Співвідношення 1 1 скільки. Співвідношення та пропорція

Основоюматематичних досліджень є можливість отримати знання про певні величини, порівнюючи їх з іншими величинами, які або рівні, або більшеабо менше, ніж ті, що є предметом дослідження. Це зазвичай проводиться за допомогою ряду рівняньі пропорцій. Коли ми використовуємо рівняння, ми визначаємо шукану величину, знаходячи її рівністьз якоюсь іншою вже знайомою величиною чи величинами.

Однак часто буває, що ми порівнюємо невідому величину з іншими, які не рівніїй, а більше чи менше її. Тут потрібен інший підхід до обробки даних. Нам може знадобитися дізнатися, наприклад, на скількиодна величина більша за іншу, або скільки разіводна містить іншу. Для знаходження відповіді на ці запитання ми дізнаємося, що таке співвідношеннядвох величин. Одне співвідношення називається арифметичним, а інше геометричним. Хоч і варто зауважити, що обидва ці терміни не були прийняті випадково або тільки з метою відзнаки. Як арифметичне, і геометричне співвідношення застосовні як до арифметиці, і до геометрії.

Як компонент великого і важливого предмета, пропорція залежить від співвідношень, тому необхідно чітке і повне розуміння цих понять.

338. Арифметичне співвідношення це різницяміж двома величинами або рядом величин. Самі собою величини називаються членамиспіввідношення, тобто члени, між якими є співвідношення. Таким чином 2 це арифметичне співвідношення 5 і 3. Це виражається поміщаючи знак мінус між двома величинами, тобто 5 - 3. Звичайно термін арифметичного співвідношення та його розписування по пунктах практично марно, тому що відбувається лише заміщення слова різницяна знак мінус у виразі.

339. Якщо обидва члени арифметичного співвідношення помножитиабо розділитина ту саму величину, то співвідношення,зрештою, буде помножено або поділено на цю величину.
Таким чином, якщо маємо a – b = r
Тоді перемножимо обидві сторони на h, (Акс. 3.) ha - hb = hr
І розділивши на h, (Акс. 4.) $ frac (a) (h) - frac (b) (h) = frac (r) (h) $

340. Якщо члени арифметичного співвідношення додають або віднімають від відповідних членів іншого, то співвідношення суми або різниці дорівнюватиме сумі або різниці двох співвідношень.
Якщо a - b
І d – h,
є двома співвідношеннями,
Тоді (a + d) – (b + h) = (a – b) + (d – h). Що в кожному випадку = a + d – b – h.
І (a – d) – (b – h) = (a – b) – (d – h). Що в кожному випадку = a – d – b + h.
Таким чином, арифметичне відношення 11 - 4 дорівнює 7
І арифметичне відношення 5 - 2 і 3
Відношення суми членів 16 – 6 це 10, – сума співвідношень.
Відношення різниці членів 6 - 2 це 4 - різниця співвідношень.

341. Геометричне співвідношення - це відношення між величинами, що виражається ПРИВАТНИМякщо одну величину ділять на іншу.
Таким чином, співвідношення 8 до 4, можна записати як 8/4 або 2. Тобто приватне поділу 8 на 4. Іншими словами, воно показує скільки разів 4 міститься в 8.

Тим самим способом, співвідношення будь-якої величини до іншої може бути визначено, розділивши першу на другу або, що, в принципі, те саме, зробивши першу чисельником дробу, а другу - знаменником.
Так співвідношення a до b це $\frac(a)(b)$
Співвідношення d + h до b + c це $ frac (d + h) (b + c) $.

342. Геометричне співвідношення також записується, розміщуючи дві точки одну над іншою між порівнюваними величинами.
Таким чином, a:b це запис співвідношення a до b, а 12:4 - співвідношення 12 до 4. Дві величини разом формують пару, в якій перший член називається антецедентом, а останній - консеквентом.

343. Цей запис за допомогою точок та інший, у формі дробу, є взаємозамінними при необхідності, при цьому антецедент стає чисельником дробу, а консеквент - знаменником.
Таким чином 10:5 це те ж, що і $ frac (10) (5) $ а b: d, те ж, що і $ frac (b) (d) $.

344. Якщо з цих трьох значень: антецедента, консеквента та співвідношення дано будь-які два, То третє можна знайти.

Нехай a = антецедент, c = консеквент, r = співвідношення.
За визначенням $r=\frac(a)(c)$, тобто співвідношення дорівнює антецеденту поділеному на консеквент.
Помножуючи на c, a = cr, тобто, антецедент дорівнює консеквенту, помноженому на співвідношення.
Розділимо на r, $c=\frac(a)(r)$, тобто, консеквент дорівнює антецеденту поділеному на співвідношення.

Соотв. 1. Якщо дві пари антецеденти і консеквенти рівні, їх співвідношення теж рівні.

Соотв. 2. Якщо у двох пар співвідношення та антеценденти рівні, то і консеквенти рівні і якщо співвідношення та консеквенти рівні, то й антецеденти рівні.

345. Якщо дві порівнювані величини рівні, їх співвідношення дорівнює одиниці чи співвідношенню рівності. Співвідношення 3*6:18 одно одиниці, тому що приватне будь-якої величини розділеної на саму себе дорівнює 1.

Якщо антецедент пари більше,що консеквент, то співвідношення більше одиниці. Так як ділене більше, ніж дільник, то часткове більше одиниці. Так співвідношення 18:6 дорівнює 3. Це називається співвідношення більшої нерівності.

З іншого боку, якщо антецедент менше, Чим консеквент, то співвідношення менше одиниці і це називається співвідношенням меншої нерівності. Так співвідношення 2:3 менше одиниці, тому що ділене менше дільника.

346. Назадспіввідношення - це співвідношення двох обернених величин.
Так співвідношення зворотне 6 до 3 це до , тобто.
Пряме співвідношення a b це $\frac(a)(b)$, тобто антецедент розділений на консеквент.
Зворотне співвідношення це $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ або $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b)( a) $.
тобто косеквент b поділений на антецедент a.

