Пусть задан положительный числовой ряд $ \sum_{n=1} ^\infty a_n $. Сформулируем необходимый признак сходимости ряда:
- Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю: $$ \lim _{n \to \infty} a_n = 0 $$
- Если предел общего члена ряда не равен нулю, то ряд расходится: $$ \lim _{n \to \infty} a_n \neq 0 $$
Обобщенный гармонический ряд
Данный ряд записывается следующим образом $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{n^p} $. Причем в зависимости от $ p $ ряд сходится или расходится:
- Если $ p = 1 $, то ряд $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{n} $ расходится и называется гармоническим, несмотря на то, что общий член $ a_n = \frac{1}{n} \to 0 $. Почему так? В замечании говорилось, что необходимый признак не даёт ответа о сходимости, а только о расходимости ряда. Поэтому, если применить достаточный признак, такой как интегральный признак Коши, то станет ясно, что ряд расходится!
- Если $ p \leqslant 1 $, то ряд расходится. Пример,$ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} $, в котором $ p = \frac{1}{2} $
- Если $ p > 1 $, то ряд сходится. Пример, $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{1}{\sqrt{n^3}} $, в котором $ p = \frac{3}{2} > 1 $
Примеры решений
| Пример 1 |
| Доказать расходимость ряда $ \sum_{n=1} ^\infty \frac{n}{6n+1} $ |
| Решение |
|
Ряд положительный, записываем общий член: $$ a_n = \frac{n}{6n+1} $$ Вычисляем предел при $ n \to \infty $: $$ \lim _{n \to \infty} \frac{n}{6n+1} = \frac{\infty}{\infty} = $$ Выносим за скобку $ n $ в знаменателе, а затем выполняем на него сокращение: $$ = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n(6+\frac{1}{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{6 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{6} $$ Так как получили, что $ \lim_{n\to \infty} a_n = \frac{1}{6} \neq 0 $, то необходимый признак Коши не выполнен и ряд следовательно расходится. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| Ряд расходится |
$\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} $, члены которого удовлетворяют трём условиям:
- $a_{n} >0,\, \, \, n\ge 1$, т.е. исходный ряд с положительными членами;
- члены ряда монотонно убывают, т.е. $a_{1} >a_{2} >\ldots >a_{n-1} >a_{n} >\ldots >0$;
- общий член ряда стремится к нулю: $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} =0$.
Пусть существует непрерывная, монотонно убывающая, определ ённая при $x\ge 1$ функция f(x), такая что $f\left(1\right)=a_{1} ,\, \, \, f\left(2\right)=a_{2} ,\, \, \, \ldots ;\, \, \, f\left(n\right)=a_{n} ,\, \, \, \ldots $, т.е. $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} =\sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n) $. Тогда, если несобственный интеграл $\int \limits _{1}^{+\infty }f\left(x\right){\rm d}x $ сходится, то ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} $ тоже сходится; если указанный интеграл расходится, то этот ряд расходится.
Замечание 1
Теорема остаётся верной и тогда, когда её условия выполняются не для всех членов ряда, а лишь начиная с k-го ($n\ge k$), в таком случае рассматривается интеграл $\int \limits _{k}^{+\infty }f\left(x\right)\, {\rm d}x $.
Замечание 2
Интегральный признак Коши существенно облегчает исследование сходимости ряда, так как позволяет свести этот вопрос к выяснению сходимости интеграла от удачно подобранной соответствующей функции $f(x)$, что легко выполняется, применяя методы интегрального исчисления.
Теорема 2 (радикальный признак Коши)
Пусть дан ряд с положительными членами $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} ,\, \, \, a_{n} >0$ и пусть существует конечный предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \sqrt[{n}]{a_{n} } =l.$Тогда:
- если $l
- если $l>1$, ряд расходится,
- если $l=1$, то для выяснения сходимости ряда радикальный признак Коши не применим.
