Різні призми не схожі один на одного. У той самий час вони багато спільного. Щоб знайти площу основи призми, потрібно розібратися у тому, який вигляд вона має.

Загальна теорія

Призмою є будь-який багатогранник, бічні сторони якого мають вигляд паралелограма. При цьому в її підставі може бути будь-який багатогранник - від трикутника до n-кутника. Причому підстави призми завжди дорівнюють один одному. Що не відноситься до бокових меж - вони можуть істотно відрізнятися за розмірами.

При вирішенні завдань зустрічається не лише площа підстави призми. Може знадобитися знання бічної поверхні, тобто всіх граней, які не є підставами. Повною поверхнею вже буде поєднання всіх граней, які становлять призму.

Іноді у завданнях фігурує висота. Вона є перпендикуляром до основ. Діагоналлю багатогранника є відрізок, який з'єднує попарно дві будь-які вершини, що не належать до однієї грані.

Слід зазначити, що площа основи прямої призми або похилої не залежить від кута між ними та бічними гранями. Якщо вони однакові фігури у верхній і нижній гранях, їх площі будуть рівними.

Трикутна призма

Вона має в основі фігуру, що має три вершини, тобто трикутник. Він, як відомо, буває різним. Якщо досить згадати, що його площа визначається половиною твору катетів.

Математичний запис виглядає так: S = ½ ав.

Щоб дізнатися площу основи у загальному вигляді, стануть у нагоді формули: Герона і та, в якій береться половина сторони на висоту, проведену до неї.

Перша формула має бути записана так: S = √(р(р-а)(р-в)(р-с)). У цьому записі присутній напівпериметр (р), тобто сума трьох сторін, розділена на дві.

Друга: S = ½ н а * а.

Якщо потрібно дізнатися площу основи трикутної призми, Що є правильною, то трикутник виявляється рівностороннім. Для нього існує своя формула: S = ¼ а 2 * √3.

Чотирикутна призма

Її основою є будь-який із відомих чотирикутників. Це може бути прямокутник або квадрат, паралелепіпед або ромб. У кожному разі, для того, щоб обчислити площу підстави призми, буде потрібна своя формула.

Якщо основа — прямокутник, його площа визначається так: S = ав, де а, в — сторони прямокутника.

Коли йдеться про чотирикутну призму, то площа основи правильної призмиобчислюється за такою формулою для квадрата. Тому що саме він виявляється лежачим у підставі. S = а2.

У разі коли основа — це паралелепіпед, знадобиться така рівність: S = а * н а. Буває таке, що дано сторону паралелепіпеда та один із кутів. Тоді для обчислення висоти потрібно скористатися додатковою формулою: на = в * sin А. Причому кут А прилягає до сторони «в», а висота на протилежна до цього куту.

Якщо на підставі призми лежить ромб, то для визначення його площі буде потрібна та сама формула, що для паралелограма (оскільки він є його окремим випадком). Але можна скористатися і такою: S = ½ d 1 d 2 . Тут d 1 і d 2 – дві діагоналі ромба.

Правильна п'ятикутна призма

Цей випадок передбачає розбиття багатокутника на трикутники, площі яких простіше дізнатися. Хоча буває, що фігури можуть бути з іншою кількістю вершин.

Оскільки основа призми — правильний п'ятикутник, він може бути розділений на п'ять рівносторонніх трикутників. Тоді площа підстави призми дорівнює площі одного такого трикутника (формулу можна переглянути вище), помноженою на п'ять.

Правильна шестикутна призма

За принципом, описаним для п'ятикутної призми, вдається розбити шестикутник основи на 6 рівносторонніх трикутників. Формула площі підстави такої призми подібна до попередньої. Тільки у ній слід множити на шість.

Виглядатиме формула таким чином: S = 3/2 а 2 * √3.

Завдання

№ 1. Дана правильна пряма Її діагональ дорівнює 22 см, висота багатогранника - 14 см. Обчислити площу основи призми та всієї поверхні.

Рішення.Підставою призми є квадрат, але його сторона не відома. Знайти її значення можна з діагоналі квадрата (х), яка пов'язана з діагоналлю призми (d) та її висотою (н). х 2 = d 2 - н 2. З іншого боку, цей відрізок «х» є гіпотенузою у трикутнику, катети якого дорівнюють стороні квадрата. Тобто х2 = а2+а2. Отже виходить, що а 2 = (d 2 - н 2)/2.

Підставити замість d число 22, а "н" замінити його значенням - 14, то виходить, що сторона квадрата дорівнює 12 см. Тепер просто дізнатися площу основи: 12 * 12 = 144 см 2 .