Звідси зворотне співвідношення виражається шляхом інвертування дробу, Що відображає пряме співвідношення, або, коли запис ведеться за допомогою точок, інвертуючи порядок запису членів.
Таким чином a відноситься до назад тому, як b до a.

347. Складне співвідношенняце співвідношення творіввідповідних членів із двома та більш простими співвідношеннями.
Так співвідношення 6:3, 2
І співвідношення 12:4, одно 3
Складене їх співвідношення 72:12 = 6.

Тут складне співвідношення виходить, множачи між собою два антецеденти і також два консеквенти простих співвідношень.
Так співвідношення складене
Зі співвідношення a:b
І співвідношення c:d
та співвідношення h:y
Це співвідношення $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$.
Складне співвідношення не відрізняється за своєю природівід будь-якого іншого співвідношення. Цей термін використовується, щоб у деяких випадках показати походження співвідношення.

Соотв. Складне співвідношення дорівнює добутку простих співвідношень.
Співвідношення a:b дорівнює $\frac(a)(b)$
Співвідношення c:d дорівнює $\frac(c)(d)$
Співвідношення h:y, дорівнює $\frac(h)(y)$
І співвідношення складене із цих трьох буде ach/bdy, що є твором дробів, які виражають прості співвідношення.

348. Якщо у послідовності співвідношень у кожній попередній парі консеквент є антецедентом у наступній, то співвідношення першого антецедента та останнього консеквенту рівні тому, яке отримане із проміжних співвідношень.
Так у ряді співвідношень
a:b
b:c
c:d
d:h
співвідношення a:h дорівнює співвідношенню, складеному із співвідношень a:b, і b:c, і c:d, і d:h. Так складне співвідношення в останній статті дорівнює $ frac (abcd) (bcdh) = frac (a) (h) $, або a: h.

Так само всі величини, які є і антецедентами і консеквентами зникнуть, Коли добуток дробів буде спрощено до своїх молодших членів і в залишку складне співвідношення виражатиметься першим антецедентом та останнім консеквентом.

349. Особливий клас складних співвідношень виходить при множенні простого співвідношення самого себеабо на інше рівнеспіввідношення. Ці співвідношення називаються подвійними, потрійними, четверними, і так далі, відповідно до кількості операцій множення.

Співвідношення, складене з двохрівних співвідношень, тобто, квадрата подвійнимспіввідношенням.

Складене з трьох, тобто, кубпростого співвідношення, називають потрійним, і так далі.

Аналогічно співвідношення квадратного коріннядвох величин, називається співвідношенням квадратного кореня, а співвідношення кубічного коріння- Співвідношенням кубічного кореня, і так далі.
Таким чином, просте співвідношення a до b, дорівнює a:b
Подвійне співвідношення a до b дорівнює a 2:b 2
Потрійне співвідношення a до b, a 3:b 3
Співвідношення квадратного кореня a до b дорівнює √a :√b
Співвідношення кубічного кореня a до b, дорівнює 3 √a : 3 √b і так далі.
Терміни подвійний, потрійний, і так далі не потрібно змішувати з подвоєним, потроєним, і так далі.
Співвідношення 6 до 2 дорівнює 6:2 = 3
Подвоїмо це співвідношення, тобто, співвідношення двічі, то отримаємо 12:2 = 6
Потроїмо це співвідношення, тобто це співвідношення тричі, то отримаємо 18:2 = 9
А подвійнеспіввідношення, тобто квадратспіввідношення, що дорівнює 6 2:2 2 = 9
І потрійнеспіввідношення, тобто куб співвідношення дорівнює 6 3:2 3 = 27

350. Для того, щоб величини можна співвіднести один з одним, вони повинні бути однакового роду, так, щоб можна було з упевненістю стверджувати, чи рівні вони між собою, або одна з них більша або менша. Фут відноситься до дюйму, як 12 до 1: він у 12 разів більше, ніж дюйм. Але не можна, наприклад, сказати, що година довша або коротша, ніж палиця, або акр більша або менша, ніж градус. Однак, якщо ці величини виражені в числах, може існувати співвідношення між цими числами. Тобто може існувати співвідношення між кількістю хвилин за годину та кількістю кроків у милі.

351. Звернувшись до природіспіввідношень, наступним кроком нам потрібно врахувати спосіб, як позначиться на самому співвідношенні зміна одного або двох членів, які порівнюють між собою. Згадаймо, що пряме співвідношення виражається у вигляді дробу, де антецедітпари завжди це чисельник, а консеквент - знаменник. Тоді буде легко з властивості дробів отримати, що зміни у співвідношенні відбуваються шляхом варіювання порівнюваних величин. Співвідношення двох величин таке саме як і значеннядробів, кожен з яких представляє приватне: чисельник поділений на знаменник (Стаття. 341.) Тепер було показано, що множити чисельник дробу на будь-яку величину, це те саме, що й множити значенняна цю ж величину і що ділити чисельник, це те ж, що і ділити значення дробу. Тому,

352. Помножувати антецедент пари на будь-яку величину, значить множити співвідношення на цю величину, а ділити антецедент - поділяти це співвідношення.
Таким чином, співвідношення 6:2 рівне 3
І співвідношення 24:2 рівне 12.
Тут антецедент і співвідношення в останній парі вчетверо більше, ніж у першій.
Відношення a:b дорівнює $\frac(a)(b)$
І відношення na: b дорівнює $ frac (na) (b) $.

Соотв. При відомому консеквенті чим більше антецедент, тим більше співвідношення, і, навпаки, що більше співвідношення, то більше вписувалося антецедент.

353. Помножуючи консеквент пари на будь-яку величину, в результаті отримуємо розподіл співвідношення на цю величину, а ділячи консеквент - множимо співвідношення.Помножуючи знаменник дробу, ділимо значення, а ділячи знаменник - значення множиться.
Так співвідношення 12:2 і 6
І співвідношення 12:4 і 3.
Тут консеквент другої пари в два разибільше, а співвідношення в два разименше, ніж перше.
Співвідношення a:b дорівнює $\frac(a)(b)$
І співвідношення a:nb дорівнює $ frac (a) (nb) $.

