Graf över en trinomial funktion. Hur bygger man en parabel? Vad är en parabel? Hur löses andragradsekvationer? Problem med att analysera grafen för en kvadratisk funktion

Definieras av formeln $a((x)^(2))+bx+c$ $(a\ne 0).$ Siffrorna $a, b$ och $c$ är koefficienterna för en kvadratisk trinomial, de är brukar kallas: a - den ledande, b - andra eller medelkoefficient, c - fri term. En funktion av formen y = ax 2 + bx + c kallas en kvadratisk funktion.

Alla dessa paraboler har sin vertex i ursprunget; för a > 0 är detta den lägsta punkten i grafen (det minsta värdet på funktionen), och för a< 0, наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение функции). Ось Oy есть ось симметрии каждой из таких парабол.

Som man kan se, för a > 0 är parabeln riktad uppåt, för a< 0 - вниз.

Det finns en enkel och bekväm grafisk metod som låter dig konstruera valfritt antal punkter på parabeln y = axe 2 utan beräkningar, om en annan punkt på parabeln än vertex är känd. Låt punkten M(x 0 , y 0) ligga på parabeln y = ax 2 (Fig. 2). Om vi ​​vill konstruera ytterligare n punkter mellan punkterna O och M, så delar vi segmentet ON på abskissaxeln i n + 1 lika delar och vid delningspunkterna ritar vi vinkelräta mot Ox-axeln. Vi delar upp segmentet NM i samma antal lika delar och kopplar delningspunkterna med strålar till koordinaternas ursprung. De erforderliga punkterna för parabeln ligger vid skärningspunkten mellan perpendikulära och strålar med samma nummer (i fig. 2 är antalet delningspunkter 9).

Grafen för funktionen y = ax 2 + bx + c skiljer sig från grafen y = ax 2 endast i sin position och kan erhållas helt enkelt genom att flytta kurvan på ritningen. Detta följer av representationen av det kvadratiska trinomialet i formen

varav det är lätt att dra slutsatsen att grafen för funktionen y = ax 2 + bx + c är en parabel y = ax 2, vars spets flyttas till punkten

och dess symmetriaxel förblev parallell med Oy-axeln (fig. 3). Från det resulterande uttrycket för ett kvadratiskt trinomium följer lätt alla dess grundläggande egenskaper. Uttrycket D = b 2 − 4ac kallas diskriminanten för den kvadratiska trinomialaxeln 2 + bx + c och diskriminanten för den tillhörande andragradsekvationen ax 2 + bx + c = 0. Diskriminantens tecken bestämmer om grafen för kvadratisk trinomial skär x-axeln eller ligger på samma sida från henne. Nämligen om D< 0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a >0, då ligger parabeln ovanför Ox-axeln, och om a< 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D >0 skär grafen för ett kvadratiskt trinomium x-axeln i två punkter x 1 och x 2, som är rötterna till andragradsekvationen ax 2 + bx + c = 0 och är lika, respektive

Vid D = 0 berör parabeln Ox-axeln vid punkten

Egenskaperna för det kvadratiska trinomialet ligger till grund för att lösa kvadratiska olikheter. Låt oss förklara detta med ett exempel. Anta att vi måste hitta alla lösningar på ojämlikheten 3x 2 - 2x - 1< 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D >0, då har motsvarande andragradsekvation 3x 2 − 2x − 1 = 0 två olika rötter, de bestäms av formlerna som givits tidigare:

x 1 = −1/3 och x 2 = 1.

I det andragradstrinomial som övervägs är a = 3 > 0, vilket betyder att grenarna i dess graf är riktade uppåt och att värdena på det andragradstrinomial är negativa endast i intervallet mellan rötterna. Så alla lösningar på ojämlikheten uppfyller villkoret

−1/3 < x < 1.

Olika olikheter kan reduceras till kvadratiska olikheter genom samma substitutioner genom vilka olika ekvationer reduceras till kvadratiska.

Definition

Parabel kallas grafen för en kvadratisk funktion $y = ax^(2) + bx + c$, där $a \neq 0$.

Graf för funktionen $y = x^2$.

För att schematiskt plotta grafen för funktionen $y = x^2$, hittar vi flera punkter som uppfyller denna likhet. För enkelhetens skull skriver vi ner koordinaterna för dessa punkter i form av en tabell:

Graf för funktionen $y = ax^2$.

Om koefficienten $a > 0$, så erhålls grafen $y = ax^2$ från grafen $y = x^2$ antingen genom vertikal sträckning (för $a > 1$) eller komprimering till $x$ axel (för $0< a < 1$). Изобразим для примера графики $y = 2x^2$ и $y = \dfrac{x^2}{2}$:

Om $a< 0$, то график функции $y = ax^2$ можно получить из графика $y = |a|x^2$, отразив его симметрично относительно оси $x$. Построим графики функций $y = - x^2$, $y = -2x^2$ и $y = - \dfrac{x^2}{2}$:

Graf över en kvadratisk funktion.

För att plotta funktionen $y = ax^2 + bx + c$, måste du isolera en hel kvadrat från det kvadratiska trinomiet $ax^2 + bx + c$, det vill säga representera den i formen $a(x - x_0)^2 + y_0$ . Grafen för funktionen $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ erhålls från motsvarande graf $y = ax^2$ genom att skifta med $x_0$ längs $x$-axeln och med $y_0$ längs $y$-axeln. Som ett resultat kommer punkt $(0;0)$ att flyttas till punkt $(x_0;y_0)$.

Definition

Toppen parabeln $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ är punkten med koordinaterna $(x_0;y_0)$.

Låt oss konstruera en parabel $y = 2x^2 - 4x - 6$. När vi väljer hela kvadraten får vi $y = 2(x - 1)^2 - 8$.

Resultatet är en parabel med sin vertex i punkten $(1;-8)$.

Grafen för den kvadratiska funktionen $y = ax^2 + bx + c$ skär $y$-axeln i punkten $(0; c)$ och $x$-axeln i punkterna $(x_(1,2) ;0)$, där $ x_(1,2)$ är rötterna till andragradsekvationen $ax^2 + bx + c = 0$ (och om ekvationen inte har några rötter, så skär inte motsvarande parabel $ x$-axeln).

Till exempel, parabeln $y = 2x^2 - 4x - 6$ skär axlarna i punkterna $(0; -6)$, $(-1; 0)$ och $(3; 0)$.