Bevisa att funktionen är jämn. Funktionens huvudsakliga egenskaper: jämn, udda, periodicitet, begränsning

Jämn funktion.

Även En funktion vars tecken inte ändras när tecknet ändras anropas x.

x jämlikhet f(–x) = f(x). Tecken x påverkar inte tecken y.

Grafen för en jämn funktion är symmetrisk kring koordinataxeln (fig. 1).

Även funktionsexempel:

y= cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Förklaring:
Låt oss ta en funktion y = x 2 eller y = –x 2 .
För vilket värde som helst x funktionen är positiv. Tecken x påverkar inte tecken y. Grafen är symmetrisk kring koordinataxeln. Detta är en jämn funktion.

udda funktion.

uddaär en funktion vars tecken ändras när tecknet ändras x.

Med andra ord, oavsett värde x jämlikhet f(–x) = –f(x).

Grafen för en udda funktion är symmetrisk med avseende på origo (fig. 2).

Exempel på en udda funktion:

y= synd x

y = x 3

y = –x 3

Förklaring:

Ta funktionen y = - x 3 .
Alla värden på det kommer att ha ett minustecken. Det är tecknet x påverkar tecknet y. Om den oberoende variabeln är ett positivt tal är funktionen positiv; om den oberoende variabeln är ett negativt tal är funktionen negativ: f(–x) = –f(x).
Funktionens graf är symmetrisk om ursprunget. Detta är en udda funktion.

Egenskaper för jämna och udda funktioner:

NOTERA:

Alla funktioner är inte jämna eller udda. Det finns funktioner som inte är föremål för sådan gradering. Till exempel rotfunktionen på = √X gäller inte vare sig jämna eller udda funktioner (Fig. 3). När du listar egenskaperna för sådana funktioner bör en lämplig beskrivning ges: varken jämn eller udda.

Periodiska funktioner.

Som ni vet är periodicitet upprepningen av vissa processer med ett visst intervall. Funktionerna som beskriver dessa processer kallas periodiska funktioner. Det vill säga, det är funktioner i vars grafer det finns element som upprepas med vissa numeriska intervall.

Fungeraär ett av de viktigaste matematiska begreppen. Funktion - variabelberoende på från en variabel x, om varje värde X matchar ett enskilt värde på. variabel X kallas den oberoende variabeln eller argumentet. variabel på kallas den beroende variabeln. Alla värden för den oberoende variabeln (variabel x) utgör funktionens domän. Alla värden som den beroende variabeln tar (variabel y), bildar intervallet för funktionen.

Funktionsdiagram de kallar uppsättningen av alla punkter i koordinatplanet, vars abskiss är lika med värdena för argumentet, och ordinaterna är lika med motsvarande värden för funktionen, det vill säga värdena på variabeln plottas längs abskissan x, och variabelns värden plottas längs y-axeln y. För att plotta en funktion behöver du känna till funktionernas egenskaper. Funktionens huvudsakliga egenskaper kommer att diskuteras nedan!

För att rita en funktionsgraf rekommenderar vi att du använder vårt program - Graphing Functions Online. Om du har några frågor när du studerar materialet på denna sida kan du alltid ställa dem på vårt forum. Även på forumet får du hjälp att lösa problem inom matematik, kemi, geometri, sannolikhetsteori och många andra ämnen!

Grundläggande egenskaper hos funktioner.

1) Funktionsomfång och funktionsomfång.

Omfattningen av en funktion är uppsättningen av alla giltiga giltiga värden för argumentet x(variabel x) för vilken funktionen y = f(x) definierat.
Omfånget för en funktion är mängden av alla reella värden y som funktionen accepterar.

I elementär matematik studeras funktioner endast på uppsättningen av reella tal.

2) Funktionsnollor.

Värderingar X, vid vilken y=0, kallas funktion nollor. Dessa är abskissorna för skärningspunkterna för grafen för funktionen med x-axeln.

3) Intervaller för teckenkonstans för en funktion.

Intervallet för teckenkonstans för en funktion är sådana värdeintervall x, där funktionens värden y antingen bara positiva eller bara negativa kallas intervaller för teckenkonstans för funktionen.

4) Monotonicitet hos funktionen.

Ökande funktion (i något intervall) - en funktion där ett större värde på argumentet från detta intervall motsvarar ett större värde på funktionen.

Minskande funktion (i något intervall) - en funktion där ett större värde på argumentet från detta intervall motsvarar ett mindre värde på funktionen.

5) Jämna (udda) funktioner.

En jämn funktion är en funktion vars definitionsdomän är symmetrisk med avseende på ursprunget och för eventuella X f(-x) = f(x). Grafen för en jämn funktion är symmetrisk kring y-axeln.

En udda funktion är en funktion vars definitionsdomän är symmetrisk med avseende på ursprunget och för alla X från definitionsdomänen jämlikheten f(-x) = - f(x). Grafen för en udda funktion är symmetrisk om ursprunget.

Jämn funktion
1) Definitionsdomänen är symmetrisk med avseende på punkten (0; 0), det vill säga om punkten a hör till definitionsdomänen, då punkten -a hör också till definitionsdomänen.
2) För vilket värde som helst x f(-x)=f(x)
3) Grafen för en jämn funktion är symmetrisk kring Oy-axeln.

udda funktion har följande egenskaper:
1) Definitionsdomänen är symmetrisk med avseende på punkten (0; 0).
2) för vilket värde som helst x, som hör till definitionsdomänen, jämlikheten f(-x)=-f(x)
3) Grafen för en udda funktion är symmetrisk med avseende på origo (0; 0).

Alla funktioner är inte jämna eller udda. Funktioner allmän synär varken jämna eller udda.

6) Begränsade och obegränsade funktioner.

En funktion kallas bounded om det finns ett positivt tal M så att |f(x)| ≤ M för alla värden på x . Om det inte finns något sådant nummer är funktionen obegränsad.

7) Funktionens periodicitet.

En funktion f(x) är periodisk om det finns ett icke-nolltal T så att för valfritt x från funktionens domän, f(x+T) = f(x). Detta minsta tal kallas perioden för funktionen. Alla trigonometriska funktioner är periodiska. (Trigonometriska formler).

Fungera f kallas periodisk om det finns ett tal så att för någon x från definitionsdomänen jämlikheten f(x)=f(x-T)=f(x+T). Tär funktionens period.

Varje periodisk funktion har ett oändligt antal perioder. I praktiken brukar man räkna med den minsta positiva perioden.

Värdena för den periodiska funktionen upprepas efter ett intervall lika med perioden. Detta används när du ritar grafer.

Tillbaka framåt

Uppmärksamhet! Förhandsvisningen av bilden är endast i informationssyfte och representerar kanske inte hela omfattningen av presentationen. Om du är intresserad av detta arbete, ladda ner den fullständiga versionen.

Mål:

• att bilda begreppet jämna och udda funktioner, att lära ut förmågan att bestämma och använda dessa egenskaper i studier av funktioner, rita grafer;
• att utveckla elevernas kreativa aktivitet, logiskt tänkande, förmågan att jämföra, generalisera;
• att odla flit, matematisk kultur; utveckla kommunikationsförmåga .

Utrustning: multimediainstallation, interaktiv skrivtavla, handouts.

Arbetsformer: frontal och grupp med inslag av sök- och forskningsverksamhet.

Informationskällor:

1. Algebra klass 9 A.G. Mordkovich. Lärobok.
2. Algebra årskurs 9 A.G. Mordkovich. Uppgiftsbok.
3. Algebra årskurs 9. Uppgifter för lärande och utveckling av elever. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

UNDER Lektionerna

1. Organisatoriskt ögonblick

Att sätta upp mål och mål för lektionen.

2. Kollar läxor

Nr 10.17 (Problembok 9:e klass A.G. Mordkovich).

a) på = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 för X ~ 0,4
4. f(X) >0 kl X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funktionen ökar med X € [– 2; + ∞)
6. Funktionen är begränsad underifrån.
7. på hyra = - 3, på naib finns inte
8. Funktionen är kontinuerlig.

(Använde du funktionsutforskningsalgoritmen?) Glida.

2. Låt oss kontrollera tabellen som du blev tillfrågad på bilden.

Fyll bordet
	Domän	Funktion nollor	Konstansintervall		Koordinater för skärningspunkterna för grafen med Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Kunskapsuppdatering

– Funktioner är givna.
– Ange definitionsdomän för varje funktion.
– Jämför värdet för varje funktion för varje par av argumentvärden: 1 och – 1; 2 och - 2.
– För vilken av de givna funktionerna i definitionsdomänen är likheterna f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (lägg in uppgifterna i tabellen) Glida

		f(1) och f(– 1)	f(2) och f(– 2)	diagram	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		och inte definierad.

4. Nytt material

- Medan vi utförde det här arbetet, killar, har vi avslöjat ytterligare en egenskap hos funktionen, obekant för er, men inte mindre viktig än de andra - det här är funktionens jämnhet och udda. Skriv ner ämnet för lektionen: "Jämna och udda funktioner", vår uppgift är att lära sig hur man bestämmer de jämna och udda funktionerna, ta reda på betydelsen av denna egenskap i studiet av funktioner och plottning.
Så, låt oss hitta definitionerna i läroboken och läsa (s. 110) . Glida

Def. ett Fungera på = f (X) definierad på uppsättningen X kallas även, om för något värde XЄ X pågår likhet f (–x) = f (x). Ge exempel.