Доказательство
- Пусть существует $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \sqrt[{n}]{a_{n} } =l0$, то $l\ge 0$. Рассмотрим число q такое, что $l 0$ существует $N=N({\rm \varepsilon })\in $N, начиная с которого $\forall n \ge N$ выполняется неравенство $\left|\sqrt[{n}]{a_{n} } -l\right|
$\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} =\, a_{1} +\, a_{2} +\ldots +\, a_{N} +\, a_{N+1} +a_{N+2} +...$ . (1)
Составим новый ряд
$\sum \limits _{k=0}^{\infty }q^{N+k} =q^{N} +\, q^{N+1} +q^{N+2} +\ldots $ (2)
Ряд (2) представляет собой ряд геометрической прогрессии со знаменателем $q$: $0\le q
- Пусть существует $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \sqrt[{n}]{a_{n} } =l>1$. Начиная с некоторого $N=N({\rm \varepsilon })\in {\rm N}$ $\forall n\ge N$, $\, \, \sqrt[{n}]{a_{n} } >1\, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, a_{n} >1$, т.е. $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} \ne 0$, тогда исходный ряд расходится по необходимому признаку сходимости.
- Если $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \sqrt[{n}]{a_{n} } =l=1$ (или не существует), то для выяснения сходимости ряда радикальный признак Коши не применим.
Теорема доказана.
Теорема 3 (признак Даламбера)
Пусть дан ряд с положительными членами $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} \, \, \, (a_{n} >0) $, и существует конечный предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =l$, тогда:
- ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} $ сходится, если $l
- ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} $ расходится, если $l>1$,
- если $l=1$, то для выяснения сходимости ряда признак Даламбера не применим.
Доказательство
- Пусть предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =l$ существует и $0\le l 0$ существует $N({\rm \varepsilon })\in $N, начиная с которого $\forall n\ge N=N({\rm \varepsilon })$ выполняется неравенство $\left|\frac{a_{n+1}} {a_n}-l\right|
Запишем исходный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} \, \, \, (a_{n} >0) $ в виде: $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} =a_{1} +a_{2} +\ldots +a_{N} +a_{N+1} +a_{N+2} \, +...$. Рассмотрим новый ряд $\sum \limits _{k=0}^{\infty }a_{N} \cdot q^{k} =a_{N} +qa_{N} +q^{2} a_{N} +\ldots $ . Этот ряд есть ряд геометрической прогрессии с $b_{1} =a_{N} $ и $0
- Пусть $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =l>1$. Рассмотрим число q такое, что $l>q>1$. ${\rm \varepsilon }=l-q>0$, из определения предела следует:$-{\rm \varepsilon } q > 1.$Таким образом, $a_{n+1} >a_n > 0$ и при $n\to \infty $ общий член ряда $a_{n} $ не стремится к 0, т.е. ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_n $ расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда. Вторая часть теоремы доказана.
- Если $l=1$,$\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $ равен единице или не существует, в этом случае для выяснения сходимости ряда признак Даламбера не применим.
Пример 1
Исследовать на сходимость ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{n}{2^{n} } $.
Решение. Обозначим $\frac{n}{2^{n} } =a_{n} $, $a_{n} >0$; найдём $a_{n+1} =\frac{n+1}{2^{n+1} } $. Составим предел $l=\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{(n+1)\cdot 2^{n} }{2^{n} \cdot 2\cdot n} =\frac{1}{2} \mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{n+1}{n} =\frac{1}{2}
Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{n}{2^{n} } $сходится.
Пример 2
Исследовать на сходимость ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{n!}{5^{n} } $.
Решение. Обозначим $\frac{n!}{5^{n} } =a_{n} ,a_{n} >0$; найдём $a_{n+1} =\frac{(n+1)!}{5^{n+1} } $. Составим предел
т.е. по признаку Даламбера ряд расходится.
Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{n!}{5^{n} } $ расходится.
