Tröghetsmomentet för en kropp kring en godtycklig axel. Tröghetsmoment för en kropp i förhållande till en fast axel

När vi studerar stela kroppars rotation kommer vi att använda begreppet tröghetsmoment.

Låt oss dela upp kroppen i så små delar att var och en av dem kan betraktas som en materiell punkt. Låta m jag- vikt jag- den materiella punkten, r jag– dess avstånd till någon axel O.

Värdet lika med produkten av massan av en materialpunkt med kvadraten på dess kortaste avstånd till en given axel kallas tröghetsmomentet för materialpunkten i förhållande till axeln:

Summan av tröghetsmomenten för alla materiella punkter i kroppen kallas kroppens tröghetsmoment i förhållande till någon axel:

Tröghetsmomentet för en stel kropp beror, som det är lätt att se, på fördelningen av massor i förhållande till den axel som är av intresse för oss.

Om kroppen är en båge av massa m, vars tjocklek är liten jämfört med radien R, då är dess tröghetsmoment i förhållande till axeln som går genom centrum och vinkelrätt mot bågens plan lika med

För kroppar med mer komplex form utförs summeringen av uttrycket (5.2) med hjälp av integralkalkylmetoder enligt formeln

där integrationen utförs över hela kroppens volym. Magnitud r
i detta fall finns det en funktion av punktens position med koordinater x,y,z.

Låt oss som ett exempel hitta tröghetsmomentet för en homogen skiva kring en axel som är vinkelrät mot skivans plan och som går genom dess centrum. Låt oss dela upp skivan i ringlager med tjocklek d r.

Alla punkter i ett lager kommer att vara på samma avstånd från axeln, lika med r. Volymen av ett sådant lager är lika med:

,

Var b– skivtjocklek. Eftersom skivan är homogen är dess densitet densamma på alla punkter och

var d m – massan av det ringformiga skiktet.

Nu, med hjälp av formel (5.4), hittar vi tröghetsmomentet

,

Var R– skivradie;

.

Slutligen genom att ange skivans massa m lika med produkten av densitet och volym på skivan, får vi

Tröghetsmoment för några homogena fasta kroppar runt axeln, passerar genom kroppens masscentrum, anges i tabellen. 5.1.

Tabell 5.1

Om tröghetsmomentet för en kropp är känt om en axel som passerar genom dess masscentrum, så kan tröghetsmomentet kring någon annan parallell axel hittas. För att göra detta måste du använda Huygens–Steiners sats:

kroppens tröghetsmoment jag i förhållande till en godtycklig axel är lika med dess tröghetsmoment Ic i förhållande till en axel parallell med den, som går genom masscentrum C kropp läggs till produkten av kroppsmassa m per kvadrat av avstånd a mellan axlar:

Låt oss hitta sambandet mellan kroppens tröghetsmoment i förhållande till två parallella axlar, varav en går genom masscentrum. Låt oss hitta kroppens tröghetsmoment i förhållande till axeln z parallell axel z C. Axel z C passerar genom kroppens masscentrum. Låt oss mentalt dela upp kroppen i massapartiklar m jag, Var i- serienummer. Låt oss bestämma positionen för varje partikel i förhållande till axlarna z Och z C. I enlighet med definitionen av tröghetsmomentet, var är det kortaste avståndet till rotationsaxeln (radien på cirkeln som punkten beskriver under sin rörelse runt rotationsaxeln).

I fig. 5.3 är det klart att , då tröghetsmomentet för en punkt med massa m jag i förhållande till axeln zär lika med: , och för hela kroppen tröghetsmomentet kring axeln z lika med summan av tröghetsmomenten för alla partiklar i kroppen i förhållande till samma axel:

(5.7)

A-priory – kroppens tröghetsmoment i förhållande till axeln z C, passerar genom kroppens masscentrum; , Då . Uttryck kan konverteras . Ett värde lika med bestämmer läget för kroppens masscentrum i förhållande till axeln z C. Av figuren är det tydligt att, eftersom massans centrum ligger på axeln z C.

Då får vi

(5.8)

- tröghetsmoment jag z av en kropp i förhållande till en godtycklig axel är lika med summan av kroppens tröghetsmoment i förhållande till en axel parallell med den z C, passerar genom massans centrum, och storleken ma 2 var m- kroppsmassa, a– avstånd mellan axlar.