Щоб дізнатися площу всієї поверхні, потрібно скласти подвоєне значення площі основи та вчотирьох бічну. Останню легко знайти за формулою для прямокутника: перемножити висоту багатогранника та бік основи. Тобто 14 і 12 це число буде дорівнює 168 см 2 . Загальна площа поверхні призми виявляється 960 см2.

Відповідь.Площа підстави призми дорівнює 144 см2. Всієї поверхні - 960 см 2 .

№ 2. Дана В основі лежить трикутник зі стороною 6 см. При цьому діагональ бічної грані становить 10 см. Обчислити площі: основи та бічній поверхні.

Рішення.Оскільки призма правильна, її основою є рівносторонній трикутник. Тому його площа виявляється дорівнює 6 квадраті, помноженому на ¼ і на корінь квадратний з 3. Просте обчислення призводить до результату: 9√3 см 2 . Це площа однієї основи призми.

Всі бічні грані однакові і є прямокутниками зі сторонами 6 і 10 см. Щоб обчислити їх площі, достатньо перемножити ці числа. Потім помножити їх на три, бо бічних граней у призми саме так. Тоді площа бічної поверхні виявляється раною 180 см 2 .

Відповідь.Площа: підстави - 9√3 см 2 , бічної поверхні призми - 180 см 2 .

Визначення.

Це шестигранник, основами якого є два рівні квадрати, а бічні грані є рівними прямокутниками.

Бокове ребро- це спільна сторона двох суміжних бічних граней

Висота призми- це відрізок, перпендикулярний до основ призми

Діагональ призми- відрізок, що з'єднує дві вершини основ, що не належать до однієї грані

Діагональна площина- площина, яка проходить через діагональ призми та її бічні ребра

Діагональний переріз- межі перетину призми та діагональної площини. Діагональний переріз правильної чотирикутної призми є прямокутником.

Перпендикулярний перетин (ортогональний переріз)- це перетин призми та площини, проведеної перпендикулярно її бічним ребрам.

Елементи правильної чотирикутної призми

На малюнку зображено дві правильні чотирикутні призми, у яких позначені відповідними літерами:

• Підстави ABCD і A 1 B 1 C 1 D 1 рівні та паралельні один одному
• Бічні грані AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C та CC 1 D 1 D, кожна з яких є прямокутником
• Бічна поверхня - сума площ усіх бічних граней призми
• Повна поверхня - сума площ усіх підстав та бічних граней (сума площі бічної поверхні та підстав)
• Бічні ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 та DD 1 .
• Діагональ B 1 D
• Діагональ основи BD
• Діагональний переріз BB 1 D 1 D
• Перпендикулярне перетин A 2 B 2 C 2 D 2 .

Властивості правильної чотирикутної призми

• Підставами є два рівні квадрати
• Підстави паралельні один одному
• Боковими гранями є прямокутники
• Бічні грані рівні між собою
• Бічні грані перпендикулярні до основ
• Бічні ребра паралельні між собою та рівні
• Перпендикулярний перетин перпендикулярно всім бічних ребрів і паралельно основам.
• Кути перпендикулярного перетину - прямі
• Діагональний переріз правильної чотирикутної призми є прямокутником.
• Перпендикулярний (ортогональний переріз) паралельно основам

Формули для правильної чотирикутної призми

Вказівки до вирішення завдань

Під час вирішення завдань на тему " правильна чотирикутна призмамається на увазі, що:

Правильна призма- призма в основі якої лежить правильний багатокутник, а бічні ребра перпендикулярні до площин основи. Тобто правильна чотирикутна призма містить у своїй основі квадрат. (Див. вище властивості правильної чотирикутної призми) Примітка. Це частина уроку із завданнями з геометрії (розділ стереометрія – призма). Тут розміщені завдання, які викликають труднощі під час вирішення. Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. Для позначення дії вилучення квадратного кореняу розв'язках задач використовується символ√ .

Завдання.

У правильній чотирикутній призмі площа основи 144 см 2 , а висота 14 см. Знайти діагональ призми та площу повної поверхні.

Рішення.
Правильний чотирикутник – це квадрат.
Відповідно, сторона основи буде рівна

√144 = 12 см.
Звідки діагональ основи правильної прямокутної призми дорівнюватиме
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Діагональ правильної призми утворює з діагоналлю основи та висотою призми прямокутний трикутник. Відповідно, за теоремою Піфагора діагональ заданої правильної чотирикутної призми дорівнюватиме:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Відповідь: 22 см

Завдання

Визначте повну поверхню правильної чотирикутної призми, якщо її діагональ дорівнює 5 см, а діагональ бічної грані дорівнює 4 см.