Пример 3
Исследовать на сходимость ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \left(\frac{n}{2n+1} \right)^{n} $
Решение. Обозначим $\left(\frac{n}{2n+1} \right)^{n} =a_{n} ,^{} a_{n} >0$. Составим предел:
$l=\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \sqrt[{n}]{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to } \frac{n}{2n+1} =\frac{1}{2}
Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \left(\frac{n}{2n+1} \right)^{n} $сходится.
Определение . Числовой ряд (1.1) называется положительным, если все его слагаемые An – положительные числа. Частичная сумма Sn = а1+ а2 + …+ а N такого ряда при любом значении N тоже, естественно, положительна, причем с увеличением номера N она монотонно возрастает. Следовательно, имеются всего две возможности:
2) где S – некоторое положительное число.
В первом случае ряд расходится, во втором сходится. Какая из этих двух возможностей реализуется, зависит, очевидно, от поведения слагаемых ряда при N ® ∞. Если эти слагаемые стремятся к нулю, причем делают это достаточно быстро, то ряд будет сходиться. А если они не стремятся к нулю, или стремятся к нему, но недостаточно быстро, то ряд будет расходиться.
Например, у гармонического ряда (1.16) слагаемые хоть и убывают, стремясь к нулю, но делают это довольно медленно. Поэтому гармонический ряд оказался расходящимся. А вот у положительного ряда (1.6) слагаемые стремятся к нулю гораздо быстрее, поэтому он оказался сходящимся.
Еще пример. Ряд вида
(1.18)
Называется Обобщенным гармоническим рядом (при это будет обычный гармонический ряд). Если исследовать его на сходимость – расходимость аналогично тому, как исследовался гармонический ряд (1.16) (с помощью рисунка, подобного рисунку 7.1), то можно установить (попробуйте это сделать самостоятельно), что обобщенный гармонический ряд расходится при (его сумма ) и сходится при (его сумма S – конечное положительное число). И это понятно: при слагаемое обобщенного гармонического ряда убывают медленнее слагаемых гармонического ряда. А так как гармонический ряд расходится (скорость убывания его слагаемых недостаточна для сходимости), то тем более при будет расходиться и обобщенный гармонический ряд (1.18). А при слагаемые ряда (1.18) будут, очевидно, убывать быстрее, чем слагаемые гармонического ряда (1.16). И этой возросшей скорости убывания оказывается достаточно для сходимости ряда (1.18).
Можно эти соображения изложить строже, в виде так называемого Признака сравнения положительных числовых рядов .
Его суть в следующем. Пусть
(1.19)
(1.20)
Два произвольных положительных числовых ряда. И пусть для всех N =1,2,… . То есть (1.20) – ряд с бóльшими членами, чем ряд (1.19). Тогда очевидно, что:
1) Если ряд с бóльшими членами сходится, то и ряд с меньшими членами сходится.
2) Если ряд с меньшими членами расходится (его сумма равна +∞), то и ряд с бóльшими членами тоже расходится (его сумма тем более равна +∞).
3) Если ряд с бóльшими членами сходится (его сумма равна +∞), то про ряд с меньшими членами ничего сказать нельзя.
4) Если ряд с меньшими членами сходится (его сумма – число), то про ряд с бóльшими членами ничего сказать нельзя.
Замечание 1. В формулировке всех четырех пунктов признака сравнения можно условие , с помощью которого сравниваются ряды и которое должно выполняться для всех N =1,2,3,…, заменить на это же условие , справедливое не для всех N , а лишь начиная с некоторого номера N , то есть для N > N , ибо отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость.
Замечание 2. Признак сравнения положительных числовых рядов допускает обобщение. А именно, если существует конечный и отличный от нуля предел
, (1.21)
То есть если
(Bn эквивалентны Lan при ), то положительные числовые ряды (1.19) и (1.20) сходятся или расходятся одновременно. Данное замечание оставим без доказательства.
Пример 5 . Ряд
(1.23)
Расходится (его сумма равна +∞). Действительно, сравнивая этот ряд с гармоническим (1.16), слагаемые которого меньше слагаемых ряда (1.23) для всех N >1, сразу приходим к этому выводу на основании пункта 2 признака сравнения. Его расходимость следует и из того, что это – обобщенный гармонический ряд (1.18) при .