Exempel. Tröghetsmoment för en tunn stav (massa m och längd ) i förhållande till axeln vinkelrät mot stången och som går genom dess ände är lika.

Låt det finnas en solid kropp. Låt oss välja någon rät linje OO (Fig. 6.1), som vi kommer att kalla en axel (den räta linjen OO kan vara utanför kroppen). Låt oss dela upp kroppen i elementära sektioner (materialpunkter) med massor
ligger på avstånd från axeln
respektive.

Tröghetsmomentet för en materialpunkt i förhållande till en axel (OO) är produkten av massan av en materialpunkt med kvadraten på dess avstånd till denna axel:

. (6.1)

Tröghetsmomentet (MI) för en kropp relativt en axel (OO) är summan av produkterna av massorna av elementära sektioner av kroppen med kvadraten på deras avstånd till axeln:

. (6.2)

Som du kan se är en kropps tröghetsmoment en additiv kvantitet - tröghetsmomentet för hela kroppen i förhållande till en viss axel är lika med summan av tröghetsmomenten för dess individuella delar i förhållande till samma axel.

I detta fall

.

Tröghetsmomentet mäts i kgm 2. Därför att

, (6.3)

var  – ämnets densitet,
- volym i- avsnittet alltså

,

eller, gå till oändligt små element,

. (6.4)

Formel (6.4) är bekväm att använda för att beräkna MI för homogena kroppar med regelbunden form i förhållande till symmetriaxeln som passerar genom kroppens masscentrum. Till exempel, för MI för en cylinder i förhållande till en axel som går genom masscentrum parallellt med generatrisen, ger denna formel

,

Var T- vikt; R- cylinderns radie.

Steiners teorem ger stor hjälp vid beräkning av kropparnas MI i förhållande till vissa axlar: kropparnas MI jag i förhållande till vilken axel som helst är lika med summan av denna kropps MI jag c i förhållande till en axel som går genom kroppens masscentrum och parallell med den givna, och produkten av kroppsmassan med kvadraten på avståndet d mellan de angivna axlarna:

. (6.5)

Kraftmoment runt axeln

Låt kraften verka på kroppen F. Låt oss för enkelhetens skull anta att kraften F ligger i ett plan vinkelrätt mot någon rät linje OO (Fig. 6.2, A), som vi kommer att kalla axeln (det här är till exempel kroppens rotationsaxel). I fig. 6.2, A A- punkt för tillämpning av våld F,
- skärningspunkten för axeln med planet i vilket kraften ligger; r- radievektor som definierar punktens position A i förhållande till punkten HANDLA OM"; O"B = b - axel av styrka. Kraftarmen i förhållande till axeln är det minsta avståndet från axeln till den räta linje som kraftvektorn ligger på F(längden på vinkelrät draget från punkten till denna rad).

Kraftmomentet relativt axeln är en vektorstorhet som definieras av likheten

. (6.6)

Modulen för denna vektor är . Ibland säger man därför att momentet för en kraft kring en axel är produkten av kraften och dess arm.

Om styrka F styrs godtyckligt, då kan den delas upp i två komponenter; Och (Fig. 6.2, b), dvs.
+, Var - komponent riktad parallellt med OO-axeln, och ligger i ett plan vinkelrätt mot axeln. I det här fallet under kraftmomentet F relativt OO-axeln förstå vektorn

. (6.7)

I enlighet med uttryck (6.6) och (6.7), vektorn M riktad längs axeln (se fig. 6.2, A,b).

En kropps rörelsemängd i förhållande till rotationsaxeln

P Låt kroppen rotera runt en viss axel OO med vinkelhastighet
. Låt oss mentalt bryta ner den här kroppen i elementära sektioner med massor
, som är belägna från axeln, respektive på avstånd
och rotera i cirklar med linjära hastigheter
Det är känt att värdet är lika
– det finns en impuls i-komplott. impulsögonblick i-sektion (materialpunkt) i förhållande till rotationsaxeln kallas en vektor (närmare bestämt en pseudovektor)

, (6.8)

Var r i– radievektor som definierar positionen i- area relativt axeln.

Hela kroppens rörelsemängd i förhållande till rotationsaxeln kallas vektorn

(6.9)

vars modul
.