Def. 2 Fungera y = f(x), definierad på uppsättningen X kallas udda, om för något värde XЄ X likheten f(–х)= –f(х) är uppfylld. Ge exempel.

Var träffade vi termerna "jämnt" och "udda"?
Vilken av dessa funktioner kommer att vara jämn, tror du? Varför? Vilka är udda? Varför?
För alla funktioner i formuläret på= x n, var när ett heltal, kan man hävda att funktionen är udda för när udda och funktionen är jämn för n- även.
– Visa funktioner på= och på = 2X– 3 är varken jämnt eller udda, eftersom jämställdhet uppfylls inte f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Studiet av frågan om en funktion är jämn eller udda kallas studien av en funktion för paritet. Glida

Definitionerna 1 och 2 handlade om funktionens värden vid x och -x, därför antas det att funktionen också definieras vid värdet X, och vid - X.

ODA 3. Om en talmängd tillsammans med vart och ett av dess element x innehåller det motsatta elementet x, då mängden X kallas en symmetrisk mängd.

Exempel:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) är symmetriska mängder och , [–5;4] är icke-symmetriska.

- Har jämna funktioner en definitionsdomän - en symmetrisk mängd? De udda?
- Om D( f) är en asymmetrisk mängd, vad är då funktionen?
– Alltså om funktionen på = f(X) är jämn eller udda, då är dess definitionsdomän D( f) är en symmetrisk uppsättning. Men är det omvända påståendet sant, om domänen för en funktion är en symmetrisk mängd, då är den jämn eller udda?
- Så närvaron av en symmetrisk uppsättning av definitionsdomänen är ett nödvändigt villkor, men inte tillräckligt.
– Så hur kan vi undersöka funktionen för paritet? Låt oss försöka skriva en algoritm.

Glida

Algoritm för att undersöka en funktion för paritet

1. Bestäm om domänen för funktionen är symmetrisk. Om inte, är funktionen varken jämn eller udda. Om ja, gå till steg 2 i algoritmen.

2. Skriv ett uttryck för f(–X).

3. Jämför f(–X).och f(X):

• om f(–X).= f(X), då är funktionen jämn;
• om f(–X).= – f(X), då är funktionen udda;
• om f(–X) ≠ f(X) och f(–X) ≠ –f(X), då är funktionen varken jämn eller udda.

Exempel:

Undersök funktionen för paritet a) på= x 5 +; b) på= ; i) på= .

Lösning.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), symmetrisk mängd.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funktion h(x)= x 5 + udda.

b) y =,

på = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asymmetrisk mängd, så funktionen är varken jämn eller udda.

i) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Alternativ 2

1. Är den givna mängden symmetrisk: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Undersök funktionen för paritet:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. I fig. plottas på = f(X), för alla X, som uppfyller villkoret X? 0.
Rita funktionen på = f(X), om på = f(X) är en jämn funktion.

3. I fig. plottas på = f(X), för alla x som uppfyller x? 0.
Rita funktionen på = f(X), om på = f(X) är en udda funktion.

Ömsesidig kontroll på glida.

6. Läxor: №11.11, 11.21,11.22;

Bevis på den geometriska betydelsen av paritetsegenskapen.

*** (Tilldelning av alternativet USE).

1. Den udda funktionen y \u003d f (x) definieras på hela den reella linjen. För alla icke-negativa värden på variabeln x, sammanfaller värdet av denna funktion med värdet på funktionen g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Hitta värdet på funktionen h( X) = kl X = 3.

7. Sammanfattning

Jämnhet och uddahet hos en funktion är en av dess huvudegenskaper, och jämnhet upptar en imponerande del av skolkursen i matematik. Det bestämmer till stor del arten av funktionens beteende och underlättar avsevärt konstruktionen av motsvarande graf.

Låt oss definiera funktionens paritet. Generellt sett anses funktionen som studeras även om för motsatta värden av den oberoende variabeln (x) som finns i dess domän, motsvarande värden för y (funktion) är lika.

Låt oss ge en mer rigorös definition. Tänk på någon funktion f (x), som är definierad i domänen D. Det kommer att vara även om för någon punkt x som finns i definitionsdomänen:

• -x (motsatt punkt) ligger också i det givna omfånget,

• f(-x) = f(x).

Av definitionen ovan följer det villkor som krävs för definitionsdomänen för en sådan funktion, nämligen symmetri med avseende på punkten O, som är ursprunget till koordinaterna, eftersom om någon punkt b finns i definitionsdomänen för en jämn funktion, då ligger motsvarande punkt - b också i denna domän. Av det föregående följer därför slutsatsen: en jämn funktion har en form som är symmetrisk med avseende på ordinataaxeln (Oy).

Hur bestämmer man en funktions paritet i praktiken?

Låt det ges med formeln h(x)=11^x+11^(-x). Efter algoritmen som följer direkt av definitionen studerar vi först och främst dess definitionsdomän. Uppenbarligen är det definierat för alla värden i argumentet, det vill säga det första villkoret är uppfyllt.

Nästa steg är att ersätta argumentet (x) med dess motsatta värde (-x).
Vi får:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Eftersom addition uppfyller den kommutativa (förskjutnings) lagen är det uppenbart att h(-x) = h(x) och det givna funktionella beroendet är jämnt.

Låt oss kontrollera jämnheten för funktionen h(x)=11^x-11^(-x). Efter samma algoritm får vi h(-x) = 11^(-x) -11^x. Att ta ut minus, som ett resultat, har vi
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Därför är h(x) udda.

Det bör förresten påminnas om att det finns funktioner som inte kan klassificeras enligt dessa kriterier, de kallas varken jämna eller udda.

Även funktioner har ett antal intressanta egenskaper:

• som ett resultat av tillägget av liknande funktioner erhålls en jämn;
• som ett resultat av att subtrahera sådana funktioner erhålls en jämn;
• jämn, även jämn;
• som ett resultat av att multiplicera två sådana funktioner erhålls en jämn;
• som ett resultat av multiplikation av udda och jämna funktioner erhålls en udda;
• som ett resultat av att dela de udda och jämna funktionerna erhålls en udda;
• derivatan av en sådan funktion är udda;
• Om vi ​​kvadrerar en udda funktion får vi en jämn.

En funktions paritet kan användas för att lösa ekvationer.

För att lösa en ekvation som g(x) = 0, där den vänstra sidan av ekvationen är en jämn funktion, räcker det med att hitta dess lösningar för variabelns icke-negativa värden. De erhållna rötterna av ekvationen måste kombineras med motsatta tal. En av dem är föremål för verifiering.

Detsamma används framgångsrikt för att lösa icke-standardiserade problem med en parameter.

Till exempel, finns det något värde för parametern a som skulle få ekvationen 2x^6-x^4-ax^2=1 att ha tre rötter?

Om vi ​​tar med i beräkningen att variabeln kommer in i ekvationen i jämna potenser, så är det tydligt att byte av x med -x inte kommer att ändra den givna ekvationen. Det följer att om ett visst tal är dess rot, så är det motsatta talet också. Slutsatsen är uppenbar: rötterna till ekvationen, andra än noll, ingår i uppsättningen av dess lösningar i "par".

Det är tydligt att talet 0 i sig inte är det, det vill säga antalet rötter i en sådan ekvation kan bara vara jämnt och naturligtvis kan det inte ha tre rötter för något värde på parametern.

Men antalet rötter i ekvationen 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 kan vara udda, och för valfritt värde på parametern. Det är faktiskt lätt att kontrollera att uppsättningen av rötter i en given ekvation innehåller lösningar i "par". Låt oss kontrollera om 0 är en rot. När vi sätter in det i ekvationen får vi 2=2. Således, förutom "parad" är 0 också en rot, vilket bevisar deras udda tal.

- (Matte.) Funktionen y \u003d f (x) kallas även om den inte ändras när den oberoende variabeln bara byter tecken, det vill säga om f (x) \u003d f (x). Om f (x) = f (x), så kallas funktionen f (x) udda. Till exempel, y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x är ett exempel på en udda funktion. f(x) = x2 är ett exempel på en jämn funktion. f(x) = x3 ... Wikipedia

En funktion som uppfyller likheten f (x) = f (x). Se jämna och udda funktioner... Stor sovjetisk uppslagsbok

F(x) = x är ett exempel på en udda funktion. f(x) = x2 är ett exempel på en jämn funktion. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x är ett exempel på en udda funktion. f(x) = x2 är ett exempel på en jämn funktion. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x är ett exempel på en udda funktion. f(x) = x2 är ett exempel på en jämn funktion. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x är ett exempel på en udda funktion. f(x) = x2 är ett exempel på en jämn funktion. f(x) = x3 ... Wikipedia

Särskilda funktioner introducerades av den franske matematikern E. Mathieu 1868 när man löste problem med vibrationen av ett elliptiskt membran. M. f. används också i studiet av utbredningen av elektromagnetiska vågor i en elliptisk cylinder ... Stor sovjetisk uppslagsbok

Begäran om "synd" omdirigeras hit; se även andra betydelser. "Sec"-begäran omdirigeras hit; se även andra betydelser. "Sine" omdirigerar hit; se även andra betydelser ... Wikipedia