Пример 6. Ряд
(1.24)
Это положительный ряд с меньшим для всех N >1 слагаемыми, чем ряд
(1.25)
Но ряд (1.25) представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем . Такой ряд, согласно (1.15), сходится и имеет сумму S =1. Но тогда сходится и меньший ряд (1.24), причем его сумма .
Пример 7 . Ряд - положительный числовой ряд, у которого слагаемые
при .
Но ряд 
расходится в силу (1.17). Значит, в соответствии с (1.22), расходится и данный ряд со слагаемыми An
.
Признак Даламбера . Этот признак состоит в следующем. Пусть - положительный числовой ряд. Найдем предел Q отношения последующего члена ряда к предыдущему:
(1.26)
Французский математик и механик 19-го века Даламбер доказал, что при Q <1 ряд Сходится; при Q >1 он расходится; при Q =1 вопрос о сходимости - расходимости ряда остается открытым. Доказательство признака Даламбера опускаем.
Пример 8. Исследовать на сходимость – расходимость положительный числовой ряд .
. Применим к этому ряду признак Даламбера. Для этого по формуле (1.26) вычислим Q :
Так как , то данный ряд сходится.
Интегральный признак Коши . Этот признак состоит в следующем. Если члены An положительного ряда монотонно убывают, то этот ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно. Здесь - непрерывная монотонно убывающая функция, принимающая при X = N значения An членов ряда.
Перед началом работы с этой темой советую посмотреть раздел с терминологией для числовых рядов. Особенно стоит обратить внимание на понятие общего члена ряда. Если у вас есть сомнения в правильности выбора признака сходимости, советую глянуть тему "Выбор признака сходимости числовых рядов" .
Необходимый признак сходимости числовых рядов имеет простую формулировку: общий член сходящегося ряда стремится к нулю. Можно записать этот признак и более формально:
Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ сходится, то $\lim_{n\to\infty}u_n=0$.
Часто в литературе вместо словосочетания "необходимый признак сходимости" пишут "необходимое условие сходимости". Однако перейдём к сути: что означает данный признак? А означает он следующее: если $\lim_{n\to\infty}u_n=0$, то ряд может сходиться. Если же $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$ (или же предела попросту не существует), то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ расходится.
Стоит обратить внимание, что равенство $\lim_{n\to\infty}u_n=0$ вовсе не означает сходимости ряда. Ряд может как сходиться, так и расходиться. А вот если $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то ряд гарантированно расходится. Если эти нюансы требуют детальных пояснений, то прошу раскрыть примечание.
Что означает словосочетание "необходимое условие"? показать\скрыть
Поясним понятие необходимого условия на примере. Для покупки ручки студенту необходимо иметь 10 рублей. Это можно записать так: если студент покупает ручку, то у него есть 10 рублей. Наличие десяти рублей - это и есть необходимое условие покупки ручки.
Пусть это условие выполнено, т.е. десятка у студента есть. Значит ли это, что он купит ручку? Вовсе нет. Он может купить ручку, а может приберечь деньги на потом. Или купить что-либо иное. Или подарить их кому-то, - вариантов масса:) Иными словами, выполнение необходимого условия покупки ручки (т.е. наличие денег) вовсе не гарантирует покупку этой ручки.
Точно так же и необходимое условие сходимости числового ряда $\lim_{n\to\infty}u_n=0$ вовсе не гарантирует сходимость этого самого ряда. Простая аналогия: если есть деньги, студент может купить ручку, а может и не купить. Если $\lim_{n\to\infty}u_n=0$, ряд может как сходиться, так и расходиться.
Однако что произойдет, если необходимое условие покупки ручки не выполнено, т.е. денег нет? Тогда студент ручку точно не купит. То же самое и с рядами: если необходимое условие сходимости не выполнено, т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то ряд точно будет расходиться.