Соотв. При цьому антецеденті, що більше консеквент, то менше співвідношення. І навпаки, що більше співвідношення, то менше консеквент.

354. З двох останніх статей випливає, що множення антецедентупари на будь-яку величину вплине на співвідношення, як розподіл консеквентуна цю величину, а розподіл антецеденту, матиме такий самий ефект, як множення консеквенту.
Тому співвідношення 8:4, 2
Помножуючи антецедент на 2, співвідношення 16:4 і 4
Розділивши антецедент на 2, співвідношення 8:2 і 4.

Соотв. Будь-який множникабо дільникможе бути перенесений від антецедента пари до консеквенту або консеквента до антецедента без зміни співвідношення.

Варто зауважити, що коли множник таким чином переноситься від одного члена до іншого, то він стає дільником, а дільник, що переноситься, стає множником.
Так співвідношення 3.6:9 = 2
Перенісши множник 3, $6:\frac(9)(3)=2$
те саме співвідношення.

Співвідношення $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$
Перенісши y $ma:by=\frac(ma)(by)$
Перенісши m, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(by)$.

355. Як очевидно із статей. 352 та 353, якщо антецедент і консеквент помножити або розділити на одну і ту ж величину, то співвідношення не змінюється.

Соотв. 1. Співвідношення двох дробів, які мають спільний знаменник, таке саме як ставлення їх чисельників.
Таким чином співвідношення a/n:b/n, те саме, що і a:b.

Соотв. 2. Прямеспіввідношення двох дробів, які мають загальний чисельник, дорівнює зворотному співвідношенню їх знаменників.

356. Зі статті легко визначити співвідношення будь-яких двох дробів. Якщо кожен член помножити на два знаменники, співвідношення буде задано інтегральними виразами. Таким чином помножуючи члени пари a/b:c/d на bd, отримуємо $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$, що стає ad:bc, шляхом скорочення загальних величин з чисельників та знаменників.

356. b. Співвідношення більшої нерівності збільшуєйого
Нехай співвідношення більшої нерівності буде поставлене як 1+n:1
І будь-яке співвідношення як a:b
Складне співвідношення буде (Стаття. 347) a + na:b
Що більше, ніж співвідношення a:b (Стаття. 351. соотв.)
Але співвідношення меншої нерівності, Складене з іншим співвідношенням, зменшуєйого.
Нехай співвідношення меншої різниці 1-n:1
Будь-яке задане співвідношення a:b
Складне співвідношення a - na: b
Що менше, ніж a:b.

357. Якщо до або від членів будь-якої паридодати або відібрати дві інші величини, які знаходяться в такому ж співвідношенні, то суми або залишки матимуть таке саме співвідношення.
Нехай співвідношення a:b
Буде таке саме, як і c:d
Тоді співвідношення сумиантецедентів до суми консеквентів, зокрема, a + c to b + d, теж однакове.
Тобто $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Доказ.

1. Згідно з припущенням, $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. Множимо на b і на d, ad = bc
3. Додаємо cd до обох сторін, ad + cd = bc + cd
4. Ділимо на d, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. Ділимо на b + d, $ frac (a + c) (b + d) $ = $ frac (c) (d) $ = $ frac (a) (b) $.

Співвідношення різниціантецеденти до різниці консеквентів також однакові.

358. Якщо кількох парах співвідношення рівні, то сума всіх антецедентів відноситься до суми всіх консеквентів, як будь-який антецедент до свого консеквенту.
Таким чином співвідношення
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Отже співвідношення (12 + 10 + 8 + 6):(6 + 5 + 4 + 3) = 2.

358. b. Співвідношення більшої нерівностізменшується, додаючи ту саму величинудо обох членів.
Нехай це співвідношення a+b:a або $\frac(a+b)(a)$
Додавши x до обох членів, ми отримуємо a+b+x:a+x або $\frac(a+b)(a)$.

Перше стає $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$
А останнє $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$.
Оскільки останній чисельник очевидно менше, ніж інший, то співвідношеннямає бути менше. (Стаття. 351. соотв.)

Але співвідношення меншої нерівності збільшуєтьсядодаючи однакову величину до обох членів.
Нехай це співвідношення (a-b):a, або $\frac(a-b)(a)$.
Додавши x до обох членів, воно набуває вигляду (a-b+x):(a+x) або $\frac(a-b+x)(a+x)$
Привівши їх до спільного знаменника,
Перший стає $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$
А останній, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.

Оскільки останній чисельник більший, ніж інший, то співвідношеннябільше.
Якщо замість додавання ту саму величину відібративід двох членів, то очевидно, що ефект на співвідношення буде зворотним.

приклади.

1. Що більше: співвідношення 11:9 чи співвідношення 44:35?

2. Що більше: співвідношення $(a+3):\frac(a)(6)$, або співвідношення $(2a+7):\frac(a)(3)$?

3. Якщо антецедент пари дорівнює 65, а співвідношення дорівнює 13, який консеквент?

4. Якщо консеквент пари дорівнює 7 і співвідношення дорівнює 18, то який антецедент?

5. Як виглядає складне співвідношення складене з 8:7 і 2a:5b, а також (7x+1):(3y-2)?

6. Як виглядає складне співвідношення складене з (x+y):b і (x-y):(a + b), а також (a+b):h? Відп. (x 2 - y 2): bh.

7. Якщо співвідношення (5x+7):(2x-3), і $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\right)$ утворюють складне співвідношення, то яке співвідношення вийде: більшу чи меншу нерівність? Відп. Співвідношення більшої нерівності.

8. Яким є співвідношення складене з (x + y):a і (x - y):b, і $b:\frac(x^2-y^2)(a)$? Відп. Співвідношення рівності.