Рішення.
Оскільки на підставі правильної чотирикутної призми лежить квадрат, то бік основи (позначимо як a) знайдемо за теоремою Піфагора:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Висота бічної грані (позначимо як h) тоді дорівнюватиме:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Площа повної поверхні дорівнюватиме сумі площі бічної поверхні та подвоєної площі підстави

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Відповідь : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Стереометрія є важливою частиною загального курсугеометрії, що розглядає характеристики просторових фігур. Однією з таких фігур є чотирикутна призма. У цій статті докладніше розкриємо питання, як розраховувати обсяг чотирикутної призми.

Що являє собою чотирикутна призма?

Очевидно, що перш ніж наводити формулу об'єму чотирикутної призми, необхідно дати ясне визначення цієї геометричної фігури. Під такою призмою розуміють тривимірний багатогранник, який обмежений двома довільними однаковими чотирикутниками, що лежать у паралельних площинах, та чотирма паралелограмами.

Зазначені паралельні один одному чотирикутники називаються основами фігури, а чотири паралелограми – це бічні сторони. Тут слід пояснити, що паралелограми також є чотирикутниками, проте підстави який завжди є паралелограмами. Приклад неправильного чотирикутника, який може бути підставою призми, показаний нижче на малюнку.

Будь-яка чотирикутна призма складається з 6 сторін, 8 вершин та 12 ребер. Існують чотирикутні призми різних видів. Наприклад, фігура може бути похилою або прямою, неправильною та правильною. Далі у статті покажемо, як можна розраховувати обсяг чотирикутної призми з урахуванням її виду.

Похила призма з неправильною основою

Це найнесиметричніший вид чотирикутної призми, тому розрахунок її обсягу буде відносно складним. Визначити обсяг фігури дозволяє такий вираз:

Символом So тут позначено площу основи. Якщо ця основа є ромб, паралелограм або прямокутник, то розрахувати величину So нескладно. Так, для ромба та паралелограма справедлива формула:

де a – сторона основи, ha – довжина опущеної на цю сторону з вершини основи висоти.

Якщо основа є неправильним багатокутником (див. вище), то його площа слід розбити на більш прості фігури (наприклад, трикутники), обчислити їх площі та знайти їх суму.

У формулі для об'єму символом h є висота призми. Вона є довжиною перпендикулярного відрізкаміж двома основами. Оскільки призма є похилою, то розрахунок висоти h слід проводити з використанням довжини бічного ребра b та двогранних кутів між бічними гранями та основою.

Правильна фігура та її обсяг

Якщо основою чотирикутної призми є квадрат, а сама фігура буде прямою, вона називається правильною. Слід пояснити, що пряма призма називається тоді, коли всі її бічні сторони є прямокутниками і кожен з них перпендикулярний до основ. Правильна фігура показана нижче.

Об'єм правильної чотирикутної призми може бути обчислений за тією самою формулою, що об'єм неправильної фігури. Оскільки основою є квадрат, його площа обчислюється просто:

Висота призми h дорівнює довжині бічного ребра b (сторона прямокутника). Тоді об'єм правильної чотирикутної призми може бути розрахований за наступною формулою:

Правильна призма з квадратною основою називається прямокутним паралелепіпедом. Цей паралелепіпед у разі рівності сторін a та b стає кубом. Обсяг останнього розраховується так:

Записані формули для обсягу V свідчать, що що вище симетрія фігури, тим менше лінійних параметрів потрібно обчислення цієї величини. Так, у разі правильної призми необхідна кількість параметрів дорівнює двом, а у разі куба – одному.

Завдання з правильною фігурою

Розглянувши питання знаходження обсягу призми чотирикутної з погляду теорії, застосуємо отримані знання практично.

Відомо, що правильний паралелепіпед має довжину діагоналі основи, що дорівнює 12 см. Довжина діагоналі його бічної сторони становить 20 см. Необхідно розрахувати обсяг паралелепіпеда.

Позначимо діагональ основи символом da, а діагональ бічної грані – символом db. Для діагоналі da справедливі вирази:

Що ж до величини db, вона є діагоналлю прямокутника зі сторонами a і b. Для неї можна записати такі рівності:

db2 = a2 + b2 =>

b = √(db2 - a2)

Підставляючи в останню рівність знайдений вираз для a, отримаємо:

b = √(db2 - da2/2)

Тепер можна підставити отримані формули для обсягу правильної фігури:

V = a2 * b = da2/2 * √ (db2 - da2/2)

Замінивши da та db числами з умови завдання, приходимо до відповіді: V ≈ 1304 см3.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформаціїбудь-якої миті, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведено деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформаціювключаючи ваші ім'я, номер телефону, адресу електронної пошти і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і суворо стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.