form av faktorer. För att göra detta måste du hitta gemensamma faktorer. Låt oss skriva detta uttryck som: 4*d*(2+3*c) .
2. Presentera produkten i form av två binomialer: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Här behöver du redan hitta flera vanliga faktorer: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Vi tar ut (x+7z) och får: (x+7z)(x + 3y) .

se även Division av polynom med ett hörn (alla steg för division med en kolumn visas)

Användbar när man studerar reglerna för faktorisering kommer att vara förkortade multiplikationsformler, med hjälp av vilken det blir tydligt hur man öppnar parentes med en fyrkant:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Faktoriseringsmetoder

1. Använda förkortade multiplikationsformler.
2. Att hitta en gemensam faktor.