9. Яке співвідношення складене з 7:5 і подвоєного співвідношення 4:9 і потрійного співвідношення 3:2?
Відп. 14:15.

10. Яке співвідношення складене з 3:7 і потрійного співвідношення x:y і вилучення кореня з співвідношення 49:9?
Відп. x 3:y 3 .

Формула пропорцій

Пропорція - це рівність двох відносин, коли a:b=c:d

відношення 1 : 10 дорівнює відношенню 7 : 70, що також можна записати у вигляді дробу: 1 10 = 7 70 читається як: «один відноситься до десяти так само, як сім відноситься до сімдесяти»

Основні властивості пропорції

Твір крайніх членів дорівнює добутку середніх членів (хрест-навхрест): якщо a:b=c:d , то a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Повернення пропорції: якщо a:b=c:d , то b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Перестановка середніх членів: якщо a:b=c:d , a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Перестановка крайніх членів: якщо a:b=c:d , то d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Вирішення пропорції з одним невідомим | Рівняння

1 : 10 = x : 70 або 1 10 = x 70

Щоб знайти ікс, потрібно перемножити два відомих числа хрест-навхрест і поділити на протилежне значення

x = 1 ⋅ 70 10 = 7

Як порахувати пропорцію

Завдання:потрібно пити 1 таблетку активованого вугілля на 10 кілограмів ваги. Скільки пігулок потрібно випити, якщо людина важить 70 кг?

Складемо пропорцію: 1 таблетка – 10 кг xтаблеток - 70 кг Щоб знайти ікс, потрібно перемножити два відомі числа хрест-навхрест і поділити на протилежне значення: 1 таблетка xпігулок✕ 10 кг 70 кг x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Відповідь: 7 пігулок

Завдання:за п'ять годин Вася пише дві статті. Скільки статей він напише за 20:00?

Складемо пропорцію: 2 статті – 5 годин xстатей – 20 годин x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Відповідь: 8 статей

Майбутнім випускникам шкіл можу сказати, що вміння складати пропорції мені знадобилося і для того, щоб пропорційно зменшувати картинки, і в HTML-верстці інтернет-сторінки, і в побутових ситуаціях.

Для вирішення більшості завдань у математиці середньої школи необхідне знання щодо складання пропорцій. Це нескладне вміння допоможе як виконувати складні вправи з підручника, а й заглибитися у саму суть математичної науки. Як скласти пропорцію? Тепер розберемо.

Найпростішим прикладом є завдання, де відомі три параметри, а четверте необхідно знайти. Пропорції бувають, звичайно, різні, але часто потрібно знайти по відсотках якесь число. Наприклад, у хлопчика було десять яблук. Четверту частину він подарував своїй мамі. Скільки яблук у хлопчика? Це найпростіший приклад, який дозволить скласти пропорцію. Головне це зробити. Спочатку було десять яблук. Нехай це сто відсотків. Це ми окреслили всі його яблука. Він віддав одну четверту частину. 1/4 = 25/100. Значить, у нього залишилося: 100% (було спочатку) – 25% (він віддав) = 75%. Ця цифра показує відсоткове відношення кількості фруктів, що залишилися, до кількості наявних спочатку. Тепер ми маємо три числа, за якими вже можна вирішити пропорцію. 10 яблук – 100%, хяблук – 75%, де х – шукана кількість фруктів. Як скласти пропорцію? Потрібно розуміти, що це таке. Математично виглядає так. Знак поставлений для вашого розуміння.

10 яблук = 100%;

х яблук = 75%.

Виявляється, що 10/х = 100%/75. Це і є основна якість пропорцій. Адже що більше x, то більше відсотків становить це число від вихідного. Вирішуємо цю пропорцію та отримуємо, що x = 7,5 яблук. Чому хлопчик вирішив віддати нецілу кількість, нам невідомо. Тепер ви знаєте, як скласти пропорцію. Головне, знайти два співвідношення, в одному з яких є невідоме.

Рішення пропорції часто зводиться до простого множення, та був до поділу. У школах дітям не пояснюють, чому це так. Хоча важливо розуміти, що пропорційні відносини є математичною класикою, сама суть науки. Для вирішення пропорцій необхідно вміти поводитися з дробами. Наприклад, часто доводиться переводити відсотки у звичайні дроби. Тобто, запис 95% не підійде. А якщо одразу написати 95/100, то можна провести солідні скорочення, не починаючи основного підрахунку. Відразу варто сказати, що якщо ваша пропорція вийшла з двома невідомими, її не вирішити. Жодний професор вам тут не допоможе. А ваше завдання, швидше за все, має складніший алгоритм правильних дій.

Розглянемо ще один приклад, де немає відсотків. Автомобіліст купив 5 літрів бензину за 150 рублів. Він подумав про те, скільки він заплатив би за 30 літрів палива. Для вирішення цього завдання позначимо за x кількість грошей, яку шукає. Можете самостійно вирішити це завдання і потім перевірити відповідь. Якщо ви ще не зрозуміли, як скласти пропорцію, дивіться. 5 літрів бензину – це 150 рублів. Як і в першому прикладі, запишемо 5л – 150р. Тепер знайдемо третє число. Звісно, ​​це 30 літрів. Погодьтеся, що пара 30 л - х рублів доречна у цій ситуації. Перейдемо математичною мовою.

5 літрів – 150 рублів;

30 літрів – х рублів;

Вирішуємо цю пропорцію:

x = 900 рублів.

От і вирішили. У своєму завданні не забудьте перевірити відповідність на адекватність. Буває, що при неправильному вирішенні автомобілі досягають нереальних швидкостей 5000 кілометрів на годину і так далі. Тепер ви знаєте, як скласти пропорцію. Також ви можете її вирішити. Як бачите, у цьому немає нічого складного.

Співвідношенням називають певний взаємозв'язок між сутностями нашого світу. Це може бути числа, фізичні величини, предмети, продукти, явища, події і навіть люди.