Говоря кратко: если необходимое условие выполнено, то следствие может как произойти, так и не произойти. Однако если необходимое условие не выполнено, то следствие точно не произойдёт.
Для наглядности приведу пример двух рядов: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$. Общий член первого ряда $u_n=\frac{1}{n}$ и общий член второго ряда $v_n=\frac{1}{n^2}$ стремятся к нулю, т.е.
$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0;\; \lim_{n\to\infty}v_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0. $$
Однако гармонический ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, а ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится. Выполнение необходимого условия сходимости вовсе не гарантирует сходимости ряда.
Исходя из необходимого условия сходимости ряда можно сформулировать достаточный признак расходимости числового ряда:
Если $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ расходится.
Чаще всего в стандартных примерах необходимый признак сходимости проверяется, если общий член ряда представлен дробью, числитель и знаменатель которой есть некие многочлены. Например, $u_n=\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$ (см. пример №1). Или же могут присутствовать корни от многочленов (см. пример №2). Бывают примеры, которые несколько выбиваются из данной схемы, но для стандартных контрольных работ это редкость (см. примеры во второй части этой темы). Подчеркну главное: с помощью необходимого признака нельзя доказать сходимость ряда. Этот признак используют, когда нужно доказать, что ряд расходится.
Пример №1
Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$. Найдём предел общего члена ряда:
$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|= \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}-\frac{1}{n^2}}{\frac{5n^2}{n^2}+\frac{7}{n^2}}= \lim_{n\to\infty}\frac{3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}{5+\frac{7}{n^2}}=\frac{3+0-0}{5+0}=\frac{3}{5}. $$
"Предел отношения двух многочленов" . Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n=\frac{3}{5}\neq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.
Решение окончено, однако, полагаю, у читателя возникнет вполне резоннный вопрос: а как мы вообще увидели, что нужно проверить выполнение необходимого условия сходимости? Существует немало признаков сходимости числовых рядов, так почему же взяли именно этот? Данный вопрос совсем не праздный. Но так как ответ на него, возможно, будет интересен не всем читателям, то я скрыл его под примечание.
Почему мы начали применять именно необходимый признак сходимости? показать\скрыть
Если говорить нестрого, то вопрос сходимости этого ряда решается ещё до формального исследования. Я не буду касаться такой темы как порядок роста, просто приведу некие общие рассуждения. Давайте посмотрим на общий член ряда $u_n=\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$ повнимательнее. Сначала обратимся к числителю. Число (-1), расположенное в числителе, можно отбросить сразу: если $n\to\infty$, то данное число будет пренебрежимо малым по сравнению с остальными слагаемыми.
Посмотрим на степени $n^2$ и $n$, имеющиеся в числителе. Вопрос: какой элемент ($n^2$ или $n$) будет расти быстрее прочих?
Ответ здесь прост: наиболее быстро будет увеличивать свои значения именно $n^2$. Например, когда $n=100$, то $n^2=10\;000$. И этот разрыв между $n$ и $n^2$ будет всё больше и больше. Поэтому все слагаемые, кроме тех, что содержат $n^2$, мы мысленно отбросим. После такого "отбрасывания" в числителе останется $3n^2$. А после проведения подобной процедуры для знаменателя, там останется $5n^2$. И дробь $\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$ теперь станет такой: $\frac{3n^2}{5n^2}=\frac{3}{5}$. Т.е. на бесконечности общий член явно не будет стремиться к нулю. Осталось лишь показать это формально, что и было сделано выше.
Частенько в записи общего члена ряда используют такие элементы, как, например, $\sin\alpha$ или $\arctg\alpha$ и тому подобное. Нужно просто помнить, что значения подобных величин не могут выходить за некие числовые границы. Например, каким бы ни было значение $\alpha$, значение $\sin\alpha$ останется в пределах $-1≤\sin\alpha≤ 1$. Т.е., к примеру, мы можем записать, что $-1≤\sin(n!e^n)≤ 1$. А теперь представьте, что в записи общего члена ряда расположено выражение вроде $5n+\sin(n!e^n)$. Сыграет ли синус, который может "колебаться" лишь от -1 до 1, хоть какую-либо значимую роль? Ведь значения $n$ устремляются в бесконечность, а синус не сможет превысить даже единицу! Поэтому при предварительном рассмотрении выражения $5n+\sin(n!e^n)$ синус можно просто отбросить.