I enlighet med uttrycken (6.8) och (6.9), vektorerna
Och riktad längs rotationsaxeln (fig. 6.3). Det är lätt att visa att rörelsemängden hos en kropp L i förhållande till rotationsaxeln och tröghetsmomentet jag av denna kropp i förhållande till samma axel är relaterade av relationen

. (6.10)

Tröghetsmomentet för en kropp (system) i förhållande till en given axel Oz (eller axiellt tröghetsmoment) är en skalär kvantitet som skiljer sig från summan av produkterna av massorna av alla punkter i kroppen (systemet) kvadrater av deras avstånd från denna axel:

Av definitionen följer att tröghetsmomentet för en kropp (eller ett system) i förhållande till någon axel är en positiv storhet och inte lika med noll.

I framtiden kommer det att visas att det axiella tröghetsmomentet spelar samma roll under en kropps rotationsrörelse som massan gör under translationsrörelsen, det vill säga att det axiella tröghetsmomentet är ett mått på en kropps tröghet under rotation. rörelse.

Enligt formel (2) är en kropps tröghetsmoment lika med summan av tröghetsmomenten för alla dess delar relativt samma axel. För en materialpunkt belägen på ett avstånd h från axeln, . Måttenheten för tröghetsmomentet i SI kommer att vara 1 kg (i MKGSS-systemet - ).

För att beräkna de axiella tröghetsmomenten kan punkternas avstånd från axlarna uttryckas genom koordinaterna för dessa punkter (till exempel kommer kvadraten på avståndet från Ox-axeln att vara, etc.).

Sedan kommer tröghetsmomenten kring axlarna att bestämmas av formlerna:

Ofta under beräkningar används begreppet gyrationsradie. Tröghetsradien för en kropp i förhållande till en axel är en linjär storhet som bestäms av likheten

där M är kroppsmassa. Av definitionen följer att tröghetsradien är geometriskt lika med avståndet från axeln för den punkt där hela kroppens massa måste koncentreras så att tröghetsmomentet för denna punkt är lika med tröghetsmomentet av hela kroppen.

Genom att känna till tröghetsradien kan du använda formel (4) för att hitta kroppens tröghetsmoment och vice versa.

Formlerna (2) och (3) gäller både för en stel kropp och för alla system av materialpunkter. När det gäller en fast kropp, genom att dela upp den i elementära delar, finner vi att summan i likhet (2) i gränsen kommer att förvandlas till en integral. Som ett resultat, med hänsyn till att var är densiteten och V är volymen, får vi

Integralen sträcker sig här till hela kroppens volym V, och densiteten och avståndet h beror på koordinaterna för kroppens punkter. På liknande sätt har formlerna (3) för fasta kroppar formen

Formlerna (5) och (5) är bekväma att använda när man beräknar tröghetsmomenten för homogena kroppar med regelbunden form. I detta fall kommer densiteten att vara konstant och kommer att falla utanför integraltecknet.

Låt oss hitta tröghetsmomenten för några homogena kroppar.

1. En tunn homogen stav med längden l och massan M. Låt oss beräkna dess tröghetsmoment i förhållande till axeln vinkelrät mot staven och som går genom dess ände A (fig. 275). Låt oss rikta koordinataxeln längs AB Sedan för alla elementära segment av längd d är värdet , och massan är , där är massan av en längdenhet av stången. Som ett resultat ger formel (5).

Ersätter här med dess värde, finner vi äntligen

2. En tunn rund homogen ring med radien R och massan M. Låt oss hitta dess tröghetsmoment i förhållande till axeln vinkelrät mot ringens plan och som går genom dess centrum C (fig. 276).

Eftersom alla punkter i ringen är belägna på avstånd från axeln, ger formel (2).

Därför för ringen

Uppenbarligen kommer samma resultat att erhållas för tröghetsmomentet för ett tunt cylindriskt skal med massan M och radien R relativt dess axel.

3. En rund homogen platta eller cylinder med radie R och massa M. Låt oss beräkna tröghetsmomentet för den runda plattan i förhållande till axeln vinkelrät mot plattan och som går genom dess centrum (se fig. 276). För att göra detta väljer vi en elementär ring med radie och bredd (Fig. 277, a). Arean av denna ring är , och massan är där är massan per ytenhet av plattan. Sedan, enligt formel (7) för den valda elementära ringen kommer det att finnas och för hela plattan

Som nämnts ovan inkluderar enkla plana figurer tre figurer: en rektangel, en triangel och en cirkel. Dessa figurer anses vara enkla eftersom positionen för dessa figurers tyngdpunkt är känd i förväg. Alla andra figurer kan vara sammansatta av dessa enkla figurer och anses vara komplexa. Låt oss beräkna de axiella tröghetsmomenten för enkla figurer i förhållande till deras centrala axlar.

1. Rektangel. Låt oss överväga tvärsnittet av en rektangulär profil med dimensioner (Fig. 4.6). Låt oss välja ett sektionselement med två oändligt nära sektioner på avstånd från den centrala axeln
.

Låt oss beräkna tröghetsmomentet för ett rektangulärt tvärsnitt i förhållande till axeln:

. (4.10)

Tröghetsmoment för en rektangulär sektion kring axeln
vi kommer att finna liknande. Slutsatsen ges inte här.

. (4.11)

Och
är lika med noll, eftersom axlarna
Och
är symmetriaxlar och därför huvudaxlar.

2. Likbent triangel. Låt oss överväga en sektion av en triangulär profil med dimensioner
(Fig.4.7). Låt oss välja ett sektionselement med två oändligt nära sektioner på avstånd från den centrala axeln
. Triangelns tyngdpunkt är på avstånd
från basen. Triangeln antas vara likbent, så att axeln
sektionen är symmetriaxeln.

Låt oss beräkna tröghetsmomentet för sektionen i förhållande till axeln
:

. (4.12)

Storlek vi bestämmer utifrån likheten mellan trianglar:

; var
.

Ersätter uttryck för i (4.12) och integrerande får vi:

. (4.13)

Tröghetsmoment för en likbent triangel kring axeln
finns på liknande sätt och är lika med:

(4.14)

Centrifugalt tröghetsmoment kring axlarna
Och
är lika med noll, eftersom axeln
är sektionens symmetriaxel.

3. Cirkel. Tänk på tvärsnittet av en cirkulär profil med en diameter (Fig.4.8). Låt oss markera sektionselementet med två oändligt nära koncentriska cirklar placerade på avstånd från cirkelns tyngdpunkt .

Låt oss beräkna cirkelns polära tröghetsmoment med hjälp av uttryck (4.5):

. (4.15)

Använda invariansvillkoret för summan av axiella tröghetsmoment kring två ömsesidigt vinkelräta axlar (4.6) och ta hänsyn till det för en cirkel, på grund av symmetri
, bestämmer vi värdet på de axiella tröghetsmomenten:

. (4.16)

. (4.17)

Centrifugalt tröghetsmoment kring axlarna Och är lika med noll, eftersom axlarna
Och
är sektionens symmetriaxlar.

4.4. Beroenden mellan tröghetsmoment i förhållande till parallella axlar

Vid beräkning av tröghetsmoment för komplexa figurer bör en regel komma ihåg: värdena för tröghetsmomenten kan läggas till, om de beräknas i förhållande till samma axel. För komplexa figurer sammanfaller oftast inte tyngdpunkterna för enskilda enkla figurer och hela figuren. Följaktligen sammanfaller inte de centrala axlarna för enskilda enkla figurer och hela figuren. I detta avseende finns det tekniker för att föra tröghetsmoment till en axel, till exempel hela figurens centrala axel. Detta kan bero på parallell translation av tröghetsaxlarna och ytterligare beräkningar.

Låt oss överväga bestämningen av tröghetsmoment i förhållande till de parallella tröghetsaxlarna som visas i fig. 4.9.

Låt de axiella och centrifugala tröghetsmomenten som visas i fig. 4.9. siffror i förhållande till godtyckligt valda axlar
Och
med ursprunget vid punkten känd. Det är nödvändigt att beräkna de axiella och centrifugala tröghetsmomenten för en figur i förhållande till godtyckliga parallella axlar
Och
med ursprunget vid punkten . Axlar
Och
utförs på avstånd Och respektive från axlarna
Och
.