У повсякденному житті, коли йдеться про співвідношення, ми говоримо «Співвідношення того-то і того-то». Наприклад, якщо у вазі лежить 4 яблука та 2 груші, то ми говоримо «співвідношення яблук та груш» «співвідношення груш та яблук».

У математиці співвідношення найчастіше використовується як «ставлення того-то до того-то». Наприклад, співвідношення чотирьох яблук і двох груш, які ми розглядали вище, в математиці читатиметься як «відношення чотирьох яблук до двох груш»або якщо поміняти місцями яблука та груші, то «відношення двох груш до чотирьох яблук».

Співвідношення виражається, як aдо b(де замість aі bбудь-які числа), але частіше можна зустріти запис, який складений за допомогою двокрапки як a: b. Прочитати цей запис можна різними способами:

• aдо b
• aвідноситься до b
• відношення aдо b

Запишемо співвідношення чотирьох яблук та двох груш за допомогою символу співвідношення:

4: 2

Якщо ж поміняємо місцями яблука та груші, то матимемо співвідношення 2:4. Це співвідношення можна прочитати як «два до чотирьох» або або «Дві груші відносяться до чотирьох яблук» .

Надалі співвідношення ми називатимемо ставленням.

Зміст уроку

Що таке відношення?

Ставлення, як було зазначено раніше, записується як a:b. Також його можна записати у вигляді дробу. А ми знаємо, що такий запис у математиці означає розподіл. Тоді результатом виконання відносин буде приватне чисел aі b.

Відношенням у математиці називають частки двох чисел.

Ставлення дозволяє дізнатися скільки кількості однієї сутності посідає одиницю інший. Повернемося до чотирьох яблук до двох груш (4: 2) . Це ставлення дозволить нам дізнатися, скільки яблук посідає одиницю груші. Під одиницею мається на увазі одна груша. Спочатку запишемо відношення 4: 2 у вигляді дробу:

Дане відношення є поділом числа 4 на число 2. Якщо виконати цей поділ, ми отримаємо відповідь на запитання скільки яблук припадає на одиницю груші

Отримали 2. Значить чотири яблука і дві груші (4: 2) співвідносяться (взаємопов'язані один з одним) так, що на одну грушу припадає два яблука

На малюнку показано, як чотири яблука та дві груші співвідносяться між собою. Видно, що на кожну грушу припадають два яблука.

Відношення можна перевернути, записавши як . Тоді в нас вийде співвідношення двох груш та чотирьох яблук або «відношення двох груш до чотирьох яблук». Це ставлення покаже, скільки груш посідає одиницю яблука. Під одиницею яблука мається на увазі одне яблуко.

Щоб знайти значення дробу, потрібно згадати, як ділити менше на більше

Отримали 0,5. Перекладемо цей десятковий дріб у звичайний:

Скоротимо отриманий звичайний дріб на 5

Отримали відповідь (половину груші). Значить дві груші та чотири яблука (2: 4) співвідносяться (взаємопов'язані один з одним) так, що на одне яблуко припадає половина груші

На малюнку показано, як дві груші та чотири яблука співвідносяться між собою. Видно, що кожне яблуко припадає половинка груші.

Числа, з яких складено ставлення, називають членами відносини. Наприклад, щодо 4: 2 членами є числа 4 та 2.

Розглянемо інші приклади співвідношень. Для приготування чогось складається рецепт. Рецепт будують із співвідношень між продуктами. Наприклад, для приготування вівсяної каші зазвичай потрібна склянка пластівців на дві склянки молока або води. Виходить співвідношення 1: 2 («одна до двох» або «одна склянка пластівців на дві склянки молока»).

Перетворимо співвідношення 1: 2 на дріб, отримаємо . Обчисливши цей дріб, отримаємо 0,5 . Значить одна склянка пластівців і дві склянки молока співвідносяться (взаємопов'язані один з одним) так, що на одну склянку молока припадає половина склянки пластівців.

Якщо перевернути співвідношення 1: 2, то вийде співвідношення 2: 1 («два до одного» або «дві склянки молока на одну склянку пластівців»). Перетворимо співвідношення 2: 1 на дріб, отримаємо . Обчисливши цей дріб, отримаємо 2. Значить дві склянки молока і одну склянку пластівців співвідносяться (взаємопов'язані один з одним) так, що на одну склянку пластівців припадають дві склянки молока.

приклад 2.У класі 15 школярів. З них 5 – це хлопчики, 10 – дівчатка. Можна записати співвідношення дівчаток і хлопчиків 10:5 і перетворити це співвідношення на дріб. Обчисливши цей дріб отримаємо 2. Тобто дівчатка та хлопчики співвідносяться між собою так, що на кожного хлопчика припадають дві дівчинки

На малюнку показано, як десять дівчаток і п'ятьох хлопчиків співвідносяться між собою. Видно, що на кожного хлопчика припадають дві дівчинки.

Співвідношення не завжди можна перетворювати на дріб і знаходити приватне. У деяких випадках це буде нелогічно.

Так, якщо перевернути ставлення вийде, а це вже ставлення хлопчиків до дівчаток. Якщо обчислити цей дріб виходить 0,5. Виходить, що п'ятьох хлопчиків ставляться до десяти дівчаток так, що на кожну дівчинку припадає половина хлопчика. Математично це звичайно вірно, але з погляду реальності не зовсім розумно, бо хлопчик це жива людина і її не можна просто так взяти та розділити, як грушу чи яблуко.

Уміння побудувати правильне ставлення - важлива навичка під час вирішення завдань. Так, у фізиці, відношення пройденої відстані до часу є швидкість руху.

