3.1 Среднеарифметическая погрешность. Как уже отмечалось раньше, измерения принципиально не могут быть абсолютно точными. Поэтому в ходе измерения возникает задача об определении интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Такой интервал указывают в виде абсолютной ошибки измерения.
Если предположить, что грубые промахи в измерениях устранены, а систематические ошибки сведены к минимуму тщательной настройкой приборов и всей установки и не являются определяющими, то результаты измерений будут, в основном, содержать только случайные погрешности, которые являются знакопеременными величинами. Поэтому, если проведено несколько повторных измерений одной и той же величины, то наиболее вероятным значением измеряемой величины является ее среднеарифметическое значение:
Средней абсолютной ошибкой называется среднеарифметическое модулей абсолютных ошибок отдельных измерений:
Последнее неравенство обычно принято записывать как окончательный результат измерения следующим образом:
| (5) |
где абсолютная погрешность a ср должна вычисляться (округляться) с точностью до одной-двух значащих цифр. Абсолютная ошибка показывает, в каком знаке числа содержатся неточности, поэтому в выражении для а ср оставляют все верные цифры и одну сомнительную. То есть среднее значение и средняя ошибка измеряемой величины должны вычисляться до цифры одного и того же разряда. Например: g = (9,78 ± 0,24) м/с 2 .
Относительная погрешность. Абсолютная ошибка определяет интервал наиболее вероятных значений измеряемой величины, но не характеризует степень точности произведенных измерений. Например, расстояние между населенными пунктами, измеренное с точностью до нескольких метров, можно отнести к весьма точным измерениям, в то время как измерение диаметра проволоки с точностью до 1 мм, в большинстве случаев будет являться весьма приближенным измерением.
Степень точности проведенных измерений характеризует относительная погрешность.
Средней относительной погрешностью или просто относительной ошибкой измерения называется отношение средней абсолютной ошибки измерения к среднему значению измеряемой величины:
Относительная ошибка является безразмерной величиной и обычно выражается в процентах.
3.2 Погрешность метода или приборная погрешность. Среднеарифметическое значение измеряемой величины тем ближе к истинному, чем больше проведено измерений, при этом абсолютная погрешность измерения с увеличением их числа стремится к значению, которое определяется методом измерения и техническими характеристиками используемых приборов.
Погрешность метода или приборную погрешность можно рассчитать по одноразовому измерению, зная класс точности прибора или другие данные технического паспорта прибора, в котором указывается либо класс точности прибора, либо его абсолютная или относительная погрешность измерения.
Класс точности прибора выражает в процентах номинальную относительную ошибку прибора, то есть относительную ошибку измерения, когда измеряемая величина равна предельному для данного прибора значению
Абсолютная погрешность прибора не зависит от значения измеряемой величины.
Относительная погрешность прибора (по определению):
 | (10) |
откуда видно, что относительная приборная ошибка тем меньше, чем ближе значение измеряемой величины к пределу измерения данного прибора. Поэтому рекомендуется подбирать приборы так, чтобы измеряемая величина составляла 60 -90% от величины, на которую рассчитан прибор. При работе с многопредельными приборами тоже следует стремиться к тому, чтобы отсчет производился во второй половине шкалы.
При работе с простыми приборами (линейка, мензурка и т.п.), классы точности и погрешности которых не определены техническими характеристиками, абсолютную погрешность прямых измерений принимают равной половине цены деления данного прибора. (Ценой деления называют значение измеряемой величины при показаниях прибора в одно деление).
Приборную погрешность косвенных измерений можно рассчитать, используя правила приближенных вычислений. В основе вычисления погрешности косвенных измерений лежат два условия (предположения):
1. Абсолютные ошибки измерений всегда очень малы по сравнению с измеряемыми величинами. Поэтому абсолютные ошибки (в теории) можно рассматривать как бесконечно малые приращения измеряемых величин, и они могут быть заменены соответствующими дифференциалами.
2. Если физическая величина, которую определяют косвенным путем, является функцией одной или нескольких непосредственно измеряемых величин, то абсолютная ошибка функции, обусловленная бесконечно малыми приращениями, является также бесконечно малой величиной.
При указанных допущениях абсолютную и относительную погрешность можно рассчитать, используя известные выражения из теории дифференциального исчисления функций многих переменных:
| (11) | |
 | (12) |
Абсолютные ошибки непосредственных измерений могут иметь знаки "плюс" или "минус", но какой именно - неизвестно. Поэтому при определении погрешностей рассматривается наиболее невыгодный случай, когда ошибки прямых измерений отдельных величин имеют один и тот же знак, то есть абсолютная ошибка имеет максимальное значение. Поэтому при расчете приращений функции f(x 1 ,x 2 ,…,х n) по формулам (11) и (12) частные приращения должны складываться по абсолютной величине. Таким образом, используя приближение Dх i ≈ dx i , и выражения (11) и (12), для бесконечно малых приращений Dа можно записать:
 | (13) |
 | (14) |
Здесь: а - косвенно измеряемая физическая величина, то есть определяемая по расчетной формуле, Dа - абсолютная ошибка ее измерения, х 1 , х 2 ,...х n ; Dх 1, Dx 2 ,..., Dх n , - физические величины прямых измерений и их абсолютные ошибки соответственно.