Или, для примера, возьмём арктангенс. Каким бы ни было значение аргумента $\alpha$, значения $\arctg\alpha$ будут удовлетворять неравенству $-\frac{\pi}{2}<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.
Чтобы определить, какие элементы можно "отбрасывать", а какие нет, нужен небольшой навык. Чаще всего вопрос сходимости ряда можно решить ещё до формального исследования. А формальное исследование в стандартных примерах служит лишь подтверждением интуитивно полученного результата.
Ответ : ряд расходится.
Пример №2
Исследовать ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}$ на сходимость.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{\sqrt{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}$. Найдём предел общего члена ряда:
$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{4n^7}{n^7}+\frac{5n^3}{n^7}-\frac{4}{n^7}}}{\frac{9n^2}{n^{\frac{7}{3}}}-\frac{n}{n^{\frac{7}{3}}}+\frac{12}{n^{\frac{7}{3}}}}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{5}{n^4}-\frac{4}{n^7}}}{\frac{9}{n^\frac{1}{3}}-\frac{1}{n^\frac{4}{3}}+\frac{12}{n^\frac{7}{3}}}=+\infty. $$
Если метод решения данного предела вызывает вопросы, то советую обратиться к теме "Пределы с иррациональностями. Третья часть" (пример №7). Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.
Немного поговорим с позиции интуитивных рассуждений. В принципе, здесь верно всё то же самое, что было сказано в примечании к решению примера №1. Если мысленно "отбросить" все "несущественные" слагаемые в числителе и знаменателе общего члена ряда, то дробь $\frac{\sqrt{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}$ примет вид: $\frac{\sqrt{4n^7}}{9n^2}=\frac{n^2\sqrt{4n}}{9n^2}=\frac{\sqrt{4n}}{9}$. Т.е. ещё до формального исследования становится ясным, что при $n\to\infty$ общий член ряда к нулю стремиться не станет. К бесконечности - станет, к нулю - нет. Поэтому остаётся лишь показать это строго, что и было сделано выше.
Ответ : ряд расходится.
Пример №3
Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(5^n\sin\frac{8}{3^n}\right)$.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=5^n\sin\frac{8}{3^n}$. Найдём предел общего члена ряда:
$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\left(5^n\sin\frac{8}{3^n}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{8}{3^n}}{\frac{1}{5^n}}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&\frac{8}{3^n}\to 0;\\&\sin\frac{8}{3^n}\sim\frac{8}{3^n}. \end{aligned}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{8}{3^n}}{\frac{1}{5^n}}=8\cdot\lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{3}\right)^n=+\infty. $$
Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.
Пару слов насчёт тех преобразований, которые были осуществлены при вычислении предела. Выражение $5^n$ было помещено в числитель для того, чтобы выражения и в числителе, и в знаменателе стали бесконечно малыми. Т.е. при $n\to\infty$ имеем: $\sin\frac{8}{3^n}\to 0$ и $\frac{1}{5^n}\to 0$. А если мы имеем отношение бесконечно малых, то смело можем применять формулы, указанные в документе "Эквивалентные бесконечно малые функции" (см. таблицу в конце документа). Согласно одной из таких формул, если $x\to 0$, то $\sin x\sim x$. А у нас и есть как раз такой случай: так как $\frac{8}{3^n}\to 0$, то $\sin\frac{8}{3^n}\sim\frac{8}{3^n}$. Иными словами, мы просто-напросто заменяем выражение $\sin\frac{8}{3^n}$ выражением $\frac{8}{3^n}$.
Полагаю, может возникнуть вопрос, зачем же мы преобразовывали выражение $5^n\sin\frac{8}{3^n}$ к виду дроби, - ведь замену можно было сделать и без такого преобразования. Ответ тут таков: замену-то сделать можно, но вот правомерна ли она будет? Теорема про эквивалентные бесконечно малые функции даёт недвусмысленное указание, что подобные замены возможны лишь в выражениях вида $\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$ (при этом $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ - бесконечно малые), расположенных под знаком предела. Вот мы и преобразовали наше выражение к виду дроби, подогнав его под требования теоремы.
Ответ : ряд расходится.
Пример №4
Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^2}$.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{3^n}{n^2}$. Вообще-то, вопрос со сходимостью этого ряда легко решается с помощью признака Д"Аламбера . Однако можно применить и необходимый признак сходимости.
Посмотрим повнимательнее на общий член ряда. В числителе расположено выражение $3^n$, которое с возрастанием $n$ увеличивается гораздо быстрее, нежели расположенный в знаменателе $n^2$. Сравните сами: например, если $n=10$, то $3^n=59049$, а $n^2=100$. И этот разрыв стремительно увеличивается с ростом $n$.
Вполне логично предположить, что если $n\to\infty$, то $u_n$ не станет стремиться к нулю, т.е. необходимое условие сходимости выполнено не будет. Осталось лишь проверить эту столь правдоподобную гипотезу и вычислить $\lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{n^2}$. Однако перед вычислением этого предела найдём вспомогательный предел функции $y=\frac{3^x}{x^2}$ при $x\to +\infty$, т.е. вычислим $\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x^2}$. Зачем мы это делаем: дело в том, что в выражении $u_n=\frac{3^n}{n^2}$ параметр $n$ принимает лишь натуральные значения ($n=1,2,3,\ldots$), а аргумент $x$ функции $y=\frac{3^x}{x^2}$ принимает действительные значения. При нахождении $\lim_{x\to+\infty}\frac{3^x}{x^2}$ мы можем применить правило Лопиталя:
$$ \lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x^2}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|=|\text{применяем правило Лопиталя}|=\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(3^x\right)"}{\left(x^2\right)"}=\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x\ln 3}{2x}=\\ =\frac{\ln 3}{2}\cdot\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x} =\left|\frac{\infty}{\infty}\right|=|\text{применяем правило Лопиталя}|=\frac{\ln 3}{2}\cdot\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(3^x\right)"}{\left(x\right)"}=\\ =\frac{\ln 3}{2}\cdot\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x\ln 3}{1}=\frac{\ln^2 3}{2}\cdot\lim_{x\to +\infty}3^x=+\infty. $$
Так как $\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x^2}=+\infty$, то $\lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{n^2}=+\infty$. Так как $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то необходимое условие сходимости ряда не выполнено, т.е. заданный ряд расходится.
Ответ : ряд расходится.
Иные примеры рядов, сходимость которых проверяется с помощью необходимого признака сходимости, находятся во второй части этой темы.
На практике часто не столь важно найти сумму ряда, как ответить на вопрос о сходимости ряда. Для этой цели используются признаки сходимости, основанные на свойствах общего члена ряда.
НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ РЯДА
ТЕОРЕМА 1 .
Если ряд сходится, то его общий член a n стремится к нулю при , т.е. .
Кратко: если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.
Следствие: если ,то ряд расходится.
Пример 15 .
Решение. Для этого ряда общий член и .
Следовательно, данный ряд расходится.
Пример 16 . Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Очевидно, что общий член этого ряда, вид которого не указан ввиду громоздкости выражения, стремится к нулю при n®¥, т.е. необходимый признак сходимости ряда выполняется, однако этот ряд расходится, так как его сумма стремится к бесконечности.
ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ
Числовой ряд, все члены которого положительны, называется знакоположительным.
ТЕОРЕМА 2. (Первый признак сравнения).
Пусть даны два знакоположительных ряда:
a 1 +a 2 +a 3 +...+a n +...= (17)
b 1 +b 2 +b 3 +...+b n +...= , (18)
причем, начиная с некоторого номера N , для любого n >N выполняется неравенство a n £ b n . Тогда:
1) из сходимости ряда (“большего”) следует сходимость ряда (“меньшего”);
2) из расходимости ряда (“меньшего”) следует расходимость ряда (“большего”).
Схематическая запись первого признака сравнения:
a n £ b n
сход.сход.
расх.®расх.
Для применения этого признака часто используют такие ряды-эталоны, сходимость или расходимость которых известна заранее, например:
1) ¾ геометрический, (он сходится при и расходится при );
2) - гармонический (он расходится);
3) - ряд Дирихле (он сходится при a>1 и расходится при a£1).
Рассмотрим на конкретном примере схему исследования знакоположительного ряда на сходимость с помощью первого признака сравнения.
Пример 17 .
Решение. Шаг 1. Проверим знакоположительность ряда: .
Шаг 2. Проверим выполнение необходимого признака сходимости ряда: . Так как , то .
(Если вычисление предела вызывает трудности, то этот шаг можно пропустить.)
Шаг 3. Используем первый признак сравнения. Подберем для данного ряда ряд-эталон. Так как , то в качестве эталона можно взять ряд , т.е. ряд Дирихле. Этот ряд сходится, так как показатель степени a= >1. Следовательно, согласно первому признаку сравнения сходится и исследуемый ряд.
Пример 18 . Исследовать ряд на сходимость.
Решение. 1.Данный ряд знакоположительный, так как для n =1,2,3,... .
2.Необходимый признак сходимости ряда выполняется, ибо
3.Подберем ряд-эталон. Так как , то в качестве эталона можно взять геометрический ряд (). Этот ряд сходится, следовательно сходится и исследуемый ряд.
ТЕОРЕМА 3. (Второй признак сравнения)
Если для знакоположительных рядов и существует отличный от нуля конечный предел ,то ряды сходятся или расходятся одновременно.
Если a n ®0 при n®¥ (необходимый признак сходимости), то из условия , следует, что a n и b n – бесконечно малые одного порядка малости (эквивалентные при l=1). Следовательно, если дан ряд , где a n ®0 при n ®0, то для этого ряда можно брать ряд-эталон, где общий член b n имеет тот же порядок малости, что и общий член данного ряда.
Пример19 . Исследовать на сходимость ряд
Решение. Данный ряд знакоположительный, так как для любого nÎN.
Так как ~ ~ , то возьмем в качестве ряда-эталона гармонический расходящийся ряд . Поскольку предел отношения общих членов a n и конечен и отличен от нуля (он равен 1), то на основании второго признака сравнения данный ряд расходится.
ТЕОРЕМА 4. (Признак Даламбера)
Если для знакоположительного ряда существует конечный предел , то ряд сходится при l<1 и расходится при l>1.
Замечания:
1) Если l=1, теорема 4 не дает ответа на вопрос о сходимости ряда и поэтому необходимо использовать другие признаки сходимости.
2) Признак Даламбера удобен на практике тогда, когда общий член ряда содержит показательную функцию или факториал.
Пример 20 . Исследовать на сходимость ряд по признаку Даламбера.
Замечания:
1) Если l=1, теорема 5 не дает ответа на вопрос о сходимости ряда, поэтому необходимо использовать другие признаки сравнения.
2) Если l=¥ , то ряд расходится.
Пример 22 . Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Данный ряд знакоположительный, так как для любого nÎN . Опуская проверку выполнимости необходимого признака сходимости ряда, сразу воспользуемся теоремой 5. Так как , то по признаку Коши данный ряд расходится.
ТЕОРЕМА 6. (Интегральный признак Коши )
Пусть функция f(x) непрерывна, неотрицательна и не возрастает для всех x³m, где m - некоторое неотрицательное число. Тогда числовой ряд
сходится, если сходится несобственный интеграл