Відстань позначається через змінну S, час - через змінну t, швидкість - через змінну v. Тоді фраза «Ставлення пройденого шляху до часу є швидкість руху»буде описуватися наступним виразом:

Припустимо, автомобіль проїхав 100 кілометрів за 2 години. Тоді ставлення пройдених ста кілометрів до двох годин буде швидкістю руху автомобіля:

Швидкістю прийнято називати відстань, пройдену тілом за одиницю часу. Під одиницею часу мається на увазі 1 годину, 1 хвилину або 1 секунду. А ставлення, як було зазначено раніше, дозволяє дізнатися скільки кількості однієї сутності посідає одиницю інший. У нашому прикладі відношення ста кілометрів до двох годин показує скільки кілометрів припадає на годину руху. Бачимо, що на кожну годину руху припадає 50 кілометрів

Тому швидкість вимірюється в км/год, м/хв, м/с. Символ дробу (/) вказує на відношення відстані до часу: кілометрів за годину , метрів за хвилинуі метрів за секунду відповідно.

Приклад 2. Відношення вартості товару до його кількості є ціна однієї одиниці товару

Якщо ми взяли в магазині 5 шоколадних батончиків та їхня загальна вартість склала 100 рублів, то ми можемо визначити ціну одного батончика. Для цього потрібно знайти ставлення ста карбованців до кількості батончиків. Тоді отримаємо, що на один батончик припадають 20 рублів

Порівняння величин

Раніше ми дізналися, що відносини між величинами різної природи утворюють нову величину. Так, відношення пройденої відстані на час є швидкість руху. Ставлення вартості товару для його кількості є ціна однієї одиниці товару.

Але відношення можна використовувати і для порівняння величин. Результат виконання такого відношення є число, що показує у скільки разів перша величина більша за другу або яку частину перша величина становить від другої.

Щоб дізнатися у скільки разів перша величина більша за другу, в чисельник відношення потрібно записати більшу величину, а в знаменник меншу величину.

Щоб дізнатися яку частину перша величина становить від другої, в чисельник відношення потрібно записати меншу величину, а знаменник більшу величину.

Розглянемо числа 20 і 2. Давайте дізнаємося у скільки разів число 20 більше від числа 2. Для цього знаходимо відношення числа 20 до числа 2. У чисельнику відношення записуємо число 20, а в знаменнику — число 2

Значення цього відношення дорівнює десяти

Відношення числа 20 до числа 2 є число 10. Ця кількість показує у скільки разів число 20 більше від числа 2. Значить число 20 більше від числа 2 у десять разів.

приклад 2.У класі 15 школярів. 5 їх це хлопчики, 10 – дівчатка. Визначити у скільки разів дівчаток більше за хлопчиків.

Записуємо ставлення дівчаток до хлопчиків. У чисельнику стосунки записуємо кількість дівчаток, у знаменник відношення — кількість хлопчиків:

Значення цього відношення дорівнює 2. Значить у класі з 15 чоловік дівчаток вдвічі більше за хлопчиків.

Тут уже не стоїть питання, скільки дівчаток припадають на одного хлопчика. У разі ставлення використовується порівняння кількості дівчаток із кількістю хлопчиків.

Приклад 3. Яку частину число 2 становить від 20.

Знаходимо відношення числа 2 до 20. У чисельнику відношення записуємо число 2, а в знаменнику - число 20

Щоб знайти значення даного відношення, потрібно згадати,

Значення відношення числа 2 до 20 є число 0,1

У цьому випадку десятковий дріб 0,1 можна перевести у звичайний. Така відповідь буде простішою для сприйняття:

Значить число 2 від 20 становить одну десяту частину.

Можна зробити перевірку. Для цього знайдемо від числа 20. Якщо ми все зробили правильно, то маємо отримати число 2

20: 10 = 2

2 × 1 = 2

Отримали число 2. Отже одна десята частина від числа 20 є число 2. Звідси робимо висновок, що завдання вирішено правильно.

Приклад 4.У класі 15 людей. 5 їх це хлопчики, 10 – дівчатка. Визначити якусь частину від загальної кількості школярів складають хлопчики.

Записуємо ставлення хлопчиків до загальної кількості школярів. У чисельнику стосунки записуємо п'ятьох хлопчиків, у знаменнику — загальну кількість школярів. Загальна кількість школярів це 5 хлопчиків плюс 10 дівчаток, тому у знаменнику стосунки записуємо число 15

Щоб знайти значення цього відношення, потрібно згадати, як ділити менше на більше. У цьому випадку число 5 потрібно поділити на число 15

При розподілі 5 на 15 виходить періодичний дріб. Перекладемо цей дріб у звичайний

Отримали остаточну відповідь. Значить хлопчики становлять одну третину від усього класу

На малюнку видно, що у класі із 15 школярів третину класу становлять 5 хлопчиків.

Якщо для перевірки знайти від 15 школярів, то ми отримаємо 5 хлопчиків

15: 3 = 5

5 × 1 = 5

Приклад 5.У скільки разів число 35 більше від числа 5 ?

Записуємо відношення числа 35 до 5. У чисельник відношення потрібно записати число 35, у знаменник - число 5, але не навпаки

Значення цього відношення дорівнює 7. Значить число 35 у сім разів більше від числа 5.

Приклад 6.У класі 15 людей. 5 їх це хлопчики, 10 – дівчатка. Визначити, яку частину від загальної кількості складають дівчатка.

Записуємо ставлення дівчаток до загальної кількості школярів. У чисельнику стосунки записуємо десять дівчаток, у знаменнику — загальну кількість школярів. Загальна кількість школярів це 5 хлопчиків плюс 10 дівчаток, тому у знаменнику стосунки записуємо число 15

Щоб знайти значення цього відношення, потрібно згадати, як ділити менше на більше. У цьому випадку число 10 потрібно розділити на число 15

При розподілі 10 на 15 виходить періодичний дріб. Перекладемо цей дріб у звичайний

Скоротимо отриманий дріб на 3

Отримали остаточну відповідь. Значить, дівчатка становлять дві третини від усього класу

На малюнку видно, що у класі із 15 школярів дві третини класу становлять 10 дівчаток.