Таким образом: а) абсолютная ошибка косвенного метода измерения равна сумме модулей произведений частных производных функции измерения и соответствующих абсолютных ошибок прямых измерений; б) относительная ошибка косвенного метода измерения равна сумме модулей дифференциалов от логарифма натурального функции измерения, определяемой расчетной формулой.
Выражения (13) и (14) позволяют рассчитать абсолютные и относительные погрешности по одноразовому измерению. Заметим, что для сокращения расчетов по указанным формулам достаточно рассчитать одну из погрешностей (абсолютную или относительную), а другую рассчитать, используя простую связь между ними:
| (15) |
На практике чаще пользуются формулой (13), так как при логарифмировании расчетной формулы произведения различных величин преобразуются в соответствующие суммы, а степенные и показательные функции преобразуются в произведения, что намного упрощает процесс дифференцирования.
Для практического руководства по расчету погрешности косвенного метода измерения можно пользоваться следующим правилом:
Чтобы вычислить относительную ошибку косвенного метода измерения, нужно:
1. Определить абсолютные ошибки (приборные или средние) прямых измерений.
2. Прологарифмировать расчетную (рабочую) формулу.
3. Принимая величины прямых измерений за независимые переменные, найти полный дифференциал от полученного выражения.
4. Сложить все частные дифференциалы по абсолютной величине, заменив в них дифференциалы переменных соответствующими абсолютными ошибками прямых измерений.
Например, плотность тела цилиндрической формы вычисляется по формуле:
 | (16) |
где m, D, h - измеряемые величины.
Получим формулу для расчета погрешностей.
1. Исходя из используемого оборудования, определяем абсолютные погрешности измерения массы, диаметра и высоты цилиндра (∆m, ∆D, ∆h соответственно).
2. Логарифмируем выражение (16):
3. Дифференцируем:
4. Заменяя дифференциал независимых переменных на абсолютные ошибки и складывая модули частных приращений, получаем:
5. Используя численные значения m, D, h, D, m, h , рассчитываем Е.
6. Вычисляем абсолютную ошибку
где r рассчитано по формуле (16).
Предлагаем самим убедиться, что в случае полого цилиндра или трубки с внутренним диаметром D 1 и внешним диаметром D 2
К расчету ошибки метода измерения (прямого или косвенного) приходится прибегать в случаях, когда многократные измерения либо невозможно провести в одних и тех же условиях, либо они занимают много времени.
Если определение погрешности измерения является принципиальной задачей, то обычно измерения проводят многократно и вычисляют и среднеарифметическую погрешность и погрешность метода (приборную погрешность). В окончательном результате указывают большую из них.
О точности вычислений
Ошибка результата определяется не только неточностями измерений но и неточностями вычислений. Вычисления необходимо проводить так, чтобы их ошибка была на порядок меньше ошибки результата измерений. Для этого вспомним правила математического действия с приближёнными числами.
Результаты измерений – приближённые числа. В приближённом числе все цифры должны быть верными. Последней верной цифрой приближённого числа считается такая цифра, ошибка в которой не превышает одной единицы её разряда. Все цифры от 1 до 9 и 0, если он стоит в середине или в конце числа, называются значащими. В числе 2330 - 4 значащих цифры, а в числе 6,1×10 2 – только две, в числе 0,0503 – три, так как нули слева от пятёрки незначащие. Запись числа 2,39 означает, что верны все знаки до второго после запятой, а запись в 1,2800 – что верно также и третий и четвёртый знаки. В числе 1,90 три значащих цифры и это значит, что при измерении мы учитывали не только единицы, но и десятые и сотые, а в числе 1,9 – только две значащих цифры и это значит, что мы учитывали целые и десятые и точность этого числа в 10 раз меньше.
Правила округления чисел
При округлении оставляют лишь верные знаки, остальные отбрасываются.
1. Округление достигается простым отбрасыванием цифр, если первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5.
2. Если первая из отбрасываемых цифр больше, чем 5, то последняя цифра увеличивается на единицу. Последняя цифра увеличивается также и в том случае, когда первая из отбрасываемых цифр 5, а за ней есть одна или несколько цифр, отличных от нуля.
Например, различные округления числа 35,856 будут: 35,9; 36.
3. Если отбрасываемая цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее чётное число, то есть, последняя сохраняемая цифра остаётся неизменной, если она чётная и увеличивается на единицу, если она нечётная.
Например, 0,435 округляем до 0,44; 0,365 округляем до 0,36.
При прямых измерениях
1. Пусть на вольтметре однократно измерены два напряжения U 1 = 10 В, U 2 = 200 В. Вольтметр имеет следующие характеристики: класс точности d кл т = 0,2, U max = 300 В.
Определим абсолютную и относительную погрешности этих измерений.
Так как оба измерения произведены на одном приборе, то DU 1 = DU 2 и вычисляются по формуле (В.4)
Согласно определению относительные погрешности U 1 и U 2 соответственно равны
ε 1 = 0,6 ∙ В / 10 В = 0,06 = 6 %,
ε 2 = 0,6 ∙ В / 200 В = 0,003 = 0,3 %.
Из приведенных результатов вычислений ε 1 и ε 2 видно, что ε 1 значительно больше ε 2 .
Отсюда вытекает правило: следует выбирать прибор с таким пределом измерений, чтобы показания были в последней трети шкалы.
2. Пусть некоторая величина измерена многократно, то есть произведено n отдельных измерений этой величины А х 1 , А х 2 ,..., А х 3 .
Тогда для вычисления абсолютной погрешности производят следующие операции:
1) по формуле (В.5) определяют среднее арифметическое значение А 0 измеряемой величины;
2) вычисляют сумму квадратов отклонений отдельных измерений от найденного среднего арифметического и по формуле (В.6) определяют среднюю квадратическую погрешность, которая и характеризует абсолютную погрешность единичного измерения при многократных прямых измерениях некоторой величины;
3) относительная погрешность ε вычисляется по формуле (В.2).
Вычисление абсолютной и относительной погрешности
При косвенном измерении
Вычисление погрешностей при косвенных измерениях – более сложная задача, так как в этом случае искомая величина является функцией других вспомогательных величин, измерение которых сопровождается появлением погрешностей. Обычно при измерениях, если не считать промахов, случайные погрешности оказываются весьма малыми по сравнению с измеряемой величиной. Они настолько малы, что вторые и более высокие степени погрешностей лежат за пределами точностей измерений и ими можно пренебречь. Из-за малости погрешностей для получения формулы погрешности
косвенно измеряемой величины применяют методы дифференциального исчисления. При косвенном измерении величины, когда непосредственно измеряются величины, связанные с искомой некоторой мaтематической зависимостью, удобнее вначале определить относительную погрешность и уже
через найденную относительную погрешность вычислять абсолютную погрешность измерения.
Дифференциальное исчисление дает наиболее простой способ определения относительной погрешности при косвенном измерении.
Пусть искомая величина А
связана функциональной зависимостью с несколькими независимыми непосредственно измеряемыми величинами x
1 ,
x
2 , ..., x k
, т. е.
A = f (x 1 , x 2 , ..., x k ).
Для определения относительной погрешности величины А берется натуральный логарифм от обеих частей равенства
ln A = ln f (x 1 , x 2 , ..., x k ).
Затем вычисляется дифференциал натурального логарифма функции
A
= f
(x
1 ,x
2 , ..., x k
),
dlnA = dlnf (x 1 , x 2 , ..., x k )
В полученном выражении производятся все возможные алгебраические преобразования и упрощения. После этого все символы дифференциалов d заменяются на символы погрешности D, причем отрицательные знаки перед дифференциалами независимых переменных заменяются положительными, т. е. берется наиболее неблагоприятный случай, когда все погрешности складываются. В этом случае вычисляется максимальная погрешность результата.
С учетом вышесказанного
но ε = D А / А
Данное выражение является формулой относительной погрешности величины А
при косвенных измерениях, оно определяет относительную погрешность искомой величины, через относительные погрешности, измеряемых величин. Вычислив по формуле (В.11) относительную погрешность,
определяют абсолютную погрешность величины А
как произведение относительной погрешности на рассчитанное значение А
т. е.
DА = εА , (В.12)
где ε выражено безразмерным числом.
Итак, относительную и абсолютную погрешности косвенно измеряемой величины следует рассчитать в такой последовательности:
1) берется формула, по которой рассчитывается искомая величина (расчетная формула);
2) берется натуральный логарифм от обеих частей расчетной формулы;
3) вычисляется полный дифференциал натурального логарифма искомой величины;
4) в полученном выражении производятся все возможные алгебраические преобразования и упрощения;
5) символ дифференциалов d заменяется на символ погрешности D, при этом все отрицательные знаки перед дифференциалами независимых переменных заменяются на положительные (величина относительной погрешности будет максимальной) и получается формула относительной погрешности;
6) рассчитывается относительная погрешность измеряемой величины;
7) по рассчитанной относительной погрешности вычисляется абсолютная погрешность косвенного измерения по формуле (В.12).
Рассмотрим несколько примеров расчета относительной и абсолютной погрешностей при косвенном измерении.
1. Искомая величина А связана с непосредственно измеряемыми величинами х , у , z соотношением
где a и b – постоянные величины.
2. Возьмем натуральный логарифм от выражения (В.13)
3. Вычислим полный дифференциал натурального логарифма искомой величины А , то есть дифференцируем (В.13)
4. Производим преобразования. Учитывая, что dа = 0, так как а = const, cos у /sin y = ctg y , получаем:
5. Заменим символы дифференциалов символами погрешностей и знак «минус» перед дифференциалом на знак «плюс»
6. Рассчитываем относительную погрешность измеряемой величины.
7. По рассчитанной относительной погрешности вычисляется абсолютная погрешность косвенного измерения по формуле (В.12), т. е.
Определяется длина волны желтого цвета спектральной линии ртути при помощи дифракционной решетки (используя принятую последовательность вычисления относительной и абсолютной погрешностей для длины волны желтого цвета).
1. Длина волны желтого цвета в этом случае определяется по формуле:
где С – постоянная дифракционной решетки (косвенно измеряемая величина); φ ж – угол дифракции желтой линии в данном порядке спектра (непосредственно измеряемая величина); K ж – порядок спектра, в котором производилось наблюдение.
Постоянная дифракционной решетки вычисляется по формуле
где K з – порядок спектра зеленой линии; λ з – известная длина волны зеленого цвета (λ з – постоянная); φ з – угол дифракции зеленой линии в данном порядке спектра (непосредственно измеряемая величина).
Тогда с учетом выражения (В.15)
(В.16)
где K
з, K
ж – наблюдаемые, которые считаются постоянными; φ з, φ ж – являют-
ся непосредственно измеряемыми величинами.
Выражение (В.16) – расчетная формула длины волны желтого цвета, определяемой при помощи дифракционной решетки.
4. dK з = 0; dK ж = 0; dλ з = 0, так как K з, K ж и λ з – постоянные величины;
Тогда 
5. 
(В.17)
где Dφ ж, Dφ з – абсолютные погрешности измерения угла дифракции желтой
и зеленой линий спектра.
6. Рассчитываем относительную погрешность длины волны желтого цвета.
7. Вычисляем абсолютную погрешность длины волны желтого цвета:
Dλ ж = ελ ж.
Физические величины характеризуются понятием «точность погрешности». Есть высказывание, что путем проведения измерений можно прийти к познанию. Так удастся узнать, какова высота дома или длина улицы, как и многие другие.
Введение
Разберемся в значении понятия «измерить величину». Процесс измерения заключается в том, чтобы сравнить её с однородными величинами, которые принимают в качестве единицы.
Для определения объёма используются литры, для вычисления массы применяются граммы. Чтобы было удобнее производить расчеты, ввели систему СИ международной классификации единиц.
За измерение длины вязли метры, массы - килограммы, объёма - кубические литры, времени - секунды, скорости - метры за секунду.
При вычислении физических величин не всегда нужно пользоваться традиционным способом, достаточно применить вычисление при помощи формулы. К примеру, для вычисления таких показателей, как средняя скорость, необходимо поделить пройденное расстояние на время, проведенное в пути. Так производятся вычисления средней скорости.
Применяя единицы измерения, которые в десять, сто, тысячу раз превышают показатели принятых измерительных единиц, их называют кратными.
Наименование каждой приставки соответствует своему числу множителя:
- Дека.
- Гекто.
- Кило.
- Мега.
- Гига.
- Тера.
В физической науке для записи таких множителей используется степень числа 10. К примеру, миллион обозначается как 10 6 .
В простой линейке длина имеет единицу измерения - сантиметр. Она в 100 раз меньше метра. 15-сантиметровая линейка имеет длину 0,15 м.
Линейка является простейшим видом измерительных приборов для того, чтобы измерять показатели длины. Более сложные приборы представлены термометром - чтобы гигрометром - чтобы определять влажность, амперметром - замерять уровень силы, с которой распространяется электрический ток.
Насколько точны будут показатели проведенных измерений?
Возьмем линейку и простой карандаш. Наша задача заключается в измерении длины этой канцелярской принадлежности.
Для начала потребуется определить, какова цена деления, указанная на шкале измерительного прибора. На двух делениях, которые являются ближайшими штрихами шкалы, написаны цифры, к примеру, «1» и «2».
Необходимо подсчитать, сколько делений заключено в промежутке этих цифр. При правильном подсчете получится «10». Вычтем от того числа, которое является большим, число, которое будет меньшим, и поделим на число, которое составляют деления между цифрами:
(2-1)/10 = 0,1 (см)
Так определяем, что ценой, определяющей деление канцелярской принадлежности, является число 0,1 см или 1 мм. Наглядно показано, как определяется показатель цены для деления с применением любого измерительного прибора.
Измеряя карандаш с длиной, которая немного меньше, чем 10 см, воспользуемся полученными знаниями. При отсутствии на линейке мелкого деления, следовал бы вывод, что предмет имеет длину 10 см. Это приблизительное значение названо измерительной погрешностью. Она указывает на тот уровень неточности, которая может допускаться при проведении измерений.
Определяя параметры длины карандаша с более высоким уровнем точности, большей ценой деления достигается большая измерительная точность, которая обеспечивает меньшую погрешность.
При этом абсолютно точного выполнения измерений не может быть. А показатели не должны превышать размеры цены деления.
Установлено, что размеры измерительной погрешности составляют ½ цены, которая указана на делениях прибора, который применяется для определения размеров.
После выполнения замеров карандаша в 9,7 см определим показатели его погрешности. Это промежуток 9,65 - 9,85 см.
Формулой, измеряющей такую погрешность, является вычисление:
А = а ± D (а)
А - в виде величины для измерительных процессов;
а - значение результата замеров;
D - обозначение абсолютной погрешности.
При вычитании или складывании величин с погрешностью результат будет равен сумме показателей погрешности, которую составляет каждая отдельная величина.
Знакомство с понятием
Если рассматривать в зависимости от способа её выражения, можно выделить такие разновидности:
- Абсолютную.
- Относительную.
- Приведенную.
Абсолютная погрешность измерений обозначается буквой «Дельта» прописной. Это понятие определяется в виде разности между измеренными и действительными значениями той физической величины, которая измеряется.
Выражением абсолютной погрешность измерений являются единицы той величины, которую необходимо измерить.
При измерении массы она будет выражаться, к примеру, в килограммах. Это не эталон точности измерений.
Как рассчитать погрешность прямых измерений?
Есть способы изображения погрешности измерения и их вычисления. Для этого важно уметь определять физическую величину с необходимой точностью, знать, что такое абсолютная погрешность измерений, что её никто никогда не сможет найти. Можно вычислить только её граничное значение.
Даже если условно употребляется этот термин, он указывает именно на граничные данные. Абсолютная и относительная погрешность измерений обозначаются одинаковыми буквами, разница в их написании.
При измерении длины абсолютная погрешность будет измеряться в тех единицах, в которых исчисляться длина. А относительная погрешность вычисляется без размеров, так как она является отношением абсолютной погрешности к результату измерения. Такую величину часто выражают в процентах или в долях.
Абсолютная и относительная погрешность измерений имеют несколько разных способов вычисления в зависимости от того, какой физических величин.
Понятие прямого измерения
Абсолютная и относительная погрешность прямых измерений зависят от класса точности прибора и умения определять погрешность взвешивания.
Прежде чем говорить о том, как вычисляется погрешность, необходимо уточнить определения. Прямым называется измерение, при котором происходит непосредственное считывание результата с приборной шкалы.
Когда мы пользуемся термометром, линейкой, вольтметром или амперметром, то всегда проводим именно прямые измерения, так как применяем непосредственно прибор со шкалой.
Есть два фактора, которые влияют на результативность показаний:
- Погрешностью приборов.
- Погрешностью системы отсчета.
Граница абсолютной погрешности при прямых измерениях будет равна сумме погрешности, которую показывает прибор, и погрешности, которая происходит в процессе отсчета.
D = D (пр.) + D (отс.)
Пример с медицинским термометром
Показатели погрешности указаны на самом приборе. На медицинском термометре прописана погрешность 0,1 градусов Цельсия. Погрешность отсчета составляет половину цены деления.
D отс. = С/2
Если цена деления 0,1 градуса, то для медицинского термометра можно произвести вычисления:
D = 0,1 o С + 0,1 o С / 2 = 0,15 o С
На тыльной стороне шкалы другого термометра есть ТУ и указано, что для правильности измерений необходимо погружать термометр всей тыльной частью. не указана. Остается только погрешность отсчета.
Если цена деления шкалы этого термометра равна 2 o С, то можно измерять температуру с точностью до 1 o С. Таковы пределы допускаемой абсолютной погрешности измерений и вычисление абсолютной погрешности измерений.
Особую систему вычисления точности используют в электроизмерительных приборах.
Точность электроизмерительных приборов
Чтобы задать точность таких устройств, используется величина, называемая классом точности. Для её обозначения применяют букву «Гамма». Чтобы точно произвести определение абсолютной и относительной погрешности измерений, нужно знать класс точности прибора, который указан на шкале.
Возьмем, к примеру, амперметр. На его шкале указан класс точности, который показывает число 0,5. Он пригоден для измерений на постоянном и переменном токе, относится к устройствам электромагнитной системы.
Это достаточно точный прибор. Если сравнить его со школьным вольтметром, видно, что у него класс точности - 4. Эту величину обязательно знать для дальнейших вычислений.
Применение знаний
Таким образом, D c = c (max) Х γ /100
Этой формулой и будем пользоваться для конкретных примеров. Воспользуемся вольтметром и найдем погрешность измерения напряжения, которое дает батарейка.
Подключим батарейку непосредственно к вольтметру, предварительно проверив, стоит ли стрелка на нуле. При подключении прибора стрелка отклонилась на 4,2 деления. Это состояние можно охарактеризовать так:
- Видно, что максимальное значение U для данного предмета равно 6.
- Класс точности -(γ) = 4.
- U(о) = 4,2 В.
- С=0,2 В
Пользуясь этими данными формулы, абсолютная и относительная погрешность измерений вычисляется так:
D U = DU (пр.)+ С/2
D U (пр.) = U (max) Х γ /100
D U (пр.) = 6 В Х 4/100 = 0, 24 В
Это погрешность прибора.
Расчет абсолютной погрешности измерений в этом случае будет выполнен так:
D U = 0,24 В + 0,1 В = 0,34 В
По рассмотренной формуле без труда можно узнать, как рассчитать абсолютную погрешность измерений.
Существует правило округления погрешностей. Оно позволяет найти средний показатель между границей абсолютной погрешности и относительной.
Учимся определять погрешность взвешивания
Это один из примеров прямых измерений. На особом месте стоит взвешивание. Ведь у рычажных весов нет шкалы. Научимся определять погрешность такого процесса. На точность измерения массы влияет точность гирь и совершенство самих весов.
Мы пользуемся рычажными весами с набором гирь, которые необходимо класть именно на правую чашу весов. Для взвешивания возьмем линейку.
Перед началом опыта нужно уравновесить весы. Линейку кладем на левую чашу.
Масса будет равна сумме установленных гирь. Определим погрешность измерения этой величины.
D m = D m (весов) + D m (гирь)
Погрешность измерения массы складывается из двух слагаемых, связанных с весами и гирями. Чтобы узнать каждую из этих величин, на заводах по выпуску весов и гирь продукция снабжается специальными документами, которые позволяют вычислить точность.
Применение таблиц
Воспользуемся стандартной таблицей. Погрешность весов зависит от того, какую массу положили на весы. Чем она больше, тем, соответственно, больше и погрешность.
Даже если положить очень легкое тело, погрешность будет. Этот связано с процессом трения, происходящим в осях.
Вторая таблица относится к набору гирь. На ней указано, что каждая из них имеет свою погрешность массы. 10-граммовая имеет погрешность в 1 мг, как и 20-граммовая. Просчитаем сумму погрешностей каждой из этих гирек, взятой из таблицы.
Удобно писать массу и погрешность массы в двух строчках, которые расположены одна под другой. Чем меньше гири, тем точнее измерение.
Итоги
В ходе рассмотренного материала установлено, что определить абсолютную погрешность невозможно. Можно лишь установить её граничные показатели. Для этого используются формулы, описанные выше в вычислениях. Данный материал предложен для изучения в школе для учеников 8-9 классов. На основе полученных знаний можно решать задачи на определение абсолютной и относительной погрешности.
Допустим, что мы проводим серию из n измерений одной и той же величины х . Из-за наличия случайных ошибок отдельные значения х 1 , х 2 , х 3, х n неодинаковы, и в качестве наилучшего значения искомой величины выбирается среднее арифметическое , равное арифметической сумме всех измеренных значений, деленной на число измерений:
. (П.1)
где å - знак суммы, i - номер измерения, n - число измерений.
Итак, - значение, наиболее близкое к истинному. Истинного же значения никто не знает. Можно лишь рассчитать интервал Dх вблизи , в котором истинное значение может находиться с некоторой степенью вероятности р . Этот интервал называется доверительным интервалом . Вероятность, с которой истинное значение в него попадает, называется доверительной вероятностью, или коэффициентом надежности (так как знание доверительной вероятности позволяет оценить степь надежности полученного результата). При расчете доверительного интервала необходимая степень надежности задается заранее. Она определяется практическими потребностями (например, к деталям мотора самолета предъявляются более жесткие требования, чем к лодочному мотору). Очевидно, для получения большей надежности требуется увеличение числа измерений и их тщательности.
Благодаря тому, что случайные погрешности отдельных измерений подчиняются вероятностным закономерностям, методы математической статистики и теории вероятностей позволяют рассчитать среднюю квадратичную погрешность среднего арифметического значения Dх сл. Запишем без доказательства формулу для расчета Dх сл при малом числе измерений (n < 30).
Формулу называют формулой Стьюдента:
, (П.2)
где t n, p - коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и доверительной вероятности р .
Коэффициент Стьюдента находят по таблице, приведенной ниже, предварительно определив, исходя из практических потребностей (как было сказано выше), величины n и р .
При обработке результатов лабораторных работ достаточно провести 3-5 измерений, а доверительную вероятность принять равной0,68.
Но бывает так, что при многократных измерениях получаются одинаковые значения величины х . Например, 5 раз измерили диаметр проволоки и 5 раз получили одно и то же значение. Так вот, это вовсе не значит, что погрешности нет. Это значит только то, что случайная погрешность каждого измерения меньше точности прибора d, которую также называют приборной ,или инструментальной , погрешностью. Инструментальная погрешность прибора d определятся по классу точности прибора, указанному в его паспорте, либо указывается на самом приборе. А иногда принимается равной цене деления прибора (цена деления прибора - значение его самого маленького деления) либо половине цены деления (если на глаз приблизительно можно определить половину цены деления прибора).
Так как каждое из значений х i получено с погрешностью d, то полный доверительный интервал Dх , или абсолютную погрешность измерения, рассчитывают по формуле:
. (П.3)
Заметим, что если в формуле (П.3) одна из величин хотя бы в 3 раза больше другой, то меньшей пренебрегают.
Абсолютная погрешность сама по себе не отражает качества проведенных измерений. Например, только по информации абсолютная погрешность равна 0,002 м² нельзя судить о том, сколь хорошо было проведено данное измерение. Представление о качестве проведенных измерений дает относительная погрешность e, равная отношению абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины. Относительная погрешность показывает, какую долю составляет абсолютная погрешность от измеренного значения. Как правило, относительную погрешность выражают в процентах:
Рассмотрим пример. Пусть диаметр шара измеряется с помощью микрометра, инструментальная погрешность которого d = 0,01 мм. В результате трех измерений получились следующие значения диаметра:
d 1 = 2,42 мм, d 2 = 2,44 мм, d 3 = 2,48 мм.
По формуле (П.1) определяют среднее арифметическое значение диаметра шара
Затем по таблице коэффициентов Стьюдента находят, что для доверительной вероятности 0,68 при трех измерениях t n, p = 1,3. После чего по формуле (П.2) рассчитывают случайную погрешность измерения Dd сл
Так как полученная случайная погрешность всего в два раза превышает приборную погрешность, то при нахождении абсолютной погрешности измерения Dd по (П.3) следует учитывать и случайную погрешность, и погрешность прибора, т. е.
Мм » ±0,03 мм.
Погрешность округлили до сотых миллиметра, так как точность результата не может превышать точность измерительного прибора, которая в данном случае составляет 0,01 мм.
Итак, диаметр проволоки равен
мм.
Данная запись говорит о том, что истинное значение диаметра шара с вероятностью 68 % лежит в интервале (2,42 ¸ 2,48) мм.
Относительная погрешность e полученного значения согласно (П.4) составляет
%.
Инструкция
В первую очередь, проведите несколько измерений прибором одной и той же величины, чтобы иметь возможность действительное значение. Чем больше будет проведено измерений, тем точнее будет результат. Например, взвесьте на электронных весах. Допустим, вы получили результаты 0,106, 0,111, 0,098 кг.
Теперь посчитайте действительное значение величины (действительное, поскольку истинное найти невозможно). Для этого сложите полученные результаты и разделите их на количество измерений, то есть найдите среднее арифметическое. В примере действительное значение будет равно (0,106+0,111+0,098)/3=0,105.
Вторые возникают от влияния причин, и случайный характер. К ним можно отнести неправильное округление при подсчете показаний и влияние . Если такие ошибки значительно меньше, чем деления шкалы этого прибора измерения, то в качестве абсолютной погрешности целесообразно взять половину деления.
Промах или грубая погрешность представляет собой результат наблюдения, который резко отличается от всех остальных.
Абсолютная погрешность приближенного числового значения – это разность между результатом, в ходе измерения и истинным значением измеряемой величины. Истинное или действительное значение отражает исследуемую физическую величину. Эта погрешность является самой простой количественной мерой ошибки. Её можно рассчитать по следующей формуле: ∆Х = Хисл - Хист. Она может принимать положительное и отрицательное значение. Для большего понимания рассмотрим . В школе 1205 учащихся, при округлении до 1200 абсолютная погрешность равняется: ∆ = 1200 - 1205 = 5.
Существуют определенные расчета погрешности величин. Во-первых, абсолютная погрешность суммы двух независимых величин равна сумме их абсолютных погрешностей: ∆(Х+Y) = ∆Х+∆Y. Аналогичный подход применим для разности двух погрешностей. Можно воспользоваться формулой: ∆(Х-Y) = ∆Х+∆Y.
Источники:
- как определить абсолютную погрешность
Измерения могут проводиться с разной степенью точности. При этом абсолютно точными не бывают даже прецизионные приборы. Абсолютная и относительная погрешности могут быть малы, но в реальности они есть практически всегда. Разница между приближенным и точным значениями некой величины называется абсолютной погрешностью . При этом отклонение может быть как в большую, так и в меньшую сторону.
Вам понадобится
- - данные измерений;
- - калькулятор.
Инструкция
Перед тем как рассчитывать абсолютную погрешность, примите за исходные данные несколько постулатов. Исключите грубые погрешности. Примите, что необходимые поправки уже вычислены и внесены в результат. Такой поправкой может быть, перенос исходной точки измерений.
Примите в качестве исходного положения то, что и учтены случайные погрешности. При этом подразумевается, что они меньше систематических, то есть абсолютной и относительной, характерных именно для этого прибора.
Случайные погрешности влияют на результат даже высокоточных измерений. Поэтому любой результат будет более или менее приближенным к абсолютному, но всегда будут расхождения. Определите этот интервал. Его можно выразить формулой (Xизм- ΔХ)≤Хизм ≤ (Хизм+ΔХ).
Определите величину, максимально приближенную к значению. В измерениях берется арифметическое, которое можно по формуле, на рисунке. Примите результат за истинную величину. Во многих случаях в качестве точного принимается показание эталонного прибора.
Зная истинную величину , вы можете найти абсолютную погрешность, необходимо учитывать при всех последующих измерениях. Найдите величину Х1 – данные конкретного измерения. Определите разность ΔХ, отняв от большего меньшее. При определении погрешности учитывается только модуль этой разности.
Обратите внимание
Как правило, на практике абсолютно точное измерение провести не удается. Поэтому за эталонную величину принимается предельная погрешность. Она представляет собой максимальное значение модуля абсолютной погрешности.
Полезный совет
В практических измерениях за величину абсолютной погрешности обычно принимается половина наименьшей цены деления. При действиях с числами за абсолютную погрешность принимается половина значения цифры, которая находится в следующим за точными цифрами разряде.
Для определения класса точности прибора более важным бывает отношение абсолютной погрешности к результату измерений или к длине шкалы.
Погрешности измерений связаны с несовершенством приборов, инструментов, методики. Точность зависит также от внимательности и состояния экспериментатора. Погрешности разделяются на абсолютные, относительные и приведенные.
Инструкция
Пусть однократное измерение величины дало результат x. Истинное значение обозначено за x0. Тогда абсолютная погрешность Δx=|x-x0|. Она оценивает абсолютную . Абсолютная погрешность складывается из трех составляющих: случайных погрешностей, систематических погрешностей и промахов. Обычно при измерении прибором берут в качестве погрешности половину цены деления. Для миллиметровой линейки это будет 0,5 мм.
Истинное значение измеряемой величины в промежутке (x-Δx ; x+Δx). Короче это записывается как x0=x±Δx. Важно измерять x и Δx в одних и тех же единицах измерения и записывать в одном и том же формате , например, целая часть и три запятой. Итак, абсолютная погрешность дает границы интервала, в котором с некоторой вероятностью находится истинное значение.
Измерения прямые и косвенные. В прямых измерениях сразу замеряется искомая величина соответствующим прибором. Например, тела линейкой, напряжение – вольтметром. При косвенных измерениях величина находится по формуле зависимости между ней и замеряемыми величинами.
Если результат представляет собой зависимость от трех непосредственно измеряемых величин, имеющих погрешности Δx1, Δx2, Δx3, то погрешность косвенного измерения ΔF=√[(Δx1 ∂F/∂x1)²+(Δx2 ∂F/∂x2)²+(Δx3 ∂F/∂x3)²]. Здесь ∂F/∂x(i) – частные производные от функции по каждой из непосредственно измеряемых величин.
Полезный совет
Промахи – это грубые неточности измерений, возникающие при неисправности приборов, невнимательности экспериментатора, нарушении методики эксперимента. Чтобы уменьшить вероятность таких промахов, при проведении измерений будьте внимательны и подробно расписывайте полученный результат.
Источники:
- Методические указания к лабораторным работам по физике
- как найти относительную ошибку
Количественного понятия «точность » в науке не существует. Это качественное понятие. При защите диссертаций говорят только о погрешности (например, измерений). И даже если прозвучало слово «точность », то следует иметь в виду весьма расплывчатую меру величины, обратной погрешности.
Инструкция
Небольшой анализ понятия «приблизительное значение». Возможно, что имеется в виду приблизительный результат вычисления. Погрешность (точность ) здесь задает сам исполнитель работы. В эта погрешность указывается, например «до 10 в минус четвертой степени». Если же погрешность относительная – то в процентах или долях . Если вычисления велись на основе числового ряда (чаще всего Тейлора) – на основе модуля остаточного члена ряда.
О приблизительных значениях величин часто говорят как об оценочных их значениях . Результаты измерений случайны. Поэтому это те же случайные величины, обладающие характеристиками разброса значений, как та же дисперсия или с.к.о. (среднее