Låt oss använda uttrycken för de axiella tröghetsmomenten (4.4) och för det centrifugala tröghetsmomentet (4.7). Låt oss byta in i dessa uttryck istället för de nuvarande koordinaterna
Och
element med oändligt liten koordinatarea
Och
i det nya koordinatsystemet. Vi får:

Genom att analysera de erhållna uttrycken kommer vi till slutsatsen att vid beräkning av tröghetsmoment i förhållande till parallella axlar, bör additiv i form av ytterligare termer läggas till tröghetsmomenten beräknade i förhållande till de ursprungliga tröghetsaxlarna, vilka kan vara mycket större. än värdena för tröghetsmomenten i förhållande till de ursprungliga axlarna. Därför bör dessa ytterligare villkor under inga omständigheter försummas.

Det aktuella fallet är det mest allmänna fallet med parallell överföring av axlar, när godtyckliga tröghetsaxlar togs som initiala. I de flesta beräkningar finns det speciella fall för bestämning av tröghetsmoment.

Första specialfallet. Ursprungsaxlarna är figurens centrala tröghetsaxlar. Sedan, med hjälp av huvudegenskapen för det statiska areamomentet, kan vi från ekvationerna (4.18)–(4.20) exkludera termerna för ekvationerna som inkluderar det statiska areamomentet i figuren. Som ett resultat får vi:

. (4.21)

. (4.22)

. (4.23)

Här är yxorna
Och
-centrala tröghetsaxlar.

Andra specialfallet. Referensaxlarna är de huvudsakliga tröghetsaxlarna. Sedan, med hänsyn till att i förhållande till tröghetsaxlarnas huvudaxlar, är centrifugaltröghetsmomentet lika med noll, får vi:

. (4.24)

. (4.25)

. (4.26)

Här är yxorna
Och
- huvudtröghetsaxlar.

Låt oss använda de erhållna uttrycken och överväga flera exempel på beräkning av tröghetsmoment för plana figurer.

Exempel 4.2. Bestäm de axiella tröghetsmomenten i figuren som visas i fig. 4.10, i förhållande till de centrala axlarna Och .

I det föregående exemplet 4.1, för figuren som visas i Fig. 4.10, bestämdes tyngdpunktens position C. Tyngdpunktskoordinaten plottades från axeln och sammanställt
. Låt oss beräkna avstånden Och mellan axlar Och och yxor Och . Dessa avstånd var resp
Och
. Sedan de ursprungliga yxorna Och är de centrala axlarna för enkla figurer i form av rektanglar, för att bestämma figurens tröghetsmoment i förhållande till axeln Låt oss använda slutsatserna för det första specialfallet, i synnerhet formeln (4.21).

Tröghetsmoment kring axeln vi erhåller genom att addera tröghetsmomenten för enkla figurer i förhållande till samma axel, eftersom axeln är den gemensamma centrala axeln för enkla figurer och för hela figuren.

cm 4.

Centrifugalt tröghetsmoment kring axlarna Och är lika med noll, eftersom tröghetsaxeln är huvudaxeln (figurens symmetriaxel).

Exempel 4.3. Vad är storleken? b(i cm) figuren som visas i fig. 4.11, om figurens tröghetsmoment i förhållande till axeln lika med 1000 cm 4?

Låt oss uttrycka tröghetsmomentet kring axeln genom en okänd sektionsstorlek , med hjälp av formel (4.21), med hänsyn till att avståndet mellan axlarna Och motsvarar 7 cm:

cm 4. (A)

Lösa uttryck (a) i förhållande till sektionsstorleken , vi får:

centimeter.

Exempel 4.4. Vilken av figurerna som visas i fig. 4.12 har ett större tröghetsmoment i förhållande till axeln om båda figurerna har samma area
cm 2?

1. Låt oss uttrycka figurernas area i termer av deras storlekar och bestämma:

a) sektionsdiameter för en rund sektion:

cm 2; Var
centimeter.

b) kvadratisk sidostorlek:

; Var
centimeter.

2. Beräkna tröghetsmomentet för ett cirkulärt snitt:

cm 4.

3. Beräkna tröghetsmomentet för en kvadratisk sektion:

cm 4.

Genom att jämföra de erhållna resultaten kommer vi till slutsatsen att ett kvadratiskt snitt kommer att ha det högsta tröghetsmomentet jämfört med ett cirkulärt snitt med samma area.

Exempel 4.5. Bestäm det polära tröghetsmomentet (i cm 4) för en rektangulär sektion i förhållande till dess tyngdpunkt, om sektionens bredd
cm, sektionshöjd
centimeter.

1. Hitta tröghetsmomenten för sektionen i förhållande till horisontalplanet och vertikal centrala tröghetsaxlar:

cm 4;
cm 4.

2. Vi bestämmer det polära tröghetsmomentet för sektionen som summan av de axiella tröghetsmomenten:

cm 4.

Exempel 4.6. Bestäm tröghetsmomentet för den triangulära figuren som visas i fig. 4.13, relativt den centrala axeln , om figurens tröghetsmoment i förhållande till axeln lika med 2400 cm 4.

Tröghetsmoment för en triangulär sektion i förhållande till huvudtröghetsaxeln kommer att vara mindre jämfört med tröghetsmomentet kring axeln med beloppet
. Därför, när
cm tröghetsmoment för sektionen i förhållande till axeln vi finner det enligt följande.

Tröghetsmoment för en kropp kring parallella axlar. Huygens sats.

Tröghetsmomenten för en given kropp i förhållande till olika axlar kommer generellt sett att vara olika. Låt oss visa hur, genom att känna till tröghetsmomentet om vilken som helst axel som ritas i kroppen, kan vi hitta tröghetsmomentet kring vilken annan axel som helst parallellt med den.

Fig. 35

Låt oss rita genom massans centrum MED kroppar godtyckliga axlar Cx"y"z", och genom vilken punkt som helst HANDLA OM på axeln Cx" - yxor Oxyz Så att Åh½½ Сy", Oz½½ Cz"(Fig. 35). Axelavstånd Cz" Och Uns beteckna med d. Sedan

men, som framgår av figuren, för någon punkt på kroppen eller, en. Ersätter dessa värden , in i uttrycket för och ta ut gemensamma faktorer d 2 och 2d bortom parentes, får vi

På höger sida av likheten är den första summan lika med jag cz", och den andra - kroppsvikt M. Låt oss hitta värdet på den tredje summan. Baserat på formler för koordinaterna för masscentrum Eftersom i vårt fall punkten MEDär ursprunget till koordinaterna, alltså x C = 0 och därför . Äntligen får vi:

Formeln uttrycker följande Huygens sats:

Tröghetsmomentet för en kropp kring en given axel är lika med tröghetsmomentet kring en axel parallell med den, som passerar genom kroppens masscentrum, adderat till produkten av hela kroppens massa med kvadraten på avståndet mellan axlarna.

Låt oss hitta kroppens tröghetsmoment i förhållande till axeln u, passerar genom någon punkt HANDLA OM(Fig. 36).

Fig. 36

Per definition, tröghetsmoment.

Låt oss sätta det på punkt HANDLA OM koordinataxlarnas ursprung x, y, z. Från en rätvinklig triangel OAM i följer var. Och eftersom radievektorn för en punkt, alltså, projicera denna likhet på axeln u, får vi (, - vinklar mellan axeln u och yxor x, y, z).

Ris. 14.3.

Som bekant från trigonometri

Och om vi grupperar liknande termer som innehåller cosinus med identiska vinklar får vi:

Men - avstånd från punkten M i till yxor x, y, z, respektive. Det är därför

Var Jag x, jag y, jag z– kroppens tröghetsmoment i förhållande till koordinataxlarna; I xy, J yz, J xz - centrifugala tröghetsmoment i förhållande till axlarna markerade i indexen.

Om två centrifugala tröghetsmoment, som båda innehåller namnen på någon axel i sina index, är lika med noll, kallas denna axel huvudtröghetsaxel. Till exempel om J yz = 0och J xz= 0, sedan axeln z– huvudtröghetsaxel.

Eftersom alla tröghetsmoment beror på var punkten är belägen HANDLA OM, från valet av ursprunget för koordinater, då är det nödvändigt att ange för vilken punkt dessa tröghetsmoment bestäms. Om ursprunget för koordinaterna tas vid massans centrum MED, då kallas alla tröghetsaxlarna huvudsakliga centrala tröghetsaxlar.

Om koordinataxlarna vid en given punkt är tröghetsaxlarnas huvudaxlar (centrifugaltröghetsmomenten i förhållande till dem är lika med noll), så förenklas formel (2):

Ibland, baserat på vissa tecken, är det inte svårt att hitta kroppens huvudsakliga tröghetsaxlar.

1. Om en homogen kropp har en symmetriaxel, är denna axel den huvudsakliga centrala tröghetsaxeln.

Verkligen. Låt oss rikta koordinataxeln z längs symmetriaxeln. Sedan för varje punkt på kroppen med koordinater ( x i, y i, z i) kan du hitta en punkt med koordinater ( -x i, -y i, -z i) och därför de centrifugala tröghetsmomenten och. Alltså axeln z– huvudaxeln för tröghet, och den centrala axeln, eftersom masscentrum, som är känt, ligger på symmetriaxeln. Dessutom kommer denna axel att vara huvudaxeln för vilken punkt som helst på symmetriaxeln.

2. Om en homogen kropp har ett symmetriplan, kommer vilken som helst axel som är vinkelrät mot den att vara huvudtröghetsaxeln för alla punkter i detta plan.

Låt oss rikta axeln z vinkelrätt mot symmetriplanet från vilken punkt som helst av det HANDLA OM, tilldelar ursprunget för koordinater där. Sedan för varje punkt på kroppen med koordinater ( x i, y i, z i) kan du hitta en punkt som är symmetrisk till den med koordinater ( x i, y i, - z i). Därför de centrifugala tröghetsmomenten jag xz Och jag yz kommer att vara lika med noll. Alltså axeln z– huvudtröghetsaxel.

Exempel 9. Låt oss bestämma skivans tröghetsmoment i förhållande till axeln u, placerad i en vinkel mot skivans symmetriaxel z(Fig. 37).

Fig. 37

Axlar x, y Och z– de viktigaste centrala tröghetsaxlarna, eftersom de är symmetriaxlar.

Sedan, var är vinkeln mellan axlarna u Och z; vinkel - vinkeln mellan axlarna u Och y, likvärdig; vinkel - vinkeln mellan axlarna u Och x, lika med 90°. Det är därför

Differentiell systemets rörelseekvationer.

Betrakta ett system som består av P materiella poäng. Låt oss välja någon punkt i systemet med massa. Låt oss beteckna resultanten av alla yttre krafter som appliceras på en punkt (både aktiva bindningar och reaktionsbindningar) med , och resultatet av alla inre krafter - genom . Om punkten har en acceleration , då enligt dynamikens grundläggande lag

Vi får ett liknande resultat för vilken punkt som helst. Därför kommer det att finnas för hela systemet:

Dessa ekvationer, från vilka rörelselagen för varje punkt i systemet kan bestämmas, kallas differentialekvationer för systemets rörelse i vektorform. Ekvationerna är differentiella eftersom; Krafterna som ingår i ekvationernas högra sida kommer i det allmänna fallet att bero på tiden, koordinaterna för systemets punkter och deras hastigheter.

Genom att projicera på några koordinataxlar kan vi få differentialekvationer för systemets rörelse i projektioner på dessa axlar.

En fullständig lösning på huvudproblemet med dynamik för ett system skulle bestå i att känna till de givna krafterna, integrera de motsvarande differentialekvationerna och på detta sätt bestämma rörelselagen för var och en av systemets punkter separat.

Denna lösning används dock vanligtvis inte av två skäl. För det första är denna väg för komplicerad och är nästan alltid förknippad med oöverstigliga matematiska svårigheter. För det andra, i de flesta fall, när man löser mekanikproblem, är det tillräckligt att känna till några sammanfattande egenskaper för systemets rörelse som helhet, och inte rörelsen för var och en av dess punkter separat. Dessa sammanfattande egenskaper bestäms med hjälp av allmänna satser systemets dynamik, till vilken vi kommer att studera.

Ekvationers huvudsakliga roll är att de, eller konsekvenser av dem, är utgångspunkterna för att erhålla motsvarande generella satser.

Allmänna satser om ett mekaniskt systems dynamik: satser om rörelsen av ett mekaniskt systems masscentrum och om förändringen i rörelsemängd, satser om ändringen i rörelsemängd och rörelseenergi, är en följd av dynamikens grundläggande ekvation . Dessa teorem tar inte hänsyn till rörelsen av enskilda punkter och kroppar som ingår i ett mekaniskt system, utan några integralegenskaper, såsom rörelsen av ett mekaniskt systems masscentrum, dess rörelsemängd, kinetiska moment och kinetiska energi. Som ett resultat utesluts okända inre krafter och, i vissa fall, kopplingsreaktioner från övervägande, vilket avsevärt förenklar lösningen av problemet.