Якщо для перевірки знайти від 15 школярів, то матимемо 10 дівчаток

15: 3 = 5

5 × 2 = 10

Приклад 7.Яку частину 10 см складають від 25 см

Записуємо відношення десяти сантиметрів до двадцяти п'яти сантиметрів. У чисельнику стосунки записуємо 10 см, у знаменнику – 25 см

Щоб знайти значення цього відношення, потрібно згадати, як ділити менше на більше. У цьому випадку число 10 потрібно розділити на число 25

Перекладемо отриманий десятковий дріб у звичайний

Скоротимо отриманий дріб на 2

Отримали остаточну відповідь. Значить 10 див становлять від 25 див.

Приклад 8.У скільки разів 25 см більше 10 см

Записуємо відношення двадцяти п'яти сантиметрів до десяти сантиметрів. У чисельнику стосунки записуємо 25 см, у знаменнику – 10 см

Отримали відповідь 2,5. Значить 25 см більше 10 см у 2,5 рази (у два з половиною рази)

Важливе зауваження.При знаходженні відношення однойменних фізичних величин ці величини обов'язково повинні бути виражені в одній одиниці виміру, інакше відповідь буде неправильною.

Наприклад, якщо ми маємо справу з двома довжинами і хочемо дізнатися у скільки разів перша довжина більша за другу або яку частину перша довжина становить від другої, то обидві довжини спочатку потрібно виразити в одній одиниці виміру.

Приклад 9.У скільки разів 150 см більше за 1 метр?

Спочатку зробимо так, щоб обидві довжини були виражені в одній одиниці виміру. Для цього переведемо 1 метр у сантиметри. Один метр це сто сантиметрів

1 м = 100 см

Тепер знаходимо відношення до ста п'ятдесяти сантиметрів до ста сантиметрів. У чисельнику стосунки записуємо 150 сантиметрів, у знаменнику – 100 сантиметрів

Знайдемо значення цього відношення

Отримали відповідь 1,5. Значить 150 см більше 100 см в 1,5 рази (в півтора рази).

А якби не стали переводити метри в сантиметри і одразу спробували знайти відношення 150 см до одного метра, то в нас вийшло б таке:

Вийшло б, що 150 см більше одного метра в сто п'ятдесят разів, а це не так. Тому обов'язково потрібно звертати увагу на одиниці виміру фізичних величин, що беруть участь у відношенні. Якщо ці величини виражені у різних одиницях виміру, то знаходження відношення цих величин, необхідно перейти до однієї одиниці виміру.

Приклад 10Минулого місяця зарплата людини становила 25000 рублів, а цього місяця зарплата зросла до 27000 рублів. Визначити у скільки разів зросла зарплата

Записуємо ставлення двадцяти семи тисяч до двадцяти п'яти тисяч. У чисельнику стосунки записуємо 27000, у знаменнику – 25000

Знайдемо значення цього відношення

Отримали відповідь 1,08. Отже зарплата зросла у 1,08 раза. У майбутньому, коли ми познайомимося з відсотками, такі показники, як зарплата, ми будемо виражати у відсотках.

Приклад 11. Ширина багатоквартирного будинку – 80 метрів, а висота – 16 метрів. У скільки разів ширина будинку більша за його висоту?

Записуємо відношення ширини будинку до його висоти:

Значення цього відношення дорівнює 5. Значить ширина будинку вп'ятеро більша за його висоту.

Властивість відносин

Ставлення не зміниться якщо його члени помножити або розділити на одне й те саме число.

Це одна з найважливіших властивостей відношення випливає із якості приватного. Ми знаємо, що якщо ділене і дільник помножити або розділити на одне й те число, то приватне не зміниться. А оскільки ставлення є нічим іншим як розподілом, то властивість приватного працює і для нього.

Повернемося до ставлення дівчаток до хлопчиків (10: 5). Це ставлення показало, що на кожного хлопчика припадає дві дівчинки. Перевіримо, як працює властивість відношення, а саме спробуємо помножити або розділити його члени на те саме число.

У прикладі зручніше розділити члени відносини з їхньої найбільший спільний дільник (НОД).

НОД членів 10 та 5 це число 5. Тому можна розділити члени відношення на число 5

Отримали нове ставлення. Це відношення два до одного (2:1). Це, як і минуле ставлення 10:5, показує, що на одного хлопчика припадають дві дівчинки.

На малюнку показано відношення 2: 1 (два до одного). Як і в минулому відношенні 10:5 на одного хлопчика припадають дві дівчинки. Іншими словами, ставлення не змінилося.

Приклад 2. В одному класі 10 дівчаток та 5 хлопчиків. В іншому класі 20 дівчаток та 10 хлопчиків. У скільки разів у першому класі дівчаток більше за хлопчиків? У скільки разів у другому класі дівчаток більше за хлопчиків?

В обох класах дівчаток вдвічі більше хлопчиків, оскільки стосунки й рівні одному й тому ж числу.

Властивість відносин дозволяє будувати різні моделі, які мають схожі параметри з реальним об'єктом. Припустимо, що багатоквартирний будинок має ширину 30 метрів та висоту 10 метрів.

Щоб намалювати на папері схожий будинок, потрібно малювати його так само 30: 10 .

Розділимо обидва члени цього відношення на число 10. Тоді отримаємо відношення 3:1. Це відношення дорівнює 3, як і попереднє відношення дорівнює 3

Перекладемо метри на сантиметри. 3 метри це 300 сантиметрів, а 1 метр це 100 сантиметрів

3 м = 300 см

1 м = 100 см

Маємо відношення 300 см: 100 см. Розділимо члени цього відношення на 100. Отримаємо відношення 3 см: 1 см. Тепер можна намалювати будинок з шириною 3 см та висотою 1 см

Звичайно намальований будинок набагато менший за реальний будинок, але незмінним залишилося відношення ширини і висоти. Це дозволило нам намалювати будинок, максимально схожий на реальний

Відношення можна розуміти й іншим чином. Спочатку було сказано, що реальний будинок має ширину 30 метрів, а висота 10 метрів. Разом виходить 30+10, тобто 40 метрів.

Ці 40 метрів можна розуміти як 40 частин. Ставлення 30: 10 свідчить, що 30 елементів посідає ширину, а 10 елементів на висоту.

Далі члени відношення 30: 10 були поділені на 10. В результаті вийшло відношення 3: 1. Це відношення можна розуміти як 4 частини, три з яких припадає на ширину, одна — на висоту. І тут зазвичай потрібно дізнатися скільки саме метрів посідає ширину і висоту.

Іншими словами, потрібно дізнатися скільки метрів припадає на 3 частини та скільки метрів припадає на 1 частину. Спочатку треба дізнатися, скільки метрів припадає на одну частину. Для цього загальні 40 метрів потрібно розділити на 4, оскільки щодо 3: 1 всього чотири частини

Визначимо скільки метрів посідає ширину:

10 м × 3 = 30 м

Визначимо скільки метрів посідає висоту:

10 м × 1 = 10 м

Декілька членів відносини

Якщо щодо дано кілька членів, їх можна розуміти як частини від чогось.

Приклад 1. Куплено 18 яблук. Ці яблука розділили між мамою, татом і донькою щодо 2:1:3. Скільки яблук одержав кожен?

Ставлення 2:1:3 говорить про те, що мама отримала 2 частини, тато - 1 частина, дочка - 3 частини. Іншими словами, кожен член відносини 2:1:3 це певна частина від 18 яблук:

Якщо скласти члени відносини 2:1:3, то можна дізнатися скільки всього частин є:

2 + 1 + 3 = 6 (частин)

Дізнаємось скільки яблук припадає на одну частину. Для цього 18 яблук розділимо на 6

18: 6 = 3 (яблука на одну частину)

Тепер визначимо, скільки яблук отримав кожен. Помножуючи три яблука на кожен член відношення 2:1:3, можна визначити скільки яблук отримала мама, скільки отримав тато і скільки отримала донька.

Дізнаємось скільки яблук отримала мама:

3×2 = 6 (яблук)

Дізнаємось скільки яблук отримав тато:

3 × 1 = 3 (яблука)

Дізнаємось скільки яблук отримала дочка:

3×3 = 9 (яблук)

Приклад 2. Нове срібло (альпака) - це сплав нікелю, цинку та міді щодо 3:4:13. Скільки кілограмів кожного металу потрібно взяти, щоб одержати 4 кг нового срібла?

4 кілограми нового срібла міститиме 3 частини нікелю, 4 частини цинку та 13 частин міді. Спочатку дізнаємось скільки всього частин буде у чотирьох кілограмах срібла:

3 + 4 + 13 = 20 (частин)

Визначимо скільки кілограмів припадатиме на одну частину:

4 кг: 20 = 0,2 кг

Визначимо скільки кілограмів нікелю буде міститися в 4 кг нового срібла. Відносно 3: 4: 13 зазначено, що три частини металу містять нікель. Тому множимо 0,2 на 3:

0,2 кг × 3 = 0,6 кг нікелю

Тепер визначимо скільки кілограмів цинку міститься в 4 кг нового срібла. Щодо 3: 4: 13 вказано, що чотири частини металу містять цинк. Тому множимо 0,2 на 4:

0,2 кг × 4 = 0,8 кг цинку

Тепер визначимо скільки кілограмів міді буде міститися в 4 кг нового срібла. Щодо 3: 4: 13 вказано, що тринадцять частин сплаву містять мідь. Тому множимо 0,2 на 13:

0,2 кг × 13 = 2,6 кг міді

Отже, щоб отримати 4 кг нового срібла, потрібно взяти 0,6 кг нікелю, 0,8 кг цинку та 2,6 кг міді.

Приклад 3. Латунь - це сплав міді та цинку, маси яких відносяться як 3:2. Для виготовлення шматка латуні потрібно 120 г міді. Скільки цинку для виготовлення цього шматка латуні?

Визначимо, скільки грамів сплаву припадає на одну частину. За умови сказано, що для виготовлення шматка латуні потрібно 120 г міді. Також сказано, що три частини металу містять мідь. Якщо розділити 120 на 3, ми дізнаємось скільки грамів сплаву припадає на одну частину:

120: 3 = 40 грамів на одну частину

Тепер визначимо, скільки потрібно цинку для виготовлення шматка латуні. Для цього 40 грамів помножимо на 2, оскільки щодо 3:2 зазначено, що дві частини містять цинк:

40 г × 2 = 80 г цинку

Приклад 4. Взяли два сплави золота та срібла. В одному кількість цих металів знаходиться у відношенні 1: 9, а в іншому 2: 3. Скільки потрібно взяти кожного сплаву, щоб отримати 15 кг нового сплаву, в якому золото та срібло відносилося б як 1: 4?

Рішення

15 кг нового сплаву повинні складатися щодо 1: 4. Це відношення говорить про те, що на одну частину сплаву припадатиме золото, а на чотири частини буде срібло. Усього ж частин п'ять. Схематично це можна уявити так

Визначимо масу однієї частини. Для цього спочатку складемо всі частини (1 та 4), потім масу сплаву розділимо на кількість цих частин

1 + 4 = 5
15 кг: 5 = 3 кг

Одна частина металу матиме масу 3 кг. Тоді в 15 кг нового сплаву буде міститися 3×1=3 кг золота та срібла 3×4=12 кг срібла.

Тому для отримання сплаву масою 15 кг нам потрібно 3 кг золота та 12 кг срібла.

Тепер відповімо на запитання завдання - Скільки потрібно взяти кожного металу? »

Першого сплаву ми візьмемо 10 кг, оскільки золото та срібло в ньому знаходяться у відношенні 1:9. Тобто цей перший сплав дасть нам 1 кг золота та 9 кг срібла.

Другого сплаву ми візьмемо 5 кг, оскільки золото та срібло знаходяться у ньому щодо 2:3. Тобто цей другий сплав дасть нам 2 кг золота та 3 кг срібла.

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки